Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Afgeleiden

1

Afgeleiden. 1. Herinnert u zich deze nog? De algemene vergelijking van een rechte in een xy-vlak wordt bepaald door y=m*x+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging van de rechte volledig vastleggen. Voorbeeld 1: Teken en bepaal de rechte door de punten (2,3) en (4,7) Methode 1: vertrek van algemene vergelijking y=m*x+q en eis dat beide punten voldoen aan deze vergelijking; we verkrijgen het volgende stelsel: 3 = m * 2 + q met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1  7 = m * 4 + q y − y1 Methode 2: we maken gebruik van de formules: m = 2 en y-y1 =m(x-x1 ). x 2 − x1 7 −3 In ons geval verkrijgen we: (x1 ,y1 )=(2,3) en (x2 ,y2 )=(4,7) m = = 2 en y-3=2(x-2). 4−2 Na inspectie van formules en bijhorende tekening merken we dat de parameter m te maken heeft met de helling van de rechte: m=richtingscoëfficiënt=hoeveel je omhoog moet als je 1 naar rechts gaat. De parameter q geeft het snijpunt met de y-as aan: dit snijpunt is (0,q) Voorbeeld 2: Teken en bepaal de rechte door het punt (5,3) met richting –3: We maken gebruik van de formule y-y1 =m(x-x1 ): y-3=(-3)(x-5) of y=(-3)x+18

2. Inleiding en definitie Als een functie dient bestudeerd te worden is het in sommige gevallen gebruikelijk om een stuk van de kromme van die functie te gaan benaderen door een zogenaamde koorde. Hiernaast zie je de rechte door de punten (a,f(a)) en (b,f(b)). Van de lessen meetkunde weet je dat de vergelijking van de rechte wordt f ( b) − f (a ) y − f ( a) = ( x − a) gegeven door: b−a De richtingscoëfficiënt van deze rechte wordt gegeven door f ( b) − f ( a ) m= b −a

f(b)

f(a) a

b

Cursus Wiskunde 2004

Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas

W.Mommaerts

Afgeleiden

Heel interessant wordt het nu als je het punt b dichter en dichter bij a brengt. In de limiet zal de koorde de kromme slechts in 1 punt snijden in de buurt van het punt (a,f(a)). In dit geval spreken we van de raaklijn.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (a,f(a)) is : f ( b) − f (a ) mraaklijn = lim b→ a b − a

2

f(b)

f(a) a

←

b

Opmerking: Het is meer gebruikelijk om de bovenstaande limiet te herschrijven in functie van een kleine toename h vanuit a: b=a+h. f ( a + h) − f ( a ) mraaklijn = lim h h→ 0 Definitie 1:Afgeleide van een functie. Zij f(x) een reële functie en beschouw een punt a uit het domein van f (dwz. f(a) bestaat). f (a + h )− f (a ) f '( a ) = lim is dan de afgeleide van de functie f in het punt a. Als deze limiet h h→0 bestaat en eindig is zeggen we dat de functie f afleidbaar is in het punt a. Meetkundig betekent dit dat de kromme van de functie f een raaklijn heeft in het punt (a,f(a)) en de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is f’(a). Als we het punt a opnieuw als veranderlijke x kunnen beschouwen spreken we van de afgeleide functie f’(x), ook wel genoteerd als D(f(x)). Voorbeeld 3 Neem f(x)=2x+1 f ( x + h ) − f ( x) 2( x + h) +1− (2 x +1) f '( x) = lim = lim = 2. h h h→0 h→0 Dit is vrij logisch want de raaklijn aan een rechte is die rechte zelf natuurlijk. De richtingscoëfficiënt is onafhankelijk van x. Op gelijkaardige manier verkrijg je dat de afgeleide van de constante functie f(x)=7, steeds 0 is end dat de functie f(x)=x als afgeleide 1 heeft. Voorbeeld 4 Beschouw de parabool f(x)=2x2 +1 in het punt (3,19) Volgens de vorige definitie is de afgeleide van f in het punt 3: f ( 3+ h) − f (3) 2( 3+ h) 2 +1−19 2( 9 + 6h + h 2 ) − 18 12h + h 2 f '( 3) = lim = lim = lim = lim = 12 h h h h h →0 h→0 h→0 h→0 In het algemeen kunnen we afleiden: f ' (x ) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x) 2 ( x + h ) 2 +1− ( 2 x 2 +1) 2 ( x 2 + 2 xh + h 2 ) +1− (2 x 2 +1) = lim = lim = 4x h h h h→ 0 h →0



