Dynamika tuhých těles V reálných technických aplikacích lze model bodového tělesa použít jen v omezené míře. Mnohem častější je použití modelu tuhého tělesa. Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož nedochází ke změně vzdálenosti dvou libovolných bodů při jakémkoliv silovém působení. Z tohoto předpokladu jednoznačně vyplývá, že tuhé těleso, které není vázáno na okolní tělesa má šest stupňů volnosti. Těleso má tedy možnost se pohybovat podél jednotlivých souřadnicových os x, y, z a dále má možnost natáčet se kolem těchto os. Jestliže má těleso šest stupňů volnosti, musíme jeho pohyb popsat šesti pohybovými rovnicemi. V případě, že je těleso vázáno na jiné těleso a nebo na základní těleso, počet pohybových rovnic se nám většinou snižuje. V rovnicích se ale začínají objevovat vazbové síly a soustavu rovnic musíme doplnit vazebními podmínkami. Podle způsobu uložení nebo podle rozložení silového působení může těleso konat různé druhy pohybu – translační, rotační, složený, obecný rovinný, sférický, obecný prostorový, aj.
Translační pohyb tělesa Těleso koná translační pohyb, jestliže všechny jeho body mají stejnou rychlost a stejné zrychlení. Proto je translační pohyb tuhého tělesa určen pohybem jednoho jeho bodu a k popisu plně postačí model hmotného bodu umístěného do těžiště tělesa s hmotností odpovídající hmotnosti tělesa. Hybnost Pro translační pohyb platí, že úhlová rychlost tělesa je nulová, proto lze vztah pro Hybnost napsat:
kde m je hmotnost celého tělesa Moment hybnosti Moment hybnosti pro těžiště je z definice translačního pohybu nulový. Lze napsat:
Moment hybnost k libovolnému jinému bodu tělesa, vzhledem k těžišti je potom dán vztahem:
Kinetická energie Kinetická energie tělesa konajícího translační pohyb je dána vztahem:
Pohybová rovnice Pohybová rovnice tělesa při translačním pohybu je:
1.impulsová věta
kde
je Hybnost tělesa na konci, resp. začátku sledované doby je působící síla
Rotační pohyb tělesa Rotační pohyb tělesa nastává tehdy, jestliže body na jedné přímce mají nulovou rychlost. Této přímce se říká osa rotace. Moment hybnosti Podobně jako u translačního pohybu je pohybový stav dám Hybností, u rotačního pohybu je dán momentem Hybnosti.
kde
je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.
Pohybová rovnice: Pohybová rovnice tělesa při rotačním pohybu je:
Kinetická energie Kinetická energie rotačního pohybu tělesa je dána vztahem
2 impulsová věta
Analogie mezi translačním a rotačním pohybem Mezi translačním a rotačním pohybem existuje jistá analogie. Tato analogie je založená na stejném tvaru rovnic popisující stejný jev jak v translačním, tak i v rotačním pohybu. Veličiny vystupující v těchto vztazích jsou ty, které tomu kterému pohybu přísluší. Přehled analogických vztahů a veličin je uveden v tabulce 4.1.
Název veličiny Posunutí/natočení
Translace [m]
Rotace [rad]
rychlost/ úhlová rychlost
[ms-1]
[rads-1 ]
zrychlení/ Úhlové zrychlení
[ms-2]
[rads-2 ]
Setrvačné účinky (hmotnost, moment setrvačnosti) m[kg] [kgms -1 ]
Pohybový stav (Hybnost, Moment hybnosti) Silové působení (síla, moment síly) Pohybová rovnice
I [kgm]
[N]
[kgm2 s-1 ] [Nm]
[N]
[Nm]
Impulsová věta (1 a 2) Kinetická energie
[J]
[J]
Tab. 4.1: Analogie mezi translací a rotací
Detailní analýza rotačního pohybu Rotační pohyb je jedním z technicky nejzajímavějších. Mnoho strojních zařízení je provozováno na základě rotačního pohybu – např. parní turbíny, elektromotory, atd. Proto si uvedeme detailní analýzu na jednoduchém modelu, na kterém si ukážeme jednotlivé zákonitosti a efekty, které mohou při tomto pohybu nastat. Jako model si vybereme těleso obecného tvaru. Osou rotace je osa z. Na těleso působí silová výslednice působící silové soustavy a momentová výslednice . Těleso je vázáno na základní těleso dvěma vazbami. Vazba A je axiálně – radiální ložisko, vazba B je pouze axiální ložisko. těžiště tělesa neleží na ose rotace. model je na obrázku 4.1.
