Hoofdstuk 2 Een DERIVE-tour
In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen.
2.1 Exact en benaderend rekenen Met de standaardinstelling van Derive levert een gelijkheidsteken of uitwerking van een uitdrukking :
de exacte
Met verkrijg je een decimale benadering met 10 beduidende cijfers. Voor een ander aantal gebruik je de functie approx :
Je mag de ingebouwde functies (zoals approx) intikken met kleine letters. In het algebra-venster verschijnen steeds hoofdletters. De irrationale getallen π en e alsook het complexe getal i (met i 2 = −1 ) kan je snel invoeren door het gelijktijdig indrukken van de toetsen Ctrl + p, Ctrl + e, en Ctrl + i .
Hierbij verschijnen e en i als respectievelijk eˆ en iˆ in het algebra-venster, dit om een onderscheid te maken tussen gewone één-letter-variabelen met dezelfde naam. Tenslotte vermelden we nog de snelle invoer Ctrl + q voor het
- symbool.
2.2 Faculteiten Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 50! = 50 ⋅ 49 ⋅ 48L 3 ⋅ 2 ⋅ 1 (lees 50 faculteit) ?
I.p.v. het aantal cijfers te tellen levert
de benadering
.
Het getal bestaat uit 65 cijfers. Een andere werkwijze is het aantal karakters te bepalen waaruit het getal bestaat met het DIM-commando. Hiervoor moeten we het getal eerst omzetten in een woord met het STRING-commando.
We ontbinden 50! in priemfactoren met de functie factor.
Klaarblijkelijk bevat 50! de factor 10 12 = 2 12 ⋅ 5 12 en geen hogere macht van 10. Hieruit kan je besluiten dat het getal eindigt op 12 nullen. Ga na dat 2002! een getal is van 5743 cijfers. Dit getal verschijnt erg snel op je scherm (de rekentijd vind je rechts op de infolijn). De ontbinding in priemfactoren van 2002! is een zeer rekenintensieve opdracht die je computer te lang laat rekenen (onderbreek met abort). Om te weten op hoeveel nullen 2002! eindigt volstaat het echter om na te gaan hoeveel factoren 5 er in het getal aanwezig zijn. Hiertoe bepalen we het aantal veelvouden van 5 , 25 = 52 , 125 = 53 en 625 = 54 in de getallen 1, 2,3,K , 2002 . Welnu, deling van 2002 door 5, 25, 125, 625 levert als quotiënten 400, 80, 16 en 3. Het getal 2002! eindigt dus op 400 + 80 + 16 + 3 = 499 nullen !
2.3 Elementaire algebra 2.3.1
Bewerkingen met veeltermen
Een krachtig aspect van een computeralgebrapakket is dat het symbolisch rekenwerk kan verrichten volgens de regels van de algebra.
DERIVE voert o.a. de volgende vereenvoudigingen automatisch uit.
De vermenigvuldiging kan je impliciet invoeren als 5x of expliciet als 5 ∗ x . Dit geldt ook voor xy of x ∗ y .
2.3.2
Ontbinden in factoren
Voer de uitdrukking 2 x 5 + 7 x 4 + 18x 3− 27 x 2 − 44 x + 26 in, selecteer de optie Factor van het Simplify–menu en kies voor Rational.
Klik vervolgens op OK en op de sneltoets
. Dit geeft :
Klikken op Factor i.p.v. op OK geeft rechtstreeks de ontbinding. Bestudeer het effect van de keuze Radical en Complex :
Bovenstaande werkwijze geldt voor elke functie die je aanspreekt via een menu. • • • •
Voer de te bewerken uitdrukking in en/of selecteer deze in het algebra-venster. Kies de gepaste functie uit het menu. Een nieuw menu of venster verschijnt. Kies de gewenste optie of vul de nodige gegevens in. Klik OK om de opgave te laten verschijnen en klik op voor het resultaat. De knop naast OK levert rechtstreeks het resultaat.
Het is handig om een uitdrukking in het algebra-venster te gebruiken voor een nieuwe opgave. Selecteer hiervoor eerst de uitdrukking in het algebra-venster en breng deze met F3 naar de invoerlijn. Op deze wijze leer je ook hoe je de functie rechtstreeks kan intikken via de invoerlijn.
