Rangkuman Materi dan Soal-soal
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
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Ringkasan Materi dan Contoh Soal
1. Pengertian a). Limit kanan dan limit kiri *) lim+ f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. x→a
*) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L. x →a
b). Definisi limit lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim + f ( x) = lim − f ( x ) = L x →a
x →a
x →a
y f(x) L
a kiri
Soal-soal: 1.
x kanan
y f(x)
Dari gambar diperoleh: 1). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) = 3 x→ 2 x →2 − x →2 +
4 3
2
5
x
2). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x) = 4 , limit kiri dan limit x →5 − x →5 + kanan tidak sama maka lim f ( x ) = Tidak Ada x →5
x + 2; jk x ≤ −3 2. Jika f (x ) = maka lim f ( x) = lim x + 2 = −3 + 2 = −1 dan 2 − x ; jk x > 3 x →−3 − x → −3− lim f ( x ) = lim 2 − x = 2 − (− 3) = 5 sehingga lim f ( x ) tak ada (limit kiri ≠ limit kanan) x →−3 x →−3 + x→ −3 + 4 x − 1; jk x < 2 3. Jika f (x ) = 2 maka lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 dan x + 3; jk x ≥ 2 x →2 − x→ 2 −
lim f ( x ) = lim x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7 sehingga lim f ( x ) = 7 x→ 2 x →2 + x→ 2 + 2. Nilai Limit Fungsi Aljabar Menentukan nilai limit lim f ( x ) dengan cara: x→a
0 a). Subtitusi, jika diperoleh bentuk tak tentu ( ), maka dilakukan: 0 b). Faktorisasi, atau c). Perkalian dengan sekawan
v Untuk lim f ( x ) dengan subtitusi x→a
Ø Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c x→a
c Ø Jika f (a) = maka lim f ( x ) = ∞ x→a 0 0 Ø Jika f (a) = maka lim f ( x ) = x→a c 0 Ø Jika f (a) = maka dilakukan cara b). atau cara c). 0
1
Soal-soal: 1). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9 x →3
5 x − 6 5( −3) − 6 − 15 − 6 − 21 21 = = = = x +1 − 3 +1 −2 −2 2 x−2 2−2 0 3). lim = = =0 x→ 2 x + 2 2+2 4 x−2 2−2 0 4). lim 2 = 2 = BTT, maka x→ 2 x − 5x + 6 2 − 5 .2 + 6 0 x−2 x−2 1 1 1 lim 2 = lim = lim = = = −1 x→ 2 x − 5 x + 6 x→ 2 (x − 2)( x − 3) x →2 ( x − 3) 2 − 3 −1
2). lim
x →−3
x 2 + 3x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0 5). lim 2 = = = BTT, maka x →−1 x − 5 x − 6 ( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0 2
x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2 ) = lim ( x + 2) = − 1 + 2 = 1 = − 1 = lim 2 x →−1 x − 5 x − 6 x →−1 ( x + 1)( x − 6) x→ −1 (x − 6) − 1− 6 − 7 7 3 2 3 2 x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0 6). lim = = BTT, maka x→ 0 2x − 7x 2 2.0 − 7.0 2 0 3 2 2 x − 5x + 3x x x − 5x + 3 x 2 − 5 x + 3 0 − 5.0 + 3 3 lim = lim = lim = = x→ 0 x →0 x→ 0 2x − 7x 2 x (2 − 7 x ) (2 − 7 x ) 2 − 7.0 2 lim
(
)
(
)
3 − 4x + 1 3 − 8 +1 0 = = BTT, maka x−2 2−2 0 3 − 4x + 1 3 − 4x + 1 3 + 4x +1 9 − (4 x + 1) lim = lim ⋅ = lim x→ 2 x→2 x−2 x−2 3 + 4 x + 1 x→ 2 (x − 2) 3 + 4 x + 1
7). lim
x→ 2
= lim
x→ 2
= lim
x→ 2
8). lim
x →3
lim
x →3
(
8 − 4x
(x − 2)(3 +
(3 +
4x + 1
−4
4x + 1
)
=
)
− 4(x − 2)
= lim
( x − 2 )(3 +
x →2
−4
3 + 4 .2 + 1
=
−4 4 2 =− =− 3+ 3 6 3
x + 2 − 2x −1 0 = BTT, maka 0 2x − 3 − x x + 2 − 2x −1 x + 2 − 2x −1 x + 2 = lim . x →3 2x − 3 − x 2x − 3 − x x+2 ( x + 2) − ( 2 x − 1) = lim x →3 2x − 3 − x x + 2 + − x+3 = lim x →3 2x − 3 − x x + 2 + = lim
x →3
= lim
x →3
= lim
+ 2x − 1 + 2x − 1
(
)(
2x − 1
(
)(
2x − 1
( )(
(
2x − 3 + x x + 2 + 2 x − 1 ((2 x − 3) − ( x) )
(
)
)
2x − 3 + x 2x − 3 + x
) )
Dikali sekawan penyebut
)
− ( x − 3) 2 x − 3 + x x + 2 + 2 x − 1 (x − 3)
) − ( 2x − 3 + x ) = lim ( x + 2 + 2x −1) − ( 2.3 − 3 + 3 ) − ( 3 + 3 ) 2 = = =− ( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5 + 5 2 x →3
Dikali sekawan pembilang
)
(
(− x + 3)(
)
)
− x+3 . 2x − 3 − x x + 2 + 2x − 1
)(
4x + 1
)
(
x →3
3 3 =− 5 5
2
Menentukan nilai limit lim f ( x) dengan cara: x →∞
a). Subtitusi. b). Jika diperoleh bentuk tak tentu (
∞ ) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan ∞
variabel pangkat tertinggi (VPT). c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞ − ∞ ) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT). v Untuk lim f ( x) dengan subtitusi x →∞
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
∞ maka lim f ( x) = ∞ x →∞ c c maka lim f ( x) = 0 x →∞ ∞ ∞ maka dilakukan dengan cara b). ∞ ∞ – ∞ maka gunakan cara c).