Obr. 4.1: Těleso konající rotační pohyb Vazbu A uvolníme pomocí tří sil, působících v jednotlivých osách -
. Vazbu B uvolníme také pomocí sil,
.
ale jen v osách x a y -
Pohybové rovnice odvodíme z jejich definičních vztahů.
Hybnost a Moment hybnosti lze vyjádřit následovně
Dosazením dostaneme pohybové rovnice pro posuvy
. Pohybové rovnice pro rotace vyjádříme následovně
Jelikož vektorový součin vektoru se sama sebou je roven nule, výsledná rovnice je následující
Z odvozených vztahů je vidět, že je nutné znát zrychlení bodu tělesa. Pro jeho odvození použijeme maticového zápisu. Z modelu jednoznačně vyplývají tvary matic , a . Jsou následující:
,
,
rychlost bodu M vyjádříme pomocí vztahu
zrychlení bodu M je dáno vztahem
.
Dále je dobré si odvodit, jaký tvar bude mít vektorový součin , který se vyskytuje v integrálu v rovnicích pro rotaci. Odvození opět provedeme pomocí maticového zápisu, kde využijeme už výše odvozené části. Vektorový lze zapsat pomocí matic do tvaru : součin
Pohybové rovnice pro rotující těleso na obrázku 4.1 jsou potom následující
Použijeme-li definiční vztahy pro momenty setrvačnosti závislosti pro lineární momenty
a
,
,
, dále pak
, pak se rovnice zjednoduší do tvaru
Jednotný maticový zápis je následující
Maticová rovnice je napsaná v souřadném systému, který spolurotuje s tělesem. Výhodou tohoto systému je, že poloha bodu v něm je časově neměnná – viz obr. 4. 2.
Obr. 4.2: Bod ve spolurotujícím souřadném systému Analýza rovnic Prvních pět pohybových rovnic představuje silovou a momentovou rovnováhu, a pravé strany mohou být za určitých podmínek nulové . Pouze poslední šestá rovnice je pohybovou rovnicí. Lze z ní určit úhlové zrychlení a následně další kinematické veličiny. Síly v ložiskách jsou závislé nejen na vnějším zatížení, ale i na zatížení způsobené rotačním pohybem, které vzniká od úhlové rychlosti a úhlového zrychlení. V technické praxi je snaha, aby zatížení ložisek bylo co možná nejmenší. Z toho vyplývá potřeba, eliminovat přídavné zátěžné účinky, tj. docílit nulovosti pravých stran. Postup, který je minimalizuje, se nazývá vyvažování.
Vyvažování tuhých těles Cílem vyvažování je eliminovat přídavné zatěžující účinky. Tyto přídavné účinky jsou dvojího druhu – silové a momentové. Obojí jsou závislé na úhlové rychlosti a úhlovém zrychlení . Pro vyvažování je důležité určit, v kolika vyvažovacích rovinách se bude vyvažování provádět a jak velké závaží přidat. Pro vyvažování musí být stroj konstrukčně upravený a mít připravené roviny a místa pro přidání vyvažovacích hmot. Eliminace silových přídavných účinků ( Statické vyvažování) Při statickém vyvažování se snažíme eliminovat silové přídavné zatěžující účinky. Snažíme se dosáhnout toho, že těžiště rotujícího tělesa bude ležet na ose rotace, tj . Při statickém vyvažování eliminujeme tíhovou sílu, která má podle jedné z definic charakter volného vektoru. Jako taková může měnit libovolně svoje působiště. Pro statické vyvažování proto platí, že můžeme vyvažovat pouze v jedné vyvažovací rovině. Pro vyvažování zavádíme veličinu nevývaha, která je definována [kgm] kde e je to vzdálenost těžiště od osy rotace, nazývané ekcentricita. Potom pro výpočet nevývažku – to je závaží, která se bude přidávat na stroj, je podle vztahu [kgm] kde
mp
je hmotnost nevývažku
p
je vzdálenost polohy nevývažku od osy rotace
Vyvažování se provádí buď za klidu nebo za rotace. Při vyvažování za klidu se celý stroj umístí na vyvažovací trny (břity). Rotor se vlivem působení natočí do polohy, kdy těžiště je přesně pod osou rotace. Vyvažovací závaží se potom umístí přesně na opačnou stranu, jak je vidět na obrázku 4.3.