W.Mommaerts

Afgeleiden

3

3. Rekenregels In principe zou de afgeleide van een willekeurige functie kunnen bepaald worden volgens de bovenstaande definitie, gebaseerd op de limiet. Via eigenschappen van limieten kan men echter aantonen dat het berekenen van de afgeleide voldoet aan een aantal regels die het mogelijk maken om ineens volledige klassen van functies te bestuderen. Deze rekenregels staan hieronder in kader vermeld, maar je kan ze ook terugvinden op uw formularium. 1.3.1 Veeltermen en rationale functies In het onderstaande zijn f(x) en g(x) twee reële afleidbare functies en c is een constant getal. Met behulp van eigenschappen van limieten kan men aantonen dat

(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)

(cf)’(x)=c*f’(x)

(f*g)’=f’*g+f*g’

 f  ' g *f '− f *g'   =  g g2

Toepassing: Uit voorbeeld 1 haalden we reeds dat c’=0 en dat (x)’=1. Met behulp van bovenstaande rekenregels is het mogelijk om de afgeleide van een willekeurige veelterm te gaan bepalen: (x2 )’=(x*x)’=(x)’*x+x*(x)’=1*x+x*1=2x, en ook (2x2 +1)’=2*(x2 )’+(1)’=2*(2x)+0=4x. (zoals we trouwens ook uitrekenden in voorbeeld 2 m.b.v. limieten) Voor een willekeurige macht n van x kan men aantonen dat ( x n )' = n * x n −1

Deze uitdrukking is zelfs geldig voor machten die geen positief geheel getal zijn (breuken in de exponent of negatieve machten zijn ook toegelaten). Opgaven: Bereken de volgende afgeleiden:  x3 x 2  D(3x*(x+5))= D ( − + x − 3 )(1 − x 2 ) = 8 7  5     2  1  D D 4 x + 3x +2   4 x2 − 3x +5  − x2 +5x − 7 

  D 7  =  x3

(

)

2 D x2 + x

1.3.2 De kettingregel De laatste opgave kan je ook op een andere manier oplossen omdat de functie 2 f(x)= x 2 + x een samenstelling is van twee elementaire functies. Inderdaad om f(x) uit te

(

)

rekenen zal je in eerste instantie x2 +x evalueren en dit resultaat zal je verder gaan kwadrateren. Cursus Wiskunde 2004


W.Mommaerts

Afgeleiden

4

In dergelijke gevallen kan je beroep doen op de zogenaamde kettingregel voor afgeleiden: ( g o f )'( x) = ( g'( f ( x )) * f ' ( x) Voor ons voorbeeld wordt dit: f=x2+x

x2 + x

x f’=2x+1

(

(

g=(X)2

)

2 2 x +x

g’=2(X)

)

2 D x2 + x =2*(x2 +x)*(2x+1) Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies:  x 2 + x +1 3 4   (2x-5) x2 + 1 5 x − 7   2 20 x 2 − 24x − 9   4 x − 2 x + 3 D 5x −3  =   (5 x − 3) 2

x

4

( x +1)

4

(2x2 +x-1)3 (4x-5)2

1.3.3 Goniometrische functies sin’(x)=cos(x)

tg'(x) = 1

cos’(x)=-sin(x)

cos 2 ( x)

Opgaven Bereken de afgeleide van de volgende functies: sin( x ) tg(cos(3x)) sin( x)

Bg sin'( x) =

1 1− x 2

Bg cos' ( x) =

−1 1− x 2

cotg'(x) = -1

sin 2 ( x)

sin( x) + x * cos( x )

