Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad

3

Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad 1

Het basisvenster

Downloaden van GeoGebra

- GeoGebra is een gratis wiskundepakket dat meetkunde of geometrie en algebra combineert. Elk meetkundig object correspondeert met een algebraïsche uitdrukking en omgekeerd. Het pakket wordt ontwikkeld door Markus Hohenwarter aan de Florida Atlantic University voor het wiskundeonderwijs in de middelbare scholen. - GeoGebra 4.2 is gratis te downloaden via http://www.geogebra.org. Kies dan voor ‘Software’ en daarna bij ‘Geogebra Desktop’ voor ‘Windows’. Kies bij het installeren voor taal Nederlands. Bevestig dat je akkoord gaat met de licentievoorwaarden. Kies voor de standaardinstallatie en de knop ‘Installeren’. De installatie wordt nu voltooid, waarna je GeoGebra 4.2 kan opstarten. Om na te gaan over welke versie je beschikt, kan je het nummer opvragen via Help, About/Licentie. - Een voorlopige demoversie van GeoGebra 5.0 met een onderdeel voor ruimtemeetkunde kun je downloaden via het forum op de website http://www.geogebra.org/forum. Ga naar het onderdeel Bètatests Kies daar voor:

en daarna voor:

en dan voor:

Kies nu voor de laatste beschikbare Installer versie. Bij mij was dit: Merk op dat de versie 5 eigenlijk een 4.9 versie is. De rest van de installatie gebeurt zoals bij GeoGebra 4.2.

2

Gebruik van Geogebra

- Je kunt GeoGebra gebruiken in de lessen meetkunde (werken met punten, rechten, lijnstukken, cirkels, vectoren, hoeken, lengte en oppervlakte, eigenschappen onderzoeken van vlakke figuren, werken met transformaties van het vlak, congruentie en gelijkvormigheid, driehoeksmeting, analytische meetkunde,...), in de lessen getallenleer (numerieke berekeningen, uitwerken en ontbinden van algebraïsche vormen, oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels, werken met tabellen, voorschriften en grafieken van functies, rijen,…) en in de lessen beschrijvende statistiek en kansrekenen. Met de proefversie van GeoGebra 5.0 kun je ook aan ruimtemeetkunde doen. - GeoGebra kan gebruikt worden: - door de leraar om theorie (begrippen en eigenschappen) of oefeningen in de klas te demonstreren, - door de leerlingen om zelfstandig de theorie te verwerken aan de hand van een bestaande applet, - door de leerlingen om de resultaten van een oefening te controleren aan de hand van een bestaande applet of door zelf een applet op te bouwen, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze gebruik maken van een bestaande applet, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze zelf de applet opbouwen.

Wanneer je GeoGebra opstart krijg je bovenstaand beeld. - Bovenaan zie je de menubalk (Bestand, bewerken,...). We bespreken de menubalk onder 4. - Daaronder vind je werkbalk of de knoppenbalk. Hier vind je een aantal tekenopdrachten waarmee je constructies kunt uitvoeren in het tekenvenster. Terzelfdertijd worden de overeenkomstige coördinaten, vergelijkingen,... getoond in het algebravenster. We bespreken de werkbalk verder in 8. - Daaronder zie je twee vensters: links het algebravenster en rechts het tekenvenster. De schikking van deze vensters kan gewijzigd worden. In het algebravenster wordt onderscheid gemaakt tussen vrije objecten en afhankelijke objecten. Vrije objecten kunnen rechtstreeks gewijzigd worden. Dit is niet het geval voor afhankelijke objecten. In het tekenvenster staat een assenstelsel getekend. Dit assenstelsel kun je ook weglaten. - Helemaal onderaan vind je de invoerlijn (zie 6). Hier kun je rechtstreeks objecten, functies en commando's invoeren. Onmiddellijk na het indrukken van ENTER worden alle overeenkomstige objecten in het tekenvenster en het algebravenster getoond. Ook dit bespreken we verder in 8.

4

De menubalk

4.1

Bestand

Nieuw venster Nieuw Openen Open webpagina Open recente Bestanden Opslaan (als) Broncode kopiëren Exporteren Afdrukvoorbeeld Sluiten

Creëert een 2de, 3de,... venster om in te werken. Je start opnieuw met een leeg venster. Je kunt al of niet het vorige venster opslaan. Hiermee kun je een bestand inladen en openen. Hiermee kun je applets van het internet inladen en openen Hiermee kun je bestanden openen die je recent gebruikt hebt. Hiermee kun je een bestand opslaan (onder een bepaalde naam). Hiermee kun je applets invoeren vanuit Geogebra Wiki. 1 Hiermee kun je een dynamisch werkblad als webpagina maken . Je kunt ook het tekenvenster of een deel ervan kopiëren naar bijv. een Wordbestand. Laat je een afdrukvoorbeeld zien. Je kunt op voorhand een deel van het tekenvenster selecteren. Hiermee sluit je GeoGebra af.

1

Je kiest dan voor het tabblad ‘Exporteer als webpagina’. Je vult de titel in en plaatst de tekst van de opgave boven of onder de constructie. In het tabblad ‘Geavanceerd’ kun je kiezen of de menubalk, de werkbalk en/of de invoerlijn moeten getoond worden. Als je dan klikt op ‘exporteren’ is de webpagina klaar voor gebruik.

1

2

4.2

Bewerken

Ongedaan maken Opnieuw Kopiëren Plakken Tekenvenster kopiëren Afbeelding invoegen van Eigenschappen

Alles selecteren Toon/verberg objecten Toon/verberg labels Verwijderen 4.3

4.4 Hiermee kun je een vorige bewerking ongedaan maken. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk. Hiermee kun je het ongedaan maken opnieuw annuleren. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk Hiermee kun je de geselecteerde elementen kopiëren. Hiermee kun je de gekopieerde elementen plakken op een willekeurige plaats in hetzelfde of een ander venster. Hiermee kun je het tekenvenster of een deel ervan kopiëren, bijv. naar een Wordbestand. Hiermee kun je op een willekeurige plaats van het scherm een afbeelding invoeren uit een bestand of van het klembord. Dit brengt je in het menu ‘voorkeuren’. Je kan dit menu ook oproepen met de knop rechts van de werkbalk. Met het eerste ikoontje ( ) kun je één of meerdere objecten aanduiden in de linkerkolom en daarvan de eigenschappen wijzigen. We leggen dit uit in 5.3. Met het tweede ikoontje ( ) kun je het tekenvenster opmaken. We leggen dit uit in 5.2. Met het ikoontje kun je het invoerveld, de werkbalk en de titelbalk al dan niet zichtbaar maken. Met het ikoontje kun je een aantal voorkeuren instellen voor punten, rechten,… Met het laatste ikoontje ( ) ten slotte kun je een aantal voorkeuren instellen voor de hoekeenheid, de stijl van de rechte hoek, de aanduiding van de coördinaten, … Hiermee kun je alle objecten uit het tekenvenster selecteren. Hiermee kun je alle geselecteerde objecten tonen of verbergen.

Algebraïsche beschrijvingen

Hiermee kun je van alle geselecteerde objecten de labels tonen of verbergen.

4.5

Hiermee kun je alle geselecteerde objecten verwijderen.

Hiermee kun je door enkele muisklikken een vooraf ingegeven constructie opnieuw laten uitvoeren. We leggen dit verder uit in 10 aan de hand van een voorbeeld. Verder kun je hier knoppen toevoegen of uitschakelen op de knoppenbalk.

Magnetische roosterpunten

Afronden Labels

Lettergrootte Taal Geavanceerd Instellingen opslaan Standaardinstellingen herstellen

Beeld

Algebravenster Rekenblad CAS Tekenvenster Tekenvenster 2 Overzicht constructiestappen

Toetsenbord Invoerveld Lay-out Vernieuwen Alles opnieuw berekenen

Opties

2

Hiermee kun je het algebravenster al dan niet zichtbaar maken . Hiermee kun je het rekenblad al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het rekenblad in 7. Hiermee kun je het CAS-venster al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het CAS-venster in 11. Hiermee kun je het tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Hiermee kun je een 2de tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Hiermee verschijnt er rechts een venster met een overzicht van de verschillende constructiestappen. Je kan hier ook nog kiezen: wat er bij elke stap getoond wordt (naam, icoon van de werkbalk, definitie, commando, waarde, titel en al of niet stoppunt), of alle stappen of enkel de stoppunten moeten getoond worden, Je kan het overzicht van de constructiestappen wegschrijven als webpagina en je kan het afdrukken. Heel interessant is ook dat hier bij het vraagteken een ondersteuning staat bij Geogebra 4.2 (voorlopig enkel in het Engels). Hiermee kun je een toetsenbord al dan niet zichtbaar maken. Het toetsenbord is zeer handig bij het gebruik van een e-board. Hiermee kun je het invoerveld zichtbaar of onzichtbaar maken. Dit geeft opnieuw het menu van de ‘voorkeuren’ (zie 4.2). Alle sporen (zie 5.3) worden verwijderd. Alle berekeningen worden opnieuw uitgevoerd.

2

Je kan de schermindeling ook aanpassen met behulp van het kleine driehoekje helemaal rechts in het midden van het scherm. Je kan hier kiezen voor (1) algebravenster + tekenvenster, (2) een basistekenvenster, (3) enkel het meetkundevenster, (4) rekenblad + tekenvenster, (5) CAS-venster + tekenvenster.

