Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
1. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 2x3 + 3x2 − 1 függvényt! megoldás: Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja a derivált számszorosa (azaz a számszorzó differenciáláskor változatlan marad) f 0 (x) = 2(x3 )0 + 3(x2 )0 − 20 = 2 · 3x2 + 3 · 2x − 0 = 6x2 + 6x. 2. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ex · (sin x + cos x) függvényt! megoldás: Két függvény szorzatának a deriváltját úgy kapjuk, hogy a szorzat első tényezőjének a deriváltját megszorozzuk az ”eredeti” függvény második tényezezőjével, ehhez hozzádjuk az ”eredeti” függvény első tényezőjének a második tényező deriváltjával való szorzatát. Ezt felhszanálva f 0 (x) = ex (sin x + cos x) + ex (cos x − sin x) = 2 cos x ex . 3. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
x2 + sin x függvényt! cos x
megoldás: Hányadost úgy deriválunk, hogy a számláló deriváltját megszorozzuk a nevezővel, ebből levonjuk a számlálónak a nevező deriváltjával kapott szorzatát, majd az így kapott különbséget elosztjuk a nevező négyzetével. Ezt felhasználva f 0 (x) =
(2x + cos x) cos x − (x2 + sin x)(− sin x) . cos2 x
Felbontva a zárójeleket, és felhasználva a sin2 x + cos2 x = 1 trigonometrikus azonosságot f 0 (x) =
1 + 2x cos x + x2 sin x . cos2 x
4. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 5x7 + 6x2 + 7 függvényt! megoldás: Összeget tagonként deriválva f 0 (x) = 35x6 + 12x. 5. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 3x · log2 x függvényt! megoldás: A szorzat deriválási szabályát felhasználva f 0 (x) = 3x ln 3 · log2 x + 3x 1
1 . x ln 2
2
sin x 6. Feladat. Deriváljuk az f (x) = √ függvényt! x + x2 megoldás: √ 1 Felhasználva a x = x 2 azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát √ 1 − 12 2 cos x( x + x ) − sin x 2 x + 2x √ f 0 (x) = . ( x + x2 )2 √ x2 + 7 x 7. Feladat. Deriváljuk az f (x) = függvényt! x3 megoldás: √ 1 Felhasználva a 7 x = x 7 azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát √ 1 − 67 x3 − (x2 + 7 x) 3x2 2x + 7 x . f 0 (x) = x6 8. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 4x · lg x függvényt! megoldás: A szorzat deriválási szabálya szerint f 0 (x) = 4x ln 4 · lg x + 4x ·
1 . x ln 10
9. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x7 + 8x2 − 3 függvényt! megoldás: Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f 0 (x) = (x7 )0 + (8x2 )0 − 30 = 7x6 + 16x. 10. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 5x7 + 6x2 + 7 függvényt! megoldás: Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f 0 (x) = (5x7 )0 + (6x2 )0 + 70 = 35x6 + 12x. √ √ 11. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x2 + x + 3 x függvényt! megoldás: √ √ 1 1 A x = x 2 , illetve 3 x = x 3 felhasználása után az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy 1 1 1 2 1 1 f 0 (x) = 2x + x− 2 + x− 3 = 2x + √ + √ . 3 2 3 2 x 3 x2 12. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x + megoldás:
1 1 + 2 függvényt! x x
3
Felhasználva, hogy
1 x
= x−1 , továbbá, hogy
1 x2
= x−2 , majd az összeget tagonként deriválva
f (x) = 1 − x−2 − 2x−3 = 1 −
1 2 − 3. 2 x x
13. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 3 sin x + 5 cos x + 2 shx függvényt! megoldás: Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f 0 (x) = 3 cos x − 5 sin x + 2chx. 14. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 5x − log4 x függvényt! megoldás: Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f 0 (x) = 5x ln 5 − 15. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
1 . x ln 4
ex függvényt! sin x
megoldás: Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f 0 (x) =
(ex )0 sin x − ex (sin x)0 ex sin x − ex cos x = . sin2 x sin2 x
16. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x ln x függvényt! megoldás: Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f 0 (x) = x0 ln x + x(ln x)0 = ln x + x 17. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
2x log3 x
1 = ln x + 1. x
függvényt!