Obr. 4.3: Vyvažování "lehkého stroje" Při vyvažování za rotace se celý stroj se umístí do vyvažovacího přípravku, který má ložiska upevněny na pružinách o tuhostech kA a kB. Stroj se roztočí a změří se průhyby ložisek. Z takto naměřených průhybů se určí směr působení síly
a provede se vyvážení stejně jako v případě vyvažování za klidu.
Eliminace momentových přídavných účinků (Dynamické vyvažování) Při dynamickém vyvažování se snažíme eliminovat momentové přídavné zatěžující účinky. Tyto účinky vznikají, jestliže osa rotace není hlavní osou setrvačnosti. Toto nastává, jsou-li např. na rotoru šikmo nasazeny hmotné kotouče, nehomogenitou materiálu, atd. Snahou tedy při dynamickém vyvažování je, aby osa rotace byla také hlavní osou setrvačnosti. Stav při šikmo nasazeném kotouči je uveden na obrázku 4.5. Vzhledem k tomu, že vyvažujeme momentové účinky, které můžeme modelovat jako silové dvojice, musíme vyvažovat minimálně ve dvou vyvažovacích rovinách. Vyvažování se provádí vždy za rotace. K vyvažování je potřeba mít speciální vyvažovací stroje, některé ze sofistikovaných vyvažovacích strojů mají vzduchoprázdnou komoru, aby došlo i k eliminaci odporu vzduchu. Vyvažování se provádí minimálně při dvou bězích stroje. Při prvním běhu se snímá poloha středu hřídele, po doběhu se spočítají místa a hmotnosti nevývažků. Při druhém běhu se sleduje, jak se změnila poloha středu hřídele oproti prvnímu běhu a po jeho skončení se provádí korekce nevývažků. Pak by měl následovat opět běh stroje a porovnání nové stavu oproti předchozím. V současné době jsou již metody na výpočet nevývažku na vysoké úrovni, a proto se od dalších běhů většinou upouští.
Obr. 4.5: Dynamické vyvažování Pro vyvažování obecně platí, že všechny rotační stroje by měli po výrobě projít procesem vyvažování. Jednotlivé normy stanovují, jaká je maximální povolená nevývaha pro který typ stroje. Reálná nevývaha by potom měla být menší než je povolená a u řady strojů se tato hodnota vyžaduje při předávání díla.
Obecný rovinný pohyb
Obecný rovinný pohyb se skládá z translačního pohybu, který je dán referenčním bodem a rotačního pohybu kolem tohoto referenčního bodu. Trajektorie bodů tělesa při obecném rovinném pohybu jsou křivky v rovnoběžných rovinách. Těleso při tomto pohybu má tři stupně volnosti – posuvy ve dvou osách a rotace kolem osy na ně kolmé. Pro odvození závislostí a vztahů použijeme model, který je uveden na obrázku 4.6.
