Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L’Hospital szabály, elaszticitás)
1. Feladat. Írjuk fel az f (x) = x2 függvény x0 = 1 pontbeli érintőjének egyenletét! megoldás: Az érintő egyenlete y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Jelen esetben f (x0 ) = f (1) = 1, f 0 (x) = 2x, így f 0 (x0 ) = f 0 (1) = 2. Ebből a keresett egyenlet y = 1 + 2(x − 1). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = 2x − 1.
2. Feladat. Írjuk fel az f (x) = ex függvény x0 = 0 pontbeli érintőjének egyenletét! megoldás: Az érintő egyenlete y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Jelen esetben f (x0 ) = f (0) = e0 = 1, f 0 (x) = ex , így f 0 (x0 ) = f 0 (0) = 1. Ebből az érintő y = 1 + 1(x − 0). Tehát a keresett egyenlet y = x + 1. 1
2
3. Feladat. Írjuk fel az f (x) =
√
x + 2 függvény x0 = 2 pontbeli érintőjének egyenletét!
Az érintő egyenlete y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Jelen esetben f (x0 ) = f (2) = Ebből a keresett egyenlet
√
1
4 = 2, f 0 (x) = 21 (x + 1)− 2 =
√1 , 2 x+2
így f 0 (x0 ) = f 0 (2) = 41 .
1 y = 2 + (x − 2). 4 Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást 1 3 y = x+ , 4 2 beszorozva a közös nevezővel 4y − x = 6
x2 + 1 4. Feladat. Írjuk fel az f (x) = függvény x0 = −1 pontbeli érintőjének egyenletét! x+2 megoldás: Az érintő egyenlete y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Jelen esetben f (x0 ) = f (−1) = 2, továbbá f 0 (x) =
2x(x + 2) − (x2 + 1) x2 + 4x − 1 = , (x + 2)2 (x + 2)2
3
így f 0 (x0 ) = f 0 (−1) = −4. Ebből a keresett egyenlet y = 2 − 4(x + 1). Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást y = −4x − 2.
5. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = 2x3 + 3x2 + 5 függvény azon érintőjének egyenletét, 1 amelyik merőleges az y = − 12 x + 5 egyenesre! megoldás: A keresett egyenes egyenlete y = mx+b, ahol m = 12 a merőlegesség miatt (ugyanis egymásra merőleges egyenesek meredekségeinek szorzata -1), tehát az érintő y = 12x+b alakú. Másrészt m = f 0 (x0 ) = 6x20 + 6x0 . Így x0 meghatározható a 6x20 + 6x0 = 12 egyenletből, ami ekvivalens az x20 + x0 − 2 = 0 egyenlettel. Ennek megoldásai x0 =
−1 ±
√ 2
1+8
=
−1 ± 3 , 2
azaz x0 = 1 vagy x0 = −2. Így két érintési pont van E1 = (1, 10) és E2 = (−2, 1). Az y = 12x + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pontok koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b1 = −2, b2 = 25. Így az érintők egyenletei y = 12x − 2,
y = 12x + 25.
4
6. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = x2 − 2x + 3 függvénynek az y = 4x − 3 egyenletű egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét. megoldás: A keresett egyenes egyenlete y = mx + b, ahol m = 4 a párhuzamosság miatt (ugyanis párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik), tehát az érintő y = 4x + b alakú. Másrészt m = f 0 (x0 ) = 2x0 − 2. Így x0 meghatározható a 2x0 − 2 = 4 egyenletből, ami ekvivalens a 2x0 = 6 egyenlettel. Ennek megoldása x0 = 3. Így az érintési pont E = (3, 6). Az y = 4x + b egyenletbe behelyettesítve az érintési pont koordinátáit, megkapjuk a b értékét: b = −6. Így az érintők egyenletei y = 4x − 6.