3

4.6

Bij ‘waarde’ wordt van elk object in het algebravenster de waarde weergegeven, bijv. H=(3,2). Bij ‘definitie’ wordt van elk object in het algebravenster de definitie weergegeven, bijv. H=snijpunt van hA en hB. Bij ‘commando’ wordt van elk object in het algebravenster het commando weergegeven, dat het object genereerde, bijv. H=snijpunten[hA , hB]. Hiermee kan je punten niet, min of meer of volledig binden aan roosterpunten. ‘Uit’: de punten zijn niet gebonden aan de roosterpunten. ‘Vastmaken aan rooster’(1): als je een punt aanduidt in de onmiddellijke omgeving van een roosterpunt, dan zal dit roosterpunt gekozen worden. ‘Vastmaken aan rooster’ (2): gelijk waar je een punt aanduidt in het tekenvenster wordt altijd het dichtstbijzijnde roosterpunt gekozen. ‘Automatisch’: als het rooster niet aanstaat is dit gelijk aan "Uit", als het rooster wel aanstaat is dit gelijk aan "Vastmaken aan rooster (1)". Hiermee kun je het aantal decimale cijfers (van 0 tot 15) of het aantal beduidende cijfers (van 3 tot 15) kiezen. Hierbij kun je al of niet namen zetten bij de objecten in het tekenvenster. ‘Automatisch’ betekent dat er een label gezet wordt bij elk nieuw object als het algebravenster ingeschakeld is en geen label als het algebravenster niet ingeschakeld is. Hier kun je de lettergrootte in het tekenvenster kiezen. Hier kies je de taal waarin de opdrachten verschijnen. Hier kom je weer in het menu ‘voorkeuren’ terecht (zie 4.2) Dit slaat al de huidige instellingen op. Zo keer je terug naar de standaardinstellingen van GeoGebra 4.2.

Macro's

Venster

Hiermee kun je een nieuw venster openen. 4.7

Help

Help Handleidingen GeoGebraforum GeoGebraTube Info/Licentie

Hiermee open je de GeoGebra Help (voor GeoGebra 4.2 voorlopig enkel in het Engels). Hier vind je heel wat handleidingen van GeoGebra. Hiermee open je een forum waar je vragen kan stellen over het gebruik van GeoGebra. Hier vind je heel wat dynamische applets die je in de lessen kunt gebruiken. Hier kun je o.a. zien met welke versie van GeoGebra je werkt.

5

Opmaak binnen de vensters

5.1

Opmaak van het algebravenster Bovenaan links staat een driehoekje. Daarmee kun je het de opmaakwerkbalk daaronder zichtbaar of onzichtbaar maken. Om het algebravenster niet te overladen, kun je bepaalde objecten aanduiden als hulpobjecten. Met deze knop kun je de hulpobjecten al dan niet zichtbaar maken in het algebravenster. Hiermee kun je de indeling van de objecten wijzigen - onafhankelijke en afhankelijke objecten (en eventueel hulpobjecten), - objecten geordend per soort (punten, rechten, lijnstukken, cirkels,...) - objecten in de volgorde van de constructie

Met de ikoontjes rechtsboven kun je: - het algebravenster losmaken van of integreren in de andere vensters. - het algebravenster uitschakelen.

4

5.2

Opmaak van het tekenvenster De ikoontjes bovenaan links en rechts hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het assenstelsel in en uit te schakelen, - om het rooster in en uit te schakelen, Naargelang het gebruik van de knoppen van de werkbalk komen op de opmaakwerkbalk nog andere knoppen te voorschijn: voor kleur en transparantie, puntstijl en puntgrootte, gebruik van labels, lijnstijl en lijndikte, label, achtergrondkleur, vetjes en cursief, tekstgrootte,...

Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in een leeg deel van het tekenvenster. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Assen Rooster Navigatiebalk

Zoom x-as : y-as Toon alle objecten Standaardbeeld Tekenvenster

verplaatsing van de x-as (bijv. 'assenstelsel bij 5.0' betekent dat de x-as door het punt (0, 5) getekend wordt),... - y-as: analoog als voor x-as - Rooster: toon rooster, soort rooster (cartesiaans, isometrisch), afstand tussen de roosterlijnen, kleur, lijnsoort,... 5.3

Opmaak van objecten

Als je met de rechter muisknop klikt op een object in het algebravenster of het tekenvenster, dan krijg je het een snelmenu, dat afhangt van de aard van het object. Bij punten verkrijg je het volgende: Poolcoördinaten/Cartesische Coördinaten Object tonen Label tonen Spoor aan

Hiermee kun je de x-as en de y-as zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je het coördinatenrooster zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je de navigatiebalk zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je een overzicht van de constructie geven (als een film afspelen of stap per stap). Met het ikoontje , rechts op de navigatiebalk, kun je een overzicht van de constructiestappen krijgen (zie 4.3). 3 Hiermee kun je in- of uitzoomen met een zeker percentage . Hier kun je de verhouding van de eenheden op de x-as en de y-as instellen. Het assenstelsel wordt aangepast zodat alle objecten getoond worden. Hiermee kun je terugkeren naar de standaardinstellingen op de x-as en de y-as. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 2de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het tekenvenster.

Naam wijzigen Eigenschappen

Hiermee kun je switchen tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten. Het object wordt al of niet getoond. Je kan dit ook regelen met het knopje dat vóór het object staat in het algebravenster. Het label van het object wordt al of niet getoond. Stel dat de ligging van het punt B afhankelijk is van de ligging van het punt A. Als je het spoor van punt B aanzet, dan zal dit punt een spoor achterlaten als je het punt A verplaatst. Hiermee kun je de naam van een object wijzigen. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 1ste ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van objecten.

Met dit venster kun je de naam, de kleur, de tekenstijl,… van het object wijzigen. Je kunt in de linker kolom ook verschillende objecten tegelijk aanduiden (bijv. alle punten door op ‘Punt’ te klikken) en ze tegelijk wijzigen.

Met dit menu kun je allerlei instellingen doen. - Basis: dimensies (interval op x-as en y-as, verhouding eenheden op x-as en y-as,...), assen (toon assen, kleur, lijnsoort), navigatiebalk voor constructieoverzicht (al dan niet tonen, knop voor het afspelen, …), achtergrondkleur, ... - x-as: toon x-as, toon getallen op de assen, enkel positieve assen, afstand, onderverdelingen, label, eenheid, 3

Je kan ook inzoomen op een bepaald gebied van het tekenvenster. Daartoe maak je een zoomvenster met de muis door rechtsklikken en slepen.

5

Enkele onderdelen uit dit menu voor een punt. - In het tabblad ‘Basis’ kun je: - de naam van het object wijzigen - het object een titel geven, - aangeven of je het object wilt tonen, - aangeven of je het label bij het object wil tonen; je kan daarbij kiezen tussen ‘Naam’, ‘Naam en waarde’, ‘Waarde’ en ‘Titel’, - of het object een spoor moet achterlaten in het tekenvenster, - of het object moet gefixeerd worden in het tekenvenster, - of het object al dan niet een hulpobject moet zijn. - In het tabblad ‘Stijl’ kun je de puntgrootte en de puntstijl aanpassen. - In het tabblad ‘Algebra’ kun je kiezen welk soort coördinaten je wil en kan je de stapgrootte wijzigen. - In het tabblad ‘Geavanceerd’ kun je bijv. een voorwaarde aangeven voor welke het object mag getoond worden. Bij rechten kun je - in het tabblad ‘Stijl’ de lijndikte en de lijnsoort kiezen, - in het tabblad ‘Algebra’ kiezen of je de vergelijking in de vorm ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ ܿ of ‫ ݕ‬ൌ ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ wilt.

6

Bij veelhoeken en cirkels kun je - in het tabblad ‘Kleur’ de (on)doorzichtigheid aanpassen: 0 = volledig doorschijnend, 100 = volledig ondoorschijnend. enz…

7

Het rekenblad

7.1

Het rekenblad

Met de menuknop ‘Beeld’ kun je het rekenblad zichtbaar of onzichtbaar maken.

6

De invoerlijn

Met het ikoontje

Het rekenblad bestaat uit een cellen. Elke cel heeft een naam. Zo heeft de cel in kolom A en rij 1 de naam A1. Deze celnamen kun je gebruiken in uitdrukkingen en bevelen.

rechts van de invoerlijn, kun je Griekse letters én allerlei symbolen invoeren.

Helemaal rechts onderaan vind je het ikoontje voor invoerhulp. Als je daarop klikt krijg je alle functies en commando's van GeoGebra. Klik je een commando aan, dan vind je onderaan de syntax ervan. Voorbeeld Klik je op KGV (kleinste gemeen veelvoud), dan vind je onderaan als syntax:

7.2

Onder de syntax vind je twee knoppen, nl. ‘Plakken’ en ‘Toon Online Help’. - Met ‘Plakken’ breng je het commando over naar de invoerlijn. - Met ‘Toon Online Help’ krijg je informatie over het commando (voorlopig enkel in het Engels).

Opmaak van het rekenblad

De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het invoerveld al dan niet te tonen, - om de stijl te wijzigen naar vetjes of cursief, - om links of rechts uit te lijnen of te centreren, - om de achtergrondkleur in te stellen, - om de stijl voor de randen te bepalen. Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in het rekenblad. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Kopiëren Plakken Knippen Verwijderen Importeren databestand Opties van rekenblad

7

Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad kopiëren. Hiermee kun je geknipte of gekopieerde gegevens op een willekeurige plaats in het rekenblad plakken. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad knippen. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad verwijderen. Hiermee kun je bijv. tekstbestanden in het rekenblad importeren. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 3de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het rekenblad.

8

7.3 Werkbalk van het rekenblad

Selecteer een reeks cellen. Als je op deze knop drukt, kan je met het tabblad ‘analyseer’ een onderzoeksvenster openen voor dataanalyse. We leggen dit verder uit in 12.2. Selecteer een reeks cellen. Met deze knop creëer je in het algebravenster een lijst met de gesorteerde inhoud van de geselecteerde cellen. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘creëer lijst’. Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een reeks van punten met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘creëer puntenlijst’. Selecteer in het rekenblad een rechthoek van data. Met deze knop creëer je in het tekenvenster een tabel met de gegeven data. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘creëer tabel’. Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een gebroken lijn die de punten verbindt met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘creëer veelhoekslijn’. Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je de som van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het gemiddelde van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het aantal getallen per kolom. Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het maximum van die getallen (per kolom). Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je het minimum van die getallen (per kolom).

Als het rekenblad geactiveerd is, verschijnt er bovenaan ook een nieuwe werkbalk.