megoldás: Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt 2x ln 2 log3 x − 2x x ln1 3 (2x )0 log3 x − 2x (log3 x)0 f (x) = = . log23 x log23 x 0
18. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
x2 + 3x − 1 függvényt. ex
megoldás: Felhasználva a hányadosfüggvény deriválási szabályát f 0 (x) =
(x2 + 3x − 1)0 ex − (x2 + 3x − 1)(ex )0 (2x + 3)ex − (x2 + 3x − 1)ex = (ex )2 e2x
4
A számlálóban ex -et kiemelve, majd elvégezve az egyszerűsítést (2x + 3)ex − (x2 + 3x − 1)ex ex (2x + 3 − x2 − 3x + 1) 4 − x − x2 f 0 (x) = = = . e2x e2x ex 19. Feladat. Deriváljuk az f (x) = (x2 + 7x + 2) sin x függvényt! megoldás: Felhasználva a szorzatfüggvény deriválási szabályát f 0 (x) = (x2 + 7x + 2)0 sin x + (x2 + 7x + 2)(sin x)0 = (2x + 7) sin x + (x2 + 7x + 2) cos x. 20. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln(sin x) függvényt! megoldás: A külső függvény az ln x, a belső függvény a sin x. Először deriváljuk a külső függvényt, amire x1 adódik, majd abba beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: 1 1 · (sin x)0 = · cos x = ctgx. f 0 (x) = sin x sin x 21. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln(x2 + 5x − 1) függvényt! megoldás: A külső függvény az ln x, a belső függvény x2 + 5x − 1. Először deriváljuk a külső függvényt, amire x1 adódik, majd abba beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: 1 1 2x + 5 f 0 (x) = 2 · (x2 + 5x − 1)0 = 2 · (2x + 5) = 2 . x + 5x − 1 x + 5x − 1 x + 5x − 1 2
22. Feladat. Deriváljuk az g(x) = ex függvényt! megoldás: A külső függvény az ex , a belső függvény az x2 . A külső függvény deriváltja ex , ebbe beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: 2
f 0 (x) = ex · 2x. 23. Feladat. Deriváljuk az f (x) = (3x + 20)100 függvényt! megoldás: A külső függvény az x100 , a belső függvény 3x + 20. A külső függvény deriváltja 100x99 . Ebbe beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: f 0 (x) = 100(3x + 20)99 (3x + 20)0 = 100(3x + 20)99 · 3 = 300(3x + 20)99 . √ 24. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 3 x2 + 12 függvényt! megoldás: √ 1 1 Felhasználva, hogy 3 x2 + 12 = (x2 + 12) 3 , a külső függvény x 3 , a belső függvény x2 + 12. A 2 küslő függvény deriváltja 31 x− 3 , így 2 1 1 1 2x p f 0 (x) = (x2 + 12)− 3 (x2 + 12)0 = . 2 2x = 3 3 (x2 + 12) 3 3 3 (x2 + 12)2
5
25. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln(x sin x) függvényt! megoldás: Külső függvény az ln x, belső függvény az x sin x. A külső függvény deriváltja x1 , amibe ”beírva” 1 az eredeti belső függvényt: x sin . A belső függvény deriváltja sin x + x cos x, így x sin x + x cos x . x sin x 3x 26. Feladat. Deriváljuk az f (x) = sin cos függvényt! x f 0 (x) =
megoldás: 3x Külső függvény az sin x, belső függvény az cos . A külső függvény deriváltja cos x, amibe x x)+3x sin x 3x ”beírva” az eredeti belső függvényt: cos cos x . A belső függvény deriváltja 3(cos cos , így 2x 3x 3 cos x + 3x sin x 0 f (x) = cos . · cos x cos2 x
27. Feladat. Deriváljuk az f (x) = tg(x2 + x) függvényt! megoldás: Külső függvény a tgx, belső függvény az x2 + x. A külső függvény deriváltja cos12 x , amibe ”beírva” az eredeti belső függvényt: cos2 (x12 +x) . A belső függvény deriváltja 2x + 1, így f 0 (x) =
1 cos2 (x2
+ x)
(2x + 1) =
2x + 1 . cos2 (x2 + x)
28. Feladat. Deriváljuk az f (x) = esin x függvényt! megoldás: Külső függvény a ex , belső függvény az sin x. A külső függvény deriváltja ex , amibe ”beírva” az eredeti belső függvényt: esin x . A belső függvény deriváltja cos x, így f 0 (x) = esin x · cos x. 29. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ex
2 +3x−4
függvényt!
