2/09/2007
Afgeleiden met DERIVE.dfw
18:48:02
Afgeleiden berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouwd waarmee je ook op papier afgeleiden berekent: lineariteit, product- en quotiëntregel, kettingregel. Op de knoppenbalk zie je een groepje van vijf knoppen voor analyse. Voor afgeleiden gebruiken we het tweede, met als opdruk een ouderwetse kleine letter 'd' (i.p.v. de hoofdletter 'D' die we meestal gebruiken in de les).
Begin met een uitdrukking in te voeren voor het functievoorschrift, bvb.: #1:
x
3
2
- 2·x
+ 1
Selecteer uitdrukking (#1) en klik op de afgeleide-knop. Je krijgt het volgende dialoogvenster te zien:
In het veld 'Variabele' typ je de letter die het origineel (de startwaarde) voorstelt voor de functie. In de lessen Wiskunde nemen we hiervoor standaard de letter x, maar in toepassingen is dat een luxe die je je vaak niet kan verantwoorden. Het zou zeer onhandig zijn moest je in DERIVE geen andere letter mogen gebruiken. Door in het veld 'Orde' een hogere waarde in te typen kan je in één keer ook de tweede, derde, ... afgeleide berekenen. Klik tenslotte op de knop [OK], en als alles goed gaat antwoordt DERIVE met #2:
d 3 2 —— (x - 2·x + 1) dx
Zoals wel meer gebeurt toont DERIVE de opdracht die je zonet hebt gegeven. De berekening effectief uitvoeren vraagt dat je (#2) vereenvoudigt (knop [=] op de knoppenbalk). Merk op dat DERIVE de notatie 'd/dx' gebruikt als afgeleidesymbool, en niet de vertrouwde hoofdletter 'D'. Je kan iets sneller resultaat bereiken door in het dialoogvenster de knop [Vereenvoudig] te kiezen. Uiteindelijk krijg je dan toch het antwoord dat je al lang zelf had berekend: 2 3·x - 4·x
#3:
Probeer nu ook eens de iets complexere formule, die op papier toch al snel een half blad rekenwerk vraagt: #4:
2 ‚ ¦ x + x + 1 ¦ ‹¦————————————¦ ¦ 2 ¦ x - x + 1 ƒ Blz. 1
2/09/2007
#5:
Afgeleiden met DERIVE.dfw
2 ‚ d ¦ x + x + 1 ¦ —— ‹¦————————————¦ dx ¦ 2 ¦ x - x + 1 ƒ
#6:
18:48:02
2 1 - x ——————————————————————————————— 2 2 3/2 ‹(x + x + 1)·(x - x + 1)
Een alternatieve methode om het dialoogvenster voor afgeleiden te krijgen is via het menu /Analyse/Afgeleide ... , waar je ook de sneltoets Ctrl-Shft-D vindt om nog sneller te werken. Wie echter goed kan typen zal waarschijnlijk het liefst het dialoogvenster omzeilen en met de dif-functie werken. Om een afgeleide te berekenen met de dif-functie typ je in de opdrachtregel een instructie van de vorm dif(u , v , w) waarin u een uitdrukking (of haar volgnummer) is, v het symbool voor het origineel en w de orde van de afgeleide. Het derde argument w van de dif-functie mag weggelaten worden. DERIVE kiest dan voor een eerste afgeleide. Op het scherm wordt deze dif-functie op dezelfde manier getoond als in (# 2) of (#5). Probeer eens met dif(sin(x) , x )= De invoer afsluiten met een '='-teken zorgt er voor dat DERIVE op dezelfde regel zowel de opdracht als de vereenvoudiging toont: d —— SIN(x) = COS(x) dx
#7:
Nog twee subtiele details i.v.m. het rekenen met afgeleiden in DERIVE, die je anders misschien voor raadsels zouden kunnen stellen: • Gebruik de notatie y = ... niet om in DERIVE een functie te definiëren. De berekening hieronder laat zien wat er gebeurt: #8: #9:
3
y = x
d 3 —— (y = x ) dx
#10:
2
0 = 3·x
De reden voor dit op het eerste zicht eigenaardig resultaat is dat y = x^3 door DERIVE niet als een functiedefinitie maar als een vergelijking wordt gezien. DERIVE berekent de afgeleide van elk lid afzonderlijk, en omdat elke andere letter dan 'x' als een constante wordt beschouwd wordt het linkerlid na afleiden nul. Om y als afkorting voor f(x) te gebruiken moet je het definitiesymbool ':=' gebruiken, dus: #11: #12:
3 y := x
d 3 —— y := x dx
Blz. 2
2/09/2007
Afgeleiden met DERIVE.dfw
18:48:02
2
#13:
3·x
De letter y alleen volstaat vanaf nu om de functie x |--> x^3 mee aan te duiden: d 2 —— y = 3·x dx
#14:
Wil je y opnieuw 'ontdefiniëren' dan typ je 'y :=' , dus zonder rechterlid: #15:
y :=
#16:
d —— y = 0 dx
