Elektřina a magnetismus věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium

Elektřina a magnetismus věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium

kolektiv ÚFI FSI

hypertextová verze vycházející z přepracovaných skript Fyzika II, autorů: Šantavý, Liška

c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

Odkazy jsou v textu označeny modře a kliknutím „odskočíteÿ na příslušnou rovnici, obrázek, apod. Pokud se chcete v textu vrátit zpět, použijte klávesové zkratky Alt+Šipka vlevo nebo menu Zobrazení-Jít na-Předcházející zobrazení (nebo ikonku ), pro dopředný pohyb Alt+Šipka ). vpravo ( Ve významných místech označeny symboly: odkazy na odpovídající části v knize [1] ve formátu: HRW kapitola, strana. odkazy do textů Vybrané kapitoly z fyziky a Fyzika 1. video nebo animace simulační program dokumentace k programu interaktivní příklad početní příklad interaktivní test

Další texty a pomůcky ke studiu fyziky naleznete na http://physics.fme.vutbr.cz.

Obsah 1 Elektromagnetismus 1.1 Elektromagnetické interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Elektromagnetické jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Elektrický náboj Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Elektromagnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3.1 poznatky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . 1.1.3.2 Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, E ~ 1.1.3.3 Intenzita elektrického pole E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ Lorentzova síla F~L . . . . . . . . . . . . 1.1.3.4 Magnetická indukce B. 1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.1 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon. . . . . 1.1.4.2 Elektrické siločáry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.3 Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól. 1.2 Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Gaussův zákon elektrostatiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.1 Hlavní výsledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ orientovanou plochou . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.2 Tok N vektoru B ~ 1.2.1.3 Tok vektoru E uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového náboje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.4 Gaussův zákon elektrostatiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.5 Užití Gaussova zákona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Elektrický potenciál a napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.2 Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem . 1.2.2.3 Práce sil obecného elektrostatického pole . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.4 Energie bodového náboje v elektrostatickém poli, We . . . . . . 1.2.2.5 Elektrický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.6 Elektrické napětí U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.7 Ekvipotenciální plochy a elektrické siločáry . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Elektrostatické pole nabitých vodičů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1 Vodiče a dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Vodiče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3 Elektrostatická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4 Rovnovážný stav nabitého vodiče . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.5 Kapacita vodiče. Kondenzátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.6 Kondenzátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Elektrostatické pole v látkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 Interakce elektrického pole s látkou . . . . . . . . . . . . . . . . c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

7 7 7 7 10 10 11 12 14 16 16 17 18 20 20 20 21 22 23 23 26 26 26 27 28 30 32 33 34 34 35 36 36 39 41 42 42 3

OBSAH

1.3

1.4

1.5 4

1.2.4.2 Hlavní typy dielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2.4.3 Vektory elektrického pole v dielektriku . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.4.4 Feroelektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.2.4.5 Elektrické pole v homogenním dielektriku . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.4.6 Energie elektrického pole, We . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.2.4.7 Příklady — Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.1 Ohmův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.1.1 Základní informace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.1.2 Definice elektrického proudu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.1.3 Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.1.4 Výkon elektrostatických sil v proudovodiči. Jouleovo teplo . . . 60 1.3.1.5 Ohmův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.3.2 Obvody s elektromotorickým napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3.2.1 Zdroje napětí a proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3.2.2 Elektromotorické napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.3.2.3 Výkon zdroje elektromotorického napětí . . . . . . . . . . . . . . 66 1.3.2.4 Ohmův zákon pro obvod se zdrojem elektromotorického napětí . 67 1.3.2.5 Ohmův zákon pro uzavřený obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.3.2.6 Energetické poměry v obvodu stejnosměrného proudu . . . . . . 71 1.3.2.7 Příklady — Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . 72 Časově neměnné magnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.1 Magnetické pole vodičů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.1.1 Základní vlastnosti magnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.1.2 Relativnost elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.4.1.3 Elektromagnetické pole buzené rovnoměrně se pohybujícím bodovým nábojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.4.1.4 Magnetické pole lineárního proudovodiče . . . . . . . . . . . . . 81 1.4.1.5 Magnetické pole lineárního proudového elementu (Biotův-SavartůvLaplaceův zákon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.4.1.6 Magnetické pole vytvořené přímočarým lineárním vodičem a lineárním vodičem kruhového tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.4.2 Magnetické síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.4.2.1 Základní poznatky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.4.2.2 Ampérova síla působící na lineární proudový element . . . . . . 86 1.4.2.3 Definice ampéru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.4.2.4 Účinek homogenního magnetického pole na rovinnou proudovou smyčku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.4.3 Magnetické pole v látkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.4.3.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.4.3.2 Magnetický moment atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ~ . . . . . . . . . . . . . 93 1.4.3.3 Vliv látek na magnetické pole. Vektor H 1.4.3.4 Hlavní typy magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.4.3.5 Silové působení magnetického pole na látky . . . . . . . . . . . . 97 ~ H ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 1.4.4 Obecné vlastnosti vektorů B, 1.4.4.1 Magnetický indukční tok φ. IV. Maxwellova rovnice . . . . . . . 98 ~ . . . . . . . . . . . . . . 100 1.4.4.2 Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru H 1.4.4.3 Příklady — Časově neměnné magnetické pole . . . . . . . . . . . 102 Časově proměnné elektromagnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

OBSAH 1.5.1

1.5.2

Elektromagnetická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.1 Základní jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.2 Definice indukovaného elektromotorického napětí Ei . . . . . . . 1.5.1.3 Indukční jevy ve vodičích, pohybujících se v časově neměnném magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.4 Indukční jevy v nepohyblivých vodičích . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.5 Faradayův zákon elektromagnetické indukce . . . . . . . . . . . 1.5.1.6 Jev vlastní a vzájemné indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.7 Energie magnetického pole, Wm . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maxwellova teorie elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.1 Magnetomotorické napětí v obecném poli, εm . Maxwellův proud 1.5.2.2 Maxwellovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.3 Příklady — Časově proměnné magnetické pole . . . . . . . . . .


108 108 111 111 114 116 118 120 121 121 124 125

5

OBSAH

6


1. Elektromagnetismus 1.1 1.1.1

Elektromagnetické interakce Elektromagnetické jevy

Elektromagnetické jevy tvoří důležitou skupinu fyzikálních jevů, jejichž význam v denním životě i v elektrotechnické praxi vzrůstá. Přesto, že elektrotechnická zařízení jsou většinou velmi složitá a podrobné porozumění jejich činnosti vyžaduje důkladné studium, využívá se v nich relativně malého počtu jevů a zákonitostí elektromagnetismu. Studium fyzikálních základů elektromagnetismu je pro studenta strojního inženýrství důležité jednak proto, aby rozuměl fyzikální podstatě technických dějů, v nichž se elektromagnetické jevy uplatňují, jednak proto, aby si vytvořil předpoklady pro studium jiných částí fyziky optiky, atomistiky, fyziky pevných látek a teoretických a technických předmětů, které na fyziku navazují.

`v1

È1

~F

È2 `v2

Obrázek 1.1 Elektromagnetické děje v makroskopickém měřítku a elektromagnetické vlastnosti těles jsou podmíněny elektromagnetickými vlastnostmi některých částic, z nichž jsou tělesa složena. Na tyto částice působí v okolí jiných podobných částic, kromě síly gravitační, ještě další síly, tzv. síly elektromagnetické. Tyto síly se liší od síly gravitační velikostí, směrem a zejména tím, že jsou závislé nejen na vzájemné poloze částic, nýbrž také na jejich rychlostech. Vznik síly F~ , působící např. na částici 1 , pohybující se rychlostí ~v1 (obr. 1.1) se vysvětluje tím, že na ni působí elektromagnetické pole, vytvořené částicí 2 . Naopak také částice 1 vytváří ve svém okolí elektromagnetické pole, které působí na částici 2 , Částice, které mají tyto vlastnosti, se nazývají elektricky nabité. Jsou to např. protony, elektrony, pozitrony atd. Vzájemné působení elektricky nabitých částic se nazývá elektromagnetická interakce. Na rozdíl od sil gravitačních nesplňují síly elektromagnetické v obecném případě zákon akce a reakce.

1.1.2

Elektrický náboj Q

Při výkladu elektromagnetických jevů budeme vycházet z fyzikální veličiny „elektrický nábojÿ. V soustavě SI je sice základní veličinou v elektromagnetismu elektrický proud, definovaný na základě vzájemného silového působení vodičů, v nichž se pohybují elektricky nabité částice, z hlediska, fyzikálního má však základní význam fyzikální veličina „elektrický nábojÿ, který se označuje buď Q nebo q. Při jeho zavedení se vychází z těchto vlastností nabitých částic: Uvažujme o elektromagnetickém poli, vytvořeném v inerciální vztažné soustavě S (obr. 1.2) nabitými částicemi 1 , 2 , . . . , n , c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

7

?

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS

È1

~Fp P

~F

proton

~F' `v È2

Èn S Obrázek 1.2

jež jsou trvale v klidu. Takovéto pole se nazývá elektrostatické. Je-li v některém bodě tohoto pole, např. v bodě P (obr. 1.2), proton, působí na něj určitá síla F~p , která nezávisí na tom, zda a jak se proton pohybuje. Na jinou nabitou částici působí v témže místě P síla F~ , která rovněž nezávisí na pohybu částice a která se od síly F~p může lišit velikostí, leží však ve stejné přímce jako síla F~p . Síla F~ je pro některé částice orientována souhlasně jako F~p . Tyto částice označíme jako kladně nabité. Pro jinou skupinu částic, které označíme jako záporně nabité, je síla F~ orientována opačně síla F~ 0 v (obr. 1.2). Do první skupiny patří proton, pozitron, částice alfa atd., do druhé např. elektron. Elektrický náboj Q částice (krátce jen „nábojÿ) je veličina, která je přímo úměrná velikosti síly, která na ni působí v elektrostatickém poli. Náboj protonu označíme e a nazveme elementární náboj. Náboj Q libovolné kladně nabité částice je dán vztahem Q F~ = , e F~p

(1.1)

kde F~p je velikost síly působící v libovolně zvoleném bodě P elektrostatického pole na proton a F~ velikost síly působící v tomtéž bodě na uvažovanou částici (obr. 1.3).

~F = 3~Fp ~Fp elektrické e pole Q = 3e È

Obrázek 1.3 Veličina F~ /F~p udává číselnou hodnotu náboje částice , měřeného v elementárních nábojích e. Pro elektrický náboj je tedy proton „normálemÿ, právě tak jako pro hmotnost je normálem jisté přesně určené těleso. Je známo, že jednotka 1e je pro technické účely příliš malá a že se jí užívá většinou jen v atomové fyzice. V praxi se užívá jednotky soustavy SI 1coulomb = 1C. Tato jednotka je definována jako náboj částic, které projdou za 1s průřezem vodiče, kterým prochází proud 1 A. Platí 1 C = 1 A· s−1 . Přitom ampér je v SI definován na základě silových účinků proudu. Z měření plyne e = 1,602 19·10−19 coulombů. Náboj částic, na které elektrostatické pole nepůsobí, je roven nule, Q = 0, takže pro ně platí rovněž rovnice (1.1). Tyto částice nazýváme elektricky neutrální nebo nenabité (např. 8


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE neutron). Elektrický náboj záporně nabitých částic (tj. těch, na něž působí opačně orientovaná síla než na proton) lze zavést podobně. Náboj elektronu se označí Qe . Pro náboj Q libovolné záporně nabité částice, na níž působí v určitém bodě elektrická sila F~ , je dán vztahem Q = Qe F~ /F~e , kde Fe je velikost síly působící ve stejném bodě na elektron. Vztah mezi nábojem protonu a elektronu Experimentálně bylo zjištěno, že pro elektrický náboj Q libovolného tělesa (částice), sestávajícího buď z kladně nabitých a neutrálních částic nebo ze záporně nabitých a neutrálních částic, platí vztah Q = Q1 + Q2 + . . . + Qn

additivnost el. nábojů,

(1.2)

kde Q1 , Q2 , . . ., Qn jsou náboje jednotlivých částic. Většina objektů, které se zkoumají ve fyzice, obsahuje současně kladně i záporně nabité částice. Nejjednodušší taková soustava — atom vodíku — sestává z jednoho protonu, který tvoří jádro a z jednoho elektronu, který tvoří elektronový obal. Na atom vodíku nepůsobí elektrická síla, takže jeho elektrický náboj je nulový, Q = 0. Postulujeme-li platnost vztahu (1.2) i pro soustavu složenou z protonu a elektronu, dostaneme: Q = 0, Q = e + Qe =⇒ Qe = −e.

(1.3)

Elektron a proton mají tedy stejně velké náboje opačných znamének. Prohlásíme-li jeden z obou nábojů buď Qe nebo e za kladný, je zbývající záporný. Z historických důvodů se volí náboj protonu kladný, tj. e = 0. Náboj elektronu Qe = −e je pak záporný. Je zřejmé, že na náboji protonu ani elektronu není nic, co by jeden nebo druhý předurčovalo k tomu, aby byl kladný nebo záporný. Ze vztahů (1.2), (1.3) plyne, že všechny částice (a všechny soustavy) složené z kladně nabitých částic mají náboj kladný a že soustavy sestávající z částic záporně nabitých mají náboj záporný. Zákon additivnosti elektrických nábojů Z uvedených experimentálních výsledků a úvah plyne: Elektrický náboj Q soustavy, sestávající z částic o libovolných nábojích Q1 , Q2 , . . . , Qn , kde Qk R 0, je dán vztahem (1.2) Tento výsledek se nazývá zákon additivnosti elektrických nábojů. Je zřejmé, že to, že některé těleso nebo některá jeho část je elektricky neutrální, neznamená, že neobsahuje elektricky nabité částice, nýbrž jen to, že součet jeho kladných nábojů je roven absolutní hodnotě součtu jeho nábojů záporných. Zákon kvantování elektrických nábojů Experimentálně bylo zjištěno, že náboj žádné elektricky nabité částice (nebo jakéhokoliv objektu) není v absolutní hodnotě menší než e a že náboj Q libovolné soustavy (částice, tělesa) je vždy roven celistvému násobku elementárního náboje e, tj. že platí Q = n · e, n = 0, ±1, ±2, . . . kvantování nábojů Tento výsledek se nazývá zákon kvantování elektrického náboje. Poznámky: 1. Náboj libovolného tělesa se může změnit jen tak, že těleso získá nebo ztratí elektricky nabité částice (nebo obojí současně). Náboj tělesa se může měnit pouze nespojitě, po kvantech náboje o velikosti e nebo jeho celistvých násobcích. Název „elementární nábojÿ je proto oprávněný. 2. Náboj Q elektricky nabitých těles, je téměř vždy mnohem větší než e, tj. platí |Q| e. Náboj předávaný při nabíjení a vybíjení těles je ve srovnání s nábojem e tak velký, že jeho nespojitost, tj. kvantový charakter, je většinou nepozorovatelná a běžnými přístroji nezjistitelná. Náboj c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

9

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS těles se tedy mění přibližně spojitě, právě tak, jako se přibližně spojitě mění např. hmotnost plynu obsaženého v nádobě při jeho vypouštění. 3. Celkový náboj všech jader atomu v tělese je vždy nesrovnatelně větší než celkový náboj tělesa. Platí tedy: celkový náboj jader atomů tělesa celkový náboj tělesa elementární náboj.

Ra, Q1 = 88e

Rn, Q2 = 86e ¡, Q3 = 2e

Obrázek 1.4 Zákon zachování elektrického náboje. Tento zákon zní: Elektrický náboj izolované soustavy je stálý. Zobecňuje výsledky zkoumáni dějů probíhajících v atomárním světě i v měřítku makroskopickém. Je-li náboj izolované soustavy na začátku jakéhokoliv děje v ní probíhajícího roven Q1 , je její náboj na konci děje rovněž Q1 . Např. při jednom typu radioaktivní přeměny jádra atomu radia (Ra), jehož náboj je Q1 = 88e, vyletí z něho částice alfa o náboji Q2 = 2e a zbytek jádra (jádro radonu Rn) má náboj Q3 = 86e, tj. platí Q1 = Q2 + Q3 (obr. 1.4). Uvedli jsme také, že náboj makroskopického tělesa se mění jen tehdy, když těleso ztratí nebo přijme elektricky nabité částice. Zákon invariance elektrického náboje Elektrický náboj Q je fyzikální veličina, která charakterizuje elektrické vlastnosti částic a těles, podobně jako hmotnost m charakterizuje jejich vlastnosti setrvačné. Hmotnost m tělesa závisí na jeho pohybovém stavu, charakterizovaném jeho 1 rychlostí ~v . S rostoucí rychlostí tělesa jeho hmotnost roste podle vztahu m = m0 (1 − v 2 /c2 )− 2 . Podobně jako hmotnost m by mohl i elektrický náboj tělesa záviset na jeho pohybovém stavu. Pokusy však ukazují, že tomu tak není. Náboj tělesa nezávisí na jeho rychlosti, s rychlostí se nemění, je invariantní. Tento výsledek se nazývá zákon invariance elektrického náboje.

1.1.3 1.1.3.1

Elektromagnetické pole poznatky

atom pøed vyzáøením `p = ` 0 pole `p'

` '' p ` '+`p'' = ` 0 p

atom po vyzáøení, p ` ' è `0 Obrázek 1.5 Pole, vytvořené pohybujícími se nabitými částicemi, se nazývá pole elektromagnetické. Toto pole působí v obecném případě jak na nabité částice tak na proudovodiče, magnety atd. Neprojevuje se však jen silovými účinky, nýbrž má i jiné vlastnosti, které svědčí o jeho existenci: 1. Elektromagnetické pole má hybnost. To se projevuje např. tím, že když volný atom 10


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE vyzáří elektromagnetickou vlnu, tj. elektromagnetické pole, změní svoji hybnost (obr. 1.5). Součet hybnosti atomu po vyzáření a hybnosti elektromagnetického pole je roven hybnosti atomu před vyzářením. Perspektivní využití: fotonové rakety. 2. Elektromagnetické pole má energii. Příklady: ohřívání povrchu Země slunečním zářením, přenos televizních signálů atd. 3. Elektromagnetické pole působí na lidský organismus: elektromagnetické vlny s frekvencí z intervalu (4·1014 –7,5·1014 ) Hz vyvolávají světelné vjemy. Elektromagnetické pole působí na krevní oběh, na nervovou soustavu atd. Elektromagnetické pole je jednou z forem hmoty. energie elmag. pole

energie

Obrázek 1.6 Zdrojem elektromagnetického pole jsou, jak jsme uvedli, pohybující se elektricky nabité částice. V technické praxi je elektromagnetické pole vytvářeno nejčastěji proudovodiči a magnety. I v těchto případech jsou vlastním zdrojem elektromagnetického pole ty pohybující se elektricky nabité částice, jež vytvářejí elektrický proud. Elektromagnetické pole vytvořené nabitou částicí je jakýmsi jejím „prodlouženímÿ do okolního prostoru. Elektricky nabitá částice bez elektrického pole neexistuje. Na druhé straně však je elektromagnetické pole relativně samostatné, může se od svého zdroje odpoutat a šířit se prostorem nezávisle na svém zdroji. Jestliže se pohybuje nabitá částice se zrychlením, např. kmitá, budí pole, které se šíří okolním prostorem rychlostí světla a má hybnost a energii. Toto pole postupuje prostorem dál, i když částice přestane kmitat nebo když přestane jako samostatný objekt existovat. Na Zemi dopadá z vesmíru elektromagnetické záření, emitované ve vzdálených oblastech vesmíru před miliardami let ze zdrojů, které dnes už vůbec nemusí existovat. Pole, buzené kmitající nabitou částici, je nesmírné slabé a vyzařovaný výkon je malý. Kmitá-li však částice dosti dlouho, je celková vyzářená energie libovolné velká. Zdrojem této energie je to zařízení, které částici udržuje v kmitavém pohybu (obr. 1.6) a koná práci. 1.1.3.2

~ Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, E

elmag. pole PQ

`v ~FE

~F

~FB

Obrázek 1.7 Obecné ektromagnetické pole je buzeno (v určité inerciální vztažné soustavě) pohybujícími se nabitými částicemi a nabitými tělesy, pohybujícími se magnety atd. a má dvě složky (nebo c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

11

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS „částiÿ): elektrickou a magnetickou. Elektrická složka elektromagnetického pole je ta jeho část, která působí na elektricky nabité objekty — částice, tělesa — silou, nezávislou na jejich pohybu. Tato síla se nazývá elektrická a označuje se obvykle F~e . Závisí — v určitém místě prostoru — pouze na elektrickém náboji objektů, na něž působí. Magnetická složka elektromagnetického pole se projevuje rovněž silou, která však působí na nabité objekty pouze když se pohybují. Na rozdíl od síly F~e závisí magnetická síla F~m jak na elektrickém náboji tělesa nebo částice, na které působí, tak na velikosti a směru jejich rychlosti. Na klidnou nabitou částici magnetické pole nepůsobí. Výsledná síla F~ , působící v libovolném bodě P na nabitou částici, pohybující se rychlostí ~v v elektromagnetickém poli, je rovna F~ = F~e + F~m (obr. 1.7). Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole se v prostoru překrývají a jsou na sobě závislé: změna jedné z nich je doprovázena změnou druhé. Ve zvláštních případech však lze vytvořit elektromagnetické pole, které obsahuje buď jen elektrickou složku nebo jen magnetickou složku. První typ pole, tzv. elektrostatické pole, je vytvořeno (v určité inerciální vztažné soustavě Oxyz) náboji, které jsou v Oxyz trvale (nebo po určitou dobu) v klidu. Vyznačuje se zejména tím, že a) působí na elektricky nabitá tělesa (částice) silou nezávislou na jejich pohybu, b) nepůsobí na permanenetní magnety ani na proudovodiče (pokud ovšem nejsou elektricky nabity). Druhý typ pole, tzv. magnetostatické, je buzeno (v určité inerciální vztažné soustavě Oxyz) klidnými permanentními magnety nebo proudovodiči, kterými prochází stálý proud. Vyznačuje se zejména tím, že a) působí na permanentní magnety, na elektrické proudy a na pohybující se elektricky nabité částice, b) nepůsobí na náboje v klidu. Elektrostatické a magnetostatické pole je stálé, tj. s časem neměnné.

1.1.3.3

~ Intenzita elektrického pole E

~E P Q>0

~FE ~FE

a)

~E Q <0 b)

Obrázek 1.8 Elektrickým polem se rozumí buď elektrická složka elektromagnetického pole nebo elektrostatické pole. Jeho mohutnost se posuzuje podle jeho silových účinků na elektrické náboje ~ nazvanou intenzita elektrického pole. K definici vektoru E ~ a charakterizuje se veličinou E, zavedeme nejprve pojem elektrický bodový náboj. Bodový náboj je buď elementární částice — elektron, proton atd. nebo iont, nebo malé nabité tělísko, tak malé, že jeho rozměry a tvar nejsou v dané situaci z fyzikálního hlediska podstatné. Je analogií hm. bodu mechaniky. Definice ~ spočívá na této důležité vlastnosti elektrického pole: Vložíme-li do bodu elektrické intenzity E P elektrického pole postupně kladné bodové náboje Q1 , Q2 , Q3 , . . . (obr. 1.8a), působí na ně elektrické síly F~1 , F~2 , F~3 , . . . Tyto síly mají stejný směr a orientaci a pro jejich velikosti platí F1 : F2 : F3 : . . . = Q1 : Q2 : Q3 : . . . V tomtéž bodě působí na záporné bodové náboje síly orientované opačně, jejichž velikosti jsou opět úměrny nábojům (obr. 1.8b). Odtud plyne: Nechť na bodový náboj Q (kladný nebo záporný, a libovolně velký, který je v klidu nebo pohybu) působí v bodě P elektrická sila F~ . Pak vektorová veličina F~ /Q nezávisí na náboji a na jeho rychlosti a má v bodě P velikost a směr, jež závisí jen na elektrickém poli. Podílem F~ /Q je definována intenzita 12


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE elektrického pole v bodě P . Tedy ~ = E

F~ ~ . definice vektoru E Q

(1.4)

[volt·metr−1 = newton·coulomb−1 ] . Diskuse:

~FE,1

Q0

Z1

~F = ~FE,1 + ~FE,2

~E2

~FE,2

Z2

~E1

~E = ~E1 + ~E2 Obrázek 1.9

~ je součin skaláru Q−1 a vektoru F~ , Je-li Q > 0, jsou vektory E ~ a F~ paralelní, je-li 1. Veličina E ~ ~ Q < 0, jsou E a F antiparalelní (obr. 1.8b). ~ je vektor, neboť splňuje podmínky kladené na vektory. Např. platnost zákona 2. Veličina E vektorového sčítání plyne v případě, že pole je vytvořeno dvěma zdroji Z1 , Z2 (obr. 1.9) z toho, ~ v libovolném bodě P platí že pro intenzitu výsledného pole E ~ ~ ~ ~ ~ ~ = F = F1 + F2 = F1 + F2 = E~1 + E~2 , E Q0 Q0 Q0 Q0 kde F~ je síla, působící v bodě P na libovolný náboj Q0 a kde význam ostatních veličin je zřejmý. Tento výsledek zůstává v platnosti i v případě elektrického pole buzeného libovolným počtem zdrojů. Pro pole n-zdrojů platí ~ = E~1 + E~2 + . . . + E~n . zákon superpozice el. polí E Vztah vyjadřuje současně zákon superpozice elektrických polí. platí i pro magnetickou složku elektromagnetického pole.

`s

(1.5) Analogický zákon

?

~B `vÏ N

~FB

P Q

S

´

Obrázek 1.10 ~ : [E] = newton·coulomb−1 . 3. Je-li ve vztahu (1.4) Q = 1 coulomb, platí číselně {E} = {F }. Jednotka E Lze ukázat (viz odstavec 1.2.2, rovnice (1.39)), že platí 1 N·C−1 = 1 volt·metr−1 = 1 V·m−1 , ~ kolem svorek akumulátoru E ∼ což je jednotka, které se užívá nejčastěji. Velikost vektoru E: 2 −1 6 −1 10 V·m , průraz vzduchu E ∼ 3·10 V·m . c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

13

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ působí na bodový 4. Z definičního vztahu (1.4) plyne, že v bodě P , kde je elektrická intenzita E, náboj Q síla F~

~ = QE

elektrická síla

(1.6)

[N = C·V·m−1 ]

1.1.3.4

?

~ Lorentzova síla F~L Magnetická indukce B.

~FB (pro Q <0)

Q>0

`v ~B do dlanì

~B ¡

~FB

`v

Q `v Ð~B ´

F ~ B (pro Q > 0) b)

a)

Obrázek 1.11 ~ charakterizuje mohutnost a směrové vlastnosti elektrického pole, charakTak jako vektor E ~ terizuje tyto vlastnosti u pole magnetického vektorová veličina zvaná magnetická indukce B. I v případě pole magnetického se za míru jeho mohutnosti považují jeho silové účinky na elektricky nabité částice. Magnetická síla, kterou působí magnetické pole na letící bodový náboj, se nazývá síla Lorentzova značí se buď F~m nebo F~L . Lorentzova síla má tyto hlavní vlastnosti: Nechť ~s je směr ustálené otočné magnetky v bodě P magnetického pole (obr. 1.10), orientované od jižního pólu S k severnímu N . Nechť F~m je magnetická síla, působící v bodě P na bodovou částici o náboji Q, která se pohybuje rychlostí v~⊥ , ležící v rovině σ ⊥ ~s, jinak však libovolně orientovanou. Měření vedou k výsledku, že pro tuto silu platí |F~m | ∼ |Q|.|v~⊥ |, takže veličina |F~m |/|Q|.|v~⊥ | závisí jen na ~ v bodě P je pak definována takto: magnetickém poli v bodě P . Magnetická indukce B ~ je roven směru ~s 1. Směr vektoru B ~ je rovna 2. Velikost vektoru B B=

|F~m | ~ . definice vektoru B |Q|.|v~1 |

(1.7)

Výsledky experimentálního zkoumání síly F~m , která působí v bodě P magnetického pole na bodovou částici o náboji Q, pohybující se libovolnou rychlostí ~v lze shrnout do jediného vztahu: ~ Lorentzova síla F~L = Q(~v × B). [N = C·ms−1 ·T][N = C·m·s−1 ·T] 14


(1.8)

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE Diskuse: ~ plyne z definičního vztahu: [B] = [F ][Q−1 ][v −1 ] = N·C−1 ·m−1 ·s−2 = 1. Rozměr vektoru B −1 −2 ~ zemské pole kg·A ·s . Jednotkou B je 1 tesla = 1 T = kg·A−1 ·s−2 . Velikost vektoru B: −5 2 B ∼ 5·10 T, pole mezi póly elektromagnetu B ∼ 1 T až 10 T. 2. Směr a velikost Lorentzovy síly: ~ tj. že síla F~L je kolmá na rovinu, danou a) Směr. Ze vztahu (1.8) plyne, že platí F~L ⊥ ~v , B, ~ ~ ~ vektory ~v , B (obr.1.11a). Je-li Q < 0, míří FL na opačnou stranu než vektor (~v × B). Ježto platí F~L ⊥ ~v , je síla F~L vždy kolmá na trajektorii částice. Z definice práce pak plyne, že Lorentzova síla nekoná práci. Působením síly F~L se mění pouze směr, nikoliv velikost rychlosti volné částice. Ze vztahu (1.8) plyne známé pravidlo levé ruky pro určení magnetické síly (obr. 1.11b). b) Velikost. Ze vztahu (1.8) plyne F~L = |Q|vB sin α,

velikost Lorentzovy síly

(1.9)

~ Síla F~L má maximální velikost pro kde α(0◦ ≤ α ≤ 180◦ ) je úhel sevřený vektory ~v a B. α = 90◦ a minimální (F~L = 0) pro α = 0◦ , 180◦ . Je-li v=0, je FL = 0, tj. magnetické pole nepůsobí na klidný nábor.

~B2 N

P Z1

S

~B

~B1 Z2 I

Obrázek 1.12 ~ splňuje požadavky kladené na vektory, tedy je vektor. Experimenty vedou např. 3. Veličina B k tomuto výsledku: Je-li magnetické pole vytvořeno n zdroji Z1 , Z2 . . . Zn a je-li B~k magnetická ~ je dána indukce pole vytvořeného k-tým zdrojem, pak magnetická indukce výsledného pole, B, vztahem ~ = B~1 + B~2 + . . . + B~n . zákon superpozice B (1.10) magnetických polí Tento vztah vyjadřuje zákon superpozice magnetických polí (viz obr. 1.12). 4. Celková síla působící na náboj v obecném elektromagnetickém poli. Obecné elektro~ B. ~ Na bodovou částici magnetické pole ve vakuu je charakterizováno v každém bodě vektory E, o náboji Q, pohybující se rychlostí ~v , působí celková síla ~ + (~v × B)]. ~ F~ = Q[E

celková síla v elektromagnetickém poli

(1.11)

Tato celková síla se někdy rovněž nazývá Lorentzova. My budeme užívat názvu „Lorentzova sílaÿ pouze pro její magnetickou složku.


15


1.1.4

Elektrostatické pole ve vakuu

?

Elektrostatické pole je zvláštním případem obecného elektromagnetického pole. Je to pole, které je vytvořeno v inerciální vztažné soustavě elektrickými náboji v klidu. V technické praxi se setkáváme s elektrostatickým polem např. v okolí zdrojů stejnosměrného napětí, v prostoru kondenzátorů, při vzniku statické elektřiny na vozidlech, letadlech, na látkách z umělých hmot atd. Všechny zákonitosti elektrostatického pole ve vakuu lze vyvodit ze základního zákona elektrostatiky — z Coulombova zákona. V zákonech elektrostatického pole v látkách se uplatňují i specifické vlastnosti atomů a molekul. V této části bude vyšetřeno elektrostatické pole ve vakuu (tj. přibližně i ve vzduchu). 1.1.4.1 ?

Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon.

Bodový náboj Q, který je v bodě M v klidu, vytváří kolem sebe elektrostatické pole, které se vyznačuje tím, že v libovolném jeho bodě P (obr.1.13) působí na jiný bodový náboj Qo , který tam vložíme a který je buď v klidu nebo se libovolně pohybuje, síla F~ , daná vztahem F~

=

1 QQ0 ~0 r 4πε0 r2

Coulombův zákon

(1.12)

[N = (F·m−1 )−1 ·C2 ·m−2 ]

Q,Q0 > 0 Q0 `r10 Q M

`r 0

~FE,1

~FE P

r ~FE,1 = -~FE

Obrázek 1.13 Zde je r vzdálenost nábojů Q, Q0 , veličina r~0 je jednotkový vektor ležící ve spojnici bodů M a P , orientovaný od zdroje pole Q do bodu P , v němž síla na náboj Q0 působí. Veličina ε0 se nazývá permitivita vakua. Její hodnota byla získána experimentálně a je ε0 = 8,854·10−12 C2 ·N−1 ·m−2 . permitivita vakua Poznamenejme bez důkazu, že platí 1 C2 ·N−1 ·m−2 = F·m−1 . Síla daná vztahem (1.12) se někdy nazývá síla Coulombova a vztah (1.12) vyjadřuje Coulumbův zákon. Diskuse: 1. Síla, působící na Q0 , leží ve spojnici nábojů Q, Q0 a je orientována buď od Q (je-li QQ0 > 0) nebo ke Q (je-li QQ0 < 0). V (obr. 1.13) znázorněn případ, kdy platí QQ0 > 0. 2. Náboj Q0 vytváří kolem sebe rovněž elektromagnetické pole. Je-li Q0 v klidu, je i jeho pole elektrostatické a působí na Q silou F~1 , danou vztahem analogickým ke vztahu (1.12), lišícím se od něho tím, že vektor r~0 je nahražen vektorem r~0 , orientovaným od Q0 ke Q. Platí tedy F~1 = F~ . Pro Coulombovy síly platí zákon akce a reakce. Vztah (1.12) vyjadřuje i známý poznatek, že souhlasné náboje se odpuzují a nesouhlasné přitahují. 3. Velikost Coulumbovy síly je dána vztahem |F~ | = 16

1 |QQ0 | 4πε0 r2


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE

Q1 > 0

~E 1 ~FE,1 Q1 > 0

Q>0

~E 1

~FE,1

Q <0

~FE,2

~E 2

Q2 <0 ~E 2

Q2 > 0 ~FE,2

Obrázek 1.14

~ = F~ /Q0 . Je Intenzita elektrického pole buzeného nábojem Q v bodě P je dána vztahem E tedy ~ = 1 Q r~0 . intenzita el. pole E (1.13) bodového náboje 4πε0 r2 ~ leží na spojnici bodu M , P a míří buď od Q (je-li Q > 0) anebo ku Q (je-li Vektor E Q < 0). V (obr. 1.14) jsou zakresleny vektory sil a intenzit el. pole buzeného nábojem Q pro různé kombinace znamének nábojů. 1.1.4.2

Elektrické siločáry

Průběh elektrického pole lze znázornit elektrickými siločárami. Elektrické siločáry jsou definovány jako orientované křivky, jejichž orientovaná tečna v každém jejich bodě má směr a orientaci ~ shodnou se směrem a orientací příslušného vektoru E. V obr. 1.15 je naznačeno několik elektrických siločar obecného pole a polí, vytvořených kladným záporným bodovým nábojem. Z definice siločar a z Coulombova zákona a jeho důsledků vyplývají tyto obecné vlastnosti siločar elektrostatického pole:

S2 Q>0 E S1

Q<0 Obrázek 1.15

1. Každým bodem, v němž není náboj, prochází právě jedna siločára. Body, v nichž je elektrický náboj, prochází nekonečně mnoho siločar. 2. Siločáry elektrostatického pole nejsou uzavřené. Začínají buď na kladných nábojích nebo v nekonečnu a končí buď na záporných nábojích nebo v nekonečnu. Poznamenejme k tomu, c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

17

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS že elektrické siločáry obecného elektromagnetického pole (tj. nikoliv elektrostatického), mohou být i uzavřené. ~ nikoliv jeho velikost. Ukazuje se však, že 3. Jednotlivé siločáry udávají směr vektoru E, velikost intenzity v různých místech prostoru je úměrná počtu zakreslených siločar, protínajících jednotkovou plochu vedenou kolmo na směr siločar. Např. v obr. 1.15 v řezu S1 ~ asi 1,5 krát větší než v řezu S2 . je |E| 1.1.4.3

Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól.

%Q

%Q %l a)

¶=

%V

%Q %l

%Q

%S

%Q %V c)

%Q %S b)

´=

²=

Obrázek 1.16 Makroskopické elektrostatické pole je obvykle vytvořeno náboji spojitě rozloženými na křivkách (např. na hranách), plochách (např. na povrchu vodičů) nebo v objemu. Spojitě rozložené náboje charakterizují tyto veličiny: a) Lineární hustota elektrického náboje τ ; definice: τ = b) Plošná hustota el. náboje σ; definice: σ =

dQ dS

dQ dl

(obr. 1.16a); [τ ] = C·m−1 ;

(obr. 1.16b); [σ] = C·m−2

c) Objemová hustota elektrického náboje %; definice: % =

dQ dV

(obr. 1.16c); [%] = C·m−3 .

Jako příklad uvedeme výpočet intenzity pole elektrického dipólu. Elektrický dipól Elektrický dipól je útvar sestávající ze dvou stejně velkých nábojů opačné polarity, tj. z nábojů Q > 0, −Q, které jsou ve vzdálenosti l (obr. 1.17). `p = Q ` l `p Q>0 `l `p -Q a) b) Obrázek 1.17 Po stránce elektrické je el. dipól charakterizován vektorovou veličinou nazvanou moment elektrického dipólu, která se označuje p~ a která je definována vztahem p~ = Q~l. Zde ~l je vektor o délce l orientovaný od −Q ku Q (obr. 1.17a). Poznamenejme, že i soustava elektrických nábojů rozložených Pobecně v prostoru ohraničené oblasti, jejíž celkový elektrický náboj je nulový, tj. pro niž platí Q = 0, vytváří v dosti velké vzdálenosti elektrické pole shodné s polem elektrického dipólu o jistém elektrickém dipólovém momentu p~, tj. chová se jako elektrický dipól. Takto je rozložen elektrický náboj např. v některých molekulách. Tyto molekuly, které se chovají po stránce elektrické jako elektrické dipóly, se nazývají polární molekuly. Vytvářejí elektrické pole, i když jsou neutrální. Platí [p] = C·m. 18


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE ~ Průběh elektrických siločar pole elektrického dípólu je naznačen na obr. 1.18. Intenzita E na ose dipólu (osa Ox) a na symetrále úsečky AB (osa Oy) je rovnoběžná s osou Ox a je dána ~ 0 . Její velikost je: ~ +E obecným vztahem E~v = E 1. Na ose dipólu pro x > l/2 " # 1 Q 1 · Ev = E 0 − E = − 4πε0 (x − 2l )2 (x + 2l )2 . Pro x 1 vychází po úpravě Ev = p/(2πε0 x3 ) 2. Na ose Oy Ev = 2E cos α = 2

l Q 1 p 2 · l · 1 = 3 2 2 l l 2 2 4πε0 ( 2 ) + y [( ) + y ] 2 4πε0 [( 2 )2 + y 2 ] 2 2

y ~E(+) ~E ¡

~E(-)

l/2

Q>0 A

~E

¡

O

-Q B

~E(-) ~E(+) ~E

x

l Obrázek 1.18 Pro y l vychází Ev = (4πεp0 y3 ) . Elektrický dipól tedy vytváří elektrické pole i ve velké vzdálenosti, přesto, že je jako celek neutrální. Ve velké vzdálenosti platí Ev ∼ r−3 Elektrický dipól ve vnějším elektrickém poli Je-li elektrický dipól vystaven vlivu vnějšího elektrického pole, působí na něj elektrické síly a otáčivý moment. Je-li elektrický dipól volný, natáčí se, případně se pohybuje jako celek se zrychlením. Je-li vázán ke svému okolí — např. polární molekula v pevné látce — natáčí se nebo posouvá jenom částečně a působí přitom na své okolí. a) Dipól v homogenním elektrickém poli. Na dipól, sestávající z bodových nábojů Q, ~ −Q ve vzdálenosti l (obr. 1.19), působí v homogenním elektrickém poli o intenzitě E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ výsledná síla F = F1 + F2 = QE + (−Q)E = 0. Síly F1 , F2 tvoří silovou dvojici o otáčivém ~ , jehož velikost je |M ~ | = F1 l sin α = QEl sin α = pE sin α, kde p = Ql je momentu M velikost elektrického momentu dipólu. Ve vektorovém tvaru lze otáčivý moment působící na dipól vyjádřit ve tvaru ~ = p~ × E. ~ otáčivý moment působící na el. dipól M c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

(1.14) 19


~F1 `p Q > 0 l -Q ¡ F ~ 2

~E

~F

~E

`p ~E

~M = `p Ð ~E Obrázek 1.19

Obrázek 1.20

Je zřejmé, že při proměnném α je M maximální pro α = 90◦ a minimální (nulový) pro α = 0◦ , 180◦ . Dipól je ve stabilní rovnovážné poloze pro α = 0◦ ; pro α = 180◦ je rovnovážná poloha labilní. b) Dipól v nehomogenním elektrickém poli. Působí-li na dipól nehomogenní elektrické pole, nejsou síly F~1 a F~2 (obr. 1.19) stejně velké. Jejich výslednice je nenulová. Nepůsobí-li přitom na dipól jiné síly, pohybuje se jeho hmotný střed se zrychlením mířícím ve směru výsledné síly. Toho se využívá např. k odstraňování prachových částic z plynu: v nehomogenním elektrostatickém poli nabudou prachové částice vlivem posunutí nábojů uvnitř látky dipólový moment a působením sil nehomogenního pole jsou přitahovány k elektrodám, na nichž se usazují (obr.1.20).

1.2 1.2.1 ?