Catatan: k 1) lim n = 0 ; n > 0 x →∞ x 2) lim kx n = ∞ ; n > 0 x →∞
3) lim k = k ; k konstanta x →∞
Soal-soal: 1). lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9 = ∞ x →∞
2). lim
x →∞
6 6 6 = 2 = =0 x +1 ∞ + 1 ∞
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)
2
x 2 , maka pembilang dan 2 penyebut dibagi dengan x adalah
3). lim 96 = 96 x →∞
2x ∞ = BTT maka 3x + x − 1 ∞ 2x 2 lim 2 x 2x x2 x x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 1 1 x 1 3+ x − lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 2 + − x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x x2 x2 x2 0 0 = = =0 3+0−0 3
4). lim
x →∞
2
Lihat Teorema Limit
2x2 ∞ 5). lim 2 = BTT, maka x →∞ 3x + x − 1 ∞ 2x 2 lim 2 2x2 2 x2 x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 1 1 x 1 3+ x − lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 2 + − x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x x2 x2 x2 2 2 = = 3+0−0 3 6). lim
x →∞
( 4x
2
)
− 5 x + 1 − 4 x 2 + 7 x − 2 = ∞ − ∞ BTT, maka
3
( 4x − 5x + 1 − = lim ( 4 x − 5 x + 1 −
4x + 7x − 2
2
4x 2
2
x →∞
x →∞
(4 x
= lim
x →∞
) ( 4x + 7 x − 2 )⋅ ( 4x
2
lim
2
) (
− 5x + 1 − 4x 2 + 7x − 2
)
− 5x + 1 + 4x + 7 x − 2
2
− 5x + 1 + 4x
2 2
4x − 5x +1 + 4x + 7x − 2 − 12 x + 3 2
= lim
x →∞
2
= lim
x →∞
= lim
x →∞
=
Dikalikan sekawan
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
4x − 5x +1 + 4x + 7x − 2 − 12 x + 3 x x 2 4 x 2 − 5x 2 + 1 2 + 4 x 2 2 + 7 x 2 − 2 2 x x x x x x − 12 + 3 x 4− 5 + 1 2 + 4+ 7 − 2 2 x x x x − 12 + 0 2
) + 7x − 2)
2
2
lim
x →∞
− 12 x
4x 2 + 4x 2
VPT pembilang adalah x, dan VPT 2
penyebut x (setara), maka pembilang dan penyebut dibagi 2
dengan x (jk dlm akar menjadi x ) Lihat catatan 2
4 −0 + 0 + 4 + 0 −0 12 12 =− = − = −3 4 2 4
Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga: 0, jk n < m a ax + bx + ... ax Jika f ( x ) = maka lim f ( x ) = lim = , jk n = m x →∞ x→ ∞ px m px m + qx n−1 + ... p ∞, jk n > m n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. n −1
n
Ø
n
Jika f ( x ) = ax 2 + bx + c −
Ø
∞, jk a > p b − q px 2 + qx + r maka lim f ( x) = , jk a = p x →∞ 2 a − ∞, jk a < p
3. Teorema Limit Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku: a. lim c = c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x )
x→ a
x→ a
b. lim x = a n
n
x →a
x→ a
c. lim f ( x) = f ( a)
f ( x) f ( x ) lim h. lim = x→ a ; lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x) g ( x) x→ a lim x→a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a)
i. lim ( f ( x )) n = ( lim f ( x )) n
e. lim ( f ( x ) + g ( x)) = lim f ( x ) + lim g ( x)
j. lim
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x →a
x→a
x→ a
x→a
n
f ( x ) = n lim f ( x) ; lim f ( x ) ≥ 0 x→ a
x→ a
f. lim ( f ( x ) − g ( x)) = lim f ( x ) − lim g ( x) x→ a
x →a
Soal-soal: 1). a. lim 25 = 25 x→ 6
x →a
b. lim 36 = 36 x→ 0
c. lim 9 = 9 x →−2
2). lim x = 3 = 81 4
4
x →3
3). lim x 3 − 5 x + 7 = 2 3 − 5.2 + 7 = 5 x→ 2
4
4). lim 5 x = 5 lim x = 5.( −2) = −10 x →−2
x →−2