Nog beter is het om echte functienotatie te gebruiken. Typ je 'f(x) := ...' dan is f vanaf dat ogenblik een functie-symbool met een zogenaamde formele parameter x. Dit betekent dat je in de plaats van x om het even welke veranderlijke mag typen in f(), waarna DERIVE automatisch ook in het rechterlid de gepaste substitutie maakt. In het volgende voorbeeld definiëren we in (#17) een functie met de veranderlijke x, en berekenen daarna enkele waarden met andere variabelen: #17:
3 f(x) := x - x
#18:
3
f(a) = a
#19:
- a
f(3) = 24
b ‚ b·(2·b + 1) f¦———————¦ = - ————————————— b + 1 ƒ 3 (b + 1)
#20:
• Alle afgeleideberekeningen in DERIVE geven functies als resultaat. Wil je de afgeleide in één enkel punt dan moet je achteraf aan de variabele in deze functie een waarde toekennen. In de Wiskundeles is het gebruikelijk om de afgeleide in één punt x = a aan te duiden met de formule Df(a), in concrete gevallen bvb. Df(1) voor de rico van de raaklijn t_1. In DERIVE geeft dit niet het verhoopte resultaat, zoals de volgende berekening laat zien: #21: #22: #23: #24:
3 f(x) := x
d 2 —— f(x) = 3·x dx d —— f(1) = 0 dx d —— f(a) = 0 dx
De twee laatste berekeningen tonen dat DERIVE eerst de waarde 1, resp. a, toekent aan de variabele x en pas daarna de afgeleide berekent, die, als afgeleide van een constante, inderdaad nul is. Om nu achteraf, in het resultaat van de afgeleide, aan x een waarde toe te kennen, selecteer je de afgeleide functie en kies je in het menu /Vereenvoudigen/Variabele Substitueren. Voor Df(2) in Blz. 3
2/09/2007
Afgeleiden met DERIVE.dfw
18:48:02
formule (#22) krijg je het volgende dialoogvenster te zien:
In het veld "Nieuwe waarde" het getal 2 typen en [OK] klikken geeft (#25), wat nog moet vereenvoudigd worden. Afsluiten met de knop [Vereenvoudig] geeft direct (#26). #25: #26:
3·2
2 12
Ook voor dit dialoogvenster bestaat een equivalente DERIVE-functie, die handiger werkt als je goed kan typen. Deze functie volgt het patroon SUBST(u , v , w) waarin u een uitdrukking is, v een variabele uit u, en w de waarde waardoor v moet worden vervangen. Je kan (#26) dus ook berekenen door in de invoerregel subst(3x^2 , x , 2) = te typen, waarbij de de formule 3x^2 uit (#22) kan kopiëren met
: 2 SUBST(3·x , x, 2) = 12
#27:
Om te besluiten laten we nog eens zien hoe je de rekenregels voor afgeleiden uit het programma DERIVE kan halen. Hiervoor maken we gebruik van abstracte functies. Deze worden gedefiniëerd met een lege definitieformule, zoals hieronder in (#28): #28:
u(x) :=
#30:
f(x) :=
#29:
v(x) :=
We hebben nu drie abstracte functies, waarvan we de afgeleide kunnen berekenen. Aangezien er geen concrete definitieformule is, kan deze afgeleide enkel symbolisch aangeduid worden, en niet concreet berekend: #31:
d —— u() = u'(x) dx
DERIVE gebruikt dus een accent NA het functiesymbool om de afgeleide aan te duiden. Dit is een traditionele notatie, ook al gebruiken we die zelden in de les. Merk op dat je in het linkerlid (de invoer) wel de haakjes moet schrijven, maar niet noodzakelijk een argument ertussen. Als je wel een Blz. 4
2/09/2007
Afgeleiden met DERIVE.dfw
18:48:02
argument gebruikt moet dat overeenstemmen met de veranderlijke in de afgeleide: d —— u(x) = u'(x) dx
#32: werkt ook, maar
d —— u(y) = 0 dx
#33:
niet. De berekeningen hieronder laten zien dat DERIVE bij het vereenvoudigen van afgeleiden dezelfde regels gebruikt als wij: #34:
d —— (©·u() ± ß·v()) = ± ß·v'(x) + ©·u'(x) dx
Dit is de lineariteitsregel, met een wat eigenaardige volgorde van de termen in het RL. De invoer met een '+'-teken schrijven volstaat om DERIVE de volgorde van de termen te laten behouden. #35:
d —— (©·u() + ß·v()) = ©·u'(x) + ß·v'(x) dx
Vervolgens de productregel (regel van LEIBNIZ): #36:
d —— (u()·v()) = v(x)·u'(x) + u(x)·v'(x) dx
met opnieuw de 'verkeerde' volgorde in het RL. De quotiëntregel: #37:
d u() v(x)·u'(x) - u(x)·v'(x) —— ————— = ————————————————————————— dx v() 2 v(x)
en tenslotte de kettingregel: #38:
d —— f(u()) = u'(x)·f'(u(x)) dx
hetgeen op enkele overbodige haken en x-en - en de volgorde in het RL - ook de vorm is die we in de Wiskundeles schrijven.
Blz. 5