1.2.1.1

Elektrostatika Gaussův zákon elektrostatiky Hlavní výsledek

En ¡ `n

~E

Q1 Q2

Q4 Q3

S

Q Obrázek 1.21

Jedním z nejdůležitějších důsledků Coulombova zákona je tzv. Gaussův zákon elektrostatiky, který zní takto: Nechť S je libovolná uzavřená plocha vedená v elektrostatickém poli, ~ (obr. 1.21). Pak platí charakterizovaném v každém bodě vektorem E P0 ZZ Q ,

En dS = ε0

Gaussův zákon

S

20


(1.15)

1.2. ELEKTROSTATIKA ~ do vnější jednotkové normály ~n k ploše S v místě plošky dS (En = kde En je průmět vektoru E P0 ~ E.~n) a symbolem Q je označen součet všech nábojů, které leží uvnitř plochy S. Platnost tohoto zákona dokážeme a na příkladech ukážeme jeho význam a užití. 1.2.1.2

~ orientovanou plochou Tok N vektoru B

¾~S

`n

En `n

~E ¡

¾S

S

Obrázek 1.22 Nechť S je libovolná (myšlená nebo fyzicky realizovaná) orientovaná plocha vedená v elek~ (obr. 1.22). Orientovanou plochou přitom rozumíme trickém poli charakterizovaném vektorem E takovou, na které je jednotkovou normálou ~n vyznačena strana, považovaná za kladnou. Tuto ~ přibližně plochu rozdělíme na plošné elementy tak malé, aby na každém z nich byl vektor E konstantní. Nechť ∆S je plošný obsah jednoho z nich. Pak veličina ∆N , definovaná vztahem ∆N = E(cos α)∆S

(1.16)

~ elementární orientovanou plochou ∆S ÿ. se nazývá „tok vektoru E Poznámky: 1. Veličina ∆N se nazývá „tokÿ v analogii s hydrodynamikou: kdyby v obr. 1.22 byla namísto elektrického pole naznačena proudící nestlačitelná kapalina a namísto elektrických siločar by v něm byly zakresleny proudnice, tj. křivky udávající v každém bodě směr vektoru rychlosti v proudící kapaliny, udávala by veličina v(cos α)∆S objem kapaliny, která projde ploškou ∆S za jednotku času z její záporné strany na kladnou. Tato veličina se nazývá „tok kapaliny ploškouÿ. V analogii i veličina daná vztahem (1.16) se nazývá „tokÿ. 2. Znaménko veličiny ∆N dané vztahem (1.16) závisí na orientaci plošky ∆S. Kdyby jednotková normála ~n v obr. 1.22 byla orientována opačně, veličina ∆N by měla opačné znaménko. ~ · ~n∆S = E ~ · ∆S, ~ kde je En = E cos α 3. Veličinu (1.16) lze psát ve tvaru ∆N = En ∆S = E ~ = ~nS. aS ~ orientovanou plochou S (obr. 1.22) je definován jako součet toků ∆N Tok vektoru E elementárními ploškami ∆S, na něž je S rozdělena, tj, je dán vztahem ZZ . X . X N= ∆Nk = Ek (cos αk )∆Sk ; N = E(cos α)dS; (1.17) k

k

S

P

V součtu se sčítá přes všechny plošky, na něž je plocha S rozdělena. Poslední integrál udává tento součet jako limitní případ, ke kterému se dojde, jestliže se dělení plochy S na plošky ∆S zjemňuje tak, že jejich rozměr i plošný obsah jde k nule, tj. ∆S −→ 0, přičemž jejich počet současně roste nade všechny meze. Integrál ve vztahu (1.17) lze zapsat i takto: ZZ ZZ ZZ ~ ~ S. ~ E · ~ndS = Ed N= En dS = S

S

S


21

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Poznamenejme, že v tomto textu budeme provádět pouze takové úvahy a řešit takové problémy, při nichž lze integrály typu (1.17) řešit elementárními matematickými prostředky. 1.2.1.3

~ uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového náboje Tok vektoru E

` Q' n

¾S2

¾S1 ¾»

S1

~E1

»1

¾» P Q(>0) r

¾S0

¾S ¡ ¡ `n

n ` ~E 2

~E

~En Obrázek 1.23 Nechť S je libovolná uzavřená plocha, vedená v elektrostatickém poli bodového náboje Q. Uzavřená plocha ohraničuje určitý objem, může to být např. povrch tělesa. Uzavřená plocha nemá okraj. Náboj Q nechť je v jejím vnitřku a nechť je orientována, tak, že jednotková normála ~n míří ven z plochy (obr. 1.23). Pro určitost budeme předpokládat, že platí Q > 0. Tok vektoru ~ plochou S je dán vztahem (1.17). Přitom z obr. 1.23 plyne pro libovolnou plošku ∆S : E ∆N = E(cos α)∆S = E∆S0 , kde ∆S0 = ∆S cos α je průmět plošky ∆S do roviny kolmé na 1 Q průvodič ~r. Ježto E = 4πε 2 , platí 0 r ∆N =

1 Q Q ∆S0 Q ∆S0 = = ∆ω, 2 2 4πε0 r 4πε0 r 4πε0

0 je elementární prostorový úhel, pod kterým je vidět z bodu P plošky ∆S a ∆So . kde ∆ω = ∆S r2 Tok N celou plochou S je dán součtem přes všechny plošné elementy ∆S , tj. výrazem

N=

X

∆N =

X Q Q Q ∆ω = 4π = 4πε0 4πε0 ε0

(1.18)

Diskuse: 1. Veličina N je vždy rovna Q/ε0 , tj. nezávisí na tvaru a velikosti, plochy S. ~ směrem ku Q, platí α > 90◦ a cos α < 0, takže ∆N < 0. 2. Je-li Q < 0, míří v bodě P vektor E Celkový tok N je dán opět vztahem (1.18) a platí N = εQ0 < 0. 3. Je-li bodový náboj Q = Q0 vně plochy S (obr. 1.23), plyne z uvedených úvah pro toky ∆N1 , ∆N2 ploškami ∆S1 , ∆S2 vztah ∆N1 = −∆N2 , tj.,∆N1 + ∆N2 = 0. Ježto pro náboj Q vně plochy S lze celou plochu S rozdělit na Hpodobné dvojice a pro každou z nich platí ∆N1 +∆N2 = 0, P docházíme k výsledku N = ∆N = S En dS = 0. ~ intenzita pole buzeného bodovým nábojem Q, pak pro každou uzavřenou plochu Závěr: Je-li E S orientovanou tak, že vnější strana je kladná, platí Q ZZ (N =) En dS = ε0 0

pro Q uvnitř plochy S pro Q vně plochy S.

S

22


(1.19)

1.2. ELEKTROSTATIKA 1.2.1.4

Gaussův zákon elektrostatiky

Uvažujme o toku N uzavřenou plochou vedenou v elektrostatickém poli vytvořeném dvěma bodovými náboji Q1 , Q2 (obr. 1.24) ve vakuu. Ježto podle zákona superpozice je intenzita ~ dána vztahem E ~ = E~1 + E~2 , platí výsledného pole E ZZ ZZ ZZ ZZ ~ ~ N = En dS = (E1 + E2 )n dS = E1n dS + E2n dS = N1 + N2 , S

S

S

S

kde N1 a N2 jsou toky intenzit polí buzených nábojem Q1 a nábojem Q2 . Tyto toky jsou dány vztahem (1.19), takže platí P0 ZZ Q , (1.20) N = En dS = ε0 S

P0

kde Q je algebraický součet nábojů, které jsou uvnitř plochy, tj, buď 0 P , nebo Q1 , nebo Q2 , nebo Q1 +Q2 . Platí-li např. Q1 = −Q2 a jsou-li oba náboje uvnitř plochy, je 0 Q = Q1 +Q2 = 0.

~E ~E2 ~E1

Q1 Q2

`n E1n

E2n

Obrázek 1.24 Výsledek (1.20) zřejmě zůstává v platnosti, i když elektrostatické pole je buzeno libovolným počtem libovolně rozložených nábojů, jak je naznačeno na obr. 1.24. Tím je platnost Gaussova zákona, vyjádřeného vztahem (1.15), dokázána. Uzavřená plocha v integrálu (1.15) se někdy nazývá Gaussova plocha. Gaussův zákon zde byl odvozen jako důsledek vztahu (1.13) s užitím zákona superpozice, tj. v podstatě jako důsledek Coulombova zákona. Zcela analogickou úvahou lze naopak z Gaussova zákona vyvodit zákon Coulombův. Každý z uvedených dvou zákonů lze tedy považovat za základní a druhý z nich za jeho důsledek. V klasické Maxwellově teorii elektromagnetického pole (odst. 1.5.2) se za základní považuje zákon Gaussův. Vztah (1.15) lze pak interpretovat jako definiční vztah pro elektrický náboj uvnitř plochy S. 1.2.1.5

Užití Gaussova zákona

Gaussův zákon vyjadřuje velmi obecnou vlastnost elektrického pole. Plyne z něho jednak řada zajímavých a důležitých důsledků pro teorii elektromagnetického pole, jednak ho lze s výhodou užít k určení průběhu některých často se vyskytujících elektrických poli, které mají určitou symetrii — kulovou, válcovou atd. Ukážeme to na následujícím příkladu. 1. Elektrické pole buzené nekonečnou rovnoměrně elektricky nabitou rovinou Budeme uvažovat o nekonečně velké rovině, rovnoměrně nabité elektrickým nábojem o plošné hustotě σ, která je ve vakuu a je v klidu. Dokážeme, že budí elektrické pole, které je na každé ~ má velikost straně roviny homogenní a jehož intenzita E ~ = |σ| E = |E| 2ε0

(1.21)

Přibližně takové pole budí i rovinná elektricky nabitá deska konečných rozměrů (např. deska rovinného kondenzátoru) v bodech blízkých desce a dosti vzdálených od jejího okraje. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

23


~E

~E

´(>0) A3 A4

A2 ~E

~E

P

P' `n

`n `n

~E

~E

¡

A1 ~E

Obrázek 1.25

~ v libovolně zvoleném bodě P (viz Důkaz vztahu (1.21). Budeme uvažovat o vektoru E ~ kolmý na uvažovanou nekonečnou rovinu, kterou obr. 1.25). Z důvodů symetrie je vektor E ~ označíme α. Velikost vektoru E určíme úvahou o uzavřené Gaussově ploše A, sestávající z válcové obliny A3 kolmé na rovinu α a dvou shodných základen A1 , A2 libovolného tvaru rovnoběžných s rovinou α, z nichž jedna A1 , jde bodem P a druhá, A2 , bodem P 0 , souměrně sdruženým k bodu P podle roviny α. Užijeme vztahu (1.15) na plochu A. Plošný obsah každé ze základen označíme S. Pro určitost budeme předpokládat, že rovina α je nabita kladně, tj. že platí σ > 0. Pak vektor ~ má na základnách A1 A2 směr shodný se směrem vnější normály ~n ke Gaussově ploše A a na E ~ ⊥ ~n. Integrál ve vztahu (1.15) bude tvaru válcové oblině A3 platí E ZZ ZZ ZZ ZZ

En dS = En dS + En dS + En dS = ES + ES + 0 = 2ES. (1.22) A

A1

A2

´1(>0) ~E2

A3

´2(>0) ~E = ~E1 + ~E2 ~E1 ~E2

~E1

~E = ~E1 + ~E2 Obrázek 1.26

?

Uvnitř plochy A je náboj na Pploše A4 , která je v obr. 1.25 vyšrafována, a to náboj Q = σS. Dosadíme-li do vztahu (1.15) 0 Q = σS, dostaneme s užitím vztahu (1.22) po úpravě vztah E = σ/2ε0 . ~ orientován Předpokládáme-li, že rovina α je nabita záporně, tj. že platí σ < 0, je vektor E k rovině α. Analogicky se dokáže, že platí E = −σ/(2ε0 ) = |σ|/(2ε0 ). Tím je platnost vztahu (1.21) dokázána. 2. Elektrické pole dvou nekonečných rovin Dvě nekonečné rovnoběžné roviny, nabité ~ je rovnoměrně elektrickými náboji o plošných hustotách σ1 , σ2 , vytvářejí pole, jehož intenzita E ~ ~ ~ mezi nimi i v jejich vnějšku dána vztahem E = E1 + E2 . Na obr. 1.26 je znázorněn případ, kdy platí σ1 > σ2 > 0. ~1 + E ~ 2 | = E1 − E2 = (σ1 − σ2 )/2ε0 ; pro body vně Pak pro body mezi deskami platí E = |E ~ ~ desek platí E = |E1 + E2 | = E1 + E2 = (σ1 + σ2 )/2ε0 . Je-li σ1 = −σ2 = σ(> 0), platí mezi deskami σ E= (1.23) ε0 24


1.2. ELEKTROSTATIKA

´2 = -´1

´1(>0)

~E1 ~E2 ´ E = ¥1 0

E = 2~E

~E2

~E1

~E =~ 0 Obrázek 1.27

a vně desek E = 0. Přibližně takové pole budí deskový kondenzátor (obr. 1.27). 3. Elektrické pole náboje rozloženého s kulovou symetrií Náboj je rozložen s kulovou symetrií, je-li jeho objemová hustota % nebo jeho plošná hustota σ pouze funkcí vzdálenosti od pevného bodu, např. od počátku O, tj. platí-li % = %(r), σ = σ(r) (viz obr. 1.28). Příkladem je třeba náboj rovnoměrně rozložený v objemu koule nebo na jejím povrchu.

~E P `n

²(r)

`r 0 r K

M

~E

O R

Obrázek 1.28 ~ Elektrické siločáry pole buzeného takto rozloženým nábojem mají radiální směr. Vektor E míří v každém bodě prostoru (v němž je nenulový) buď do bodu O nebo v opačném směru. Jeho velikost E v obecném bodě P závisí na r. Určíme ji takto: Bodem P vedeme kouli K se středem v O o poloměru r, orientujeme ji vnější normálou ~n a užijeme pro ni Gaussova zákona. ~ kulovou plochou K je, podle definice, Tok N vektoru E ZZ ZZ N= E n dS = En dS = En .4πr2 . K

K

~ do ~n (na kouli K platí En = konst). Podle Zde je En průmět (neznámého) vektoru E 0 Gaussova zákona (1) však je N = Q /ε0 , kde Q0 je náboj uvnitř koule K. Srovnáním obou vztahů vychází En = Q0 /4πε0 r2 , tj. 0 ~ = Q r~0 , E 4πε0 r2 kde Q0 je celkový náboj uvnitř koule o poloměru r. Přitom r~0 je jednotkový vektor (viz obr. 1.27). Je-li náboj Q, rozložený s kulovou symetrií, celý uvnitř jisté koule o středu 0 a o poloměru R, pak vně této koule, tj. pro r > R (bod M v obr. 1.28), platí ~ = E

Q ~0 r 4πε0 r2

To je však vztah pro intenzitu elektrického pole buzeného bodovým nábojem Q umísténým c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

25

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS v bodě 0. Výsledek: Kulově souměrný náboj Q budí ve svém vnějšku stejné pole jako bodový náboj Q umísténý v jeho středu souměrnosti. Takové pole budí např. koule rovnoměrně nabitá v objemu nebo na povrchu.

1.2.2 ?

1.2.2.1

Elektrický potenciál a napětí Úvod

Elektrický potenciál neboli potenciál elektrostatického pole je skalární fyzikální veličina, která charakterizuje energetické vlastnosti elektrostatického pole. Souvisí s prací, kterou vykonají síly elektrostatickéko pole působící na bodový náboj, který se v něm přesouvá a s potenciální elektrickou energií, kterou tento náboj v elektrostatickém poli má. Tato veličina, která je analogická potenciálu gravitačního pole, je jednou z nejdůležitějších v celé teorii elektromagnetismu a setkáváme se buď s ní nebo s rozdílem jejích hodnot ve dvou bodech, nazvaným elektrickým napětím, téměř denně. V dalším postupně zavedeme zmíněné veličiny a odvodíme vztahy mezi nimi. 1.2.2.2

Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem

P1 r1

%`r 1Q

E ~

F ~

¡ 3 2 %r

r

C

r

M Q1

P2

r2 P1'Ø P2'

C'

Obrázek 1.29 V elektrostatickém poli, vytvořeném klidným nábojem Q1 > 0, umístěným v bodě M , nechť se přesune bodový náboj Q > 0 z bodu P1 do bodu P2 po křivce C (obr. 1.29). Určíme práci A, kterou přitom vykonají síly elektrostatického pole působící na náboj Q. Poznamenejme, že na náboj Q, tj. na částici nabitou nábojem Q, působí přitom i jiné sily (jinak by křivka C měla jiný tvar), práce těchto sil nás však nyní nezajímá. Práce A je podle definice, dána vztahem R Q1 A = C dA, kde dA = F~ .d~r = F ds cos α = QEds cos α = Q 4πε 2 ds cos α. 0r Užili jsme vztahu |~r| = ds. Z trojúhelníka 1, 2, 3 v obr. 1.29 plyne dr/ds = cos α, tj. Q1 Q ds cos α = dr, takže vychází dA = 4πε 2 dr, 0r Z A=

Z

r2

dA = C

r1

Q1 Q dr = Q 4πε0 r2

Q1 Q1 − 4πε0 r1 4πε0 r2

.

(1.24)

Výsledek jsme napsali ve tvaru vhodném k dalším úvahám. Důležité poznatky: 1. Práce A nezávisí na tvaru trajektorie C, nýbrž jen na Q, Q1 a na vzdálenostech r1 , r2 (tj. na poloze bodů P1 , P2 ). 2. Platí A ∼ Q; přenáší-li se náboj Q0 = 2Q, je A0 = 2A atd. 3. Obr. 1.29 je nakreslen pro Q1 > 0, Q > 0 a pro r2 > r1 . Výsledek (10) však zůstává v platnosti zcela obecně, tj. pro Q1 Q 0, Q2 Q 0, r2 Q r1 . 26


1.2. ELEKTROSTATIKA 4. Přesune-li se náboj po uzavřené křivce, splyne bod P2 s bodem P1 (body P10 a P20 v obr. 1.29) a ze vztahu plyne, že pak platí A = 0. 5. Uvedené vlastnosti z hlediska vykonané práce má, jak víme, i gravitační pole vytvořené hmotným bodem.

1.2.2.3

Práce sil obecného elektrostatického pole

Nechť v obecném elektrostatickém poli, vytvořeném soustavou nábojů Q1 , Q2 . . . Qn , se po křivce C přesune bodový náboj Q z bodu P1 do P2 (obr. 1.30). Práci A, kterou přitom vykoná síla F~ , kterou na náboj Q působí elektrostatické pole, lze určit s užitím zákona superpozice. Podle něj platí F~ = F~1 + F~2 + . . . + F~n , kde F~1 , F~2 , . . . jsou síly, kterými by na náboj Q působilo pole vytvořené náboji Q1 , Q2 , . . ., Qn . Práce A, vykonaná silou F~ , je tedy rovna Z Z Z Z Z ~ ~ ~ ~ ~ ~ A= F1 ·d~r+ F2 ·d~r+. . .+ F~n ·d~r = A1 +A2 +. . .+An , F ·d~r = (F1 +F2 +. . . Fn )·d~r = C

C

C

C

C

kde A1 je práce síly, kterou by na náboj Q působilo pole vytvořené nábojem Q1 atd. Avšak pro A1 , A2 , . . . , An platí výsledek (1.24). Z něho a z posledního vztahu vyplývá, že obecné elektrostatické pole má tyto vlastnosti: V-1. Práce A, kterou vykonají síly elektrostatického pole působící na bodový náboj Q při jeho přemístění z libovolného bodu P1 do libovolného bodu P2 , závisí na poloze bodů P1 , P2 , nezávisí však na tvaru trajektorie. V-2. Pro práci A platí: A ∼ Q. V-3. Přemístí-li se bodový náboj po libovolné uzavřené křivce, pak při jednom oběhu vykonají síly elektrostatického pole nulovou práci, A = 0.

P1

~F1 F2S F1S Q

t C

Q1

~F2 ~F=~F1+~F2 Q2

P2

Obrázek 1.30 Poznámky: Lze dokázat, že tvrzení V-1 a V-3 jsou ekvivalentní, tj. že platí V-1⇔V-3. Každé silové pole, které má vlastnosti V-1, se nazývá konzervativní silové pole. Objekt, na který působí síly takového pole, má v něm potenciální energii a pole samotné má skalární potenciál. Proto se nazývá také potenciálové, neboli nevírové pole. Název nevírové se užívá v analogii s prouděním kapalin. H Jestliže kapalina proudí v různých místech s obecně různou rychlostí ~v tak, že pro integrál I = ~v ·d~r po některé uzavřené křivce C platí I 6= 0, nazývá se proudění vírové. Je-li vždy I = 0 nazývá se proudění nevírové, neboli potenciální. Proto i silové pole, pro něž H ~ platí F ·d~r = 0 pro každou uzavřenou křivku, se nazývá nevírové. Pro každé elektrostatické H ~ r = 0. pole tedy platí E·d~


27

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Z uvedených vlastností elektrostatického pole a z Gaussova zákona plynou důležité důsledky pro siločáry elektrostatického pole: α) Siločáry elektrostatického pole nemohou být uzavřené. Kdyby totiž uzavřená siločára existovala a po H ní se přemístil bodový náboj Q, pak by síly pole na náboj působící ~ r = QE cos αds = QE.(±1)ds. Elemenvykonaly práci A = dA, kde dA = F~ .d~r = QE.d~ tární práce dA by byly buď na všech elementech dráhy kladné nebo všude záporné, takže by platilo buď A > 0 nebo A < 0. To je však ve sporu s vlastností V3. Pokud tedy siločáry elektrostatického pole nesahají do nekonečna, v jednom místě začínají a v jiném místě končí. Poznamenejme ale, že siločáry elektrického pole vzniklého při elektromagnetické indukci jsou uzavřené. β) V místě, kde elektrické siločáry začínají nebo končí, je elektrický náboj. To plyne z Gaussova zákona. Důkaz provádět nebudeme. 1.2.2.4

Energie bodového náboje v elektrostatickém poli, We

Je známo, že hmotná soustava, jejíž části na sebe působí konzervativními silami, má polohovou neboli potenciální energii Wp . Je to skalární fyzikální veličina, která závisí na parametrech udávajících polohu jednotlivých částí soustavy, tj. v uvažovaném vztažném systému na jejich souřadnicích a nezávisí na jejich rychlostech. Je definována tak, že rozdíl jejich hodnot ve dvou stavech soustavy, které označíme 1, 2, tj. veličina Wp1 − Wp2 , je rovna práci A, kterou vykonají zmíněné konzervativní síly, jestliže soustava přejde libovolným způsobem ze stavu 1 do stavu 2, tj. platí Wp1 − Wp2 = A. (1.25)

P A = We1 + We2 P1 Q pole We1 P2 We2 a)

A = We(P) We(P) Q pole

P 2 W e= 0 Země b)

P

Q

We(P)

P2ÍÉ WeÉ= 0 pole

c)

Obrázek 1.31 V případě soustavy, sestávající z bodového náboje Q a z elektrostatického pole vytvořeného jinými náboji, působí na náboj konzervativní sily, takže tato soustava má rovněž potenciální energii. Nazývá se krátce elektrická energie, přesně pak elektrická energie soustavy: elektrostatické pole + bodový náboj nebo „elektrická energie soustavy bodového náboje Q a ostatních nábojů, vytvářejících elektrostatické poleÿ. Označuje se We . Označíme-li tuto energii v případě, že náboj Q je v bodě P1 , symbolem We1 a podobně symbolem We2 energii náboje Q v bodě P2 , platí We1 − We2 = A ,

definice rozdílu elektrických energií náboje Q v bodech P1 , P2

(1.26)

kde A je práce, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přemístění náboje Q z bodu P1 do bodu P2 (obr. 1.31a) po zcela libovolné křivce. Potenciální energie není vztahem (1.25), a tedy ani vztahem (1.26), definována jednoznačně. Volíme-li však její hodnotu v jednom bodě, např. v bodě P2 , libovolně, ale pevně, např. We2 = K, pak její hodnota We (P ) v libovolném bodě P je dána vztahem plynoucím ze vztahu (1.26): We (P ) = A + We2 = A + K . 28


1.2. ELEKTROSTATIKA

É Q ~F2 Q1

P ~F3

~F1 ~F = ~F1 + ~F2 +~F3

Q2 Q3 Obrázek 1.32

Bod P2 a hodnoty We (P2 ) se volí nejčastěji dvojím způsobem: 1. P2 na povrchu Země, We2 = 0. Pak We (P ) = A, kde A je práce, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přenesení náboje Q z bodu P na povrch Země (nebo na těleso vodivě spojené s povrchem Země) — obr. 1.31b. Tento postup se volí nejčastěji v elektrotechnické praxi. 2. P2 v nekonečnu, tj. P2 −→ ∞ a We (P2 ) = We∞ = 0. Pak platí opět We (P ) = A, kde A je nyní práce, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přesunutí náboje Q z bodu P do nekonečna (obr. 1.31c). Tento postup se volí v teoretických úvahách, atomové fyzice atd. V obou případech tedy platí formálně stejný definiční vztah We (P ) = A ,

definice elektrické energie náboje Q v bodě P

(1.27)

kde A je práce elektrických sil při přenesení Q z P buď na Zemi nebo do ∞. Příklad: Vyšetřete elektrickou energii bodového náboje Q v poli bodového náboje Q1 . Bodový náboj Q1 , vytvářející pole, nechť je umístěn v bodě M (obr. 1.29). Volme místo nulové energie v nekonečnu, tj. We∞ = 0. Pak ze vztahů (1.27) a (1.24) plyne vztah We (P ) =

QQ1 , 4πε0 r

energie soustavy bodových nábojů

(1.28)

kde r je vzdálenost náboje Q1 od náboje Q. Je-li QQ1 > 0, jsou síly odpudivé, práce A je kladná, A > 0, tedy i We (P ) > 0. Je-li QQ1 < 0, je We (P ) < 0. Např. elektron v poli atomového jádra má We < 0. Energie, daná vztahem (1.28), se obvykle nazývá elektrická energie soustavy dvou bodových nábojů. Energie We (P ) náboje Q, umístěného v bodě P elektrostatického pole buzeného bodovými náboji Q1 , Q2 . . . , Qn , (obr. 1.32), je rovna součtu energií, kterou by v tom bodě náboj Q měl v polích, buzených jednotlivými náboji, tj. We (P ) = We1 (P ) + We2 (P ) + . . . + Wen (P ).

(1.29)

Důkaz: Podle definičního vztahu (1.27) a zákona superpozice (odst. 1.1.1) platí Z ∞ Z ∞ We (P ) = F~ .d~r = (F~1 + F~2 + . . . + F~n ).d~r = P

Z

∞

= P

F~1 .d~r + . . . +

P

Z

∞

F~n .d~r = We1 (P ) + . . . + Wen (P ).

P

Zde F~ je síla, kterou na náboj Q působí výsledné pole a F~1 , F~2 , . . . , F~n síly, kterými by na něj působila pole buzená náboji Q1 , Q2 , . . . , Qn (obr. 1.32). Tím je vztah (1.29) dokázán.


29

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 1.2.2.5

Elektrický potenciál

Ze vztahů (1.28) a (1.29) plyne, že pro energii We (P ) náboje Q v elektrostatickém poli platí vždy We ∼ Q. Je-li např. Q0 = 3Q, je We = 3We atd. Odtud plyne, že veličina daná podílem We /Q nezávisí na náboji Q, nýbrž jen na konkrétním elektrostatickém poli a na poloze bodu P v něm. Uvedeným podílem je tedy charakterizováno elektrostatické pole v daném bodě. To umožňuje definovat tímto podílem novou skalární fyzikální veličinu ϕ, zvanou elektrický potenciál neboli potenciál elektrostatického vole v bodě P . Definiční vztah pro potenciál ϕ tedy zní: ϕ(P ) =

We (P ) , Q

definice potenciálu

(1.30)

[volt = joule · coulomb−1 ] , kde We (P ) je elektrická energie náboje Q v bodě P . Diskuse: 1. Fyzikální význam: Z definice je zřejmé, že potenciál souvisí s elektrickou potenciální energií: volíme-li Q = 1 C, platí číselně {ϕ(P )} = {We (P )} = {A}. 2. Jednotka:[ϕ] = [We ]/[Q] = J·C−1 . Tato jednotka se nazývá 1 volt = 1 V. Tedy 1 V = 1 J·C−1 . 3. Z definičního vztahu (1.30) plyne: We (P ) = Qϕ(P ), nebo také A = Qϕ(P ). 4. Elementární náboj Q = e má v bodě P elektrostatického pole, v němž je ϕ(P ) = 1 volt, energii We (P ) = e·ϕ = 1,602·10−19 C·1 V = 1,602·10−19 J. Tato hodnota energie se nazývá 1 elektronvolt. vedení ç = 105 V P velké |~E| V

P 5 ç =10 V ~E=~0 C3

C2

velké |~E| C1

Země Obrázek 1.33 Má-li určitý bod P nějakého elektrického zařízení — např. bod elektrického vedení (obr. 1.33) — vysoký potenciál (proti Zemi), vykonají síly pole při přenesení kladného náboje z bodu P na libovolný bod zemského povrchu velkou práci. To značí, že každá křivka spojující bod P s povrchem Země prochází oblasti, v níž na kladný náboj působí mohutné elektrické síly směrem k Zemi. V obr. 1.33 vytváří vodič V mohutné pole zejména ve svém nejbližším okolí. Avšak ~ = ~0, přesto, že každý bod v dutině vodivé koule, vodivě spojené s vodičem V , je pole nulové, E dutiny má stejný potenciál jako koule tj. i jako vodič V . Je zřejmé, ze v obecném případě může mít určitá oblast prostoru vysoký potenciál a elektrické pole tam může, být přesto slabé. Avšak, když se přemístí nějaký náboj z bodu P1 dutiny po libovolné křivce C1 na zemský povrch, projde tak mohutným polem, že práce elektrických sil je stejná jako práce elektrických sil po křivkách C2 nebo C3 . Ze vztahů (1.27), (1.30) plyne: Potenciál ϕ(P ) v bodě P libovolného elektrostatického pole, vytvořeného nad povrchem Země, je v případě, že za místo nulové potenciální energie libovolného náboje (a tedy za místo nulového potenciálu) volíme povrch Země, dán vztahem Z Z A 1 Zem ~ 1 Zem ~ ϕ(P ) = = F .d~r = QE.d~r, Q Q P Q P 30


1.2. ELEKTROSTATIKA

P Q pole A A

Q1

Q2 Země Obrázek 1.34

Z

Zem

ϕ(P ) =

~ r E.d~

(1.31)

P

P ç(P) C2

C1 É pole

Q1 Q2

pole C

P ç(P)

Q

É

M ç=0

Q3 a)

b) Obrázek 1.35

Zde Q je libovolný bodový náboj a A práce, kterou vykoná síla F~ elektrostatického pole působící na náboj Q při jeho přemístění z bodu P do libovolného bodu na povrchu Země po zcela libovolné křivce (obr. 1.34). Jestliže zvolíme potenciál elektrostatického pole, vytvořeného náboji umístěnými v ohraničené oblasti roven nule pro body v nekonečnu, platí potenciál ϕ(P ) v libovolném bodě P vztah analogický vztahu (1.31): Z ∞ ~ · d~r. ϕ(P ) = E (1.32) P

Integrační obor je libovolná křivka začínající v bodě P a jdoucí jakýmkoliv směrem do nekonečna (obr. 1.35a). Místo nulového potenciálu tj. bod M v obr. 1.35b, lze volit zcela libovolně. Pak potenciál ϕ(P ) v obecném bodě P je dán vztahem Z M ~ · d~r. E ϕ(P ) = P

Poslední tři vztahy se někdy uvádějí ve tvaru nulového potenciálu Z P Z P Z ~ · d~r, ϕ(P ) = − ~ · d~r, ϕ(P ) = − ϕ(P ) = − E E Zem

∞

P

~ · d~r. E

M

?

Superpozice elektrických potenciálů Ze vztahů, (1.30), (1.29) plyne: Potenciál elektrostatického pole vytvořeného zdroji Z1 , Z2 , . . . , Zn v libovolném bodě P je dán vztahem ϕ(P ) = ϕ1 (P ) + ϕ2 (P ) + . . . + ϕn (P ),

superpozice el. potenciálů


(1.33) 31

?


? ?

kde ϕi je potenciál pole vytvořeného zdrojem Zi . Ze vztahů (1.30), (1.28) plyne, že potenciál pole vytvořeného bodovým nábojem Q v bodě P je Q el. potenciál pole bodového náboje ϕ= , (1.34) 4πε0 r kde r je vzdálenost bodu P od náboje. 1.2.2.6

Elektrické napětí U

Přejde-li náboj Q v elektrostatickém poli z místa P1 , kde má elektrickou potenciální energii Wp1 , do místa P2 , kde má potenciální energii Wp2 , vykonají síly pole, které na něj působí, práci, pro kterou ze vztahu (1.30) plyne A = Wp1 − Wp2 = Qϕ1 − Qϕ2 = Q(ϕ1 − ϕ2 ),

práce sil elektrostatického pole

kde ϕ1 je potenciál pole v bodě P1 a ϕ2 potenciál pole v bodě P2 (obr. 1.36). Rozdílem ϕ1 − ϕ2 je definována skalární fyzikální veličina U1,2 , nazvaná elektrické napětí mezi body P1 , P2 (v uvedeném pořadí). Tedy U1,2 = ϕ1 − ϕ2 .

definice el. napětí

(1.35)

ç2 A = Q(ç1-ç2)

P2

pole ç1 P1

ES ~E

Obrázek 1.36 5. Z definičního vztahu plyne, že platí U1,2 R 0 a že U1,2 = −U2,1 . Jednotkou U1,2 je 1 volt. 6. Při přenesení náboje Q z bodu P1 o potenciálu ϕ1 do bodu P2 o potenciálu ϕ2 vykonají síly elektrostatického pole práci A = Q · U1,2

práce sil elektrostatického pole

(1.36)

Je-li buď Q > 0 a U1,2 > 0 nebo Q < 0 a U1,2 < 0, je tato práce kladná, tj. A > 0. Pro ϕ1 = ϕ2 je A = 0 a v ostatních případech platí A < 0. Působí-li na pohybujíc se nabitou částici pouze elektrostatické síly — např. na elektron v elektronce — mění se její kinetická energie, a to v souhlase se vztahem Wk2 − Wk1 = Q(ϕ1 − ϕ2 ), plynoucím ze zákona zachování energie: Wk +Wp = konst. Je-li QU1,2 > 0, kinetická energie roste (rentgenové trubice, urychlovače), je-li QU1,2 < 0, kinetická energie částice klesá (elektrony mezi katodou a mřížkou v elektronkách). Jestliže se náboje pohybují z místa o vyšší elektrické potenciální energii na místo potenciální energii nižší látkou — např. elektrony kovem, ionty elektrolytem — předávají získanou kinetickou energii při srážkách ihned okolním atomům a molekulám a látká se zahřívá. 7. V praxi se často pod elektrickým napětím rozumí nezáporná veličina U = |U1,2 |. 8. Vyjádříme-li ve vztahu (1.36) práci A podle definice integrálem Z

P2

A= P1

32

Z

P2

Fs ds = Q

Es ds, P1


1.2. ELEKTROSTATIKA dostaneme vztah analogický vztahům (1.31), (1.32) (obr. 1.36) Z

P2

U1,2 = ϕ1 − ϕ2 =

vztah mezi intenzitou a napětím

Es ds.

(1.37)

P1

Je-li integrační křivka v integrálu (1.37) uzavřená, tj. je-li P1 = P2 , je ϕ(P1 ) = ϕ(P2 ) a platí I

~ · d~r = 0 E

(1.38)

C

Integrál na levé straně, v němž integrační obor je uzavřená křivka, se nazývá cirkulace vektoru ~ po křivce C. Ukazuje se, že vztah (1.38) platí ve všech elektrostatických polích, tj. i v polích E v látkách. Neplatí však v polích časově proměnných. Fyzikální pole, charakterizované nějakým ~ , který splňuje vztah, který vznikne ze vztahu (1.38) záměnou E ~ →V ~ , se nazývá vektorem V potenciálové neboli nevírové. Je-li integrál na levé straně vztahu (1.38) nenulový, nazývá se pole vírové.

1.2.2.7

Ekvipotenciální plochy a elektrické siločáry

z

90"

~F

R P Q ~E P'

S1, ç(x,y,z) = C1 S2, ç = C2 S3, ç = C3 y

x Obrázek 1.37

Potenciál elektrostatického pole má v různých bodech prostoru (obecně) různou hodnotu. V souřadnicovém systému Oxyz (obr. 1.37) platí ϕ = ϕ(x, y, z). Všechny body prostoru, v nichž má potenciál stejnou hodnotu, např. hodnotu C, tvoří tzv. hladinu stejného potenciálu neboli ekvipotenciální plochu. Její rovnice je ϕ(x, y, z) = C (obr. 1.37). Elektrická potenciální energie bodového náboje Q je ve všech bodech ekvipotenciální plochy S stejná. Pro dva libovolné body P , P 0 na S platí We (P ) − We (P 0 ) = Qϕ(P ) − Qϕ(P 0 ) = Q[ϕ(P )−ϕ(P 0 )] = 0. Při přesunutí náboje Q z bodu P na ploše S do libovolného jiného bodu P 0 plochy S vykonávají tedy elektrické síly nulovou práci, A = 0. Pro přesunutí náboje Q z bodu ~ je kolmá P do libovolného blízkého bodu R po ploše S odtud plyne, že elektrická síla F~ = QE na úsečku P R. Ježto to platí pro každý bod R na ploše S z okolí bodu P , je vektor F~ , a tedy ~ v bodě P na plochu S kolmý. také vektor E, ~ v libovolném bodě P je kolmý na ekvipotenciální plochu jdoucí Závěr: Vektor E bodem P . Odtud plyne: Elektrické siločáry tvoří soustavu ortogonálních trajektorií k soustavě ekvipotenciálních ploch. Ke znázornění průběhu elektrostatického pole lze užít nejen elektrických siločar, nýbrž i ekvipotenciálních ploch (obr. 1.38). c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

33


S2

Q=0 Q>0

S1

siločáry ekvipotenciální plochy

`n1

~E(pro ç1 > ç2) `n

P2 ¾n ¾n1 P 1 ç1 ~ (pro ç1 <ç2) E

Obrázek 1.38

ç2

Obrázek 1.39

~ Uvažujme o dvou ekvipotenciálních plochách S1 , kde Vztah (1.39) mezi ϕ(x, y, z) a E ϕ(x, y, z) = ϕ1 a S2 , kde ϕ(x, y, z) = ϕ2 (obr. 1.39). V libovolném bodě P1 plochy S1 veďme jednotkovou normálu ~n orientovanou směrem k S2 a označme P2 její průsečík s S2 . Ze vztahu (1.37) plyne Z P2 . ϕ1 − ϕ2 = En dn = En ∆n, P1

~ do ~n, tj. En = E pro E ~ ↑↑ ~n,En = −E pro E ~ ↑↓ ~n. Označíme-li ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ, En je průmět E plyne odtud ∆ϕ a v limitě pro ∆n → 0 En = − ∆n dϕ En = − . (1.39) dn ~ dostáváme E = |dϕ/dn|. Ze vztahu (1.39) plyne [E] = V·m−1 . Pro velikost E Diskuse: ~ má směr největšího poklesu potenciálu. Důkaz: ve vztahu (1.39) je vždy Vektor E dn > 0. Je-li přitom dϕ > 0 (tj. je-li ϕ2 > ϕ1 ), je En < 0. Je-li dϕ < 0 (tj. je-li ϕ2 < ϕ1 ), je ~ v bodě P1 míří vždy ve směru klesajícího potenciálu. Změna ϕ při En > 0. To značí, že vektor E dϕ postupu z P1 různými směry je největší při postupu normály k ploše (| dϕ dn | > | dn1 |) v obr. 1.39. Z vektorové analýzy plyne, že platí ~ = − grad ϕ(x, y, z) = − ∂ϕ~i + ∂ϕ~j + ∂ϕ ~k . E ∂x ∂y ∂z

1.2.3 1.2.3.1

Elektrostatické pole nabitých vodičů Vodiče a dielektrika

Atomy všech látek sestávají z atomových jader, jež jsou tvořena protony a neutrony, souhrnně nazývanými nukleony, tj. jadernými částicemi a z elektronů, které obklopují jádro a tvoří tzv. elektronový obal atomu neboli atomový obal. Na každý elektron atomového obalu působí jednak kladně nabité atomově jádro, jednak všechny ostatní elektrony obalu elektrickými silami. Pohyb 34


1.2. ELEKTROSTATIKA elektronů v obalu je velmi složitý. Kdyby se elektrony chovaly jako klasickčé částice (tj. jako malá tělíska) v tom smyslu, že by měly v každém okamžiku určitou polohu, rychlost a zrychlení, nemohly by vytvořit takovou relativně stabilní soustavu jako je elektronový obal. Teorie totiž ukazuje — a experiment to potvrzuje —, že nabitá částice, která se pohybuje se zrychlením, ztrácí energii vyzařováním elektromagnetických vln, takže podle klasické teorie by elektrony atomového obalu měly postupně ztrácet energii a dopadnout na atomové jádro. Tomu však tak není. Elektrony v atomovém obalu se tedy nepohybují tak jako planety kolem Slunce nebo jako Měsíc a družice kolem Země. Jejich pohyb je složitější a řídí se zákony kvantové mechaniky, která bude vyložena později. Na vlastnostech elektronového obalu atomů závisí především jejich chemickě děje a vlastnosti — tvoření, rozpad a slučování molekul, tvorba a vlastnosti krystalů atd. Jaderné částice — protony a neutrony — mají tyto hlavní parametry: • proton označení p hmotnost mp = 1,67 · 10−27 kg, el. náboj Qp = 1 e . • neutron označení n hmotnost mn = 1,67·10−27 kg(= mp ), elektrický náboj Qn = 0 coulombů. Zatímco síly, kterými na sebe působí navzájem jádro a elektrony atomového obalu, jsou elektrické, působí na sebe nukleony nejen silami elektrickými, nýbrž i silami jinými, tzv. jadernými, které jsou přitažlivé. Tyto síly kompenzují mohutné síly elektrického odpuzování, kterými na sebe púsobí protony jádra a vlivem nichž by se jádro rozpadlo. Jaderné síly drží nukleony pohromadě tak, že vytváří relativně stabilní útvar. Molekuly a atomy v látce jsou k sobě vázány silami, které podmiňují vlastnosti látky jako celku, tj. její makroskopické vlastnosti, jako je např. pevnost, tvrdost, měrné teplo atd. Jednou z nejdůležitějších elektrických vlatnoatí látek je jejich elektrická vodivost, tj. schopnost vést elektrický proud. Elektrická vodivost látek závisí jednak na tom, zda a kolik je v nich obsaženo elektricky nabitých částic — elektronů, iontů atd., jež se mohou látkou pohybovat na makroskopické vzdálenosti, jednak na pohyblivosti těchto částic, tj. na tom, jakou rychlostí se látkou pohybují, když na ně určitá síla působí. Podle elektrické vodivosti dělíme látky na 3 hlavní skupiny: vodiče, nevodiče (tj. dielektrika neboli izolátory) a polovodiče. 1.2.3.2

Vodiče

Typickými představiteli vodičů jsou kovové vodiče neboli kovy. Vyznačují se tím, že tvoří krystaly, jejichž atomy, uspořádané v mřížce, uvolnily část svých valenčních elektronů. Tyto elektrony, které měly v izolovaném atomu nejvyšší energii ze všech elektronů atomového obalu a které byly k atomu vázány slaběji než elektrony ostatní, se mohou po uvolnění relativně snadno pohybovat v celém objemu krystalu. Nepatří již jednotlivým atomům, nýbrž celé soustavě atomů tvořících krystal. Nazývají se volné nebo také vodivostní elektrony, neboť podmiňují elektrickou vodivost kovů. Volné elektrony vykonávají v krystalu neuspořádaný (tepelný) pohyb s energiemi, jejichž hodnoty mohou ležet pouze v určitých intervalech. Přitom na ně působí síla od periodicky rozloženého pole ionizovaných atomů, tj. kladných iontů mřížky i od ostatních elektronů. Pokud se přes neuspořádaný tepelný pohyb elektronů nepřekládá jejich uspořádaný pohyb jedním směrem, tzv. drift, tj. pokud krystalem neprochází elektrický proud, je střední hodnota této síly uvnitř krystalu nulová, neboť elektron je obklopen ionty a elektrony ze všech stran. Jiná je situace u povrchu krystalu, kde na volný elektron působí ionty a elektrony převážně směrem dovnitř krystalu a kde výsledná síla je nenulová. Je kolmá na povrch krystalu a míří dovnitř. Označíme ji F~i a nazveme pro krátkost „vnitřní sílaÿ. Jestliže se volný elektron pohybuje z vnitřku krystalu směrem k jeho povrchu a nemá příliš velkou rychlost, síla F~i ho zabrzdí a elektron se vrátí zpět. Jestliže však má velkou energii, kterou získal např. zvýšením c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

35

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS teploty krystalu, nestačí jej síla F1 na povrchu zabrzdit a elektron vyletí z kovu ven. Tento děj se nazývá termoelektrická emise. Q <0 2 ~Fe ~Fi

ç1

ç2 ~E

1 Obrázek 1.40 Elektrony mohou opustit kovový krystal tehdy, když se ho dotkne jiný kovový předmět. Tím se jeden kov (obr. 1.40) postupně nabíjí záporně, druhý kladně a kolem obou vodičů se vytvoří elektrické pole. V místě styku má toto pole takový směry že brzdí a pak zcela zastaví průchod dalších elektronů, takže děj zanikne a soustava se ustáli ve stavu kdy má kov 1 potenciál ϕ1 a kov 2 potenciál ϕ2 . Rozdíl těchto potenciálů se nazývá stykové napětí obou kovů, U = |E1 −E2 |. Na tomto ději je zvlášť pozoruhodné to, že působením vnitřních sil F~i se dostávají záporné náboje na nižší potenciál a celý systém přitom získává elektrostatickou energii na úkor vnitřní energie obou těles. Další příčinou úniku elektronů z kovu může být působení sil elektrického pole, vyvořeného buď jiným zdrojem (zdroj Z v obr. 1.41a) nebo elektrickým nábojem na samotném tělese (obr. 1.41b). Pole v okolí kovového předmětu je vytvořeno nejen zdrojem Z, nýbrž i nepravidelně rozloženým nábojem na něm samém. Je známa řada dalších dějů vedoucích k úniku elektronů z kovu: ozáření světlem, rentgenovým zářením, radioaktivním zářením atd. Tyto děje zde nebudou vyšetřovány. 1.2.3.3