7. Feladat. Határozzuk meg, hogy az f (x) = érintője párhuzamos az x tengellyel?
3x2 + 1 függvénynek melyik pontjába húzott 3 + x2
megoldás: A keresett érintő meredeksége nulla, így az érintőt y = b alakban keressük. Másrészt 6x0 (3 + x20 ) − (3x20 + 1)(2x0 ) 12x0 m = f 0 (x0 ) = = , 2 2 (3 + x0 ) (3 + x20 )2
5
1 1 amiből x0 = 0. Így f (x0 ) = . Tehát a keresett egyenes egyenlete y = . 3 3
8. Feladat. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melyet az f (x) = e2x −2x3 függvénynek az x0 = 0 pontjába húzott érintője a koordinátatengelyekkel bezár? megoldás: Az érintő egyenlete y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Jelen esetben f (x0 ) = 1, továbbá f 0 (x) = 2e2x − 6x2 , így f 0 (x0 ) = f 0 (0) = 2. Tehát az érintő egyenlete y = 2x + 1. Ez az egyenes az x tengelyt −1/2-nél, az y-tengelyt 1-nél metszi, így a keresett terület: T =
1 2
·1 1 = . 2 4
9. Feladat. Határozzuk meg az f (x) = 2x2 − x3 függvénynek az x-tengellyel párhuzamos érintőjének egyenletét! megoldás: Az x-tengellyel párhuzamos érintő meredeksége 0, így meg kell oldanunk az f 0 (x) = 0 egyenletet. Mivel f (x) = 2x2 − x3 , ezért f 0 (x) = 4x − 3x2 . Így a 4x − 3x2 = 0 egyenletet kell megoldanunk. Kiemelve x-et az x(4 − 3x) = 0 egyenlethez jutunk. Egy szorzat csak úgy lehet
6
nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így x = 0 vagy x = 43 . Mivel f (0) = 0, és f 32 . Tehát a keresett egyenesek egyenlete y = 0 és y = 27
4 3
=
32 . 27
10. Feladat. Van-e olyan pontja az f (x) = 2x2 − x3 függvénynek, melyhez húzott érintő párhuzamos az y = x egyenletű egyenessel? megoldás: A keresett egyenes meredeksége 1, így azt az x-et keressük, melyre f 0 (x) = 1. Mivel f 0 (x) = 4x − 3x2 − 1, ezért a 3x2 − 4x + 1 = 0 egyenletet kell megoldanunk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x = 1 és x = 31 adódik. 11. Feladat. Milyen x esetén lesz párhuzamos az f (x) = 2 + x − x2 függvény érintője párhuzamos az első síknegyed szögfelezőjével? megoldás: Az f 0 (x) = 1 egyenlet megoldását keressük. Mivel f 0 (x) = 1 − 2x, ezért a megoldandó egyenlet 1 − 2x = 1, amiből x = 0 adódik. 12. Feladat. F Bizonyítsuk be, hogy az f (x) = x1 függvény tetszőleges pontjába húzott érintő állandó területű háromszögeket metsz ki a koordináta-tengelyekből! megoldás: Az adott függvény egy tetszőleges x0 pontbeli érintőjének egyenlete 1 1 y= − 2 (x − x0 ). x0 x0 Felbontva a zárójelet, és elvégezve az egyszerűsítést 2 x y= − 2 x0 x0 adódik. Ennek az egyenesnek a koordináta-tengelyekkel való metszéspontja 2 P1 0, , P2 (2x0 , 0) . x0 Derékszögű háromszög területe a befogók szorzatának a fele, így T =
2 x0
· 2x0 2
= 2,
amivel igazoltuk az állítást. 13. Feladat. Írjuk fel az f (x) = egyenletét!
1 függvény x0 = −1 pontbeli normális egyenesének x+2
megoldás: Az normális egyenes egyenlete y = f (x0 ) −
1 f 0 (x
0)
(x − x0 ).
7 1 0 0 Jelen esetben f (x0 ) = f (−1) = 1, f 0 (x) = − (x+2) Ebből a 2 , így f (x0 ) = f (−1) = −1. keresett egyenlet y = 1 + 1(x + 1).
Elvégezve a zárójel felbontását és az összevonást a keresett egyenes egyenlete y = x + 2.
14. Feladat. Írjuk fel az 2x + 1 f (x) = √ x2 + 8 függvény x0 = −1 pontbeli érintőegyenesének és normális egyenesének egyenletét! megoldás: Első lépésben lederiváljuk a függvényt, majd kiszámoljuk a függvénynek és a deriváltjának az x0 pontbeli helyettesítési értékét: √ x2 + 8 − (2x + 1) √xx2 +8 2 0 . f (x) = x2 + 8 Így 1 17 f (x0 ) = − , f 0 (x0 ) = . 3 9 Ebből az érintő egyenes egyenlete 1 17 y = − + (x + 1). 3 27 Felbontva a zárójelet, és elvégezve az összevonást 8 17 y= + x. 27 27 A normális egyenes egyenlete 1 27 y = − − (x + 1). 3 17 Felbontva a zárójelet y=−
98 27 − x 51 17
8
15. Feladat. Írjuk fel az f (x) = x2 függvény x0 = 1 pontjához tartozó simulókörének, érintő egyenesének és normális egyensének egyenletét egyenletét! Számoljuk ki a szubtangens és szubnormális, valamint a tangens szakasz és normális szakasz hosszát! megoldás: A függvény deriváltja f 0 (x) = 2x, második deriváltja f 00 (x) = 2. Kiszámolva a függvényértéket, a derivált értékét és a második derivált értékét az x0 helyen, f 0 (x0 ) = f (0) = 2,
f (x0 ) = f (1) = 1,
f 00 (x0 ) = f (0) = 2
adódik. Ebből az érintő egyenes egyenlete: y = 1 + 2(x − 1), zárójel felbontás és összevonás után y = 2x − 1, a normális egyenes egyenlete 1 y = 1 − (x − 1), 2 zárójel felbontás és összevonás után y=
3 1 − x. 2 2
A simulókör középpontjának koordinátái 2 1 + f 0 (x0 ) u = x0 − f (x0 ) , f 00 (x0 ) Ebbe behelyettesítve a megefelelő adatokat 1+4 u=1−2 = −4, 2
2 1 + f 0 (x0 ) v = f (x0 ) + . f 00 (x0 )
v =1+
1+4 7 = = 3, 5 2 2
adódik. A simulókör sugara r=
2 23 1 + f (x0 ) 0
f 00 (x0 )
.
