Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého matematického manipulačního programovacího jazyka. Jednotlivé příkazy se ukončují středníkem nebo dvojtečkou a po stisku klávesy ENTER jsou hned vykonány. Je-li příkaz ukončen dvojtečkou, vykonaná operace se nezobrazí na monitoru, je-li příkaz ukončen středníkem, operace se zobrazí. Je důležité, aby byla dodržena přesná syntax příkazů (zápis čárek, dvojteček, středníků a závorek). Bez přesného zápisu příkazu program požadovaný příkaz neprovede, protože ho neidentifikuje jako příkaz. V případě, že se program začne chovat podivně, restartujeme ho příkazem restart. Tento manuál je určen pro studenty Zemědělské fakulty Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích. Je rozdělen do 8 tematických celků pokrývající probíranou látku kurzů matematiky. Každá z kapitol obsahuje několik řešených příkladů, na kterých je ukázáno použití jednotlivých příkazů (jsou uvedeny červeně) a za nimi následuje ukázka provedeného příkazu (uvedeno modře). Software MAPLE je nainstalovaný na Bobíku i na výpočetním středisku a je k nalezení rozkliknutím nabídky Start/Programy/Maple V/Maple V Release.
1
MATEMATICKÉ OPERACE
Protože je MAPLE kanadský produkt, má některá svá specifika spojená s angloamerickým prostředím. Prvním patrným specifikem je používání desetinné tečky místo desetinné čárky nebo že goniometrická funkce tg(x) je reprezentována příkazem tan(x). Pro práci s programem MAPLE je vhodné používat anglickou klávesnici, neboť se v příkazech vyskytují speciální znaky anglické klávesnice.
1
1.1 1.1.1
Řešené příklady Příklad
Zjistěte hodnoty daného výrazu:
13,8765−3472+7·3987 . 37
Řešení: Pro operaci násobení používáme znak *, pro dělení znak /. Nezapomínáme na užití desetinné tečky místo desetinné čárky. Výraz vyčíslíme příkazem:
(13.8765-3472+7*3987)/37; 660.8345000 1.1.2
Příklad
Zjistěte hodnoty daného výrazu:
√ 7
135 + e4 − 3π na 50 platných míst.
Řešení: Mocniny zadáváme pomocí znaku ˆ. Odmocniny přepisujeme jako exponent ve tvaru zlomku. Eulerovo číslo e zapisujeme ve tvaru exp(), kde v závorce uvádíme exponent. Pro číslo π používáme příkaz Pi. Daný výraz najdeme pomocí příkazu:
13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi; 5 13( 7 ) + e4 − 3π Abychom zjistili hodnotu daného výrazu, použijeme evaluační příkaz: evalf(%,50); 51.420405402643010363201707440781398943418329755147 5
Znak % zastupuje poslední vypočítanou hodnotu (v tomto případě 13( 7 ) + e4 − 3π), za čárkou je uveden počet míst, kolik jich chceme uvést (např. 50). Počet míst není povinný, bez zadání vyčílí MAPLE výraz na 10 platných míst. Také je možné získat danou hodnotu rovnou kombinací výše uvedených příkazů:
evalf(13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi,50); 51.420405402643010363201707440781398943418329755147
2
1.1.3
Příklad
Zjistěte hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi: (cos(3, 5))3 + sin(2, 7) − tan(5) na 25 platných míst. Řešení: Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí používáme příkazy sin(), cos() a tan(). V závorkách uvádíme argument. Daný výraz vyčíslíme příkazem: evalf((cos(3.5))ˆ3 + sin(2.7) - tan(5),25); 2.9866681389465856370 1.1.4
Příklad
Jakému úhlu v radiánech a ve stupních odpovídá hodnota sin(x) = 0, 6438? Řešení: Pro výpočet úhlu goniometrických funkcí používáme cyklometrické funkce arcsin(x), arccos(x), a arctan(x). V tomto případě použijeme funkci arcsin(x) reprezentovanou příkazem arcsin(), kde v závorce uvádíme argument: evalf(arcsin(0.6438)); 0.6994540165 Získaná hodnota je v radiánech. Pro převod radiánů na stupně použijeme příkaz: convert(0.6994540165,degrees); 125.9017230∗degrees π
Abychom dostali hledanou hodnotu, musíme ještě použít evaluační příkaz: evalf(%); 40.07576312 degrees 1.1.5
Příklad
Zjistěte hodnotu výrazu s absolutní hodnotou |7 − |6 − 15| − 32|. Řešení: Pro výpočet hodnot s absolutní hodnotou používáme příkazy abs(), kde v závorkách uvádíme výraz v absolutní hodnotě. Daný výraz vyčíslíme příkazem: abs(7-abs(6-15)-32); 34 3
1.1.6
Příklad
Zjednodušte daný výraz
x2 −y 2 x2 +4x+4
:
x−y x+2 .