Bgtg '( x ) =

1 1+ x 2

Bg cot g' ( x) =

−1 1+ x 2

Oefeningen: Bereken de afgeleide van volgende functies! sin(5x)

x2 cos( 2x )

tg( 4x3 + 1)

sin( 2x) + x sin( x )

x x2 + 1



1 1+cos2 ( x)

W.Mommaerts

Afgeleiden

5

4. Eigenschappen van functies 1.4.1 Raaklijnen In de omgeving van een punt wordt een functie goed benaderd door de raaklijn aan de kromme De vergelijking van de raaklijn in het punt (a,f(a)) aan de kromme van de functie f(x) is:

y - f(a) = f'(a)(x - a) Voorbeeld 5 Bepaal de raaklijn aan de kromme y=2x2 in het punt x=3. Als x=3, dan is f(x)=f(3)=18. De afgeleide f’(x)=4x. Bijgevolg is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn f’(3)=12. De vergelijking van de raaklijn is dan y-18=12(x-3) of ook y=12x-18. 1.4.2 Stijgen en dalen Uit de voorgaande gelijkenis tussen kromme en raaklijn, kunnen we ook afleiden of een kromme nu bergop of bergaf zal gaan. Immers een positieve afgeleide, betekent dat de raaklijn een positieve richtingscoëfficiënt heeft en dus bergop zal wijzen. Gelijkaardige conclusies kunnen worden getrokken bij een negatieve afgeleide. Iets formeler maak je gebruik van de volgende definitie: Definitie 2: Stijgen en dalen. Een functie f(x) is stijgend als voor elk koppel x≤y geldt dat ook f(x)≤f(y) Een functie f(x) is dalend als voor elk koppel x≤y geldt dat ook f(x)≥f(y) Eigenschap: Als f’(a)>0 en f is continu in a dan is f stijgend in de omgeving van a. Als f’(a)<0 en f is continu in a dan is f dalend in de omgeving van a. Stelling(verband tussen afgeleide en maxima en minima): Als f continu is in [ a , b] en f is afleidbaar in ]a , b[ ,dan als de afgeleide functie f’(x) van teken verandert in x=m, dan bereikt f een extremum in m. Als in de buurt van m geldt dat voor x0 en voor x>c, f’(x)<0, dan bereikt de functie een maximum in m, dwz. dat f(x)c, f’(x)>0, dan bereikt de functie een minimum in m, dwz. dat f(x)>f(m) in de buurt van m Dit betekent dat uit een tekenonderzoek van de eerste afgeleide je de extrema van een functie kan bepalen.:



W.Mommaerts

Afgeleiden

6

voorbeeld 6 We weten dat de grafiek van de functie y=x2 een parabool is. De eerste afgeleide f’(x)=2x vertoont een nulpunt in het punt x=0. Het tekenonderzoek van deze afgeleide leert ons dat x=0 een minimum is voor deze parabool(top). Beschouwen we echter de functie y=x3 met f’(x)=3x2 . Dan is ook hier de eerste afgeleide gelijk aan nul. Nochtans bij inspectie van de grafiek is in de oorsprong noch een maximum noch een minimum te bespeuren. Het tekenonderzoek van de eerste afgeleide zegt ons dat de functie steeds stijgend blijft en niet verandert van teken in de oorsprong. Dit laatste leert ons dat nulpunten van de eerste afgeleiden niet noodzakelijk duiden op extrema van de bijhorende grafiek. voorbeeld 7 Beschouw de functie f(x)=x3 -6x2 +9x+1 De afgeleide functie is dan : f’(x)=3x2 -12x+9=3(x-3)(x-1) x f’(x) f(x)

1 0 max

+ ↑

3 0 min

↓

+ ↑

Stelling (verband tussen tweede afgeleide en kromming van een grafiek): Als f continu is en afleidbaar in a,dan heeft de grafiek een positieve kromming ∪in de omgeving van a als f”(a)>0. De grafiek heeft een negatieve kromming ∩ als f”(a)<0. Een punt waar de tweede afgeleide 0 is en waar deze links een ander teken heeft dan rechts, noemen we een buigpunt. Stelling(Extrema via eerste en tweede afgeleide): Als een functie f afleidbaar is in het interval ]a , b[ waartoe het punt c behoort als f’(c)=0 en als f”(c)<0 (∩), dan bereikt f een maximum in c of als f”(c)>0 (∪)dan bereikt f een minimum in c. voorbeeld 7(vervolg) f(x)

