6. Funkce a posloupnosti 1) Rozhodněte, která z dvojic [3;9], [0;3], [2;7] patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3.
[všechny]
2) Auto má spotřebu 6 l benzinu na 100 km. Na začátku jízdy mělo v plné nádrži 36 l benzinu. a) Vyjádřete závislost počtu litrů benzinu v nádrži na počtu ujetých kilometrů. b) Závislost z části a) znázorněte graficky. c) Po kolika kilometrech jízdy zbude v nádrži poslední litr benzinu? [a) y = 36 −
3 x, c) přibližně po 583 km jízdy] 50
3) Obchodník rozváží zboží po trasách délky do 80 km od své prodejny. Rozvoz pro něj zajišťují dopravci A a B. Dostal od nich tyto cenové nabídky: A : 12 Kč za každý kilometr B : základní sazba 350 Kč za jednu jízdu a navíc 5 Kč za každý kilometr a) Nechť x km je délka jízdy a c Kč je cena za dopravu. Funkce vyjadřující závislost c na x u dopravců A a B označme f A a f B . Sestavte předpisy pro obě tyto funkce. b) Sestrojte grafy funkcí f A a f B . c) Pro jakou délku jízdy jsou cenové nabídky obou dopravců stejné? d) Který dopravce je levnější pro dopravu zboží po trase délky 20 km, 40 km, 60 km? [a) f A : c = 12 x, x ∈ 0;80 , f B : c = 5 x + 350, x ∈ 0;80 , c) 50 km, d) pro 20 km a 40 km je levnější dopravce A, pro 60 km bude levnější dopravce B] 4) Určete definiční obory funkcí: a) y = 2 x + 3 d) y = g) y = j) y =
1 2x + 3
c) y =
e) y = x 2 − 4
f) y =
b) y =
1 2x + 3 x2 − 4
h) y =
log(x + 3)
k) y =
x−3
2x + 3 1 x −4 2
(
1 x −4 2
i) y = log x 2 − 2
x 2 − 6 + log(3x + 10 )
l) y =
log 1 2
3 3 3 ; ∞ , e) D = R, 2 2 2 f) D = R − {± 2}, g) D = (− ∞; − 2 ∪ 2; ∞ ), h) D = (− ∞; 2 ) ∪ (2; ∞ ),
[a) D = R, b) D = R − − , c) D = − ; ∞ ), d) D = −
(
) (
i) D = − ∞; 2 ∪ l) D = 2; ∞ ) ]
)
10 2 ; ∞ , j) D = (3; ∞ ), k) D = − ; − 6 ∪ 3
5) Dokažte, že daná funkce je: a) rostoucí y = 2 x − 1
b) klesající y =
1 2 − x 3 3
6 ; ∞ ),
)
1 x −1
c) rostoucí y =
−4 −3 x +1
d) rostoucí y = 2 x +1 − 3
Důkaz proveďte podle definice i graficky.
6) Jsou dány funkce f : y = 3
6+ x x
a g:y=
( 3)
x +1
.
a) Určete definiční obory D f a D g funkcí f a g .
b) Určete, pro která x ∈ R platí f ( x ) = g ( x ).
c) Určete, pro která x ∈ R platí f ( x ) ≥ g ( x ). d) Sestrojte graf funkce g .
(
(
[a) D f = R − {0}, D g = R, b) x ∈ {− 3;4}, c) x ∈ − ∞; − 3 ∪ 0; 4 ]
7) Určete obor funkčních hodnot funkce f : y =
[
]
1 ( x − 2 )2 − 6 . 2
[ H = − 3; ∞ ) ]
8) Jsou dány funkce f : y = 2 x − 4 a g : y = −2 x 2 + 16 x − 24 . a) Určete definiční obory a obory hodnot funkcí f a g a sestrojte jejich grafy. b) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafů funkcí f a g.