We bekijken slechts enkele knoppen. Onderzoek één variabele

Maak een lijst

Maak een lijst van punten

Maak een tabel

Maak een veelhoeklijn

Som

Bereken gemiddelde van geselecteerde cellen Tel het aantal waarden in de gekozen cellen Bepaal maximale waarde in de geselecteerde cellen Bepaal minimale waarde in de geselecteerde cellen

9 8

Functies en commando's4

Enkele opmerkingen over algebraïsche invoer - Als je de ↑ - toets indrukt krijg je op de invoerlijn de laatst ingevoerde regel terug. - Als je in het algebravenster een object aanklikt en dan op Alt-F3 drukt, dan krijg je de definitie van dit object terug op de invoerlijn. 8.1 Functies functie sqrt(x) cbrt(x) abs(x) sgn(x) arg(x) conjugate(x) floor(x) ceil(a) round(x) random()

betekenis Berekent de positieve vierkantswortel van x. Berekent de derdemachtswortel van x. Berekent de absolute waarde van x. Geeft resp. 1, 0 en -1 als x > 0, x = 0 en x < 0. Berekent het argument van het complex getal x. Geeft het toegevoegd complex getal van het complex getal x. Berekent het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan het getal a. Berekent het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan het getal a. Rondt het getal a af tot op de eenheid. Geeft een willekeurig getal tussen 0 en 1.

functie sin(x) asin(x) cos(x) acos(x) tan(x) atan(x) cot(x) sec(x) cosec(x)

betekenis Berekent de sinus van de hoek of het getal x. Bereken de boogsinus van het getal x. Berekent de cosinus van de hoek of het getal x. Berekent de boogcosinus van het getal x. Berekent de tangens van de hoek of het getal x. Berekent de boogtangens van het getal x. Berekent de cotangens van de hoek of het getal x. Berekent de secans van de hoek of het getal x. Berekent de cosecans van de hoek of het getal x.

8.2 Organisatie Begrip Hoofdknop Objecten verplaatsen (‘Ruststand’) Schuifknop

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Het object wordt verplaatst door met de muis te slepen. Dit kan je ook verkrijgen door de Esc - toets in te drukken. Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om een schuifknop voor een getal- of een hoekwaarde te creëren. De schuifknop is de grafische representatie voor een getal of een 5 hoekwaarde. Je kan de schuifknop animeren door er met de rechtermuisknop op te klikken en daarna te klikken op ‘Animatie aan’.

Commando -

-

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? -

-

4

De functies en commando’s worden beperkt tot wat nodig is in de tweede graad. Een overzicht van alle commando’s (in het Engels) kan je terugvinden in http://wiki.geogebra.org/en/Category:Commands. Hier vind je ook reeds de commando’s bij de Beta-versie van Geogebra 5 (met ruimtemeetkunde). 5 Als je bij een getal of een hoek, die je ingevoerd hebt, het object zichtbaar maakt, dan krijg je eveneens een schuifknop bij dit object in het tekenvenster.

10

Traag plotten

-

-

Aanvinkvakje om objecten te tonen of te verbergen

Actieknop

Invulvak

Tekst invoegen

6

-

SlowPlot[f]

Wanneer je in deze modus in het tekenvenster klikt, creëer je een aanvinkvakje dat kan gebruikt worden om objecten te tonen of te verbergen. Er verschijnt een venster waarin je de objecten kunt aanduiden waarvan de zichtbaarheid aan dit aanvinkvakje gekoppeld wordt. Met dit instrument kun je een reeks van GeoGebra-bevelen uitvoeren met één druk op de knop. Deze bevelen worden opgesomd in een script (zie 13) Met dit instrument kun je de definitie van objecten wijzigen. Je creëert een invulvak in het tekenvenster, dat gekoppeld is aan een object. Als je de knop activeert, kun je iets invullen, dat opgeslagen wordt in het gekoppelde object. Met deze opdracht kan je teksten creëren. We leggen dit apart uit in 9.

-

Plot traag de grafiek van de functie f van links naar rechts. De voortgang wordt getoond op een schuifbalk. Je kan de animatiesnelheid en de herhaling wijzigen. -

-

-

Invulvak[] Invulvak[gelinkt object]

Creëert een invulvak in het tekenvenster. Creëert een invulvak in het tekenvenster, gekoppeld aan een object.

Tekst[object] of Tekst[object, true]

Geeft het object als een tekst in het tekenscherm. De variabelen worden vervangen door hun waarde. Idem, maar de variabelen worden niet vervangen door hun waarde. Idem als de bovenstaande, maar het object o wordt als een tekst geplaatst in het tekenscherm op de positie (a, b). Geeft het getal a als breuk in het tekenvenster. Geeft de coördinaat van het punt P in breukvorm in het tekenvenster. Geeft het aantal karakters van tekst t (spaties inbegrepen). Zet de naam van het object A in het tekenvenster.

Tekst[object,false]

Tekst als breuk afbeelden

-

-

-

Tekst[object o,(a,b)] of Tekst[object o,(a,b), true] Tekst[object o,(a,b), false] TekstAlsBreuk[getal a] TekstAlsBreuk[punt P]

Lengte van een tekst Naam van een object 6

-

-

-

Lengte[tekst t]

-

-

-

Naam[object A]

Je kan ook een item uit het algebravenster slepen naar het tekenvenster als tekst. Als je het item uit het algebravenster wijzigt, wordt ook de tekst in het tekenvenster gewijzigd.

11

Object met gegeven naam Afbeelding invoegen

-

Hoekpunt van een afbeelding Pen

-

Plaatst het object met de naam A in het tekenvenster. -

-

-

Object[naam A] -

-

Met deze opdracht kan je afbeeldingen creëren: - klik in het tekenvenster om de positie van de linkerbenedenhoek van de 7 afbeelding te bepalen , - kies uw afbeelding en klik op "open" Zo kun je met de vrije hand een tekening maken.

-

Genereert het n-de hoekpunt van een afbeelding. -

Zo kun je een functie of een meetkundige vorm met de vrije hand tekenen.

-

-

-

Geeft "true" als het object gedefinieerd is en "false" als het niet gedefinieerd is. Beeldt het ikoontje met toolnumber n af in het tekenvenster. Toont een venster waarin de relatie tussen de objecten a en b wordt beschreven. -

Vrije vorm

Hoekpunt[afbeelding a, getal n]

Gedefinieerd

-

-

-

Gedefinieerd[object A]

Ikonen afbeelden in het tekenvenster Relatie tussen 2 objecten

-

-

-

ToolIMage[nummer n]

Selecteer twee objecten. Er verschijnt een venster met informatie over hun onderlinge relatie Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster en sleep. De positie van het teken-venster in de oorsprong wordt gewijzigd. Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om in te zoomen.

Relatie[object a, object b]

-

-

Uitzoomen

Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om uit te zoomen.

-

-

Toon/verberg object

Klik op een object om het te tonen of te verbergen. Alle verborgen objecten worden in een dikke lijnsoort weergegeven. De wijzigingen worden uitgevoerd zodra je een andere opdracht in de werkbalk kiest.

-

-

Verplaats tekenvenster

Inzoomen

7

Door achteraf rechts te klikken op de afbeelding kun je via eigenschappen de grootte en de positie van de afbeelding wijzigen. Hoekpunt 1 is de linkerbenedenhoek, hoekpunt 2 is de rechterbenedenhoek en hoekpunt 4 is de linkerbovenhoek van de afbeelding.

12

Toon/verberg label

Klik op een object om respectievelijk het label te tonen of te verbergen. De aard van het label kun je instellen in de eigenschappen van een object. Kopieert de zichtbare eigenschappen van een object zoals kleur, afmetingen, lijntype,... Kies eerst het object waarvan je de zichtbare eigenschappen wil kopiëren. Klik daarna op alle objecten waarvan je wil dat ze deze eigenschappen overnemen. Klik op een object om het te verwijderen. -

Stijl kopiëren

Object verwijderen Sporen verwijderen Nummer constructiestap

-

-

-

-

-

-

Verwijder[object a]

Verwijdert een object a en alle van dit object afhankelijke objecten. Verwijdert alle sporen. Geeft het nummer van de huidige constructiestap. Geeft het nummer van de constructiestap, waarbij object a gecreëerd werd. Geeft de stapgrootte op de x-as, resp. de y-as.

Inzoomen[1] Constructiestap[] Constructiestap[object a]

Stap op de assen

-

-

-

Hoofdknop -

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? -

Als ... dan

-

-

-

Tellen met een voorwaarde

-

-

-

MarkeringX[] MarkeringY[]

8.3 Logica Begrip Relaties tussen objecten

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Geeft de relatie tussen twee objecten a en b. Dit bevel laat je toe te vinden of - twee rechten evenwijdig zijn of loodrecht op elkaar staan, - twee objecten gelijk zijn, - een punt op een rechte of op een kegelsnede ligt, - een rechte een cirkel snijdt of raakt. Als[voorwaarde v, object Geeft object a of b naargelang aan de voorwaarde v al dan niet voldaan is. a,object b] Als[voorwaarde v, object a] Geeft object a als aan de voorwaarde voldaan is en niets als aan de voorwaarde niet voldaan is. Telt het aantal elementen in lijst L die aan TelAls[voorwaarde v, lijst L] de voorwaarde voldoen. Commando Relatie[object a, object b]

13

Behoud ... als

-

-

-

BehoudAls[voorwaarde v, lijst L]

Gedefinieerd?

-

-

-

Gedefinieerd[object o]

Geheel getal?

-

-

-

Geheel[getal a]

Ligt een punt in een regio?

-

-

-

IsInRegio[punt P, regio a]

Maakt een nieuwe lijst, waarbij de elementen van lijst L, die aan de voorwaarde v voldoen, bewaard blijven. Geeft "true" als o gedefinieerd is en "false" als o niet gedefinieerd is. Geeft "true" als a een geheel getal is en "false" als a geen geheel getal is. Geeft "true" als het punt P in de regio a ligt en "false" als P niet in de regio a ligt.