9
Behelyettesítve az adatokat
√ 125 5 5 = 2 2
adódik. Így a simulókör egyenlete (x + 4)2 + (y − 3, 5)2 =
125 . 4
A tangens szakasz hossza q 2 √ √ 0 1 + f (x0 ) = 1 · 5 = 5 , T = f (x0 ) · f 0 (x0 ) 2 2 a normális szakasz hossza q 2 √ √ N = f (x0 ) · 1 + f 0 (x0 ) = 1 · 5 = 5. A szubtangens f (x0 ) 1 1 = = ST = 0 f (x0 ) 2 2 a szubnormális SN = kf (x0 ) · f 0 (x0 )k = 1 · 2 = 2. 16. Feladat. Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: sin x ; x sin 4x b) lim ; x→0 5x 1 − cos 2x ; c) lim x→0 1 − cos 3x
a) lim
x→0
sin 2x ; sin 4x 1 − cos 5x e) lim ; x→0 xex ln x2 f) lim ; x→2 x − 2
d) lim
x→0
10
1 − cos 4x ; x→0 x2 x2 − 5x + 6 . j) lim x→3 x2 − 9
ln x3 g) lim 2 ; x→3 x − 9 1 − ex h) lim ; x→0 sin 3x
i) lim
megoldás a) Alkalmazva a L’Hospital szabályt sin x = lim lim x→0 x→0 x
sin x x0
0 = lim
x→0
cos x = 1. 1
b) Alkalmazva a L’Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát 0 sin 4x sin 4x 4 cos 4x 4 lim = lim = lim = . 0 x→0 x→0 x→0 5x (5x) 5 5 c) Kétszer alkalmazva a L’Hospital szabályt 1 − cos 2x
1 − cos 2x lim = lim x→0 1 − cos 3x x→0
1 − cos 3x
0 0 = lim
x→0
2 sin 2x 4 cos 2x 4 = = . 3 sin 3x 9 cos 3x 9
d) Alkalmazva a L’Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát 0 sin 2x 1 2 cos 2x sin 2x = lim = . lim 0 = lim x→0 x→0 4 cos 4x x→0 sin 4x 2 sin 4x e) Alkalmazva a L’Hospital szabályt, valamint az összetett függvény deriválási szabályát lim
x→0
1 − cos 5x 5 sin 5x = lim x . x x→0 xe e + xex
f) Alkalmazva a L’Hospital szabályt ln x2 1 1 = lim = . lim x→2 x x→2 x − 2 2 g) Alkalmazva a L’Hospital szabályt 1 ln x3 1 lim 2 = lim x = . x→3 x − 9 x→3 2x 18 h) Alkalmazva a L’Hospital szabályt lim
x→0
1 − ex −ex 1 = lim =− . x→0 3 cos 3x sin 3x 3
i) Kétszer alkalmazva a L’Hospital szabályt lim
x→0
4 sin 4x 16 cos 4x 1 − cos 4x = lim = lim = 8. 2 x→0 x→0 x 2x 2
11
j) Alkalmazva a L’Hospital szabályt x2 − 5x + 6 2x − 5 1 lim = lim = . 2 x→3 x→3 x −9 2x 6 17. Feladat. Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: ln x ; x→∞ x 2x − 1 b) lim ; x→0 x c) lim xe−x ;
d) lim xex ;
a) lim
x→−∞
1 − 73x ; x→0 x 1 + x − ex f) lim . x→0 x2
e) lim
x→∞
megoldás: a) Alkalmazva a L’Hospital szabályt lim
x→∞
ln x 1 = lim x→∞ x x
b) Alkalmazva a L’Hospital szabályt 2x − 1 2x ln 2 lim = lim = ln 2. x→0 x→0 x 1 c) Felhasználjuk, hogy e−x =
1 , ex
majd alkalmazzuk a L’Hospital szabályt: x 1 lim xe−x = lim x = lim x = 0. x→∞ x→∞ e x→∞ e
d) Felhasználjuk, hogy ex =
1 , e−x
majd alkalmazzuk a L’Hospital szabályt: x 1 lim xex = lim = lim − −x = 0. −x x→−∞ x→−∞ e x→−∞ e
e) Alkalmazva a L’Hospital szabályt lim
x→0
1 − 73x −3 · 73x ln(3) = lim = −3 ln 3. x→0 x 1
f) Kétszer alkalmazva a L’Hospital szabályt 1 + x − ex 1 − ex −ex 1 lim = lim = lim =− . 2 x→0 x→0 x→0 x 2x 2 2 18. Feladat. F Számoljuk ki az alábbi függvényhatárértékeket: a) lim xx ; x→0
d) lim
x→∞
x ; ln(x + 1)
b) lim xsin x ; x→0
c) lim
x→0
ln x ; ln(sin x)
megoldás:
e) lim
x→0
arctg x ; x
12
a) Mivel x
