Vraagstukken van de tweede graad 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal. 2. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. 3. Verdeel het getal 37 in twee delen die 322 als product hebben. 4. De tweedemacht van een getal is 30 meer dan dit getal zelf. Bepaal dit getal. 5. Door welk natuurlijk getal moet men 333 delen om een quotiënt te bekomen dat tweemaal zo groot is als de rest en gelijk is aan de deler? 6. Een rechthoek heeft een omtrek van 14m en een diagonaal van 5m. Bereken lengte en breedte. 7. Bepaal x zodat driehoek DPC rechthoekig is.
8. Een rechthoekig grasperk van 16m op 24m moet omboord worden met een bloemenstrook van constante breedte. Bepaal deze breedte zo dat de oppervlakte van de gehele tuin het dubbele is van de oppervlakte van het grasperk. 9. De som van twee getallen is 15. De som van hun kwadraten is 113. Bepaal die twee getallen. 10. Een bedrijf verdeelt een eenmalige premie van € 12.000 onder zijn 26 werknemers. Elke bediende krijgt € 100 meer dan elke arbeider en de bedienden ontvangen samen tweemaal zoveel als de arbeiders. Hoeveel bedienden en hoeveel arbeiders zijn er tewerkgesteld in dit bedrijf? 11. De leden van visclub ‘De gulden snoek’ betalen elke maand een gezamenlijke bijdrage van € 84. Wegens onenigheid zijn 7 leden opgestapt. De maandelijkse bijdrage per persoon verhoogt hierdoor met € 2 om de totaalbijdrage per maand op € 84 te houden. Hoeveel vissers telde de club voor de onenigheid?
OPLOSSINGEN 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal. Keuze onbekende
x: het getal
Vergelijking: x + x² = 90 x² + x – 90 = 0 D = b² - 4ac = 1² - 4.(-90) = 1 + 360 = 361 x1 =
b D 1 361 1 19 18 = =9 2 2 2a 2
x2 =
b D 1 361 1 19 20 = = -10 2 2 2a 2
Antwoord: het getal in 9 of -10 2. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. Keuze onbekende
x: het kleinste getal
Andere onbekende:
het grootste getal: x + 1
Vergelijking: x² + (x+1)² = 365 x² + x² + 2x + 1 -365 = 0 2x² + 2x – 364 = 0 x² + x – 182 = 0 D = b² - 4ac = 1² - 4.(-182) = 1 + 728 = 729 x1 =
1 27 26 b D 1 729 = = 13 2 2 2a 2
x2 =
1 27 28 b D 1 729 = = -14 2 2 2a 2
Antwoord: de getallen zijn 13 en 14 en ook -14 en -13
3. Verdeel het getal 37 in twee delen die 322 als product hebben. Keuze onbekende
x: het eerste getal
Andere onbekende:
het tweede getal: 37 – x
Vergelijking: x(37 – x) = 322 37x – x² -322 = 0 -x² + 37x – 322 = 0 D = b² - 4ac = 37² - 4.(-1)(-322) = 1369 – 1288 = 81 x1 =
b D 37 81 37 9 28 = = 14 2 2 2a 2
x2 =
b D 37 81 37 9 46 = = 23 2 2 2a 2
Antwoord: de getallen zijn 14 en 23 (of omgekeerd) 4. De tweedemacht van een getal is 30 meer dan dit getal zelf. Bepaal dit getal. Keuze onbekende
x: het getal
Vergelijking: x² = x + 30 x² - x – 30 = 0 D = b² - 4ac = (-1)² - 4.(-30) = 1 + 120 = 121 x1 =
b D 1 121 1 11 12 = = 6 2 2 2a 2
x2 =
b D 1 121 1 11 10 = = -5 2 2 2a 2
Antwoord: het getal is 6 of -5
5. Door welk natuurlijk getal moet men 333 delen om een quotiënt te bekomen dat tweemaal zo groot is als de rest en gelijk is aan de deler? Hier moet je weten wat het verband is tussen deeltal, deler, quotiën en rest. Dat verband is:
a = d.q + r (het getal is deler maal quotiënt plus rest.)
Keuze onbekende
x: de rest
Andere onbekenden:
het quotiënt: 2x de deler: 2x
Vergelijking: 333 = 2x.(2x) + x 333 = 4x² + x 4x² + x – 333 = 0 D = b² - 4ac = 1² - 4.4.(-333) = 1 + 5328= 5329 x1 =
1 73 72 b D 1 5329 = = 9 8 8 2a 2.4
x2 =
1 73 74 37 b D 1 5329 = = (geen natuurlijk getal) 8 8 2a 2.4 4
Antwoord: de rest is 9, en de deler is 18. (het quotiënt is dan ook 18) Want 333 = 18.18 + 9 6. Een rechthoek heeft een omtrek van 14m en een diagonaal van 5m. Bereken lengte en breedte. Keuze onbekende
x: de lengte
Andere onbekenden:
de breedte:
14 2x =7-x 2
Vergelijking: x² + (7-x)² = 5²
(Stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek)
x² + 49 – 14x + x² = 25 2x² - 14x +24 = 0 x² - 7x + 12 = 0 D = b² - 4ac = (-7)² - 4.12 = 49 – 48 = 1 x1 =
b D 7 1 7 1 8 = 4 = 2 2 2a 2
x2 =
b D 7 1 7 1 6 = 3 = 2 2 2a 2
Antwoord: de lengte is 3 en de breedte 4 m (of omgekeerd)