Obr. 4.6: Těleso při obecném rovinném pohybu Pro polohu a rychlost bodu M tělesa z kinematiky platí:
Hybnost Hybnost tělesa, jakožto ukazatele pohybového stavu, je dána vztahem
Dosadíme-li do tohoto vztahu kinematické závislosti, dostaneme
Využijeme-li vztahu pro statický moment pohybu je
, výsledný vztah pro Hybnost tělesa při obecném rovinném
Moment hybnosti Moment hybnosti pro těleso konající obecný rovinný pohyb určíme ze vztahu
Opět dosadíme kinematické vztahy a dostaneme
Prostřední dva integrály jsou nulové, rychlost bodu M kolem těžiště můžeme vyjádřit jako je vztah pro Moment hybnosti následující
a potom
Pohybové rovnice Pohybové rovnice pro těleso konající obecný rovinný pohyb dostaneme pomocí derivací Hybnosti a momentu hybnosti
Z odvozených rovnic je vidět, že v momentové rovnici se vyskytuje i zrychlení, tzn. silová i momentová pohybová rovnice jsou spolu svázány. To není vždy výhodné pro řešení úloh, kdy by bylo lepší mít obě rovnice nezávislé. Jediná možnost je docílit toho, aby bylo nulové. Toho dosáhneme jedině tím, že jako referenční bod zvolíme těžiště. Potom ale soustavu rovnic musíme doplnit o tzv. doplňkové rovnice, které udávají kinematickou vazbu mezi rotačním a translačním pohybem. Doplnění těchto rovnic je pro řešení úloh nutné! Vezmeme-li jako referenční bod těžiště, potom se změní Moment hybnosti na tvar
Soustava pohybových rovnic potom bude mít tvar
Kinetická energie Kinetická energie tělesa konajícího obecný rovinný pohyb je dána vztahem
Uvedený vztah je již zjednodušen podobně jako pohybové rovnice. Je proto nezbytně nutné, aby dosazovaná rychlost tělesa byla vztažená k těžišti a stejně tak moment setrvačnosti byl vždy k ose procházející těžištěm. Pokud tohoto není dosaženo, musel by se použít nezjednodušený vztah, který je však komplikovaný.
Sférický pohyb
Těleso vykonává sférický pohyb, pokud existuje jeden bod tělesa, který je trvale v klidu. Trajektorie bodů tělesa jsou křivky v prostoru, které leží na kulových plochách. Těleso vykonávající sférický pohyb má tři stupně volnosti – rotace kolem všech tří souřadných os. Kinematika sférického pohybu a nebo pomocí tzv. Eulerových Pro analýzu pohybu je možné použít přístup přes tzv. Cardanovy úhly – úhlů – . Přístup pomocí Eulerových úhlů je rozšířenější a používanější. Eulerovy úhly jsou: φ – úhel rotace ψ – úhel precese η – úhel nutace Situace pro těleso konající sférický pohyb je na obrázku 4.7.
Obr. 4.7: Těleso konající sférický pohyb Pro řešení sférického pohybu je nejdůležitější veličinou okamžitá úhlová rychlost tělesa
. Je definována
Okamžitá úhlová rychlost leží na okamžité ose otáčení. Okamžitá osa otáčení je přímka, jejíž body mají nulovou rychlost. Řešení kinematiky sférického pohybu tělesa se provádí podle d’Alambertova teorému. Na základě tohoto teorému nahradit sférický pohyb rotačním pohybem okolo okamžité osy rotace. Vztahy pro sférický pohyb>">sférický pohyb jsou pak formálně stejné jako pro rotační pohyb. rychlost a zrychlení bodů tělesa
kde
je okamžitá rychlost bodu M
je vektor okamžité úhlové rychlosti tělesa je okamžitá poloha bodu M
kde
je okamžité úhlové zrychlení tělesa je okamžité zrychlení bodu M
Všechny veličiny mění jak svoji velikost, tak i svůj směr. Hybnost Pohybový stav tělesa je dán jeho Hybností. Hybnost tělesa při sférickém pohybu se dá vyjádřit stejně jako části věnované rotačnímu pohybu následovně:
Vztah odvozený pro Hybnost je formálně stejný jako vtah pro rotační pohyb. Rozdíl je ale v tom, že podle d’Alamberova principu je rychlost těžiště okamžitá rychlost a mění svoji velikost a směr. Moment hybnosti Analogicky jako vztah pro Hybnost se odvodí i vztah pro Moment hybnosti. Ztížením celého odvození je ale to, že se nejedná o jednu rotaci jako u rotačního pohybu, ale o tři rotace. Odvození je lepší provést ve spolurotujícím souřadném systému, kde se nám nemění velikosti některých vektorů. Obrázek tělesa s pevným a spolurotujícím systémem je na obrázku 4.8.