5). lim 5 x + 3 x 2 = lim 5 x + lim 3 x 2 = 5.4 + 3.4 2 = 20 + 48 = 68 x→ 4
x→4
x→ 4
6). lim 5 x − 3x = lim 5x − lim 3x 2 = 5.4 − 3.4 2 = 20 − 48 = −28 2
x→ 4
x →4
x →4
( )(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim (5 x − 1) = 8.4 = 32 (5x + 3x ) = lim (5x + 3x ) = 8 = 2 8). lim 7). lim 5x + 3x
2
2
x→1
x →1
x→1
(5 x − 1)
x →1
2
2
x→1
(
lim (5 x − 1) x→1
4
)
9). lim (5 x + 2) = lim (5 x + 2) = (5.1 + 2 ) = 7 3 = 343 3
x→1
3
x →1
3
10). lim 5 x + 2 = 3 lim (5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 7 3
x→1
x→1
(
)
5 x − 3x 2 lim 5 x − lim 3 x 2 5.(−5) − 3.( −5) 2 − 25 − 75 − 100 5 x − 3x 2 lim x →∞ x→ ∞ 11). lim = = x →∞ = = = x →−5 2 x + 7 lim (2 x + 7 ) lim 2 x + lim 7 2.(−5) + 7 − 10 + 7 3 x→ ∞
x→∞
x →∞
4. Limit Fungsi Trigonometri Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus: sin x x = lim =1 x→ 0 x →0 sin x x tan x x b. lim = lim =1 x→ 0 x →0 tan x x sin ax ax a c. lim = lim = x→ 0 x → 0 sin bx bx b
a. lim
tan ax ax = lim = x→ 0 x → 0 tan bx bx tan ax sin ax e. lim = lim = x→ 0 sin bx x → 0 tan bx
d. lim
a b a b
Soal-soal: x 0 0 1). lim = = =0 x→ 0 cos x cos 0 1 1 1 2). lim1 sin x + cos x = sin π + cos π = 1 + 0 = 1 2 2 x→ π 2
sin 2 x sin 2 x 2 sin 2 x = lim . = 2. lim = 2 .1 = 2 (jika x → 0 maka 2 x → 0 ) x → 0 2 x → 0 x x 2 2x 3 x + sin 4 x 0 4). lim = BTT, maka (khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x) x→ 0 5 x − tan 2 x 0 sin 4 x sin 4 x 3x + sin 4 x 3+ lim 3 + lim 3 x + sin 4 x x x →0 x = lim x = x →0 x = 3+4 = 7 lim = lim x→ 0 5 x − tan 2 x x →0 x → 0 tan 2 x tan 2 x 5 − 2 3 5 x − tan 2 x 5− lim 5 − lim x x → 0 x → 0 x x x 1 − cos 4 x 0 5). lim = BTT, maka x→ 0 x sin x 0 1 − cos 4 x 1 − cos 4 x 1 + cos 4 x 1 − cos 2 4 x sin 2 4 x lim = lim . = lim = lim x→ 0 x→0 x sin x x sin x 1 + cos 4 x x →0 ( x sin x )(1 + cos 4 x ) x →0 ( x sin x )(1 + cos 4 x ) sin 4 x.sin 4 x 1 4 x.4 x sin 4 x sin 4 x 4 x 1 4x = lim . . = lim . . . . x→ 0 x sin x 1 + cos 4 x 4 x.4 x x →0 4 x 4 x sin x (1 + cos 4 x ) x
3). lim
x→ 0
1 = 1.1.4. .4 = 8 2
5
cos x 6). limπ π x→ 2 x − 2
0 π = BTT, maka Diketahui rumus trigonometri: cos x = sin − x 2 0 π π π π sin − x sin − x − − sin x − sin x − cos x 2 2 2 2 = lim = lim limπ = limπ = − limπ = −1 π π π π π π π x→ 2 x − x→ x→ x→ x→ x − x − x − 2 x − 2 2 2 2 2 2 2 2
5. Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f ( x) ada
Ciri: Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
x→ a
c. lim f ( x) = f (a) x→ a
Soal-soal: 1). Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1) x→1
x − 9 2). Fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena 3; x =3 2
x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = lim = lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x − 3 x→ 3 x→ 3 ( x − 3) b. f(3) = 3 maka lim f ( x ) ≠ f (3) a. lim
x →3
6. Limit Barisan Bilangan n
n
1 a. lim 1 + = e n →∞ n
1 c. lim 1 − = e −1 n →∞ n
b. lim (1 + n) n = e
d. lim (1 − n ) n = e −1
1
1
n →∞
n →∞
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
1 1 + + ... (bilangan Euler) 2! 3!