(
[a) D f = R, H f = R, D g = R, H g = − ∞; 8 , b) [2;0], [5;6] ]
9) Které z funkcí h1 až h12 jsou sudé (liché) v definičním oboru?
h1 : y = x
h2 : y = cos x
h5 : y = x 2
h6 : y =
h9 : y =
4x 2 x +4
4x x −4 2
h10 : y = x 3
h3 : y =
1 x
h4 : y = 4 x
h7 : y = x
h8 : y = log x
h11 : y = 2 x
x2 h12 : y = x +3
[ h1 lichá v R, h2 sudá v R, h3 lichá v R − {0}, h4 lichá v R, h5 sudá v R, h6 lichá v
R − {± 2}, h7 sudá v R, h8 není sudá ani lichá, h9 lichá v R, h10 lichá v R, h11 není
sudá ani lichá, h12 sudá v R] 10) Sestrojte grafy funkcí, určete jejich vlastnosti:
2 −1 x −3 − 4, x ∈ − 4; 0) d) y = x+2 3 g) y = (x − 1)
2 x +1 1 e) y = 2 x h) y = x −3
j) y = e x
k) y = 3 x + 2
a) y =
b) y =
c) y =
2 −1 x +1
f) y = − x 3 i) y = 2 x
1 2
l) y = −
x
m) y = 3 x −1
o) y = log 0,5 x
p) y = log 3 x − 1
r) y = log 2 ( x − 1)
q) y = − log x
11) Sestrojte grafy funkcí y = 2 x a y = log 2 x a grafy porovnejte. Objasněte pojem inverzní funkce. 12) Vypočtěte:
log 2 8 =
log 3
log 0,01 =
1 = 27
log 10 6 =
log 1 5 =
log 5 125 =
5
1
log
10
=
log 5 5 = 3 2
[3;-3; ; −
1 1 ;−2;6;− ;1 ] 2 2
13) Určete číslo x:
log 2 x = 2
log 2 x = −2
log 2 x =
1 2
log x 16 = 2
log x
log 4 x =
1 2
log 2 x = 0
1 = −3 27
log x
1 =3 27 1 4
1 3
[ 4; ; 2 ;1;2;4;3; ]
14) Najděte x: a) log x = log 3 + log 5 + log 2 b) log x = log 7 − log 3 − log 2 c) log 5 x = − log 5 4 + log 5 7
7 6
[ a )30; b) ; c)
15) log y =
(
)
3 1 log(a − b ) + 2 log b − log(2b − c ) + 3 log m 2 − n − 4 4 2 [y=
Určete y. Zdůvodněte postup.
7 ] 4
4
(a − b )3 .b 2 2b − c
(m .
)
3
−n ] 10 4 2
16) Najděte logaritmus výrazů: a) x = 3
a 2b c
b) x =
4
ab 3 7c. d
1 (2 log a + log b − log c ); 3 1 3 1 1 1 b) log x = log a + log b − log 7 − log c − log d ] 4 4 4 4 8 [a) log x =
17) Řešte rovnice v R, proveďte zkoušku: x
−x
a) 5 = 625
b) 2
d) 3 x = 243
e) 2 2 x −1 = 8
g) 3 − x = 81
h) =
x
4 9
4 3 c) = 3 4 f) 2 x −1 = 1
= 32 x
5
3
3 i) 9 x + 2 = 27.3 x + 2 2 [a) x = 4, b) x = −5, c) x = −5, d) x = 5, e) x = 2, 3 f) x = 1, g) x = −4, h) x = − , i) x = 7 ] 2
18) Řešte rovnice v R, proveďte zkoušku: x
1 1 a) = 5 125 x x +1 d) 4 + 2 = 80
x −3
32 x = 3 2 x .27 c) 3 y + 3 y +1 = 108 3 x +1 e) 2 x + 2 − 2 x = 96 f) 2 x = 5 [a) x = −1, b) x = 6, c) y = 3, d) x = 3, e) x = 5, f) x = 2,32 ] b) 9 x −1.