Elektrostatická indukce

Jestliže na vodič A (obr. 1.42) začne působit elektrické pole vytvořené vnějším zdrojem — např. pole vytvořené nabitým tělesem B, které k vodiči A přiblížíme, vnikne pole i do vodiče A. Vlivem elektrických sil, které působí na jeho volné i na jeho ostatní náboje, se jeho volné náboje přesunou. Je-li např. vodič A kov, vystoupí část elektronů v místě P k povrchu a zde na ně začne působit vnitřní síla. Není-li elektrické pole příliš silné, síla elektrická F~e a vnitřní F~i se kompenzují, tj. platí F~i = −F~e . Ve zlomku sekundy se povrch vodiče nabije, a to v různých místech s různou plošnou hustotou a vytvoří se rovnovážný stav, charakterizovaný tím, že plošná hustota náboje se dál s časem nemění a volné náboje uvnitř vodiče se nepřesouvají. Elektrické pole, jež je vytvořeno jak vnějšími zdroji, tak náboji na tělese A samotném, se s časem nemění, tj. je elektrostatické. Uvedený jev, tj. částečné přesunutí a rozdělení nábojů v tělese A, se nazývá elektrostatická indukce. Celkový náboj tělesa A v obr. 1.42 se při elektrostatické indukci nemění: bylo-li z počátku nenabito a rozdělíme-li je řezem R na dvě části, platí pro jejich náboje Q1 , Q2 vztah Q1 = −Q2 . 1.2.3.4

Rovnovážný stav nabitého vodiče

Obsahem této části je zkoumání vlastností elektrického pole a elektrického náboje uvnitř a vně homogenního vodiče v ustáleném stavu. Předpokládáme, že jsou všechny náboje, které se podílejí na vytváření elektrického pole, v klidu. Pole se nemění, tj. je elektrostatické. Uvedeme a dokážeme hlavní výsledky. 36


1.2. ELEKTROSTATIKA

Z ~Fe

~Fe

Q

R

b)

B

A

Q a)

P

Q1

Obrázek 1.41

Q2 = -Q1

Obrázek 1.42

~ ve vodiči je nulová, tj. platí E ~ = 0. 1. Intenzita elektrického pole E Důkaz: Podle předpokladu jsou volné náboje ve vodiči v klidu, takže výsledná síla Fy působící na volnou částici o náboji Q je nulová. Platí F~v = F~i + F~e , kde F~i je vnitřní ~ je síla elektrická a ježto uvnitř homogenního vodiče je F~i = ~0, je E ~ = ~0 síla a F~e = QE (obr. 1.43). elstat. pole

ç = konst X

~E=~0 C

Q=0 S

~E 90"

Y

ç(X) = ç(Y) = ç Obrázek 1.43 2. Potenciál vodiče je ve všech jeho bodech stejný, tj. platí ϕ = konst. Odsud plyne, že povrch vodiče je pro vnější elektrostatické pole ekvipotenciální plochou. Důkaz: Pro potenciály dvou libovolných bodů vodiče X, Y (obr. 1.43), platí ϕ(X)−ϕ(Y ) = R ~ s, kde C je libovolná křivka vedoucí od X k Y . Ježto všude platí E = 0, je ϕ(X) = E.d~ C ϕ(Y ). Všechna místa ve vodiči i na jeho povrchu tedy mají stejný potenciál. ~ na povrchu vodiče je kolmý na povrch. Elektrické siločáry u povrchu 3. Vektor E vodiče jsou tedy na povrch kolmé. Důkaz: Elektrické siločáry jsou kolmé na ekvipotenciální plochy v každém elektrostatickém poli. Ježto povrch vodiče je ekvipotenciální plocha, jsou elektrické siločáry na něj kolmé. 4. Vodič je ve svém vnitřku nenabit. Je-li vodič jako celek nabit nebo jsou-li jeho náboje částečně odděleny např. elektrostatickou indukcí, je nabit pouze na svém povrchu. Důkaz: Veďme libovolnou uzavřenou plochu S, která leží celá ve vodiči (obr. 1.43). Podle Gausova zákona platí ZZ

En dS ∼ Q, S

~ = 0, je Q = 0. kde Q je celkový náboj uvnitř plochy S. Ježto všude ve vodiči platí E Vnitřek plochy S je tedy nenabit. Ježto tento výsledek platí pro zcela libovolnou (tj. i sebemenší) plochu S, je celý vnitřek vodiče nenabit. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

37

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 5. Je-li ve vodiči dutina a nejsou-li v ní umístěny (izolovaně) náboje, je v dutině ~ = ~0. Vodič tedy odstiňuje dutinu před vnějšími zdroji pole. vždy E

~E è~ 0

C M N ~E=~0

a)

b) Obrázek 1.44

~ 6= ~0. Elektrické siločáry, které nesahají Důkaz: Předpokládejme opak, tj. že v dutině je E do nekonečna, začínají vždy na kladných nábojích a končí na záporných. Musí tedy začínat a končit na stěně dutiny, nebot jinde náboje podle předpokladu nejsou. Na obr. 1.44a je naznačena jedna z nich, orientovaná od M k N , označená C. Platí Z Es ds = ϕ(M ) − ϕ(N ). C

Ježto se integruje po orientované siločáře, je všude Es > 0, takže integrál C má kladnou hodnotu. Odtud plyne ϕ(M ) > ϕ(N ). To je však ve sporu s tím, že potenciál pole ve všech ~ = ~0 ve všech bodech dutiny. bodech vodiče je stejný. Tedy platí E Poznámky: 1. Stěny dutiny jsou nenabity. Jinak by na nich začínaly nebo končily elektrické siločáry. 2. Uvedená vlastnost pole vodiče je fyzikální základ využití dutin vodičů k odstínění přístrojů před vlivem vnějších elektrických polí. 3. Je-li v dutině vložen náboj na těleso, které je vodivě spojeno s povrchem dutiny, stává se těleso součástí vodiče a jeho povrch součástí povrchu dutiny. Náboj se tedy z něj přesune na vnější povrch vodiče. 4. Je-li v dutině vodiče umístěn izolovaný náboj Q, indukují se ve vodiči náboje podle obr. 1.44b a pole vně vodiče je nenulové. Dutý vodič tedy odstiňuje vnitřek proti vnějšku, nikoliv však vnějšek proti vnitřku. 5. V každém bodě u povrchu vodiče, umístěného ve vakuu, hustota plošného náboje σ a průmět vektoru elektrické intenzity do vnější normály En jsou vázány vztahem En = σ/ε0 , kde ε0 je permitivita vakua. Důkaz: V oblasti libovolného bodu P u povrchu vodiče, na němž je hustota plošného náboje σ, vedeme válcovou plochu V s površkami kolmými na povrch vodiče se základnami Z1 , Z2 , rovnoběžným s povrchem podle obr. 1.45. Základna Z1 je vně, základna Z2 uvnitř vodiče. Celek Z1 + Z2 + V tvoří uzavřenou plochu, na kterou aplikujeme Gaussův zákon. Platí I ZZ ZZ ZZ N= En dS = En dS + En dS + En dS = En S + 0, (1.40) Z1 +Z2 +V

Z1

Z2

V

~ do vnější normály ~n kde v posledním nenulovém členu na pravé straně je En průmět E vodiče. Podle Gaussova zákona je N = Q/ε0 = σ · S/ε0 . Dosazením do rovnice (1.40) dostáváme ~ dostáváme E = |σ|/ε0 . Vektor E ~ je dán vztahem E ~ = σ ~n. En = σ/ε0 . Pro velikost E ε0 38


1.2. ELEKTROSTATIKA

~E =~ 0 Z2

V

Q = ´S n ` E ~ P `n S Z1

Obrázek 1.45

6. Plošná hustota náboje vodiče a intenzita pole u povrchu vodiče je největší na hrotech a hranách. Důkaz nebudeme provádět, uvedené rozdělení je však v souhlasu s tím, co vyplývá z úvah o silách a energii: Každý volný náboj na povrchu vodiče je v poli odpudivých sil vytvořeném všemi ostatními náboji, které jej „vytlačujeÿ do nejvzdálenější části vodiče — hrotů, hran a výstupků. Při rozložení nábojů, kdy jsou náboje od sebe co nejvíce vzdáleny, je potenciální energie soustavy volných nábojů nejmenší, což je charakteristické pro stabilní rovnovážný stav každé soustavy. Důsledky:

~E = -grad ç A

B çB

çA

mohutné pole Obrázek 1.46 ~ = (σ/ε0 )~n plyne, že intenzita E ~ je velká na hrotech a hranách, malá v prohlub1. Ze vztahu E ních. 2. Je-li vodič nabit na vysoký potenciál a vytváří mohutné pole, může dojít u jeho hrotů a hran, ~ velké, k porušení dielektrika a k úniku náboje (sršení elektřiny). Sršení je menší, kde je E je-li prvek vodiče oblý. 3. Přiblížíme-li k vodiči A, nabitému kladné nebo záporně, nenabitý (nebo opačně nabitý) vodič B s hrotem (obr. 1.46), vytvoří se v oblasti největšího přiblížení mohutné pole (E = |ϕA − ϕB |/|∆n|, dielektrikum se poruší a dojde k výboji (elektrická jiskra). Vodič B se částečně nabije, náboj vodiče A se zmenší. Vodič B „odsáváÿ náboj z vodiče A.

1.2.3.5

Kapacita vodiče. Kondenzátor

?

Q >0

ç = konst

Obrázek 1.47


39

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Kapacita osamoceného vodiče C Osamocený klidný elektricky nabitý vodič, v němž je náboj v klidu, vytváří elektrostatické pole, které závisí na jeho náboji, na jeho velikosti a tvaru, i na dielektriku, které vodič obklopuje. Vodič má přitom ve všech místech stejný potenciál. Změní-li se náboj Q vodiče, změní se i jeho potenciál ϕ. Pokud je vodič obklopen běžnými, tzv. lineárními, dielektriky (viz odstavec 1.2.4) nebo pokud je ve vakuu, je potenciál ϕ přímo úměrný náboji Q, tj. platí ϕ ∼ Q. (1.41) Veličina definovaná podílem C=

Q ϕ

definice kapacity

(1.42)

[farad = coulomb·volt−1 ]

d S Q <0

Q >0 ~E è~ 0

~E è~ 0

~E é~ 0 ç2(<ç1)

ç1

~E =~ 0 Q(>0) d

~E=~0 R1

R2 -Q

a)

b) Obrázek 1.48

nezávisí na náboji vodiče nýbrž jen na jeho velikosti a tvaru a vlastnostech dielektrika, jež ho obklopuje. Nazývá se kapacita vodiče. Jednotkou je 1 farad, 1 farad = 1F = 1 coulomb. 1volt−1 . Vodič s velkou kapacitou lze nabít velkým nábojem, aniž se jeho potenciál, a tedy i pole jej obklopující, příliš zvětší a aniž by došlo k jeho vybíjení např. sršením. V tomto smyslu je oprávněno tvrzení, že kapacita vodiče charakterizuje jeho schopnost pojmout elektrický náboj. Je-li kapacita osamoceného vodiče ve vakuu C, je jeho kapacita v homogenním dielektriku s relativní permitivitou εr rovna C 0 = εr C. V dielektriku je totiž při stejném náboji na vodiči ~ 0 = E/ε ~ a potenciál vztahem ϕ0 = ϕ/εr , takže podle definičního intenzita pole dána vztahem E 0 vztahu (1.41) platí C = εr C. Příklad: Určete kapacitu osamocené koule o poloměru R v dielektriku o relativní permitivitě εr . Řešení: Podle definice (1.42) platí C = Q/ϕ, kde Q je (libovolný) náboj, kterým je nabita koule a ϕ příslušný potenciál. Na osamocené kouli je náboj rozložen rovnoměrně. Podle odstavce 1.1.1 je vně koule pole stejné jako pole bodového náboje. Jeho potenciál ϕ je pro r ≥ R tedy dán vztahem 4.1-20. Platí tedy C=

Q = ϕ

Q Q 1 4πε0 εr R

= 4πε0 εr R

kapacita koule

(1.43)

Ježto [εr ] = 1 (viz odstavec 1.2.4), je [ε0 ] = 1 F·m−1 . Poznámka: Pokud by vodič nebyl osamocen, měl by na, jeho potenciál vliv nejen jeho náboj, nýbrž i tvar a prostorové rozložení ostatních těles, zejména vodičů v prostoru. I v takové soustavě existují nepříliš složité lineární vztahy mezi náboji a potenciály vodičů. 40


1.2. ELEKTROSTATIKA 1.2.3.6

?

Kondenzátor

Kondenzátor je soustava dvou vhodně tvarovaných, navzájem izolovaných vodičů, uspořádaných tak, že nabije-li se jeden z nich nábojem Q a druhý nábojem Q0 = −Q, mají tyto podstatné vlastnosti: 1. Jejich pole je z převážné části soustředěno v prostoru mezi nimi. 2. Potenciální rozdíl ϕ1 − ϕ2 vodičů závisí především (někdy jen) na jejich (nikoliv na ostatních) nábojích. Příklady kondenzátorů: deskový — dvě rovnoběžné velmi blízké desky . (obr. 1.48a), kulový — dvě soustředné koule, R1 = R2 (obr. 1.48b), válcový (obr. 1.49). Podobně jako u osamoceného vodiče, platí i zde (ϕ1 − ϕ2 ) ∼ Q. Veličina, definovaná podílem Q/(ϕ1 − ϕ2 ), závisí jen na tvaru, velikosti a vzájemné poloze obou částí kondenzátoru a na dielektriku v prostoru, v němž je vytvořeno pole. Nazývá se kapacita kondenzátoru. Tedy: kapacita C je definována jako veličina, daná podílem C =

Q Q = , ϕ1 − ϕ2 U

definice kapacity kondenzátoru

(1.44)

[farad = coulomb · volt−1 ] kde ϕ1 je potenciál vodiče nabitého nábojem Q a ϕ2 potenciál vodiče o náboji −Q a U = ϕ1 −ϕ2 . Q(>0),ç1 d R2

R1

´

~E l

S

-Q,ç2

Obrázek 1.49

Válcový kondenzátor Válcový kondenzátor sestává ze dvou soustředných válců o poloměrech R1 , R2 , d = R2 − R1 R1 (obr. 1.49). Je-li d l, je pole vytvořené náboji Q, −Q, kde Q > 0, soustředěno převážně ve válcové vrstvě, o níž budeme nejprve předpokládat, že je vzduchová. Ze vztahu d R1 plyne, že v malém objemu ∆V je elektrické pole přibližně homogenní. Ježto náboj na vnějším válci nemá na pole v jeho vnitřku vliv, je pole ve válcové vrstvě tloušťky d vytvořeno pouze nábojem na vnitřním válci. Označíme-li σ plošnou hustotu náboje na vnitřním . válci, platí E = σ/ε0 (viz příklad R-4). . . Rozdíl potenciálů je velmi přibližně dán vztahem ϕ1 − ϕ2 = Ed = σd/ε0 . Ze vztahu (1.44) dostáváme C=

S.σ S.σ ε0 S Q = = ε0 = , ϕ1 − ϕ2 ϕ1 − ϕ2 σd d


41

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS kde S je plošný obsah vnitřního (nebo přibližně i vnějšího) válce. Je-li prostor mezi oběma válci vyplněn dielektrikem o relativní permititivě εr (viz odstavec 1.2.4), dostaneme podle předešlého C=

ε 0 εr S . d

kapacita válcového i deskového a kulového kondenzátoru

(1.45)

Zcela analogicky lze dokázat, že vztah √ (1.45) platí i pro deskový a kulový kondenzátor (viz obr. 1.48ab) za předpokladu, že platí d S respektive d R1 .

1.2.4 1.2.4.1

Elektrostatické pole v látkách Interakce elektrického pole s látkou

Dielektrika, tj. nevodiče, jsou látky které neobsahují volné elektrické náboje a kterými tedy nemůže jít elektrický proud. V pevných dielektrikách se všechny nabité částice — atomová jádra, elektrony, ionty — mohou pohybovat pouze ve velmi malých oblastech kolem rovnovážných poloh a působením sil běžných elektromagnetických polí se nemohou uvolnit a přesouvat na, makroskopické vzdálenosti. Může v nich být jak elektrostatické, tak proměnné elektrické pole, aniž by jimi procházel proud. Tím se podstatně liší od vodičů. Pouze tehdy, když síly vnějšího pole jsou velmi velké, mohou být nabité částice vytrženy, tj. uvolněny, ze svých rovnovážných poloh a dielektrikum se může stát v některé své oblasti vodivé. Hovoříme pak o průrazu dielektrika. Přesto, že dielektrika nevedou za běžných podmínek elektrický proud, mají na ně elektrická pole značný vliv. Zpětně opět dielektrika ovlivňují elektrická pole a podílejí se na jejich vytváření. Vyplývá to ze známé zkušenosti: Jestliže nabijeme kondenzátor, mezi jehož deskami je vakuum nebo vzduch, určitým nábojem na napětí U0 a poté ho izolujeme a mezi jeho desky vložíme dielektrikum, napětí na deskách klesne na hodnotu U < U0 . Nové napětí U může být v případě vhodného dielektrika jen nepatrným zlomkem původní hodnoty. Dielektrikum tedy velmi výrazně může změnit pole. ´ -´p C ~E ~E0 d `p ~Ep ´p -´ Obrázek 1.50 Příčinou tohoto jevu je proces, který se nazývá polarizace dielektrika. Působením sil elektrického pole se nabité částice látky přemístí, a to zcela nepatrně, na vzdálenost řádu rozměru atomu. Uvnitř homogenního dielektrika jsou kladné a záporné náboje i nadále rozloženy vedle sebe rovnoměrně, takže vnitřek homogenního dielektrika zůstává nenabit, viz obr. 1.50. Zato však na povrchu, a v nestejnorodých dielektrikách i na rozhraní dvou různých dielektrik nebo v oblasti jiných nehomogenit, převládnou někde kladné, někde záporné náboje a tyto oblasti se nabijí. Takto nahromaděné náboje se nazývají vázané nebo polarizační náboje. Náboje na deskách kondenzátoru nebo na jiných vodičích, jež lze přivádět respektive odnímat, se pro rozlišení pak nazývají „volnéÿ. Vliv dielektrika na elektrické pole je způsoben právě těmito polarizačními náboji. Pole v dielektriku je vytvořeno volnými a polarizačními náboji. Např. pole v dielektriku kondenzátoru na obr. 1.50 je vytvořeno dvěma vrstvami volných nábojů o plošné hustotě ±σ a dvěma vrstvami vázaných nábojů o plošné hustotě ±σp . Označíme-li intenzitu pole vytvořeného volnými náboji E~0 a intenzitu pole vytvořeného náboji polarizačními E~p , platí 42


1.2. ELEKTROSTATIKA ~ dostaneme, viz obr. 1.50 vztah E0 > Ep . Pro intenzitu výsledného pole E ~ = E~0 + E~p , E = E0 − Ep , E

takže platí E < E0 .

Napětí U na deskách kondenzátoru je dáno vztahem Z Z ~ s = Eds = Ed < E0 d = U0 , U= E.d~

(1.46)

(1.47)

C

takže skutečně platí U < U0 v souhlase s výsledkem uvedeného pokusu. Poznamenejme, že vlastnosti dielektrik v proměnných polích jsou složitější. 1.2.4.2

Hlavní typy dielektrik

Z hlediska fyzikální podstaty dějů, ke kterým dochází v dielektrikách při jejich polarizaci, lze rozdělit dielektrika do dvou skupin, a to na dielektrika s nepolárními molekulami a na dielektrika s polárními molekulami.

~E =~ 0, `p =~ 0 Q -Q

~E è~ 0 `p è~ 0

`l b)

a) Obrázek 1.51

1. Dielektrika s nepolárními molekulami. Je-li rozložení záporných nábojů (elektronů) a kladných nábojů (atomových jader) v molekule takové, že molekula má nulový elektrický dipólový moment, p~ = ~0 (viz odstavec 1.1.4), nazývá se molekula nepolární. Typická nepolární jednoatomová molekula je znázorněna na na obr. 1.51a. Její elektrony jsou rozloženy symetricky kolem jádra, takže jejich „středÿ splývá s jádrem, tj. středem kladného ~ náboje. Působením elektrického pole se jádro posune zcela nepatrně ve směru intenzity E, elektronový oblak však znatelněji ve směru opačném, takže středy kladného a záporného náboje se rozestoupí na vzdálenost |~l| (obr. 1.51b). V molekule se vytvoří, neboli indukuje, elektrický dipólový moment p~ = Q~l, kde Q je náboj jádra. Takováto polarizace se obvykle nazývá „elektronováÿ.

H O

`p

H Obrázek 1.52 2. Dielektrika s polárními molekulami. Molekuly některých dielektrik tvoří elektrické dipóly i bez působení vnějšího elektrického pole. Např. molekula vody, znázorněná na obr. 1.52, má uspořádány atomy vodíku nesouměrně, takže střed elektronového oblaku molekuly nesplývá se středem kladných nábojů. Molekula má nenulový elektrický dipólový moment, je polární. Ježto molekuly všech látek vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb, c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

43

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS jsou molekulární dipóly orientovány nahodile a výsledný dipólový moment libovolné, ne příliš malé, části dielektrika, daný součtem dipólových momentů jejich molekul, je nulový. Látka je nepolarizována. Vlivem elektrického pole, které působí na molekuly otáčivým momentem, se molekuly látky částečně natáčejí, tj. orientují, do směru pole a látka se polarizuje. Úplnému natočení všech molekul brání síly, kterými na sebe působí molekuly navzájem při srážkách. Účinek těchto srážek roste s rostoucí teplotou. Proto polarizace látek tohoto typu, která se obvykle nazývá „orientačníÿ, klesá s rostoucí teplotou látky. ~ se polarizace zvětšuje, podobně jako při elektronové polarizaci. S rostoucí intenzitou E

~P

dielektrikum `n

%S

¡

-q

~P +q ~l

~l volný náboj

S `n

Obrázek 1.53 Elektrické dipólové momenty polárních molekul jsou mnohonásobné větší (asi 103 až 104 krát) než indukované momenty molekul nepolárních. Proto vliv dielektrik s polárními molekulami na elektrické pole je podstatně větší než vliv dielektrik ostatních. 1.2.4.3

Vektory elektrického pole v dielektriku

Elektrická polarizace P~ Stupeň polarizace látky v její malé části o objemu dV je charakterizován vektorem „elektrické polarizace P~ ÿ, definovaným vztahem P p~ ~ definice elektrické polarizace P = , (1.48) dV [C·m−2 = C·m·m−3 ] , P kde p~ je součet momentů elektrických dipólů v uvažovaném objemu, tj. jeho dipólový moment. Jednotka: [P ] = C·m−2 . Vektor P~ souvisí s polarizačními náboji Qp , vytvořenými uvnitř dielektrika a s polarizačními náboji o plošné hustotě σp , vytvořenými na jeho povrchu, vztahy (1.49), (1.50). Důkaz: Veďme dielektrikem libovolnou uzavřenou plochu S. Nechť dS je její malá část (obr. 1.53). Dojde-li v dielektriku k polarizaci, projde část atomárních nábojů uvažovanou plochou. Pro jednoduchost předpokládejme, že se přitom posunou pouze kladné atomární náboje (poněkud komplikovanější výpočet přihlížející k posuvu kladných i záporných nábojú vede ke stejnému výsledku). Nechť je v objemové jednotce látky n0 molekul a nechť rozestup středů jejich nábojů po polarizaci je dán vektorem ~l. Je-li q celkový kladný náboj v jedné molekule, projde při polarizaci uvedenou ploškou dS z její záporně strany na kladnou celkový náboj 

 počet nábojů  = qn0 dSl cos α = n0 q~l · ~ndS = n0 · p~~ndS = P~ · ~ndS = Pn dS. dQ = q × v objemu dSl cos α Zde je p~ = q~l elektrický dipólový moment molekuly a n0 p~ dipólový moment jednotky objemu, 44


1.2. ELEKTROSTATIKA takže P~ = n0 p~. Z vnitřku plochy S vystoupí náboj ZZ ZZ Q = P~ · ~ndS = Pn dS, S

S

takže uvnitř plochy, kde byl původně nulový náboj, zůstane náboj Q0 = −Q. To je tedy polarizační náboj Qp , takže platí ZZ ZZ Qp = − Pn dS = − P~ · ~ndS. S

polarizační náboj

(1.49)

S

Leží-li ploška dS na povrchu dielektrika, zůstane náboj dQ = Pn dS jako polarizační nánoj na ní. Jeho plošná hustota σp tedy je σp = Pn = P~ · ~n.

plošná hustota polarizačního náboje

(1.50)

~ Užijme pro plochu S na obr. 1.53, v jejímž vnitřku jsou vázané náboje, Elektrická indukce D Gaussova zákona, vyjádřeného vztahem (1.15). Dostaneme ZZ ZZ 1 X 1 X 1 X 1 X 1 ~ Q= Qvoln + Qpolarizan = Qvoln −

P~ ~ndS.

E · ~ndS = ε0 ε0 ε0 ε0 ε0 S

S

Odtud plyne vztah ZZ X ~ + P~ ) · ~ndS =

(ε0 E Qvoln .

(1.51)

S

~ i vektor P~ závisí na nábojích volných i polarizačních. To je důležitý výsledek: Vektor E ~ Integrál na levé straně však závisí jen na volných nábojích uvnitř plochy, zatímco jak vektor E, ~ tak vektor E, závisí i na nábojích vázaných. Tohoto výsledku lze s výhodou užít při vyšetřování elektrických polí tam, kde jsou známy volné náboje, nikoliv však náboje polarizační. Pro vektor ~ + P~ ) odtud vyplývají i jiné užitečné vlastnosti, takže se o něm uvažuje jako o zvláštním (ε0 E ~ Vektor D ~ je tedy definován vztahem vektoru. Nazývá se elektrická indukce a označuje se D. ~ = ε0 E ~ + P~ . D

~ definice vektoru D

Při této definici lze psát vztah (1.51) ve tvaru I X 0 ~ ndS = Gaussův zákon pro dielektrika D.~ Qvoln .

(1.52)

(1.53)

S

~ P~ , D, ~ vázanými definičním vztahem Elektrické pole je tedy charakterizováno třemi vektory E, ~ D. ~ (1.52). K vyšetřování polí se volí obvykle dva z nich, nejčastěji E, Vztah (1.53) je jednou ze základních rovnic teorie elektromagnetického pole a platí zcela obecně ve všech elektromagnetických polích. Nazývá se Gaussův zákon pro dielektrika nebo také III. Maxwellova rovnice (odstavec 1.5.2). Integrál na levé straně rovnice (1.53), vzatý po libovolné (nikoliv jen uzavřené) orientované ploše S, se nazývá elektrický indukční tok a označuje se φ. Definiční vztah tedy zní ZZ ~ · ~ndS. φ= D (1.54) S


45

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Lineární dielektrika Většina dielektrik je z hlediska elektrického lineární v tom smyslu, že ~ D ~ ∼ E, ~ D ~ ∼ P~ . Polarizační vlastnosti těchto látek jsou charakteriv nich platí vztahy P~ ∼ E, zovány veličinou χ nazvanou elektrická susceptibilita, definovanou vztahem ~ P~ = ε0 χE.

(1.55)

~ platí χ > 0. Veličina χ, závisí na, látce a na jejím fyzikálním stavu. Ježto je P~ ↑↑ E, Dosadíme-li ze vztahu (1.55) do vztahu (1.52), dostaneme ~ = ε0 (1 + χ)E ~ = ε0 εr E ~ = εE. ~ D

~ aE ~ v lineárním dielektriku vztah mezi D

(1.56)

Veličiny εr , ε jsou definovány vztahy εr = 1 + χ je relativní permitivita, neboli dielektrická konstanta látky. Ve vakuu platí εr = 1, ε = εr ε0 je absolutní permitivita látky. Hodnoty veličiny εr jsou uvedeny v tabulkách. Typické hodnoty ε: sklo 5 až 10, papír 2, voda 81, vzduch 1,006. 1.2.4.4

Feroelektrika

P

A

Pr Ek 0

E

Obrázek 1.54 V technických aplikacích mají vzrůstající význam elektricky nelineární látky. Závislost vektoru polarizace na vektoru intenzity u nich není lineární a píšeme-li vztah mezi nimi ve tvaru ~ (1.55), je χ, funkcí veličiny E, tj. χ = f (E). U těchto látek navíc není P~ jednoznačnou funkcí E, nýbrž závisí také na předchozí hodnotě elektrického pole v látce. Látka má jakousi elektrickou ~ Tomuto jevu se říká hystereze. Závislost P na E je znázorněna setrvačnost, P~ se opožďuje za E. hysterezní křivkou na obr. 1.54. Látky, které mají tuto vlastnost se nazývají feroelektrika. Patří k nám např. Seignettova sůl (vínan-sodno-draselný), fosforečnan draselný, titaničitan barnatý. Feroelektrikum může být spontánně polarizováno, tzn. může být polarizováno i při nulovém vnějším elektrickém poli. Krystal feroelektrické látky se skládá z domén (ohraničených makroskopických oblastí). Uvnitř každé domény má polarizace vlastní směr, který se od domény k doméně liší (obr. 1.55) a celkový moment dipólu krystalu je roven nule. Když začne na krystal působit vnější pole, domény s vektorem polarizace ve směru elektrického pole rostou na úkor ostatních domén a polarizace krystalu rovněž vzrůstá (část 0A křivky na obr. 1.54). Když se všechny domény uspořádají do směru vnějšího elektrického pole polarizace je nasycena a krystal se stává jedinou doménou. Případný další růst polarizace je způsoben jevy, o kterých jsme hovořili v předchozí části. Když se vnější pole po dosažení bodu A hysterezní křivky bude zmenšovat, polarizace klesá a její závislost na intenzitě elektrického pole probíhá podél části křivky APr . Při nulovém poli zůstává remanentní polarizace Pr . Úplné odstranění polarizace látky je možné jen působením vnějšího elektrického pole opačného smyslu. 46


1.2. ELEKTROSTATIKA

Obrázek 1.55

Intenzita potřebná k tomu, aby polarizace klesla na nulu, se nazývá intenzita koercitivního pole E~k . Některá pevná dielektrika vykazují piezoelektrický jev. Při pružné deformaci krystalu, stlačení nebo protažení, elementární dipóly molekul látky se stáčejí a mění polarizaci krystalu. Na okrajích krystalu vystupují polarizační náboje, vytvářejí elektrické pole, které je příčinou měřitelného rozdílu potenciálů mezi plochami krystalu. Tohoto jevu se používá k měření deformací. V krystalech je možné pozorovat i opačný jev. Elektrické dipóly se stáčejí ve směru elektrického pole a tento pohyb molekul se projeví mechanickou deformací. Vnější pole proto způsobí změnu rozměrů dielektrika. Tento jev se nazývá elektrostrikce a užívá se k buzení ultrazvukových vln nebo k jemným délkovým posunutím, např. k dolaďování vlnových rezonátorů laserů. 1.2.4.5

Elektrické pole v homogenním dielektriku

Uvažujme opět o deskovém kondenzátoru s dielektrikem, obr. 1.50. Intenzita výsledného elek~ je podle rovnice (1.46) dána vztahem E ~ = E~0 + E~p , kde E~0 je intenzita pole trického pole E buzeného v dielektriku samotnými volnými náboji a E~p je intenzita pole, buzeného náboji indukovanými polarizací. Pole E~p je vytvořeno dvěma rovnoběžnými vrstvami náboje o plošné hustotě ±σ na povrchu a podle odstavce 1.1.1 tedy platí Ep = σp /ε0 . Dosazením do vztahu (1.46) dostaneme s užitím vztahů (1.50), (1.55) E = E0 − Ep = E0 −

σp Pn P ε0 χE = E0 − = E0 − = E0 − = E0 − χE =⇒ ε0 ε0 ε0 ε0 E(1 + χ) = E0 =⇒ E =

E0 . εr

~ ↑↑ E~0 , vychází odtud důležitý vztah Ježto platí E ~ ~ = E0 . E εr

elektrická intenzita v dielektriku

(1.57)

Z něho pak plyne vztah mezi napětím kondenzátoru s dielektrikem, U , a napětím U0 : U=

U0 εr ?

Pro kapacitu kondenzátoru s dielektrikem pak dostaneme známý vztah (viz rov. (1.45)) C=

Q Q εr ε0 S = εr = εr C 0 = . U U0 d

Vztah (1.57) byl odvozen pro pole v deskovém kondenzátoru. Lze však ukázat, že platí i pro vektory pole, buzeného náboji v nekonečném homogenním dielektriku. Vektor E~0 je intenzita c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

47


~E volné náboje `r 0

~E0

~Ep

polarizační náboje Obrázek 1.56

~ je intenzita celkového pole, buzeného současné volnými náboji pole buzeného volnými náboji a E i polarizačními náboji, vytvořenými polarzací dielektrika. Např. intenzita celkového pole, buzeného malou nabitou koulí — tj. přibližně bodovým nábojem Q — v nekonečném homogenním dielektriku, je dána vztahem 1 Q 0 ~ = E ~r . 4πεr ε0 r2 Na vytvoření tohoto pole se podílejí jak volné, tak vázané náboje, viz obr. 1.56. ~ pole, vytvořeného v nekonečném homogenním dielektriku (nebo mezi deskami. Pro vektor D kondenzátoru), plyne ze vztahů (1.56), (1.57) vztah ~ = ε0 εr E ~ = ε0 E~0 , D kde E~0 je intenzita pole vytvořeného pouze volnými náboji. V dielektriku kondenzátoru na obr. 1.50 nebo u povrchu obecného vodiče v homogenním dielektriku, platí D = ε0 E0 = ε0

σ = σ, ε0

kde σ je plošná hustota volného náboje. 1.2.4.6

Energie elektrického pole, We

Q(>0) -Q I

R a)

směr proudění energie C1

R

Z vlnění (pole) ohřev

C2

Ô b)

c)

Obrázek 1.57 Řada jevů svědčí o tom, že elektricky nabitá soustava a elektrické pole má a přenáší energii. Příklady: Při vybíjení kondenzátoru (obr. 1.57a) zaniká elektrické pole a ve vodiči R se vyvíjí teplo. Při zapojení elektrického obvodu na obr. 1.57b ke zdroji střídavého napětí prochází vodičem R proud a vyvíjí se v něm teplo, přesto, že není vodivě spojen se zdrojem. Energie je do něj přenášena elektromagnetickým polem, vytvořeným zejména v oblasti kondenzátorů C1 , C2 . Na obr. 1.57c je schematicky znázorněno přenášení energie elektromagnetickými vlnami. 1. Energie nabitého osamoceného vodiče, We Z vlastností elektrostatického pole plyne, že práce, potřebná k nabití libovolné (původně nenabité) soustavy, nezávisí na způsobu nabíjení, nýbrž jen na výsledném jejím stavu. Soustava tedy má elektrickou energii We . 48


1.2. ELEKTROSTATIKA

Q, U Í Q +¾Q, U+¾U ¾Q É

¾Q C

Q, ç Í Q +¾Q, ç +¾ç

D1

D2 b)

a) Obrázek 1.58

Položíme-li elektrickou energii We nenabitého osamoceného vodiče V o kapacitě C (obr. 1.58a) rovnu nule, We (Q = 0) = 0, je energie nabitého vodiče dána vztahem We = A, kde A je práce, kterou vykonaly vnější síly (tj. jiné než síly od elektrostatického pole uvažovaného vodiče), působící na nabité částice při jejich přemísťování na V při nabíjení. Uvažujme o takovém nabíjení, při němž se na V postupně přenášejí malé náboje ∆Q z nekonečna, přičemž jeho potenciál (téměř) spojitě roste z hodnoty ϕ = 0 na hodnotu ϕk , které nabude při nabití výsledným nábojem Qk . Má-li vodič v některém okamžiku nabíjení právě potenciál ϕ(0 < ϕ < ϕk ), vzroste při přenesení náboje ∆Q z nekonečna na vodič jeho elektrická energie o hodnotu ∆We = ∆Q.ϕ. Současně se zvýší potenciál vodiče z hodnoty ϕ na, hodnotu ϕ + ∆ϕ, kde ∆ϕ = ∆Q/C, takže platí ∆We = Cϕ∆ϕ. Celková elektrická energie vodiče nabitého na potenciál ϕk je tedy dána součtem Z ϕk X X 1 We = ∆We = Cϕ∆ϕ → We = Cϕdϕ = Cϕ2k 2 0 Užijeme-li definičního vztahu pro kapacitu, dostáváme pro elektrickou energii osamoceného vodiče, nabitého nábojem Q na potenciál ϕ vztahy 1 1 1 Q2 We = Cϕ2 = Qϕ = . 2 2 2 C

energie nabitého vodiče

(1.58)

2. Energie nabitého kondenzátoru Proces nabíjení kondenzátoru si lze představit jako postupné odnímání kladného náboje z jedné desky (D1 na obr. 1.58b) a jeho přenášení na druhou desku. Tím se deska D1 nabíjí záporně a její potenciál klesá, druhá kladně a její potenciál roste. Zcela analogickou úvahou jako u osamoceného vodiče se odvodí vztahy 1 1 1 Q2 We = CU 2 = QU = . 2 2 2 C

energie nabitého kondenzátoru

(1.59)

P ¾W, ¾We Obrázek 1.59 3. Energie elektrického pole Řada jevů, z nichž jsme některé uvedli, ukazuje, že nositelem elektrické energie elektricky nabitých těles je elektrické pole, které tato tělesa budí. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

49

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Objemová hustota elektrické energie v bodě P , we , je definována vztahem we =

∆We , ∆V

definice hustoty elektrické energie

(1.60)

kde ∆We je elektrická energie v malém elementu o objemu ∆V , obsahujícím bod P (obr. 1.59). ~ Je Tato veličina závisí na mohutnosti elektrického pole, konkrétně na velikosti vektoru E. dána vztahem ED ε0 εr E 2 = . 2 2 = F·m−1 ·V2 ·m−2 ]

we = [J·m−3

hustota elektrické energie

(1.61)

Platnost vztahu (1.61) plyne z teorie a je ověřena experimentem. Dojdeme k němu např. úvahou o deskovém kondenzátoru: Deskový kondenzátor na obr. 1.58b s velmi úzkou mezerou mezi deskami má energii, kterou lze vyjádřit ve tvaru 1 1 ε0 εr S ε0 εr E 2 we = CU 2 = (Ed)2 = Sd. (1.62) 2 2 d 2 Při dosazení U = Ed jsme předpokládali, že pole mezi deskami je homogenní. Předpokládámeli, že nositelem energie kondenzátoru je jeho elektrické pole, pak ze vztahů (1.60), (1.62) a (1.56) plyne vztah (1.61). 1.2.4.7

Příklady — Elektrostatika

R-1 V elektronce se pohybuje nerelativistický elektron od katody ke mřížce a je brzděn elektrickou silou. Jeho zrychlení ~a má velikost a = 1,20·103 m·s−2 . Určete: 1. Sílu F~ , která na něj ~ působí; 2. Intenzitu elektrického pole E. Řešení: 1. Pohybová rovnice pro nerelativistický elektron zní: m0~a = F~ , kde m0 je klidová hmotnost elektronu. Odtud plyne: F~ míří ke katodě a má velikost F = m·a = 9,11·10−31 kg·1,20·103 m·s−2 = 1,09·10−27 N. ~ je, podle definice, rovna E ~ = E/Q ~ ~ 2. Intenzita elektrického pole E = E/(−e). Odtud plyne: ~ ~ E má směr opačný než F , tj. míří k mřížce. Její velikost je E=

F 1,09·10−27 N = = 6,81·10−9 V·m−1 . e 1,60·10−19 C

R-2 V bodě P stálého magnetického pole se ustálí malá magnetka v rovnovážná poloze naznačené na obr. 1.60. Jestliže se magnetka odstraní a bodem P se pohybuje volný proton rychlostí v~1 o velikosti v1 = 3,00·103 m·s−1 kolmo na směr magnetky, má jeho trajektorie v bodě P poloměr křivosti R = 2,00 mm. Určete: 1. Zrychlení protonu; 2. Magnetickou sílu působící na proton; ~ 4. Sílu, která by působila na proton, kdyby se bodem P pohyboval rychlostí v~2 3. Vektor B; o velikosti v2 = 2,50·104 m·s−1 . Řešení: ~ B ~ má podle definice směr S → N , tedy F~ míří 1. ~a =? magnetická síla: F~ = Q(~v × B); před nákresnu, ~a rovněž před nákresnu (F~ = m~a); velikost: ~a ⊥ v~1 , tedy ~a je dostředivá zrychlení; platí v2 (3,00·103 )2 m2 ·s−2 a= 1 = = 4,50·109 m·s−2 . R 2,00·10−3 m 50


1.2. ELEKTROSTATIKA

N

~B

`v .. à

~F

1

¢

30"

S

`v2 Obrázek 1.60

~ =? E ~ míří před nákresnu, velikost: F = ma = 1,67·10−27 kg·4,50·109 m·s−2 = 7,52·10−18 N. 2. E ~ =? směr: S → N , velikost (podle definice) 3. B B=

7,52·10−1 N F = = 1,57·10−2 T. Qv1 1,60·10−19 C · 3,00·103 m

~ směr: za nákresnu, velikost 4. F~ 0 =? F~ 0 = (v~2 × B); F 0 = Qv2 B· sin β = 1,60·10−19 C·2,50·104 m·s−1 ·1,57·10−2 T· sin(180◦ −30◦ ) = 3,14·10−17 N.

~Fm ~Fv P proton

~E

30"

~B

¡=60" `v

~Fe Obrázek 1.61 R-3 Bodem P elektromagnetického pole se pohybuje proton rychlostí ~v o velikosti v = 2·104 m·s−1 ~ B ~ jsou v bodě P na nebe kolmé a mají velikost E = 3·103 V·m−1 , (obr. 1.61). Vektory E, B = 0,2 T. Úkoly: 1. Určete a zakreslete tyto síly působící na proton: a) elektrickou F~e , b) 0 0 0 magnetickou F~m , c) výslednou F~v ; 2. Určete a zakreslete síly F~e , F~m , F~v , které by na proton působily, kdyby se pohyboval rychlostí ~v 0 = −~v ; 3. Určete a zakreslete jednu z možných rychlostí protonu, při níž by výsledná síla, kterou na něj působí elektromagnetické pole, byla nulová. Řešení: ~ = eE, ~ Fe = 1,6·10−19 C · 3·103 V·m−1 = 4,8·10−16 N; F~e ↑↑ E; ~ 1. a) F~e = QE ~ Fm = evB sin α = 1,6·10−19 C · 2·104 m·s−1 · 0,2 T · sin 60◦ = 5,54·10−16 N; b) F~m = e~v × B; ~ F~m ⊥ v~1 , B; c) F~v = F~e + F~m , F 2 = F 2 + F 2 , neboť F~e ⊥ F~m · Fv = 7,33·10−16 N. v

e

m

Ostatní úkoly samostatně. R-4 Vyšetřete elektrostatické pole vytvořené nekonečně dlouhou válcovou plochou rovnoměrně nabitou nábojem o plošné hustotě σ. Řešení: c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

51


S2

S ~E

`n P

S1

σ

r

R

r

l Obrázek 1.62

Válec nechť má poloměr R (obr. 1.62). Pak intenzitu pole v bodě P vně válce, tj. pro r > R, určíme užitím Gaussova zákona na uzavřenou plochu S, sestávající ze souosé válcové plochy libovolné délky l, jdoucí bodem P ze dvou kruhových základen S1 , S2 o poloměru r. Vychází En 2πrl = 2πRlσε−1 0 ⇒ En = σR/(ε0 r) Zde En je průmět do vnější normály ~n. U povrchu válcové plochy (r = R) je En = σ/ε0 . Vedeme-li analogickou válcovou plochou bodem uvnitř válce, tj. pro r < R, je v jejím vnitřku Q = 0. Úvahou shodnou s předešlou dostaneme E = 0. R-5 Vypočtěte práci, kterou vykonají síly elektrostatického pole, vytvořeného elektrickým nábojem rozloženým v baterii a v přívodních vodičích (obr. 1.63), jestliže se z bodu M přemístí náboj Q = 2·10−3 C na povrch Země postupně po křivkách C1 , C2 , C3 (křivka C2 je vedena vnitřkem vodiče a baterie). Elektromotorické napětí baterie je E = 12 V.