2.3.3
De Expand-functie
Met de Expand-functie uit het Simplify-menu kan je haakjes uitwerken, een rationale functie splitsen in partieelbreuken en een Euclidische deling van veeltermen uitvoeren. a) Haakjes uitwerken Het expanderen van
( a + b + c )3
naar alle variabelen en naar a alleen levert :
b) Splitsen in partieelbreuken Het splitsen in partieelbreuken van
3x + 5 x2 − 5x + 6
geeft :
Voor
3x + 5 x2 − 2
verkrijg je volgend resultaat :
Het Expand-commando alleen volstaat hier niet. Selecteer de breuk
3x + 5
x2 − 2 gebruik de optie Expand uit het Simplify–menu. Kies Radical voor Amount.
en
Expanderen van de beide tellers van bovenstaand resultaat geeft :
c) Euclidische deling van veeltermen We bepalen het quotiënt en de rest bij deling van de veelterm x 4 + 3x 2 + 3x + 1 door x3 + x2 + x + 1 . Bij deling van een veelterm A door een veelterm B verkrijgen we een quotiënt Q en R A R een rest R zodat A = B ⋅ Q + R of gesplitst in een = Q + . Hierbij wordt B B B som van partieelbreuken. Het uitvoeren van het Factor-commando op deze som R geeft de breuk . B
Het quotiënt en de rest vind je ook met de functies quotient en remainder.
2.3.4
Vergelijkingen en ongelijkheden
De optie Expression uit het Solve–menu (sneltoets ) kan je kiezen voor het oplossen van een vergelijking of ongelijkheid. We geven enkele voorbeelden. Voorbeeld 1 : x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 Voer eerst de vergelijking in en klik vervolgens op
Klik op OK en vervolgens op
Voorbeeld 2 :
2 3 ≤ x −1 x + 2
Voorbeeld 3 : ax 2 + bx + c = 0
:
:
Voorbeeld 4 Vergelijkingen die men niet exact kan oplossen, kunnen numeriek worden opgelost. Bijvoorbeeld e x = x + 2 . Een ruwe manuele schets van de functies in beide leden toont vlug dat er een positieve en een negatieve oplossing is in het interval [−2,2] . Voer eerst de vergelijking in, klik vervolgens op verschijnt als volgt in.
Klik dan op OK en
en vul het venster dat
.
Selecteer de bovenstaande tweede opdracht, breng ze naar de invoerlijn met F3 en wijzig het interval in [0,2].
2.4 Calculus Met de items uit het Calculus-menu (of de corresponderende sneltoetsen) kan je o.a limieten, afgeleiden (al dan niet partieel), integralen, eindige of oneindige sommen (reeksen) en Taylorreeksen berekenen. We geven voor ieder item een voorbeeld.
Voorbeeld 1 -
: lim
x →2
x 2 + 12 − 2 x . x−2
Breng met F3 de limietuitdrukking naar de invoerlijn :
Het laatste cijfer 0 is voor een tweezijdige limiet (dit mag je ook weglaten). Voor de linkerlimiet vul je een negatief getal in (bv. -1) en voor de rechterlimiet een positief getal (bv. 1). Voorbeeld 2 -
:
Voorbeeld 3 -
:
d ⎛ 3x + 5 ⎞ ⎜ ⎟. dx ⎝ x 2 − 5 x + 6 ⎠
x
∫ ( x + 1) .( x 2
2
)
+1
dx .
n
Voorbeeld 4 -
:
∑k
3
.
k =1
Voorbeeld 5 : De 5de orde Taylorveelterm van e x rond het punt 0.
2.5 Variabelen en functies Voor het definiëren van variabelen en functies via de invoerlijn gebruik je het symbool “: =”.
Een variabele kan je meermaals definiëren via de invoerlijn. DERIVE gebruikt dan telkens de laatste definitie voor verdere berekeningen. Opgelet, verplaatsen of wissen van regels in het algebra-venster heeft hierop geen invloed.
Met de optie Variable Domain uit het Declare-menu kan je een verzameling definiëren waartoe een variabele behoort. Dit kan invloed hebben op algebraïsche vereenvoudigingen. Heel wat vereenvoudigingen worden, met de standaardinstellingen van DERIVE, complex uitgewerkt.