Obr. 4.8: Pevný a spolurotující souřadný systém u sférického pohybu Moment hybnosti lze odvodit z definičního vztahu
Nejprve je třeba provést jednotlivé vektorové součiny.
kde
Druhý vektorový součin odvodíme podobně
kde
Potom, po dosazení do definičního vztahu, a zavedení vztahů pro momenty setrvačnosti a deviační momenty dostaneme pro složky vektoru momentu hybnosti následující relace
což lze pro jednoduchost napsat v maticové podobě ve tvaru
Veličiny jsou v tomto souřadnicovém systému konstantní. Pomocí transformačních vztahů mezi souřadnicovým systémem pevným a spolurotujícím lze napsat vztah pro Moment hybnosti i v pevném souřadném systému
A v maticové podobě
Opět jsou všechny veličiny okamžité, tj. mění nejen svoji velikost, ale i svůj směr. Pohybové rovnice Pohybové rovnice se odvodí ze své definice jako časové derivace Hybnosti, resp. momentu hybnosti. Při derivaci je však nutno vzít v potaz, že všechny veličiny ve vztazích pro Hybnost, resp. moment hybnosti jsou veličiny okamžité, tj mění se nejen s časem, ale i s prostorovou souřadnicí. Proto je nutno provádět derivaci jako totální direnciál. Pohybové rovnice můžeme napsat v následujícím tvaru
je úhlová rychlost, s jakou se otáčí vektor Hybnosti kolem okamžité osy rotace je úhlová rychlost, s jakou se otáčí vektor momentu hybnosti kolem okamžité osy rotace První člen v obou rovnicích udává časovou změnu vektoru síly, resp. momentu síly, druhý člen udává prostorovou změnu. Jedná se tedy opět o okamžité veličiny. Ve speciálním případě, kdy souřadnicové osy budou hlavními osami setrvačnosti, lze momentové rovnice odvodit do tvaru
Těmto rovnicím se říká Eulerovy rovnice. Kinetická energie Kinetickou energii tělesa konajícího sférický pohyb je možno vyjádřit ve tvaru
kde je moment setrvačnosti k okamžité ose otáčení. Mění se během pohybu. Vyjádříme-li ho pomocí momentu setrvačnosti k jednotlivým osám a deviačním momentům, dostaneme vztah
Což lze opět napsat pomocí matic ve tvaru
Technicky využitelné případy sférického pohybu
sférický pohyb ve svém obecném případě je velmi složitý pro řešení a obecně nemusí být řešitelný v analytickém tvaru. Proto existuje několik případů technicky využitelné aplikace, kde je známo analytické řešení. Regulární precese Pro případ regulární precese platí, že úhel nutace η je konstantní. Z toho automaticky vyplývá, že úhlová rychlost nutace je nulová a okamžitá úhlová rychlost je součet úhlové rychlosti rotace a precese
Jeden z možných případů regulární precese je uveden na obrázku 4.9.
Obr.4.9: Regulární precese V tomto případě se dá lehce určit poloha uzlové přímky, na které leží vektor okamžité úhlové rychlosti – v případě dle obr. 4.8 se jedná o osu y. Obecně mohou existovat dva případy vzájemné prostorové polohy vektorů úhlové rychlosti rotace a precese. Schématicky jsou naznačeny na obrázku 4.10.
Obr. 4.10: Precesní pohyby Případ a) se nezývá souběžná precese, druhý případ je protiběžná precese. Okamžité úhlové zrychlení je dáno vztahem
kde musíme derivaci provádět jako složenou, neboť oba dva členy mění jak polohu, tak i velikost
Z tohoto vztahu lze dostat Resalovo zrychlení, dle vztahu
Toto zrychlení nám generuje přídavný moment – gyroskopický moment –
, definovaný podle vztahu
. Gyroskopický moment, který je svou podstatou setrvačný účinek, nám způsobuje přídavné zatížení. Toto zatížení je pak nutné kompenzovat v uložení. Těžký setrvačník Tento model tělesa konajícího sférický pohyb předpokládá působení jedné síly – gravitační a těleso je vázáno mimo těžiště. Roztočený setrvačník se brání účinkům působících sil (momentů) a má snahu neměnit svoji původní polohu. Tohoto efektu se využívá ke stabilizaci pohybujících se objektů, jako jsou lodi, kosmické objekty, apod. Lehký setrvačník Jedná se o technický případ, kdy na těleso konající sférický pohyb je vázáno v těžišti. Působící síly pak k ose rotace nevytvářejí žádné momenty. Nákres lehkého setrvačníku je na obr. 4.11.