¥

M

C1 C3

C2

Země Obrázek 1.63 Řešení: Napětí na svorkách baterie, kterou neprochází proud, je U = E. Ježto katoda je uzemněna, je potenciál anody ϕA = E = 12 V. Práce, kterou vykonají elektrostatické síly, působící na náboj Q, je na křivkách C1 , C2 , C3 stejná, tj. platí A1 = A2 = A3 = A, kde pro A plyne ze vztahů (1.27), (1.30) A = Qϕ(M ) = 2·10−3 C · 12V = 2,4·10−2 J. P-1 Jádro atomu sestává z N neutronů a ze Z protonů, kde N je tzv. neutronové číslo a Z protonové nebo atomové číslo jádra. Pro neutrální molekulu vody určete: 1. Celkový náboj atomových jader obsažených v molekule; 2. Celkovou hmotnost všech elektronů v molekule. P-2 V měděném vodiči se v krystalové mříži, sestávajíoí z iontů Cu, volně pohybují elektrony v počtu rovném počtu iontů. S užitím hodnot MCu = 63,54 kg·kmol−1 , ZCu = 29 a hodnot uvedených ve fyzikálních tabulkách určete pro vodič V o hmotnosti m = 100 g: 1. Počet kilomolů mědi vodiče; 2. Průměrnou hmotnost jednoho atomu mědi; 3. Počet volných elektronů ve vodiči 52


1.2. ELEKTROSTATIKA V ; 4. Celkový náboj všech atomových jader mědi ve vodiči; 5. Poměrné zmenšení počtu elektronů ve vodiči, nabije-li se nábojem Q = 1,00 µC.

¡ m,Q

Země Obrázek 1.64 P-3 Záporně nabité tělísko o náboji Q = 4,00·10−9 C a o hmotnosti m = 1,00·10−2 g se pohybuje v evakuovaném prostoru rovnoměrně po vodorovné přímce za současného působení tíhového pole a elektrostatického pole. Řešte tyto úkoly: 1. Určete výslednou sílu působící na tělísko; 2. Určete ~ a určete ji; elektrickou sílu působící na tělísko; 3. Vyslovte definici intenzity elektrického pole E ~ aby se tělísko pohybovalo po uvedené přímce se zrychlením 4. Vyšetřete, jaké by muselo být E, −2 30 m·s . P-4 V homogenním elektrickém poli mezi svislými deskami kondenzátoru visí v klidu v rovnovážné poloze na vlákně o zanedbatelné hmotnosti malá kulička o hmotnosti m = 0,20 g, nabitá nábojem Q = −5,0·10−5 C. Vlákno přitom svírá se svislým směrem úhel α = 35◦ (obr. 1.64). Určete: 1. Výslednou sílu působící na kuličku; 2. Tíhovou sílu působící na kuličku; 3. Sílu, kterou ~ 6. Jak kulička působí na vlákno; 4. Sílu, kterou na kuličku působí elektrické pole; 5. Vektor E; by se kulička pohybovala, kdyby se vlákno přetrhlo. P-5 Na lehké tuhé tyči délky l = 2a = 0,2 m se zanedbatelnou hmotností jsou připevněna dvě malá tělíska o hmotnostech m1 = 0,5 g, m2 = 1,0 g, nabitá náboji Q1 = 5,0·10−9 C, Q2 = 1,0·10−9 C (obr. 1.65). Tyč se může otáčet se zanedbatelně malým třením kolem vo~ dorovné osy O. Vlivem tíhových sil a sil od homogenního elektrického pole, jehož intenzita E 5 −1 má velikost E = 8,0·10 V·m , je tyč v rovnovážné poloze, při níž svírá se svislicí úhel α. Určete: 1. Obecné podmínky rovnováhy; 2. Výslednici tíhových sil a jejich otáčivý moment; 3. Výslednici elektrických sil a jejich otáčivý moment; 4. Úhel α; 5. Sílu kterou působí tyč na těleso m1 ; 6. Sílu, kterou působí tyč na osu. P-6 V bodech A, B, jež jsou od sebe vzdáleny o d = 120 mm, jsou ve vakuu umístěny pevné bodové náboje QA = 2,00 µC, QB = 6,00 µC (obr. 1.66). Úkoly: 1. Určete intenzitu elektrického pole, vytvořeného v bodě B nábojem QA , tj. E~A (B); 2. Určete E~B (A); 3. Určete el. sílu, která působí na náboj QA a el. sílu, která působí na náboj QB . 4. Určete intenzitu el. pole v bodě ~ 1), a v bodě P2 , tj. E(P ~ 2); 5. Určete sílu, která bude působit na volnou částici C P1 , tj. E(P o hmotnosti m = 7,50·10−8 kg a náboji Q = −1,50·10−6 C, která se bude pohybovat bodem P1 rychlostí ~v , v = 1,00·103 m·s−1 ; 6. Určete zrychlení ~a částice C; 7. Určete tečné a normálové zrychlení částice C; 8. Určete polohu středu křivosti trajektorie částice C v bodě P1 ; 9. Nakreslete přibližně část trajektorie v okolí bodu P1 . P-7 Ve vrcholech A, C obdélníka ABCD o stranách a = AB = 100 mm, b = BC = 50 mm jsou bodové elektrické náboje QA = 5·10−9 C, QC = −2·10−9 C. Určete: 1. Elektrickou sílu působící na náboj QC . Zakreslete; 2. Intenzitu elektrického pole v bodě B. Zakreslete; 3. Intenzitu elektrického pole ve středu S obdélníku. Zakreslete; 4. Na přímce jdoucí body A, C určete bod ~ = ~0. P , v němž je E P-8 Nekonečně dlouhý válec V1 o poloměru R je rovnoměrně nabit nábojem o objemové hustotě ~ pole, vytvořeného válcem, má radiální směr; 2. Dokažte, že %. Úkoly: 1. Dokažte, že vektor E


53


O a ¡ m0 m2,Q2 a

~E m1,Q1

A,QA Země Obrázek 1.65

d/2

d/2 P1

B,QB d/2 ¡=30" P2

`v Obrázek 1.66

v bodě P vně válce má intenzita velikost E = R2 %/2ε0 r, kde r je vzdálenost bodu P od osy ~ vně válce válce; 3. Dokažte, že uvnitř válce má intenzita velikost E = %r/2ε0 ; 4. s) Určete E v bodě P1 , vzdáleném o r1 = 30 mm od jeho osy, má-li v bodě P2 , vzdáleném o r2 = 50 mm od osy, intenzita velikost E = 800 V·m−1 ; b) Určete %, je-li poloměr válce R = 12 mm (náčrtek; prostudujte R-4). P-9 Dvě velmi velké rovnoběžné desky D1 , D2 , vzdálené od sebe o d, jsou nabity s plošnými hustotami nábojů σ1 , σ2 . Potenciál desky D1 je ϕ = 0 voltů. Sestrojte náčrtek a řešte úkoly: 1. S užitím Gaussova zákona dokažte, že deska D1 budí elektrické pole, jehož intenzita má v celém prostoru velikost E1 = |σ1 |/2ε0 ; 2. Určete potenciál pole, buzeného deskou D1 , jako ~ buzeného oběma funkci vzdálenosti x od desky. Znázorněte graficky; 3. Určete intenzitu pole E, deskami v celém prostoru. Předpokládejte přitom, že platí σ1 > σ2 > 0. P-10 Pro elektrické pole, uvedené v příkladu P-7, určete: 1. Minimální práci potřebnou k přenesení náboje QC do nekonečna; 2. Elektrický potenciál pole, buzeného nábojem QA , v bodě C; 3. Elektrický potenciál výsledného pole v bodě B; 4. Práci, kterou vykonají elektrické síly působící na bodový náboj Q0 = 4·10−5 C při jeho přenesení z bodu B do bodu D. P-11 Elektron vyletěl v evakuované trubici z uzemněné katody rychlostí v~1 o velikosti v1 = 300 m/s směrem k anodě, která byla vzdálena od anody o d = 12,0 mm. Pole mezi katodou a anodou bylo homogenní, jeho intenzita měla velikost E = 2000 V·m−1 a rychlost elektronu během pohybu rostla. Předpokládejte, že po hyb byl nerelativistický a řešte úkoly: 1. Náčrtek! ~ a sílu F~ , která působila na elektron; 2. Určete práci, kterou vykonaly elekUrčete vektor E trostatická síly působící na elektron na trajektorii mezi katodou a anodou; 3. Určete elektrickou potenciální energii při dopadu na anodu; 4. Určete potenciál anody; 5. Napište vztah mezi potenciální a kinetickou energií elektronu na katodě a anodě; 6. Určete kinetickou energii a rychlost elektronu při dopadu na anodu; 7. Určete hybnost elektronu na začátku a konci dráhy. Vyslovte 1. impulzovou větu a určete dobu letu mezi katodou a anodou; 8. Určete potenciální energii elektronu a potenciál pole na celé trajektorii. P-12 Elektron se uvolnil ve vakuovém fotočlánku z uzemněné fotokatody s kinetickou energií Wk1 = 3,1·10−19 J a pohyboval se klesající rychlostí k anodě. Úkoly: 1. Náčrtek! Určete orientaci ~ mezi katodou a anodou; 2. Rychlost dopadu elektronu na anodu je a) 6,0·105 m/s vektoru E b) 2,0·103 m/s; Určete v obou případech: α) práci vykonanou silami elektrostatického pole; β) potenciální energii elektronu na anodě; γ) potenciál anody; 3. Určete, při jakém potenciálu anody by na ni elektron dopadl a energií Wk2 = 0,5Wk1 ; 4. Určete jakou hodnotu musí mít potenciál anody, aby na ni elektron a) dopadl, b) nedopadl. Poznámka: Napětí mezi katodou a anodou, které odpovídá rozhraní mezi oběma stavy, se nazývá „brzdné napětíÿ. P-13 Proton se pohyboval v elektrostatickém poli ve vakuu. Bodem P1 v němž pole mělo poten54


1.2. ELEKTROSTATIKA ciál ϕ1 = 20 000 V, proletěl rychlostí o velikosti v1 = 5 000 m·s−1 . Jakou rychlostí se pohyboval bodem P2 , v němž pole mělo potenciál ϕ2 = 15 000 V?

x P Q O

R

%l Obrázek 1.67 P-14 Tenký kruhový prstenec o poloměru R = 50 mm je nabit rovnoměrně rozloženým nábojem Q = 3,5·10−7 C. Zaveďte osu Ox podle obr. 1.67 a určete: 1. Potenciál dϕ pole, buzeného v obecném bodě P (x) na ose Ox elementárním úsekem prstence délky dl; 2. Potenciál ϕ(x) pole, buzeného v bodě P celým prstencem. Průběh potenciálu na ose Ox znázorněte přibližně ~ na ose Ox. Vektor E ~ s užitím vztahu (1.39). Znázorněte průběh E~x graficky; 3. Směr vektoru E ~ pole, buzeného v bodě P elementem prstence dl; 5. Vektor E ~ přibližně graficky; 4. Vektor dE ~ v bodě P jako součet intenzit dE. (Náčrtek!)

P1 K dKL

L

P2 Obrázek 1.68 P-15 Na obr. 1.68 jsou v měřítku 1:1 naznačeny elektrické siločáry homogenního pole a body P1 , P2 , K, L, v nichž má pole potenciály, splňující podmínky: ϕ(P1 ) = 0V, |ϕK − ϕL | = 8000V. V bodě P1 je uvolněn elektron s nulovou rychlostí a začne se pohybovat s rostoucí rych~ a potenciálem ϕ. Zalostí do bodu P2 . Úkoly: 1. Napište obecný vztah mezi intenzitou E ~ a potenciály kreslete ekvipotenciální plochy jdoucí body P1 , P2 , K, L. Určete intenzitu pole E ϕ(K), ϕ(L), ϕ(P2 ); 2. Určete elektrickou potenciální energii elektronu v bodech P1 , P2 ; 3. Vyslovte a zapište zákon zachování energie pro elektron pohybující se v elektrostatickém poli. Určete celkovou energii a kinetickou energii elektronu v bodech P1 , P2 ; 4. Určete hmotnost a rychlost elektronu při jeho průchodu bodem P2 . P-16 Vzduchový deskový kondenzátor sestává ze dvou rovnoběžných desek D1 , D2 , o rozměrech 0,2 m × 0,2 m, vzdálených od sebe o d = 2,00 mm. Je nabit na napětí U = 500 V. Deska D1 je uzemněna. Body O, O0 značí průsečíky osy Ox s deskami D1 , D2 (obr. 1.69). Úkoly: 1. Určete potenciál bodu O0 ; 2. Vyslovte definici kapacity kondenzátoru, odvoďte obecný vztah pro kapacitu deskového kondenzátoru a vypočtěte kapacitu kondenzátoru K; 3. Určete plošnou hustotu ~ mezi deskami a určete ji; 5. Určete náboje na obou deskách; 4. Vyslovte definici intenzity E ~ a potenciál ϕ v bodech, ležících vně desek na ose Ox v blízkosti bodů O, O0 ; 6. intenzitu E Dokažte, že v bodech mezi deskami platí E = |σ|/ε0 ; 7. Určete intenzitu pole, buzeného v okolí bodu O deskou D1 ; 8. Určete elektrickou energii kondenzátoru a hustotu energie elektrického c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

55


D1

a

O O'

d

D2

x

a

Obrázek 1.69

pole mezi deskami; 9. Určete sílu, kterou je deska D1 přitahována k desce D2 . P-17 Soustava S1 sestává z n kondenzátorů o kapacitách C1 , C2 , . . . Cn , spojených podle schematu 1.70a a soustava S2 z n kondenzátorů o kapacitách C1 , C2 , . . . Cn , zapojených podle schematu 1.70b. Úkoly: 1. Vyslovte definici kapacity soustav S1 , S2 ; 2. Odvoďte vztah pro výpočet kapacity soustavy S1 ze známých kapacit C1 , . . . Cn ; 3. Nechť náboj kondenzátoru C1 v soustavě S1 je Q1 . Určete náboje a napětí všech ostatních kondenzátorů; 4. Nechť soustava S1 je nabita tak, že napětí na svorkách A, B je U . Určete náboj, kterým je soustava nabita (tj.Q1 +Q2 +. . .+Qn ); 5. Odvoďte vztah pro výpočet kapacity soustavy S2 ; 6. Nechť náboj kondenzátoru C2 v soustavě S2 je Q2 . Určete náboje a napětí všech ostatních kondenzátorů; 7. Nechť soustava S2 je nabita tak, že napětí na svorkách D, E je U . Určete náboj, kterým je soustava nabita (tj.Q1 ); 8. Soustava S3 (obr. 1.70c), kde C1 = C2 = C3 = C4 je nabita na napětí U . Určete její kapacitu a náboje a napětí všech kondenzátorů.

A C1

a)

Cn

C2

S1

D

Cn

C1 C2

S2 C2

B

E

b) p = 40 mm

C1 C3

c)

C4

P1

3 mm o 3 mm

`v0

S3 Obrázek 1.70

Obrázek 1.71

P-18 Mezi rovnoběžné desky kondenzátoru ve vakuu vletěl v bodě P1 elektron, urychlený elektrostatickým polem napětí 200 V podle obr. 1.71. Na kondenzátoru je stálé napětí 50 V. Určete: ~ mezi deskami; 3. Sílu F~e působící na elektron 4. Vstupní rychlost elektronu v~0 ; 2. Intenzitu E Zrychlení ~a elektronu. Zakreslete; 5. Rovnici trajektorie ve vhodně zvoleném součadném systému. 56


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD

1.3 1.3.1 1.3.1.1

Ustálený elektrický proud Ohmův zákon Základní informace

?

V technické praxi se ze všech elektromagnetických jevů užívá nejčastěji těch, které jsou spojeny s pohybem elektricky nabitých částic, tj. s elektrickým proudem. Elektricky nabité částice, krátce „nábojeÿ se přitom mohou pohybovat buď vakuem (elektronky, televizní obrazovky atd.), nebo plynem (elektrické výboje — oblouk, jiskra), kapalinou (elektrolyty), pevnou látkou (kovy, polovodiče). Jejich pohyb nemusí, ale může, být vázán na pohyb látky jako celku (obr. 1.72). Tyto pohybující se náboje nazýváme „elektrický proudÿ. Pohyb elektrických nábojů charakterizujeme fyzikální veličinou, kterou rovněž nazýváme elektrický proud, nebo krátce proud. Při její definici se vychází z těchto vlastností elektrických nábojů a elektromagnetických polí: 1. Přejde-li elektrický náboj Q v elektrostatickém poli z místa o potenciálu ϕ1 na místo o potenciálu ϕ2 , vykonají síly elektrostatického pole práci A = Q(ϕ1 − ϕ2 ). Přejde-li namísto toho náboj Q0 = −Q z potenciálu ϕ2 na potenciál ϕ1 , tj. v opačném směru viz obr 1.73a vykoná elektrostatické pole práci A0 = Q0 (ϕ2 − ϕ1 ) = −Q(ϕ2 − ϕ1 ) = A, tj. práci stejnou. 2. Náboj Q, pohybující se rychlostí ~v , budí stejné magnetické pole jako náboj Q0 = −Q, pohybující se rychlostí ~v 0 = −~v , viz odstavec 1.4.1. Z hlediska energetického a z hlediska vytváření magnetických polí jsou tedy kladné náboje, pohybující se jedním směrem, ekvivalentní záporným nábojům, pohybujícím se směrem opačným (obr. 1.73b).

polovodič p

polovodič n kov

K

nekonečný pás elektronka A S2 ionty S1 K A elektrický oblouk galvanický článek Obrázek 1.72

1.3.1.2

Q,A

ç1

Q'= -Q,A'= A

ç2

a) stejná práce Q

v`

v` ' = -`v Q'= -Q b) stejné magnetické pole Obrázek 1.73

Definice elektrického proudu I

Prostorem, v němž se pohybují náboje, vedeme plochu S, kterou orientujeme jednotkovou normálou ~n, a to libovolně. V obr. 1.72 je naznačena plocha S1 , vedená elektrickým obloukem a plocha S2 vedená elektrolytem. Ve vodiči na obr. 1.74 je to např. rovinný řez S obecného směru. Nechť c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

57

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS během časového intervalu (t, t + ∆t) projdou ze záporné strany plochy S na kladnou (jakékoliv) částice s celkovým nábojem ∆Q1 a z kladné strany na zápornou částice s celkovým nábojem ∆Q2 . Pak elektrický proud In orientovanou plochou S je definován vztahem In =

∆Q1 − ∆Q2 ∆Q = , ∆t ∆t

definice elektrického proudu

v limitě ∆t → 0 In =

(1.63)

dQ . dt

[ampér = coulomb·sekunda−1 ]

`n ¾Q2

¾Q1

Obrázek 1.74 Zde je ∆Q = ∆Q1 − ∆Q2 celkový přírůstek náboje na kladné straně plochy (∆Q R 0) a Q = Q(t) je funkce, udávající prošlý náboj v závislosti na čase. Poznámky: 1. Proud In , definovaný vztahem (1.63), může být veličina kladná, záporná nebo nulová. Její znaménko závisí jak na proudění nábojů, tak na orientaci plochy S. 2. Z definičního vztahu je zřejmé, že kladné náboje, pohybující se jedním směrem, přispívají k hodnotě In stejně jako záporné náboje, pohybující se směrem opačným. Namísto veličiny In se často zavádí veličina I = |In |, která se nazývá rovněž elektrický proud. Je tedy definována vztahem I=

|∆Q| , ∆t

(1.64)

dQ . v limitě ∆t → 0 I = dt Jednotkou proudu je 1 ampér, pro který platí 1 A = 1 coulomb·1 sekunda−1 . V jednotkové soustavě SI je elektrický proud veličina základní. Jeho hlavní jednotka 1 A je definována pomocí silových účinků magnetického pole na proudovodič (odstavec 1.4.2). Pak 1 coulomb je jednotka odvozená, definovaná vztahem 1 A = 1 A·s. V technicky důležitých případech je elektrický proud vytvářen buď částicemi s náboji stejného znaménka (např. elektrony v kovech) nebo kladnými a zápornými částicemi, pohybujícími se opačnými směry (např. ionty v elektrolytech). V tomto případě se zavádí pojem směr proudu, a to takto: Vede se rovinná plocha S, kolmá na osu vodiče a orientuje se jednotkovou normálou ~n tak, aby proud In definovaný vztahem (1.63), byl kladný. Pak směr normály ~n udává směr proudu ve vodiči (obr. 1.75). Jsou-li ve vodiči pouze kladné (záporné) volné náboje, je směr proudu totožný (opačný) se směrem jejich pohybu.

S

`n

~I

Obrázek 1.75

58


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD Vektor proudu I~ . Ve vodičích, v nichž je definován směr proudu, se definuje vektor proudu I~ vztahem vektor proudu I~ = I~n, kde ~n je jednotkový vektor ve směru proudu. Vektor hustoty proudu ~i ~ takto: Bodem (nebo hustota proudu) je definován ve vodičích, v nichž je definován vektor I, P uvnitř vodiče vedeme malou plošku dS, orientovanou stejně jako plocha S (obr. 1.76). Vektor ~ Pak vektor hustoty proudu v bodě P je definován vztahem proudu touto ploškou nechť je dI. ~ ~i = dI = dI ~n. dS dS

definice ~i

(1.65)

~ Je-li vektor ~i ve všech bodech průřezu S stejný, platí zřejmě ~i = I/S a velikost i je dána vztahem I i= . velikost vektoru ~i S Z definice ~i plyne [i] = A·m−2 .

S

`n ~I P

%S

` i %~I

Obrázek 1.76 Proud In , definovaný vztahem (1), se někdy nazývá „proud orientovaným vodičemÿ. Orientovaným průřezem vodiče projde za čas dt náboj dQ = In dt. Náboj, prošlý během intervalu (t1 , t2 ), je dán vztahem Z t2 výpočet náboje z proudu Q= In (t)dt . t1

Je-li I = konst, je Q = In .(t2 − t1 ).

1.3.1.3

Ustálený elektrický proud

Připojíme-li ke svorkám elektrického zdroje — galvanického článku, akumulátoru, dynama, termoelektrického článku atd. — vodiče V1 , V2 (libovolně dlouhé), nabijí se působením vnitřních sil zdroje (obr. 1.77a) tak, že vodič V1 bude mít potenciál anody ϕA a vodič V2 potenciál katody ϕK (ϕk < ϕA ). Oba vodiče vytvoří ve svém okolí elektrostatické pole. V jejich vnitřku bude pole nulové. Spínáme-li klíč K, vznikne při přibližování kontaktů mezi nimi mohutné pole . (E = (ϕA − ϕB )/|∆n|). V posledním okamžiku před spojením přeskočí jiskra. Poté se kontakty spojí s jejich náboje se vyrovnají. Pole v okolí se změní a tato změna se šíří podél vodiče (i jinými . směry) rychlostí c = 3·108 m·s−1 . V časovém intervalu délky l/c, kde l je délka obvodu, se náboje budou postupně přeskupovat v celém obvodu (i ve zdroji). To je tzv. přechodný děj. Poté se děj ustálí tak, že 1. Rozložení nábojů v celém obvodu se dále nemění; 2. V okolí vodičů i v jejich vnitřku se vytvoří elektrostatické pole; c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

59

?

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 3. Vlivem tohoto pole bude ve vodičích proud, v němž se vektor hustoty proudu ~i (a tedy i proud I) s časem nemění. Takový proud se nazývá ustálený. Potenciály anody a katody nabudou nových hodnot ϕ1 , ϕ2 (obr. 1.77b).

V1 çA A

K

a)

çK V2

ç1

~I b)

ç2

Obrázek 1.77 Elektrické pole, náboj a ustálený proud ve vodiči V , který je chemicky a fyzikálně stejnorodý (takový vodič se nazývá homogenní), mají tyto další vlastnosti: 1. Pohyb volných nábojů ve vodiči je zůsoben elektrostatickým polem, buzeným náboji rozloženými na vodiči a částecně i na okolních tělese. Toto pole je ve vodiči trvale ~ 6= ~0 (obr. 1.78. Je-li vodič V přímočarý a má-li všude týž průřez je nenulové, E v jeho vnitřku pole homogenní, E = konst. Důkaz nebudeme provádět. Odtud plyne, že potenciál pole ve vodiči lineárně klesá od bodu P1 k bodu P2 . Proti směru pohybu nábojů působí síly odporu, F~0 2. Náboje vytvářející elektrické pole ve vodiči i v jeho okolí, jsou umístěny pouze na jeho povrchu, vnitřek vodiče je nenabit. Pro vodič, v němž je pole homogenní (obr. 1.78), to plyne z Gaussova zákona užitého na libovolnou uzavřenou plochu (plocha GP v obr. 1.78), ~ touto plochou je pak roven nule. V obecném případě je důkaz složitější. nebo tok vektoru E Elektrický proud I má v každém průřezu vodiče stejnou hodnotu. Kdyby tomu tak nebylo, přibývalo by, nebo ubývalo, v některých částech vodiče náboje, což je v rozporu s uvedenými experimentálními výsledky. 1.3.1.4

Výkon elektrostatických sil v proudovodiči. Jouleovo teplo

P1 ç1

~E

V

~F0 Q(>0) ~Fe

ç1 >ç >ç2 GP

¾`r

P2 ç2

Obrázek 1.78 V homogenním vodiči V (obr. 1.78) se pohybují kladné náboje vlivem elektrostatické síly ~ směrem klesajícího potenciálu, záporné náboje směrem rostoucího potenciálu. Jejich F~e = QE potenciální elektrická energie přitom klesá a kinetická roste. Získanou kinetickou energii však opět ihned ztrácejí při srážkách s molekulami vodiče, které se pohybují s rostoucí energií kolem rovnovážných poloh. Vodič se zahřívá. Přírůstek energie tohoto neuspořádaného tepelného 60


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD pohybu se obvykle nazývá Jouleovo teplo. Děj lze schematicky znázornit takto: elektrická potenciální energie volných nábojů −→ −→ kinetická energie volných nábojů −→ −→ energie tepelného pohybu molekul, ohřev Výsledný účinek srážek a molekulami na volný náboj je takový, jako kdyby na něj působila při pohybu síla odporu F~0 (obr. 1.78), úměrná rychlosti pohybu a orientovaná v opačném směru než rychlost. Volná částice ve vodiči se pohybuje — v prvním přiblížení — jako těleso ve vazkém prostředí. Působí-li na ni elektrická síla, urychlí se a nabude takové rychlosti, že síla odporu vykompensuje sílu elektrickou, takže platí F~e + F~0 = ~0. Při stálém elektrickém poli se částice pohybují stálou rychlostí a ve vodiči je stálý proud. Rychlost tohoto uspořádaného pohybu, tzv. driftová rychlost, se překládá přes rychlost neuspořádaného tepelného pohybu volných částic. Driftová rychlost elektronů v kovu je poměrně malá i při značných proudech, v ∼ 10−1 mm·s−1 . Je-li ve vodiči V (obr. 1.78) proud, konají elektrostatické síly, působící na volné pohybující se náboje, práci, která se určí takto: Během krátkého časového intervalu (t, t + ∆t) se volná částice ve vodiči posune o úsek ∆~r, takže elektrostatická síla F~e , která na ni působí, vykoná P ~práci ∆A = F~e ·∆~r. Celková práce, vykonaná silami elektrostatického pole ve vodiči, je A = Fe ·∆~r, kde se součet vztahuje na všechny volné částice ve vodiči. Během uvedeného časového intervalu vstoupí do vodiče V v místě P1 (obr. 1.78), kde má pole potenciál ϕ1 , částice o celkovém náboji ∆Q = I∆t. Jejich potenciální energie je zde ∆We1 = ∆Q.ϕ1 . Současně vystoupí z vodiče jiné částice o celkovém stejném náboji ∆Q v místě P2 , kde je jejich potenciální energie ∆We2 = ∆Q.ϕ2 . Rozložení nábojů ve vodiči V , potenciál jeho jednotlivých míst a tedy i elektrická potenciální energie vodiče jako celku se přitom nezměnily. Elektrostatické síly působící na volné částice tedy vykonaly ve vodiči práci ∆A = ∆We1 − ∆We2 = ∆Q(ϕ1 − ϕ2 ) Jejich výkon je dán vztahem P

=

∆A ∆Q = (ϕ1 − ϕ2 ) = U I. ∆t ∆t

výkon elektrostatických sil v proudovodiči

(1.66)

[watt = volt·ampér] Ježto tato práce se mění ve vnitřní tepelnou energii vodiče, je dán vztahem (1.66) i výkon, se kterým se v proudovodiči vyvíjí teplo. Rychlost, se kterou se mění teplota vodiče, závisí na jeho měrném teplu a na jeho ochlazování. Mění-li se napětí na svorkách vodiče anebo proud tak, že v každém krátkém časovém intervalu (t, t+∆t) je děj přibližně ustálený, neboli stacionární, nazývá se děj kvasistacionární. Takovýto děj nastává tehdy, jestliže během intervalu délky τ = l/c, kde l je délka obvodu a c rychlost světla ve vakuu, je změna napětí a proudu v obvodu zanedbatelně malá. Proud má v libovolném okamžiku stejnou hodnotu ve všech průřezech vodiče. Okamžitý výkon elektrostatických sil je opět dán vztahem (1.66), jejich práce během časového intervalu (t1 , t2 ) vztahem Z t2 Z t2 A= P (t)dt = U (t)I(t)dt. (1.67) t1

t1

Je-li U = konst, I = konst, pak A = U I·(t2 − t1 ). Při uvedeném ději se vyvíjí ve vodiči V teplo na účet práce těch sil, jejichž účinkem se v elektrické síti, nebo ve zdroji, k němuž je vodič V připojen, dostávají buď kladné náboje do místa P1 , nebo záporné do místa P2 , tj. do místa vyšší potenciální energie. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

61


Ohmův zákon

1. Ohmův zákon v lokálním tvaru Hustota proudu i v určitém bodě P vodiče závisí jednak na silách, které v něm působí na volné náboje, jednak na vlastnostech vodiče, tj. na hustotě volných nábojů atd. Působí-li na volné částice vodičů, kromě síly odporu, pouze síla elektrická, pak pro velkou skupinu vodičů zvaných ohmické vodiče, platí vztah ~, ~i ∼ E

Ohmův zákon v lokálním tvaru

(1.68)

~ je intenzita elektrického pole v bodě P . Tento vztah vyjadřuje Ohmův zákon v lokálním kde E tvaru. (Tento tvar Ohmova zákona se v literatuře většinou označuje, ne příliš vhodně, jako „diferenciálníÿ.) Veličina, daná poměrem E/i, je u ohmických vodičů závislá jen na vlastnostech vodiče — na jeho chemickém složení a na jeho fyzikálním stavu (teplotě, tlaku atd.). Charakterizuje tedy vodič v určitém stavu, označuje se % a nazývá se měrný odpor vodiče. Měrný odpor je tedy definován vztahem E definice měrného odporu vodiče . i [ohm·metr = volt·metr−1 /ampér·metr−2 ] % =

(1.69)

Ohmův zákon (1.68) lze pak psát ve tvaru ~ = %~i nebo ~i = γ E, ~ E

Ohmův zákon v lokálním tvaru

(1.70)

kde γ = %−1 se nazývá měrná vodivost vodiče. Jednotky [%] = V·m−1 ·A−1 ·m2 = V·A−1 ·m = Ω·m, kde jsme označili 1 Ω = 1 ohm = 1 volt·ampér−1 . Měrný odpor různých látek je uveden v tabulkách. Jeho závislost na teplotě lze vyjádřit v určitém teplotním intervalu vztahem %(t) = %0 (1 + α1 t + α2 t2 + α3 t3 + . . .), kde %0 = %(t = 0◦ C) a α1 je teplotní součinitel odporu, [α1 ] =◦C−1 . V technické praxi je většinou dostačují omezit se na první dva členy napravo, tj. psát %(t) = %0 (1 + α1 t). Veličina α1 je udána v tabulkách. Pro kovy je α1 > 0, pro polovodiče α1 < 0. 2. Ohmův zákon (v integrálním tvaru) Ohmův zákon udává vztah mezi napětím dvou míst vodiče, U = |ϕ1 − ϕ2 | a proudem I, který jím prochází (obr. 1.79a). 1 ç 1 I

C

¡ ¢ I 2 a)

ç2

O

U b)

Obrázek 1.79

62


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD Experimentální výsledky vedou k závěru, že při změně napětí mezi libovolnými dvěma místy ohmického vodiče, v němž se pohybují náboje pouze vlivem elektrostatických sil, se mění proud tak, že platí Ohmův zákon I ∼ U. (1.71) Tento vztah se nazývá Ohmův zákon. Pro rozlišení od Ohmova zákona v lokálním tvaru se někdy připojuje „v integrálním tvaruÿ. Veličina, daná vztahem U/I, charakterizující elektrické vlastnosti vodiče mezi místy 1, 2 za daných fyzikálních podmínek, se označuje R a nazývá elektrický odpor nebo jen odpor nebo také rezistance vodiče. Tedy odpor vodiče je definován vztahem U definice odporu vodiče , I [ohm] = volt·ampér−1 R =

(1.72)

takže Ohmův zákon (1.71) lze psát ve tvaru Ohmův zákon

U = RI.

(1.73)

Diskuse: 1. Vlastním fyzikálním obsahem Ohmova zákona je přímá úměrnost I ∼ U , která platí v jistém rozmezí napětí a proudů pro značnou část technicky důležitých vodičů. 2. Jednotkou rezistance je 1 ohm = 1 Ω = 1 V·A−1 . 3. Veličina G = R−1 se nazývá elektrická vodivost. Platí [G] = Ω−1 . Vztah (1.73) lze psát ve tvaru I = GU . 4. Odpor vodiče závisí na jeho chemickém složení a na jeho fyzikálním stavu. Jeho přibližná závislost na teplotě je dána vztahem Rt = R0 (1 + α1 t). 5. Lze ukázat, že elektrická síť S sestávající z různé propojených ohmických vodičů, která má dva přívody (póly), podle obr. 1.80a, rovněž splňuje Ohmův zákon.: Označíme-li, U = |ϕ1 − ϕ2 | a je-li proud v přívodech, platí I ∼ U . Elektrický odpor soustavy je definován vztahem (1.72). Na základě této definice lze dokázat, že např. soustava na obr. 1.80b (seriově spojené vodiče má rezistanci R = R1 + R2 a že soustava na obr. 1.80c (paralelně spojené vodiče) má rezistanci R = (R1−1 + R2−1 )−1 . Je-li soustava S připojena ke zdroji nebo k jiné síti, lze ji nahradit jediným vodičem o odporu R, aniž by se proudy, napětí a energetické poměry v síti změnily. S

I ç1

ç2

R1

R2

R1

a)

b)

c)

R2 Obrázek 1.80


63

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 6. Mnoho vodičů nesplňuje Ohmův zákon. vůbec nebo jej splňuje pouze v malém intervalu proudů a napětí, a to pouze přibližně. Zatímco závislost proudu na napětí je u ohmických vodičů lineární a je v diagramu (U , I) znázorněna přímkou (přímka α v obr. 1.79b), je u neohmických vodičů znázorněna křivkou. Neohmické vodiče jsou např. elektronky, plynové výbojky, elektrický oblouk, polovodiče, tranzistory, fotočlánky atd. Význam neohmických vodičů v posledních letech vzrostl. Křivka β v obr. 1.79b, je tzv. voltampérová charakteristika fotodiody. Vztahy (1.70) a (1.73) jsou ekvivalentní, jeden je důsledkem druhého. Např. ze vztahu (1.70) plyne vztah (1.73) takto: Vodičem na obr. 1.79a, jehož průřez má plošný obsah S a měrný odpor % v různých průřezech různý, veďme křivku C, splývající se siločárou a orientujme ji od bodu 1 k bodu 2. Tato orientace nemusí souhlasit s orientací siločáry. Platí (viz rovnice (1.37), (1.70)): 2

Z ϕ1 − ϕ2 =

~ r= %E.d~

Z

2

%~i.d~r =

1

1

1

2

Z

Z 2 Z 2 ~iS %~ %ds % .d~r = I.d~r = Is . S S S 1 1

(1.74)

Průmět Is vektoru I~ do integrační křivky C je na s nezávislý. Ze vztahu (1.74) plyne U ∼ I, tj. vztah (1.71). Nadto srovnáním (1.74) a (1.73) dostaneme Z R= 1

2

%(s)ds . S(s)

elektrický odbor obecného vodiče

(1.75)

Je-li vodič homogenní a má-li všude stejný průřez, redukuje se vztah (1.75) na známý vztah R = %l/S. Ze vztahů (1.74), (1.75) plyne vztah ϕ1 − ϕ2 = Is R,

(1.76)

který se liší od vztahu (1.73) tím, že může platit ϕ1 ≶ ϕ2 , Is ≶ 0. Přitom Is je průmět vektoru I~ do křivky C, orientované od bodu 1 k bodu 2.

?

1.3.2 1.3.2.1

Obvody s elektromotorickým napětím Zdroje napětí a proudu

A

K

çA

çK

~Fe ~Fj Obrázek 1.81 Zdrojem napětí nebo zdrojem proudu se označuje každé zařízení, které samovolně udržuje dvě svá místa — obvykle svorky zdroje — na různých potenciálech. Všem těmto zdrojům je společné to, že vlivem vnitřních dějů, které v nich probíhají, se v nich přesunují náboje z místa, kde mají malou elektrickou potenciální energii, do míst s potenciální energií vyšší. Elektrická potenciální energie vzrůstá. na úkor energie jiné — chemické, mechanické, tepelné atd., která je ve zdroji, anebo která se musí přivádět buď občas nebo trvale. Na obr. 1.81 je schematicky znázorněn galvanický článek nebo akumulátor. Při ponoření elektrody A do elektrolytu vystupují z ní záporné částice nebo do ní z elektrolytu vstupují kladné. Elektroda A se začne nabíjet kladně a její potenciál roste, elektrolyt v jejím okolí se nabíjí záporně a jeho potenciál klesá. V tomto procesu roste elektrická potenciální energie systému 64


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD na úkor energie chemické vazby. Rozdělené náboje vytvářejí kolem sebe pole, které na rozhraní ~ nastane dyelektroda — elektrolyt zpomaluje uvedený proces, až při jisté hodnotě intenzity E namická rovnováha, kdy volné částice v průměru postupují se stejnou pravděpodobností oběma směry. Analogický proces probíhá v oblasti druhé elektrody označené K, která se nabíjí záporně. V rovnovážném stavu je potenciál ϕA elektrody A, která se nazývá anoda, vyšší než potenciál ϕK elektrody K, tj. katody. Ježto na volnou částici o náboji Q působí ve zdroji elektrostatická ~ a ježto části, že je v rovnovážném stavu v klidu, působí na ni i neelektrostatická, síla F~e = QE tzv. vtištěná síla F~j = −F~e . Velikost této síly je dána chemickým složením a fyzikálním stavem zdroje a je stálá, nezávislá na tom, zda se volné částice pohybují, tj. zda zdrojem prochází proud. Je příčinou oddálení kladného a záporného náboje. Síla F~j , působící na kladné volné náboje u anody, je zakreslena v obr. 1.81. V rovnovážném stavu je F~j + F~e = ~0. Vodiče, v nichž působí vtištěné síly, se někdy nazývají nehomogenní vodiče. Spojíme-li svorky zdroje Z vodičem V (obr. 1.82), vnikne do něho část nábojů ze svorek a elektrostatiaké pole uvnitř zdroje se zeslabí. Intenzita elektrostatického pole ve zdroji poklesne a tím se zmenší elektrická síla F~e působící na volné částice, které byly dosud v rovnováze. Výsledná síla na ně působící je pak nenulová a směr síly Fj . Volné částice se tedy začnou ve zdroji pohybovat proti směru působení elektrostatických sil, takže jejich polohová elektrická energie roste. Současně na ně začnou působit síly odporu. Děj se v krátké době ustálí: náboje se rozloží ve zdroji i ve vodiči V , který tvoří vnější část obvodu tak, že celým obvodem prochází stálý, s časem neměnný proud.

~Fe

~Fj

V

~I

çA' çK' A K ~Fe ~ I ~Fe ~Fv = ~Fj + ~Fe Obrázek 1.82

Silové poměry v těch místech zdroje, kde působí vtištěné síly, jsou znázorněny na, obr. 1.82. Potenciály elektrod se změní, nabudou jistých hodnot ϕ0A , ϕ0B , takových, že platí ϕ0A − ϕ0B < ϕA − ϕB . Svorkové napětí zdroje tedy poklesne. Energetické poměry uvnitř zdroje: Vtištěné síly Fj konají kladnou práci na úkor vnitřní energie zdroje. Elektrostatické síly míří proti směru pohybu nábojů a konají zápornou práci. Náboje při tom zvyšují svoji elektrickou potenciální energii. Síly odporu F~0 konají zápornou práci. Tím se zvyšuje, podobně jako při tření, energie neuspořádaného tepelného pohybu molekul ve zdroji a vylučuje se Jouleovo teplo. Ve vnější části obvodu, tj. ve vodiči V , probíhá proces přeměny potenciální elektrické energie nábojů v tepelnou energii vodiče, tj. v Jouleovo teplo. Je-li ve vnější části obvodu zařazen kromě rezistorů i spotřebič jiného typu, např. elektromotor, mění se v něm elektrostatická energie, kterou mají náboje na svorkách, v energii magnetickou, mechanickou a v mechanickou práci. Schematicky lze přeměny energie v obvodu znázornit takto • vnitřní energie zdrojů – elektrostatická energie nábojů na svorkách zdroje-užitečné c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

65

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ∗ tepelná energie ve vnější části obvodu ∗ energie magnetického pole cívek motoru ∗ mechanická energie rotoru, mechanická práce – tepelná energie zdroje-ztráty 1.3.2.2

Elektromotorické napětí

Elektromotorické napětí je veličina, která charakterizuje vlastnosti zdrojů proudu. Je definována takto: Nechť A(≥ 0) je práce, kterou vykonají vtištěné, tj. neelektrostatické, síly při průchodu náboje Q(> 0) zdrojem z katody na anodu. Pro většinu zdrojů platí A ∼ Q. Veličina A/Q pak nezávisí na prošlém náboji, nýbrž jen na vlastnostech zdroje a je pro něj charakteristická. Je jí definováno elektromotorické napětí zdroje E: E

=

A . Q

definice elektromotorického napětí

(1.77)

[volt = joule·coulomb−1 ] Diskuse: 1. Elektromotorické napětí (krátce EN) má stejný rozměr a jednotky jako potenciál a napětí: [E] = 1 joule·coulomb−1 = volt. Je-li Q = 1 coulomb, je číselně {E} = {A}. 2. Svorkové napětí U0 zdroje, kterým neprochází proud (např. nezapojeného zdroje) je U0 = E. Důkaz: Ve zdroji, kterým neprochází proud, jsou elektrostatické síly F~e a vtištěné síly F~j v rovnováze, tj. platí F~j = −F~e . Je-li K libovolná křivka, vedená a orientovaná vnitřkem zdroje od katody k anodě a je-li Ee intenzita elektrostatického pole, plyne z definiční rovnice (1.77) R R Z ~ Z ~ r − K F~e .d~r A Fe K Fj .d~ E= = = =− .d~r = − E~e .d~r = −(ϕK − ϕA ) = ϕA − ϕK = U0 , Q Q Q K Q K tj. platí U0 = E. Svorkové napětí rozpojeného zdroje = elektromotorické napětí. Zjistit EN zdroje lze tedy např. změřením jeho svorkového napětí zařízením a metodou, při níž zdrojem neprochází proud. 3. Zdroje elektrické energie se nazývají buď zdroje proudu nebo zdroje napětí nebo zdroje elektromotorického napětí. Pro krátkost je budeme označovat v dalším ZEN. 4. Veličina E, definovaná vztahem (1.77), je vždy nezáporná. Při rozboru elektrických obvodů někdy není předem známo, kterým směrem vtištěná síly působí. Proto se pojem elektromotorického napětí poněkud zobecňuje a definuje se elekmotorické napětí v orientovaném vodiči, Es : Vodič, v němž působí na volné náboje vtištěná síly, orientujeme libovolné, např. od určitého bodu P1 k jinému bodu P2 . Označíme A1→2 práci vtištěných sil F~j působících na náboj Q při jeho přesunutí z P1 do P2 vnitřkem vodiče. Elektromotorická napětí v orientovaném vodiči mezi body P1 , P2 je definováno vztahem A1→2 Es = . (1.78) Q Definiční vztah (1.78) je formálně shodný se vztahem (1.77). Rozdíl je v tom, že zatím co platí E ≥ 0, platí pro Es některý ze vztahů εs R 0. Z definic veličin plyne vztah E = |En |.