Řešení: Pro zjednodušování výrazů použijeme příkaz:
simplify(((xˆ2-yˆ2)/(xˆ2+4*x+4))/((x-y)/(x+2))); x+y x+2
1.1.7
Příklad
Zjednodušte daný výraz s komplexními čísly
(3−8i)3 3−5i .
Řešení: Pro zápis imaginární jednotky i použijeme znak I a výraz zjednodušíme opět příkazem:
simplify(((3-8*I)ˆ3)/(3-5*I)); −3127 1857 34 − 34 I
1.2
Neřešené příklady
Vyčíslete: 8
• 3 +
37 13
7 −
√ 7
32
[8072, 253684]
• (sin(5))7 + e2,5
•
q (175 − 64 )3 221
[11.43692093]
− 3, 35 · 73 π
[−2804, 205010]
• α ve stupních, je-li cos(α) = 0, 7236
[43, 64749138◦ ]
Upravte: •
x2 (x + y) − x − y x(x + y + 1) + y
[x − 1]
•
i5 + (5 − i)2 2−i
[ 57+6i 5 ]
4
2
LINEÁRNÍ ALGEBRA
Před začátkem práce s vektory a maticemi je nutné aktivovat knihovnu lineární algebry. Tím si program MAPLE aktivizuje příkazy,které my pak můžeme používat. Knihovna lineární algebry se aktivizuje příkazem
with(linalg); Po zadání příkazu se modře vypíše seznam příkazů, které můžeme pro zpracování úloh z lineární algebry používat. MAPLE umí pracovat jak s vektory tak s maticemi. Vždy je dobré si zadávané vektory a matice pojmenovat pomocí přiřazovacího příkazu :=, aby bylo možné s nimi dále pracovat. Některá velká písmena nedovolí MAPLE pro pojmenování použít, neboť manjí svůj specifický význam (např. E je rezervovaný název pro jednotkovou matici).
2.1 2.1.1
Řešené příklady Příklad
− → − Jsou dány vektory → a = (3, −5, 5) a b = (2, 3, −7). → − → − → → → Určete skalární součin − a · b , vektorový součin − a × b , normu vektoru − a a odchylku vektorů → − → − a a b. Řešení: − → − Vektory → a a b zadáme pomocí příkazu:
a:=vector(3,[3,-5,5]); a:=[3, -5, 5] b:=vector(3,[2,3,-7]); b:=[2, 3,-7] První cifra označuje počet složek vektoru, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny složky vektoru, které oddělíme čárkami. Skalární a vektorový součet vektorů provedeme příkazy:
dotprod(a,b); −44 crossprod(a,b); [20, 31, 19]
5
− Normu vektoru → a nalezneme pomocí příkazu:
norm(a,2); √ 59 Cifra 2 v argumentu je součástí příkazu a je povinná. Odchylku vektorů získáme příkazem:
evalf(angle(a,b)); 2.385462159 Získaná hodnota odpovídá radiánům. Pro převod na stupně použijeme příkaz:
evalf(convert(%,degrees)); 136.6769139 degrees
2.1.2
Příklad
Je dány matice A =
3 5 4 −6 3 7
7 9 , matice B = −5 3 a matice C = A · B. 7 1
Určete matici C, její hodnost a determinant. Řešení: Nejprve je potřeba vytvořit matice A a B pomocí příkazu:
A:=matrix(2,3,[3,5,4,-6,3,7]); 3 5 4 A := −6 3 7 B:=matrix(3,2,[7,9,-5,3,7,1]); 7 9 B := −5 3 7 1 První dvě cifry před hranatou závorkou určují typ matice, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny prvky matice, které oddělíme čárkami.