megoldás: Külső függvény a ex , belső függvény az x2 + 3x − 4. A külső függvény deriváltja ex , amibe 2 ”beírva” az eredeti belső függvényt: ex +3x−4 . A belső függvény deriváltja 2x + 3, így f 0 (x) = ex
2 +3x−4
· (2x + 3).
30. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 2sin x függvényt! megoldás: Külső függvény a 2x , belső függvény az sin x. A külső függvény deriváltja 2x · ln 2, amibe ”beírva” az eredeti belső függvényt: 2sin x · ln 2. A belső függvény deriváltja cos x, így f 0 (x) = 2sin x · ln 2 · cos x.
6
31. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
√
x2 + 12x − 3 függvényt!
megoldás: √ 1 1 Felhasználva, hogy x = x 2 , a külső függvény az x 2 , belső függvény az x2 + 12x − 3. A külső 1 1 függvény deriváltja 12 x− 2 , amibe ”beírva” az eredeti belső függvényt: 21 (x2 + 12x − 3)− 2 . A belső függvény deriváltja 2x + 12, így 1 1 x+6 f 0 (x) = (x2 + 12x − 3)− 2 · (2x + 12) = √ . 2 2 x + 12x − 3
32. Feladat. Deriváljuk az f (x) = cos(sin x) függvényt! megoldás: Külső függvény a cos x, belső függvény az sin x. A külső függvény deriváltja − sin x, amibe ”beírva” az eredeti belső függvényt: − sin(sin x). A belső függvény deriváltja cos x, így f 0 (x) = − sin(sin x) · cos x. 33. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x cos(x2 + 3x + 1) függvényt! megoldás: A szorzat és összetett függvény deriválási szabályát használva f 0 (x) = cos(x2 + 3x + 1) − x(2x + 3) sin(x2 + 3x + 1). 34. Feladat. Deriváljuk az f (x) = (x2 + 2x) ln
x+1 függvényt! x+2
megoldás: A szorzat, az összetett függvény és a hányados deriválási szabályát használva x + 2 − (x + 1) x+1 + (x2 + 2x) = x+2 (x + 2)2 x+1 1 = (2x + 2) ln + (x2 + 2x) . x+2 (x + 2)2 2 x +1 35. Feladat. Deriváljuk az f (x) = xarctg függvényt! 2 f 0 (x) = (2x + 2) ln
megoldás: A szorzat, a hányados és az összetett függvény deriválási szabályát használva 2 x +1 1 0 f (x) = arctg +x 2 x. 2 2 1 + x 2+1 36. Feladat. Deriváljuk az f (x) = tg(e2x ) függvényt! megoldás: Külső függvény a tgx, belső függvény az e2x . A külső függvény deriváltja
1 , cos2 x
amibe ”beírva”
7
az eredeti belső függvényt: cos21(e2x ) . A belső függvény szintén összetett, a külső függvény ex , a belső függvény 2x, az összetett függvény deriválási szabálya szerint (e2x )0 = 2e2x . Így f 0 (x) =
1 cos2 (e2x )
37. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln
· (e2x )0 =
1 cos2 (e2x )
· 2e2x .