Soal-soal: x 1. lim x→ ∞ x + 1
atau
x +1
x +1 −1 = lim x →∞ x +1
x lim x →∞ x + 1
x +1
x +1
1 x+1 = lim − x→ ∞ x + 1 x +1
x + 1− 1 = lim x→ ∞ x +1
x +1
x +1
1 = lim 1 − x→ ∞ x + 1
1 x +1 = lim − x →∞ x + 1 x +1
−( x +1) 1 = lim 1 − x →∞ x + 1
−1
x+1
−3
= e −1
1 = lim 1 − x →∞ x + 1
− (x +1 ) 1 = lim 1 + x→ ∞ − ( x + 1)
1 1 −3 1 2. lim (1 − 3x ) x = lim (1 − 3 x )− 3 x . 1 = lim (1 − 3x )− 3 x x →∞ x→ ∞ x →∞
x +1
1 = lim (1 − 3 x )− 3 x x→∞
Persamaan c.
x +1
−1
−3
= e −1
Persamaan a.
= e −3
6
2 3. lim 1 + x→ ∞ 3+ x
−2 x
2 = lim 1 + x →∞ 3+ x
3+ x ( −4 )+6 2
3+ x 2 2 = lim 1 + x →∞ 3+ x
−4
6 2 1 + 3 + x
−4
3+ x 6 2 2 2 6 −4 −4 = lim 1 + . lim 1 + = e .(1 + 0 ) = e x→ ∞ 3 + x x →∞ 3 + x
Catatan: a. a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) b. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 c. a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2
( (
d. (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Bentuk Sekawan: a. a − b sekawannya a + b b. a + b − c sekawannya a − b − c c. a b − c sekawannya a b + c d. a + b + c − d sekawannya a + b − c − d e. a + b − c sekawannya a + b + c
) )
e. (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
( a) = a ⋅ g. ( a + b ) = f.
2
a =a
2
dan lain sebagainya..
a +b⋅ a+b =a +b
Catatan 2: a a a. = b b b.
a = x
Keterangan: Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
a x
2
=
c.
a+b = x2
d.
ax 2 + bx = x3
dan lain- lain.
a x2
a+b x4
=
a+b = x4
ax 2 + bx x6
=
a b + 4 4 x x
ax 2 + bx = x6
ax 2 bx + 6 x6 x www.matikzone.co.cc
7
Soal-Soal Latihan
A. Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. 2; jk x ≤ 0 1. Jika f ( x) = 2 , tentukan: a. lim f (x ), b. lim f (x ), c. lim f ( x ) jk ada. x→ 0 x ; jk x > 0 x→0 − x→0 +
3 x + 2; jk x < 1 2. Jika f ( x ) = , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f (x ) , c. lim f ( x ). x →1 x + 4; jk x ≥ 1 x→1− x→1+ 4 x + 1; jk x ≤ 1 3. Jika f ( x ) = 2 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f (x ) , c. lim f ( x) . x→1 2 x + 3; jk x > 1 x→1− x→1+ − 1; jk x < −1 4. Jika f ( x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f (x ) , c. lim f ( x ) . x→ − 1 x→ −1− x→ −1+ 1; jk x > −1 2; jk x < − 1 5. Ditentukan f ( x) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1 0; jk x ≥ 1 Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f ( x )
x→ − 1
6. Tentukan nilai dari: a. lim x − 1 x→1+
b. lim x 2 x→ −1+
7. Tentukan nilai dari: a. lim 4 x x→ 4−
b. lim x x→ −2−
x →1
1 c. lim 2 x→0 + x 3 c. lim x→ 0 − 2 x
8. Diketahui fungsi f ( x ) = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. lim f ( x) b. lim f ( x) c. lim f (x ) d. lim f ( x ) x →1
x→ 3
x→16
x→ 0
1 9. Selidikilah, apakah lim ada? (cari limit kiri dan limit kanan). x→ 0 x 10. Tentukan lim f (x ) dan lim f ( x ) dari gambar berikut: x→ −2
x→4
y
f (x)
3 2 1 -2
4
x
B. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 11. lim 1000 x →1
13. lim 2x + 5 x→ − 2
14. lim 3x 2 + 5x − 10 x→0
x→ −3
[
]
16. lim (4 x − 7).3 (3 − x ) x→ −5
x 17. lim x→4 x + 2 3x − 1 x 18. lim x→ 4 x + 2 x − 3 3x 2 − 5 x + 10 x→0 x 3 + 6 x − 45 6x + 9 20. lim x→2 7 x − 10 21. lim 4 x − 11