.5 x
19) Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
2 + 3 x = 3 x+2
[ x = −1,26 ]
20) Určete všechna a ∈ R, pro která platí: a) log 5 a = −
1 3
b) log a 8 = −3
c) log 2 [a) a =
21) Řešte v R rovnici, proveďte zkoušku: a) log( x + 2 ) − log(x − 1) = 2 − log 4 c) log(4 x + 2 ) − log(3 − x ) = 1
(
1 3
3
2 1 5
=a , b) a =
1 1 , c) a = − ] 3 2
)
b) log 2 x 2 − 3 x − 2 = 1
d) log(3 x − 5) − log( x − 1) = log 4
e) log( x + 1) + log( x − 1) = 3 log 2 + log( x − 2 ) [a) x =
9 , b) x1 = 4, x 2 = −1, c) x = 2, d) x = −1, e) x1 = 3, x 2 = 5 ] 8
22) Řešte v R rovnici, proveďte zkoušku: 2
a) log 3 x − 3 log 3 x − 10 = 0 c) log 3
6x − 2 =2 x−3
b) 2 log x = 3 +
2 log x
log 3 (6 x − 2 ) =2 log 3 ( x − 3) 1 1 25 [a) x1 = , x 2 = 35 , b) x1 = , x 2 = 100, c) x = , d) x = 11 ] 9 3 10 d)
23) Určete prvních 6 členů posloupnosti (a n )n =1 , je-li: ∞
b) a n = (− 2 )
a) a n = 2n − 3
n
c) a n = 2 n − n
d) a n =
n n +1
Sestrojte grafy uvedených posloupností.
3 4 5 6 7 ] 2 3 4 5 6
[a) -1,1,3,5,7,9, b) -2,4,-8,16,-32,64, c) 1,2,5,12,27,58, d) 2, , , , ,
24) Určete prvních 6 členů posloupnosti, jestliže: a) a1 = −2, a n +1 = 3n − 1 b) a1 = 7, a n +1 = − a n + 3 c) a1 = 1, a 2 = −2, a n +1 = −2a n + a n −1 [a) -2,2,5,8,11,14, b) 7,-4,7,-4,7,-4, c) 1,-2,5,-12,29,-70] 25) Najděte vzorec, kterým vyjádříte n-tý člen posloupnosti dané rekurentně takto: a) a1 = 1, a n +1 = 3.a n b) a1 = 1, a n +1 = − a n
[a) a n = 3 n −1 , b) a n = (− 1)
n −1
]
26) Určením a n a a n +1 posloupnosti (2n + 1)n =1 rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající. ∞
[rostoucí] ∞
n + 1 rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí nebo n n =1
27) Určením a n a a n +1 posloupnosti klesající.
[klesající]
28) Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou aritmetické, které jsou geometrické. V případě aritmetických posloupností určete diferenci, v případě geometrických posloupností určete kvocient. ∞
∞
n + 3 a) 5 n =1
∞
2n c) n +1 3 n =1
n+ 2 b) (1 − n ) d) n + 1 n =1 4 1 2 2 [a) AP, a1 = , d = , b) AP, a1 = 0, d = −1, c) GP, a1 = , q = , d) není AP ani GP] 5 5 9 3 ∞ n =1
29) Napište prvních 5 členů aritmetické posloupnosti, je-li: a) a1 = 2, a 2 = 2 + 5
b) a 2 = 7, d = −3
c) a3 = 1, a 7 − 7
d) a1 + a 6 = 16, a3 + a5 = 19
[a) 2,2 + 5 ,2 + 2 5 ,2 + 3 5 ,2 + 4 5 , b) 10,7,4,1,-2, c) 5,3,1,-1,-3 d)
1 7 13 19 25 , , , , ] 2 2 2 2 2
Pro uvedené posloupnosti určete součet prvních 10 členů. [a) 20 + 45 5 , b) -35, c) -40, d) 140]
30) Napište prvních 5 členů geometrické posloupnosti, jestliže: a) a1 = 3 , a 2 = −2 3
1 c) a3 = 8, a 6 = 64 2 3 ,−2 3 ,4 3 ,−8 3 ,16 3 , b) 16,8,4,2,1, c) 2,4,8,16,32]
b) a1 = 16, q = [a)
31) Určete součet prvních 10 členů aritmetické posloupnosti, je-li 3. člen -4 a 7. člen je 2,4. [ s10 = 0 ] 32) Určete součet prvních 7 členů aritmetické posloupnosti, platí-li:
a 2 + a6 = 58, a1 .a3 = 105.