1.3.2.3

Výkon zdroje elektromotorického napětí

Prochází-li ZEN, připojeným k nějakému spotřebiči nebo k nějaké elektrické síti, ustálený proud I v přirozeném směru, tj. ve směru působení vtištěných sil na kladné náboje, mění se v něm jeho 66



A K ¥

I

Obrázek 1.83

vnitřní energie v elektrickou s jistým výkonem P . Během krátkého časového intervalu (t, t + ∆t) vstoupí z obvodu do katody (obr. 1.83) kladný náboj ∆Q = I∆t a současně vystoupí stejně velký náboj z anody do obvodu. Částice, která vstoupí do katody, se během času ∆t přemístí ve zdroji zcela nepatrně a současně s nimi se zcela nepatrně přemístí všechny volné náboje vytvářející proud v celém zdroji (podobně jako kapalina v potrubí). Práce ∆A, kterou vykonají síly F~j působící na všechny volné náboje uvnitř zdroje, je stejná jako práce, kterou by síly F~j vykonaly, kdyby prošly jen ty částice, která vstoupily do katody, celým zdrojem a ostatní náboje ve zdroji přitom zůstaly na místě. Z definičního vztahu (1.77) pak plyne. ∆A = E∆Q = EI∆t =⇒ P =

∆A = EI. ∆t

výkon zdroje

(1.79)

[watt = volt·ampér] Vztah (1.79) udává výkon zdroje v okamžiku t. Jestliže se proud ve vodiči mění, a to tak pomalu, že v krátkých časových intervalech je přibližně stacionární (tj. že je kvaziatacionární), je celková vnitřní energie, uvolněná zdrojem během časového intervalu (t1 , t2 ), dána vztahem Z Z t2

A=

t2

EI(t)dt.

P (t)dt = t1

(1.80)

t1

Je-li I = konst, je A = EI(t2 − t1 ), což je známý vztah. Prochází-li zdrojem Z proud I v opačném směru než na obr. 1.83, plyne z úvah, analogických předešlým, pro výkon vztahy P 0 = −EI. Platí tedy P 0 < 0. Veličina |P 0 | je nyní výkon, se kterým se ve zdroji mění jemu dodávaná elektrická energie v energii vnitřní (chemickou při nabíjení článku; mechanickou, je-li zdrojem dynamo, které pak pracuje jako motor). 1.3.2.4

Ohmův zákon pro obvod se zdrojem elektromotorického napětí

Ohmův zákon pro vodič s EN udává vztah mezi napětím na jeho svorkách U , jeho odporem R, jeho elektromotorickým napětím E a ustáleným proudem I, který jím prochází (obr. 1.84). Vodič s EN je např. galvanický článek, akumulátor, termočlánek, vodič v proměnném magnetickém poli (např. sekundár transformátoru), vodič pohybující se v magnetickém poli (rotor dynama) atd. Následující úvaha, vedoucí k odvození vztahu (1.84), je analogická úvaze, provedené v předešlém odstavci. Nechť na volnou částici o náboji Q působí ve vodiči s EN vtištěná síla F~j . Přesto, že tato síla obecně není, ale může být, elektrického původu, platí pro ni F~j ∼ Q. Na volný náboj Q pohybující se ve vodiči působí síla odporu a síla daná součtem F~j F~e + F~j = QE~e + Q = QE~e + QE~j = Q(E~e + E~j ). Q c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

(1.81) 67


P1 C

%`s C

~ I P2 C

P1 ~ I

C

Is >0 `s

a)

C C ~Ej P ~Ej P P1 ~ I ~Ej P P1 ~ I 2 2 2 ¥s >0 Is <0 `s ¥s <0 Is <0 `s ¥s >0

b)

c)

d)

Obrázek 1.84

Zde je zavedeno označení E~j = F~j /Q, což je veličina analogická intenzitě elektrostatického pole E~e = F~e /Q. Veličina E~j není obecně elektrického původu a nazývá se obvykle „ekvivalentní intenzitaÿ nebo „intenzita vtištěných silÿ Podle vztahu (1.81) působí na volné náboje ve vodiči ~ = E~e + E~j . Podle vzathu (1.70) pak taková síla, jako síla od elektrického pole o intenzitě E ~ vodičem prochází proud o hustotě i, dané vztahem %~i = E~e + E~j .

Ohmův zákon pro nehomogenní vodič

(1.82)

Vztah (1.82) je zobecněním Ohmova zákona pro homogenní vodič (rovnice (1.70)) a nazývá se Ohmův zákon pro nehomogenní vodič v lokálním tvaru. Vedeme-li nehomogenním vodičem křivku C, orientovanou od bodu P1 k bodu P2 (obr. 1.84a), dostaneme Z

%~i · d~r =

C

Z

(E~e + E~j ) · d~r =

Z

E~e · d~r +

C

Z C

F~j As · d~s = ϕ1 − ϕ2 + = ϕ1 − ϕ2 + Es (1.83) Q Q

Při úpravě jsme užili vztahu (1.37). Význam symbolů: As je práce vtištěné síly při přechodu náboje Q z bodu P1 do bodu P2 , dále Es = As /Q je elektromotorické napětí zdroje ve směru ~s. Užijeme-lí vztahu (1.75), dostaneme ϕ1 − ϕ2 + En = RIs

(1.84)

Is je průmět vektoru I~ do směru ~s. Zřejmě může platit kterýkoliv ze vztahů Is R 0, Es R 0, neboť jednak nemusí být směr ~s shodný se směrem otištěných sil, jednak vektor proudu může být orientován opačně než ~s (viz obr. 1.84bcd). Vztah (1.84) se nejčastěji uvádí pro případ obvodu s jediným zdrojem orientovaným uvnitř od katody k anodě (obr. 1.85a), ve kterém je proud rovněž od katody k anodě. ç1 ~ I ¥ `s ç2 a) 2 1 K A

ç1 ~ I ¥ `s ç2 2 1 Obrázek 1.85

b)

Pak platí Is = I(> 0), Es = E(> 0) a vztah (1.84) nabude tvaru ϕ1 − ϕ2 + E = RI.

Ohmův zákon pro obvod se zdrojem

(1.85)

Diskuse: 1. Vztahy (1.84) a (1.85) jsou zobecněním vztahů (1.76) a (1.73), které z nich vyplývají pro Es = 0 a pro E = 0; R je odpor obvodu mezi body 1, 2. 68


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD 2. Svorkové napětí. Jsou-li body 1, 2 na svorkách zdroje, nazývá se veličina |ϕ1 − ϕ2 | svorkové nepětí zdroje. Označíme-li je U , je v případě, naznačeném na obr. 1.85a, U = ϕ2 − ϕ − 1. Ze vztahu (1.85) pak plyne U = E − RI,

svorkové napětí zatíženého zdroje

(1.86)

takže je U < E. Je-li ve zdroji proud opačného směru (obr. 1.85b), např. při nabíjení aktumulátoru, platí Es = E > 0, Is = −I < 0, takže vztah (1.84) nabude tvaru ϕ1 − ϕ2 + E = −RI, tj. svorkové napětí nabíjeného zdroje U = E + RI, (1.87) kde U = |ϕ1 − ϕ2 | = ϕ2 − ϕ1 . V tomto případě platí U > E! Akumulátorová baterie musí být při nabíjení připojena ke zdroji o větším svorkovém napětí než je její elektromotorické napětí. Elektrické síly působící na náboje v baterii mají větší velikost než síly vtištěné. Náboje se pohybují ve směru elektrických sil, vtištěně síly konají zápornou práci, baterie energii přijímá (a měni ji v chemickou). Veličina (1.86) a (1.87) se nazyvá vnitřní odpor zdroje a značí se obvykle Ri . Je-li článek rozpojen, je I = 0 a platí U = E. Má-li zdroj zanedbatelně malý odpor, platí . U = E. 3. Při schematickém kreslení zdrojů elektromotorického napětí v obvodech se někdy u nich vyznačuje šipkou jejich přirozený směr, tj. směr vtištěných sil působících na kladné náboje (obr. 1.86). Při průchodu proudu zdrojem tímto směrem koná zdroj kladnou práci.

1.3.2.5

Ohmův zákon pro uzavřený obvod

Re ç1 = ç 2

¥ Ri

Obrázek 1.86 Uzavřený obvod (obr. 1.86) lze interpretovat jako otevřený obvod (obr. 1.85a), pro který platí ϕ1 = ϕ2 . Ze vztahu (1.85) plyne E = RI = (Ri + Re )I,

Ohmův zákon pro uzavřený obvod

(1.88)

kde Ri je vnitřní odpor a Re je vnější odpor. To Je známý vztah vyjadřující Ohmův zákon pro uzavřený nerozvětvený obvod. Seriové řazeni zdrojů platí (viz rovnice (1.74) Z

%~i.d~r =

Je-li v nerozvětveném obvodu zařazeno za sebou několik ZEN (obr. 1.87),

Z

A

Z

B

+

C

P1

Z

C

= R1 Is + R2 Is + R3 Is = (R1 + R2 + R3 )Is

A

E~j .dr~=

(1.89)

B

a dále Z

P2

+

Z

A

P1

E~j d~r +

Z

B

E~j d~r = Es1 + Es2 + Es3 .

(1.90)

A


69

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS V případě, znázorněném na obr. 1.87, je Es1 = E1 , Es2 = −E2 , Es3 = E3 . Ze vztahu (1.82) dostaneme integrací po křivce C (obr. 1.87 vztah ϕ1 − ϕ2 + ϕs1 + ϕs2 + ϕs3 = (R1 + R2 + R3 )Is

(1.91)

ϕ1 − ϕ2 + E1 − E2 + E3 = (R1 + R − 2 + R3 )Is .

(1.92)

nebo

~I ¥1,R1 ¥2,R2 ¥3,R3 P1 A B

P2

C Obrázek 1.87 Znaménko veličiny Is , tj. i směr proudu, závisí na znaménku levé strany této rovnice. Vztah lze psat v obecném tvaru pro n zdrojů: ϕ1 − ϕ2 +

n X

Esk = Is

k=1

?

n X

Rk .

seriové řazení zdrojů

(1.93)

k=1

Uzavřený nerozvětvený obvod s několika zdroji Spojíme-li v sousavě na obr. 1.87 svorky P1 a P2 , vznikne uzavřený nerozvětvený obvod. Rovnici analogickou rovnici (1.91) dostaneme tak, že v ní položíme ϕ1 = ϕ2 . Při orientaci naznačené v obr. 1.87 vychází E1 − E2 + E3 = I(R1 + R2 + R3 ). Rovnici pro obecný uzavřený obvod s n zdroji dostaneme analogicky (ϕ1 = ϕ2 ) z rovnice (1.93).

?

Rozvětvený obvod Analogickým postupem, tj. integrací vztahu po orientované křivce K (obr. 1.88), dostaneme pro úsek obvodu mezi body AB, v němž se v některých místech, v tzv. uzlech, odvětvují vodiče a jehož jednotlivými. částmi 1, 2, 3 procházejí různé proudy, vztah ϕA − ϕB +

n X

Esk =

k=1

n X

Rk Isk .

(1.94)

k=1

To je nejobecněší vztah, který zde byl dosud uveden. Vyplývají z něho vztahy (1.76), (1.84), (1.88) a (1.93) jako jeho zvláštní případy. Připomenete, že index s značí, že jde o veličiny vztažené k orientovanému obvodu.

B 3 2 1

A Obrázek 1.88

70



? ?

Kirchhoffovy rovnice Jestliže v síti na obr. 1.88 tvoří úsek AB uzavřený obvod, tj. jestliže body A, B splývají, platí ve vztahu (1.94) ϕA = ϕB . Vzniklá rovnice se nazývá II. Kirchhaffova rovnice (pro uzavřené obvody). Připomeňme, že I. Kirchhoffova rovnice (pro uzly) vyjadřuje zákon zachování nábojů pro elektrické sítě s ustálenými proudy: Označíme-li I1 , I2 , . . . , In průměty vektorů I1 , I2 , . . . , In ve větvích setkávajících se v jednom uzlu, přičemž všechny větve jsou orientovány buď jen ven z uzlu nebo jen do uzlu, platí I1 + I2 + . . . + In = 0

1.3.2.6

Energetické poměry v obvodu stejnosměrného proudu

¥ Ri

1

2

~I ,

sít

Re (spotřebič) Obrázek 1.89 1. Otevřený obvod Zdroj Z nechť je připojen k elektrické síti (např. ke spotřebiči) a nechá jím jde proud I v naznačeném směru (obr. 1.89). Vtištěné síly ve zdroji konají kladnou práci. Vnitřní energie zdroje se částečně mění v potenciální energii elektrickou, která se zužitkovává ve vnější části obvodu, tj. v připojené síti (spotřebiči), částečně se spotřebuje na vývin tepla přímo ve zdroji. Vztahy pro příslušné výkony plynou ze základního vztahu ϕ1 − ϕ2 + Es = RIs (rovnice (1.84)), kde Es = E, Is = I, R = Ri , ϕ1 < ϕ2 . Násobíme-li uvedenou rovnici veličinou I, vychází po úpravě EI = R1 I 2 + (ϕ2 − ϕ1 )I. (1.95) Zde je: 1. Pz = EI výkon, se kterým pracuje zdroj, viz rovnice (1.79) 2. Pvnj = (ϕ2 − ϕ1 )I = U I(> 0) výkon elektrostatických sil ve vnější části obvodu, tj. výkon, se kterým dodává zdroj Z energii do sítě, viz. rovnice (1.66) 3. Pztr = Ri I 2 je výkon, se kterým se vylučuje teplo ve zdroji, tj. ztrátový výkon. Plyne to ze vztahu (1.95): Ri I 2 = Pz − Pvnj a ze zákona zachování energie. Z uvedeného plyne, že výkon, se kterým se vyvíjí Jouleovo teplo v nehomogenním vodiči (tj. zdroj EN), není dán vztahem (1.66) jako v homogenním vodiči, nýbrž vztahem P = RI 2 .

Jouleovo teplo

(1.96)

[watt = ohm·ampér2 ] Tento vztah má obecnou platnost, platí ve všech vodičích. 2. Uzavřený obvod Uvažujme uzavřený obvod na obr. 1.89 jako celek a předpokládejme, že v připojené síti není zdroj elektromotorického napětí. Pak platí E = (Ri + Re )I, kde Re je odpor sítě. Vynásobíme-li opět veličinou I, dostaneme EI = Ri I 2 + Re I 2 = RI 2 . c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

(1.97) 71


P1

A

P2 `s

N Obrázek 1.90

3. Nabíjení akumulátoru Akumulátor A o elektromotorickém nepětí E a o vnitřím odporu je připojen ke svorkám nabíjecího zdroje (nabíječky) N tak že platí Pro obvod UN = ϕ2 −ϕ1 > ϕ obr. 1.90. Pro obvod P1 AP2 platí rovnice ϕ2 − ϕ1 + Es = RIs , kde Es = −E. Ježto podle předpokladu je UN > E, tj. platí ϕ2 − ϕ1 − E > 0, plyne z uvedené rovnice vztah Is > 0, tj. Is = I. Proud v akumulátoru má opačný směr než vtištěné síly které tedy konají zápornou práci. Vnitřní energie akumulátoru se tedy zvětšuje. Násobením veličinou I vychází

X

¥n,Rn

¥1,R1 ¥2,R2

Y

`s

Z1 a)

Y

¥,R

X

Z2 b)

`s

Obrázek 1.91

UN I = EI + RI 2 , kde: • UN I-výkon dodávaný nabíječkou • EI-výkon, se kterým roste vnitřní energie akumulátoru • RI 2 -výkon, se kterým se vylučuje v akumulátoru teplo 1.3.2.7

Příklady — Ustálený elektrický proud

R-1 Zdroj Z1 je tvořen soustavou n baterií o parametrech (Ei , R1 ), (E2 , R2 ), . . ., (En , R − n), zapojenýoh v serii (obr. 1.91a). Určete: 1. elektromotorické napětí zdroje Z1 ; 2. vnitřní odpor zdroje Z1 . Řešení: 1. E =? Elektromotorické napětí je definováno vztahem (1.77), tj. E = A/Q, kde A je práce, vykonaná neelektrostatickými silami při přenosu náboje Q z bodu X do Y (obr. 1.92a). 72



1 Z U=1,20 V

A

2

R1= 50,0 Æ B R2= 200 Æ 3

S1

S2

a) G IA

Rx S3 b)

Obrázek 1.92

Platí: A = A1 + A2 + . . . + An , kde (podle definice Ek ) je Ak = Ek Q. Tedy E=

A A1 + A2 + . . . + An = = E1 + E2 + . . . + En . Q Q

2. R =? Podle vztahu (1.84) platí Es + ϕX − ϕY = RIs . Při sériovém zapojení platí E1 + E2 + . . . + En + ϕX − ϕY = (R1 + R2 + . . . + Rn )Is . Tedy R=

n X

Rk .

k=1

Jsou-li baterie stejné, je E = n.E1 , R = nR1 . R-2 Zdroj Z2 je tvořen soustavou n stejných baterií, z nichž každá má parametry (E1 , R1 ), zařazených paralelně (obr. 1.91b). Určete: 1. elektromotorické napětí zdroje Z2 ; 2. vnitřní odpor zdroje Z2 . Řešení: 1. E =? Podle definice je opět E = A/Q. Projde-li ze svorky X (obr. 1.91b) na svorku Y náboj Q, projde každou baterií náboj Q1 = Q/n a každá baterie vykoná práci A1 = E1 · Q1 = E1 Q/n. Celková práce je A = nA1 = E1 Q. Tedy E = E1 . 2. R =? Podle vztahu (1.84) platí Es +ϕX −ϕY = RIs , kde IS je celkovy proud v orientovaném zdroji. Pro každou baterii platí Es1 + ϕX − ϕY = R1 I1s , kde I1s = Is /n. Ježto Es1 = Es , dostaneme srovnáním R1 R= n c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

73

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS P-1 Galvanoměr G o odporu Rg = 150 Ω ukazuje maximální výchylku při proudu I0 = 2,00 mA. Řešte nejprve obecně, potom číselně, úkoly: 1. Rozhodněte, zda by se galvanoměr poškodil, kdyby byl zapojen do obvodu v místech 1, 2 (obr. 1.92a); 2. Pro zapojení v místě 3: a) vyslovte definici odporu soustavy S1 , b) vypočtéte odpor soustavy S1 , c) vyslovte definici odporu soustavy S2 a vypočtěte jej, d) určete proud jdoucí zdrojem a proud jdoucí odporem R2 , e) určete nepětí |ϕA − ϕB | při zapojeném galvanoměru, f) určete proud v galvanoměru a rozhodněte, zda se poškodí; 3. K uvedenému galvagoměru G je připojen podle schematu 1.92b takový odpor Rx , že galvanoměrem jde proud I0 tehdy, když IA má hodnotu 1,00 A. Úkoly: a) určete Rx , b) určete odpor soustavy S3 (která tvoří ampérmetr s rozsahem do 1,00 A). P-2 V ohmmetru je zařazen galvanoměr G o odporu Rg = 120 Ω s maximálním proudem Io = 6 mA přes reostat V o proměnném odporu ke zdroji Z o svorkovém napětí U = 1,50 V (obr. 1.93). Stupnice galvanoměru je naznačena. Hlavní úkol: Ocejchovat stupnici ohmmetru v ohmech. Na reostatu V je trvale nastaven takový odpor, aby se galvanomér při spojení svorek A, B nakrátko nepoškodil. Po připojení neznámého Rx ke svorkám A, B lze změřit Ig a vypočíst Rx . Stupnice je ocejchována tak, že ke každému dílku Ig je připsána odpovídající hodnota Rx .) Úkoly: 1. Určete odpor R1 , který je nutno nastavit na reostatu V , aby při spojení svorek A, B nakrátko procházel ohmmetrem proud I0 ; 2. Určete, jaký bude při nastaveném odporu R1 na reostatu V procházet galvanoměrem proud, je-li ke svorkám A, B připojen vodič o odporu Rx = 500 Ω; 3. Určete Rx , je-li Ig rovno a) 5 mA, b) 4 mA; 4. Ocejchujte stupnici v ohmech.

Z

A

G

B

V 0

1

2

Rx

3 4 5 6 (mA)

Obrázek 1.93 P-3 Měření odporu. Odpor vodiče a se často měří s užitím definičního vztahu Rx = Ux /Ix , kde Ux je napětí na svorkách vodiče x a Ix je proud jím procházející. Měření se provádí buď v zapojení 1.94a a nebo v zapojení 1.94b tak, že se měří současně proud a napětí. Nechť odpor voltmetru je RV , odpor ampérmetru RA a nechť naměřené údaje jsou UV , IA . Hlavní úkol: . stanovit podmínky, za nichž platí přibližně Rx = Ux /IA . Úkoly: I. pro zapojení a): 1. Ampérmetr (měří-neměří) proud ve vodiči x; 2. Voltmetr (měří — neměří) napětí na vodiči x; 3. Určete fyzikální význam veličiny R = Uv /IA ; 4. Dokažte, že platí Uv Rx = ; UV IA − R V 5. Vyvoďte závěr pro požadované vlastnosti voltmetru a ampérmetru pro měření v zapojení a). II. pro zapojení b): 1., 2., 3.-stejné úkoly jako v bodě I.; 4. Dokažte, že platí Rx =

UV − RA ; IA

5. Vyvoďte závěry pro požadované vlastnosti voltmetru a ampérmetru pro měření v zapojení b). 74



S' Rx V RV,UV S

RA,IA A

xRx

A RA,IA

V RV,UV

a)

b) Obrázek 1.94

P-4 Měření napětí. V obvodu na obr. 1.95a je zapojena baterie s elektromotorickým napětím . E = 5,9 V a s vnitřním odporem R0 = 0,01 Ω a vodiče o odporech R1 = 4 000Ω, R2 = 1 500 Ω. Galvanoměr G na obr. 1.95b má parametry Rg = 270 Ω, proud při maximální výchylce I0 = 1 mA. Úkoly: 1. Určete napětí na svorkách A, B; 2. Určete hodnotu Rx předřadného odporu x (obr. 1.95b) tak, aby takto vzniklým voltmetrem V bylo možno měřit napětí na svorkách zdroje i na svorkách odporů R1 , R2 ; 3. Voltmetrem V měříme napětí na svorkách A, B. Vypočtěte naměřenou hodnotu; 4. Navrhněte schéma voltmetru s měnitelnými rozsahy 1,2 V; 3 V; 6 V; 12 V, s užitím galvanoměru G; 5. Řešte úkoly 1, 3 pro případ, že odpory vodičů zapojených v obvodu jsou R10 = 40 000 Ω R20 = 15 000 Ω.

A R1

R2

B

G

x

a)

b)

V Obrázek 1.95 P-5 Ke zdroji Z o parametrech E = 0,62 V a Ri = 0,40 Ω je zapojen vodič s proměnným odporem R (obr. 1.96). Úkoly: 1. Určete svorkové napětí U0 zdroje jako funkci odporu R; 2. Pro hodnotu R = 1,60 Ω určete proud a svorkové napětí; 3. Určete tu hodnotu vnějšího odporu, pro níž svorkové napětí bude mít hodnotu Us = 0,40 V; 4. Určete a) výkon Pz , se kterým pracuje zdroj, b) výkon Pt , se kterým se vylučuje v obvodu teplo a c) výkon Pu , který spotřebuje vodič R, a to vše jako funkci odporu R; 5. Vyšetřete průběh funkce Pu a znázorněte ji (přibližně) graficky; 6. Dokažte, že Pu nabývá největší hodnoty pro R = Ri , tj. že: zdroj dodává do spotřebiče energii s nevětším výkonem, je-li odpor spotřebiče roven odporu zdroje: 7. Pro R = Ri srovnejte Pu s Pz . `s ç1 ç2

¥ Ri R Obrázek 1.96 P-6 Zdroj Z má neznámé elektromotorické nepětí a neznámý vnitřní odpor Ro . Zapojíme-li c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

75

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS k němu vodič V1 0 odporu R1 = 2,0 Ω, bude jím procházet proud I1 = 4,1 A. Při zapojení vodiče V2 o odporu R2 = 5,4 Ω jím bude procházet proud I2 = 1,9 A. Nakreslete schéma a určete: 1. Ro : 2.E; 3. Svorkové napětí zdroje při zapojeném odporu V1 ; 4. Maximální proud, který lze ze zdroje odebírat. P-7 Baterie B1 (E1 = 6,2 V; R1 = 0,20 Ω), B2 (E2 = 12,1 V; R2 = 0,30 Ω), odpor R3 = 1,4 Ω a kondenzátory C1 = 5,0 µF, C2 = 8,0 µF, C3 = 3,7 µF jsou zařazeny podle obr. 1.97. Celá síť je v ustáleném stavu, tj. proudy jsou stálé. Pro rozpojený klíč K určete: 1. Proudy v jednotlivých částech obvodu; 2. Potenciály bodů X, Y , Z, L; 3. Náboje na deskách D1 , D2 , D3 ; 4. Energii kondenzátorů; 5. Řešte úkoly 1, 2 pro spojený klíč K. Odpor spojovacích vodičů je zanedbatelný.

D2 C2 R3

Y C1 D1 X

¥1,R1

Z

C

D3

¥2,R2

R1

¥2

R2 A

¥3

R3

B

C3 L

K

¥1

D Obrázek 1.98

Obrázek 1.97

P-8 V obvodě na obr. 1.98 je E1 = 2,0 V, E2 = 5,0 V,E3 = 3,0 V R1 = 5,0 Ω, R2 = 6 Ω. Vnitřní odpor baterií je zanedbatelně malý. Klíč K je rozpojen. Určete: 1. I3 ; 2. a) UAB = ϕA − ϕB b) UAC , c) UBC d)UBD . ¥1,R1 A B

R3 D

R4 ¥2,R2 C

Obrázek 1.99 P-9 V obvodě na obr. 1.99 je E0 = 6,0 V; R1 = 0,50 Ω; E2 = 4,5 V; R2 = 1,0 Ω; R3 = 1,4 Ω; R4 = 3,8 Ω. Určete: 1. Proud v obvodě; 2. Napětí a) UAB = ϕA − ϕB , b) UCD , c) UAD , d) UBD ; 3. Výkon, se kterým pracuje zdroj a) Z1 , b) Z2 ; 4. Výkon, který dodává do obvodu zdroj Z1 . P-10 Elektrický spotřebič S s údaji 6 V, 30 W má být zapojen tak, aby pracoval při uvedených hodnotách. Jako zdroje lze užít několika stejných baterií s parametry E = 6,1 V; Ri = 0,70 Ω. K dispozici je reostat e proměnným odporem. Předpokládejte, že odpor spotřebiče nezávisí na proudu, který jím prochází a řešte úkoly: 1:. Spotřebič je připojen k jedné baterii. Určete a) proud, b) svorkové napětí a c) výkon spotřebovaný v S. Dále určete d) výkon zdroje a e) výkon, se kterým se v něm vylučuje teplo. Rozhodněte, zda lze úkol splnit s užitím jedné baterie (schéma!); 2. Dokažte, že úkol lze splnit s užitím tří baterií. Nakreslete schéma a určete hodnotu odporu Rx , který je nutno do obvodu zařadit.

76


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE

1.4 1.4.1 1.4.1.1

Časově neměnné magnetické pole Magnetické pole vodičů Základní vlastnosti magnetického pole

Magnetické pole (srov. odstavec 1.1.3) je buzeno permanentními magnety, elektromagnety, vodiči, kterými prochází elektrický proud, elementárními částicemi atd. Existence magnetického pole se projevuje zejména tím, že: 1. Pole působí silami a otáčivými momenty na zmagnetovaná tělesa (např. na magnetickou střelku), na nezmagnetované látky (např. na ocelový předmět; poznamenejme, že původně nezmagnetovaná látka se v magnetickém poli, do něhož je vložena, zmagnetuje), dále na pohybující se nabité částice, na proudovodiče atd.

energie

energie

energie

ä

energie

energie

B ~

%`s

Obrázek 1.100 2. V uzavřených obvodech, které se pohybují v magnetických polích nebo které jsou v proměnných magnetických polích, vznikají elektrické proudy, nazvané „indukovanéÿ (např. v cívce rotoru elektrického generátoru nebo v sekundární cívce transformátoru). V neuzavřených (tj. rozpojených) obvodech se účinkem proměnného magnetického pole přeskupují a hromadí náboje a vytvářejí kolem sebe elektrické pole. Toto pole může být tak mohutné, že dojde k průrazu okolního dielektrika a k elektrickému výboji (např. přeskok jiskry ve svíčce motoru). Magnetické pole, podobně jako elektrické, má energii a hybnost a může ji předávat nebo odnímat tělesům (viz obr. 1.100). Je charakterizováno vektorem magnetické ~ , který je definován vztahy (1.7). Základní zákon, vyjadřující jeho silové účinky, indukce B je vyjádřen vztahem (1.8), tj. vztahem ~ F~L = Q(~v × B).

(1.98)

~ Tento vztah udává tzv. Lorentzovu sílu, tj. sílu, kterou působí magnetické pole o indukci B na elektricky nabitou částici o náboji Q, pohybující se rychlostí ~v . Magnetické pole se často znázorňuje magnetickými indukčními čarami . Jsou to orientované křivky, jejichž směr a orientace v každém bodě souhlasí se směrem a orientací vektoru ~ Je-li d~s element indukční čáry v obecném bodě P a je-li B(P ~ ) vektor magnetické indukce B. ~ (obr. 1.100). Výsledky experimentů vedou k závěru, že na rozdíl v tomtéž bodě, platí d~s ↑↑ B od elektrických siločar jsou magnetické indukční čáry vždy uzavřené. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

77

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Zvláštním případem elektromagnetického, respektive magnetického, pole je časové neměnné magnetické, tzv. magnetostatické, pole. Může být buzeno (v určité vztažné soustavě) klidnými magnety (tj. zmagnetovanými látkami) nebo proudovodiči, v nichž je stálý, tj. časově neměnný, proud. Zákonitosti buzení magnetického pole elektrickými proudy lze buď zjistit experimentálně a interpretovat je jako nové, na dosud známých zákonech elektromagnetismu nezávislé, přírodní zákony, nebo je lze odvodit ze základních zákonů elektrostatiky s užitím transformačních rovnic teorie relativity. Z hlediska teorie relativity je „vyvozováníÿ zákonů buzení magnetického pole elektrickými proudy na základě experimentů přinejmenším zbytečné. Proto v tomto textu užijeme postupu vycházejícího z výsledků teorie relativity. Přitom však z teorie relativity užijeme pouze dvou velmi obecných a přitom jednoduchých vztahů (1.104), které uvedeme bez důkazu, tj. předkládáme je čtenáři k věření. Domníváme se, že čtenář při tomto postupu získá lepší představu o vlastnostech elektromagnetického pole, než když se mu předloží k věření výsledky pokusu, platné jen pro zcela určitou, zvláštní, fyzikální situaci. ~ (rovnice (1.106), (1.111)) jsou tedy odvozeny teoreticky Základní vztahy pro určení vektoru B jako důsledek zákonů, které čtenář již zná. Pro pochopení tohoto odvození je velmi důležité důkladně prostudovat následující odstavec.

1.4.1.2

Relativnost elektromagnetického pole

Elektromagnetické pole má tuto velmi důležitou vlastnost: Jestliže je v nějaké vztažné soustavě S1 vytvořeno (libovolnými zdroji) elektromagnetické pole, charakterizovaná v obecném bodě prostoru vektory E~1 , E~2 , pak v jiné vztažné soustavě S2 , které se vzhledem k soustavě S1 pohybuje, je toto pole v tomtéž bodě prostoru charakterizováno vektory E~2 , B~2 , která obecně nejsou shodné s vektory E~1 , B~1 tj. pro něž platí E~2 6= E~1 , B~2 6= B~1 .

~E2 è ~O, ~B2 è ~O z2

~E1 = ~O, ~B1 è ~O z1 N

~FL

(1.99)

ù

P Q M O1 S x1

ù

~B

`v = -ù

y1

O2

y2

x2

a)

b)

Obrázek 1.101 To značí, že totéž pole je v různých vztažných soustavách charakterizováno různými ~ B. ~ Odtud plyne, že elektrické siločáry i indukční čáry maji v různých vztažných souvektory E, stavách (obecně) různý tvar. Tato vlastnost elektromagnetického pole se nazývá jeho relativnost. Ukážeme to na příkladě. 78


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE Buzení elektrického pole magnetem Relativnost elektromagnetického pole lze ukázat na jednoduchém příkladě: Nechť v inerciální vztažné soustavě S1 (01 x1 y1 z1 ) je vytvořeno klidným permanentním magnetem M (obr. 1.101a) magnetické pole, tj. elektromagnetické pole o vektorech E~1 = ~0, B~1 6= O. V obr. 1.101 jsou zakresleny indukční čáry v soustavě S1 . Bodem P nechť se pohybuje nabitá částice o náboji Q rychlostí ~u, u c, kde c je rychlost světla ve vakuu. Na částici působí Lorentzova (tj. magnetická) síla F~L = Q(~u × B~1 ). Totéž pole a tentýž jev lze popsat ve vztažné soustavě S2 (02 x2 y2 z2 ) která se pohybuje vzhledem k soustavě S1 stálou rychlostí ~u, takto (obr. 1.101b): Částice má v soustavě S2 nulovou rychlost. Působí na ni síla F~2 6= F~L , která je podle klasické mechaniky rovna síle, která na ni působí v soustavě S1 , tj. síle F~L . Podle teorie relativity sice je avšak pro u c jsou obě síly velmi přibližně rovny, tj. platí . ~ FL = F~L . Síla F~L v soustavě S1 je magnetického původu, síla F~2 v soustavě S2 však nemůže být magnetického původu, neboť magnetická pole na klidnou částici nepůsobí. Ježto ji však vyvozuje elektromagnetické pole vytvořené magnetem, je síla F~2 v soustavě S2 elektrického původu. To značí: pole vytvořené v soustavě S2 magnetem M má nenulovou elektrickou složku. Pohybující se magnet vytváří i elektrické pole! Elektrická intenzita E~2 v bodě P je, podle definice, dána vztahem E~2 = síla/náboj. Ježto náboj částice je podle zákona invariace náboje, v soustavě S2 a v soustavě S1 stejný, dostaneme F~2 . F~L Q(~u × B~1 ) E~2 = = = ~u × B~1 = −~v × B~1 , = Q Q Q

(1.100)

kde ~v (= −~u) je rychlost soustavy S1 vzhledem k soustavě S2 . Magnetická složka pole v soustavě . S2 je, charakterizována vektorem B~2 . Z teorie relativity plyne, ze pro u c platí B~2 = B~1 . Odtud a ze vztahu (2) plyne výsledek: S2 v pohybu S2 v klidu S1 i Q v pohybu v klidu ù Q Q ~B2 `v ~E1 ~E2 S2 S2 P P

S1

S1

~E1 è ~O, ~B1 = ~O

`v = -ù

a)

2

~E1 é ~E2 , ~B2 = (`vÐ~E2)/c b)

Obrázek 1.102 Nechť v inerciální vztažná soustavě S1 je vytvořeno magnetické pole (tj. speciální elektromagnetické pole) charakterizovaná vektory E~1 = ~0, B~1 6= ~0

(1.101)

Nechť soustava S1 se pohybuje stálou rychlostí ~v (v c) vzhledem ke vztažná soustavě S2 . Pak v soustavě S2 má uvedená pole i elektrickou složku. Vektory pole E~2 , B~2 jsou dány vztahy . E~2 = −~v × B~2 , B~2 = B~1 .

magnetické pole → → elektromagnetické pole

(1.102)

[V·m−1 = m·s−1 ·T] Hlavní výsledek: Zdroj, který v klidu vytvoří jen magnetické pole, budí při pohybu i pole elektrické. Vznik elektrického pole v okolí pohybujících se zdrojů magnetického pole je jeden z jevů, které se nazývají „elektromagnetická indukceÿ (viz odst 1.5.1). c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

79

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Buzení magnetického pole elektrickými náboji Ukázali jsme, že pohybující se magnet budí i elektrické pole. Naopak však také pohybující se elektrický náboj budí i pole magnetická. Tento jev, v jistém smyslu doplňkový k předešlému, je nutno v rámci klasické teorie elektromagnetismu považovat za nový experimentální fakt. Z hlediska teorie relativity je to však teoretický výsledek, který plyne z relativistických rovnic elektromagnetickáho pole. Zní takto: Nechť v inerciální vztažné soustavě S1 je vytvořeno elektrostatické pole, (tj. speciální elektromagnetická pole), charakterizovaná vektory E~1 6= ~0, B~1 = ~0

(1.103)

Nechť soustava S1 se pohybuje stálou rychlostí ~v (v c) vzhledem k soustavě S2 (obr. 1.102ab). Pak v soustavě S2 má uvedené pole i magnetickou složku. Vektory pole E~2 , B~2 jsou dány vztahy 1 . E~2 = E~1 , B~2 = 2 (~v × E~2 ). e

elektrostatické pole → elektromagnetické pole

(1.104)

Hlavní výsledek : Zdroj, který v klidu vytváří jen elektrická pole, budí při pohybu i pole magnetické. Buzení magnetického pole pohybujícími se náboji je všeobecně známo a bohatě se ho využívá. Je fyzikální podstatou vzniku magnetického pole v okolí proudovodičů — cívek atd., v nichž prochází proud. 1.4.1.3

Elektromagnetické pole buzené rovnoměrně se pohybujícím bodovým nábojem

Elektromagnetické pole, buzené v inerciální vztažné soustavě S bodovou částicí o náboji Q, ~ B, ~ které se pohybující se stálou rychlostí ~v (v c) (obr. 1.103), je charakterizováno vektory E, určí s užitím vztahů (1.104).

S

S1 `v `r0 O

P

~E1 ~B1 = ~O

Q

Obrázek 1.103 Ve vztažné soustavě S1 , spojené s částicí (4) je částice v klidu a vytváří v ní elektrostatické pole. Soustava S1 je rovněž inerciální s vektory pole E~1 , E~2 jsou v ní dány v obecném bodě P vztahy Q E~1 = ~r0 , B~1 = ~0, 4πε0 r2 ~ B ~ jsou kde r = |01~P |. V soustavě S je toto pole obecné elektromagnetické a jeho vektory E, dány obecnými vztahy (6), ze kterých plyne . ~ = E

Q ~0 r , 4πε0 r2

1 Q(~v × r~0 ) µ0 Q(~v × r~0 ) ~ = 1 (~v × E) ~ = B = , c2 4πε0 c2 r2 4π r2 80


(1.105)

(1.106)


r

P

d

Obrázek 1.104

[T = H·m−1 ·C·m·s−1 ·m−2 ] kde je zavedeno označení µ0 = 1/(ε0 c2 ). Vztah (1.105) platí pouze přibližně. Vyjadřuje, že elektrické pole bodového náboje, pohybujícího se stálou rychlostí ~v (v c), je velmi přibližné stejné jako elektrické pole klidného náboje. Vztah (1.106) udává vektor magnetické indukce pole, buzeného v bodě P bodovým nábojem pohybujícím se stálou rychlostí ~v (v c). Jeho diskusi provedeme současně s diskusí vztahu (1.111). Veličina µ0 se nazývá permeabilita vakua a její hodnota je (viz odstavec 1.4.2) µ0 = 4π·10−7 tesla·coulomb−1 ·metr·sekunda = 4π·10−7 henry·metr−1 , kde 1 henry je jednotka indukčnosti (viz odstavec 1.5.1 — odvození vztahu [µ0 ] = H·m−1 ). 1.4.1.4

Magnetické pole lineárního proudovodiče

V B ~ 4 3 2 %l

5

%~B2 %~B1

%~B3 %α

P

1 Obrázek 1.105

Prochází-li vodičem proud, vytváří každá nabitá částice, která se v něm pohybuje, magnetické ~i pole v okolí vodiče i v jeho vnitřku a všechna tato pole se překládají (superponují). Je-li B indukce magnetického pole, P ~vytvořeného i-tým nábojem, je indukce výsledného magnetického ~ ~ pole B rovna součtu B = Bi . Nejběžnějšími z užívaných vodičů jsou vodiče lineární, tj. takové, jejichž příčné rozměry lze v uvažované situaci zanedbat a jež je pak možno považovat za lineární útvary. Např. vodič na obr. 1.104 je lineární, zkoumáme-li jeho pole v bodě P , pro který platí r d. Magnetické pole obecného lineárního vodiče V (obr. 1.105) v bodě P lze určit tak, že se vodič V rozdělí na velmi malé úseky, jejichž délky dl jsou malé, že: a) každý úsek je (přibližně) přímočarý, b) úhel dα je tak malý, že platí dα l. Takový malý úsek, kterým prochází proud, se nazývá (lineární) proudový element. Označíme-li ~ i indukci magnetického pole, buzeného v bodě P i-tým proudovým elementem, je indukce dB c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

81

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ P vodičem V , dána vztahem magnetického pole E ~ = B

n X

~i. dB

(1.107)

i=1

1.4.1.5

Magnetické pole lineárního proudového elementu (Biotův-Savartův-Laplaceův zákon)

I %l`

α

P

r` 0

a)

r v` i

P

r` 0

b) ri

qi S v`

c) v %t S Obrázek 1.106

Lineární proudový element je charakterizován buď vektorem proudu I~ a svojí délkou dl nebo ~ a vektorem d~l(d~l ↑↑ I, ~ |d~l| = dl) (obr. 1.106a). Pohyblivé nabité částice, proudem I = |I|) vytvářející v něm elektrický proud, vykonávají dvojí pohyb: a) tepelný, který je neuspořádaný a jehož rychlost se mění velmi rychle, náhodné a u různých částic různě, b) uspořádaný, který má za následek pohyb náboje na makroskopické vzdálenosti, tj. průchod proudu. Okamžitá rychlost i-té částice, V~i , je dána součtem V~i = V~ti + v~i , kde V~ti je okamžitá rychlost tepelného pohybu a v~i rychlost uspořádaného pohybu, tj. je rychlost driftová, která je v elementu pro všechny částice stejného typu stejná a která se při ustáleném proudu s časem nemění. Magnetické pole, buzené i-tou částicí o náboji qi v obecném bodě P (obr. 1.106b), má vektor ~ i daný vztahem B 0 0 vi × ~ri0 ) ~ i = µ0 qi [(v~it + v~i ) × ~ri ] = µ0 qi (v~it × ~ri ) + µ0 qi (~ B , 4π 4π 4π ri2 ri2 ri2

kde význam veličin r~i0 , ri je zřejmý. Indukce magnetického pole buzeného celým elementem v bodě P je dn dn X X vi × r~i0 ) µ0 qi (~ ~ ~ dB = Bi = , (1.108) 4π ri2 i=1 i=1 kde dn je celkový počet částic v elementu. V tomto vztahu se již nevyskytují členy obsahující v~it , nebo vzhledem k náhodnosti veličiny v~it je jejich součet roven nule. V dalším pro jednoduchost předpokládejme že proud je vytvořen kladně nabitými částicemi stejného druhu o náboji q(> O) 82


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE a o rychlosti ~v . Označíme-li n0 počet těchto nábojů v elementu dělený jeho objemem (tj. počet nábojů v objemové jednotce) a S plošný obsah průřezu elementu, plyne z rovnice (1.108) ~ = dn· dB

µ0 µ0 µ0 q(~v × r~0 ) = S·dl·n0 q(~v × r~0 ) = n0 Svq(d~l × r~0 ). 2 2 4πr 4πr 4πr2

(1.109)

jedna z indukčních čar

P I,%l` α

r` 0

r

%~B ` r0 %lÐ`

Obrázek 1.107 Význam veličiny dané součinem n0 Svq: za krátkou dobu dt vyplní ty částice které projdou průřezem elementu, objem Svdt (obr. 1.106c). Jejich počet je Svdt·n0 a jejich náboj dQ = S·vdtno q. Odtud plyne dQ n0 Svq = = I. (1.110) dt Dosazením do vztahu (1.109) dostaneme µ0 I(d~l × r~0 ) Biotův-Savartův zákon . 4π r2 [T = H·m−1 ·A·m·m−2 ]

~ = dB

(1.111)

Tento vztah, který udává indukci magnetického pole buzeného lineárním proudovým elementem v bodě P , se nazývá Biotův-Savartův(-Laplaceův zákon). Diskuse: Diskuse vztahů (1.111), (1.117) — (důležité) 1. Vztah (1.111), respektive (1.106), udává vek~ (resp.B) ~ pole, buzeného v bodě P elementárním proudovodičem (obr. 1.107), respektive tor dB pohybující se nabitou částicí (obr. 1.108). Tyto vztahy mají velmi podobný tvar, jeden přechází ~ ↔ B, ~ I ↔ Q, d~l ↔ ~v . v druhý záměnou dB ~ B) ~ je kolmý na rovinu danou bodem P a vektorem d~l(~v ). Jeho orientace, 2. Směr vektoru dB( ~ ~ je zřejmá z obr. 1.107 (1.108). daná vektorem (d~l × r0 ) [Q(~v × B)], Pro snadnější zapamatování směru vektoru se někdy vyslovuje tzv, pravidlo pravé ruky (obr. 1.109) nebo pravidlo pravotočivého šroubu (obr. 1.110). Na obr. 1.111 je zakresleno několik magnetických indukčních čar pole buzeného elementárním proudovodičem (nebo letící kladně nabitou částicí). ~ B). ~ Ze vztahů (1.111) a (1.106) plyne 3. Velikost vektoru dB( dB =

µ0 Idl sin α 4π r2

(1.112)

µ0 |Q| sin α (1.113) 4π r2 Jednotky: dB − tesla; I − ampér; dl, r − metr atd. Všimněme si závislosti dB ∼ 1/r2 , dB ∼ sin α (pro α = 0◦ , 180◦ je dB = 0, pro α = 90◦ je dB maximální). B=


83


směr proudu ~B (pro Q <0) `v ¡

Q

`r 2

B ~ = (`vÐ~E)/c

0

%~B

E ~ (pro Q > 0) P

P

v` Ð`r 0 mag. indukční čára

B ~ (pro Q > 0)

Obrázek 1.108

1.4.1.6

I %l`

Obrázek 1.109

Magnetické pole vytvořené přímočarým lineárním vodičem a lineárním vodičem kruhového tvaru

~ magnetického pole, buzeného v obecném bodě P vodičem 1. Přímočarý vodič Vektor B ~ i jsou vektory polí, A1 A2 , jímž prochází proud I (obr. 1.112), je dán vztahem (1.107), kde dB buzených v bodě P jednotlivými elementárními vodiči. Z obr. 1.112 je zřejmé, že všechny vektory dBi v bodě P mají stejný směr, takže kromě obecně platného vztahu (1.107) platí i vztah pro velikosti X B= dBi (1.114) ~ i jsou dány vztahem (1.111), jejich velikost vztahem (1.112). Veličiny r, α jsou pro Vektory dB různé elementy vodiče A1 A2 různé. Aby bylo možno vypočíst součet (1.114) integrací, vyjádříme vzdálenost r pomocí úhlu α a veličinu dl pomocí dα, a to s užitím vztahů plynoucích z obr. 1.112: h = r· sin α, dl· sin α = rdα. Vychází dB =

I

µ0 Idl· sin α µ0 Isinαdα = . 4π r2 4π h

%l`

P I %l`

%~B

Obrázek 1.110 Integrál, vyjadřující součet (1.114), má pak tvar Z α0 1 µ I sin α µ0 I 0 dα = (cos α1 + cos α2 ), B= h 4πh α1 4π 84

Obrázek 1.111

pole konečného vodiče


(1.115)

1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE kde α2 = π − α10 (viz obr. 1.112). Pro nekonečný vodič (A1 → ∞, A2 → ∞, α1 → 0, α2 → 0 odtud plyne µ0 I pole nekonečného vodiče B= . (1.116) 2πh

A2

α1' ¡2

I

indukční čára

P %~Bi %α

α

r

%l`

P

~B

h

I %l` α=90"

%l sin α

¡1 A1

~B

%~Bi

C

l

o R Obrázek 1.113

Obrázek 1.112

~ je zřejmá z obr. 1.112 (pravidlo pravé ruky nebo pravidlo praSměr a orientace vektoru B votočivého šroubu). Indukční čáry jsou kružnice. 2. Kruhový vodič Omezíme se na vyšetření pole kruhového oblouku délky l v bodě ~ i jsou rovnoběžné, a že platí α = 90◦ . C (obr. 1.113). Z obr. 1.113 je zřejmé, že vektory dB ~ vztah Dostáváme tedy pro B = |B| B=

X

dBi =

X µ0 Idl· sin α µ0 Il = . 2 4π R 4πR2

Pro uzavřený kruhový závit vychází (l = 2πR): B=

µ0 I . 2R

pole kruhového vodiče

(1.117)

~ v bodě P (obr. 1.113). (Pokyn: určete a zakreslete dB ~ od jednoho elementu Úkol: Určete B P ~ ~ ~ a v součtu B = dBi využijte symetrie, z níž plyne, že vektor B má směr osy o.)