6
Nyní můžeme s maticemi pracovat. Nejprve matice vynásobíme, abychom získali matici C: C:=evalm(A&*B); nebo C:=multiply(A,B); 24 46 C := −8 −38 Hodnost matice a determinant matice C zjistíme zadáním příkazu:
rank(C); 2 det(C); −554
2.1.3
Příklad
Najděte matici V , pro kterou platí, že V = 3 · A · B. Řešení: Pro násobení matic číslem a matic navzájem použijeme příkaz: V:=evalm(3*A&*B); 72 138 V := −24 −114 Pro násobení se v příkazu rozlišuje násobení matice číslem (*) a matic navzájem (&*).
2.1.4
Příklad
Jsou dány matice A=
3 5 4 −6 3 7
7 9 3 7 −5 3 , matice G = ,B= , a matice H = A · B − 5G. 9 −5 7 1
Určete matici H.
7
Řešení: Máme-li z předchozího příkladu zadané matice A i B, zadáme ještě matici G:
G:=matrix(2,2,[3,7,9,-5]); 3 7 G := 9 −5 Nyní určíme matici H:
H:=evalm(A&*B-5*G); 9 11 H := −53 −13 2.1.5
Příklad
Pro matici K platí, že K = B · A. Určete matici transponovanou a adjungovanou k matici K. Řešení: Nejprve vynásobíme matice B a A, abychom získali matici K: K:=multiply(B,A); −33 62 91 K := −33 −16 1 15 38 35 Nyní můžeme přistoupit k výpočtu matice transponované (nazveme transK) a adjungované (nazveme adjK):
transK:=transpose(K); −33 −33 15 transK := 62 −16 38 91 1 35 adjK:=adj(K); −598 1288 1518 transK := 1170 −2520 −2970 −1014 2184 2574
8
2.1.6
Příklad
5 7 13 Je dána matice S := −3 6 11 . Určete její determinant a pokud je regulární, najděte 2 8 5 matici k ní inverzní. Řešení: Nejprve zadáme matici S: S:=matrix(3,3,[5,7,13,-3,6,11,2,8,5]); 5 7 13 S := −3 6 11 2 8 5 Vypočteme determinant:
det(S); -499 Matice je regulární, zjistíme matici inverzní: inverse(S);
2.1.7
58 499 −37 499 36 499
−69 499 1 499 26 499
1 499 94 499 −51 499
Příklad
Upravte matici S do Gaussova tvaru. Řešení: Pro úpravu matic do Gaussova tvaru používáme příkaz: gausselim(S); 5 7 13 94 0 51 5 5 499 0 0 − 51
9
2.2
Neřešené příklady
Určete: • závislost souboru S = {(1, 3, 2, 6, −3); (3, −5, 2, 0, 5); (8, 3, 5, 2, 8); (−3, 2, 7, 4, 6), (7, −3, 12, 0, 22)} [h(S) = 4, závislý] − • normu vektoru → v = (2, 3; 5, 3; 3; 7; 4; 9, 1; 3)
√ [2 53 = 14.56021978]
− − • odchylku vektorů → m = (3, 7, 3, 5, 6) a → n = (−1, 3, 5, 7, 11) • determinant matice X =
1 7 6 4 3 2
2 1 7 5 4 3
3 2 0 6 5 4
4 3 1 7 6 5
5 4 2 1 7 6
6 5 3 2 1 7
[−2744]
1 3 5 6 4 4 • hodnost matice R = 7 · 1 0 7 3 · 3 · 7 −5 9 8 2 0
10
[34, 18542441◦ ]
2 5 8 1
3 6 9 2
[2]
3
ROVNICE
3.1 3.1.1
Řešené příklady Příklad
Řešte kvadratickou rovnici x2 − 7x + 10 = 0; Řešení: Rovnici budeme řešit jednoduchým příkazem:
solve(xˆ2-7*x+10=0,x); 5, 2 3.1.2
Příklad
Najděte hodnoty neznámých x, y a z v soustavě:
