Příklad P9.1 – Výpočet šířky trhlin - deska D1
Zadání příkladu U stropní desky D1 z přílohy C1 posuďte mezní stav omezení šířky trhlin přímým výpočtem, dle EN 1992-1-1 čl. 7.3.4. Zatížení, krytí, výztuž na ohyb apod. uvažujte dle předchozích příkladů (P1.1, P2.1, P3.1).
Použité materiály Beton C25/30:
charakteristická pevnost betonu v tlaku f ck = 25 MPa , návrhová pevnost betonu v tlaku f cd = střední pevnost betonu v tahu f ctm
f ck
=
25 = 16 ,7 MPa , 1,5
γc = 2 ,6 MPa ,
modul pružnosti Ecm = 31GPa . charakteristická pevnost výztuže v tahu f yk = 500 MPa ,
Ocel B500B:
návrhová pevnost výztuže v tahu f yd =
f yk
γs
=
500 = 434 ,8 MPa , 1,15
modul pružnosti E s = 200GPa .
Dáno Hodnoty zatížení, účinného rozpětí a vnitřních sil jsou převzaty z příkladu P1.1, hodnoty krytí výztuže poté z příkladu P2.1. Posouzení na ohyb bylo provedeno v příkladu P3.1.
h = 0,12 m, b = 1,00 m, c = 0,020 m, φ = 0,010 m, As = 4,13 ⋅10-4 m2, d1 = 0,025 m, d = 0,095 m, fd=13,11 kN/m , MEd = 15,95kNm, fk = 9,89 kN/m (charakteristická kombinace), fkψ2 = =7,89 kN/m (kvazistálá kombinace). Ohybový moment od kvazistálé kombinace zatížení:
M Eψ 2 =
1 1 f kψ 2 ⋅ l 2 = 7 ,89 ⋅ 3 ,12 2 = 9 ,60 kNm. 8 8
Ohybový moment od charakteristické kombinace zatížení:
M Ek =
1 1 f k ⋅ l 2 = 9 ,89 ⋅ 3 ,12 2 = 12 ,03 kNm. 8 8
Průřezové charakteristiky betonu Ac = b ⋅ h = 1,0 ⋅ 0 ,12 = 0 ,120 m 2 . 1 1 Moment setrvačnosti betonu: I c = ⋅ b ⋅ h 3 = ⋅ 1,0 ⋅ 0 ,12 3 = 0 ,000144 m 4 . 12 12 Plocha betonu:
Průřezové charakteristiky ideálního průřezu Poměr modulů pružnosti:
αe =
E s 200 = = 6 ,45 . Ecm 31
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
1/5
Příklad P9.1 – Výpočet šířky trhlin - deska D1 Plocha ideálního průřezu: Ai = Ac + As ⋅ α e = 0 ,120 + 4 ,13 ⋅ 10 −4 ⋅ 6 ,45 = 0 ,1227 m 2 . Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od těžiště betonového průřezu:
ti =
α e ⋅ As ⋅ as Ai
=
6 ,45 ⋅ 4 ,13 ⋅ 10 −4 ⋅ 0 ,035 = 0 ,000760 m . 0 ,1227
Moment setrvačnosti plně působícího ideálního průřezu:
I ci = I c + Ac ⋅ ti2 + α e As ( as − ti )2 = 0 ,000144 + 0 ,12 ⋅ 0 ,000760 2 + + 6 ,45 ⋅ 4 ,13 ⋅ 10 −4 ⋅ ( 0 ,035 − 0 ,000760 )2 = 0 ,000147 m 4 .
Obr. 1 a) Železobetonový betonový, b) ideální plně působící průřez
Posouzení omezení napětí v tažených vláknech betonu Napětí v tažených vláknech betonu od kvazistálé kombinace na plně působícím ideálním průřezu:
σ ct =
M Eψ 2 ⋅ ( h / 2 − ti ) 9 ,6 ⋅ 10 −3 ⋅ ( 0 ,060 − 0 ,000760 ) = = I ci 0 ,000147
= 3,87 MPa > f ctm = 2 ,6 MPa ⇒ od kvazistálé kombinace vzniknou v betonu ohybové trhliny a je tedy třeba uvažovat průřez porušený trhlinou a posoudit omezení šířky trhlin. Alternativní způsob posouzení je možno provést stanovením momentu na mezi vzniku trhliny
M cr = f ctm .