8.4 Getallenleer en algebra Begrip Hoofdknop

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er?

Getal

-

-

-

a=3

Euclidische deling

-

-

-

Deling[a,b]

Commando

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er?

Deling[A(x),B(x)]

Omzetten naar een ander talstelsel

-

-

-

NaarBasis[getal a, basis b] VanBasis[getal a als tekst, basis b]

Quotiënt bij Euclidische deling

-

-

-

Quotiënt[a,b] Quotiënt[A(x),B(x)]

Rest bij Euclidische deling

-

-

-

Mod[a,b] Mod[veelterm A(x), veelterm B(x)]

Aantal delers Delers van een getal

-

-

-

Delers[getal a] Delerslijst[getal a]

Creëert een getal met waarde 3. Bij dit getal hoort als object een schuifknop. Geeft een lijst met het quotiënt én de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Geeft een lijst met het quotiënt én de rest bij Euclidische deling van de veeltermen A(x) en B(x) Zet het decimaal getal a om naar het talstelsel met basis b. Het resultaat verschijnt in het tekenvenster. Zet het getal a (gegeven als een tekst) om van het talstelsel met basis b naar een decimaal getal. Berekent het quotiënt van de Euclidische deling van de getallen a en b. Berekent het quotiënt van de Euclidische deling van de veeltermen A(x) en B(x). Berekent de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Berekent de restveelterm bij Euclidische deling van de veelterm A(x) door de veelterm B(x). Geeft het aantal delers van a. Geeft een lijst met de delers van a.

14

Som van de delers van een getal Minimum

-

-

-

Delerssom[getal a]

Geeft de som van de delers van a.

-

-

-

Min[getal a, getal b] Min[lijst L]

Berekent het minimum van a en b. Berekent het minimum van de getallen in lijst L. Berekent het minimum van een interval i. Bij open intervallen is dit het infimum. Berekent het minimum van de functiewaarden van de functie f in het interval [a, b] Berekent het maximum van a en b. Berekent het maximum van de getallen in lijst L. Berekent het maximum van een interval i. Bij open intervallen is dit het supremum. Berekent het maximum van de functiewaarden van de functie f in het interval [a, b]. Berekent de grootste gemene deler van de getallen a en b. Berekent de grootste gemene deler van de getallen in lijst L. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen a en b. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen in lijst L. Geeft de gemeenschappelijke noemer ஺ሺ௫ሻ ஼ሺ௫ሻ van de veeltermbreuken en .

Min[interval i] Min[functie f, getal a, getal b]

Maximum

-

-

-

Max[getal a, getal b] Max[lijst L] Max[interval i] Max[functie f, getal a, getal b]

Grootste gemene deler

-

-

-

GGD[geheel getal a, geheel getal b] GGD[lijst L]

Kleinste gemeen veelvoud

-

-

-

KGV[geheel getal a, geheel getal b] KGV[lijst L]

Gemeenschappelijke noemer

-

-

-

Is een getal een priemgetal? Priemgetal volgend op… of voorafgaand aan…

-

-

-

GemeenschappelijkeNoemer [veeltermbreuk A(x)/B(x), veeltermfbreuk C(x)/D(x)] IsPriemgetal[geheel getal a]

-

-

-

VolgendPriemgetal[geheel getal a] VorigPriemgetal[geheel getal a]

Priemfactoren

-

-

-

Priemfactoren[geheel getal a]

Ontbinden

-

-

-

Ontbinden[veelterm f(x)]

஻ሺ௫

஽ሺ௫ሻ

Geeft ‘true’ als het getal een priemgetal is en ‘false’ als het getal geen priemgetal is. Geeft het eerste priemgetal dat volgt op het getal a. Geeft het priemgetal dat onmiddellijk voorafgaat aan het getal a. Geeft de lijst van de priemfactoren van het getal a. Ontbindt de veelterm f(x) in factoren en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie.

15

Factoren

-

-

-

Factoren[geheel getal a] Factoren[veelterm f(x)]

Uitwerken van veeltermproducten Vereenvoudig

-

-

-

Uitwerken[expressie]

-

-

-

Vereenvoudig[functie f]

Volkomen kwadraat

-

-

-

VolkomenKwadraat [kwadratische functie f]

Ontbindt het getal a in priemfactoren en geeft het resultaat in de vorm van een matrix. Ontbindt de veelterm f(x) in factoren in de vorm van een matrix en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie. Werkt de expressie uit en tekent het resultaat als een functie. Vereenvoudigt het functievoorschrift van de functie f indien mogelijk. Geeft het voorschrift van de kwadratische functie f in de vorm a ( x - p ) + q . 2

8.5 Meetkunde en analytische meetkunde 8.5.1 Punten Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Nieuw punt

Complex getal

Klik in het tekenvenster om de meetkundige voorstelling van een complex getal te creëren. Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd.

Punt op object

Punt binnen regio

Vasthechten/losmaken van punt

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren.

-

-

-

Met deze knop bind je een vrij punt aan een pad of een gebied, of maak je een gebonden punt terug vrij. In het eerste geval moet je op een vrij punt én op een lijnobject of een gebied klikken, in het tweede geval moet je enkel op een gebonden punt klikken.

Commando (a,b) P=(a,b)

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert het punt met coördinaat (a, b). Creëert het punt P met coördinaat (a, b).

P=a+bi

Creëert het punt P dat het complex getal a + bi voorstelt.

Punt[rechte a] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Punt[vector v] Punt[pad p] Puntbinnen[cirkel c] Puntbinnen[veelhoek v]

Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op de cirkel c, op de veelhoek v, op de vector v of op het pad p.

-

-

Creëert een willekeurig punt binnen de cirkel c of de veelhoek v.

16

Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten

Klik achtereenvolgens op twee objecten om alle mogelijke snijpunten van deze objecten te bepalen

Snijpunten[object a, object b] of Doorsnede[object a, object b]

Midden

Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen.

Midden[punt A, punt B] Midden[lijnstuk c]

-

Zwaartepunt[veelhoek v] IsInRegio[punt A, regio r]

Zwaartepunt Ligt een punt in een regio?

-

-

Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van twee grafieken van veeltermfuncties met de namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [AB] . Creëert het midden van het lijnstuk c. Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Geeft "true" als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel,…) ligt en "false" als het punt A niet in de regio r ligt.

8.5.2 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Begrip

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten.

Commando Rechte[punt A, punt B]

-

-

Rechte[punt A, vector v]

Creëert een rechte door het punt A met richtingsvector v.

-

-

r:ax+by=c

Creëert een rechte met vergelijking ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ ܿ. Creëert een rechte met vergelijking ‫ ݕ‬ൌ ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ Creëert het lijnstuk [AB]

Hoofdknop

Deelmenu

-

-

Rechte door twee punten Rechte door een punt met gegeven richtingsvector Rechte met gegeven vergelijking

r:y=ax+b

Lijnstuk tussen twee punten Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte Halfrechte door twee punten

Vector (georiënteerd lijnstuk) tussen twee punten

Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op een punt dat je als beginpunt van een lijnstuk kiest. Vul daarna in het venster de lengte van het lijnstuk in. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat

Lijnstuk[punt A, punt B]

Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector

Vector[punt A, punt B]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door A en B.

Lijnstuk[punt A, getal a]

Creëert het lijnstuk met beginpunt A en lengte a.

Halfrechte[punt A, punt B]

Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt.

Halfrechte[punt A, vector v]

Vector[punt A]

17

Vector met beginpunt Richtingsvector Eenheidsvector

-

-

Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn. -

Punt[punt A, vector v]

Verschuift het punt A over de vector v.

Richtingsvector[rechte a] Eenheidsvector[rechte a]

Creëert een richtingsvector van de rechte a. Creëert een genormeerde richtingsvector van de rechte a. Normeert de gegeven vector (vector met dezelfde richting en zin als de gegeven vector, maar met lengte 1). Creëert een normaalvector van de rechte a. Creëert een normaalvector van de vector v. Creëert een normaalvector met lengte 1 van de rechte a. Creëert een normaalvector met lengte 1 van de vector v. Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g.

Eenheidsvector[vector v]

Normaalvector en eenheidsnormaalvector

Loodlijn

-

-

-

Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte.

Normaalvector[rechte a] Normaalvector[vector v] Eenheidsnormaalvector [rechte a] Eenheidsnormaalvector [vector v] Loodlijn[punt A, rechte r] Loodlijn[punt A, vector v]

Evenwijdige rechte

Middelloodlijn

Bissectrices

Raaklijnen

Klik op een rechte en op een punt A en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten en creëer zo de middelloodlijn van het lijnstuk bepaald door die twee punten. Klik op drie punten om de bissectrice te creëren van de hoek bepaald door die punten. Het middelste punt is het hoekpunt, of Klik op twee rechten om de bissectrices te creëren van de hoeken bepaald door deze rechten. Klik op een punt en op een cirkel om de raaklijn(en) door dit punt aan de cirkel te creëren

Rechte[punt A, rechte g]

Creëert de middelloodlijn van [AB] . Creëert de middelloodlijn van het lijnstuk a.

Middelloodlijn[punt A, punt B] Middelloodlijn[lijnstuk a] Bissectrices[punt A, punt B, punt C]

Creëert de bissectrice van de hoek ABˆ C ; B is het hoekpunt.

Bissectrices[rechte a, rechte b]

Creëert de bissectrices van de hoeken bepaald door de rechten a en b.

Raaklijn[punt P, cirkel c]

Creëert de raaklijn in P of de raaklijnen vanuit P aan de cirkel c.

18

8.5.3 Veelhoeken Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Veelhoek

Starre veelhoek

Commando Veelhoek[punt A, punt B,...] Veelhoek[lijst L]

Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt. Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven. Klik op twee punten en creëer zo de zijde van een regelmatige veelhoek. In het venster geef je het aantal zijden van de veelhoek op. Klik op een aantal punten A, B, C,... en sluit op het punt A. De gebroken lijn ABC... wordt getekend.