Obr.4.11: Lehký setrvačník Jelikož na soustavu nepůsobí žádné momenty, platí
Moment hybnosti pro sférický pohyb je definován vztahem
a za předpokladu, že moment setrvačnosti ke konstantní, jednoznačně nám vyplývá, že konstantní musí být i okamžitá úhlová rychlost a pak i Kinetická energie. Budeme-li tento případ řešit pomocí Eulerových rovnic, dostaneme toto řešení
Tyto rovnice jsou rovnicemi „rovnoměrného“ pohybu. Bezsilový setrvačník tak zachovává svou polohu v prostoru. Po roztočení můžeme se závěsem libovolně otáčet a těleso zůstane ve své původní poloze. Toho se využívá pro navigaci jako kompasy, umělé horizonty v letadlech atd.
Příklad 1 Těleso hmotnosti m a délky l je zavěšeno na dvou stejně dlouhých lanech délky r, které jsou nehmotná. Na počátku pohybu bylo těleso vychýleno o úhel od svislého směru. Sestavte pohybové rovnice a vyřešte síly v lanech při pohybu tělesa.
Řešení: Jelikož jsou lana rovnoběžná, těleso koná translační pohyb. Pohybové rovnice proto napíšeme ke středu hmotnosti T pro osy tečnou a normálovou pro obecnou polohu tělesa, danou úhlem .
Soustavu dále doplníme momentovou podmínkou ktěžišti
Pro normálové a tečné zrychlení platí
Pohybové rovnice pak mají tvar
Rychlost tělesa můžeme vypočítat ze zákona o zachování energie
Síly působící vlanech můžeme spočítat z druhé pohybové rovnice
Příklad 2 Válec o hmotnosti m a poloměru R rotuje kolem svislé osy úhlovou rychlostí . Na válec začne působit třecí moment . Zjistěte, za jak dlouho se válec zastaví a kolik otáček během té doby vykoná.
Pohybová rovnice válce je následující
kde Zpohybové rovnice se vyjádří úhlové zrychlení
Zdefinice úhlového zrychlení dostaneme
Odtud integrací dostaneme časovou závislost úhlové rychlosti
Zpodmínky zastavení, tj. nulovosti
, dostaneme čas potřebný kzastavení válce
Počet otáček zjistíme zzávislosti úhlu natočení na čase. Závislost dostaneme další integrací úhlové rychlosti
Počet otáček si pak vyjádříme ze vztahu
Příklad 3 Na otáčející se kotouč o poloměru R a hmotnosti m působí konstantní moment M. Kotouče se dotýká tyč délky l. Tření mezi tyčí a kotoučem je f. Na konci tyče působí síla F. Tyč brzdí kotouč. Spočítejte, za jak dlouho se kotouč zastaví a kolik při tom vykoná otáček, jestliže na začátku pohybu byla úhlová rychlost kotouče .
Pohybová rovnice rotujícího válce je
kde
Statická rovnovážná momentová podmínka pro tyč je
Odtud potom je třecí síla
Dosazením do pohybové rovnice dostaneme
Zdefinice úhlového zrychlení dostaneme
Odtud integrací dostaneme časovou závislost úhlové rychlosti
Zpodmínky zastavení, tj.
dostaneme čas zastavení kotouče
Pro výpočet počtu otočení můžeme využít vztah
Dosazením za α dostaneme
Výsledné otočení kotouče je potom
Počet otáček potom zjistíme pomocí vztahu
Příklad 4
Válec o hmotnosti m a poloměru R je upevněn na laně jak je ukázáno na obrázku. Spočítejte rychlost středu válce ve vzdálenosti l, jestliže je puštěn s nulovou počáteční rychlostí.