5x + 7y − 13z = 5 3x − 5y + 6z = 3 2x − 8y = −1
Řešení: Soustavy rovnic můžeme řešit několika způsoby. Máme-li aktivní knihovnu lineární algebry (linalg), můžeme soustavu zadat a nazveme ji R: R:={5*x+7*y-13*z-5,3*x-5*y+6*z-3,2*x-8*y+1}; R := {5x + 7y − 13z − 5, 3x − 5y + 6z − 3, 2x − 8y + 1}; Rovnice soustavy jsme položili rovny 0, oddělili čárkami a zadali je do složených závorek. Nyní můžeme soustavu vyřešit příkazem:
leastsqrs(R,{x,y,z}); {x =
25 22 , y
=
9 22 , z
=
3 11 }
Dalším způsobem, jak vyřešit tuto soustavu, je použití matic. Nejprve vytvoříme matici soustavy A:
A:=matrix(3,3,[5,7,-13,3,-5,6,2,-8,0]); 5 7 −13 6 A := 3 −5 2 −8 −1
11
Dále zadáme vektor pravých stran:
v:=vector(3,[5,3,-1]); v := [5, 3, −1] A nyní soustavu vyřešíme příkazem a po řadě dostaneme hodnoty neznámých x, y a z:
linsolve(A,v); 9 3 [ 25 22 , 22 , 11 ]
3.1.3
Příklad
Řešte rovnici 3x2 + 2x − 7 = 8. Řešení: Rovnici vyřešíme příkazem:
solve(3*xˆ2+2*x-7=8,x); − 13 +
3.2
√
46 1 3 , −3
√
−
46 3
Neřešené příklady
Řešte: • rovnici 3x2 − 5x + 8 = 13 [ 56 + • rovnici
2x−11 x+5
+ 4x =
√
85 5 6 ,6
√
−
85 6 ]
17 5x
[− 25 6 + 7u + 5v − 8x − 9y 3u − 2v − 3y • soustavu rovnic u + 2v − 13x − 3y 5u − x − 4y
= = = =
√
1285 25 6 ,− 6
√
−
1285 6 ]
=
−1223 455 ]
6 5 3 2 [v =
12
−97 91 , u
=
−788 455 , x
=
6 65 , y
4
POSLOUPNOSTI A ŘADY
4.1 4.1.1
Řešené příklady Příklad 3n3 + 5n + 1 . n→∞ 7n2 + 8
Určete limitu dané posloupnosti: lim Řešení:
Limity posloupností hledáme pomocí příkazu:
limit((3*nˆ3+5*n+1)/(7*nˆ2+8),n=infinity); ∞ V první části uvedeme samotnou posloupnost, ve druhé pak pro jaké n. V tomto případě se jednalo o limitu jdoucí do nekonečna - infinity. 4.1.2
Příklad
Určete limitu dané posloupnosti: lim
√ n
n→∞
n.
Řešení: Limitu posloupnosti získáme pomocí příkazu:
limit(nˆ(1/n),n=infinity); 1 4.1.3
Příklad
Určete limitu dané posloupnosti: lim
n→∞
1 1+ n
n .
Řešení: Limity posloupností zadáme pomocí příkazu:
limit((1+(1/n))ˆn,n=infinity); e Limita dané posloupnosti je rovna Eulerovu číslu e, které má přibližnou hodnotu 2,178.
13
4.1.4
Příklad
Určete součet řady
70 X 5 . 2k k=1
Řešení: Součet řady najdeme zadáním příkazu:
sum(5/(2*k),k=1. .70); 12.08209189 4.1.5
Příklad
Určete součty harmonické řady
1000 X k=1
1 , k
1000000 X k=1
1 k
a
∞ X 1 . k k=1
Součty harmonické řady najdeme zadáním příkazu
sum(1/k,k=1. .1000); 7.485470861 sum(1/k,k=1. .1000000); 14.39272672 sum(1/k,k=1. .infinity); Float(∞) Z výsledku plyne, že harmonická řada má dané součty pro uvedené konkrétní n, ale v případě sečtení členů až do nekonečna daná řada součet nemá - diverguje.