19. lim
x→9
22. lim
x2 − 7
23. lim
x2 − 6 − x3
x→4
x →1
x 2 + 3x + 6 x→2 x 3 +1 1 lim x→ 2 x − 2 x+4 lim 2 x→4 x − 2x − 24 x+5 lim 2 x→ −1 x − 2 x − 24 6− x lim x→ − 3 x+6 x−3 lim x→3 x 2x 2x − 3 lim + x→2 6 − 7x x 9x lim + 5 x + 14 x→ − 2 8 + 5 x
24. lim 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
2x −1 ( x − 3)(x − 5) 33. lim x→ 7 2x + 2 + 5x x + 3 + 5x + 4 34. lim x →1 15 − 6 x − 2x − 1 35. lim 8 − 2x + − 5x + 5 x→5
12. lim 12345
15. lim ( x − 4)( x + 1)
(x − 3)( x − 5)
32. lim
x→ 5
x→ −4
36. lim
x→3
(
( 2x
2
)
+ 3x − 2 − 2 x 2 − 4x + 3
)
x+9 2x − 1 7x 38. lim x→ m m x2 + x 39. lim x→n n 40. Jika lim (x + 1) = lim (2 x − 3) , maka tentukan
37. lim
x →a
x→ n
(
x→ n
nilai dari: lim x −16 x→n
2
)
x 2 − 6x − 7 = a , berapakah nilai x→7 x 2 − 10x + 21 4x2 − 7x − 2 dari lim ? x →a 3 − 4x +1 2x2 + 5x + 2 3 42. Jika lim 2 = , maka a = … x→ −2 x + ax − 10 7 3x 2 + ax − 1 11 43. Jika lim 2 = , maka a = … x→3 x − ax − 30 13 x −1 44. lim x →1 x −1 x −1 45. lim x →1 1− x x −1 46. lim x →1 x − 1 x −1 47. lim x →1 1 − x x 2 + 5x − 6 48. lim x →1 x −1 2x + 6 49. lim 2 x→ −3 x + x − 6 41. Jika lim
3 x 2 − 5x 50. lim x→ 0 x x 51. lim x→0 x+ x x−4 52. lim x→ 4 x−2 53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah: 1 1 a. lim 2 + x→0 x − x x
1 2 b. lim 2 − x→0 x − 1 x −1 1 3 c. lim − x →1 1 − x 1 − x3 3 2 d. lim 2 − 2 x→2 x − 4 x + 2x − 8 2x + 2 54. lim 2 x→ − 1 x − 3 x − 4 3 x 2 − 6x 55. lim x→2 x−2 (x − 2 )2 − 1 (Ebtanas IPS 99) 56. lim x→3 x−3 2x −1 57. lim 2 1 x→ 2 x + 3 x − 2 2
x 2 + 3x − 4 x →1 x 2 − 2 x + 1 x 2 + 2x lim 3 x→ 0 x + x 2 + 3 x x4 − 6x2 lim 3 x→0 x + 2 x 2 x n+ 3 + 6x n+1 − x n lim x→0 x n +4 + 2x n 2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3 lim x →1 x 2 −1 x3 + x 2 − 8x + 4 lim 3 x→2 x − 2 x 2 − x + 2 x3 + x2 − 6x lim 3 x→2 x − 2 x 2 + 6 x − 12 x3 − 8 lim x→2 x − 2
58. lim 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65.
x3 − 1 66. lim x →1 1 − x x−3 67. lim 3 x→3 x − 27 4−x 68. lim 3 x→4 x − 64 x −1 69. lim 3 x →1 x −1
70. lim 3 x→
2
71. lim
8x 3 − 27 4x2 − 9 x 2 − 2x − 8
x −2 x −1 72. lim 4 x →1 x − x 73. Diketahui g ( x) = 1+ 2 x , maka nilai g (1 + x) − g (1 − x ) lim = ..... x→0 x x −1 74. lim x →1 2 − 3x + 1 x 2 − 3x + 2 75. lim x→2 2x + 5 − x + 7 x − 2 − 10 − x 76. lim x→ 6 6 x − 5x + 6 x + 2 − 2x −1 77. lim x→3 2x − 3 − x 3 − x − 3x − 1 78. lim x →1 5x − 1 − x + 3 x→ 4
79. lim
x+3 − 3 − x 5x + 1 − 4 lim x→3 x2 − 9 x −1 − 3 lim x→10 x − 10 x − 2x + 3 lim x→3 x2 − 9 x 2 + 3 − x −1 lim x →1 1 − x2 9 − x2 lim x→ −3 4 − x2 + 7 x→0
80. 81. 82. 83. 84.
x 2 + 2x + 3 − x2 − 2x + 3
**
85. lim
x→ 0
2 x 2 − 5x
C. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
3− 9 + x
4 − x2 − 9 x→5 5− x x + 4 − 2x +1 lim x→ 3 x−3 x +4 − x− 4 lim x→ 5 x− 5 x−2 lim x→ 2 2x +1 + 2 − x 3 + x + 5x −1 lim x →1 3 + x − 5x −1 2x − x + 3 lim x→ −2 3x + 6 − x x 2 − 5x + 6 lim x→ − 3 3− x − x −3 1+ x − 1− x lim x→0 x 4x lim x→ 0 1 + 2 x − 1 − 2x 1− x lim x →1 1− x − x −1 x2 lim x→ 0 1− 3 1 + x 2
2 x→ ∞ x
86. lim
101.
lim
87.
