SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
VZPĚRNÁ PEVNOST Namáhání na vzpěr patří mezi zvláštní způsoby namáhání. Pokud je délka součásti srovnatelná s přůřezovými rozměry, součást je namáhána na tlak. Je-li délka mnohonásobně větší než jsou rozměry průřezu, jedná se o namáhání na vzpěr (pruty prutových konstrukcí, podpěrné sloupy, ojnice spal.motorů apod.) Zvláštností tohoto druhu namáhání je, že se součást (prut) při určité velikosti zatěžující síly (Fkr) vychýlí z původní přímé polohy do strany ve směru nejmenšího odporu – dojde ke ztrátě stability
a) stabilní rovnovážný stav b) ztráta stability (prohnutí součásti) v tom směru, ve kterém je kvadratický moment průřezu nejmenší (Jmin) Fkr - kritická síla na mezi vzpěrné pevnosti; prut je při ní značně, avšak ještě pružně deformován. Při překročení této síly dojde k porušení - zlomení (křehký materiál) - ohnutí (houževnatý mat.)
Štíhlost prutu
λ=
lred [1] jmin
lred [mm]
, kde redukovaná délka prutu = délka sinusové půlvlny deformační čáry (závisí na způsobu uložení prutu)
J min poloměr setrvačnosti S Jmin [mm] minimální kvadratický moment průřezu S mm 2 průřez prutu jmin =
[
]
-1-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
Základní případy uložení
Mezní štíhlost E λm = π ⋅
σu
Hodnoty mezní štíhlosti Materiál Uhlíková ocel Slitinová ocel Pružinová ocel Šedá litina Dřevo
Mezní štíhlost λm 90 až 105 86 60 80 100
-2-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
Pružný vzpěr (Euler) λ 〉 λm - k porušení stability dojde v pružné oblasti materiálu (napětí pod mezí úměrnosti σ u ) Kritická síla závisí na materiálu( E ), uložení ( lred )a rozměrech prutu ( J min ) Fkr =
π 2 ⋅ E ⋅ J min
FD max =
lred
2
π 2 ⋅ E ⋅ J min lred ⋅ k 2
- dovolená maximální síla, kde
E [MPa ] ... modul pružnosti v tahu
[
]
J min mm 4 ... minimální kvadratický moment průřezu prutu k [1] ... součinitel bezpečnosti (bezpečnost) Hodnoty součinitelů bezpečnosti ojnice spalovacích motorů ojnice pístových čerpadel ocelové pruty prutových soustav litinové prutové konstrukce dřevěné prutové konstrukce
k k k k k
= 7 ÷ 15 = 20 ÷ 40 = 2÷3 = 5÷6 = 2,5 ÷ 8
Kontrolní výpočet Vypočtená síla FD max se porovná se silou skutečnou, která prut namáhá
Návrhový výpočet FD max =
π 2 ⋅ E ⋅ J min lred ⋅ k 2
⇒ J min =
2 kFlred ⇒ průřezové rozměry π 2E
Po vypočtení průřezových rozměrů je obvykle třeba ověřit, zda platí λ 〉 λm , a tedy oprávněnost použití Eulerovy rovnice
-3-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
Nepružný vzpěr (Tetmajer)
λ 〈λm
- k porušení stability dojde v nepružné oblasti materiálu – napětí nad mezí úměrnosti σ u Tetmajerova Jasinského rovnice v případě nepružného vzpěru platí od meze úměrnosti do meze kluzu:
Fkr = S ⋅ σ kr , kde
[
]
S mm 2 ... průřez prutu σ kr = a − bλ + cλ2 [MPa ] ...kritické napětí způsobené kritickou silou Fkr a, b, c ... materiálové konstanty (viz ST) Dovolená maximální síla S ⋅ σ kr FD max = vztah použitelný pouze pro kontrolní výpočet k
Materiál
σ Pt [MPa ]
σ Kd [MPa ] σ Kr [MPa ]
Rozsah platnosti
λ
Kontrola na prostý tlak pro λ menší než
780
-
776 − 12λ + 0,053λ2
0 až 80
-
Ocel 11 370
370 až 450
200 až 250
289 − 0,82λ
60 až 100
60
Ocel 11 500
500 až 600
260 až 290
335 − 0,62λ
60 až 100
60
Legovaná ocel
500 až 750
280 až 420
589 − 3,82λ
0 až 86
22
Měkké dřevo
28
-
29,3 − 0,194λ
0 až 100
-
Tvrdé dřevo
40
-
37,5 − 0,275λ
0 až 100
-
Šedá litina
Pozn. Návrhový výpočet se provádí z namáhání na prostý tlak (se sníženou hodnotou σ Dd ) nebo z Eulerovy rovnice. Vypočtené hodnoty je pak třeba ještě zkontrolovat
-4-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
Výpočet podle součinitele vzpěrnosti c (podle ČSN 73 1401) - pro výpočet průřezových rozměrů prutů prutových (příhradových) konstrukcí jeřábů, mostů, stožárů apod. Princip : Výpočet na vzpěr převeden na výpočet namáhání tlakem zatěžující silou vynásobenou součinitelem vzpěrnosti c F .c ≤ σ Dd - pouze pro kontrolní výpočet S
σ Dd , kde σ Dv - dovolené napětí ve vzpěru σ Dv Souč.vzpěrnosti c závisí na štíhlosti λ a materiálu prutu c=
Návrhový výpočet se provádí z namáhání na prostý tlak (se sníženou hodnotou σ Dd ) a takto navržené rozměry se kontrolují pomocí součinitele vzpěrnosti c
Pozn. Při navrhování prutů prutových konstrukcí je vhodné používat prutů složených, které mají stejný kvadratický moment průřezu k oběma osám
-5-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
-6-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
-7-
SPŠ a VOŠ KLADNO
PRUŽNOST A PEVNOST
-8-