0 ,000147 I ci = 2 ,6 ⋅ 10 3 = 6 ,45kNm , 0 ,060 − 0 ,000760 h / 2 − ti
M cr ≤ M Eψ 2 = 9 ,6 kNm ⇒ vzniknou trhliny.
Posouzení šířky trhlin Limitní šířka trhlin wmax = 0 ,4 mm pro kvazistálou kombinaci a prostředí XC1 (dle tab. 7.1.N EN 1992-1-1). wk = sr ,max ( ε sm − ε cm ) . Šířka trhlin:
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
2/5
Příklad P9.1 – Výpočet šířky trhlin - deska D1 Maximální vzdálenost trhlin: Pokud
vzdálenost
soudržné
výztuže
překročí
5 ⋅ ( c + φ / 2 ) = 5 ⋅ ( 20 + 10 / 2 ) = 125mm (náš případ), nebo
pokud soudržná výztuž není v tažené oblasti, lze horní mez šířky trhlin stanovit za předpokladu maximální vzdálenosti trhlin
sr ,max = 1,3 ⋅ ( h − x ) = 1,3 ⋅ ( 120 − 20 ) = 130 mm. V případech, kde soudržná výztuž je umístěna v dostatečné blízkosti středu tažené oblasti (vzdálenost ≤ 5(c+φ/2)), lze maximální výslednou vzdálenost trhlin vypočítat ze vztahu (7.11 EN 1992-1-1) (viz obrázek 7.2 EN 1992-1-): sr ,max = k3 c + k1k 2 k4φ / ρ p ,eff ,
k1 = 0 ,8 , pro pruty s velkou soudržností. k 2 = 0 ,5 , pro prostý ohyb. k 3 = 3,4 , k 4 = 0 ,425 .
Součinitel: Součinitel: Součinitel:
Efektivní výška:
hc ,ef = min{2 ,5 ⋅ ( h − d );( h − x ) / 3; h / 2} =
= {2 ,5 ⋅ ( 0 ,12 − 0 ,095 );( 0 ,12 − 0 ,02 ) / 3;0 ,12 / 2} = = {0 ,063;0 ,033;0 ,06} = 0 ,033m > φ + c = 0 ,010 + 0 ,020 = 0 ,030 m ⇒ veškerá výztuž leží v pásmu hc ,ef . Pozn:. stanovení x, viz dále. Efektivní plocha:
Ac ,eff = hc ,ef ⋅ b = 0 ,033 ⋅ 1 = 0 ,033 m 2 .
Efektivní stupeň vyztužení: Obr. 2 Efektivní plocha
ε sm
ε cm
ρ p ,eff =
As 4 ,13 ⋅ 10 −4 = = 0 ,01252 . Ac ,eff 0 ,033
je průměrná hodnota poměrného přetvoření výztuže při příslušné kombinaci zatížení, zahrnující účinek vnesených deformací a přihlížející k účinkům tahového ztužení. Uvažuje se pouze přídavné tahové poměrné přetvoření od stavu nulového poměrného přetvoření betonu ve stejné úrovni, je průměrná hodnota poměrného přetvoření betonu mezi trhlinami,
σ s − kt ε sm − ε cm =
ε sm − ε cm
f ct ,eff
ρ p ,eff
( 1 + α e ⋅ ρ p ,eff ) ≥ 0 ,6
σs
,
Es Es 2 ,6 263 − 0 ,4 ( 1 + 6 ,45 ⋅ 0 ,01252 ) 263 0 , 01252 = ≥ 0 ,6 , 3 200 ⋅ 10 200 ⋅ 10 3 = 0 ,000866 ≥ 0 ,000789 ⇒
ε sm − ε cm ε sm − ε cm = 0 ,000866.