1.4.2 1.4.2.1

Magnetické síly Základní poznatky

~ působí na jeho volnou nabitou částici Je-li vodič, kterým prochází proud, v magnetickém poli B, ~ o náboji Q, která se pohybuje rychlostí ~v , (kromě jiných sil) Lorentzova síla F~L = Q(~v × B). ~ V obr. 1.114a je zakreslena síla FL působící na volný elektron v kovovém vodiči, ve kterém je proud I . Účinkem této síly se volná částice přesune ve směru působení síly k povrchu vodiče. Z povrchu vodiče však nemůže vystoupit, neboť jí v tom zabrání jiná síla, a to síla, kterou na ni v blízkosti povrchu působí ostatní částice vodiče (atomy, ionty atd.). Tato síla je v obr. 1.114b označena F~j . V ustáleném stavu, kdy náboje proudí ve směru osy vodiče, platí F~j = −F~L . Volná c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

85

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS částice naopak působí, podle principu akce reakce, na zbytek vodiče silou F~ = −F~j , tj. silou, pro niž platí F~ = F~L . Magnetické síly F~L , kterými působí magnetická pole na volná pohybující se náboje, se takto přenášejí i na vodič, i když vodič sám se nepohybuje.

elektron

~Fj

`v ~B

~B ~F ~FL

~FL I

~B

~FA

I

a)

I

b)

c)

Obrázek 1.114

`v

I,%l` n0 S

α

~B I,%l`

q(>0) ~FL

α

B ~

%~F

a)

b) Obrázek 1.115

Závěr: Na proudovodič, ve kterém je proud, působí v magnetickém poli magnetická síla. Uvedená síla, která se rovná součtu Lorentzových sil působících na pohybující se volné náboje určitého úseku vodiče, se obvykle nazývá Ampérova síla (označena F~A v obr. 1.114c). Využití Ampérovy síly v elektromotorech, reléových zařízeních, měřicích přístrojích atd. je známé. 1.4.2.2

Ampérova síla působící na lineární proudový element

Ampérova síla dF~ , která působí v magnetickém poli o indukci B na proudový element (I, d~l), obr. 1.115, je dána vztahem dn X dF~ = F~Li , i=1

kde F~Li je Lorentzova síla působící na i-tou částici elementu a dn je počet částic v elementu. Nechť ~v značí driftovou rychlost (srov. odstavec 1.2.1), S plošný obsah průřezu elementu, n0 počet částic v jednotce objemu a nechť všechny volné částice mají stejný náboj Q (obr. 1.115). Pak platí ~ = n0 Sdlq(~v × B) ~ = n0 Svq(d~l × B). ~ dF~ = dn(~v × B) Užitím vztahu (1.110) odtud plyne vztah pro Ampérovu sílu: dF~

~ = I(d~l × B).

Ampérova síla

[N = A·m·T] Diskuse: 86


(1.118)

1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE ~ jsou si podobné a jeden přechází v druhý záměnou Q ↔ 1. Vztahy (1.118) a F~L = q(~v × B) ~ ~ I,~v ↔ dl. Hlavní vlastnosti síly dF : ~ dF~ ↑↑ (d~l × B) ~ — obr. 1.115. Pravidlo levé ruky — viz a) směr a orientace: dF~ ⊥ d~l, B; obr. 1.116. b) velikost dF = IdlB sin α, velikost Ampérovy síly (viz obr. 1.115b). Zejména: dF = 0 pro α = 0◦ , 180◦ ; dF je maximální pro α = 90◦ .

I

~B do dlaně ~F směr síly

levá ruka Obrázek 1.116 P ~ 2. Síla působící na lineární vodič konečné délky je dána vztahem F~ = dF , kde dF~ je síla působící na jeho element. Na lineární přímočarý vodič délky l působí v homogenním ~ síla (obr. 1.116) magnetickém poli B hX i X ~ =I ~ = I(l ×~ B). ~ F~ = I(d~l × B) d~l × B (1.119) O využití Ampérovy síly v elektromotorech atd. jsme se zmínili. Ampérovy síly se však projevují — buď příznivé nebo nepříznivě — i ve vinutí cívek (např. transformátorů), v generátorech proudu atd. Příklad: Dvěma rovnoběžnými, nekonečně dlouhými přímočarými lineárními vodiči V1 , V2 , jejich vzdá~ magnetického pole, lenost je d, procházejí proudy I1 , I2 (obr. 1.117). Úkoly: 1. Určete indukci B v němž je vodič V2 ; 2. Určete sílu F~ , která působí na úseku délky l vodiče V2 . I1 I2 d

~F' V1

`l

~F V2

α = 90" ~B

Obrázek 1.117 Řešení: ~ je zřejmá 1. Vodič V2 je v magnetickém poli buzeném vodičem V1 . Směr a orientace vektoru B z obr. 1.117. Jeho velikost je dána vztahem B=

µ0 I 1 2πd

je tedy ve všech bodech vodiče V2 stejná. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

87

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 2. Na úsek ~l vodiče V2 působí síla F~ , daná vztahem (20), tj. platí ~ => F = µ0 I1 I2 l . F~ = I2 (~l × B) 2πd

(1.120)

Síla F~ míří k vodiči V1 . Podobně se určí síla F~ 0 , působící na stejně dlouhý úsek vodiče V1 . Platí F~ 0 ∼ F~ , vodiče se přitahují stejně velkými silami. Kdyby směry proudů byly antiparalelní, vodiče by se odpuzovaly.

1.4.2.3

Definice ampéru

V jednotkové soustavě SI je základní veličinou pro elektromagnetické jevy elektrický proud I. Jeho hlavní jednotkou je 1 ampér. Při definici proudu se vychází z jevu vzájemného přitahování dvou proudovodičů v uspořádání znázorněném na obr. 1.117. Ve vztahu (1.120) jsou pouze mechanické veličiny F , l, d a jediná veličina elektrická — proud I. Jednotka proudu je definována takto: volme I1 = I2 = I. Pak vztah (1.120) nabude tvaru F =

µ0 I 2 l . 2π d

Definice ampéru: I = 1 ampér, jestliže pro l = 1 m a d = 1 m je F = 2·10−7 N. Slovy: Dvěma nekonečnými rovnoběžnými přímočarými vodiči, kterými procházejí stejné proudy v souhlasném směru a které jsou od sebe vzdáleny 1 m, prochází proud 1 ampér, jestliže 1 m délky jednoho vodiče je k druhému vodiči přitahován silou o velikosti 2·10−7 N. Z této definice plyne pro permeabilitu vakua vztah: 2·10−7 N = 1.4.2.4

µ0 1 A2 ·1 m ⇒ µ0 = 4π·10−7 N·A−2 = 4π·10−7 henry·metr−1 . 2π 1 m

Účinek homogenního magnetického pole na rovinnou proudovou smyčku

Proudové smyčky, tj. uzavřené proudové okruhy, vystavené vlivu magnetického pole, se vyskytují často jak v technické praxi, tak v různých odvětvích fyziky. Např. v elektromotorech vzniká otáčivý moment působením magnetického pole na cívky rotoru, podobné je tomu v některých elektrických měřicích přístrojích. V atomovém měřítku představují elektrony, pohybující se v orbitech atomových obalů, rovněž proudové smyčky, které se vlivem magnetického pole natáčejí, zaujímají jisté polohy v prostoru a nabývají určitých energií. Budeme uvažovat o rovinných smyčkách libovolného tvaru. Taková smyčka je po magnetické stránce charakterizována (jak vyplyne z dalšího) vektorovou veličinou m ~ m ~ = IS~n,

definice magnetického momentu

(1.121)

která se nazývá Ampérúv magnetický moment nebo krátce magnetický moment smyčky (obr. 1.118). Přitom I je proud ve smyčce, S plošný obsah plochy, kterou smyčka obepíná (budeme ji nazývat „plocha smyčkyÿ) a ~n jednotková normála k rovině σ smyčky, orientovaná podle pravidla pravotočivého šroubu. Na tvaru křivky veličina m ~ nezávisí. Lze dokázat (viz dále), že platí: Je-li smyčka o magnetickém momentu m ~ v homogenním poli ~ pak o magnetické indukci B, 1. Výsledná síla F~ působící na smyčku je rovna nule, F~ = ~0; 88


(1.122)


~B

~B

II

`m `n S

~B

I

I

σ

Obrázek 1.118

~ daný vztahem 2. Na smyčku působí otáčivý moment M ~ =m ~ M ~ ×B

(1.123)

M = mB· sin α

(1.124)

o velikosti ~ rozložíme na tečnou a normálovou složku B ~ 0, B ~ 00 (obr. 1.118), takže platí Důkaz: Vektor B 0 00 ~ ~ ~ B = B + B . Síla a otáčivý moment, kterou působí pole B na smyčku, jsou dány silami, ~ = kterými toto pole působí na její elementy. Přitom na element d~l působí síla dF~ = I(d~l × B) 0 00 0 00 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ I [dl × (B + B )] = I(dl × B ) + I(dl × B ). Můžeme tedy vyšetřit nejprve účinek pole B , poté ~ 00 a účinky pak sečíst. účinek pole B ~ 0 (B ~ 0 ⊥ m) ~ 0 na úzké Účinek pole B ~ Plochu smyčky rozdělíme přímkami rovnoběžnými s B proužky, z nichž jeden je na obr. 1.119 vyšrafován. Tím se smyčka rozdělí na dvojice elementů ~ 0 ), která je kolmá na rovinu smyčky a má typu d~l, d~l0 . Na element d~l působí síla dF~ = I(d~l × B velikost |dF~ | = IB 0 dl sin β = IB 0 dh, kde dh je šířka proužku. Veličina |dF~ | tedy nezávisí na úhlu β a délce dl, nýbrž jen na dh. Síla dF~ 0 působící na d~l0 má proto stejnou velikost jako dF~ a je zřejmě opačně orientována, takže ~ o velikosti platí dF~ + dF~ 0 = 0. Obě síly tvoří silovou dvojici, která má otáčivý moment dM dM = rdF = rIB 0 dh = IdSB 0 , ~ je zakreslen kde r je rameno dvojice a dS plošný obsah vyšrafovaného proužku. Vektor dM v obr. 1.119. ~ všech takových silových dvojic má směr znázorněný v obr. 1.119 Výsledný otáčivý moment M a velikost Z Z M=

dM =

IB 0 ds = IB 0 S = mB 0 = mB sin α.

Platí tedy ~ =m ~ M ~ × B, což je vztah (1.123). ~ 0 na smyčku, je dána součtem sil tvořících silové dvojice Výsledná síla, kterou působí pole B a je tudíž rovna nule. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

89


~M

`m %~F' ` %l' %~F'=-%~F

%S

~B'

%l`

%~M

β

I

σ

%h

%~F

Obrázek 1.119

~ 00 (B ~ 00 k m) Účinek pole B ~ Z obr. 1.118 je zřejmé, že síly, které v tomto případě působí na elementy smyčky, leží v rovině smyčky a buď míří ven ze smyčky, tak jako v případě znázorněném ~ 00 na obr. 1.118 a smyčku napínají, nebo míří dovnitř (v případě, že buď proud nebo vektor B má opačný směr) a smyčku stlačují. Lze (teoreticky) dokázat, že jejich součet i jejich otáčivý ~ 00 na její pohyb vliv. Důkaz moment je roven nule. Je-li smyčka dokonale tuhá, nemá pole B nebudeme provádět. ~ na smyčku je tedy vyjádřen vztahy (1.122) a (1.123). Účinek pole B Diskuse: 1. Jednotkou vektoru m ~ je ampér·metr2 . ~ stáčí smyčku do polohy m ~ Má největší velikost pro α = 90◦ a je 2. Otáčivý moment M ~ ↑↑ B. nulový pro α = 0◦ , 180◦ . Rovnovážná poloha α = 0◦ je stabilní, poloha α = 180◦ je labilní. 3. Elektrony, které se pohybují v orbitech atomů, představují elementární proudové smyčky, takže atomy mají rovněž magnetické momenty, která se nazývají orbitální. Avšak i na samotné elektrony a dokonce i na neutrální částice, jako jsou např. neutrony, působí v magnetickém poli otáčivý moment. Tyto částice tedy mají rovněž magnetická momenty, jejichž fyzikální podstata zatím není jasná. Magnetický moment elektronu se nazývá spinový magnetický moment. 4. Magnetický moment m ~ je vektor. Cívka, jejíž závity mají magnetické momenty m ~1, m ~2, . . . , m ~n , má magnetický moment m ~ =m ~1 + m ~2 + . . . + m ~n . V homogenním magnetickém poli na ni působí otáčivý moment daný vztahem (1.123). Podobně i těleso, jehož atomy mají magnetické momenty m ~1, m ~2, . . . , m ~n , má magnetický moment m ~ =m ~1 + m ~2 + . . . + m ~n . Např. permanentní tyčový magnet je charakterizován magnetickým momentem m, ~ který lze zjistit s užitím rovnice (1.123) např. změřením otáčivého momentu, který na něj působí v magnetickém poli. Magnetický moment atomu je roven vektorovému součtu magnetických momentů všech jeho částí. 5. Je-li smyčka, znázorněná na obr. 1.118, v nehomogenním magnetickém poli, pak kromě otáčivého momentu (1.123) na ni působí i nenulová výsledná síla.

Magnetický dipól (Analogie mezi elektrickým dipólem a proudovou smyčkou). Na elektrický ~ otáčivý moment dipól o dipólovém momentu p~ = Q~l (obr. 1.120) působí v elektrickém poli E ~ = p~ × E ~ (rovnice (1.14)). Na proudovou smyčku (nebo na atom, nebo na zmagnetované M ~ otáčivý moment (daný analogickým vztahem těleso) působí v magnetickém poli o indukci B ~ = (m ~ (obr. 1.120). Dále: elektrické pole, vytvořené elekrickým dipólem a magnetické M ~ × B) pole, vytvořené smyčkou (nebo atomem nebo tyčovým permanentním magnetem), jsou v dosti velké vzdálenosti od zdroje podobná (siločáry mají stejný průběh, obr. 1.120). Elektrický dipól a tyčový magnet (nebo proudová smyčka,) jsou tedy analogické jak z hlediska otáčivých momentů a sil, které na ně působí ve vnějších polích, tak z hlediska polí, které samy vytváří. Proto se malý objekt s magnetickým momentem (proudová smyčka, permanentní magnet) často nazývá „magnetický dipólÿ. Poznámka: jedním z nevyřešených problémů teorie magnetismu je, zda tato 90


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE analogie není hlubší než formální a zda neexistuje objekt, který by měl „magnetický náboj ~ = Qmag ·B. ~ Qmag ÿ, na který by v magnetickém poli působila síla Fmag

1.4.3 1.4.3.1

Magnetické pole v látkách Úvod

~E

~B

`m

~P Q `l -Q

I

~M = `pÐ~E

~M = `mÐ~B

~E

~B `m

~P

a)

b) Obrázek 1.120

Všechny dosavadní úvahy o magnetickém poli pojednávaly o jeho vlastnostech ve vakuu. Magnetické pole, podobně jako pole elektrické, se při interakci s látkami mění. Podle účinků této interakce rozdělujeme magnetika, tzn. látky ovlivňující magnetické pole, do tří hlavních skupin. Diamagnetické látky mírně zeslabují magnetické pole, paramagnetické látky je mírně zesilují. Feromagnetické látky rovněž zesilují magnetické pole, jejich účinek je však velký. Další typy magnetik jsou ferity, antiferomagnetické látky atd. Rozdílný vliv látek na magnetické pole spočívá v rozdílné struktuře atomů. Elektrony se svým orbitálním momentem hybnosti a spinem mají, jako pohybující se nabité částice, elektrodynamické účinky, jejichž projevem je právě změna magnetického pole. 1.4.3.2

Magnetický moment atomu

`b

`n I

`r+%`r r` -e,me %`r

%S `v

m ` Obrázek 1.121 Pohyb elektronu obíhajícího v atomu kolem jádra je centrá1ním pohybem: Výslednice sil působících na elektron směruje do určitého bodu, nazývaného středem pohybu. Z mechaniky je známo, že tento pohyb je charakterizován konstantním momentem hybnosti ~b. Z klasického c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

91

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS pohledu představuje pohyb elektronu v atomu uzavřený mikroskopický proud I = e/T 0 , kde e je náboj elektronu a T 0 perioda jeho oběhu kolem jádra. Magnetický moment m, ~ odpovídající tomuto proudu, je roven Z T0 Z dS e ·dt, m ~ = I~ndS = − 0 ~n T dt 0 kde dS r za dobu dt dt je velikost plošné rychlosti, dS je plocha, kterou opíše polohový vektor ~ (obr. 1.121), tedy 1 dS = |~r × d~r|. 2 Plošná rychlost je potom rovna 1 dS d~r 1 1 ~ = |b| . = ~r × = |~r × ~v | = |~r × me B| dt 2 dt 2 2me 2me Pro magnetický moment atomu potom vyplývá vztah e~n |b| m ~ =− 0 T 2me

Z

T0

dt = − 0

e ~ b. 2me

Veličina −e/2m se nazývá gyromagnetický poměr r. Znaménko minus znamená, že m ~ má opačný směr než ~b. Z kvantové mechaniky víme, že kromě orbitálního momentu hybnosti má elektron vlastní moment hybnosti, spin ~b0 , kterému přísluší magnetický moment m ~ =−

e ~0 b. me

Gyromagnetický poměr pro spin je dvojnásobkem gyromatického poměru orbitálního. V mnohaelektronových atomech jsou elektrony s odlišnými orbity, proto i jejich magnetické momenty jsou různé. Výsledný magnetický moment atomu m~at je roven vektorovému součtu orbitálních a spisových magnetických momentů všech elektronů m~at =

X

m ~k .

k

Obrázek 1.122 Z odstavce 1.3.2 víme, že v magnetickém poli působí na elementární proudové smyčky otáčivé momenty, které natáčejí magnetické momenty do směru pole. Tedy i na atomy a molekuly látek působí magnetické pole otáčivým momentem. To je samozřejmě možné jenom u těch látek, které jsou tvořeny atomy nebo molekulami, jejichž výsledný magnetický moment je nenulový. V atomech se zaplněnými sférami (a také v molekulách s nasycenou kovalentní vazbou), je výsledný moment hybnosti atomů roven nule a proto je roven nule i jejich výsledný magnetický moment. 92



Ip Ip

Obrázek 1.123

1.4.3.3

~ Vliv látek na magnetické pole. Vektor H

Jestliže v blízkosti proudovodiče, který ve vakuu vytváří magnetické pole o indukci B~0 , jsou látky — např. kov, sklo, olej, voda atd., magnetické pole se změní jak v látkách, tak v jejich ~ 6= B~0 . okolí. Magnetická indukce nabude hodnoty B Tuto změnu pole vyšetříme podrobněji v případě válcového jádra z magnetika, které vsuneme do solenoidu na obr. 1.122. Magnetické pole orientuje magnetické momenty atomů do směru pole. Každý magnetický moment atomu můžeme nahradit mikroskopickým proudem a v příčném řezu jej můžeme vyjádřit proudovou smyčkou (obr. 1.123), ze kterého je patrné, že se mikroskopické proudy ve vnitřních částech jádra ruší. V obvodových částech jádra nejsou proudy vykompenzovány a vytvářejí proud po obvodu jádra, tzv. povrchový proud Ip , který je zdrojem přídavného magnetického pole o magnetické indukci ~ − B~0 . B~p = B

(1.125)

Stupeň zmagnetování látky v malém jejím elementu o objemu ∆V je charakterizován vek~ , definovaným vztahem torem magnetizace M P m ~i ~ definice vektoru magnetizace , (1.126) M = ∆V [A·m−1 = A·m2 ·m−3 ] P ~ kde m ~ i je součet magnetických momentů v elementu, tj. jeho magnetický moment. Vektor M závisí jak na magnetickém poli, v němž je uvažovaný element, tak na látce samotné a na jejím fyzikálním stavu. ~ Kromě vektorů B ~ aM ~ zavádí se v nauce o elektromagneIntenzita magnetického pole H ~ Je definována vztahem tickém poli ještě další vektor, a to intenzita magnetického pole H. ~ = H

~ B ~. −M µ0

definice intenzity magnetického pole

(1.127)

[A·m−1 = T·H−1 ·m−1 ] ~ jehož fyzikální význam není tak bezprostředně zřejmý jako Účelnost zavedení vektoru H, ~ ~ význam vektorů B a M , vyplývá z toho, že tento vektor splňuje velmi důležité a prakticky užitečné vztahy. Z nich nejdůležitější je vztah (1.134), který platí pro ustálené magnetické pole a jehož se užívá zejména pro výpočet magnetických obvodů. Jeho zobecněním pro neustálené magnetické pole je I. Maxwellova rovnice (1.159). ~ M ~ , H, ~ které jsou vázány vztahem Magnetické pole je pak charakterizováno třemi vektory B, (1.127), takže jen dva z nich jsou nezávislé. Při teoretických úvahách i při vyšetřování technicky c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

93

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ H ~ (viz např. Maxwellovy rovnice, důležitých dějů se ukazuje nejvhodnější uvažovat o dvojici B, odstavec 1.5.2. ~ = ~0, takže vztah (1.127) má jednoduchý tvar H ~ = B/µ ~ 0. Poznamenejme, že ve vakuu platí M ~ S jeho užitím lze získat ze vztahů pro výpočet vektoru B ve vakuu, uvedených v odstavci 1.4.1, ~ analogické vztahy pro výpočet vektoru H. ~ ∼ H, ~ M ~ ∼ B, ~ M ~ ∼ H. ~ Lineární magnetika V tzv. magneticky lineárních prostředích platí B S užitím poslední úměry se definuje magnetická susceptibilita χ vztahem ~ = χH ~ M

(1.128)

charakterizuje látku z hlediska jejích magnetizačních vlastností. Její hodnoty jsou velmi malé a platí . χ < 0 (χ = 0) . χ > 0 (χ = 0)

u látek diamagnetických, u látek paramagnetických.

~ ∼H ~ Kromě těchto látek jsou technicky důležité feromagnetické látky, u nichž neplatí B atd. — závislost je složitější. Označíme-li i u nich M/H = χ, je χ závislé na H a platí χ 1. Dosazením ze vztahu (1.128) do vztahu (1.127) dostaneme po úpravě ~ = µ(1 + χ)H ~ = µ0 µr H ~ = µH, ~ B

(1.129)

kde µr , µ jsou veličiny, definované vztahy: µr = 1 + χ µ = µr µ0

- relativní permeabilita látky, - (absolutní) permeabilita látky.

~ (nebo místo něho) se někdy zavádí vektor magnetické polaKromě vektoru magnetizace M ~ který souvisí s J~ podle vztahu J~ = µ0 M ~. rizace J, 1.4.3.4

Hlavní typy magnetik

Paramagnetismus Uvažujme o látce s nenulovými magnetickými momenty atomů. Bez vnějšího magnetického pole jsou magnetické momenty jednotlivých atomů uspořádány chaoticky a výsledný magnetický moment je roven nule. Látka není zmagnetována. Vlivem vnějšího magnetického pole o indukci B~0 působí na každý atom, který si můžeme představit jako elementární magnet, otáčivý moment m~at × B~0 a stáčí je do směru magnetického pole. Chaotický tepelný pohyb v látce snižuje orientaci magnetických momentů m~at . Látka se ustálí v dynamické rovnováze, při níž má nenulový magnetický moment; orientovaný ve směru vnějšího pole. Magnetické pole se v takové látce nepatrně zvyšuje. Dochází k paramagnetismu, látka je paramagnetická. Magnetická susceptibilita paramagnetické látky splňuje tzv. Curieův zákon χ=

C , T

který vyjadřuje tu vlastnost, že zmagnetování látky je tím obtížnější, čím je její teplota větší. Curieova konstanta C závisí na velikostí magnetického momentu atomů a jejich počtu v objemové jednotce. 94



Diamagnetiamus Vnější magnetické pole má vliv na pohyb elektronu v atomu. Magnetické pole o indukci B0 působí na proudovou smyčku oběžného elektronu otáčivým momentem ~ ~ ~0 = m × M B0 . ~ 0 , aby nedošlo k záměně s vektorem magnetizace M ~ .) (Otáčivý moment budeme dále značit M

~B0 ~Ω

b` K1

`mi

Ii

K `m

I -e,me

`v

Obrázek 1.124 Elektron na orbitu má nenulový moment hybnosti a na točivý moment reaguje precesním pohybem (obr. 1.124). Vektor točivosti ~b začne opisovat kužel s úhlovou frekvencí Ω, která splňuje vztah Ω = M0 /b. Veličina Ω je mnohem menší než frekvence vlastního pohybu po orbitu. Z hlediska pohybu elektronu to znamená, že kromě pohybu po orbitu vykonává ještě další pohyb po uzavřené křivce K1 v rovině kolmé k magnetickému poli (obr. 1.124). Tento pohyb vyvolá indukovaný magnetický moment m ~ i , který má opačný směr než vnější magnetické pole. Indukovaný magnetický moment je orientován proti směru vnějšího magnetického pole i tehdy jestliže se elektron pohybuje po orbitu v opačném směru. Tento jev v látkách se nazývá diamagnetismus. Je vlastností všech magnetik. U látek, jejíchž atomy mají nulový magnetický moment, je jediným projevem interakce atomů s magnetickým polem. Takové látky se nazývají diamagnetické. V diamagnetické látce je vnější magnetické pole zeslabeno, takže susceptibilita diamagnetická je záporná, χ < 0. Tepelný pohyb molekul nemá vliv na pohyb elektronů v atomech, proto susceptibilita diamagnetické látky nezávisí na teplotě. U magnetik s m~a t 6= ~0 převládá paramagnetický jev nad jevem diemagnetickým. Takové látky jsou proto paramagnetické. Feromagnetismus Třetí skupinu magnetik tvoří tzv. feromagnetické látky, které v magnetických polích vykazují následující vlastnosti: 1. Relativní permeabilita µr dosahuje vysokých hodnot (∼ 103 ). ~ a H ~ nebo mezi M ~ a H ~ nebo mezi M ~ a B~0 není lineární; při nízkých 2. Závislost mezi B teplotách mohou již slabá pole vyvolat tzv. sytnou magnetizaci, tj, úplnou orientaci všech magnetických momentů. ~ 3. U feromagnetických látek se projevuje hystereze, jev spočívající v tom, že závislost M ~ a B není jednoznačná. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

95

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Feromagnetickými látkami mohou být pouze magnetika s paramagnetickými atomy. Při určité struktuře krystalické látky dochází již v slabých polích k magnetické interakci atomů, která vede k souhlasné orientaci magnetických momentů celé skupiny atomů. Dosáhne-li teplota feromagnetické látky určité výše TC — Curieův bod, pro každou látku jiný, energie tepelného pohybu je natolik vysoká, že poruší vazbu mezi atomy a tím i orientaci magnetických momentů; látka přestane být feromagnetickou a projevuje se pouze jako paramagnetická. Závislost susceptibility na teplotě T se řídí tzv. Weissovým zákonem χ=

K . T − TC

Výklad feromagnetismu se opírá o hypotézu, kterou vyslovil Weiss: 1. Feromagnetický vzorek makroskopických rozměrů obsahuje určitý počet malých oblastí (domén), které jsou zmagnetovány spontánně, tj. bez vlivu vnějšího magnetického pole. Spontánní magnetizace vzorku je dána součtem magnetických momentů všech jednotlivých domén. 2. V každé doméně je spontánní magnetizace způsobena existencí molekulárních polí, která působí na atomy tak, že jejich magnetické momenty jsou orientovány souhlasně.

~B0 = ` 0

a)

~B0

~B0

b)

c)

Obrázek 1.125 Feromagnetismus není jen projevem samotných atomů a molekul, nýbrž souvisí s krystalickou stavbou látky jako celku. Jednotlivé oblasti látky, domény, jsou zmagnetovány spontánně, přičemž je velikost magnetizace závislá na teplotě látky. Vektor magnetizace látky je úměný součtu vektorů magnetických momentů domén a může být za určitých podmínek i nulový (obr. 1.125a). K magnetizaci látky dochází růstem jedné domény na úkor jiné, tzn. pohybem stěn mezi doménami (obr. 1.125b), a dále stáčením magnetických momentů domén do směru vnějšího pole (obr. 1.125c). Dochází k magnetickému nasycení, vektor magnetizace má směr vnějšího pole a nabývá své maximální hodnoty Ms . Fyzikální důvod vzniku domén se vysvětluje tendencí feromagnetické látky dosáhnout stavu s minimální hodnotou energie. Z klasické nebo kvantové mechaniky je známo, že nejstabilnějěí stav každé soustavy, např. soustavy těles nebo elektronů v atomech, je ten, při němž je energie minimální. Ukazuje se, že soustava atomů feromagaetické látky má minimální energii při doménovém uspořádání. Chování domén vysvětluje i hysterezi feromagnetické látky. Typická magnetizační křivka vzorku, který je poprvé zmagnetován, je na obr. 1.126. Má několik oblastí a v každé z nich převládá určitý děj. Při zvyšování indukce vnějšího magnetického pole probíhá křivka prvotní magnetizace body OABC. Příčinou růstu magnetizace látky jsou postupně vratné posuvy stěn domén (OA), nevratné posuvy stěn (AB) a stáčení domén (BC). Po dosažení sytné magnetizace Ms , tzn. po úplné orientaci elementárních magnetických momentů do směru pole, nelze již magnetizaci dále zvyšovat. Jestliže při tomto stavu zmagnetování látky budeme vnější magnetické pole zeslabovat, magnetizace látky se bude snižovat a při B0 = 0 nezanikne, nýbrž bude 96


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE mít určitou zbytkovou hodnotu MR , kterou nazýváme magnetickou remanencí. Abychom ji odstranili, musíme na látku působit magnetickým polem opačného směru až do hodnoty BC , které říkáme koercitivní pole. Dalším zvyšováním pole opačného směru dosáhneme opět sytné magnetizace. Kdybychom pak zeslabili vnější pole až na nulu a znovu je nechali růst do kladných hodnot, uzavřeli bychom křivku. Po určitém počtu cyklů by se hysterezní smyčka ustálila ve tvaru naznačeném na obr. 1.126. Ukazuje se, že plocha hysterezní smyčky je rovna energii, spotřebované při jednom magnetizačním oběhu v objemové jednotce feromagnetika, tj. přeměněná v tepelnou energii látky. Látka se při přemagnetovávání zahřívá. Čím širší je hysterezní smyčka, tím větší je koercitivní pole a tím „magneticky tvrdšíÿ je magnetikum. Taková látka je vhodná pro permanentní magnety, nevhodná však pro stálé přemagnetovávání. Tvrdými magnetiky jsou uhlíkové, wolframové nebo chromové oceli. Tzv. měkká magnetika mají úzkou hysterezní smyčku s malým koercitivním polem. Používají se při výrobě jader elektromotorů a transformátorů, kdy je nutné, aby hysterezní ztráty byly co nejmenší. Zmenšení ztrát a s nimi související snížený ohřev feromagnetika je žádoucí i z toho důvodu, že zvýšením teploty se zhoršují magnetické vlastnosti feromagnetika. Měkkými feromagnetiky jsou např. křemíkové oceli.

M C

MS MR B BC

A 0

B0

Obrázek 1.126 Při magnetizaci látky vznikají mezi jejími molekulami síly, které se projevují změnou mechanických vlastností. Zmagnetováním feromagnetické látky nastává podélné nebo příčné zkrácení. Tento jev se nazývá magnetostrikce a používá se v ultrazvukových generátorech k buzení akustických vln o velmi krátká vlnové délce. Obrácený jev k magnetostrikci spočívá ve změně magnetizace látky při její deformaci. Tohoto jevu lze využít k měření deformací. Velký praktický význam, zejména v elektronice„ mají nekovová magnetika — ferity. Jsou to polovodivé sloučeniny železa a kyslíku nebo i jiných prvků, např. mědi, hořčíku, manganu, niklu, jejichž obecné složení je X 2+ F e3 04 , kde X 2+ značí dvojmocný iont některého z uvedených kovů. Odpor feritů při stejnosměrném proudu je 104 až 1011 -krát větší než odpor železa. v transformátorových jádrech je jich tedy možné využívat při frekvencích mnohem vyšších než železa.

1.4.3.5

Silové působení magnetického pole na látky

Jedním z nejznámějších a technicky nejužívanějších jevů, ke kterým dochází při interakci magnetických polí a látek, je silové působení. Z hlediska silových účinků působí magnetické pole na zmagnetovanou látku podobně jako na proudovou smyčku nebo na solenoid. Na element látky ~ dV , kde M ~ je vektor magnetizace, působí o objemu dV, jehož magnetický moment je m ~ =M ~ ~ ~ v homogenním poli B otáčivý moment dM = dm ~ × B a v nehomogenním poli navíc ještě síla c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

97


homogenní pole ~F = ` 0, ~M =~ mÐ~B

nehomogenní pole ~F è ` 0, ~M è ` 0

N `m

`mind è ` 0

N ~B

~F è ` 0

S

S

I a)

b)

c)

Obrázek 1.127

dF~ 6= ~0. Element látky, který by byl zpočátku v klidu a na který by působily jen magnetické ~ (srov. síly, by se začal pohybovat tak, že by jeho magnetická potenciální energie dW = −dm· ~ B R 2) nejrychleji klesala (a kinetická rostla). Příklad: Na tyčový magnet — permanentní nebo elektromagnet (obr. 1.127a) — o magnetickém momentu ZZZ ~ dV m~= M V

~ =m ~ V nehomogenním působí v homogenním magnetickém poli pouze otáčivý moment M ~ × B. poli (obr. 1.127) působí navíc síla F~ 6= ~0. Příklad: ~ = ~0), se v magnetickém poli zmagnetuje Látka, která byla původně nezmagnetována (M a pak na ni toto pole působí silově. Na obr. 1.127c je naznačeno přitahování původně nezmagnetovaného železného válečku působením sil pole, vytvořeného cívkou. Tohoto jevu se využívá např. při magnetickém upínání předmětů, při zvedání a transportu železného šrotu, v elektrických měřicích přístrojích atd. Silové působení magnetického pole na paramagnetika, a diamagnetika je ve srovnání s jeho působením na feromagnetické látky zanedbatelně malé.

1.4.4 1.4.4.1

~ H ~ Obecné vlastnosti vektorů B, Magnetický indukční tok φ. IV. Maxwellova rovnice

Magnetické indukční čáry statických polí ve vakuu, která jsme vyšetřovali v odstavci 1.4.1, byly vesměs uzavřené křivky. Experimentálně bylo zjištěno, že tuto vlastnost mají i magnetické indukční čáry libovolných polí, tj. i polí časově proměnných v libovolných látkách. Např. magnetické indukční čáry pole buzeného magnetem se uzavírají uvnitř magnetu (obr. 1.128). Vedeme-li v libovolném elektromagnetickém poli uzavřenou plochu S (obr. 1.129), pak magnetická indukční čára ji buď neprotíná nebo ji protíná v sudém počtu bodů. Z této experimen~ Než jej uvedeme, vyslovíme tálně zjištěné vlastnosti vyplývá jednoduchý důsledek pro vektor B. definici veličiny, zvané magnetický indukční tok φ orientovanou plochou. Magnetický indukční tok φ orientovanou plochou Tato veličina je analogická veličině ψ (odstavec 1.2.4) a je definována takto: Nech orientovaná plocha S má za okraj orientovanou křivku C (obr. 1.130). Pak magnetický indukční tok orientovanou plochou S (nebo také 98



N `n

`n

`n

`n ~B

~B ~B

~B

~B `n

S Obrázek 1.128

Obrázek 1.129

orientovanou uzavřenou křivkou C) je definován vztahem ZZ ZZ ZZ ~ ndS = ~ S. ~ φ= Bn dS = B·~ B·d S

S

(1.130)

S

Jednotkou φ je 1 tesla·metr2 = 1 weber = 1 Wb. Tato veličina je důležitá např. při vyjádření zákonitostí elektromagnetické indukce (odstavec 1.5.1).

orientovaná plocha

B ~ n

n `

`n %~S

S

B ~

orientovaná c křivka Obrázek 1.130

magnetická indukční čára

Magnetický indukční tok uzavřenou plochou Je-li plocha S uzavřená a orientovaná vnější normálou (obr. 1.129), pak v místě, kde z ní magnetická indukční čára vystupuje, je Bn dS > 0 a tam, kde do ní vstupuje, je BndS < 0. Tyto příspěvky se v součtu daném integrálem (1.130) pro uzavřenou plochu ruší, takže platí I (φ =) Bn dS = 0. (1.131) S

Tento experimentálné zjištěný vztah platí zcela obecně, tj. pro libovolnou uzavřenou plochu vedenou v libovolném elektromagnetickém poli v libovolném prostředí. Nazývá se často Gaussův zákon magnetismu. Je jednou ze základních rovnic obecné teorie elektromagnetického pole, tzv. Maxwellovy teorie (odst. 1.5.2). Srovnání vztahu (1.131) se vztahem (1.53) ukazuje, že v magnetickém poli neexistuje veličina analogická elektrickému náboji, který je zdrojem, tj. „zřídlemÿ; elektrického pole, tj. neexistuje magnetický náboj. Magnetické pole, na rozdíl od pole elektrického, je nezřídlové. Poznamenejme, že po magnetických nábojích fyzici stále ještě pátrají. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

99


~ Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru H

Magnetické napětí Um je veličina, definovaná pro magnetickou část elektromagnetického pole vztahem analogickým vztahu (1.122) platným pro pole elektrické, a to takto: Nechť C je libovolná ~ Pak magnetické napětí Um orientovaná křivka vedená v magnetickém poli, jehož intenzita je H. na křivce C je definováno vztahem Z ~ r. definice magnetického napětí Um = H·d~ (1.132) C

z

S `n

I1 ~Bs

I3

~B I4 I2 c x

y N

S Obrázek 1.131

Na rozdíl od elektrického napětí U , jež je v elektrostatickém poli závislé jen na poloze počátečního a konečného bodu křivky C, je veličina Um závislá i v magnetostatickém poli na tvaru křivky, konkrétněji na poloze křivky vzhledem ke zdrojům magnetického pole. Vyplývá to z následujícího zákona. ~ ve vakuu Zní: Nechť magnetické pole o intenzitě Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru B ~ B je vytvořeno ve vakuu (v určité inerciální vztažné soustavě) magnety v klidu a ustálenými proudy, tj. je magnetostatické. Nechť C je libovolná uzavřená orientovaná křivka (obr. 1.131). Pak platí I X ~ r = µ0 B·d~ Ik , (1.133) C

k

P

kde symbolem k Ik je označen rozdíl součtu proudů, které jdou libovolnou orientovanou plochou S, která má křivku C za okraj, z její záporné strany na kladnou součtu proudů, které P jdou opačným směrem. V případě znázorněném na, obr. 1.131 je k Ik = I1 − I2 + I3 . Je to algebraický součet proudů, které křivka C obepíná. Integrál na levé straně rovnice (1.133) se ~ po křivce C (srov. odstavec 1.2.2). Vztah (1.133) plyne z teorie. nazývá cirkulace vektoru B ~ Tento zákon zní: Nechť H ~ je vektor intenzity Ampérúv zákon pro cirkulaci vektoru H časově neměnného magnetického pole buzeného ustálenými elektrickými proudy ve vodičích (tj. makroskopickými proudy) v přítomnosti libovolných látek. Pak pro libovolnou uzavřenou orientovanou křivku C (která může procházet látkami i mimo ně) platí I X ~ r= H·d~ Ik , (1.134) C

kde 100

P

k

Ik algebraický součet makroskopických proudů, které křivka obepíná. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE Poznamenejme ihned, že hlavní význam tohoto výsledku je v tom, že integrál ve vztahu (34) závisí jen na makroskopických proudech, které křivka C obepíná a že vůbec nezávisí ani na ~ v každém bodu prostoru na ostatních proudech, ani na přítomnosti a rozložení látek. Vektor H tom všem ovšem závisí, integrál ve vztahu (1.134) však nikoliv. Důkaz vztahu (1.134) provedeme pouze pro zvláštní případ znázorněný v obr. 1.132a. Na válečku je navinuta cívka, kterou prochází proud. Vedeme libovolnou uzavřenou orientovanou křivku C. V obr. 1.132a tato křivka prochází částečně válečkem a obepíná několik závitů cívky. ~ má všude směr osy válečku a v bodech řezů Látka je zmagnetována. Vektor magnetizace M kolmých na osu má stejnou hodnotu. Pole vně i uvnitř válečku je buzeno jak makroskopickými proudy v cívce, tak mikroskopickými proudy v látce (obr. 1.123). Z hlediska buzení magnetického pole lze mikroskopické proudy nahradit povrchovým proudem Ip (obr. 1.123). Tenká vrstva tvaru plochého válce o základně S a výšce dh (obr. 1.132a) vytváří povrchový proud dIp , který určíme ~ (rovnice (1.126)) plyne dm ~ dV , takže je dm = M Sdh; takto: a) z definice vektoru M ~ = M b) z definice magnetického momentu proudové smyčky (rovnice (1.121)) plyne m ~ = dIp S~n, tj. dm = dIp S. Srovnáním obou výsledků dostáváme dIp = M dh.

