Kapitola 1 Elektrostatika a kondenzátory Studijní text pro semináø z fyziky 1.1 1.1.1
Elektrostatické pole Nábo j u vodivé desky
Zadání:
6 u
(verze 1.05)
Jakou silou je pøitahován náboj Q = 2 µF k vodivé uzemnìné desce, je-li od ní vzdálen ve vzdálenosti d = 10 cm?
-
?^ ~
Øe¹ení:
Nakreslíme si do obrázku ekvipotenciální plochy. Pøi tom si musíme uvìdomit, ¾e vodivá uzemnìná deska bude ekvipotenciální plochou s potenciálem ϕ = 0 V . Tvary siloèar (resp. ekvipotenciálních ploch) jsou 6 na levé stranì vodivé desky stejné jako by ¹lo o j w q elektrostatické pole dvou opaèných bodových nábojù z ve vzájemné vzdálenosti 2d. Toho také vyu¾ijeme pro u u : výpoèet pøitaølivé síly. 1 a
?^ ~
*
7
Celou situaci si mù¾eme pøedstavit, jako by se náboj (a¾ na znaménko) þzrcadlilÿ ve vodivé desce. Tato metoda se díky tomu èasto nazývá metodou zrcadlení. a
Vyu¾itím metody zrcadlení se pak celý výpoèet velikosti pøita¾livé síly zjednodu¹í: 1 |Q(−Q)| = 1 Q 2 Fe = 4πε (2d)2 4πε 2d Po dosazení numerických hodnot: Fe =. 0, 9 N 1
1.1.2
Intenzita el. pole nabitého pøímého drátu
Zadání:
Odvoïte vztah platný pro intenzitu elektrického pole v okolí nekoneèného nabitého drátu.
~ E
Tento pøíklad se zpravidla øe¹í pomocí difrenciálního poètu, kdy se sèítá nekoneèné mno¾ství symetrických dílèích pøíspìvkù intenzity od úsekù A a B (viz obr.) po celé délce nekoneèného drátu.
6 @ I E~B @ E~A
d
A
B
Øe¹ení:
Pro na¹e øe¹ení vyu¾ijeme intuitivního triku s Faradeyovou klecí vhodného tvaru.1 Vodiè si obalíme my¹lenou válcovou Faradayovou klecí o polomìru r . Dle zá6 ~ kladní vlastnosti Faradayovy klece se musí E na ní naindukovat náboj, který vnì odstíní elektrické pole nábojù uvnitø klece. Náboj na M plo¹e Faradayovy klece je tedy rozlo¾en s urr r èitou plo¹nou hustotou σ, která vyvolává intenzitu E (a¾ na smìr) shodnou s intenzitou elektrického pole vodièe. ` Nebudeme tedy sledovat intenzitu vyvolanou vodièem, ale intenzitu vyvolanou nábojem na válcové plo¹e. Mezi plo¹nou hustotou náboje na plo¹e a velikostí intenzity elektrického pole v tìsné blízkosti této plochy platí obecný vztah: (viz obr.)
E
= εσ , kde 0
σ
= QS
Plocha S je povrch plá¹tì válcové Faradayovy klece. Tedy S = ` 2πr. Po dosazení získáme následující výraz pro velikost intenzity: = ε `Q2πr 0 Jde-li o nekoneèný pøímý vodiè, je lep¹í popsat náboj na nìm pomocí lineární hustoty náboje η 2, tedy celý výraz lze upravit : E
E
= ε `η 2`πr = ε 2ηπr 0 0
O ciálnì se nejedná o ¾ádný trik, ale obecnì platný postup, jeho¾ princip stojí na tzv. Gaussovì vìtì. Jeho pou¾ití je tedy zcela legální. Gaussova vìta je pøímý dùsledek jedné z Maxwellových rovnic, co¾ je þα& ÿ elektøiny a magnetismu! 2 jednorozmìrná analogie plo¹né hustoty náboje, tedy Q = η ` 1
2
1.2
Kondenzátory
1.2.1
Kondenzátorový ètyøstìn
Zadání:
D
r C r % %
C
C
r% %
Urèete celkovou kapacitu kondenzátorové baterie tvaru ètyøstìnu zobrazeného na obrázku. Kapacita ka¾dého z dílèích kondenzátorù, ze kterých je zapojení slo¾eno, je C = 3 µF .