102.
lim
88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96.
3
97. lim
x →1
x − 2.3 x − 1
106.
6 5 x10 −9 lim x→ ∞ 2 x 25 7 lim x→ ∞ 2x 3 + 5 x −3 lim 3 x→∞ x − 20 lim 4 x + 99
107.
lim x 2 + 9x − 15
108.
lim
103. 104. 105.
109. 110. 111. 112. 113.
2
( x − 1)2
**
xn − 1 ** x →1 x − 1 99. Diketahui f ( x) = 3 x 2 − 2 x , tentukan
98. lim
1 f ( x) − . f ( 2)(x + 2) 4 lim x→ 2 x−2 3 100. Diketahui f ( x ) = 2 , tentukan x ( f ( x) − f (2) ) lim x→2 x−2
114. 115. 116. 117. 118. 119. 120.
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
3x 100 7x + 4 lim x→ ∞ 55 2 x − 25 lim x→∞ 12 x +5 lim x→ ∞ 2x − 1 4x − 3 lim x→ ∞ 2 x + 5 6 − 8x lim x→∞ x + 5 10 + 3 x lim x→∞ 9 x − 5 10 + 3x lim x→ ∞ 3 − 9 x 7 − 5x2 lim x→∞ 3x + 12x 2 5 x 3 − 11x 2 lim x→ ∞ 3x + 12 x 3 (5x − 1)(2 x + 3) lim x→∞ (3 + 12 x )(x − 1) x2 + 5x − 3 lim x→∞ (3 − x )( x − 1) (x − 1)( x − 3) lim x→∞ 2x 2 + 3x − 15 x→∞
121.
4(2 x + 3) lim x→ ∞ 3 x 3 + 5 x
122.
lim
3
123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130.
140.
4x 4 + 8x x→ ∞ 2x 2 4 x 2 + 3x − 1 lim 2 x→ ∞ 3x + 5x − 2 x + 3x 3 lim 3 x→ ∞ 3 x − 2 4 ( 2x − 5) lim x→ ∞ (3 x 2 + 2)2 6x + x 3 − 5x 4 x→ ∞ x 3 − 2x 4 2 x(2x + 1) lim x→ ∞ 5 x − 4x 3 3 2(x − 1) lim x→ ∞ x 3 + 1 6x + 2x3 lim x→ ∞ ( x − 3)( x + 1)
132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139.
142.
(x lim x→ ∞
)(
−2 x + 2 x( x − 1)( x + 1) 2
2
2x + 7 x − 5 x→ ∞ x2 − x 2x2 + x lim x→ ∞ 6x + 3x3 lim
2x + x4 lim x→ ∞ 2x − 3 9x 4 + x lim 2 x→ ∞ x − x 3 3x 2 − 5 lim x→ ∞ 2 x 3 + x − 1 3x + 5 lim 2 x→ ∞ 2 x + 4 x + 5 3x 2 + 5x − 7 lim x→ ∞ 10x 3 + 5 x x 2 − 17 lim x→ ∞ x 6 + 5x 3 − 5
lim
x→ ∞
x 2 + 5x − 1 3x 2 − 9
143.
lim
144.
lim
145.
lim
3
131.
141.
146. 147. 148. 149.
)
x + 4 − 2x +1 lim x→ ∞ x −3 2 x − 17 lim x→ ∞ x 6 + 5 x 3 − 5 + 3x 6 − 2 x −2 lim x→ ∞ 2 4 x − 2x − 6 − x 2 + 1
150. 151. 152.
x 2 + 5x − 1
x→ ∞
3x 4 − 9 x + 1 x+6 − x+ 3
( ) lim ( x + 3 − x + 2 ) lim ( 2x − 1 − x + 4 ) lim ( 4x + 2 − x − 3 ) lim ( x + 5 − x ) lim ( 3x + 1 − 3x − 1) lim ( x + 1 − 2 x − 3 ) lim (3 x + 6 − 2 1 − x ) lim ( ax + b − px + q ) x→ ∞ x→ ∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞
untuk: a = p, a > p dan a < p
162.