Průměrná hodnota pevnosti betonu v tahu v okamžiku prvního očekávaného vzniku trhlin: f ct ,eff = f ctm = 2 ,9 MPa . Součinitel:
kt = 0 ,4 , dlouhodobé zatížení.
σs
je napětí v tahové výztuži stanovené v průřezu porušeném trhlinou.
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
3/5
Příklad P9.1 – Výpočet šířky trhlin - deska D1 Předpoklady výpočtu napětí σs Při namáhání průřezu ohybovým momentem případně normálovou silou postupujeme při výpočtu napětí ve výztuži σ s dle následujících předpokladů: 1) velikost poměrného přetvoření ε je přímo úměrná vzdálenosti od nulové tj. od neutrální osy, 2) beton v tažené oblasti průřezu v důsledku trhlin nepůsobí (veškerá tahová napětí přenáší výztuž), 3) tlaková napětí betonu v tlačené oblasti průřezu jsou rozdělena lineárně, hodnota napětí je přímo úměrná vzdálenosti od neutrální osy, v krajních vláknech je
σ c = ε c ⋅ Ec
4) napětí ve výztuži se stanovuje dle pružnosti σ s = ε s ⋅ Es a je přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy, 5) platí rovnováhy vnějších a vnitřních sil.
Obr. 3 a) Stanovení napětí ve výztuži, b) průřez plně porušený trhlinou. Síla v tlačeném betonu: Síla v tažené výztuži: Platí geometrické podmínky rovnováhy:
1 1 Fc = σ c ⋅ xr ⋅ b = ε c ⋅ Ecm ⋅ xr ⋅ b . 2 2 Fs = σ s ⋅ As = ε s ⋅ Es ⋅ As .
εs d − xr εc
=
εc
Dosadíme do předchozího vztahu a dostáváme:
Fs =
Platí silová podmínka rovnováhy:
0 = Fc − Fs ,
xr
xr
⇒ εs =
εc xr
⋅ ( d − xr ) .
⋅ ( d − xr ) ⋅ E s ⋅ As .
ε 1 0 = ε c ⋅ Ecm ⋅ xr ⋅ b − c ⋅ ( d − xr ) ⋅ Es ⋅ As , a po její úpravě dostáváme 2 xr 1 ⋅ b ⋅ xr2 + As ⋅ xr − As ⋅ d . kvadratickou rovnici o jedné neznámé tlačené výšce xr . 0 = 2α e
po dosazení:
Jejím řešením dostáváme jeden reálný kořen.
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
4/5
Příklad P9.1 – Výpočet šířky trhlin - deska D1 − As ± As2 + 2 ⋅ As ⋅ d ⋅ b ⋅ xr =
1
αe
1
αe
=
⋅b
− 4 ,13 ⋅ 10 −4 ± ( 4 ,13 ⋅ 10 −4 )2 + 2 ⋅ 4 ,13 ⋅ 10 −4 ⋅ 0 ,095 ⋅ 1,0 ⋅ =
1 ⋅ 1,0 6 ,45
1 6 ,45
= 0 ,020 m.
Moment setrvačnosti ideálního průřezu porušeného trhlinami:
Napětí ve výztuži:
1 I cr = b ⋅ xr3 + α e As ( d − xr )2 = 3 1 1,0 ⋅ 0 ,020 3 + 6 ,45 ⋅ 4 ,13 ⋅ 10 − 4 ( 0 ,095 − 0 ,020 )2 = 0 ,00001765 m 4 . 3 M ⋅ ( d − xr ) 9 ,6 ⋅ 10 −3 ⋅ ( 0 ,095 − 0 ,020 ) σ s = α e Eψ 2 = 6 ,45 = 263MPa. I cr 0 ,00001765
Výslední šířka trhlin dle (EN 1991-1-1 čl. 7.3.4) bude:
wk = sr ,max ( ε sm − ε cm ) = 130 ⋅ 0 ,000866 = 0 ,113mm , wk = 0 ,113mm ≤ wmax = 0 ,4 mm , vyhovuje.
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
5/5