ln(2x) függvényt!
megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva 1 1 1 · ·2= . f 0 (x) = ln(2x) 2x x · ln(2x) p 38. Feladat. Deriváljuk az f (x) = sin(x2 ) függvényt! megoldás: Felhasználva, hogy
√
1
sin x2 = (sin x2 ) 2 , az összetett függvény deriválási szabálya szerint
1 1 f 0 (x) = (sin x2 )− 2 · cos x2 · 2x. 2 39. Feladat. Deriváljuk az f (x) = sin cos sin x függvényt!
megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f 0 (x) = cos cos sin x · − sin(sin x) · cos x. 40. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln x2 + sin(x2 ) függvényt! megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva 1 f 0 (x) = 2 · 2x + 2x · cos(x2 ) . 2 x + sin(x ) 41. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 2sin(2x) függvényt! megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f 0 (x) = 2sin(2x) · ln 2 · 2 cos(2x). p √ 42. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x + x függvényt! megoldás: Felhasználva, hogy
√
1
x = x2
√ −1 1 1 −1 f (x) = (x + x) 2 · 1 + x 2 . 2 2 0
8
43. Feladat. Deriváljuk az f (x) = cos(sin x2 ) függvényt! megoldás: f 0 (x) = − sin(sin x2 ) · cos x2 · 2x 44. Feladat. Deriváljuk az f (x) = cos(ln(x10 )) függvényt! megoldás: sin (ln (x10 )) . f 0 (x) = −10 x 45. Feladat. Deriváljuk az f (x) = ln sin cos x függvényt! megoldás: f 0 (x) = −
cos (cos (x)) sin (x) sin (cos (x))
46. Feladat. Deriváljuk az f (x) = sin2 (x2 ) függvényt! megoldás: f 0 (x) = 4x sin x2 cos x2 q 47. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 3 ln sin(2x) függvényt! megoldás: f 0 (x) = 2/3
cos (2 x)
(ln (sin (2 x)))2/3 sin (2 x) q 48. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 7 sin cos2 (x) függvényt! megoldás: cos (cos (x))2 cos (x) sin (x) f (x) = −2/7 6/7 sin (cos (x))2 0
49. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
x · ln x függvényt! sin x
megoldás: A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f 0 (x) = 50. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
(ln x + 1) sin x − x ln x cos x . sin2 x sin2 x + sin(x2 ) függvényt! x3
megoldás: A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva 2 2 2 3 2 (2 sin x cos x + 2x cos(x )) x − sin x + sin(x ) 3x f 0 (x) = . 6 x
9
51. Feladat. Deriváljuk az f (x) = sin(3x) · sin(5x) függvényt! megoldás: A szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f 0 (x) = 3 cos(3x) sin(5x) + 5 sin(3x) cos(5x). 52. Feladat. Deriváljuk az f (x) = (2x + 1)3 · sin(x4 ) függvényt! megoldás: A szorzat deriválási szabályát alkalmazva f 0 (x) = 6(2x + 1)2 · sin(x4 ) + (2x + 1)3 · 4x3 cos(x4 ). 53. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
x2 · sin x függvényt! ex
megoldás: A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f 0 (x) =
(2x · sin x + x2 · cos x)ex − x2 · sin x · ex . e2x √ 8
54. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
x függvényt! x2 · sin x
megoldás: Felhasználjuk, hogy
√ 8
1
x = x8 :
√ 1 −7 2 x 8 · x sin x − 8 x · (2x · sin x + x2 cos x) f 0 (x) = 8 . (x2 · sin x)2 55. Feladat. Deriváljuk az f (x) = x3π + (4π)5x függvényt! megoldás: Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f 0 (x) = 3π · x3π−1 + (4π)5x · ln(4π) · 5. 56. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
(x3 + x)ex függvényt! tgx