aa ar
C A Be Prvním krokem úspì¹ného øe¹ení je vhodné pøekreslení celého zapojení. Následující obrázek vèetnì èárkovaného kondenzátoru je pouhé pøekreslení do pravoúhlého schématu. Vidíme, ¾e toto zapojení není klasickou kombinací sériového a paraDq leního zapojení kondenzátorù. Abychom toto zapojení pøevedli na zapojení pro nás øe¹etelné, musíme si uvìdomit nìkolik dùle¾itých q q Aq B vìcí, pomocí kterých celé zapojení výraznì zjednodu¹íme. q q Díky tomu, ¾e v¹echny kondenzátory mají stejné kapacity, lze doC kázat, ¾e napìtí na obou kondenzátorech v první a druhé vìtvi jsou stejné - v¾dy 12 celkového pøipojeného napìtí. Na¹í snahou je urèení napìtí na èárkovaném kondenzátoru, tedy rozdíl potenciálù bodù C a D. Pøipojíme-li na celou baterii napìtí UAB , lze psát: 1 UAB = |ϕB − ϕA |, a zároveò UAC = |ϕC − ϕA | = UAB = |ϕD − ϕA | = UAD 2 Z èeho¾ plyne: ϕC = ϕD =⇒ UCD = 0 V Nebo-li na kterémkoliv elektronickém prvku zapojeném mezi body C a D nebude ¾ádné napìtí. Èárkovaný kondenzátor je tedy v zapojení zcela zbyteèný - lze jej úplnì vynechat. Body C a D lze pak nechat odpojené nebo díky stejným potenciálùm je mo¾né je i spojit. V obou pøípadech získáváme stejný výsledek: C C souèet kapacit jednotlivých vìtví CAC = + + C 2 2 CAC = 2 C = 6 µF e
(poèítáno shora)
1.2.2
Nekoneèný kondenzátorový þ¾ebøíkÿ
Zadání:
e
C
C
q
q
C e
C
q
C
q
Urèete celkovou kapacitu nekoneèné kondenzátorové baterie zobrazené na obrázku. Kapacita ka¾dého z dílèích kondenzátorù, ze kterých je zapojení slo¾eno, je C = 1 µF .
C
3
Øe¹ení:
C
A
C
Do zapojení si vyznaèíme body A, B a moudøe se do zapojení zahledíme.. .Vlevo od bodù A a B vidíme sériové C C zapojení tøí kondenzátorù. Vpravo od té¾e bodù vidíme e q q nekoneèné zapojení kondenzátorù, stejné jako chceme spoB èítat v tomto pøíkladu. C C Oznaèíme-li si hledanou kapacitu na¹eho zapojení Cc, pak kapacita zapojení vpravo od bodù A a B mù¾eme nahradit kondezátorem jediným a to té¾ s kapacitou Cc. Po tomto þsprostém trikuÿ3 mù¾eme ji¾ celé zapojení pøekreslit a lehce dopoèítat. Nyní tedy máme velmi jednoduché zapojení, ve kterém vyC jádøení celkové kapacity nebude nároèné. Sériové zapojení A e q prvního a tøetího kondenC Cc Cc zátoru má celkovou kapacitu 2 . Kapacita paralelního zaC pojení druhého kondenzátoru C a kondenzátoru Cc je dána e q vztahem C + Cc. Oba tyto výrazy seèteme dle pravidla pro B sériové zapojení. C Ze získané rovnice 1 =2+ 1 Cc C C + Cc ji¾ staèí vyjádøit neznámou Cc. ... 2Cc2 + 2CCc − C 2 = 0 √ −2C ± 2 3 C C >0 C √ −→ Cc = Cc = 4 2 ( 3 − 1) Pro zadané hodnoty: Cc =. 0, 37 µF . e
q
q
(poèítáno po spojovacím vodièi)
c
1,2
1.2.3
Vlo¾ení tenké vodivé desky do kondenzátoru
Zadání:
x-
S
Jak se zmìní kapacita deskového kondenzátoru se vzduchovým dielektrikem, vlo¾íme-li mezi desky izolovonou vodivou desku? Diskutujte zmìnu kapacity v závislosti na vzdálenosti x vlo¾ené desky od pùvodních desek. Numerické hodnoty S = 1 dm2, d = 5 cm. (Tlou¹»ku vlo¾ené desky neuva¾ujte.)