( x + x + 1 − 2x + x ) lim ( 4x + 6 x − 1 − 5 x − x + 9 ) lim ( x + 2 x − 1 − (x − 2 )(2 x + 9) ) lim ( 4x − 5 − x − 3x ) lim ( 2x + x − 5 − x − 3x + 12 ) lim ( (3x + 1)( x − 5) − x + 7 x + 1) lim ( (3 x − 5)(x + 4 ) − 3 x − 7 x + 1) lim (x − 4x − 7 x − 1) lim ((x + 2 ) − 4x − 7x + 8 ) lim (x + 5 − x − x − 9 )
163.
lim ( x + 3) −
153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161.
2
lim
2
x→∞
2
2
x→ ∞
2
x→ ∞
2
2
x→ ∞
2
2
x→ ∞
2
x→ ∞
2
x→∞
2
x→∞
2
x→ ∞
2
x→∞ x→∞
(
( x − 3)(x + 3))
164. 165. 166. 167. 168. 169. 170.
( 3x + 3x − 5 − x + 4 ) lim ( x + 6 x + 5 − x − 4 ) lim ( x − 1 − 2x − 3) lim ( 4x + 3x − 5 − (2 x − 3)) lim ( 9 x + x − 4 − (3x + 5)) lim ( 2x − 3x + 5) lim ( x − 3x − 2x + 8 ) 2
lim
185.
x→ ∞
2
x→ ∞
186.
2
x→ ∞
2
187.
x→ ∞
2
x→ ∞
188.
2
x→ ∞
2
189.
2
x→ ∞
171.
lim 3x − x − 4 − 3x + 2 x − 5 x→ ∞
172.
lim
173. 174.
( 4x + 3x − 1 − 4 x lim ( x − 4 − x + 8 ) lim (x( x + 2 − x ) 4
2
x→ ∞
3
4
+ 5x2 + 1
190.
)
x→ ∞
192.
2
x→ ∞
175.
4 3 lim 2 − + 2 x→ ∞ x x
176.
lim
x 2 + x3 x x→ ∞ x2 33 x 2 − x 2 x lim x→ ∞ 6 + x2 x
193. 194.
3
177.
191.
3
** 195. ** 196.
D. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 197. 178.
lim sin x + 5 cos x x→
π 2
179.
lim (sin 2 x.cot x )
180.
sin x 5 cos x lim + π 3 sin x x→ 6 2
181. 182. 183. 184.
x→ 0
cos x lim x→0 2x x +5 lim x→0 cos x tan 2 x lim x→0 sin 5x sin 3x lim x→0 5x
198. 199. 200. 201.
x sin 5 x x→0 sin 2 3x 1 tan 2 x 2 lim x→0 sin 3x sin 2x 2x 2 lim x→0 sin 2 x sin 2 3 x lim x→0 (3x) 2 tan 2 x lim x→0 x sec 2 x x lim x→0 x x sin cos 2 2 2x lim x→ 0 cos x sin 2 2 x lim x→0 x2 cos x − cos 3x lim x→0 x2 sin 3x + sin 4 x lim x→ 0 x 1 − cos 2 x lim x→0 x 1 − cos 2 x lim x→0 2x2 sin (2 x 2 ) lim 2 x→0 x + sin 2 3 x sin 4 x tan 2 3 x + 6 x 3 lim x→0 2x 2 sin 3x cos 2 x cos x − cos a lim x →a x−a cos x − cos 3x lim x→ 0 1 − cos x cos 2 x lim π x→ π − 4 x lim
4
202.
cos 2 x π x→ 1 − sin x lim
4
203. 204.
1 − cos x x→0 x sin x limπ (sec x − tan x)
lim x→
2
205. 206. 207. 208.
sin x − tan x x→0 x3 lim ( x cot 2 x ) lim
x→ 0
x −1 lim x →1 tan πx tan x − 1 lim π cos 2 x x→
211. 212. 213. 214. 215. 216.
217.
lim
225.
lim
227.
cos 2 x limπ x→ x(tan x − 1)
228.
4
210.
lim
226.
4
209.
224.
sin 2 x
3 − 2x + 9 sin 4x lim x→ 0 1− 1− x sin (x − 2) lim x→2 x−2 sin ( x − π ) lim x→π x −π ( 3 x + 1) sin ( x − 1) lim x →1 x 2 + 2x − 3 sin x + 1 − 2 lim x→ 3 x−3 1 − sin x lim π π x→ −x 2 2 2 tan x lim π sec x x→
229.
tan 2 x. tan 3x lim x→ 0 5x 2 1 + cos x lim x→ 0 1 + sin x 1 − cos 2 x lim x→0 1 − cos x x2 + 3x lim x→0 sin x 2x 2 lim x→0 1 1 − cos 2 x 2 sin 3x − sin 3x. cos 2x lim x→0 4x3
235.
x→0
(
)
230.
231. 232. 233.
234.
218. 219. 220. 221. 222.
223.
236.
238. 239. 240. 241.