7. Bepaal x zodat driehoek dpc rechthoekig is.
Keuze onbekende
x: de afstand |AP|
Andere onbekenden:
|PB| = 17 – x |PC| =
AP ² AC ² =
x² 4²
|PD| =
BP² BD² =
(17 - x)² 4² (Pythagoras in ΔAPC)
Vergelijking: (x² + 4²) +((17-x)² + 4² ) = 17²
(Pythagoras in ΔCPD)
x² + 16 + 289 – 34x + x² + 16 = 289 2x² -34x + 32 = 0 x² - 17x + 16 = 0 D = b² - 4ac = (-17)² - 4.16 = 289 – 64 = 225 x1 =
17 15 32 b D 17 225 = = 16 2 2 2a 2
x2 =
b D 17 225 17 15 2 = = 1 2 2 2a 2
Antwoord: de zijde x is 1 of 16.
(Pythagoras in ΔAPC)
8. Een rechthoekig grasperk van 16m op 24m moet omboord worden met een bloemenstrook van constante breedte. Bepaal deze breedte zo dat de oppervlakte van de gehele tuin het dubbele is van de oppervlakte van het grasperk.
Keuze onbekende
x: de breedte van de bloemenstrook
Andere onbekenden:
lengte tuin met de bloemenstrook: 24 + 2x breedte tuin met de bloemenstrook: 16 + 2x
Vergelijking: (24+2x)(16+2x) = 2.16.24
(Lengte * breedte grote rechthoek is dubbel van oppervlakte van kleine rechthoek want de oppervlakte van het gras en van de bloemen is gelijk)
384 + 48x + 32x + 4x² = 768 4x² + 80x – 384 = 0 x² + 20x – 96 = 0 D = b² - 4ac = 20² - 4.(-96) = 400+ 384 = 784 x1 =
20 28 8 b D 20 784 = = 4 2 2 2a 2
x2 =
20 28 48 b D 20 784 = = -24 (geen oplossing) 2 2 2a 2
Antwoord: wanneer de bloemenstrook 4 m breed is, is de oppervlakte van de bloemenstrook gelijk aan de oppervlakte van het grasveld, en dus is het grasveld dan de helft van de totale oppervlakte van de tuin.
9. De som van twee getallen is 15. De som van hun kwadraten is 113. Bepaal die twee getallen. Keuze onbekende
x: eerste getal
Vergelijking x² + (15-x)² = 113 x² + 225 – 30x + x² = 113 2x² - 30x + 112 = 0 x² - 15x + 56 = 0 D = b² - 4ac = (-15)² - 4.56 = 225 – 224 = 1 x1 =
b D 15 1 15 1 16 = = 8 2 2 2a 2
x2 =
b D 15 1 15 1 14 = = 7 2 2 2a 2
De getallen zijn 7 en 8 (of omgekeerd)
10. Een bedrijf verdeelt een eenmalige premie van € 12.000 onder zijn 26 werknemers. Elke bediende krijgt € 100 meer dan elke arbeider en de bedienden ontvangen samen tweemaal zoveel als de arbeiders. Hoeveel bedienden en hoeveel arbeiders zijn er tewerkgesteld in dit bedrijf? Wanneer de bedienden samen dubbel zoveel krijgen als de arbeiders, betekent dat dat de arbeiders 4000 euro krijgen (12000:3), en de bedienden 8000 (het dubbele ervan) Keuze onbekende
x: aantal arbeiders
Andere onbekende:
premie arbeider:
4000 x
aantal bedienden: 26 – x premie bediende:
8000 26 x
Vergelijking 8000 4000 = + 100 26 x x
(Elke bediende krijgt 100 euro meer dan een arbeider)
8000x 4000(26 x ) 100x(26 x ) x(26 x ) x(26 x )
8000x = 104000 – 4000x + 2600x – 100x² 100x² + 9400x - 104000 = 0 x² + 94x +1040 = 0 D = b² - 4ac = 94² - 4.(-1040) = 8836 + 4160 = 12996
x1 =
94 114 20 b D 94 12996 = = 10 2 2 2a 2
x2 =
b D 94 12996 94 114 208 = = -104 (geen oplossing) 2 2 2a 2
Antwoord: er zijn 10 arbeiders en (26-10 =) 16 bedienden. (De arbeiders krijgen ieder 400 euro en de bedienden 500)
11. De leden van visclub ‘De gulden snoek’ betalen elke maand een gezamenlijke bijdrage van € 84. Wegens onenigheid zijn 7 leden opgestapt. De maandelijkse bijdrage per persoon verhoogt hierdoor met € 2 om de totaalbijdrage per maand op € 84 te houden. Hoeveel vissers telde de club voor de onenigheid? Keuze onbekende
x: aantal leden vroeger
Andere onbekende:
aantal leden nu: x-7 bijdrage vroeger: bijdrage nu:
84 x
84 x7
Vergelijking 84 84 = +2 x7 x
84x 84( x 7) 2x( x 7) x( x 7) x( x 7)
84x = 84x – 588 + 2x² - 14x 2x² - 14x – 588 = 0 x² - 7x – 294 = 0 D = b² - 4ac = (-7)² - 4(-294) = 49 + 1176 = 1225
x1 =
b D 7 1225 7 35 42 = = 21 2 2 2a 2
x2 =
7 35 21 b D 7 1225 = (geen oplossing) 2a 2 2 4
Antwoord: er waren eerst 21 leden. (Nu nog 14, vroeger betaalden ze ieder 84/21 = 4 euro, nu 6 euro per lid)