Zij f(x)=x3 -6x2 +9x+1, dan is f”(x)=6x-12 x f’(x) f”(x) f(x)

+ 

1 0 max



2 0 Bgpt

+ 

3 0 + min

+ + 

30 20 10 -4

Opgepast: Wij spreken af dat in elk buigpunt tevens de raaklijn wordt bepaald. De richtingscoëfficciën van deze lijn bekom je via de eerste afgeleide: m=f’(2)=-3. De vergelijking van de raaklijn is dan y-3=(-3)(x-2).



-2

0 -10 0 -20

2

4

-30 -40 -50 -60

W.Mommaerts

6 f(x)

Afgeleiden

Opgave: Zoek de maxima, minima en buigpunten van onderstaande functies! x−2 f ( x) = f ( x ) = x4 + 43 x3 − 4 x2 x+2

7

f ( x) =

x−1 9 − x2

2 ( ) ( 3) f ( x ) = 5x 3 − x 5

f ( x) = x 2 + 2x − 8

f (x ) = x + x − x − 6 2

5. Het verloop van functies 1. Domein en continuiteit Wat betreft het domein en de continuiteit moet je vooral uitkijken naar de nulpunten van de noemers en zorgen dat wat onder even wortels staat positief is. De logaritme van negatieve getallen kan ook niet en tangens van rechte hoeken (veelvouden van π/2) zijn ook uit den boze. 2. Snijpunten met de assen en andere speciale punten. Zoek waar de functie nul is (snijpunt met x-as) (nulpunten van de teller): soms moet je eerst alles op gelijke noemer zetten Wat is de functiewaarde voor x=0 (snijpunt met y-as)? Bereken hier later ook de functiewaarden van maxima, minima en buigpunten 3. Asymptoten1 4. Eerste Afgeleide 5. Tweede Afgeleide 6. Tekenonderzoek van de afgeleiden + interpretatie Nulpunten van de afgeleiden leveren speciale punten waarvan zeker de functiewaarde dienen onderzocht te worden Maximum: eerste afgeleide is nul en gaat van positief naar negatief of tweede afgeleide is negatief Minimum: eerste afgeleide is nul en gaat van negatief naar positief of tweede afgeleide is positief Buigpunt: tweede afgeleide is nul en verandert van teken. Bereken de afgeleide in de buigpunten en bepaal zo de raaklijn. 7. Grafiek Een grafiek vat op een visuele wijze alle informatie samen die uit de vorige onderwerpen is bekomen. Oefeningen: Bespreek de volgende functies 3 2 f ( x) = x 3 + 9 x f ( x ) = x4 − 4 3 x − 4x f ( x) =

x2 − 4 x x−2

f ( x) =

f (x ) =

2x − 4 x+3

f (x ) =

1

x3 4 − x2 x2 x −4 2

f ( x) = x +

1 x2

f ( x) = ( x + 1) 3( x − 1) f (x ) =

4x − 12 x − 4x + 4 2

Hier gaan wij niet op in tijdens deze cursus



W.Mommaerts

Afgeleiden

8

6. Methode van Newton Herinner je dat de raaklijn in een punt (a,g(a)) een goede benadering is van de functie in de omgeving van dat punt. De vergelijking van de raaklijn wordt gegeven door y=g(a)+g’(a)(x-a). Als uw punt a nu voldoende dicht bij een nulpunt zal gekozen worden zal het snijpunt van de raaklijn met de x-as een goede benadering zijn voor het echte nulpunt van deze functie. g( a ) Dat snijpunt wordt gegeven door x = a − (tenminste als g’(a) niet gelijk is aan 0). g' (a )