Substituties kan je uitvoeren met de optie Variable Substitution (sneltoets ) uit het Simplify–menu of met de optie Subexpression Substitution om een variabele of een geselecteerde deeluitdrukking te vervangen door een uitdrukking. De onderstaande functies zijn enkele van de functies die standaard aanwezig zijn in DERIVE . exp(x) ln(x), log(x) log(x,a) sqrt(x) sin(x), cos(x), tan(x) asin(x), acos(x), atan(x) abs(x)
exponentiële functie met grondtal e logaritmische functie met grondtal e logaritmische functie met grondtal a
x goniometrische functies cyclometrische functies absolute waarde van een reëel getal, modulus van een complex getal
Raadpleeg de optie Contents van het Help-menu voor de andere ingebouwde functies. Het is vaak handig om een ingebouwde functie een nieuwe naam te geven :
2.6 Vectoren Een vector groepeert een aantal objecten en wordt ingegeven met vierkante haakjes. De opeenvolgende elementen worden gescheiden door een komma. Tekst (tussen aanhalingstekens) kan ook dienen als element.
Voer de vector [ "drie eerste priemgetallen" , 2 , 3 , 5] in :
Met de sneltoets kan je een vector definiëren via een venster door het invullen van het aantal elementen en de opeenvolgende elementen. Erg handig is het genereren van een vector met het vector-commando. De uitdrukking VECTOR (k ^ 2, k ,1,5) genereert de vector [1,4,9,16,25]. Lees VECTOR (k ^ 2, k ,1,5) als de vector met elementen van de vorm k 2 , waarbij k loopt van 1 tot 5 (in stappen van 1, een andere stapgrootte geef je aan met een extra argument achteraan) .
Je kan dezelfde vector genereren door eerst de algemene term k 2 in te voeren en vervolgens met de optie Vector van het Calculus-menu de grenzen en de stapgrootte van de lopende variabele aan te geven.
Met de functie Select kan je een vector genereren van elementen met een bepaalde eigenschap.
2.7 Grafieken 2.7.1
Het plotten van grafieken
Voer eerst het functievoorschrift in in het algebra-venster in de vorm van x 4 − 10 x 2 + 1, y = x 4 − 10 x 2 + 1 of f ( x) := x 4 − 10 x 2 + 1 . Klik vervolgens op
.
Een 2D-plot-venster verschijnt. Klik opnieuw op van de functie te tekenen.
in dit venster om de grafiek
Standaard wordt een grafiek getekend met x en y in het interval [−4,4] . Dit is vaak geen geschikt venster. Gebruik de pictogrammen een mooi beeld krijgt van de grafiek.
om in of uit te zoomen zodat je
Je kan ook een venster definiëren met de optie Plot Region of Plot Range uit het Set-menu. Om de grafiek van een andere functie toe te voegen, klik je op om naar het algebra-venster te gaan. Selecteer de nieuwe functie en plot de functie.
grafiek van y = x 4 − 10 x 2 + 1
2.7.2
Het traceren van een grafiek
D.m.v. de Trace-mode (functietoets F3 of sneltoets ) kan je je bewegen op de grafieken met de pijltjestoetsen ← en → . Indien er meerdere grafieken geplot zijn, kan je de gewenste grafiek in de Trace-mode selecteren met de pijltjestoetsen ↑ en ↓. Linksonder bevinden zich de coördinaten van het punt van de grafiek waar je je bevindt. Dit is handig om te bepalen waar zich ongeveer een nulpunt bevindt van de functie. Het uitzetten van de Trace-mode doe je door nogmaals F3 of
2.7.3
te drukken.
Meerdere grafieken gelijktijdig tekenen
Wanneer je DERIVE vraagt een vector van minstens 3 functies te tekenen, worden deze functies één na één getekend. Hiermee is het mogelijk parameterinvloeden op de grafiek van functies te onderzoeken. Voer VECTOR (k cos( x), k ,1,5) in en werk uit met
.