(x
)
− 5x + 6 sin (x − 2)
(x
2
)
− x−2
)
2
− 1 sin 6 x x + 3x2 + 2x sin 8x + sin 2 x lim x→0 4x cos 3 x sin 2 x lim x→ 0 3 − 2x + 9 sin 5x − sin 2 x lim x→0 sin 8x − sin 3x tan 2 x − tan x lim x→0 sin 2 x − sin x 1 − tan x lim π x→ π −x 4 4 1 − cos 4 x limπ x sin x x→ 2 x→0
2
3
sin(cos x) lim π cos x x→ 2 cos x − sin x 1 1 x→ π x− π 4 4 sin x − cos x lim1 x→ π 1 − sin 2 x lim
(
)
sin x 2 − 1 x →1 x −1 1 + cos 2 x lim1 cos x x→ π
lim
2
237.
2
x→2
2
2
(x
3(x − a ) sin (x − a ) + 2 x − 2a x 3 − (a + 1) x 2 + ax lim 2 x →1 (x − a ) + tan( x − 1) 1 + cos x lim x→π x −π sin 2 x(1 + cos x ) lim x→0 tan x(1 + 3 sec x ) 3sin 2 x − 2 sin 3x lim x→ 0 x(1 − cos 3 x) lim
x →a
242. 243. 244. 245.
246.
x3 lim x→0 sin 2 x − tan 2 x tan x − sin x lim x→0 x3 1 − cos (x + 3) lim x→ −3 x 2 + 6 x + 9 sin 2x + sin 6x + sin 10 x − sin 18 x lim x→0 3 sin x − sin 3x tan x − tan y lim ** x→y 1 − x + 1 − x tan x tan y y y
Selidikilah, apakah fungsi- fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan: 257. 258. 259. 260. 261.
f ( x ) = 5 , pada x = 1 f ( x ) = 5x − 10 , pada x = – 3 8 , pada x = 3 f ( x) = x−3 3x − 12 , pada x = 4 f (x) = 2 x − 7 x + 12 3x 2 + 3x − 6 , pada x = – 2 f ( x) = 2 2 x − 2 x − 12
F. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: E. Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu: 247. 248. 249. 250. 251. 252. 253.
254.
255.
256.
x2 − 1 f ( x) = 2 x +x x2 + 2x + 3 f (x ) = x3 − 1 2x 2 − 5 x − 3 f (x) = 2 x + x−2 x2 + 1 f (x) = 2 x + 3x − 10 2x + 1 f (x ) = 2 x − x +1 1; unt x < 0 f (x) = 1 − x; unt x ≥ 0
2 x; unt x < 0 f (x ) = − x; unt x ≥ 0 x; unt x < 0 f ( x ) = 1; unt x = 0 x 2 ; unt x > 0 x 2 −1 f (x) = x −1 x2 − 1 ; unt x ≠ 1 f (x) = x − 1 2; unt x = 1
x+ 1
262.
x lim x→ ∞ x + 1
263.
2 lim 1 + x→∞ 3+ x
264.
x +5 lim x→ ∞ x + 3
265.
2x + 2 lim x→ ∞ 2 x + 6 x
266.
a lim 1 + x→ ∞ x
ax
267.
1 lim 1 + x→∞ x
268.
3x + 1 lim x→∞ 3x + 5
269.
x + 3x + 2 lim 2 x→∞ x + 5 x + 1
270.
x + 3x + 2 lim 2 x→ ∞ x + 7 x + 5
−2 x
x +6
2x
2
x +3
2
x
2 +1 x+1
2
2
5 x +3 x 2 x+ 1
f ( x + h) − f (x ) h →0 h dari fungsi-fungsi berikut:
G. Hitunglah nilai dari lim
271. 272. 273. 274. 275. 276. 277. 278. 279. 280. 281. 282.
f (x) = 9 f ( x ) = 5x f ( x ) = 8 x − 10 f ( x) = x 2
f ( x ) = 3x 2 f ( x ) = − 2x 2 + 1 f ( x ) = 2 x 2 + 3x f ( x) = x 3 f ( x ) = 2x 3 f (x ) = x
f (x ) = 2 x
f (x ) = 2 x + 1
Kata-kata mutiara: a. Where there is a will, there is a way, Dimana ada kemauan, disitu pasti ada jalan. b. Practise make s perfect, banyak latihan kuncine kesuksesan. c. Witing tresno jalaran soko kulino, witing iso jalaran soko kerep nyobo. d. Kalau orang lain bisa, kita InsyaAlloh juga bisa. e. Gagal adalah kesuksesan yang tertunda, maju teruuuss...
Sumber: a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen Kanginan. c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk. d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team. e. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. f. Matematika IPA kelas XI, Intan Pariwara, Kartini dkk. g. Matematika 2 SMU, Balai Pustaka, Andi Hakim N. h. Lainnya.