Starre veelhoek[punt A, punt B,...]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Creëert een veelhoek, waarvan de hoekpunten in lijst L staan. Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt.

-

-

-

Omtrek[veelhoek p]

Creëert een regelmatige veelhoek met n zijden en waarvan de punten A en B twee opeenvolgende hoekpunten zijn. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het punt A naar het laatste punt. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het eerste punt van lijst L naar het laatste punt. Berekent de omtrek van de veelhoek p.

-

-

zie oppervlakte in 8.5.6

-

-

-

-

-

DoorsnedeRegio[veelhoek p, veelhoek q]

Geeft de doorsnede van twee veelhoeken p en q.

Hoofdknop

Deelmenu

Regelmatige veelhoek Pad, gebroken lijn of veelhoekige lijn

Omtrek van een veelhoek Oppervlakte van een veelhoek Doorsnede van twee veelhoeken

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren.

Veelhoek[punt A, punt B, getal n] Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...] Veelhoekslijn[lijst L]

8.5.4 Cirkels Begrip Cirkel met middelpunt door punt

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer een cirkel met het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal.

Commando Cirkel[punt M, punt A]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een cirkel met M als middelpunt die door het punt A gaat.

19

Cirkel met middelpunt en straal

Cirkel met gegeven vergelijking

-

-

Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in.

Cirkel[punt M, getal r]

-

c: ax²+bxy+cy²+dx+ey=f

Cirkel[punt M, lijnstuk s]

c: (x-m)²+(y-n)²=r²

Passer

Cirkel door drie punten

Creëert een cirkel met vergelijking ܽ‫ ;ݔ‬൅ ܾ‫ ݕݔ‬൅ ܿ‫ ;ݕ‬൅ ݀‫ ݔ‬൅ ݁‫ ݕ‬ൌ ݂. Creëert een cirkel met vergelijking ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ൅ ሺ‫ ݕ‬െ ݊ሻଶ ൌ ‫;ݎ‬, dus met middelpunt ‫ܯ‬ሺ݉ǡ ݊ሻ en met straal r. -

Klik op een lijnstuk (of op twee punten die een lijnstuk bepalen) en daarna op een punt. Je verkrijgt een cirkel met het lijnstuk als straal en het punt als middelpunt. Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten.

-

Cirkel[punt A, punt B, punt C]

Creëert de cirkel door de punten A, B en C (de omgeschreven cirkel aan driehoek ABC)

-

Incirkel[punt A, punt B, punt C]

Creëert de ingeschreven cirkel van de driehoek ABC.

Klik op een cirkel om het middelpunt te bepalen

Middelpunt[cirkel c]

Creëert het middelpunt van de cirkel c.

Ingeschreven cirkel van een driehoek Middelpunt van een cirkel

-

Straal van een cirkel Omtrek van een cirkel Halfcirkel door twee punten

-

-

-

Straal[cirkel c]

Berekent de straal van de cirkel c.

-

-

-

OmtrekKegelsnede[kegelsnede c] Halfcirkel[punt A, punt B]

Berekent de omtrek van een cirkel c.

Cirkelboog met middelpunt door twee punten Cirkelboog door drie punten

-

Creëert een cirkel met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal.

Klik op twee punten. Je verkrijgt de halfcirkel met deze punten als eindpunten. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de boog. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als beginpunt, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt.

CirkelboogMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B]

CirkelboogDriePunten[punt A, punt B, punt C]

Creërt een halfcirkel met de punten A en B als eindpunten. Creëert een cirkelboog met M als middelpunt en A als beginpunt. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelboog met A als beginpunt, door B en met C als eindpunt.

20

Cirkelsector met middelpunt door twee punten

Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelsector met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de sector.

CirkelsectorMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B]

Cirkelsector door drie punten

Klik op drie punten. Je verkrijgt een sector, met het eerste punt als beginpunt van de boog, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt van de boog. Klik op een punt en daarna op een cirkel. Je krijgt dan de raaklijn(en) door dit punt aan de cirkel.

CirkelsectorDriePunten [punt A, punt B, punt C]

Raaklijnen

Raaklijn[punt A, cirkel c] Raaklijn[rechte a, cirkel c]

Creëert een cirkelsector met M als middelpunt en A als beginpunt van de boog van de sector. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelsector, waarvan de boog A als beginpunt heeft, door B gaat en C als eindpunt heeft. Creëert de raaklijn(en) door het punt A aan de cirkel c. Creëert de raaklijnen aan de cirkel c die evenwijdig zijn met de rechte a.

8.5.5 Meetkundige plaatsen en paden Begrip Hoofdknop

Deelmenu

-

-

Meetkundige plaats

Pad

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik eerst op het punt, waarvan je de meetkundige plaats wil bepalen, daarna op het punt P, waarvan dit punt afhankelijk is. Het punt P moet op een object liggen (rechte, lijnstuk, kegelsnede,...). -

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? MeetkundigePlaats[punt Q,punt Genereert de meetkundige plaats van het punt Q dat afhankelijk is van het punt P. P] Het punt P moet op een object liggen (rechte, lijnstuk, kegelsnede,...).

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Je creëert - de hoek bepaald door drie punten, waarvan het tweede het hoekpunt is, - de hoek bepaald door twee lijnstukken, - de hoek bepaald door twee rechten, - alle hoeken van een veelhoek.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Hoek[punt A, punt B, punt C] Berekent en kleurt de hoek bepaald door de halfrechten [BA en [BC. Berekent en kleurt de hoek bepaald door Hoek[lijnstuk a, lijnstuk b] de lijnstukken a en b. Hoek[rechte a, rechte b] Berekent en kleurt de hoek tussen de richtingsvectoren van a en b. Hoek[vector u, vector v] Berekent en kleurt de hoek tussen de vectoren u en v.

p = {lijnstuk l, cirkel c}

Een pad is een object dat uit één lijn (recht of krom) bestaat, of een lijst van lijnobjecten. In het voorbeeld hiernaast bestaat het pad p uit het lijnstuk l en de cirkel c.

8.5.6 Hoeken, lengte, oppervlakte en helling Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Hoek

21

Hoek[vector v] Hoek[punt P] Hoek[veelhoek p]

Hoek[getal a] Hoek[punt A, punt B, hoek a ]

Dichtste punt

-

-

Klik op twee punten A en B. Vul daarna in het venster de grootte van de hoek in. Je creëert een derde punt C en een hoek ABˆ C met de opgegeven grootte. Creëert - de afstand tussen twee punten, - de afstand tussen een punt en een rechte, - de afstand tussen twee evenwijdige rechten. -

Lengte

-

-

-

Lengte[vector v] Lengte[punt A]

Berekent de oppervlakte van een veelhoek.

Oppervlakte[punt A, punt B, punt C,...] Oppervlakte[veelhoek p]

Hoek met gegeven grootte

Afstand

Oppervlakte

Afstand[punt A, punt B] Afstand[punt A, rechte r] Afstand[rechte a, rechte b] DichtstePunt[pad p, punt P]

Oppervlakte[cirkel c] Oppervlakte[cirkelsector c] Helling

Klik op een rechte. Je krijgt een rechthoekige driehoek met als rechthoekszijden 1 en de helling m. De afmetingen van deze driehoek kunnen gewijzigd worden in het eigenschappenvenster bij ‘Stijl’.

Helling[rechte r]

Berekent en kleurt de hoek tussen de vector v en de x-as. Berekent en kleurt de hoek tussen de vector OP en de x-as. Berekent en kleurt alle inwendige hoeken (punten in tegenwijzerzin) of uitwendige hoeken (punten in wijzerzin) van de veelhoek p. Zet het getal a om in een hoek van a radialen. Creëert een hoek met waarde a en [BA als beginbeen. Creëert ook een nieuw punt, nl. A’ = Rotatie[A, a , B]. Berekent de afstand tussen twee punten A en B. Berekent de afstand tussen het punt A en de rechte r. Berekent de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b. Bepaalt het punt op het pad p dat het dichtst bij het punt P ligt. Berekent de lengte van de vector v. Berekent de lengte van de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Berekent de oppervlakte van de veelhoek ABC... Berekent de oppervlakte van de veelhoek p. Berekent de oppervlakte van de cirkel c. Berekent de oppervlakte van de cirkelsector c. Berekent de richtingscoëfficiënt van een rechte r. In het tekenvenster krijg je ook een rechthoekige driehoek die de helling visualiseert. De afmetingen van deze driehoek kunnen gewijzigd worden in het eigenschappenvenster bij ‘Stijl’.

22

8.5.7 Transformaties Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Roteren

Asspiegeling

Puntspiegeling

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Selecteer eerst het centrum van de rotatie. Daarna kun je objecten t.o.v. dit centrum roteren door met de muis te slepen Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op de spiegelas.

Selecteer het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het punt ten opzichte waarvan je het object wil spiegelen. Klik op het object dat je wilt roteren. Klik vervolgens op het centrum van de rotatie. Vul daarna in het venster de rotatiehoek in. Hierbij kan je nog kiezen tussen uurwijzer ten tegenwijzerzin. Klik op het object dat je wilt verschuiven. Klik daarna op de verschuivingsvector.

Rotatie met centrum over een 8 bepaalde hoek

Verschuiving over 9 een vector Homothetie

Klik eerst op het object dat je wilt vergroten of verkleinen. Klik daarna op het centrum van de homothetie en geef ten slotte de factor aan.


Commando -

Spiegeling[object o, rechte a]

Spiegelt het object o t.o.v. de rechte a.

B= Spiegeling[object o, rechte a] Spiegeling[object o, punt A]

Spiegelt het object o t.o.v. het punt A.

B= Spiegeling[object o, punt A] Rotatie[object o, hoek a ,punt A]

Roteert het object o over de hoek a rond het punt A.

B= Rotatie[object o, hoek a , punt A] Verschuiving[object o, vector v] B= Verschuiving[object o, vector v] Homothetie[object o,getal f, punt C]

Verschuift het object o volgens de vector v. Voert op het object o een homothetie uit met als factor f en als centrum C.