megoldás: A hányados deriválási szabályát alkalmazzuk, figyelve arra, hogy a számláló két függvény szorzata, így ott a szorzat deriválási szabályát használjuk: 2 x 3 x (3x + 1) · e + (x + x) · e · tgx − (x3 + x) · ex · cos12 x f 0 (x) = . tg2 x
10
Elvégezve az összevonást x3 + x e (x + 3x + x + 1)tgx − cos2 x 0 . f (x) = 2 tg x √ √ sin( x) + sin x 57. Feladat. Deriváljuk az f (x) = függvényt! e2x megoldás: x
3
2
A hányados és az összetett függvény deriválási szabálya szerint √ √ √ 1 − 21 1 − 12 cos( x) · 2 x + 2 (sin x) · cos x e2x − sin( x) + sin x e2x · 2 f 0 (x) = . e2x x3 + x − 1 függvényt! 58. Feladat. Deriváljuk az f (x) = −x e − tgx megoldás: A hányados deriválási szabálya szerint (2x + 1) · (e−x − tgx) − (x2 + x − 1) · e−x (−1) − f 0 (x) = (e−x − tgx)2
1 cos2 x
.
59. Feladat. Deriváljuk az f (x) = 22x + arcsin(2x) függvényt! megoldás: Az összetett függvény deriválási szabálya szerint 1
f 0 (x) = 22x ln 2 · 2 + p
1 − (2x)2
60. Feladat. Deriváljuk az f (x) =
· 2.
x7 − x + arctgx függvényt! ex + ln x
megoldás: A hányados differenciálási szabálya szerint x 1 1 6 7 x 7x − 1 + (e + ln x) − (x − x + arctgx) e + 2 1+x x f 0 (x) = . 2 x e + ln x 61. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = xx függvényt! 1.megoldás Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy x
f (x) = xx = eln x = ex·ln x . Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 0 x·ln x f (x) = e ln x + x · = xx (ln x + 1). x
11
2.megoldás Vegyük az f (x) = xx mindkét oldalának a logaritmusát: ln f (x) = ln xx , amiből ln f (x) = x · ln x. Mindkét oldalt differenciálva az x változó szerint 1 0 f (x) = ln x + 1. f (x) Végigszorozva f (x)-el, kapjuk a megoldást f 0 (x) = f (x)(ln x + 1) = xx (ln x + 1). 62. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = xsin x függvényt! 1.megoldás Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f (x) = xsin x = eln x
sin x
= esin x·ln x .
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva sin x 1 sin x 0 sin x·ln x =x . f (x) = e cos x ln x + cos x ln x + sin x x x 2.megoldás Vegyük az f (x) = xsin x mindkét oldalának a logaritmusát: ln f (x) = ln xsin x , amiből ln f (x) = sin x · ln x. Mindkét oldalt differenciálva az x változó szerint 1 0 sin x f (x) = cos x ln x + . f (x) x Végigszorozva f (x)-el, kapjuk a megoldást sin x sin x 0 sin x f (x) = f (x) cos x ln x + =x cos x ln x + . x x
12
63. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = (sin x)x függvényt! 1.megoldás Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy x
f (x) = (sin x)x = eln(sin x) = ex·ln(sin x) . Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 0 x·ln(sin x) ln(sin x) + x · f (x) = e cos x = (sin x)x (ln(sin x) + xctgx) . sin x 2.megoldás Vegyük az f (x) = (sin x)x mindkét oldalának a logaritmusát: ln f (x) = ln(sin x)x , amiből ln f (x) = x · ln(sin x). Mindkét oldalt differenciálva az x változó szerint 1 0 f (x) = ln(sin x) + xctgx. f (x) Végigszorozva f (x)-el, kapjuk a megoldást f 0 (x) = f (x) (ln(sin x) + xctgx) = (sin x)x (ln(sin x) + xctgx) . 64. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = xcos x függvényt! 1.megoldás Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f (x) = xcos x = eln x
cos x
= ecos x·ln x .