Dit suggereert een nieuw algoritme (methode van Newton) • Kies x0 =a (hopelijk niet al te ver van een nulpunt) g( x i−1 ) • Bereken x i = x i−1 − g'( x i−1 ) • Herhaal de vorige stap totdat | x i - x i−1|<ε* voorbeeld 8: Beschouw de functie g(x)=x3 +2x-1 g( x i− 1 ) x 3 + 2 x i−1 − 1 x i = x i−1 − = x i−1 − i−1 g '( x i−1 ) 3x i−1 2 + 2 3x i−13 + 2 x i−1 − x i−13 − 2 x i−1 + 1 = 3x i−12 + 2

i 0 1 2

xi 0.5

g(xi)

2 x i−1 3 + 1 = 3x i−12 + 2 Stelling: Als g(a).g(b)<0, g’(x) en g”(x) continu zijn en veranderen niet van teken in het interval [a,b] 1 M2 Dan | w − x i |≤ | w − xi −1 | 2 2 m1 met 0 < m1 ≤| g' ( x)| ≤ M 1 en 0 ≤ m2 ≤| g"( x)| ≤ M 2 < +∞ voorbeeld 8: g(x)=x3 +2x-1 g’(x) = 3x2 +2 g”(x) = 6x

neem a=0.4 en b=0.6 dan g(a)=-0.13 en g(b)=0.41

Neem x0 =0.5

m1 =g’(a)=2.48 M2 =g”(b)=3.6

Uit de middelwaardestelling en bovenstaande |w-x0 |<0.1:=ε 0 Dus ε 0 =0.1 noemen we een bovengrens op de fout


observaties

kunnen


M2 =0.73 2 m1 we afleiden dat

W.Mommaerts

Afgeleiden

Uit de stelling kunnen we echter ook een schatting maken op de bovengrens voor de fout van de i-de M benadering ε i ≤ 2 ε i − 12 . Dit kan in de volgende tabel 2m1 worden samengevat:

9

i 0 1 2

xi 0.5

ε1 0.1

Implementatie in Excel Deze methode leent zich uitstekend om uitgevoerd te worden in een rekenblad zoals Excel. • Maak vooreerst een visgraad bestaande uit twee rijen: de x-waarden en de overeenkomstige functiewaarden. Een grafiek (type spreiding) zorgt voor een eenvoudige visuele interpretatie. • Kies nu met behulp van grafiek en visgraad twee waarden a en b zodat hun overeenkomstige functiewaarden verschillen van teken. Zet er voor alle zekerheid hun functiewaarde g(a) en a+b g(b) nog eens naast. Bereken het midden van a en b: m = en diens functiewaarde 2 g(m). Bereken ε 0 als de helft van het interval [a,b] via de formule =abs(b-a) • Vervolgens bereken je voor de betreffende functie de eerste afgeleide g’(x) en de tweede afgeleide g”(x) en zoekt voor beide afgeleiden wat de uiterste waarden zijn binnen het interval [a,b]: 0 < m1 ≤| g' ( x)| ≤ M 1 en 0 ≤ m2 ≤| g"( x)| ≤ M 2 < +∞ en bereken tenslotte de M2 M2 2 termen en ε . Indien deze tweede term niet kleiner is dan ε 0 . Dan herhaal je de 2m1 2m1 0 vorige stap en deze met a en b, dichter bijeen, waardoor deze afschatting kleiner zal worden. • Nu kan je de methode van Newton opstarten met als start waarde (stap 0) de waarde m en eerste afschatting van de fout: ε 0 . Bereken in de eerste en volgende stappen de waarde g ( x i − 1) M x i = x i −1 − alsook de waarde ε i = 2 ε i −12 g ' ( x i − 1) 2 m1 • Herhaal deze laatste stap totdat de afschatting van de fout een beoogde grens heeft behaald door deze tweede rij gewoon door te voeren.