[ s 7 = 203 ]
33) V aritmetické posloupnosti je a1 = 20, d = 4. a) Kolikátý člen je roven číslu 100? b) Kolikátý člen je roven číslu 150? [a) 21. člen, b) nemá řešení] 34) V aritmetické posloupnosti určete 1. člen a diferenci, víte-li, že platí:
1 3
a) a 6 = − a16 , s 26 = 104
b) s 5 = 60, s10 = 170
c) s10 = s11 = 165
[a) a1 = −6, d = 0,8; b) a1 = 8, d = 2; c) a1 = 30, d = −3 ]
35) Mezi čísla 0 a 1 vložte tolik čísel, aby vznikla aritmetická posloupnost o součtu 100. Kolik bude vložených členů a jaká bude diference vzniklé posloupnosti? [198 vložených členů, d =
1 ] 199
36) Součet tří členů aritmetické posloupnosti se rovná 30. Odečteme-li od prvního čísla 5, od druhého 4 a třetí ponecháme, vytvoří geometrickou posloupnost. Určete ji. [GP: a1 = 3, q = 2 nebo a1 = 12, q =
1 ] 2
37) Čtvrtý člen aritmetické posloupnosti je 16, osmý 24. Určete d , a1 , a 6 a součet prvních 3 členů. [ d = 2, a1 = 10, a 6 = 20, s 3 = 36 ] 38) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obvod trojúhelníku je 96 cm. Vypočítejte délky stran. [24 cm, 32 cm, 40 cm]
39) V geometrické posloupnosti je a1 = 64, q =
1 1 . Kolikátý člen je roven číslu ? 32 2
[12. člen]
40) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: a) a 2 = 1,5, a5 = 40,5 b) a 2 = 16, a 4 = 1 c) a1 + a 2 − a 4 = −110, a 2 + a 3 − a 5 = −220 [a) a1 = 0,5, q = 3, b) a1 = 64, q =
1 1 nebo a1 = −64, q = − , c) a1 = 22, q = 2 ] 4 4
41) Mezi čísla 7 a 4375 vložte 3 čísla tak, aby s danými čísly tvořila členy geometrické posloupnosti. [35, 175, 875 nebo -35, 175, -875] 42) Geometrická posloupnost o 6 členech má součet všech členů roven 63, součet prvních 3 sudých členů je 42. Určete v této posloupnosti první člen a kvocient. [ a1 = 1, q = 2 ] 43) Pátý člen geometrické posloupnosti je 16, desátý 32. Určete kvocient, první a osmý člen a součet prvních 3 členů.
(
)
[ q = 5 2 , a1 = 85 2 , a8 = 165 8 , s3 = 85 2 . 1 + 5 2 + 5 4 ]
44) Teploty Země přibývá do hloubky o 1°C na 33 m. Jaká je teplota na dně dolu 1015 m hlubokého, je-li v hloubce 25 m teplota 9°C?
[39°C]
45) Jak dlouho by padala koule do hloubky 828,8 m, když v 1. sekundě prolétne dráhu 4,904 m a v každé další sekundě o 9,808 m více než v předcházející? [85 s] 46) Jedním tažením se zmenší průměr drátu o 10 %. Jaký průměr bude mít drát s průměrem 5 mm po 5 taženích? [2,95 mm] 47) Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 5 % své intenzity. Kolik desek je třeba dát na sebe, aby se intenzita světla snížila alespoň na polovinu původní hodnoty? [14 desek] 48) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 18 % ceny předmětu z předchozího roku? [za 12 let]