Dit geeft de vector [ cos( x) , 2cos( x) , 3cos( x) , 4cos( x) , 5cos( x) ]. Het plotten van deze uitdrukking levert meteen de grafieken van de 5 functies in die vector. De uitdrukking VECTOR (k cos( x), k ,1,5) kan niet rechtstreeks geplot worden. Met de sneltoets wis je de laatst getekende grafiek en met grafiek voorzien van tekst. Je wist alle grafieken met Ctrl + D.
kan je een
Twee functies in één keer tekenen kan met het trucje : [cos( x),cos( x + π / 4),?]
2.7.4
Parameterkrommen
Voor het tekenen van een parameterkromme gebruik je een vector met twee functies van één parameter. DERIVE interpreteert deze vector als een koppel coördinaten. Na opgave van de grenswaarden van de parameter wordt de kromme geplot.
[cos(t ),sin(4t )] met t ∈ [0, 2π ]
Gebruik voor het invoeren van 2π als grenswaarde 2pi. Parameterkrommen zijn handig voor het tekenen van de grafiek van een functie en de inverse relatie. Maak bijvoorbeeld een grafiek van [t ,sin(t )] en [sin(t ), t ] met
t ∈ [−2π ,2π ]. Voor het creëren van een orthonormaal assenstelsel, zie paragraaf
2.8.
2.7.5
Grafieken van f(x,y) = 0
Impliciet gedefinieerde functies kunnen zonder meer getekend worden. Hieronder vind je de grafiek van het folium van Descartes met als vergelijking x3 + y3 − 3xy = 0 . DERIVE kan geen impliciet gemaakte grafieken traceren.
2.7.6
Krommen gedefinieerd in poolcoördinaten
Kies met de optie Coordinate System uit het Set-menu van het 2D-plot-venster voor polar. Plaats de uitdrukking r = 1 + cos (θ ) in het algebra-venster en plot deze uitdrukking na het invullen van de grenzen voor de poolhoek θ .
2.7.7
3D-grafieken
Om een grafiek te plotten van de functie z = f ( x, y) selecteer je eerst deze uitdrukking in het algebra-venster. Klik op om een 3D-plot-venster te openen. Klik nog eens op grafiek te plotten.
om de
⎛ x2 + y 2 ⎞ cos ⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝ z= 3 + x2 + y 2
Deze grafiek werd verkregen door enkele aanpassingen in het 3D-Plot-venster met de opties Plot Range en Options Display van het Set-menu. Merk op dat rechtsklikken op of naast de grafiek in het 3D-venster extra mogelijkheden biedt. Met de sneltoetsen Met
kan de grafiek roteren.
kan je doorsneden bestuderen met vlakken van de vorm x = c of y = c .
2.8 Nuttige tips Hoe verkrijg je een orthonormaal 2D-assenstelsel ? Via de optie Aspect Ratio van Set-menu. Druk op Reset. De grafiek van y = x1/ 3 wordt niet getekend voor x < 0 !? Kies via de optie Simplification Settings van het Declare-menu voor Real onder Branch. Hoe definieer je de functie f ( x) = x 2 met 0 ≤ x ≤ 2 ?
f ( x) := if ( 0 ≤ x ≤ 2, x ^ 2 )
⎧⎪ x + 1 als x < 0 Hoe definieer je de functie f ( x) = ⎨ 3 ? elders ⎪⎩ x
(
f ( x) := if x < 0, x + 1, x3
)
⎧ 2x Hoe definieer je de functie f ( x) = ⎨ ⎩ 3x
als 0 ≤ x < 2 ? als 2 ≤ x ≤ 4
f ( x) := if ( 0 ≤ x < 2, 2 x,if ( 2 ≤ x ≤ 4, 3x )) Hoe plaats je een grafiek in een algebra-venster ? Met de optie Embed van het File-menu van het Plot-venster. Hoe plaats je een algebra-venster en een plot-venster naast elkaar ? Met de optie Tile Vertically van het Window-menu. Hoe krijg je een overzicht van de vensters die gedefinieerd zijn ? Met de optie Display Tabs van het Window-menu. Onderaan verschijnen aanklikbare tabs waarmee je alle beschikbare vensters kan activeren. Hoe arceer je het gebied tussen de grafieken van twee functies f en g over het interval [ a, b ] ? DERIVE tekent alle punten ( x, y ) die voldoen aan de logische uitdrukking : .