W.Mommaerts

Afgeleiden

10

Uitgewerkt voorbeeld 9 Benader de reële nulpunten van de functie f(x)=x7 +x6 -1. Maak (vooraf) een foutenanalyse. Eerst en vooral kijken we een paar punten na: f(0)=-1 en f(1)=1. We zijn dus al zeker dat er een nulpunt ligt tussen de waarden x=0 en x=1. Dit suggereert ons om de methode van Newton toe te passen met als startwaarde x0 =0.5. Hiervan weten we ook dat de fout ε 0 op deze benadering zeker kleiner is dan 0.5. Als we de methode van Newton gaan gebruiken dan wordt ons gegarandeerd dat de fout op de M 2 nieuwe benadering: ε 1 ≤ 2 ( ε 0 ) waarbij M2 de maximale absolute waarde is die de tweede 2 m1 afgeleide bereikt in het te onderzoeken interval (in ons geval I=[ 0,1] ), en m1 is de kleinste absolute waarde van de eerste afgeleide over datzelfde interval I. f(x)=x7 +x6 -1, f’(x)=7x6 +6x5 , f”(x)=42x5 +30x4 , f”’(x)=210x4 +120x3 . Merk op dat al deze afgeleiden positief zijn tussen 0 en 1, zodat de functie, de eerste en tweede afgeleide stijgende functies zijn (bergop lopen); dit is belangrijk als we de maximale en minimale waarden over een interval willen nagaan; deze liggen immers op de uiteinden. m 1 = min f ' ( x ) = f ' ( 0) = 0 x∈I

Hieruit moeten we concluderen dat het interval I zeker niet goed is om een foutenanalyse op uit te voeren. Uit het feit dat f(0.5)=-0.97, kunnen we besluiten dat er zeker een nulpunt tussen 0.5 en 1 moet liggen. Neem bijgevolg voor I=[0.5,1]. De initiële fout ε 0 is in dit geval kleiner dan 0.25. m 1 = min f ' ( x) = f ' (0.5) = 0.29 x∈I

M 2 = max f "( x ) = f " (1) = 72 x∈ I

M2 (ε 0 )2 ≤ 72 (0.25)2 = 7.75 . Dit gaat duidelijk nog niet 2m1 2 * 0.29 de goede kant op. Opgelet, als je de methode van Newton zou uitproberen met als startwaarde x0 =0.75 zal deze uiteindelijk toch het juiste resultaat gaan benaderen maar het is de bovengrens op de fout die absoluut niet nauwkeurig genoeg is. Dit zou betekenen dat ε1 ≤

Na nog een paar stappen blijkt dat f(0.75)=-0.688 en f(0.9)=0.00976. Dus in het interval I=[0.75,0.9] ligt zeker een nulpunt. Als je als eerste benadering x0 =0.825 neemt dan is ε 0 =0.075. m 1 = min f ' ( x ) = f ' (0.75) = 2.67 M x∈I en ε1 ≤ 2 (ε 0 ) 2 ≤ 8.33(0.075)2 = 0.046 M 2 = max f "( x ) = f " (0.9) = 44.48 2m1 x∈I

We voeren tenslotte nog even de methode van Newton uit: iteratie

x 0 1 2 3 4 5

0,825 0,919347 0,899896 0,898658 0,898654 0,898654


f(x) -0,42458 0,158856 0,008979 3,4E-05 4,91E-10 0

f'(x) 4,500188 8,166901 7,258382 7,203551 7,203343 7,203343

ε 0,075 0,046863 0,018297 0,002789 6,48E -05 3,5E -08


W.Mommaerts

Afgeleiden

11

7. Min-max problemen Voorbeeld 10 Beschouw twee getallen a en b zodat hun som gelijk is aan 50. Voor welke waarden van a en b zal a*b maximaal zijn? Het is nu goed mogelijk om enkele combinaties voor a en b te proberen, bijvoorbeeld 20 en 30 (20*30=600) of 10 en 40 (10*40=400). En via deze weg van proberen en uittesten kom je misschien tot de eindconclusie dat 25 en 25 wellicht de beste oplossing is. Maar echt bewijzen kan je dit niet op deze manier. Uit het gegeven blijkt echter dat de twee getallen a en b niet onafhankelijk zijn van elkaar. Als je a kent, vind je b=50-a of omgekeerd is a=50-b. Met deze wetenschap is a.b=a.(50-a)=50a-a2 . Dit is een kwadratische uitdrukking in a, die je als een functie f(a) kan beschouwen. De grafiek van deze functie is trouwens een parabool. De functie zal een maximum kennen als f’(a)=0 en als f”(a)<0. De voorwaarde f’(a)=50-2a=0 impliceert dat a=25. Het feit dat f”(25)=-2 bevestigt dat a=25 en b=25 een maximaal produkt zullen hebben. Min-max probleem: Dit is een vraagstuk waarbij een aantal onbekende parameters worden gezocht die een zekere doelfunctie gaan extremaliseren (maximum of minimum). Uit de gegevens kan echter vaak een verband tussen de verschillende grootheden worden afgeleid waardoor de doelfunctie eigenlijk alleen nog zal afhangen van één veranderlijke. De optimale oplossing wordt dan gevonden door het zoeken van het nulpunt van de eerste afgeleide. Een bijkomende controle van de tweede afgeleide (of een tekenonderzoek van de eerste afgeleide) zal bevestigen of het hier om een maximum (f”<0) dan wel om een minimum (f”>0) gaat.

