Soal dan Solusi Materi Elektrostatika 1.
Tentukan medan listrik pada jarak z di atas salah satu ujung kawat sepanjang L yang membawa muatan berdistribusi seragam dengan rapat muatan
,
seperti gambar berikut ini ! P z L
Solusi P
Posisi titik P, yaitu , adalah =
̂
θ z
Posisi dq yaitu =
dq= dx
, adalah
̂
0
dx x
Jarak dq ke titik P adalah | −
|=(
+
)
/
Maka medan listrik di titik P, yaitu = = = = = =
4 4 4
1
| −
1 1
4 #
̂−
)
(
+
)
/
(
̂−
̂)
(
+
)
/
(
̂−
̂)
!
4
( −
|
, adalah
( ( $
̂
+
+ )
)
̂− ̂−
4
(
+ (
) +
̂"
/
)
/
̂
L
#
*Menghitung
Perhatikan kembali gambar di atas tan ( = =
tan ( =
tan (
+
=
+
=
tan ( +
cos (
Selain itu, mendiferensial x terhadap ( memberikan hasil = =
sec ( (
( cos (
dengan mensubstitusikan nilai ( #
=
#
=
#
=
#
=
#
=
4 4 4 4 4
( cos (
/0
/1
/0
/1
) dan
ke persamaan
#
diperoleh
. cos (
cos ( (
/0
/1
+
cos ( (
|sin (|//01 (sin ( − sin ( )
Batas bawah integral ( yaitu pada saat x = 0, maka sin ( = 0 sedangkan batas atas ( , yaitu pada saat x = L, maka sin ( = 0 0 1/0 sehingga ( 45 ) diperoleh #
=
4
6 (6 + )
/
$
*Menghitung $
=
4
(
+
)
/
Misalkan +
2
= 7 , maka
= 7
1 7 2
=
sehingga $
=
$
=
$
=−
$
=
1 2
4
90
91
7
1 −2 . 2 7 /
4
:
4
(
= =
2.
#
̂−
4 4
$
: /
.
, yaitu
̂
6 (6 + ) ;
/
1 (6 + )
Akhirnya diperoleh =
/
1 + )
1 - −
4
7
6 (6 + )
/ /
. ̂−
1 - −
4
̂+-
(6 +
)
1 (6 + )
/
/
. ̂
− 1. ̂<
Tentukan medan listrik pada jarak b di atas pusat pelat lingkaran dengan jarijari R yang membawa rapat muatan permukaan seragam =, seperti gambar
berikut ini !
P
b
R
Solusi
z P
| −
b
|
r sin θ r cos θ
R
y
θ r
== B B= (
x
Posisi titik P, yaitu , adalah = > ?@
Posisi dq yaitu
, adalah
= cos ( ̂ + sin ( ̂
Jarak dq ke titik P adalah
| −
|=(
+> )
/
Maka medan listrik di titik P, yaitu = = = = =
4 4 4 4 4
1 1 1
A
( −
)
= B ( − | − |
)
| −
A
D
1
C
1
C
( (
C
= =
|
=
(
(
+> )
+> ) +> )
D
, adalah
(> ?@ − cos ( ̂ − sin ( ̂) (> ?@ − cos ( ̂ − sin ( ̂) (
E>( ?@ − sin ( ̂ + cos ( ̂E
D
=
4
1
>= = 2 = = 3.
C
C
(
(
=
+> )
+> )
2 > ?@ ?@
>= 1 1 - − 2 > (F + > )
= > -1 − 2 (F + > )
/
. ?@
/
. ?@
Gunakan hukum Gauss untuk menghitung medan listrik pada bidang luas sekali yang membawa muatan permukaan seragam, = !
A
=
Solusi Pertama gambarkan permukaan Gauss yang simetri berbentuk kotak yang berada pada dua sisi bidang muatan. Medan listrik yang menembus permukaan Gauss pada sisi atas mengarah ke atas, sedangkan pada sisi bawah mengarah ke bawah. Medan listrik yang menembus seluruh permukaan Gauss pada kedua sisi tersebut sama besar. Luas permukaan Gauss yang ditembus medan listrik anggap seluas A, maka luas total permukaan yang ditembus oleh medan adalah 2A, yaitu seluas A pada sisi atas, dan seluas A pada sisi bawah. Adapun sisi kanan kiri dan depan belakang dari kotak yang kita buat tidak dilewati oleh medan listrik. Hukum Gauss menyatakan G
∙ B=
IJKL
dan B searah, sehingga vektor satuannya sama
G( M) ∙ ( B M) =
IJKL
GM ∙ M B =
IJKL
IJKL
G B=
IJKL adalah muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss, yaitu rapat
muatan (=) dikali luas bidang muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss (A)
(2N) =
=N
= 2 = = MO 2 =
dengan M adalah vektor satuan yang arahnya tegak lurus terhadap permukaan 4.
Tentukan medan listrik pada titik P yang berjarak z dari kawat panjang sekali yang bermuatan seragam, dengan rapat muatan . Solusi Pertama kita buat permukaan gauss, yaitu berupa silinder dengan jari-jari z dan tinggi l. Luas permukaan yang ditembus oleh garis-garis medan listrik adalah luas dari selimut silinder, 2πzl. Sisi kiri dan kanan tidak dilewati oleh medan listrik.
P z
λ
l G
∙ B=
IJKL
Oleh karena medan listrik yang menembus permukaan Gauss besarnya sama di setiap titik dan arahnya tegak lurus terhadap permukaan maka arah medan listriknya G
∙ B=
searah dengan arah dari vektor elemen luas B
IJKL
G( M) ∙ ( B M) =
P
P
G B=
Integral tertutup da adalah luas seluruh permukaan Gauss yang ditembus oleh medan listrik (2 = = 5.
P) = 2
1
4
P
2
Bola bermuatan berlubang di bagian tengahnya seperti gambar di bawah. Jika rapat muatan yang dimiliki bola pada daerah B ≤
≤ >, adalah R = ?
maka tentukan medan listrik pada daerah a. b. c.
≤B
B≤
≥>
≤ >, dan
R=?
S
S
a b
Solusi a.
Medan listrik dihitung menggunakan hukum Gauss bentuk integral untuk muatan kontinue G
∙ B=
IJKL
untuk distribusi muatan volume maka G
∙ B=
1
Oleh karena di G
∙ B=0
=0
V
R U
≤ B tidak terdapat muatan maka
b.
Pada daerah B ≤ ∮
∙ B=
G
∙ B=
)=
(4
)=
(4
)=
(4
)=
(4
)=
=
Z R U , U adalah elemen volume pada koordinat bola
XY [
(4
≤>
1
D
D
?
D
D
?
D
D
?( − B)
]
V
?
]
( \
sin ( ( \
V
( − B) sin ( ( \ D
?( − B)
sin (
S
D
D
2
4 ?( − B)
sin ( ( \
\
?( − B)
Dalam bentuk vektor, medan listriknya menjadi ?( − B)
=
MO
dengan M adalah vektor satuan yang tegak lurus terhadap permukaan dan arahnya keluar
c.
≥>
Pada daerah ∮
G
∙ B = X Z[ R U , U adalah elemen volume pada koordinat bola ∙ B=
(4
)=
(4
)=
(4
)=
(4
)=
=
Y
1
D
D
?
D
D
?
D
D
?(> − B)
^
V
?
S
^
sin (
( \
sin ( ( \
V
(> − B) sin ( ( \
4 ?(> − B)
D
D
sin ( ( \
?(> − B)
Dalam bentuk vektor, medan listriknya menjadi:
=
_(^SV) XY ] 0
MO