8.6 Functieleer Begrip Functies met meervoudig voorschrift

Hoofdknop -


Algebraïsche invoer Commando Als[voorwaarde, object o]

Wat gebeurt er? Geeft het object o als aan de voorwaarde voldaan is en een ongedefinieerd object als niet aan de voorwaarde voldaan is.

8 Om een object te zien draaien over een hoek α, kunnen we het object laten draaien over de hoek r . α, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie. 9 Om een object te zien verschuiven over een vector v, kunnen we het object laten draaien over de hoek r . v, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie.

23

Als[voorwaarde, object o, object o‘]

Veeltermfunctie

-

-

-

Veeltermfunctie[veeltermfunctie f] Veeltermfunctie[puntenlijst L]

Coëfficiënten

-

-

-

Coëfficiënten[veeltermfunctie f]

Graad van een veeltermfunctie Teller Noemer

-

-

-

Graad[veeltermfunctie f]

-

-

-

Teller[functie f] Noemer[functie f]

Deel van de grafiek van een functie

-

-

-

Functie[functie f, getal a, getal b]

Geeft een punt op de grafiek van een gegeven functie.

Punt[functie f]

-

Nulpunten[veeltermfunctie f]

Punt op de grafiek van een functie Nulpunten

-

-

Nulpunten[functie f, getal a] Nulpunten[functie f, getal a, getal b] Lijst met snijpunten met de x-as Wortels

-

-

-

Wortellijst[lijst 1]

-

-

-

Wortels[functie f, getal a, getal b]

Snijpunten van de grafieken van twee veeltermfuncties

-

-

-

Snijpunten[veeltermfunctie f, veeltermfunctie g] Snijpunten[veeltermfunctie f, veeltermfunctie g, getal n] Snijpunten[veeltermfunctie f, rechte a] Snijpunten[veeltermfunctie f, rechte a, getal n] Snijpunten[functie f, functie g, punt A]

Geeft het object o als aan de voorwaarde voldaan is en het object o’ als niet aan de voorwaarde voldaan is. Werkt het functievoorschrift van de veeltermfunctie f uit. Creëert een veeltermfunctie van graad n - 1 door de n punten van lijst L. Geeft de coëfficiënten van de veeltermfunctie f. Geeft de graad van de veeltermfunctie f. Geeft de teller van de functie f. Geeft de noemer van de functie f. Toont van de functie f enkel de grafiek in het interval [a, b] . Geeft een punt op de grafiek van de functie f. Creëert alle nulpunten van de veeltermfunctie f. Zoekt een nulpunt van de functie f met de methode van Newton, vertrekkend van de startwaarde a. Zoekt een nulpunt van de functie f in het interval [a, b] met de regula falsi. Geeft een lijst met koppels (a, 0) voor elk getal a van lijst 1. Geeft alle nulpunten van de functie f in het interval [a, b] . Geeft al de snijpunten van de grafieken van de functies f en g. Geeft het n-de snijpunt van de grafieken van de functies f en g. Geeft de snijpunten van de grafiek van de functie f met de rechte a. Geeft het n-de snijpunt van de grafiek van de functie f en de rechte a. Geeft het snijpunt van de grafieken van de functies f en g, vertrekkend van

24

Snijpunten[functie f, functie g, getal a, getal b]

Asymptoten

-

-

-

Asymptoten[functie f]

Veeltermregressie

-

-

-

VeeltermRegr[lijst L, getal n]

8.7

het punt A met de methode van Newton. Geeft de snijpunten van de grafieken van de functies f en g f in het interval [a, b] . Geeft de asymptoten van de functie f (in een lijst). Geeft de veeltermregressielijn van graad n van de punten in lijst L.

Lijsten en rekenblad Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Gegevens naar rekenblad

Nummer van een kolom uit het rekenblad Naam van een kolom uit het rekenblad Naam van een rij uit het rekenblad Lijst maken van gegevens in het rekenblad Gegevens van een lijst naar het rekenblad brengen

-

-

-

-

-

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Stel dat het punt P’ afhankelijk is van het punt P. Selecteer het punt P’ en laat het punt P bewegen. De variërende coördinaten van P’ verschijnen in het rekenblad. -

Commando -


CelKolom[B3]

Geeft het nummer van de kolom (hier dus de 2de) waarin cel B3 voorkomt.

-

CelKolomNaam[B3]

Geeft de naam van de kolom (hier B) in het tekenvenster.

-

-

CelRij[B3]

-

-

-

Celbereik[A1,A10]

Geeft het nummer van de rij (hier dus 3) waarin cel B3 voorkomt. Creërt een lijst van de getallen in cel A1 tot cel A10.

-

-

-

KolomVullen[getal n, lijst L] RijVullen[getal n, lijst L] CelVullen[B2, lijst L]

Objecten naar het rekenblad brengen

-

-

-

CellenVullen[A1:C6, object o]

Lengte van een lijst

-

-

-

Lengte[lijst L]

Brengt de gegevens van lijst L naar kolom n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar rij n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar het rekenblad rechts van cel B2. Brengt het object o naar de cellen A1 tot C6 van het rekenblad. Geeft het aantal elementen van lijst L.

25

Toevoegen aan een lijst

-

-

-

Toevoegen[lijst L, getal n]

Invoegen in een lijst

-

-

-

n-de element van een lijst

-

-

-

Toevoegen[getal a, lijst L] Invoegen[getal a, lijst L, geheel getal n] Invoegen[lijst M, lijst L, geheel getal n] Element[lijst L, geheel getal n]

Eerste elementen van een lijst

-

-

-

Eerste[lijst L] Eerste[lijst L, geheel getal n]

Laatste elementen van een lijst

-

-

-

Laatste[lijst L] Laatste[lijst L, geheel getal n]

Deellijst maken van een lijst

-

-

-

Neem[lijst L, geheel getal m, geheel getal n]

Deel van een lijst dat aan een voorwaarde voldoet

-

-

-

BehoudAls[voorwaarde v , lijst L]

Omkeren van een lijst

-

-

-

Omkeren[lijst L]

Samenvoegen van twee lijsten Unie van twee lijsten

-

-

-

Samenvoegen[lijst L, lijst M]

-

-

-

Unie[lijst L, lijst M]

Doorsnede van twee lijsten

-

-

-

Doorsnede[lijst L, lijst M]

Som van een rij

-

-

-

Som[lijst L] Som[Lijst L, geheel getal n]

Product van een rij

-

-

-

Product[lijst L]

Vult het getal n aan op het einde van lijst L. Vult het getal a aan vooraan in lijst L. Voegt het getal a in op de n-de positie van lijst L. Voegt lijst M in op de n-de positie van lijst L. Geeft het n-de element van lijst L. Geeft een lijst die enkel het eerste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de eerste n elementen van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel het laatste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de laatste n elementen van lijst L bevat. Maakt een nieuwe lijst met het m-de tot het n-de element van de oorspronkelijke lijst L. Maakt een nieuwe lijst van getallen. Deze nieuwe lijst bevat enkel de getallen van de oorspronkelijke lijst L die voldoen aan de voorwaarde. Maakt een nieuwe lijst, waarin de elementen in de omgekeerde volgorde staan van lijst L. Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt. Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt en de gemeenschappelijke elementen verwijdert. Creëert een nieuwe lijst die de gemeenschappelijke elementen geeft van de lijsten L en M. Geeft de som van de getallen in lijst L. Geeft de som van eerste n getallen in de lijst L. Geeft het product van de getallen in lijst L.

26

Tabellen in het tekenvenster plaatsen

-

-

-

TabeLT[{x^2,4},{x^3,8},{x^4,16}] TabeLT[Rij[i^2,i,1,10]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16}] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"vr"] ]

Sorteren van getallen Maximum en minimum van een lijst Tellen met een voorwaarde Frequentie van een element in een tabel

-

-

-

Sorteer[lijst L]

-

-

-

-

-

-

Max[lijst L] Min[lijst L] TelAls[voorwaarde v, lijst L]

-

-

-

Frequentie[lijst L] Frequentie[true, lijst L] Frequentie[lijst G, lijst L] Frequentie[true, lijst G, lijst L] Frequentie[lijst G, lijst L, true, getal f]

Frequentie[lijst G, lijst L, true, getal f]

Creëert in het tekenvenster een tabel met 3 rijen en twee kolommen. Al de gegevens van de tabel zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met één rij. Al de gegevens zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 4 rijen en 2 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn rechts uitgelijnd. Rangschikt de getallen in lijst L van klein naar groot. Berekent het maximum, resp. het minimum van lijst L. Telt het aantal elementen in lijst L die aan de voorwaarde voldoen. Geeft de frequenties van de elementen van lijst L. De elementen worden numeriek of alfabetisch gesorteerd. Idem, maar geeft de cumulatieve frequenties. Geeft de frequenties van elke klasse. De klassengrenzen staan in de lijst G, de ruwe gegevens in lijst L. Idem, maar geeft cumulatieve frequenties. Geeft de frequentie van elke klasse. De klassengrenzen staan in de lijst G en de ruwe gegevens in lijst L. f is de schaalfactor. Als f gelijk is aan B/N (B = klassenbreedte, N = effectief), dan worden de relatieve frequenties aangegeven; is f gelijk aan 1/N, dan worden de frequentiedichtheden aangegeven. Idem, maar geeft de cumulatieve frequenties.

27

8.8

Rijen Begrip

Rijen creëren met een expliciet voorschrift

Rijen creëren met een recursief voorschrift (iteratie)

8.9

Hoofdknop -


-

-

-

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Rij[expressie E, variabele i, getal a, getal b] Creëert een rij van objecten, die gebruik maken van de expressie E, waarbij de variabele i van a tot b gaat. Creëert een rij van objecten, die Rij[expressie E, variabele i, getal a, getal b, gebruik maken van de expressie E, getal c] waarbij de variabele i van a tot b gaat met stappen van c. Itereert de functie f b maal, Iteratie[functie f,getal a,getal b] vertrekkend van het startgetal a of de anders gezegd: berekent de b term van de rij met recursief voorschrift ‫ݑ‬௡ାଵ ൌ ݂ሺ‫ݑ‬௡ሻ en ‫ݑ‬ଵ ൌ ܽ. Iteratie[functie f,getal a,getal b] Geeft een lijst van b getallen. Het eerste is het startgetal a. De andere zijn door iteratie van de functie f uit het startgetal verkregen.