Oefeningen 1. Vindt een getal tussen 0 en 1 waarvoor de functie x-x2 een extremum bereikt. Is dit een minimum of een maximum? 2. Voor welke waarden van a en b zal a+b extreem zijn als a.b=100 3. Van een vierkant stuk karton (zijde 1m), maakt men een doos (zonder deksel) door in elke hoek een vierkantje met zijde x weg te snijden en de randen om te plooien. Bepaal x zodat de inhoud van de doos maximaal is. 4. Een fabrikant wil cilindervormige bussen maken met een inhoud van 330 cm3 Wat zijn de afmetingen als hij een minimum aan materiaal wil gebruiken. 5. Er wordt gevraagd een gesloten doos te construeren met een vierkant grondvlak en een inhoud van 1l. Bepaal de afmetingen opdat een minimum aan karton zou worden gebruikt. 6. Vind de cilinder met het grootste volume dat kan ingeschreven worden in een kegel met straal 5cm en hoogte 12cm. 7. Gegeven een punt (x,y) op de cirkel x2 +y2 =1. Vanuit dit punt kan je een rechthoek conxtrueren door een loodrechte op de x-as, een loodrechte op de y-as tot aan het punt (x,y) en een loodrechte vanuit dit punt (-x,y) op de x-as. De vierde zijde wordt gevormd door de x-as zelf. Bepaal het punt (x,y) zodat de grootst mogelijke rechthoek wordt beschreven. Hoe groot is deze rechthoek?



W.Mommaerts

Afgeleiden

12 RIVIER

8. Een boer wil een stuk land omheinen aan de rand van een rivier. Omheining van het type X kost 800fr/m en deze van het type Y kost 1200fr/m. De boer heeft een totaal budget van 360000fr. Hoe kan hij best x en y nemen opdat de wei zo groot mogelijk zal zijn?

X

X

Y

9. Een draad moet in 2 stukken worden gesneden; één stuk moet dienen om een vierkant te vormen, het andere zou een cirkelomtrek beschrijven. De totale oppervlakte van beide figuren moet 16m2 bedragen. Wat is het langst mogelijke touw dat kan gebruikt worden. 10. In een gelijkbenige driehoek abc is d(c,b)=20cm en is de hoogte 10cm vanuit het hoekpunt a. Men construeert een rechthoek waarvan één hoekpunt tot de rechte ab behoort en één ander tot ac. Den andere hoekpunten liggen op het lijnstuk tussen b en c. Wanneer is de oppervlakte van de rechthoek maximaal? 140

a

10 b

c

20

11.Een gang heeft de volgende vorm: Zoek de lengte van de langste ladder die men evenwijdig met de vloer om de hoek kan draaien. (A)

180

12.Na de ontdekking van een nieuw olieveld dient er een 400km nieuwe pijpleiding aangelegd te worden tussen de hoofdhaven (A) en de hoofdstad (B). Om communautaire perikelen te omzeilen dient dit te 500km (O) gebeuren met een beperkt budget (minimaal). De pijpleiding langs de kust(OA) kost 500freulo/km, landinwaarts is de pijpleiding echter duurder 1000freulo/km. Hoe zal het goedkoopste traject eruitzien en welk prijskaartje hangt daaraan?



W.Mommaerts

(B)

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Recommend Documents