4.2
Neřešené příklady
Určete: sin(x) x 1 7n • limitu posloupnosti lim 1 + n→∞ n • limitu posloupnosti lim
[1]
x→0
• součet řady
[e7 = 1096, 633158]
57 X 7 2k 3
[4, 206669901]
k=1
• součet řady
∞ X 1 n2
[ 16 π 2 = 1, 644934068]
n=1
14
5
FUNKCE
5.1 5.1.1
Řešené příklady Příklad
Najděte funkční hodnotu funkce y = 9x7 − 3 cos x v bodě x = 1, 73. Řešení: Funkci nazveme f a zadáme ji příkazem
f:=x->9*xˆ7-3*cos(x); f := x → 9x7 − 3 cos(x) Nyní zjistíme hodnotu v bodě x = 1, 73: f(1.73); 417.8878853 5.1.2
Příklad
Najděte funkční hodnotu funkce 2 proměnných z = x3 − 3y 2 + sin(xy) v bodě [3, 5; 2, 4]. Řešení: Funkci nazveme z a zadáme ji příkazem:
z:=(x,y)->xˆ3-3*yˆ2+ sin(x*y); f := (x, y) → x3 − 3y 2 + sin(xy) Nyní zjistíme hodnotu v bodě [3, 5; 2, 4]: z(3.5,2.4); 26.44959891
15
5.1.3
Příklad
Najděte minimum a maximum funkce y = 5x3 − 3x2 + 8 na intervalu h−3, 5i. Řešení: Minimum a maximum funkce y v daném intervalu h−3, 5i najdeme pomocí příkazů:
minimize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3. .5); −154 maximize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3. .5); 558
5.2
Neřešené příklady
Určete: • funkční hodnotu funkce y = 5x7 − 3e5x − 4 cos(x) v bodě x = 6, 22 [−9, 631182975.1013 ] • funkční hodnotu funkce 3 proměnných w = 5(xy)3 +4zy 2 +cos(xyz) v bodě [−2, 5; 1, 8; 3] [−416.1500793] • minimum funkce y = 3e2x−5 − 3x3 − 17 na intervalu h−5, 9i [−150.2028225] • maximum funkce y = 7cos(sin(x5 )) − 5 na intervalu h π2 − 2πi [2]
16
6
GRAFIKA
MAPLE umí vykreslit dvoudimenzionální grafy jedné proměnné i trojdimenzionální grafy dvou proměnných. Dokáže navíc vykreslit několik grafů do jednoho obrázku. Vždy je nutné uvést interval, na kterém se daný graf či grafy vykreslí.
6.1 6.1.1
Řešené příklady Příklad
Vykreslete graf funkce y = 3x4 + 5x3 − 1 na intervalu h−2, 1i. Řešení: Graf vykreslíme následujícím příkazem, kde doplníme interval pro proměnnou x (ta je povinná) a pro proměnnou y (je nepovinná, ale graf je přehlednější):
plot(3*xˆ4+5*xˆ3-1,x=-2. .1,y=-4. .3);
6.1.2
Příklad
Vykreslete grafy funkcí y = x2 − 2x − 8 a y = 5x − 8 na intervalu h−3, 5i a najděte jejich průsečík. Řešení: Grafy vykreslíme následujícím příkazem, kde do složených závorek zadáme obě funkce oddělené čárkou:
plot({xˆ2-2*x-8,5*x-8},x=-3. .5); Z grafů je patrné, že obě křivky se protínají v bodě [0,-8].
17
6.1.3
Příklad
Vykreslete trojdimenzionální graf funkce dvou proměnných z = x · e−x x ∈ h−2, 2i a y ∈ h−2, 2i. Řešení: Pro vykreslení trojdimenzionálních grafů použijeme příkaz:
plot3d(x*exp(-xˆ2-yˆ2),x=-2. .2,y=-2. .2);
18
2 −y 2
na intervalu
7
DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
7.1 7.1.1
Řešené příklady Příklad
Najděte první derivaci funkce y = x7 −
√ 5
x3 + e2x .
Řešení: Derivaci si nazveme d a vytvoříme ji příkazem:
diff(xˆ7- (x)ˆ(3/5)+ exp(2*x),x); 7x6 −
3 ( 25 )
+ 2e(2x)
5x
V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme (v tomto případě podle x). 7.1.2
Příklad
Najděte 3.derivaci funkce y = sin(x) + x3 + e2x . Řešení: Třetí derivaci funkce vytvoříme příkazem:
diff(sin(x) + xˆ3 + exp(2*x),x$3); − cos(x) + 6 + 8e2x V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme, a stupeň derivace (v tomto případě podle x a stupeň 3.) 7.1.3
Příklad
Najděte parciální derivaci podle y funkce dvou proměnných z = sin(xy) + 3x3 + xy . Řešení: Parciální derivaci snadno vytvoříme příkazem:
diff(sin(x*y) + 3*xˆ3 + (x/y),y); cos(xy)x −
19
x y2
7.1.4
Příklad
Najděte druhou derivaci funkce 4x7 −
√ 5
x a její hodnotu v bodě x = 3, 78.