H ~ s

M ~ %`m %h

S

P2 %h

M ~ =`0

c

H ~

%`r α

I2

%Ip

c

P1

I

I1

a)

b) Obrázek 1.132

Ze vztahu (1.133) plyne pro uvažovanou křivku C v obr. 1.132: I Z P2 Z P2 X X X X 1 ~ r= B·d~ Imakro + Imikro = Imakro + dIp = Imakro + M dh = µ0 C P1 P1 Z P2 I X X ~ ·d~r. = Imakro + M cos αds = Imakro + M P1

C

P

Zde je: Imikro součet mikoskopických proudů, obepnutých křivkou C; ds = |d~r|. Význam α je zřejmý z obrázku. Využili jsme dále toho, že vně válečku je M = 0. Položíme-li sobě rovny první člen na levo a poslední součet na pravo a takto vzniklou rovnici upravíme, dostaneme I ~ X B ~ )·d~r = ( −M Imakro . (1.135) C µ0 ~ = B/µ ~ 0−M ~ , takže dostáváme vztah (1.134). Tím je Podle definičního vztahu však je H důkaz platnosti vztahu (1.134) pro uvažovaný případ proveden. Výraz na pravé straně rovnice c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

101

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS (1.135) je součet proudů, které cívka obepíná, tj. veličina nI, kde n je počet závitů procházejících plochou křivky C. Příklad: Pro orientovanou křivku C na obr. 1.132b, která obepíná dva závity cívky s proudem I1 a smyčku s proudem I2 , dostáváme ze vztahu (1.134): I Hs ds = 2I1 − I2 C

Užití vztahů (1.134) a (1.131) je ilustrováno v příkladě R-3. Integrál na levé straně vztahu (1.134) je, podle definice (1.132), magnetické napětí v uzavřené křivce C. Nazývá se někdy také „magnetomotorické napětíÿ. Zobecnění vztahu (1.134) pro obecná časově proměnná elektromagnetická pole se nazývá I. Maxwellova rovnice (viz rovnice (1.159). Rovnice (1.134) je jejím zvláštním případem pro magnetostatické pole. 1.4.4.3

Příklady — Časově neměnné magnetické pole

r

V

É

P α

I Obrázek 1.133 R-1 Určete vektor magnetické indukce pole, buzeného v bodě P částí V vodiče na obr. 1.133 pro hodnoty I = 12,0 A, α = 60◦ , r = 200 mm. Řešení: ~ v bodě P míří za Vodič V je lineární a přímočarý. Z úvah odst. 1.4.1-F plyne, že vektor B ◦ nákresnu. Velikost B je dána vztahem (1.115), kde d = r sin α, α1 = 180 − α, α2 = 0◦ . Tedy B=

µ0 I 4π·10−7 Hm−1 12,0 A [cos(180◦ − α) + cos α2 ] = [cos(180◦ − 60◦ ) + cos 0◦ ] = 4πr sin α 4π·0,200 m sin 60◦ = 3,46·10−6 T

~B

`m ¡

%¡

~M

Obrázek 1.134 R-2 Proudová smyčka o magnetickém momentu m ~ je v homogenním magnetickém poli o mag~ netické indukci B a může se otáčet kolem osy kolmé na m, ~ ležící v rovině smyčky. Nechť α je ~ Dokažte tato tvrzení: 1. Práce, kterou vykoná otáčivý moment, úhel, který svírají vektory m, ~ B. kterým působí pole na smyčku při jejím otočení z polohy α1 do polohy α2 , je dána vztahem A = mB(cos α2 − cos α1 ); 2. Smyčka má v magnetickém poli magnetickou potenciální energii ~ + C, kde C je její potenciální energie pro α = 90◦ . Wp danou vztahem Wp = −m. ~ B Řešení: 102


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE ~ =m ~ o velikosti M = mB sin α (obr.1.134). Při 1. Na smyčku působí otáčivý moment M ~ ×B otočení o úhel dα vykoná moment M práci dA = −M dα = −mB sin αdα. Celková práce, kterou vykoná při otočení z polohy α = α1 do polohy α = α2 je Z α2 Z Z α2 sin α dα = mB(cos α2 − cos α1 ). −M dα = −mB A = dA = α1

α1

2. Práce A závisí jen na počáteční a konečné poloze smyčky v magnetickém poli. Proudová smyčka má tedy v magnetickém poli magnetickou potenciální energii Wp , pro kterou platí: Je-li pro α její hodnota Wp a pro α = α2 její hodnota Wp2 , pak platí Wp − Wp2 = A, kde A je práce, kterou vykoná otáčivý moment při otočení smyčky α → α2 . Tedy Wp − Wp2 = mB cos α2 − mB cos α ⇒ Wp + mB cos α = Wp2 + mB cos α2 (= C). Volíme-li α2 = 90◦ , je Wp2 = C, takže platí ~ + C. Wp = −mB cos α + C = −m· ~ B Volíme-li Wp (α = 90◦ ) = 0, je C = 0 a dostaneme ~ Wp = −m· ~ B.

(1.136)

Poznámka: [m] = A·m2 , [B] = T, [A] = J. R-3 Štíhlý toroid má N = 1 000 závitů hustě a rovnoměrně navinutých na jádře, jehož střední kružnice má poloměr R = 100 mm a jehož průřez má plošný obsah S = 400 mm2 . Vinutím jde ~ aH ~ v těchto případech: 1. proud I = 1 A. Vyšetřete jeho magnetické pole, tj. určete vektory B Jádro je vzduchové (tj. závity jsou samonosné); 2. Jádro je feromagnetické a má magnetizační křivku naznačenou v obr. 1.135; 3. Jádro má relativní permeabilitu µr = 200 a v něm je úzká příčná mezera o šířce d = 2 mm. Magnetický rozptyl v mezeře zanedbejte. Poznámka: Štíhlý hustě vinutý toroid budí pole, jež je soustředěno v jeho jádře. Magnetické ~ indukční čáry jsou kružnice, jež mají střed na ose toroidu. Je-li jádro bez mezery, má vektor B ~ ~ (a podobně i vektory H, M ) v celém jádře stejnou velikost. Řešení: 1. Vzduchové jádro (tzv. toroid bez jádra) ~ má směr tečny k orientované magnetické siločáře (obr. 1.136). (Pozn.: Touto Vektor H vlastností jsou magnetické siločáry definovány.) Jeho velikost určíme užitím vztahu (1.134), v němž křivka C je orientovaná střední kružnice K. Dostáváme postupně I Z Z X NI NI ~ r= H·d~ Ik ⇒ Hds = N I ⇒ H ds = N I ⇒ H = = , 2πR l K K K k

~,B ~ jsou dány vztahy kde l = 2πR je délka kružnice K. Vektory M ~ = ~0, B ~ = µ0 H. ~ M ~ ↑↑ H. ~ Po dosazení a výpočtu dostaneme: H = 1 592 A·m−1 ; B = 4·10−3 T, B c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

103


1,5 1,4 1,3

B (T)

1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6

0

200

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 H (A/m) Obrázek 1.135

S I

N ~H

O

~B

R k

I Obrázek 1.136

2. Toroid s jádrem Magnetické siločáry mají stejný tvar jako v toroidu bez jádra. K určení |H| užijeme opět vztahu (1.134), tj. opakujeme předešlý výpočet a dostaneme opět H = 1 592 A·m−1 . ~ platí B ~ ↑↑ H. ~ Jeho velikost určíme z magnetizační křivky (obr. 1.135). Pro Pro vektor B −1 H = 1 592 A·m dostáváme B = 1,35 T. Všimněte si, že číselná hodnotaje mnohem větší než v toroidu bez jádra. 3. Toroid s jádrem s mezerou ~ aH ~ zanedbáváme magnetický rozptyl, naznačený v obr. 1.137b tence vyPři určování B značenými magnetickými indukčními čarami R Předpokládejme tedy, že pole je v každém průřezu jádra i v mezeře homogenní. Magnetické indukční čáry jsou kružnice (obr. 1.137a). ~j ,H ~j , M ~ j v mezeře B~m , H~m . Vektory magnetického pole v jádře označíme B ~j , B~m a to takto: Vedeme plochu P ve tvaru nízkého válce, Nejprve určíme vztah mezi B jehož jedna základna je v jádře a druhá v mezeře (obr. 1.137b) a užijeme pro ni vztah 104



~Bm k

~Bj S1

`n

P

µrm = 1 `n

S2

R

µr a)

b) Obrázek 1.137

(1.131). Pro integrál na levé straně dostaneme postupně ZZ Bn dS = Bjn S1 + Bmn S2 = (Bjn + Bmn ), P

kde S = S1 = S2 a kde Bjn a Bmn jsou průměty vektorů Bj a Bm do vnějších normál obou základen plochy P . Platí tedy ~j = B~m . B

(1.137)

~ v jádře změřením B ~ v mezeře. Pro vektory To je důležitý poznatek. Umožňuje zjišťovat B ~ H~m platí H ~j = B ~j /µr µ0 , H~m = B~m /µ0 , takže je H ~ j ↑↑ B ~j , H~m ↑↑ B~m . Ze vztahu H, (1.137) plyne µr µ0 Hj = µ0 Hm . Veličinu Hj dostaneme aplikací vztahu (1.134) na kružnici K. Dostáváme postupně: I X ~ r= H·d~ I ⇒ Hj (l − d) + Hm d = N I ⇒ Hj (l − d) + µr Hj d = N I ⇒ K

Hj =

NI . l − d + µr d

(1.138)

Dá1e pak Bj = µr µ0 Hj , Bm = Bj Číselné hodnoty určete samostatně. Poznámky: 1. Plošný S jsme k výpočtu nepotřebovali. 2. Ze vztahu (1.137) plyne, že při µr 1 i úzká mezera může podstatné ovlivnit (zeslabit) pole v jádře, neboť i při d 1 může být µr d > (l − d). ~ B = 0,10 T, mezi póly P1 , P2 P-1 V homogenním magnetickém poli o vektoru indukce B, magnetu, který je v klidu v inerciální vztažné soustavě, se pohybuje vodivá tyč AC stálou ~ 0, B ~ 0 uvedeného pole ve rychlostí ~v , v = 5,0 m·s−1 (obr. 1.138). Úkoly: 1. Určete vektory E vztažné soustavě pevně spojené s tyčí a zakreslete je do náčrtku; 2. Vlivem elektrického pole se volné náboje v tyči částečně přesunou. Naznačte v náčrtku přibližně jejich rozložení. Rozhodněte, které část tyče bude mít nejvyšší potenciál. P-2 V inerciální vztažné soustavě A se ve vakuu pohybuje deskový kondenzátor o rozměrech S = 2,0·10−2 m2 , d = 6,0 mm, nabity nábojem Q = 2,0·10−7 C rychlost ~v , v = 50 m·s−1 (obr. 1.139). Určete vektory elektromagnetického pole mezi deskami 1. ve vztažné soustavě, v níž je kondenzátor v klidu, 2. ve vztažné soustavě A. Zakreslete je do náčrtku. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

105


z P1 ~B

C

A

Q>0

S

P

`v

v`

d -Q

P2

0 x

Obrázek 1.138

y

A

Obrázek 1.139

z (m) P2(0;-0,4;0,4) P1(0;0;0,4) I3

É I1

I2 É y (m) V2

%l` V1(É)

x Obrázek 1.140

z (m) P1(0;0;0,5) P3(-0,5;0,5;0)

A1(É) x (m)

O

I

I

A2(É) y (m)

P2(0,5;0,5;0) Obrázek 1.141

P-3 Magnetické pole je buzeno proudem I1 = 12 A v nekonečném vodiči V1 (obr. 1.140). Úkoly: ~ 1. Nakreslete orientovanou magnetickou indukční čáru jdoucí bodem P2 ; 2. Určete vektor B v bodech a) P1 , b) P2 . Zakreslete. P-4 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-3 za předpokladu, že pole je buzeno proudem I2 = 10 A v nekonečném vodiči V2 . P-5 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-3 za předpokladu, že pole je buzeno elementárním vodičem dl délky dl = 10 mm, v němž je proud I3 = 40 A. 106


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE P-6 V nekonečném vodiči A1 0 A2 (viz obr. 1.141) je proud I = 20 A. Určete a zakreslete magnetickou indukci pole, buzeného: 1. Vodičem A1 0 v bodech a) P1 , b) P2 , c) P3 ; 2. Vodičem A1 0A2 v bodech a) P1 , b) P2 , c) P3 ; 3. Nakreslete přibližně magnetickou indukční čáru pole, buzeného vodičem 0A2 jdoucí bodem P2 . P-7 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-6 pro body P4 (0; 0; −0,2), P5 (0,2; −0,2; 0).

P1 d = 0,30 m B

C 60" D

60" E

R = 200 mm

É

60"

d

P2

P %l`

A

I1 É

I

V1

É

I2 V2 É d1 = 0,15 m

d P3

Obrázek 1.142

Obrázek 1.143

P-8 Lineárním vodičem ABCDE jde proud I = 5,0A (obr. 1.142). Určete a zakreslete vektor ~ v bodě P pole buzeného: 1. Elementárním vodičem dl délky dl = 5 mm; magnetické indukce B 2. Obloukem AB; 3. Úsekem BC; 4. Celým vodičem ABCDE. P-9 Ve vodičích V1 , V2 (obr. 1.143) jsou proudy I1 = 50,0 A, I2 = 20,0 A. Úkoly: 1. Určete vektory a) B~1 , b) H1 magnetického pole, buzeného v bodě P1 vodičem V1 . Zakreslete B~1 ; 2. ~2 magnetického pole, buzeného v bodě P1 vodičem V2 . Zakreslete B~2 ; Určete vektory a) B~2 , b) H ~ 3. Určete B výsledného magnetického pole v bodě P1 . Zakreslete. P-10 Řešte úkoly 1 - 3 příkladu P-9 pro bod P2 . P-11 Řešte úkoly 1 - 3 příkladu P-9 pro bod P3 . x V1 V2

d = 0,60 m P1

O ØM d1

P2 N

d1 = 0,40 m

P3 d

y

I1 Obrázek 1.144 P-12 V elektronovém svazku se pohybují v určitém okamžiku rovnoběžně vedle sebe dva elektrony, vzdálené od sebe o 0,4 mm, rychlostí ~v o velikosti v = 2,0·105 m/s. Sestrojte náčrtek ~ B ~ elektromagnetického pole, bua řešte tyto úkoly: 1. Napište obecný vztah mezi vektory E, zeného jedním z elektronů v libovolném bodě. Zakreslete; 2. Pro oba elektrony, určete vektory ~ B ~ pole, které budí jeden elektron v místě, kde je druhý elektron. Zakreslete; 3. Určete elekE, trickou, magnetickou a výslednou sílu, kterou působí pole jednoho elektronu na druhý elektron. Zakreslete. P-13 Ve dvou velmi dlouhých rovnoběžných vodičích V1 , V2 , vzdálených od sebe o d = 0,60 m, ~ 1 ), B(P ~ 2 ). Zakreslete; jsou proudy I1 = 50,0 A, I2 = 20,0 A (obr. 1.144). Úkoly: 1. Určete B(P c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

107

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ = ~0. Existují-li, určete jejich polohu. Zakreslete; 3. 2. Vyšetřete, zda existují body, v nichž je B ~ Na úsečce M N určete body, v nichž má |B| extrémní hodnotu. Zakreslete; 4. Určete sílu, která působí na úsek délky l = 2m vodiče V2 . Zakreslete.

É I3

a=0,2 m K

I2

a = 50 mm

b=0,4 m L

I1

I1

c=0,6 m

I2 V1 V2

É

Obrázek 1.145

N

M

Obrázek 1.146

P-14 Třemi tenkými, velmi dlouhými stejně od sebe vzdálenými rovnoběžnými vodiči V1 , V2 , V3 jdou proudy I1 = 40 A, I2 = I1 , I3 = 30 A ve směrech, naznačených na obr. 1.145. Úkoly: 1. Určete vektor B~1 magnetického pole, buzeného v obecném bodě P vodiče V3 vodičem V1 . ~ výsledného pole buzeného vodiči V1 , V2 v bodě P . Zakreslete; 3. Zakreslete; 2. Určete vektor B Určete sílu Fm , která působí na úsek délky h = 0,80 m vodiče V3 , Zakreslete. P-15 Obdélníkovou smyčkou KLM N (obr. 1.146) jde proud I1 = 20 A a tenkým, velmi dlouhým vodičem V , který leží v rovině smyčky, proud I2 = 30 A. Úkoly: 1. Určete indukci magnetického pole, vytvořeného v bodě L a) vodičem V . Zakreslete; b) vodičem KN . Zakreslete; 2. Určete síly a) F~1 , b) F~2 , c) F~3 , d) F~4 , kterými působí magnetické pole, vytvořené vodičem V , na úseky KL, LM , M N , N K. Zakreslete; 3. Určete výslednou magnetickou sílu, působící na smyčku. P-16 Válcovou cívkou s N = 500 kruhovými závity o poloměru r = 20 mm jde proud I = 2,00 A. ~ = 0,045 T a může se otáčet Cívka je umístěna v horizontálním magnetickém poli o indukci |B| bez tření kolem vertikální osy. Poloha na obr. 1.147 je stabilní. Určete: 1. Směr proudu v cívce; ~ , který vyvozuje magnetické 2. Magnetický moment m ~ cívky. Zakreslete; 3. Otáčivý moment M ◦ pole, je-li cívka vychýlena o úhel ϕ = 30 ; 4. Práci, potřebnou k otočeni cívky z polohy ϕ1 = 30◦ do polohy ϕ2 = 120◦ ; 5. Kinetickou energii, se kterou projde cívka polohou ϕ = 0◦ , jestliže se přetočila působením magnetického pole z polohy ϕ = 180◦ , v níž byla v klidu. Odpor vzduchu je zanedbatelný (viz R-2). P-17 Proton se pohybuje ve vakuu v homogenním magnetickém poli po kružnici o poloměru r = 100 mm v rovině kolmé na magnetické indukční čáry. V bodě P měla jeho rychlost velikost v = 4·105 m·s−1 . Úkoly: 1. Nakreslete vektor ~v bodě P ; 2. Dokažte, že proton se pohybuje po kružnici rovnoměrně; 3. Dokažte, že uvedený pohyb je možný; 4. Určete magnetickou sílu F~m ~ 6. Srovnejte sílu F~m s tíhou protonu. působící na proton během pohybu; 5. Určete B; P-18 Řešte úkoly příkladu 17 za předpokladu, že se uvedeným způsobem pohybuje jednou ionizovaný atom helia.

1.5 1.5.1 ?

1.5.1.1

Časově proměnné elektromagnetické pole Elektromagnetická indukce Základní jevy

Elektromagnetickou indukcí se nazývají dvě skupiny jevů, a to: 108


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE

ò ç ~B ~B

r O

Obrázek 1.147

P

Obrázek 1.148

1. Jevy A: Pohybuje-li se vodič — např. kus drátu nebo cívka — ve stálém magnetickém poli v inerciální vztažné soustavě (obr. 1.149), působí na jeho náboje (volné i vázané) ~ Zde ~v je rychlost té části vodiče, o níž uvažujeme. Volné Lorentzova síla F~L = Q(~v × B). náboje se ve vodiči vlivem síly F~L přeskupí. Netvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V1 v obr. 1.149), rozloží se náboje na jeho povrchu a vytvoří elektrické pole v jeho vnitřku i v jeho okolí. Je-li v c, kde c je rychlost světla ve vakuu, je toto pole přibližně elektrostaç1 F ~ L = Q(`v Ð~B) ` B ~ = konst ~B

z

I=konst

`v

`v

V1 Q magnet

V2 v klidu

O x

B ~

Q Ii

~FL y

ç2<ç1 V1 a V2 v pohybu Obrázek 1.149

tické a má potenciál. V důsledku toho mají různá místa vodiče V1 různé potenciály. Tvoří-li pohybující se vodič uzavřený obvod (smyčka V2 v obr. 1.149), pohybují se jeho volné náboje vlivem Lorentzovy síly vzhledem k vodiči po celou dobu jeho pohybu. Ve vodiči (smyčce, cívce) vzniká proud, který se nazývá indukovaný. Poznámky: 1. Takto vzniká např. napětí na svorkách cívky, navinuté na otáčejícím se rotoru elektrického generátoru. Je-li cívka rozpojena, neprochází jí proud. Připojíme-li k jejím svorkám spotřebič (tj. vodič), bude vzniklým obvodem procházet indukovaný proud. 2. Rychlost různých míst vodičů V1 , V2 (obr. 1.149) je obecně různá, vodič se může i deformovat atd.

2. Jevy B: Je-li v inerciální vztažné soustavě vytvořeno proměnné magnetické pole, např. pohybujícím se magnetem M nebo cívkou C, v níž se mění proud (obr. 1.150), vzniká současné všude i elektrické pole, které se nazývá indukované (srov. část 1.4.1). Jeho c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

109

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ i . Je-li v tomto poli klidný vodič (vodič V1 , V2 v obr. 1.150), působí intenzitu označíme E ~ i od indukovaného pole. Volné náboje se na jeho náboje elektrická síla F~e = QE vlivem této síly ve vodiči posunou. Netvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V v obr. 1.150) 1 rozloží se náboje na jeho povrchu a vytvoří vlastní elektrostatické pole, zcela analogicky jako vodič V1 v obr. 1.149. Tvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V2 v obr. 1.150), vznikne ~ i indukovaný proud. v něm vlivem elektrické síly od indukovaného pole E ç1 ~B(t) ~Ei =~ 0 z magnet Ii Q V1 Q ~Fe = Q~Ei V2 ~Fe = Q~Ei v pohybu ~Ei ~Ei

O

I(t)

ç2>ç1

x

V1 a V2 v klidu

y

Obrázek 1.150 Poznámky: Takto vzniká např. napětí na svorkách sekundáru transformátoru. Připojíme-li k nim spotřebič, bude vzniklým uzavřeným obvodem procházet indukovaný proud.

3. Obecný jev elektromagnetické indukce Pohybují-li se vodiče V1 , V2 v proměnném magnetickém poli, probíhají oba jevy A, B současně (obr. 1.151). Na volný náboj Q v bodě ~ a elektrická síla F~e = QE ~ i , kde P vodiče působí současně Lorentzova síla F~L = Q(~v × B) ~ i je intenzita indukovaného elektrického pole. Celková síla působící na náboj Q je E ~ + QE ~i. F~ = F~L + F~e = Q(~v × B)

(1.139)

~ magnetickou indukci v bodě P , E ~ i intenzitu indukovaného elektrického pole Zde značí: B v bodě P , ~v rychlost vodiče v bodě P ; Q náboj volné částice. Ve vodiči V1 se náboje opět rozdělí, vznikne elektrostatické pole a různá místa vodiče nabudou různých potenciálů. Ve vodiči V2 vznikne indukovaný proud. z ~ =F ~ e+F ~ L ~F = ~Fe + ~FL N C F

P

~Fe V1

I(t)

Q

F ~ l Q

P

V2

`v M O x

M N

`v B ~ (t), E ~ i

V1 a V2 v pohybu

y

Obrázek 1.151

110


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 1.5.1.2

Definice indukovaného elektromotorického napětí Ei

Obecná definice elektromotorického napětí Es v orientovaném vodiči M N (obr. 1.151, vodič V1 ) je dána vztahem (1.77)a, tj. Es = AM →N /Q, kde AM →N je práce neelektrostatických sil při přechodu náboje Q z bodu M do bodu N vnitřkem vodiče. Síla F~ , daná vztahem (1.139), je neelektrostatická, neboť F~L je magnetická a F~e je sice elektrická, nikoliv však elektrostatická. Tedy A1→2 ve vztahu (4.2-15a) je v našem případě práce síly F~ . Elektromotorické napětí se v tomto případě nazývá indukované a značí se Ei . Je definováno vztahem Z Z i AM →N 1 Nh 1 N ~ ~ ~ + QE ~ i ·d~r, Ei = (FL + Fe )·d~r = = Q(~v × B) Q Q M Q M tj. Z Ei =

Nh

i ~ +E ~ i ·d~r. (~v × B)

definice indukovaného elektromotorického napětí

(1.140)

M

Diskuse: 1. Tvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V2 v obr. 1.151), je M ≡ N . V definičním vztahu (1.140) je pak integrační obor uzavřená křivka. 2. Jednotka [Ei ] = volt. 3. Zvláštní případy: ~ konstantní (tj. s časem neměnné) a elektrická složka • při indukčním jevu A (obr. 1.149) je B ~ nevzniká, tj. platí Ei = ~0. V integrandu ve vztahu (1.140) je nenulový pouze první člen; • při indukčním jevu B (obr. 1.150) jsou vodiče V1 , V2 v klidu, tedy ~v = ~0. V uvedeném integrandu je nenulový pouze druhý člen. Indukovaný proud Ii , který vzniká v uzavřených vodičích (V2 v obr. 1.149, 1.150, 1.151), je dán obecným vztahem (1.88), který má v tomto případě tvar Ii =

Ei . R

indukovaný proud

(1.141)

Zde Ei je indukované elektromotorické napětí, dané vztahem (1.140) a R je celkový odpor obvodu. Je-li např. obvod V2 v obr. 1.149 z nevodivého materiálu, indukované elektromotorické napětí v něm vzniká, indukovaný proud však nikoliv. V mnoha technicky důležitých situacích nelze indukované elektromotorické napětí určit na základě definičního vztahu (1.140), lze však užít důležitého výsledku, nazývaného Faradayův zákon elektromagnetické indukce (rovnice (1.147)). V dalším probereme některé indukční jevy a jejich zákonitosti podrobněji. 1.5.1.3

Indukční jevy ve vodičích, pohybujících se v časově neměnném magnetickém poli

Při pohybu vodičů v časově neměnném magnetickém poli působí na jejich volné náboje Lorentzova síla, nikoliv však elektrická síla od indukovaného pole, nebo v časově neměnném magnetickém poli indukované elektrické pole nevzniká. Indukované elektromotorické napětí ve vodiči je ~ i = ~0. dáno vztahem (1.140), v němž je E 1. Lineární přímočarý vodič pohybující se v homogenním magnetickém poli Budeme uvažovat např. o tenké přímé kovové tyči délky 1, která se pohybuje stálou rychlostí ~v v homogenním magnetickém poli podle obr. 1.152a v inerciální vztažné soustavě Oxyz. Vektor c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

111

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~ míří za nákresnu, rychlost ~v (v c) je orientována shodně s Oz. Na volné elektrony vodiče B ~ která je orientována opačně než Oy. Téměř okamžitě po působí Lorentzova síla F~L = −e(~v × B), začátku pohybu se volné náboje v tyči vlivem síly F~L nepatrné posunou a částečně vystoupí na ~ které je, vzhledem povrch rodiče. Tím vznikne uvnitř i vně vodiče elektrické pole o intenzitě E, k předpokladu v c, velmi přibližně elektrostatické. Vlivem síly od tohoto pole se přestanou elektrony ve vodiči přesunovat. Vznikne rovnovážný stav, při němž výsledná síla působící na volné elektrony je nulová, tj. platí ~ − eE ~ = ~0, ⇒ E ~ = (~v × B). ~ F~v = F~L + F~e = −e(~v × B) V obr. 1.152b jsou naznačeny elektrické siločáry vzniklého elektrostatického pole, které je v tyči T homogenní. Indukované elektromotorické napětí v tyči, které je orientována od P1 k P2 , je dáno vztahem (1.140), kde E~i =~0, tj. vztahem Z

P2

Ei =

~ r= (~v × B)·d~

Z

P2

~ cos βds = |~v × B|

Z

vB cos βds = vBl cos β = vBl sin α. P1

P1

P1

P2

Napětí elektrostatického pole mezi body P1 , P2 vodiče je rovno Z P2 Z P2 ~ ~ r = −ε1 = −vBl sin α. U1,2 = ϕ − 1 − ϕ2 = E·d~r = −(~v × B)·d~ P1

P1

V situaci, naznačené na obr. 1.152a je Ei > 0, ϕ1 < ϕ2 . Dotýká-li se pohybující se tyč ve dvou vodivých kluzných kontaktech K1 , K2 (obr. 1.153) nepohyblivého vodiče V , který má naznačený tvar, přesune se vlivem elektrického pole, buzeného náboji tyče, část volných nábojů z tyče T do vodiče V a naopak, takže ve vodiči V vznikne rovněž elektrostatické pole. Současně se elektrostatické pole v tyči poněkud zeslabí a Lorentzovy síly převládnou nad elektrickými. Celým obvodem začne procházet indukovaný proud I, který je dán obecným vztahem Ii = Ei0 /R, kde Ei0 je elektromotorické napětí indukované v obvodu. Ježto v klidném vodiči se elektromotorické napětí neindukuje, platí Ei = Ei , kde Ei je indukované elektromotorické napětí v tyči. Předpokládáme-li, že elektrický odpor vodiče V a kontaktů K1 , K2 je zanedbatelně malý, je Ii = Ei /(RT + R1 + RA ).

y

~(`v Ð~B)

P2 , ç2

~Fe = -e~E T

Q = -e

T ~B

Q = -e ~E detail

P1 , ç1 ~FL = Q(`v Ð~B) tyč v pohybu z

O

a)

b)

x

Obrázek 1.152 2. Vztah mezi indukovaným elektromotorickým napětím Ei a magnetickým indukčním tokem φ Hlavním cílem této části je dokázat platnost vztahu (1.144), tj. i vztahu (1.147), v případě naznačeném v obr. 1.154. Uvažujme o kruhové vodivé smyčce C o poloměru r, která v některém okamžiku t0 vykonává v inerciální vztažné soustavě Oxyz translační pohyb rychlostí v magnetickém poli tyčového 112



A

y

R1 K2

l

~B

Ii

B

~`v =~ 0

T

A

`v0

RA

Ii O D

K1

C

V

x Obrázek 1.153

magnetu M v poloze naznačené na obr. 1.154. Střed smyčky se pohybuje po ose magnetu. Indukované elektromotorické napětí ve smyčce, kterou orientujeme podle náčrtku, je, podle definice (1.140), dáno vztahem I ~ r. Ei = (~v × B).d~ C

~ všude směr tečny ke křivce C a velikost |~v × B| ~ = Vzhledem k symetrii má vektor ~v × B vB sin α, takže dostáváme I I ◦ ~ Ei = |~v × B| cos 0 ds = vB sin α ds = 2πrvB sin α. (1.142) C

C

Toto indukované napětí lze vyjádřit ve tvaru (1.144). Důkaz: Magnetický indukční tok φ orientovanou smyčkou C, definovaný v odst. 1.4.4, se s časem mění, neboť křivka C se pohybuje v nehomogenním magnetickém poli. Je tedy funkcí času, φ(t). Nechť v okamžiku t1 je smyčka v poloze C1 (t1 ) (obr. 1.155) a indukční tok nechť je φ1 . V pozdějším okamžiku t2 = t1 + ∆t, kde ∆t je velmi malé, je smyčka v poloze C2 a indukční tok je φ2 = φ1 + ∆φ, kde jsme označili ∆φ = φ2 − φ1 . Indukční tok φ1 orientovanou křivkou C1 je (podle definice) roven indukčnímu z v klidu r ~B M S N `v o

C

(`v Ð~B) x

y

O Obrázek 1.154

toku plochou S 0 = V + S2 , kde V je válcová ploha ohraničená křivkami C1 C2 , neboť pro plochu S 0 , podobně jako pro plochu S1 , je křivka C1 okrajem. Platí tedy φ1 = φV + φ2 , kde φ1 je indukční tok tok válcovou oblinou V . Dostáváme X X ∆φ(= φ2 − φ1 ) = −φV = Bn dS = −Bn ∆S = −(B sin α)2πrv∆t. (1.143) V

Srovnáním vztahů (1.142), (1.143) vychází Ei = −

∆φ . ∆t


(1.144) 113

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS dφ , dt kde dφ/dt je derivace funkce φ(t). Lze dokázat, že výsledek (1.144) platí obecně při libovolném pohybu libovolného uzavřeného orientovaného obvodu v časově neměnném magnetickém poli. Diskuse vztahu (1.144) je zahrnuta v diskusi vztahu (1.147), jehož je vztah (1.144) vzláštním případem. V limitě pro ∆t → 0 je Ei =

1.5.1.4

Indukční jevy v nepohyblivých vodičích

V časově proměnných magnetických polích vznikají indukční jevy tím, že v nich vzniká indu~ i . Na volné nabité částice vodičů působí elektrická síla F~e = QE ~i. kované elektrické pole E Tvoří-li vodič uzavřený obvod, vzniká v něm indukovaný proud. Jestliže se vodič nepohybuje, nepůsobí na jeho náboje Lorentzova síla a indukované elektromotorické napětí Ei je dáno vztahem ~ = ~0. (1.140), v němž Q(~v × B)

~ n V B

B ~ S2 n ` 2

S1

C1(t1)

v t Obrázek 1.155

C2(t2)

1. Nepohyblivá kruhová smyčka v proměnném magnetickém poli Vyšetřeme znovu jev, diskutovaný v předešlé části, znázorněný na obr. 1.154. Tentokrát však jej budeme zkoumat v inerciální vztažné soustavě O0 x0 y 0 z 0 , která se pohybuje vzhledem k soustavě Oxyz (tj. vzhledem k magnetu) stálou rychlostí ~v , v c (obr. 1.156). V této soustavě

z'

~B(t)

~B

v pohybu S

N ù = -`v O' x'

C1

C2

C ~Ei

~Ei ~B(t)

o

~Ei =~ 0

y'

Obrázek 1.156 je smyčka v okamžiku t0 v klidu, magnet se pohybuje rychlostí ~u = −~v , V soustavě O0 x0 y 0 z 0 je ~ 0. magnetické pole proměnné a vzniká v něm indukované pole elektrické, jehož intenzita je E 0 0 0 0 0 0 ~ ~ Vektory E a B v soustavě O x y z jsou dány vztahy (1.102), tj. ~ 0 = −~u × B ~ 0 = ~v × B ~ 0, B ~ 0 = B. ~ E ~ 0 má směr tečny ke smyčce, kruhová smyčka tedy splývá s elektrickou siločárou Vektor E ~ 0 , působící na volný náboj vodiče, je indukovaného elektrického pole. Elektrická síla F~e = QE 114


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE stejná jako Lorentzova síla F~L , která na něj působí v soustavě Oxyz. Je to, samozřejmě, jedna a tatáž síla, v jedné soustavě (Oxyz) je to však síla Lorentzova, v druhé (0’x’y’z’) síla elektrická. Elektromotorické napětí Ei indukované ve smyčce je I I I ~ i ·d~r = ~ 0 ds = ~ Ei0 = E E |~v × B|ds = Ei , C

C

C

tj. je opět dáno vztahem (1.142). Indukční tok smyčkou, φ0 = φ, se nyní mění nikoliv vlivem ~ 0 v soustavě 00 x0 y 0 z 0 . Je zřejmé, že opět platí pohybu smyčky, nýbrž vlivem měnícího se B Ei0 = −

dφ0 dφ =− . dt dt

(1.145)

Diskuse: Podobně jako elektrická siločára splývající se smyčkou C, mají i ostatní elektrické siločáry indukovaného elektrického pole, buzeného pohybujícím se magnetem (obr. 1.156), tvar kružnic, jejichž středy leží na ose magnetu. V obr. 1.156 jsou naznačeny dvě, C1 , C2 . Na rozdíl od pole elektrostatického, jehož elektrické siločáry nejsou nikdy uzavřené, má indukované elektrická ~ 0 ·d~r 6= 0, má na ní tento pole siločáry uzavřené. Ježto na elektrická siločáře C platí vždy E součin stálé znaménko a platí vždy I ~ 0 d~r = 0. E (1.146) C

Indukovaé elektrické pole tedy není potenciální, nýbrž vírové (srov. odstavec 1.2.2). Ukazuje se, že vztah (1.145) platí zcela obecně pro jakékoliv indukované elektrické pole a pro nepohyblivý uzavřený obvod libovolného tvaru. 2. Příklady vzniku indukovaného elektromotorického napětí v proměnném magnetickém poli a) Zapalováni v motoru (obr. 1.157). Při rozpojení kontaktů přerušovače se změní v obvodu cívky Cl proud. Tím se změní magnetické pole a současně vzniká indukované pole elektrické ~ i . Toto pole působí na elektrony cívky C2 tak, že se elektrody svíčky S nabijí o intenzitě E a nabudou vysokého napětí U = |ϕ1 −ϕ2 |. V prostoru mezi svíčkami vznikne elektrostatické . ~ E= ~ velké pole o intenzitě E, |ϕ1 − ϕ2 |/d, kde d je vzdálenost elektrod. Je-li d malé, je E a dojde k průrazu vzduchu — mezi elektrodami přeskočí jiskra. I(t) C1 C2 S

¥i ~B(t) baterie přerušovač

ç1 ç2

Obrázek 1.157 b) Transformátor. Při změně proudu v cívce C1 , navinuté na železném jádře, vzniká v jádře ~ proměnné magnetické pole o indukci B(t) (obr. 1.158) a v celém prostoru současně vzniká indukované pole elektrické. Pokud je jádro vodivé, působí na jeho volné částice sila F~ = ~ i a v jádře vznikají tzv. vířivé proudy. Je-li na jádře navinuta další cívka C2 (např. QE sekundární cívka transformátoru), indukuje se v ní napětí Ei , dané vztahem (1.140), v němž se integruje podél všech závitů cívky C2 . S rostoucím počtem závitů roste Ei . Elektrické pole vzniká i v mezeře jádra. Poznamenejme, že jsme zde připomněli pouze fyzikální podstatu činnosti transformátoru. Skutečné transformátory mají uzavřená jádra konstruovaná tak, aby se omezil vznik vířivých proudů. c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

115


indukční čára

~Ei C2

I(t) C1

el. siločára Obrázek 1.158

1.5.1.5

C

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Ukazuje se, že výsledky, které jsme získali při rozboru předešlých jednoduchých dějů, platí i při mnohem obecnějších dějích. Obecný zákon elektromagnetické indukce vyslovuje tzv. Faradayův zákon elektromagnetické indukce. Faradayův indukční zákon: V každém uzavřeném vodivém obvodu, který se pohybuje, nebo je v klidu. v proměnném nebo stálém magnetickém poli, se indukuje elektromotorické napětí a indukovaný proud. Indukované elektromotorické napětí Ei v orientovaném obvodu souvisí s indukčním tokem φ orientovaným obvodem vztahem Ei = −

dφ . dt

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

(1.147)

[volt = weber·sekunda−1 ] . Diskuse: 1. Vztah (1.147) není definiční vztah pro Ei , tím je vztah (1.140). Vztah (1.147) udává pouze souvislost mezi Ei a změnou φ. 2. Ze vztahu (1.147) je zřejmé, že indukované elektromotorické napětí vzniká jen při takovém pohybu vodiče a při takových změnách pole, při nichž se mění indukční tok φ. Při translačním pohybu obvodu v homogenním magnetickém poli je Ei = 0 přesto, že φ je velké (obr. 1.159a). Při rotačním pohybu cívky (obr. 1.159b) je naopak v naznačené poloze φ = 0, avšak |dφ/dt| je velké, tedy Ei je velké. Indukční tok válcovou cívkou o N závitech v homogenním magnetickém poli je φ = N φ1 , kde φ1 je indukční tok jedním závitem (obr. 1.159c). 3. Obvod, v němž vzniká elektromotorické

~B = konst. `v

¸ = konst.¸ = 0 %¸ = 0 ¥i = 0 ¥i = 0 %t a) b)

¸ = 3¸0 c)

Obrázek 1.159 napětí, nemusí být sám v magnetickém poli. Např. v místech smyčky C obepínající jádro v němž 116


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE ~ = ~0, avšak Ei 6= 0, neboť φ 6= konst. Z definice je proměnný indukční tok (obr. 1.158), je B ~ i . Zcela analogická elektromotorického napětí plyne, že v místech smyčky vzniká elektrické pole E situace nastává např. také v sekundární cívce C2 transformátoru (obr. 1.158). 4. Indukovaný proud v obvodu, v němž není zařazen jiný zdroj elektromotorického napětí, je Ii = Ei /R. Je-li v obvodu další zdroj elektromotorického napětí, např. napětí ε1 , pak je Ii = (Ei + ε1 )/R. 5. Faradayův indukční zákon umožňuje určit s užitím vztahu (1.147) elektromotorické napětí někdy snáze než na základě definice (1.140) nebo i tehdy, když Ei pomocí definice určit nelze. 6. Význam znaménka, minus ve vztahu Ei = −dφ/dt. Tento vztah udává Ei v uzavřené orientované smyčce (obvodu). Chceme-li jej užít, musíme smyčku orientovat. Znaménko minus pak zajišťuje souhlas vypočtené a experimentálně zjištěné orientace indukovaného elektromotorického napětí, případně indukovaného proudu. Jako příklad uvažujme vodivou smyčku ~ které se zmenšuje. Orientujme ji, např. tak, jak je nav homogenním magnetickém poli B, ~ Bn = B, φ = Bn S = BS > 0, ∆φ < 0. Platí tedy značeno na obr. 1.160. Pak je ~n ↑↑ B, Ei = −dφ/dt > 0, což značí, že indukovaný proud Ii = Ei /R, kde R je odpor smyčky, jde ve směru, který udává orientace smyčky. Kdybychom orientovali smyčku opačně, bylo by Bn < 0, ∆φ > 0, Ei < 0. Indukovaný proud by procházel ve směru opačném než by udávala nová orientace smyčky, tj. ve stejném směru jako dříve. Úkol: Proveďte diskusi děje, naznačeného na ~ se zvětšuje. 7. Lenzovo pravidlo. Je formulováno na konci obr. 1.160 za předpokladu, že |B|

elektromagnet

Ii ~B(t)

~Bi

orienace smyčky

C `n

~Ei

~B(t+ t) |~B| klesá Obrázek 1.160

tohoto odstavce. Provedeme úvahu, která k němu vede. Při ději, znázorněném na obr. 1.160, vzniká indukovaný proud Ii takového směru, že jím vytvořené magnetické pole má v prostoru ~ i orientován shodně s vektorem B. ~ Vektor indukce výsledného magneticplochy smyčky vektor B ~ ~ ~ ~ kého pole je Bv = B + Bi a platí Bv > B. Výsledné magnetické pole klesá pomaleji než pole B. ~ zvětšovalo, měl by proud Ii opačný směr, indukované magnetické pole B ~ i by mělo Kdyby se |B| ~ ~ ~ rovněž opačný směr, tj. směr opačný než B. Celkové pole B + Bi by rostlo pomaleji než pole ~ V obou uvažovaných případech má indukovaný proud takový směr, že jím vvtvořené B. ~ i zpomaluje (tj. částečně kompenzuje) tu změnu indukčního toku magnetické pole B φ smyčkou, s níž veličina Ei podle vztahu (1.147) souvisí. Tento výsledek platí zcela obecně, tj. v libovolném magnetickém poli při libovolné změně indukčního toku libovolným uzavřeným obvodem. Vyšetříme ještě jeden případ. Na obr. 1.161 je naznačena smyčka C s pohyblivou příčkou p délky l, pohybující se rovnoměrně doprava. Smyčka (nebo alespoň příčka p) je umístěna v časově neměnném magnetickém poli. Ve smyčce vzniká vlivem Lorentzovy síly, působící na náboje v části p a vlivem sil elektrostatického pole, vytvořeného přeskupenými náboji ve smyčce, in~ orientovaná opačně dukovaný proud Ii . Na příčku p působí pak Ampérova sila F~m = Ii (~l × B), než rychlost příčky, ~v . Tato síla pohyb brzdí. Má-li se příčka pohybovat rovnoměrně, musí na ni působit ještě další síly o výslednici F~vnj = −F~m . Síla F~vnj koná kladnou práci, která umožňuje vznik proudu Ii a vývin Jouleova tepla. Kdyby proud Ii procházel v opačném smyslu, půsoc 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

117

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS bila by v obr. 1.161 Ampérova síla směrem doprava, příčka by se pohybovala urychleně, získala by kinetickou energii a navíc by se vyvíjelo Jouleovo teplo, což by bylo v rozporu se zákonem o zachování a přeměně energie. Směr indukovaného proudu Ii je tedy takový, že zákon o zachování a přeměně energie zůstává v platnosti. Všechny tyto poznatky, které platí

Ii

p ~Fm

~Fvn `v

l ~B

Obrázek 1.161 zcela obecně ve všech případech elektromagnetické indukce, se často formulují v jediném tvrzení, které se nazývá Lenzovo pravidlo: Indukovaný proud má vždy takový směr, že jím vznikající magnetické pole a vznikající síly zpomalují a částečně kompenzují ty děje, které jsou příčinou jeho vzniku.