d 3
Koho tento pøístup pøekvapil èi snad urazil, nech» se zamyslí nad odvìkou otázkou: þKolik je ∞ − 1?ÿ
4
Øe¹ení:
Je-li vlo¾ená vodivá deska odizolovaná od okolí, vznikne na ní náboj pouze indukcí. Na jedné stranì desky to bude náboj kladný, na druhé náboj záporný. Uvìdomíme-li si podobnost se situací u sériového zapojení dvou kondenzátorù, mù¾eme pøíklad øe¹it jako sériové zapojení kondenzátoru od desky vlevo a vpravo: 1 = 1 + 1 , kde C = ε S , C = ε S C
C1
C2
1
0x
2
0 d−x
1 = x + d−x C ε S ε S 0
0
= ε0 Sd , co¾ je kapacita pùvodního kondenzátoru. Z výsledku vidíme dva závìry: 1. Kapacita se vlo¾ením tenké vodivé desky nezmìní. 2. Velikost kapacity vùbec nezále¾í na vzdálenosti x vlo¾ené desky. C
1.2.4
Vlo¾ení tlusté dielektrické desky do kondenzátoru
Zadání:
Jak se zmìní kapacita deskového kondenzátoru (plocha desek S , vzdálenost d) se vzduchovým dielektrikem, vlo¾íme-li mezi desky dielektrickou desku (εr ) tlou¹»ky x? Hodnoty: εr = 6, S = 1 dm2, d = 2 cm, x = 1, 5 cm.
x@ @@ @@ S @@ @@ @@ @@ @@ @@ @@ @@ @@ @ d Øe¹ení:
Podobnì jako u pøedchozího pøíkladu si vzniklý kondenzátor rozdìlíme na dva zapojené sériovì. Jeden naplnìný dielektrikem εr a druhý se vzduchovým dielektrikem.4 1 = 1 + 1 , kde C = ε ε S , C = ε S C
C1
C2
1
0
x
2
0 d−x
1 = x + d−x C εε S ε S 0
C
0
r
= ε d −ε0xε(rεS − 1) r
Po dosazení C =. 12 pF
r
r
Pokud by nìkomu vadilo, ¾e zde vlastnì obìma kondenzátorùm chybí v¾dy jedna deska, mù¾e si ji tam vlo¾it. Z minulého pøíkladu toti¾ plyne, ¾e se tím kapacita nezmìní, a du¹ièka bude mít pokoj! 4
5
1.2.5
Kondenzátor s kapalným dielektrikem
Zadání:
U
Urèete do jaké vý¹ky vystoupí voda (εr = 82, ρ = 1000 mkg ) mezi vodivými deskami vzájemnì vzdálenými d = 0, 5 mm , pøipojíme-li obì desky ke zdroji elektrického napìtí U = 1 kV . Jakou energii bude muset pøipojený zdroj do obvodu dodat? Jak se zmìní náboj na deskách?
-
3
6 d-
(viz obr.)
H
6
h ?
?
Øe¹ení:
Z pohledu støedo¹kolské fyziky, lze k tomuto pøíkladu nejlépe pøistoupit z hlediska celkové bilance energie soustavy. Z pohledu kapaliny, která je þvta¾enaÿ do kondenzátoru musí dojít ke zmìnì potenciální energie Ep. Tato zmìna energie se musí projevit na zmìnì elektrické èásti obvodu, tedy zmìnou celkové energie kondenzátoru Ec. To lze zapsat rovnicí: Ep = Ec (1.1) Obì velièiny pak rozepí¹eme: h = 1 xdρg(h)2, V ρg Ep = mg 2h = |{z} 2 2 xdh kde x je rozmìr desek smìrem þdozaduÿ, který neznáme, a proto skrytì doufáme, ¾e v dal¹ím výpoètu vypadne. (1.2) Ec = 12 (Ck − Cz ) U 2, kde Cz je kapacita pøed pøipojením napìtí a Ck kapacita po pøipojení elektrického napìtí . (prázdný kondezátor)
(èásteènì vyplnìn kapalinou)
Cz
= ε0 Sd = ε0 Hx , kde H je celková vý¹ka desky d
Pøi urèení kapacity Ck budeme postupovat jako u kondenzátorové dvojice zapojené paralenì, kde jeden z kondenzárorù má vzduchové dielektrikum a rozmìry desek x × (H − h) a druhý je naplnìn dielektrikem s relativní permitivitou εr a rozmìry desek x × h. I zde ve skrytu du¹e doufáme, ¾e neznámý celkový vertikální rozmìr desky H se kdesi dále odeète èi vykrátí. x(H − h) x h Ck = ε0 + εr ε0 d d Dosazením získaných vztahù do výrazu (1.2) dostaneme: Ec = 12 ε0 x(H −d h) + εr ε0 xd h − ε0 Hx U2 d 6
Ec = 12 ε0 xd h (εr − 1) U 2 |
Dosazeno do vztahu (1.1):
{z
}
Ck −Cz
1 xdρg(h)2 = 1 xh ε (ε − 1) U 2 2 2 d 0 r A jednoduchou úpravou ji¾ dostaneme: ε0 (εr − 1) U 2 h = d2 ρg
Po dosazení èíselných hodnot: h =. 30 cm Na zbylé dvì otázky je ji¾ jednoduché odpovìdìt. Zmìna celkové energie je dána výrazem pro Ec odvozeným vý¹e a zmìna náboje je dána výrazem Q = (Ck − Cz ) U . Jen tak þpro zajímavostÿ je dobré porovnání èíselných hodnot Ec a souèinu QU . (co¾ není málo!)