Řešení můžeme provádět buď pomocí uvolnění a sepsání pohybových rovnic a jejich řešením a nebo pomocí energetického přístup. Uvedeme si oba dva případy. a) silový přístup k řešení Pohybové rovnice válce jsou
Soustavu musíme doplnit vazebnou rovnici, která svazuje rotační a translační pohyb
Postupně dosadíme jednu rovnici do druhé a eliminujeme některé neznáme a získáme jednu rovnici pro zrychlení
Dále použijeme kinematického vztahu mezi zrychlením, rychlostí a dráhou
do kterého dosadíme a integrujeme
Odtud pak již lehce zjistíme rychlost na konci dráhy
b) energetický přístup k řešení Jako hladinu nulové potenciální energie si vybereme nejnižší bod dráhy. Porovnáme celkovou energii na začátku a na konci pohybu
Dosazením kinematické závislosti do první rovnice se zbavíme jedné proměnné a můžeme vyjádřit rychlost
Příklad 5 Analyzujte pohyb válce o hmotnosti m a poloměru R. Nakloněná rovina má sklon β a výšku h. Válec má na začátku pohybu vnejvyšším místě nakloněné roviny nulovou rychlost. a) Bez pasivních odporů. Pro řešení svýhodou použije energetický přístup, který spočívá vporovnání celkových energií pro dva stavy. Vybereme si polohu na začátku a na konci nakloněné roviny. Situace je vykreslena na obrázku.
Na začátku nakloněné roviny má těleso nulovou rychlost a tak je kinetická energie nulová a těleso má jen potenciální energii. Na konci nakloněné roviny má těleso nejvyšší rychlost, a když si sem umístíme nulovou
hladinu potenciální energie, tak jediná energie je kinetická. Jelikož těleso koná obecný rovinný pohyb, je tato energie složená zčásti rotační a části translační. Tuto skutečnost můžeme zapsat následovně
Pro obecný rovinný pohyb tělesa platí následující kinematická závislost
Dosazením do první rovnice a úpravami dostaneme vztah pro maximální rychlost tělesa
Pro porovnání uveďme výsledek řešení pro model bodového tělesa, který je
b) Spasivními odpory. Vtomto případě nelze využít energetický přístup jak vpředchozím příkladu. Musíme použít metodu uvolňovací. Uvolněné těleso je na obrázku.
Jelikož předpokládáme, že těleso se valí, musíme do modelu zavést rameno valivého odporu e, dále musíme předpokládat, že neplatí vztah pro Coulombovo tření, tj. neplatí, že . Naopak platí vztah pro valení, tj. . Za těchto předpokladů můžeme sepsat pohybové rovnice
Tuto soustavu řešíme postupným eliminováním jednotlivých neznámých veličin, až získáme výsledný vztah pro zrychlení.
Rychlost dostaneme ze zrychlení pomocí kinematického vztahu mezi zrychlením, rychlostí a dráhou
Dosadíme-li za moment setrvačnosti
a za gravitační sílu
, dostaneme
Pro porovnání opět uveďme odpovídající vztah pro model hmotného bodu
Příklad 6 Analyzujte možnosti stabilizace lodi proti kývání ve vlnách pomocí setrvačníku. Celá situace je znázorněna na obrázku.
Pro loď plující ve vlnách je třeba stabilizovat příčné kývání. Vlny působící na loď je možno pro jednoduchost modelovat pomocí natáčení ve směru vektoru - vektoru úhlové rychlosti primární precese. Abychom docílili stabilizace, instalujeme na loď setrvačník, který se otáčí okolo své osy úhlovou rychlostí rotace těchto dvou současných rotací vznikne Resalovo zrychlení podle vztahu
Toto zrychlení nám vygeneruje gyroskopický moment
. Působením
podle vzorce
. Tento gyroskopický moment však nestabilizuje loď. Naopak, dojde kpodélnému kývání. Toto kývání vygeneruje sekundární precesy, popsanou vektorem spolu svektorem rotace
- vektorem úhlové rychlosti sekundární precese. Tento vektor nám
opět vytváří Resalovo zrychlení podle vztahu
a toto zrychlení dále gyroskopický moment . Teprve tento moment působí proti vektoru primární precese
a stabilizuje tento pohyb. Bohužel došlo kvytvoření
dalšího přídavného účinku vpodobě vektoru gyroskopického momentu . Kjeho odstranění je nutné umístit na loď další setrvačníky. Celkem na stabilizaci lodi ve všech směrech jsou potřeba tři setrvačníky.