1.5.1.6

Jev vlastní a vzájemné indukce

Jev vlastní indukce Prochází-li elektrickým obvodem proud, vytváří v okolním prostoru magnetické pole (obr. 1.162). Jestliže se proud mění (např. změnou odporu R), mění se i magnetické pole a v oblasti obvodu vzniká indukované elektrické pole. V obvodu pak vzniká indukované elektromotorické napětí Ei , které je zvlášť velké tehdy, když je v obvodu zapojena cívka, která budí mohutné magnetické pole. Proud v obvodu pak nezávisí jen na elektromotorickém napětí ε1 baterie B, nýbrž i na indukovaném elektromotorickém napětí Ei . Tento jev se nazývá vlastní indukce.

~B ¥i ¥i

L

K1

G ¸1,2

~B I1

I R Obrázek 1.162

M

K2

Obrázek 1.163

Jev vzájemné indukce je znázorněn na obr. 1.163. Obvodem K1 procházející proud vytváří magnetické po-le, které zasahuje do oblasti, kde leží jiný vodič nebo obvod K2 . Změny proudu v K1 mají za následek vznik indukovaného elektromotorického napětí a (je-li vodič K2 uzavřený) indukovaného proudu v K2 . Tento jev se nazývá vzájemná indukce. Dva obvody, v nichž dochází k vzájemné indukci, se nazývají indukčně vázané. Vlastní indukčnost L Elektromotorické napětí Ei , indukované v obvodu na obr. 1.162, má velikost |Ei | = | dφ dt |, kde φ je funkce, udávající okamžitý indukční tok obvodem, vytvořený proudem I v obvodu. Indukční vlastnosti obvodu jsou charakterizovány fyzikální veličinou L, nazva118


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE nou buď vlastní indukčnost—nebo krátce indukčnost. K její definici pro určitý obvod (cívku) dojdeme takto: předpokládejme, že v okolí obvodu jsou jen neferomagnetické látky. Pak platí ~ ∼ I a φ ∼ I, kde φ je indukční tok obvodem, orientovaným ve směru proudu, vytvořený B proudem I. Poměr φ/I udaného obvodu (cívky) nezávisí na I, nýbrž jen na tvaru a rozměrech obvodu nebo cívky, na počtu jejích závitů a na vlastnostech prostředí. Veličina φ/I charakterizuje obvod z hlediska jeho indukčních vlastností. Definujeme tedy veličinu L, nazvanou vlastní indukčnost obvodu (cívky), vztahem L=

indukční tok obvodem, vytvořený proudem v obvodu proud v obvodu

tj. L=

φ . I

Definice vlastní indukčnosti

[henry = weber·ampér−1 ] Jednotkou L je 1 henry = 1 H = 1 Wb·A−1 . Mění-li se proud I, mění se φ a v obvodu s konstantním L vzniká indukované elektromotorické napětí dané vztahem (1.147), tj. Ei = −

dφ d(LI) dI =− = −L . dt dt dt

(1.148)

Ježto obvod je orientován ve směru proudu, pak při rostoucím proudu (dI/dt > 0) je jeho vzrůst zpomalován a při klesajícím proudu je zpomalován jeho pokles. Ze vztahu (1.148) plyne 1 volt = 1 henry·ampér·sekunda−1 . Cívky, užívané v laboratořích, mají L řádu 10−3 H. Magnetický indukční tok cívkou o N stejných závitech je φ = N φ1 . Z definičního vztahu L = φ/I a ze vztahů φ = BS, B = µ0 H, kde [H] = A·m−1 dostaneme: henry = Wb·A−1 = T·m2 ·A−1 ⇒ H·m−1 = T·(A·m−1 )−1 = [µ0 ], tj. [µ0 ] = H·m−1 . Tento výsledek jsme uvedli bez důkazu v odstavci 1.3.1. Užívané cívky mají často feromagnetická jádra. V tom případě neplatí φ ∼ I. Při malých změnách proudu, tj. pro I = Io + ∆I, kde |∆I| Io , platí přibližně ∆φ ∼ ∆I. Definujeme-li L vztahem L = ∆φ/∆I, závisí L na Io a platí Ei = −L(I0 ) dI dt . Vzájemná indukčnost M Dva magneticky (neboli indukčně) vázané obvody (cívky) jsou charakterizovány veličinou, nazvanou vzájemná indukčnost, nebo také součinitel vzájemné indukce, která se označuje M nebo L1,2 . Je definována takto: předpokládejme opět, že v okolí obvodů není feromagnetická látka. Prochází-li obvodem K1 (obr. 1.163)) proud I1 , vytváří magnetické pole, jehož indukční tok druhým obvodem (K2 ) označíme φ1,2 . Veličina, daná poměrem φ1,2 /I1 , nezávisí na I1 , nýbrž jen na počtu závitů, tvaru a vzájemné poloze obou obvodů. Uvažujme o jiném ději: nech prochází proud I2 závitem K2 . Indukční tok magnetického pole jím vytvořeného obvodem K1 označme φ2,1 . Poměr φ2,1 /I2 opět nezávisí na I2 a ukazuje se (teoreticky i experimentálně), že platí φ2,1 φ1,2 = . I1 I2 Tyto vlastnosti uvažované dvojice obvodů umožňují definovat vzájemnou indukčnost M obou obvodů jako veličinu, danou poměrem M=

indukční tok jedním obvodem, vytvořený prudem v druhém obvodu proud v druhém obvodu c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

, 119

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS tj. M=

φ . I

Definice vzájemné indukčnosti

[henry = weber·ampér−1 ] . Formálně je tento definiční vztah shodný s definičním vztahem pro L. Mění-li se proud I1 v jednom obvodu, vzniká v druhém obvodu indukované elektromotorické napětí εi2 , dané (za předpokladu M = konst.) vztahem εi2 = −

dI dφ = −M . dt dt

(1.149)

Typickým příkladem indukčně vázaných obvodů jsou primár a sekundár transformátoru. 1.5.1.7

Energie magnetického pole, Wm

A

B I C

D K Obrázek 1.164

Připojíme-li ke zdroji elektromotorického napětí cívku (obr. 1.164), proud v obvodu narůstá postupně. V této fázi děje se energie, dodávaná zdrojem do obvodu, jen částečně přeměňuje v tepelnou energii (Jouleovo teplo), zbytek energie se spotřebuje na vytvoření magnetického pole v oblasti obvodu a to zejména kolem cívky. Jestliže naopak zdroj vyřadíme klíčem K, bude po krátkou dobu v uzavřeném obvodu ABCD procházet proud dál v naznačeném směru a bude se tedy dále vyvíjet Jouleovo teplo. V této fázi vrací zanikající magnetické pole energii zpět do obvodu. I z řady jiných pokusů, jako je např. přenos energie elektromagnetickými vlnami, plyne, že elektromagnetická pole a jeho složky — pole elektrické a magnetické — mají energii. 1. Energie magnetického pole vytvořeného proudem I v oblasti obvodu o vlastni indukčnosti L. V obvodu na obr. 1.165 je klíč nejprve rozpojen a v okamžiku t = 0 je sepnut. V tomto okamžiku je proud nulový, I = 0 a magnetické pole je rovněž nulové. Proud postupně narůstá a jeho okamžitá hodnota I(t) (při orientaci obvodu podle obr. 1.165) souvisí s elektromotorickým napětím zdroje ε a s indukovaným elektromotorickým napětím Ei vztahem dI ε + Ei = (R + R0 )I, tj. ε = (R + R0 )I + L . dt Násobením poslední rovnice proudem I(t) se dostane rovnice

L

¥, R0

R

I(t)

Obrázek 1.165

120


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE εI = (R + R0 )I 2 + LI

dI , dt

jejíž jednotlivé členy mají tento energetický význam: člen εI na levé straně rovnice je okamžitý výkon, se kterým pracuje zdroj; na pravé straně rovnice je (R + R0 )I 2 výkon, se kterým se vylučuje teplo v obvodu. Rozdíl εI − (R + R0 )I 2 je zřejmě výkon, se kterým přechází energie do vznikajícího magnetického pole. Označíme-li energii magnetického pole Wm , pak pro tuto veličinu, která je funkcí času, platí d dI Wm = εI − (R + R0 )I 2 = LI . dt dt Celková energie ∆Wm , dodaná poli od okamžiku sepnutí t = 0 do jistého okamžiku t0 > 0, kdy proud má hodnotu I0 , je dána vztahem Z

t0

∆Wm = 0

dI LI dt = dt

Z 0

I0

1 LIdI = LI02 . 2

Ježto pro t = 0 bylo Wm = 0, je energie magnetického pole v okamžiku, kdy prochází proud I, dána vztahem 1 Wm = LI 2 . 2

energie magnetického pole

(1.150)

[joule = henry·ampér2 ] 2. Hustota energie magnetického pole wm . Tato veličina, je definována vztahem wm = ∆Wm /∆V , kde ∆Wm je energie magnetického pole obsažená v malém elementu o objemu ∆V . Určí se podobně jako hustota energie elektrického pole we (rovnice (4.1-46)), která se určila tak, že se vyšetřovala energie nabitého deskového kondenzátoru, vyznačujícího se tím, že a) elektrické pole v kondenzátoru je přibližně homogenní, b) jeho kapacitu C lze vyjádřit pomocí jeho objemu. Analogický magnetický prvek je štíhlý, husté vinutý toroid, vyznačující se tím, že ~ = konst., a) magnetické pole v jeho vnitřku má všude stejnou velikost, |B| b) jeho vlastní indukčnost L lze vyjádřit pomocí jeho objemu. Ze vztahu (1.150) a z definičního vztahu pro wm pak plyne vztah wm = HB/2, analogický vztahu we = ED/2 (viz rovnice (1.61)).

1.5.2 1.5.2.1

Maxwellova teorie elektromagnetického pole Magnetomotorické napětí v obecném poli, εm . Maxwellův proud

Obsahem této části je vyvození a diskuse zákonitostí a vztahů analogických ke vztahům, vyjadřujících zákon elektromagnetické indukce v nepohyblivých vodičích. Hlavní výsledek tohoto odstavce je rovnice (1.158). Dojdeme k ní takto: Všude tam, kde se mění magnetické pole, vzniká i pole elektrické (viz odstavec 1.4.1). Schematicky: ~ = B(t) ~ ~ 6= ~0 → existuje E B (1.151) c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

121

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Je-li C libovolná orientovaná křivka, nepohyblivá v inerciální vztažné soustavě Oxyz a je-li S orientovaná plocha, kterou má křivka C za okraj (obr. 1.166), pak platí: Ei = − dφ dt , tj. Z

~ · d~r = − d E dt C

ZZ

~ · ~ndS = B

ZZ −

~ ∂B · ~ndS, ∂t

(1.152)

S

S

kde Ei je elektromotorické napětí v křivce C a φ je magnetický indukční tok plochou S. Ukážeme, z

C

S %`r

~E `n

`n x

~B(t) y

0 Obrázek 1.166

že mezi vektory elektromagnetického pole existuje vztah, který je analogický ke vztahu (1.151), avšak v jistém smyslu „převrácenýÿ. Mění-li se totiž v některé oblasti pole elektrické, existuje tam i pole magnetické. Schematicky: ~ = E(t) ~ ~ = → existuje B E 6 ~0.

(1.153)

Podobnost vztahů (1.151) a (1.153) je zřejmá. V dalším vyvodíme vztah (1.158), který je podobný vztahu (1.152). Uvažujme o bodovém náboji Q, který se pohybuje rychlostí ~v (v c) ve vakuu (nebo přibližně ve vzduchu) v inerciální vztažné soustavě Oxyz směrem ke kruhové orientované smyčce C o poloměru r podle obr. 1.167. Uvažujme o integrálu (4.1-39a), tj.

z

¸eV ¸e2=¸'e2+¸eV

n `

¡

`n Q,t1 `v v¾t

C'

C ¸e1

Q,t2

S x

y

~D=¥0~E

B ~

'

¸ e2=¸e1

v¾t

Obrázek 1.167 ZZ ψ=

~ ndS, D·~

(1.154)

vztaženém k uzavřené ploše sestavající ze dvou kruhů ohraničených kružnicemi C, C 0 a z válcové plochy V . Z Gaussova zákona (4.1-39) plyne ψ = 0. Odtud a z obr. 1.167 plyne: Označíme-li ψ1 , ψ2 elektrické indukční toky kruhem obraničeným křivkou C v okamžicích t1 , t2 = t1 + ∆t, kde ∆t je velmi malé, je zřejmé, že platí ψ2 > ψ1 a že rozdíl ψ2 − ψ1 = ∆ψ je právě elektrický indukční tok ψV válcovou plochou ohraničenou křivkami C, C 0 . Na této válcové ploše je zřejmě 122


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE ~ do normály konstantní, takže platí průmět vektoru D ZZ ~ · ~ndS = ~n · DS ~ V = (D sin α) · 2πrv∆t, ψV = D vlec

takže

∆ψ ψ2 − ψ1 ψV = = = 2πrvD sin α. ∆t ∆t ∆t

(1.155)

~ je dán vztahem (1.104), Pohybující se náboj Q vytváří i magnetickou složku pole. Vektor B tj. platí ~ = 1 (~v × E) ~ ⇒B ~ = 1 vE sin α. B c2 c2 Magnetomotorické napětí v orientované křivce C je I I I 1 1 1 ~ ~ εm = H · d~r = B · d~r = Bds = 2πrvE sin α. (1.156) µ0 C µ0 C µ0 c2 C ~ = µ0 H, ~ D ~ = ε0 E, ~ µ0 = 1/(ε0 c2 ), Srovnáme-li vztahy (1.155), (1.156) a užijeme-li vztahů B dostaneme v limitě pro dt → 0 vztah I

I

~ · d~r = dψ , H dt C

tj.

~ · d~r = d H dt C

ZZ

~ · ~ndS = D

S

ZZ

~ ∂D · ~ndS. ∂t

(1.157)

S

Je zřejmé, že vztahy (1.152), (1.157) jsou zcela analogické. Platnost vztahu (1.157) jsme dokázali pro situací, naznačenou na obr. 1.167. Ukazuje se však, že vztah (1.157) je platný obecně, tj. pro jakékoliv pole a pro jakoukoliv pevnou křivku C, pokud plocha S neprotíná místa, kterými procházejí makroskopické proudy. Jsou-li poblíž smyčky makroskopické proudy, přispívají rovněž k vytvoření magnetického pole i k hodnotě magnetomotorického napětí (viz rovnice (1.134)), takže platí I

~ · d~r = H

C

ZZ

X ~ ∂D ·~ndS + Ik , ∂t

(1.158)

S

D ~ (t),~H

~H %`r

I ìM = ¼~D ¼t Obrázek 1.168 n `

P kde Ik je algebraický součet proudů jdoucích plochou S viz odstavec 1.4.4, obr. 1.132 a obr. 1.168). Ze vztahu (1.158) je P zřejmé, že na vytvoření magnetického pole (tj. na hodnotě ~ se podílejí jak proudy vektoru H) Ik , tak veličina daná integrálem na pravé straně vztahu (1.158). Tento integrál se nazývá Maxwellův proud a vektor i~m = ∂D/∂t hustota Maxwellova proudu na paměť fyzika J. C. Maxwella, který uvedené zákonitosti elektromagnetického pole formuloval. Elektrický proud, způsobený pohybem nabitých částic, se v této souvislosti někdy nazývá „vodivýÿ proud. Hlavní význam vztahu (1.158) je v tom, že c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

123

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 1. Ukazuje, že při každé změně elektrického pole vzniká i pole magnetické a že Maxwellův proud je z hlediska vzniku magnetického pole ekvivalentní proudu vodivému. 2. Ze vztahu (1.158) a z několika ostatních základních vztahů, které jsme v textu uvedli, vyplývá, že elektromagnetické pole se může šířit rychlostí světla, tj. že mohou existovat elektromagnetické vlny. Tento výsledek, který získal Maxwell, ještě před experimentálním zjištěním existence elektromagnetických vln, znamenal mezník ve sdělovací elektrotechnice i v poznání elektromagnetické povahy světla. 3. Při úvaze, vedoucí ke vztahu (1.158), jsme předpokládali, že jevy probíhají ve vakuu. Ukazuje se však, že vztah (1.158) platí zcela obecně i v přítomnosti libovolných látek (viz následující odstavec). 1.5.2.2

Maxwellovy rovnice

Vztahy a zákonitosti, které se uplatňují v elektromagnetických jevech, jež jsme vyšetřovali, nejsou na sobě obecně nezávislé. Např. z Coulombova zákona vyplývá Gaussúv zákon a naopak lze ukázat, že z Gaussova zákona, vyplývá zákon Coulombův. J. C. Maxwell ukázal, že všechny zákony a výsledky teorie elektromagnetického pole, která se dnes nazývá „klasickáÿ, lze odvodit jako důsledek několika základních obecných zákonů. Tyto obecné zákony, společně se všemi teoretickými důsledky z nich plynoucími, tvoří tzv. Maxvellovu teorii elektromagnetického pole. Vztahy, jimiž jsou tyto obecné zákonitosti matematicky formulovány, se nazývají Maxwellovy rovnice. Všechny vztahy a rovnice zde již byly uvedeny a vyšetřeny, nyní je shrneme. Nechť elektromagnetické pole, vytvořené náboji Q a proudy I~ v libovolném prostředí —

`n

`n Q S1

Q1 I2

I1 `n

`n

`n `n

Q2

C

S2

Obrázek 1.169 obsahujícím obecně vodiče, dielektrika atd., je v inerciální vztažné soustavě Oxyz charakterizo~ ~ B, ~ H. ~ Nechť S1 je libovolná uzavřená plocha orientovaná vnější váno vektory E(x, y, z; t), D, normálou a nechť C je libovolná pevná uzavřená orientovaná křivka (obr. 1.169). Pak platí: Hlavní Maxwellovy rovnice 1. Zákon magnetomotoriokého napětí (I. Maxwellova rovnice) I

X ~ · d~r = dψ + H I, dt C

(1.159)

kde ψ je elektrický indukční tok plochou S2 , která má křivku C za okraj, definovaný vztahem (1.154), vizProvnice (1.158). Integrálem na levé straně je definováno magnetomotorické napětí. Součet I je algebraický součet proudů, které procházejí plochou S2 . 124


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 2. Zákon elektromagnetické indukce (II. Maxwellova rovnice) I ~ · d~r = − dφ , E dt C

(1.160)

kde φ je magnetický indukční tok křivkou C, definovaný vztahem (1.130), viz rovnice (1.147). Integrálem na, levé straně je definováno Ei , viz rovnice (1.140). 3. Gaussův zákon pro elektrické pole (III. Maxwellova rovnice) ZZ X 0 ~ · ~ndS = D Q,

(1.161)

S1

P kde 0 Q je algebraický součet „pravýchÿ (tj. nikoliv polarizací vzniklých) nábojů uvnitř plochy S1 (viz rovnice (1.53)). 4. Gaussův zákon pro magnetické pole (IV. Maxwellova rovnice) ZZ ~ · ~ndS = 0 B

(1.162)

S1

Uvedené čtyři vztahy se nazývají Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru nebo také „hlavní Maxwellovy rovnice v integrálním tvaruÿ. Názvu „integrálníÿ se užívá pro odlišení od diferenciálních rovnic, jež lze získat z těchto rovnic užitím vektorové analýzy. Vedlejší Maxwellovy rovnice K hlavním Maxwellovým rovnicím (1.159)–(1.162) se připo~ D), ~ (H, ~ jují tzv. vedlejší Maxwellovy rovnice, které udávají vztahy mezi dvojicemi vektorů (E, ~ ~ ~ B), (i, E) a vztah pro sílu, kterou působí elektromagnetické pole na bodový náboj. Tyto vztahy mají v různých látkách různý tvar. Jsou-li látky z elektromagnetického hlediska lineární v tom ~ ∼ E, ~ B ~ ∼ H, ~ ~i ∼ E, ~ což je případ nejčastěji se vyskytující, pak vedlejší smyslu, že platí D Maxwellovy rovnice mají tvar ~ = εr ε0 E, ~ B ~ = µr µ0 H, ~ ~i = γ E ~ D

(1.163)

~ + Q(~v × B), ~ F~ = QE

(1.164)

viz rovnice (1.56), (1.129), (1.70), (1.11). Jsou to tedy rovněž vztahy, které zde již byly uvedeny. Význam Maxwellových rovnic je v tom, že z nich lze deduktivním způsobem získat vztahy a zákonitosti, uplatňující se v různých oblastech elektrotechniky — v teorii elektrických sítí, ve sdělovací elektrotechnice, a to zejména v nauce o elektromagnetických vlnách atd. 1.5.2.3

Příklady — Časově proměnné magnetické pole

~ R-1 Tenká kovová tyč T se otáčí v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B ~ kolem osy o podle obr. 1.170. Úkoly: úhlovou rychlostí ω ~ ↑↑ B 1. Určete elektromotorické napětí indukované v úseku P1 P2 ; 2. Rozhodněte, který ze vztahů ϕ(P1 ) R ϕ(P2 ) platí; 3. Určete U = |ϕ1 − ϕ2 |. Řešení: c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

125


T

r2 %`r

r1

P2

v` Ð~B v`

P1

o

»

~B

Obrázek 1.170

~ i = ~0, platí: 1. Ei =? Orientujeme tyč od P1 ku P2 . Pak podle definice (1.140), kde E Z

P2

Ei =

~ · d~r, kde ~v ⊥ B, ~ (~v × B) ~ ↑↑ d~r, v = ωr. (~v × B)

P1

Odtud Z

P2

Ei =

Z

r2

ωrBdr =

vBdr = r1

P1

ωB 2 (r − r12 ). 2 2

2. ϕ1 R ϕ2 ? Podle rovnice (1.84), kde Is = 0 a Es = Ei , platí ϕ1 − ϕ2 = −Ei = −

ωB 2 (r − r12 ) < 0 ; 2 2

3. U =? U = |ϕ1 − ϕ2 | =

tedy ϕ1 < ϕ2 .

ωB 2 (r − r12 ). 2 2

R-2 Smyčka obdélníkového tvaru o stranách a, b rotuje v homogenním magnetickém poli o in~ úhlovou rychlostí ω ~ podle obr. 1.171. V okamžiku t = 0 měl úhel α hodnotu α0 . dukci B ~ ⊥B Určete (jako funkce času.) veličiny: 1. Indukované elektromotorické napětí εiAB v orientovaném úseku AB; 2. UAB = ϕA − ϕB ; 3. Indukované elektromotorické napětí Ei v orientované smyčce ABCDA s užitím definičního vztahu; 4. Určete Ei s užitím Faradayova indukčního zákona.

» ` D A n `

%~r v` Ð~B v` C

¡ B ~

a b

v` ¡ v` Ð~B B

v` Ð~B Obrázek 1.171 Řešení: 126


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE ~ i = 0, tedy 1. εiAB =? Užijeme definičního vztahu (1.140), kde E Z

B

εiAB =

~ r= (~v × B)·d~

A

Z

B

~ s ds = (~v × B)

Z

A

B

vB sin αds = vBa sin α. A

Přitom α = ωt + α0 , tedy ωb Ba sin(ωt + sin α0 ). 2

εiAB = vBa sin(ωt + α0 ) =

2. UAB (= ϕA − ϕB ) =? Úsek AB je vodič s elektromotorickým napětím. Podle vztahu (1.84) platí ϕA − ϕB + εiAB = RIs , kde Is = 0, tedy UAB = −εiAB . V poloze na obr. 1.171 je εiAB > 0, tedy UAB < 0, neboli ϕA < ϕB . 3. Ei =? — podle definice ~ i = ~0, je Podle definice (1.140), kde E Z Ei =

~ r= (~v ×B)·d~

ABCDA

Z

Z +

AB

Z +

BC

Z +

CD

Z =

DA

Z ~ (~v ×B)s ds+0+

AB

D

~ s ds+0 = 2εiAB , (~v ×B)

C

tj. Ei = ωab·B sin(ωt + α0 ) = ωSB sin(ωt + α0 ),

(1.165)

kde S = ab. ~ ↑↑ d~r, platného na AB a na CD a vztahu (~v ×B) ~ ⊥ d~r, Ve výpočtu jsme užili vztahu (~v ×B) platného na BC a na DA. 4. Ei =? — podle Faradayova zákona Podle Faradayova zákona, rovnice (1.147), je Ei = −dφ/dt, kde φ je indukční tok orientovanou smyčkou ABCDA. Ježto smyčka je rovinná a pole homogenní, je φ = S·B cos α = S·B cos(ωt + α0 ). Tedy Ei = −

dφ d = − [SB cos(ωt + α0 )] = +ωSB sin(ωt + α0 ), dt dt

což je výsledek shodný s výsledkem (1.165). Hlavní výsledek: Výsledek (1.165) lze psát ve tvaru Ei = εi0 sin(ωt+α0 ), kde εio = SBω = φ0 ω je amplituda napětí a φ0 maximální indukční tok smyčkou. Smyčka nebo cívka rotující v homogenním magnetickém poli je tedy zdrojem sinusového, tj. střídavého, napětí. P-1 Uzavřený vodivý obvod na obr. 1.172 je tvořen pevnou kovovou částí BCDA a kovovou tyči T délky l = 120 mm, která se pohybuje rovnoměrně rychlostí ~v , v = 5,0 m·s−1 a dotýká se pevné části obvodu v kluzných kontaktech AB. Obvod je v homogenním magnetickém poli ~ B = 0,040 T, která je kolmá na nákresnu a míří před ni. Odpory zařazených prvků o indukci B, jsou R1 = 2,0·10−2 Ω, R2 = 1,5·10−2 Ω, RT = 8,0·10−3 Ω. Odpory kontaktů a ostatních částí obvodu jsou zanedbatelně malé. Určete: 1. Směr a velikost Lorentzovy síly působící na elektron v tyči. Zakreslete; 2. Směr Lorentzovy síly působící na elektron v částech BC, CD, DA při průchodu indukovaného proudu. Zakreslete; 3. Indukované elektromotorické napětí v tyči, v části BCDA a v celém uzavřeném orientovaném obvodu ABCDA; 4. Směr a velikost indukovaného ~ proudu. Zakreslete; 5. Napětí na vodičích R1 , R2 a napětí UAB = ϕA − ϕB ; 6. Intenzitu E c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

127

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS elektrostatického pole v tyči. Zakreslete; 7. Výkon P1 , se kterým se vylučuje teplo v obvodu; 8. Sílu F1 , kterou působí magnetické pole na tyč a sílu F2 , kterou musíme působit na tyč, aby se pohybovala rovnoměrně (tření v kontaktech zanedbejte). Zakreslete; 9. Výkon P2 síly F2 . Srovnejte P1 s P2 . P-2 Pro děj, znázorněný na obr. 1.172, řešte úkoly: R1 B C R T `v R2 l ~B T RT

A Obrázek 1.172

D

1. Určete magnetický indukční tok orientovanou smyčkou ABCDA jako funkci času a jeho derivaci podle času; 2. Určete Ei ve smyčce užitím Faradayova indukčního zákona. Srovnejte jej s výsledkem řešení příkladu P-1.

Y

~B

q = -e I

`s

a

X

b Obrázek 1.173 P-3 Vodičem obdélníkového průřezu se stranami a, b, umístěným v příčném homogenním mag~ jde proud I v naznačeném směru (obr. 1.173). Předpokládejte, že netickém poli o indukci B, proud je způsoben pohybem elektronů, jež mají rychlost ~v . Úkoly: 1. Určete orientaci vektoru ~v . Zakreslete; 2. Určete směr a velikost Lorentzovy síly působící na elektron; 3. Rozhodněte: Vlivem Lorentzovy síly se hromadí elektrony u okraje (X, Y ?). Okraj X se nabíjí (kladně, záporně?), okraj Y (kladně, záporně?); ~ vyvozující 4. Vlivem rozdělení nábojů vznikne ve vodiči dodatečné příčné elektrická pole E, takovou sílu, že elektrony se nadále pohybují konstantní rychlostí ~v . Určete sílu, kterou ~ Zakreslete; toto pole působí na volný elektron. Určete intenzitu E. 5. Dokažte, že platí |ϕ(X) − ϕ(Y )| = v·Bb; 6. Označíme n0 = (počet volných elektronů)/(objem vodiče). Dokažte a) platí I = e/n0 v·S, kde S = ab; 128


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE b) napětí UH = |ϕ(X) − ϕ(Y )|, které se nazývá Hallovo, je dáno vztahem UH = KH

IB , a

(1.166)

kde KH je tzv. Hallova konstanta; 7. Uvedený jev, tj. vznik napětí UH se nazývá Hallův jev. Zjistíme-li pro určitý vodič hodnotu ~ změříme hodnoty UH , I, a, pak pomoci vztahu konstanty KH , např. tak, že při známém B (1.166) můžeme určovat B; 8. Vyšetřete průběh jevu v případě, že pohyblivé náboje ve vodiči nejsou elektrony, nýbrž kladné náboje.

C1 P I1

B A Obrázek 1.174

C2

P-4 Cívka C1 je připojena k elektrická síti a prochází v ní ve směru naznačeném na obr. 1.174 proud, který a) je stálý, b) klesá, c) roste. V její blízkosti je rozpojená vodivá smyčka C2 . Pro případy a), b), c) řešte ukoly: 1. Rozhodněte, zda v okolí smyčky C1 vzniká pole magnetické nebo obecné elektromagnetické; 2. Vyšetřete, zda ve smyčce C2 vzniká indukované elektrické pole a v jednom jejím bodě ~i; nakreslete (přibližně) vektor E 3. Rozhodněte, zda ve smyčce C2 vzniká indukované elektromotorické napětí a indukovaný proud. Rozhodněte o platnosti vztahů ϕA − ϕB R 0. 4. Svorky A, B spojíme nakrátko. Rozhodněte, zda ve smyčce C2 vzniká indukovaný proud. Vzniká-li, určete jeho směr. 5. Ve středu P smyčky C1 nakreslete vektor B~1 magnetického pole buzeného proudem I1 a vektor B2 pole buzeného indukovaným proudem I2 . Uveďte v souvislosti s Lenzovým pravidlem.

I1

t2 t1

O

t Obrázek 1.175

P-5 Na obr. 1.175 je znázorněn časový průběh proudu I1 v orientované smyčce C1 na obr. 1.174. Úkoly: 1. Určete časový průběh napětí U = ϕA − ϕB na, svorkách A, B (a to pouze přibližně, kvalitativně) v časovém intervalu (t1 , t2 ). Znázorněte toto napětí graficky jako funkci času; c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

129

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 2. Určete (přibližně) okamžiky, kdy je U = 0 a kdy je |U | maximální.

´ P

C2 C1 C3

C4 Obrázek 1.176

P-6 Vodivé smyčky C1 , C2 , C3 , C4 leží v rovině σ (obr. 1.176). Smyčka C1 je připojena ke zdroji proměnlivého napětí a prochází ji proud I1 v naznačeném směru tak, že je a) stálý, b) roste, c) klesá. Rezistance smyček C2 , C3 , C4 jsou tak velké, že v nich indukované proudy jsou velmi malé ve srovnání s I1 , Úkoly: 1. Vyšetřete, zda a jakým směrem budou procházet indukované proudy v C2 , C3 , C4 ; 2. Určete směr vektorů B~1 , B~2 , B~3 , B~4 pole, buzeného proudy v C1 ,. . ., C4 v bodě P . P-7 Primární cívka C1 transformátoru je dokonale vodivá, má N1 závitů a prochází jí a) rostoucí, b) klesající, c) stálý proud I v naznačeném směru (obr. 1.177). Sekundární cívka C2 , má N2 dokonale vodivých závitů a je k ní připojen vodič s velkou rezistencí R. Předpokládejte, že magnetické pole je soustředěno v jádře (tj. že nedochází k magnetickému rozptylu) a pro případy a), b), c) řešte tyto úkoly: 1. Orientujte siločáry K1 , K2 indukovaného elektrického pole. V bodě M nakreslete vektor ~ E; 2. Rozhodněte, který ze vztahů ϕC R ϕD je správný. Určete směr indukovaného proudu v R; 3. Dokažte, že pro indukovaná elektromotorická napětí v primáru a sekundáru platí |εi1 | : |εi2 | = N1 : N2 ; 4. Dokažte, že pro napětí na UP na primáru a US na sekundáru platí UP = (|ϕA −ϕB |) = |εi1 , US = (|ϕC − ϕD |) = |εi2 |, takže platí známý vztah UP : US = N1 : N2 . (Pokyn k bodu 4: pro primár, orientovaný od A k B, platí rovnice (1.84), tj. ϕA − ϕB + εi1 = RP I, kde RP je odpor primátu, RP = 0.)

A I

K1 C

N1

C1

C2

N2

R

D B

M K2 Obrázek 1.177

P-8 V magnetickém poli, vytvořeném proudem I v nekonečném přímočarém vodiči V , se pohybuje vodivá smyčka S rychlostí ~v tak, že v okamžiku t1 = 0 s je v poloze naznačené na obr. 1.178. Přitom a = 0,10 m, b = 0,30 m, c = 0,80 m. Úkoly: Pro I = 25A, ~v = v~1 , kde v1 = 6,0 m·s−1 . 130


8


I

`v2

D

V

`v1

S

b

c

B

8

A a

C

Obrázek 1.178

1. Určete sílu F~L , která působí na volný elektron v úseku AD v okamžiku t1 ; 2. Určete, jako funkci času, elektromotorické napětí, indukované v orientovaném úseku a) AB, b) BC, c) CD, d) DA, e) v celé orientované smyčce S; 3. Určete směr indukovaného proudu. P-9 Řešte úkol P-8 pro I = 25 A, ~v = v~2 , kde v2 = 6,0 m·s−1 (viz obr. 1.178). r3 = 200 mm C1 P3 C2 P r1 P2 r2 P1 X Y %l` 1 I Obrázek 1.179 P-10 Dvě soustředné kruhové smyčky C1 , C2 , které leží v jedné rovině (obr. 1.179), mají poloměry r1 = 140 mm, r2 = 8,0 mm a rezistance R1 = 20 Ω, R2 = 1,0 Ω. Ve smyčce C1 je stálý proud I0 = 2,5 A v naznačeném směru. Úkoly: 1. Určete vektor dB~1 pole buzeného v bodě P proudovým elementem dl~1 , dl1 = 10 mm; ~ pole buzeného v bodě P smyčkou C1 a zakreslete jej; 2. Určete vektor B 3. Určete (přibližně) magnetický indukční tok plochou smyčky C2 ; 4. Vyslovte definici vzájemné indukčnosti dvou obvodů. Určete vzájemnou indukčnost smyček C1 , C2 . 5. Ve smyčce C1 nechť je proud I2 = 5,0A. Určete (přibližně) magnetický indukční tok plochou smyčky C1 . P-11 Ve smyčce C1 v příkladě P-10 byl proud v naznačeném směru, který v intervalu od t1 = 0 s do t2 = 0,20 s lineárně klesal z hodnoty I1 = 50 A na hodnodu I2 = 10 A. Užijte výsledků řešení příkladu P-10 a řešte úkoly: 1. Vyjádřete matematicky a znázorněte graficky závislost proudu na čase; 2. Určete indukované elektromotorické napětí εi2 ve smyčce C2 ; c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Copyright

131

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 3. Určete napětí na, svorkách X, Y , tj. ϕX − ϕY ; 4. Určete velikost a směr indukovaného proudu Ii2 ve smyčce C2 , jsou-li svorky spojeny nakrátko. P-12 Toroid se vzduchovým jádrem, jehož střední kružnice má poloměr R = 90 mm a jehož průřez je S = 4,0 cm2 , má N1 = 2 000 závitů hustě vinutých po celé délce a jde jím proud I = 4,0 A. Předpokládejte, že nedochází k magnetickému rozptylu a nejprve určete obecně a pak číselně: 1. magnetickou intenzitu a magnetickou indukci v jádře; 2. Indukční tok průřezem jádra; 3. Indukční tok toroidem; 4. Vlastní indukčnost toroidu; 5. Jak se zvětší magnetická intenzita a vlastní indukčnost toroidu, jestliže se počet závitů ztrojnásobí. P-13 Na toroidu z P-12, jehož vlastní indukčnost je L1 = 3,54·10−3 H, je navinuta hustě další cívka (sekundární) s počtem závitů N2 = 5 000. Nakreslete náčrtek a určete (s užitím výsledků P-12) nejprve obecně a pak číselně: 1. Indukční tok sekundární cívkou; 2. Vzájemnou indukčnost M primární a sekundární cívky; 3. Určete vlastní indukčnost L2 sekundární cívky; 4. Primární a sekundární cívku spojíme seriově tak, aby se jejich magnetická pole zesilovala. Dokažte, že pro vlastní indukčnost L takto vytvořeného toroidu platí L = L1 + L2 + 2M . Určete L; 5. Určete vlastní indukčnost toroidu, vzniklého seriovým spojením primáru a sekundáru tak, že se jejich magnetická pole zeslabují; 6. Nechť v primární cívce je proud I = I0 sin ωt, kde I0 = 0,60 A, ω = 314 rad·s−1 . Sekundární cívka nechť je rozpojena. Určete elektromotorická napětí indukovaná v primární a sekundární cívce. P-14 V ideální cívce (R = 0) orientované od A k B o indukčnosti L = 1,2 mH je proud i = I0 sin ωt, kde I0 = 4 A, ω = 100πrad·s−1 . Určete: 1. Indukované elektromotorické napětí Ei ; 2. Svorkové napětí uAB (= ϕA − ϕB ); 3. Fázový posuv mezi proudem a napětím; 4. uAB pro a) t1 = O s, b) t2 = 2,543 s. P-15 Svorkové napětí uAB = ϕA − ϕ√ B ideální cívky (R = 0) o vlastní indukčnosti L = 2 mH je uAB = U0 sin(ωt + ϕ), kde U0 = 220· 2 volt, ω = 314 rad·s−1 . Určete: 1. Indukované elektromotorické napětí v cívce, orientované od A k B; 132


1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 2. Proud v cívce; 3. Fázový posuv proudu a napětí. P-16 Štíhlý toroid délky l se vzduchovým jádrem o průřezu S má N hustě vinutých závitů, kterými jde proud I, takže jeho pole je soustředěno v jádře. Dokažte, že: 1. Jeho vlastní indukčnost je dána vztahem L = µ0 z 2 V , kde z = N/l, V je objem jádra; 2. Vztah pro jeho magnetickou energii lze psát ve tvaru Wm = µ0 H 2 V /2, kde H je magnetická intenzita v jádře; 3. Hustota magnetické energie v jádře je dána vztahem wm = HB/2; 4. Určete Wm a wm pro toroid v příkladu P-12.


133


134


Literatura [1] Halliday, D., Resnik, R., Walkrer, J.: Fyzika, VUTIUM a PROMETHEUS, 2000.


135

Rejstřík Ampér definice, 88 čára indukční magnetická, 77 částice elektron, 9 neutrální, 8 proton, 9 diamagnetismus, 95 dieletrika typy, 43 dieletrikum, 34, 42 polarizace, 42 dipól elektrický, 18 magnetický, 90 doména, 46 ekvipotenciály, 33 elektrický proud, viz proud elektron vodivostní, 35 elektrostrikce, 47 emise termoelektrická, 36 energie bodového náboje, 28 elektrického pole, 48 kondenzátoru, 49 magnetického pole, 120 hustota, 121 vodiče, 48 feroelektrika, 46 feromagnetismus, 95 hustota proudu, 59 hystereze, 95

indukce elektrická, 45 elektromagnetická, 108 elektrostatická, 36 magnetická, 14 vlastní, 118 vzájemná, 118 indukčnost vlastní, 118 vzájemná, 119 intenzita elektrického pole, 12 magnetického pole, 93 jev piezzoelektrický, 47 kapacita, 39 kondenzátoru, 41 kondenzátor, 39, 41 válcový, 41 konstanta dieletrická, 46 látka diamagnetická, 94 feromagnetická, 94 paramagnetická, 94 magnetická remanence, 97 magnetizace, 93 magnetostrikce, 97 moment elektrického dipólu, 18 hybnosti elektronu, viz spin orbitální, 92 magnetický atomu, 91 spinový, 90 136

REJSTŘÍK náboj bodový, 12 elementární, 8 napětí, 26 elektrické, 32 elektromotorické, 66 indukované, 111, 112 magnetické, 100 magnetomotorické, 121 stykové kovů, 36 svorkové, 66 nevodič, 35 odpor měrný, 62 paramagnetismus, 94 permitivita absolutní, 46 relativní, 46 permitivita vakua, 16 polarizace dieletrika, 42  , 44 elektrická EP remanentní, 46 pole elektrické dvou rovin, 24 kulová symetrie, 25 nekonečné roviny, 23 elektromagnetické, 7, 10 pohybujícího se náboje, 80 složky, 11 vlastnosti, 10 elektrostatické, 8, 12 intenzita magnetická, 93 koercitivní, 97 magnetické lineárního vodiče, 81 vodiče, 77 magnetostatické, 12 nevírové, 27 potenciálové, 27 proměnné magnetické, 109 polovodič, 35 potenciál elektrický, 26, 30

skalární, 27 superpozice, 31 práce elektrostatického pole, 27 pravidlo Lenzovo, 117 proud, 57 definice, 57 hustota, 59 indukovaný, 109, 111 Maxwellův, 121 směr, 58 vířivý, 115 proudová smyčka v magnetickém polí, 88 remanence magnetická, 97 rovnice Kirchhofova, 71 Maxwellovy, 124 vedlejší, 125 rychlost driftová, 61 síla Ampérova, 86 Coulombova, 16 elektromagnetická, 7 Lorentzova, 14 magnetická, 85 působící na náboj, 15 siločáry elektrické, 17, 33 součinitel odporu teplotní, 62 spin, 92 susceptibilita elektrická, 46 magnetická, 94 teplo Jouleovo, 60 tok elektrický indukční, 45 magnetický indukční, 112 magnetický indukční, 98


137

REJSTŘÍK vodič, 34, 35 rovnovážný stav, 36 vodivost měrná, 62 výkon elektrostatických sil, 60 zákon aditivnosti náboje, 9 akce a reakce, 16 Ampérův, 100 Biotův-Savartův-Laplaceův, 82, 83 Coulombův, 16 Curieův, 94 Faradayův, 116 Gaussův magnetismu, 99 pro dieletrika, 45 Gaussův elektrostatiky, 20 invariance náboje, 10 kvantování náboje, 9 Ohmův, 57, 62 pro uzavřený obvod, 69 Weissův, 96 zdroj napětí, 64 výkon, 66 proudu, 64

138


Elektřina a magnetismus věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium

Recommend Documents