1.3 1.3.1
Nabitá èástice v elektrickém poli Urychlení elektronu v TV obrazovce
Zadání:
me , e u
Na jakou rychlost je urychlen elektron (e = 1, 602 .10−19, me = 9, 1 .10−31) v barevné televizi TESLA CK3368? Urychlovací napìtí na Wehneltovì válci je 10 kV.
-v ~
U
a
Wehneltùv válec není nic jiného ne¾ deskový kondenzátor s otvorem v jedné desce, kterou mohou urychlené elektrony vyletovat. a
-
Øe¹ení:
Elektron je urychlován elektrickou silou Fe danou intenzitou elektrického pole E a nábojem e. Známe-li urychlovací napìtí U a vzdálenost desek d , mù¾eme vyjádøit velikost intenzity a ze získané elektrické síly a hmotnosti zrychlení elektornu v elektrickém poli... Vý¹e popsaný postup je pomìrnì pracný. Pøíklad tohoto typu se efektnìji øe¹í pomocí zákona zachování energie. Podle hesla: þPráce se koná, energie se mìní.ÿ (nebo-li zákon zachování energie) platí: W = Ek , (kterou neznáme)
7
kde W je práce, kterou musí vykonat elektrické pole pøi pøenesení elektronu mezi deskami o vzdálenosti d. Poèítáme-li urychlování èástice klasickou (nikoliv relativistickou) fyzikou, lze jednodu¹e dosadit: 1 U e = me v 2 2 s 2U e v= (1.3) m e
Èíselnì dosazeno: v =. 60 .106 m/s 1.3.2
Pohyb elektronu v el. poli þnapøíèÿ
Zadání:
`
6
Uy
Elektron urychlený napìtím Ux = 500 V vodorovnì vlétne do deskového kondenzátoru o délce desek ` = 5 cm a vzdálenosti d = 5 mm. Na desky kondenzátoru je pøipojeno napìtí Uy = 100 V . Pod jakým úhlem elektron z kondenzátoru vylétne?
6
u
v~x α6 z6 6 6 6 6 6 6 6
d
?
?
Vliv gravitaèní síly na výsledek neuva¾ujte.
Øe¹ení:
Minulý pøíklad by mohl ètenáøe þnavnaditÿ k opìtovnému u¾ití zákona zachování energie. Ve smìru vodorovném (pro získání vx) to lze, ale ve smìru svislém nevíme, jakým skuteèným napìtím byl elektron z pùvodního smìru vychýlen. Toto napìtí je toti¾ dáno rozdílem potenciálù v místech, kde elektron vlétl a vylétl z kondenzátoru. Tuto vzdálenost (pøesnì øeèeno její vertikální slo¾ku) neznáme. Musíme tedy postupovat dle kinematiky - jde o jakousi analogii vrhu vodorovného v elektrickém poli. • smìr vodorovný - pohyb rovnomìrný ` = vx t, vx = konst. α 6 6 6 6 6
• v~x v~y ~v α ? ~
smìr svislý - pohyb rovnomìrnì zrychlený vy
e
Vzájemným doazením a úpravou dostaneme: vy
= mFe
e
` , vx
kde Fe = e Udy , ...
vy
= Uy me 8
= ay t, ay = mFe
(pole homogenní)
1
e
` d vx
Z obrázku plyne: tg α = vv a tedy: y
x
tg α = Uy me
1
e
(1.4)
` d vx2
Nyní se v minulém pøíladu þinspirujemeÿ výrazem (1.3) a výraz (1.4) upravíme: tg α = 21 d` UUy x Dosazeno: α = 45◦
Text nepro¹el jazykovou úpravou. Za pøípadné chyby se omlouvám a prosím na jejich upozornìní.
A
vysázeno systémem L TEX
9