Statistiek Begrip

Frequentietabel

Hoofdknop -

Deelmenu -

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? -

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een frequentietabel van de gegevens in lijst L. Creëert een frequentietabel met de klasFrequentietabel[lijst G, lijst H] sengrenzen uit lijst G en de hoogtes uit lijst H. Creëert een frequentietabel van absolute Frequentietabel[lijst G, lijst L,false] frequenties met de klassengrenzen uit lijst G en de gegevens uit lijst L. Frequentietabel[lijst G, lijst L, Creëert een frequentietabel met de klassengrenzen uit lijst G en de gegevens true, getal f] uit lijst L. f is de schaalfactor. ௞௟௔௦௦௘௡௕௥௘௘ௗ௧௘ - Is f gelijk aan de , dan Commando Frequentietabel[lijst L]

௔௔௡௧௔௟௪௔௔௥௡௘௠௜௡௚௘௡

worden de relatieve frequenties aangegeven.

28

- Is f gelijk aan

Staafdiagram

-

-

-

Frequentietabel[true, lijst G, lijst L, true, getal f] Staafdiagram[lijst L, getal w] Staafdiagram[lijst L, lijst F] Staafdiagram[lijst L, lijst F, getal w] Staafdiagram[getal a, getal b, lijst H] Staafdiagram[getal a, getal b, expressie e, getal k, getal c, getal d, getal e]

Histogram

-

-

-

Histogram[lijst G, lijst H] Histogram[lijst G, lijst L, false]

Histogram[lijst G, lijst L, true]

Histogram[lijst G, lijst L, true, getal f]

10

ଵ

௔௔௡௧௔௟௪௔௔௥௡௘௠௜௡௚௘௡

dan

verkrijgen we de frequentiedichtheden. Idem als hierboven, maar nu worden de cumulatieve frequenties weergegeven. Tekent een staafdiagram van de ruwe gegevens in lijst L, waarbij elke staaf een breedte w heeft. Tekent een staafdiagram van de 10 gegevens in lijst L en de frequenties uit lijst F. Idem, maar elke staaf heeft een breedte w. Tekent een staafdiagram tussen de xwaarden a en b met de hoogtes uit lijst H. Tekent een staafdiagram in het interval éëa, b ùû . De hoogtes van de staven worden berekend d.m.v. de expressie e, waarbij het getal k gaat van c tot d met een stapgrootte e. Tekent een histogram met de klassengrenzen uit lijst G en de hoogtes uit lijst H. Tekent een histogram met de klassengrenzen uit lijst G en gegevens uit lijst L. De totale oppervlakte is dan het aantal waarnemingen x de klassenbreedte. De hoogte van elke staaf is de absolute frequentie. Idem, maar de hoogte van elke staaf is ௔௕௦௢௟௨௧௘௙௥௘௤௨௘௡௧௜௘ . De totale oppervlakte de ௞௟௔௦௦௘௡௕௥௘௘ௗ௧௘ is dan het aantal waarnemingen. Idem, maar de hoogte van elke staaf hangt af van de schaalfactor f.

De lijst van gegevens moet een lijst zijn met een constante toename.

29

- Is f gelijk aan de

௞௟௔௦௦௘௡௕௥௘௘ௗ௧௘

௔௔௡௧௔௟௪௔௔௥௡௘௠௜௡௚௘௡

, dan

is de hoogte van elke staaf de relatieve frequentie, de totale oppervlakte onder het histogram is dan B. ଵ - Is f gelijk aan dan is ௔௔௡௧௔௟௪௔௔௥௡௘௠௜௡௚௘௡

Histogram Rechts

-

-

-

Histogram[true, lijst G, lijst L, true, getal f] HistogramRechts ...

Frequentiepolygoon

-

-

-

Frequentiepolygoon ...

Puntendiagram

-

-

-

PuntenPlot[lijst L]

Stengel- en bladdiagram

-

-

-

StengelBladDiagram[lijst L] StengelBladDiagram[lijst L, 1] StengelBladDiagram[lijst L, -1]

Gemiddelde

-

-

-

Gemiddelde[lijst L] Gemiddelde[lijst G, lijst F] GemiddeldeX[lijst L] GemiddeldeY[lijst L]

Mediaan

-

-

-

Mediaan[lijst L] Mediaan[lijst G, lijst F]

Eerste en derde kwartiel

-

-

-

Q1[lijst L] of Q3[lijst L]

de hoogte van elke staaf de dichtheid, de totale oppervlakte onder het histogram is dan 1. - Idem als hierboven, maar nu worden de cumulatieve frequenties gebruikt. Zelfde resultaten als bij ‘Histogram’, maar als een gegeven gelijk is aan een klassengrens, wordt het bij de onderliggende klasse gerekend. Zelfde resultaten als bij ‘Histogram’, maar nu wordt de frequentiepolygoon getekend. Tekent een puntendiagram van de gegevens in lijst L. Tekent een stengelen bladdiagram van de gegevens in lijst L. Idem als hierboven, maar de stameenheid wordt gedeeld door 10. Idem als hierboven, maar de stameenheid wordt vermenigvuldigd met 10. Berekent het gemiddelde van de getallen in lijst L1. Berekent het gewogen gemiddelde van de getallen in lijst G. De frequenties van elk getal staan in lijst F. Berekent het gemiddelde van de eerste coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent het gemiddelde van de tweede coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Berekent het eerste of het derde kwartiel van de getallen in lijst L.

30

Q1[lijst G, lijst F] of Q3[lijst G, lijst F] Boxplot

-

-

-

Boxplot[getal h, getal d, lijst L] Boxplot[getal h, getal d, lijst L, true]

Boxplot[getal h, getal d, lijst G, lijst F] Boxplot[getal h, getal d, lijst G, lijst F, true]

Boxplot[getal h, getal d, getal m, getal Q1, getal Me, getal Q3, getal M] Standaardafwijking

-

-

-

SD[lijst L] SD[lijst G, lijst F]

Berekent het eerste of het derde kwartiel van de getallen in lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Tekent een boxplot op de hoogte y = h . De halve hoogte van de boxplot is d. De gegevens komen uit lijst L. Tekent een boxplot met uitschieters op de hoogte y = h. De halve hoogte van de boxplot is d. De gegevens komen uit lijst L. Tekent een boxplot op de hoogte y = h . De halve hoogte van de boxplot is d. De gegevens komen uit lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Tekent een boxplot met uitschieters op de hoogte y = h . De halve hoogte van de boxplot is d. De gegevens komen uit lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Tekent een boxplot op de hoogte y = h . De halve hoogte van de boxplot is d. Het minimum is m, het eerste kwartiel is Q1 , de mediaan is Me, het derde kwartiel is Q3 en het maximum is M. Berekent de standaardafwijking van de getallen in lijst L. Berekent de standaardafwijking van de getallen in lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F.

8.10 Kansrekening Genereren van gehele toevalsgetallen 11 in een interval Genereren van rationale toevalsgetallen 11

-

-

-

ToevalsgetalTussen[getal m,getal M]

Genereert een geheel toevalsgetal tussen m en M (m en M inclusief).

-

-

-

RandomUniform[getal m,getal M]

Genereert een rationaal toevalsgetal tussen m en M.

Door F9 te drukken worden de toevalsgetallen hernieuwd.

31

in een bepaald 12 interval Genereren van toevalsgetallen uit 13 een lijst

12 13

-

-

-

WillekeurigElement[lijst L]

Genereert een toevalselement uit de lijst L.

Idem Idem

32

9

Invoeren van tekst in het tekenvenster

9.1

Invoeren van tekst

al dan niet cursief. - Met het tabblad ‘Kleur’ kunnen we de kleur van de tekst bepalen. - Met het tabblad ‘Positie’ kunnen we de tekst koppelen aan een punt. - Met het tabblad ‘Geavanceerd’ kunnen we o.a. een voorwaarde bepalen waarop de tekst zichtbaar is, kunnen we de laag bepalen van de tekst en kunnen we bepalen in welk(e) tekenvenster(s) de tekst moet komen. - Met het tabblad ‘Scripting’ kunnen we een script toevoegen aan de tekst (zie 13).

- Om een tekst in te voeren in het tekenvenster maak je gebruik van de knop "Tekst invoegen" (10de knop op de werkbalk). Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je de tekst wil hebben. Je krijgt dan het volgende scherm

9.3

Invoeren van dynamische teksten Stel dat je in het tekenvenster de tekst "De diameter van een cirkel van een cirkel is ..." wilt zetten, waarbij op de puntjes de waarde van de variabele diameter d van een cirkel moet komen.

Hiernaast vind je het invoervak. Links van "LaTeXformule" vind je een aanvinkvakje om de tekst te interpreteren als LaTeXcode. Onder "Symbolen" zit een uitgebreide keuzelijst met speciale tekens. Met "Objecten" kun je de GeoGebra-objecten uit de applet in een dynamisch geheel plaatsen. Daaronder vind je een lijst met de laatst gebruikte speciale tekens.

Je klikt in het tekenblad waar je de tekst wilt hebben. Je typt dan in het invoervak eerst de tekst "De diameter van de cirkel is gelijk aan" Dan klik je in het keuzelijstje "Objecten" op “d”. In het voorbeeld zie je dat dan de waarde van d, in dit geval 6 wordt ingevuld.

Hiernaast verschijnt onmiddellijk de tekst, zoals hij er zal uitzien als je op "OK" drukt.

Om de tekst naar het tekenblad te verhuizen, klik je ten slotte op "OK".