Řešení: Jestliže chceme s derivacemi ještě dále pracovat, je nezbytné nejprve vytvořit funkci a tu pak derivovat. Označíme si funkci a a zadáme již známým příkazem:
a:=x->4*xˆ7-(x)ˆ(1/5); 1
a := x → 4x7 − x( 5 ) Funkci a zderivujeme a derivaci nazveme b:
b:=(D@@2)(a); b := x → 168x5 −
4 1 25 x( 95 )
Nyní již můžeme zjistit hodnotu druhé derivace v bodě x = 3, 78:
b(3.78); 129648.7488 7.1.5
Příklad Z
Řešte neurčitý integrál
ln(x) dx.
Řešení: Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu:
int(ln(x),x); x ln(x) − x Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x).
20
7.1.6
Příklad Z7
Určete hodnotu určitého integrálu
x5 dx.
3
Řešení: Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu:
int((xˆ5),x=3. .7); 58460 3
Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x) a meze určitého intervalu.
7.2
Neřešené příklady
Určete: • 1.derivaci funkce y =
xex −x2 x−8 x +xex −2x
[e 000
• hodnotu y (2) funkce funkce y =
x−8
−
xex −x2 ] (x−8)2
x7 +x2 −cos(x) x−8
[−685.1742897] • parciální derivaci podle x funkce dvou proměnných z = cos(xy) +
e3x −y y3
[− sin(xy)y + Z •
Z7 •
3x2 dx x−4
3e(3x) ] y3
[ 32 x2 + 12x + 48 ln(x − 4)]
2e5x − x dx
−5
[− 25 e(−25) + 25 e35 − 12 = 0, 6344053808 · 1015 ]
21
8
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
8.1
Řešené příklady
Funkci y zadáváme do programu pomocí příkazu y(x), její první derivaci pomocí diff(y(x),x), pro druhou derivace pak diff(y(x),x$2). Pro derivace vyšších řádů používáme stejný příkaz, kde jen měníme stupeň derivace.
8.1.1
Příklad 0
Je dána diferenciální rovnice y (x) − 2y(x) = ex . Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(8) = 5. Řešení: Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji dr:
dr:=diff(y(x),x) - 2*y(x) = exp(x); d y(x) − 2y(x) = ex dr := dx Nyní nalezneme obecné řešení:
dsolve(dr,y(x)); y(x) = −ex + e(2x) C1 Obecné řešení obsahuje C1, což označuje integrační konstantu C1 . Rovnou však můžeme najít partikulární řešení, když vložíme do argumentu příkazu danou počáteční podmínku:
dsolve({dr,y(8)=5},y(x)); y(x) = −ex − 8.1.2
e(2x) (−5−e8 ) e16
Příklad 00
0
Je dána diferenciální rovnice y (x) − 2y (x) − 8y(x) = x3 − 5. Najděte obecné řešení. Řešení: Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji a:
a := dif f (y(x), x$2) − 2 ∗ dif f (y(x), x) − 8 ∗ y(x) = x3 − 5; 2 d d a := dx y(x) − 2 dx y(x) − 8y(x) = x3 − 5 2
22
Nyní nalezneme obecné řešení:
dsolve(a,y(x)); y(x) = e(4x) C2 + e(−2x) C1 +
8.2
175 256
−
9x 64
+
3x2 32
−
x3 8
Neřešené příklady
Řešte: 0
• diferenciální rovnici 5y (x)−y(x) = 3x−5. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(1) = 2. x
[y(x) = −10 − 3x + C1 e( 5 ) , y(x) = −10 − 3x + 00
x
15e( 5 ) 1
e( 5 )
]
0
• diferenciální rovnici y (x) − 7y (x) + 10y(x) = 5ex + x2 − 3. Řešte ji obecně a pak s počátečními podmínkami y(8) = 5 a y(0) = 9. [y(x) = C2 e(5x) + C1 e(2x) + 45 ex +
23
x2 10
+
7x 50
−
111 500 ]