lim xx = lim eln x = lim ex ln x ,
x→0
x→0
x→0
ezért kiszámolva a lim x ln x
x→0+
határértéket lim x ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x 1 x
= lim
1 x
x→0+
= lim −x = 0
− x12
x→0+
adódik, így a keresett határérték e0 = 1. b) Mivel lim xsin x = lim eln x
sin x
x→0
x→0
= lim esin x ln x , x→0
kiszámolva a lim sin x ln x
x→0+
határértéket ln x
lim sin x ln x = lim
x→0+
x→0+
= lim
x→0+
1 sin x 2
= lim
x→0+
1 x
− sin−2 x · cos x
=
−2 sin x cos x − sin x = lim = 0, x · cos x x→0+ −x · sin x + cos x
így a keresett határérték e0 = 1. c) Alkalmazva a L’Hospital szabályt ln x = lim x→0+ ln(sin x) x→0+ lim
1 x 1 sin x
cos x
sin x cos x = lim = 1. x→0+ x cos x x→0 cos x − x sin x
= lim
d) Alkalmazva a L’Hospital szabályt lim
x→∞
x = lim ln(x + 1) x→∞
1 1 x+1
= ∞.
e) Alkalmazva a L’Hospital szabályt arctg x 1 = 1. lim = lim x→0 x→0 1 + x2 x 19. Feladat. F Egy árucikk iránti keresletet az x ártól függően az 100 f (x) = x+5 függvény ad meg. Írjuk föl az elaszticitás függvényt! Hány százalékkal változik a kereslet, ha az áru 5 Ft-os árát 1%-kal emelik, illetve 3%-kal csökkentik? megoldás:
13
Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: −100 f 0 (x) = . (x + 5)2 Ezt felhasználva felírjuk az elaszticitás függvényt: x −100 −100 x 0 x+5 −x f (x) = 100 · · . E(x) = =x· = 2 2 f (x) (x + 5) 100 (x + 5) x+5 x+5 Mivel a termék ára 5 Ft, ezért kiszámoljuk az E(5) értéket: −5 1 E(5) = =− . 5+5 2 Ez azt jelenti, hogy ha 1%-kal nő az ár, akkor várhatóan fél százalékkal csökken a termék iránti kereslet. Msárészt, ha 3%-kal csökken az ár, akkor várhatóan 3 · 0, 5%-kal nő a termék iránti kereslet. 20. Feladat. F Egy termékből eladott mennyiség az 5000 f (x) = 10 + x függvénnyel adható meg, ahol x a termék ára. Hány százalékkal változna az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 3%-kal növelik? megoldás: Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: −5000 f 0 (x) = . x2 Ezt felhasználva felírjuk az elaszticitás függvényt: x 0 x −5000 x −5000 E(x) = f (x) = = 10x+5000 · = 5000 · 2 f (x) x x2 10 + x x x −5000 5000 =x· · =− . 2 10x + 5000 x 10x + 5000 A termék ára 1000 Ft, ezért kiszámoljuk az E(1000) értéket: 5000 1 E(1000) = − =− . 10000 + 5000 3 Ez azt jelenti, hogy ha 3%-kal növeljük a termék árát, akkor várhatóan 3· 13 %-kal fog csökkenni a termék iránti kereslet. 21. Feladat. F A raktározási költség a raktározott mennyiség (x) és egy állandó költség függvénye az f (x) = 40x+8000 képlet szerint. Hány százalékkal változik a raktározási költség, ha 200 termék helyett 2%-kal kevesebb terméket tárolnak? megoldás: Első lépésben kiszámoljuk az f függvény deriváltját: f 0 (x) = 40.
14
Ezt felhasználva az elaszticitás függvény x 0 x 40x E(x) = f (x) = · 40 = . f (x) 40x + 8000 40x + 8000 Kiszámoljuk az E(200) értéket E(200) =
40 · 200 1 = . 40 · 200 + 8000 2
Így ha 2%-kal kevesebb terméket raktározunk, akkor 2 · költség.
1 2
= 1%-kal csökken a raktározási