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 cos x cos x 0 cos x·ln x f (x) = e − sin x ln x + cos x =x − sin x ln x + . x x 2.megoldás Vegyük az i(x) = xsin x mindkét oldalának a logaritmusát: ln f (x) = ln xcos x , amiből ln f (x) = cos x · ln x.
13
Mindkét oldalt differenciálva az x változó szerint 1 0 cos x f (x) = − sin x ln x + . f (x) x Végigszorozva f (x)-el, kapjuk a megoldást cos x cos x f 0 (x) = f (x) − sin x ln x + = xcos x − sin x ln x + . x x 65. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = (cos x)x függvényt! 1.megoldás Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy x
f (x) = (cos x)x = eln(cos x) = ex·ln(cos x) . Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 0 x·ln(cos x) f (x) = e ln(cos x) − x · sin x = (cos x)x (ln(cos x) − xtgx) . cos x 2.megoldás Vegyük az f (x) = (cos x)x mindkét oldalának a logaritmusát: ln f (x) = ln(cos x)x , amiből ln f (x) = x · ln(cos x). Mindkét oldalt differenciálva az x változó szerint 1 0 f (x) = ln(cos x) − xtgx. f (x) Végigszorozva f (x)-el, kapjuk a megoldást f 0 (x) = f (x) (ln(cos x) − xtgx) = (cos x)x (ln(cos x) − xtgx) . 66. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = (sin x)cos x függvényt! megoldás: Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f (x) = (sin x)cos x = eln(sin x)
cos x
= ecos x·ln(sin x) .
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 0 cos x·ln(sin x) f (x) =e − sin x · ln(sin x) + cos x · · cos x = sin x = (sin x)cos x (− sin x ln(sin x) + cos xctgx) .
14 √
67. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = x
x
függvényt!
megoldás: Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy √
f (x) = x
x
= eln x
√ x
√
=e
x·ln x
.
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva √ √ √ 1 1 ln x 1 0 x·ln x x √ ln x + x · √ +√ =x . f (x) = e x 2 x 2 x x √ 68. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = ( x)x függvényt! megoldás: Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy √ x √ √ f (x) = ( x)x = eln( x) = ex·ln x . Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva √ √ √ √ x 1 1 1 0 x·ln x f (x) = e . ln x + x · √ · √ = ( x) ln x + 2 x 2 x x
69. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = xe függvényt! megoldás: Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy x
f (x) = xe = eln x
ex
= ee
x ·ln x
.
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva ex 0 ex ·ln x x x 1 ex x e · ln x + f (x) = e e · ln x + e · =x . x x 70. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = (2x)3x függvényt! megoldás: Az a = eln a azonosság felhasználásával azt kapjuk, hogy f (x) = (2x)3x = eln(2x)
3x
= e3x·ln(2x) .
Az átalakítás során alkalmaztuk az ln ab = b ln a logaritmus azonosságot. Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazva 1 0 3x·ln(2x) f (x) = e 3 ln(2x) + 3x · · 2 = (2x)3x (3 ln(2x) + 3). 2x
15 2
71. Feladat. F Deriváljuk az f (x) = xarcsin(x ) függvényt! megoldás: Felhasználva, hogy f (x) = eln x
arcsin(x2 )
= earcsin(x
2 )·ln x
,
az összetett függvény deriválási szabálya szerint (külső függvény az ex ) 1 0 arcsin(x2 )·ln x 2 1 √ f (x) = e · 2x · ln x + arcsin x · , x 1 − x4 amiből 0
f (x) = x
arcsin(x2 )
arcsin(x2 ) 2x · ln x √ + x 1 − x4
.