- Je kan ook gegevens van het algebravenster verslepen als tekst naar het tekenvenster. 9.2

9.4

Eigenschappen van teksten

- Klikken we met de rechtermuisknop op een tekst in het tekenvenster of in het algebravenster, dan kunnen we de eigenschappen van de tekst aanpassen. Via het tabblad ‘Eigenschappen’ krijgen we de volgende mogelijkheden.

Gebruik van een tekst in LaTeX-code Als je op het tekenscherm de tekst omtrek " " wil invoeren, dan gebruik je een diameter LaTeXformule. Je zet hiertoe een vinkje bij "LaTeXformule". Op de invoerlijn verschijnen twee dollartekens. De tekst in LaTeX-code komt tussen deze twee tekens. Je klikt nu op "LaTeXformule" en kiest bij a "Wortels en breuken" voor . b Je vervangt nu op de invoerlijn "a" door "omtrek" en "b" door "diameter". Ten slotte klik je weer op "OK".

- Met het tabblad ‘Basis’ kunnen we het object al dan niet tonen, het al of niet fixeren en er al of niet een hulpobject van maken. - Met het tabblad ‘Tekst’ kunnen we kiezen voor het lettertype, de grootte van de letter, al dan niet vetjes,

33

34

9.5

We willen nu echter de coördinaten van S als breuken weergeven.

Roteren van teksten Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC. We willen nu bij de schuine zijde ሾ‫ܥܤ‬ሿ de tekst “schuine zijde” plaatsen zó dat de tekst evenwijdig staat met de schuine zijde van de driehoek. Hiervoor plaatsen we eerst een tekst “schuine zijde” op een willekeurige plaats in het scherm. De naam van deze tekst is tekst1. Daarna roteren we tekst1 door het commando RoteerTekst[tekst1,-β]. We slepen deze nieuwe tekst (tekst2) naar de juiste plaats in het scherm. Ten slotte verbergen we tekst1.

We kunnen de geroteerde tekst ook rechtstreeks invoeren. We illustreren dit met een voorbeeld. We tekenen in het tekenvenster de rechten ܽǣ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ en ܾǣ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͵. We willen nu de vergelijkingen van beide rechten in het tekenvenster zetten als teksten die evenwijdig staan met de respectievelijke rechten. Dit kan opnieuw door het GeoGebracommando RoteerTekst[Tekst,hoek]. We voeren dit commando nu echter in als een tekst met LaTeXformule én plaatsen hem in een dynamisch kadertje, m.a.w. we beschouwen hem als Object. I.p.v. de tekst eerst in te voeren en hem daarna te verslepen naar de juiste plaats, kunnen we de tekst ook koppelen aan een punt op de rechte, een punt dat je daarna verbergt. Het resultaat zie je hieronder rechts

Daartoe koppelen we aan het punt S een tekst die er als volgt uitziet:

Het resultaat is dan:

Merk op dat we de tekst weer als een LaTeXformule weergeven en dat zowel de letter S als de beide breuken in een dynamisch kadertje zitten, m.a.w. als object beschouwd worden.

10

Macro's

Indien je bij een constructie steeds dezelfde reeks van bewerkingen moet uitvoeren, is het interessant om hiervoor een macro te maken. We maken als voorbeeld een fractaal van in elkaar ingesloten gelijkzijdige driehoeken. We vertrekken van een gelijkzijdige driehoek ABC.

9.6

Teksten als breuken schrijven We nemen de middens van elke zijde en vormen daarmee een nieuwe gelijkzijdige driehoek DEF.

Nemen we opnieuw de vorige oefening. Wanneer we het label van het snijpunt S van de rechten a en b zichtbaar maken, dan krijgen we

35

36

variabele moeten we := gebruiken, bijv. a:=3. - Een vermenigvuldiging moet expliciet met een * aangegeven worden - Om een uitdrukking exact te berekenen, druk je op Enter. - Om een uitdrukking numeriek te berekenen, druk je op Ctrl-Enter. - Om een uitdrukking te bewaren, druk je op Alt-Enter. - Met een spatie verkrijg je de vorige output. - Met = verkrijg je de vorige input. - #3 wordt in een formule vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is statisch en verandert niet als rij 3 gewijzigd wordt. - $3 wordt in een formule eveneens vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is echter dynamisch en wordt aangepast als rij 3 gewijzigd wordt. - Je kan vermijden dat er een output gegeven wordt door na een uitdrukking een ; te plaatsen.

We willen nu steeds maar opnieuw de middens nemen van de laatst gevormde driehoek en daarmee een nieuwe driehoek vormen. Daarom stoppen we deze constructiestappen samen in een macro. Hiervoor gaan we als volgt te werk: - We selecteren "'Nieuwe macro's aanmaken" in het menu "Macro's". - We selecteren de eindobjecten. Dit zijn de punten D, E en F, de lijnstukken [DE ] , [EF ] en [DF ] en de driehoek DEF. - We selecteren de beginobjecten. Dit zijn de punten A, B en C. - We geven een naam aan de macro, bijv. "fractaal". - We kiezen een icoon voor de macro. Wanneer we nu de macro op de werkbalk aanklikken en daarna drie punten aanklikken, zal er telkens een nieuwe gelijkzijdige driehoek getekend worden. Zo verkrijgen we achtereenvolgens:

11.4

Voorbeelden

Hieronder zie je enkele voorbeelden voor het derde jaar. 1 Werk uit:

൫ଶ௫ ఱ ௬൯

షభ

2 Los op: ‫ ;ݔ‬ൌ ௫

ర

Ǥ൫௫௬௭ షమ ൯

ሺଶ௬ షభ ௭ య ሻషయ ସ ଶହ

Het CAS-venster

11.1

Het CAS-venster

ଵଶହ ଶ଻

6 Zet om in een onvereenvoudigbare breuk: 2,26

3 Los op: ට ൌ Ͷ

7 Ontbind in factoren:

4 Werk uit: ξͷܽ଻ ܾ ଷ Ǥ ξͶܾܽ ଺

8 Bereken

ଷ

11

య

5 Bereken: ටെ

ସ

Ͷ‫ ݔ‬െ ͳͶͶ

9 Ontbind in factoren: ξͺ െ ͺܽ ൅ ξʹ‫ ݕ‬െ ʹ‫ݔ‬

10 Ontbind: Ͷ‫ ݔ‬െ ͺܽ ൅ ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷܽ‫ ݔ‬൅ Ͷܽ; ଵ

ଶ

11 Los op: ൫‫ ݔ‬൅ ξ͵൯ ൌ ‫ ݔ‬െ Ͷ ଷ

ଵ

ହ

12 tot 14 Los de vergelijking uit

ඥଶభబబ ାଵିඥଶభబబ

nr.11 op in 3 fasen

Met de menuknop ‘Beeld’ kun je het CAS-venster zichtbaar of onzichtbaar maken.

11.2

Invoer via de cellen en de werkbalk

Je tikt eerst op de invoerlijn de uitdrukking in waarop de bewerking moet uitgevoerd worden. Daarna druk je op de juiste knop van de werkbalk Bereken exact

Werk de haakjes uit

Bereken numeriek

Substitueer een deel van de uitdrukking door…

Bewaar de invoer

Los exact op

15 Los op:

Ontbind in factoren

ହ

െ

௫ିଵ

16 Los op naar b ଵ

Los numeriek op

௩

11.3

௠௫

ଵ

൅ ൌ ௕

ଵ

௙

ଶ

ൌ݉െʹ

17 Los op: ଶ ଷ

ଵ

ଵ

ሺ͵‫ ݔ‬െ Ͷሻ െ ሺͳ െ ʹ‫ݔ‬ሻ ൐ ሺ͵‫ ݔ‬െ ͹ሻ ସ

ଶ

18 Los het volgende stelsel op: ቐ

‫ݕ‬ൌ

‫ݕ‬ൌ

ଵଷ

ଷ ଵ଴ ଽ

ସ

21 Los het volgende stelsel op: ͵݉‫ ݔ‬൅ ʹ‫ ݕ‬ൌ ͷ ൜ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬ൌ݉

െ ‫ݔ‬ ଷ

‫ݔ‬െ

ସଽ ଽ

19 Maak de grafiek van ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ȁ‫ ݔ‬െ ʹȁ

Invoer via de cellen

Met CAS-commando’s kunnen een hele reeks rekenkundige en algebraïsche bewerkingen uitgevoerd worden. In 11.4 zie je een aantal voorbeelden. Er zijn wel een aantal verschillen met de gewone invoerlijn. - We kunnen om het even welke variabele gebruiken, zonder dat deze op voorhand gedefinieerd is, bijv. ܽ; െ ܾ;. - Het gelijkheidsteken wordt gereserveerd voor vergelijkingen. Om een waarde toe te kennen aan een

20 Los het volgende stelsel op: ൫ͷξ͵ ൅ ξ͸൯‫ ݔ‬െ ξʹ‫ ݕ‬ൌ ͳͷ ቊ ξ͵‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͸

37

38

En hieronder zien we enkele voorbeelden voor het vierde jaar. 1 Schrijf in de vorm ܽሺ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ሻଶ ൅ ‫ݍ‬ǣ െ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݔ‬൅ ͳ

5 Ontbind in factoren: ͳʹ‫ ;ݔ‬െ ͳͳ‫ ݕݔ‬െ ͷ‫;ݕ‬

3 Zoek het snijpunt van de parabool ଵ ଷ ‫ ݕ‬ൌ ‫ ;ݔ‬en de rechte ‫ ݕ‬ൌ െ ‫ ݔ‬൅ ʹ

7 Los op: 11 Los op: ሺʹ‫ ݔ‬ସ െ ͸‫ ݔ‬ଶ െ ʹ͹ሻଶ ൌ ሺ‫ ݔ‬ସ െ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͻሻ; ʹ‫ ݔ‬ହ ൅ Ͷ‫ ݔ‬ସ െ ͳ͹‫ ݔ‬ଷ െ ͵Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ͻ‫ ݔ‬െ ͳͺ ൌ Ͳ

2 Los op: Ͷ‫ ;ݔ‬െ ‫ݔ‬ሺͷ ൅ ͵‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ͸ െ ʹ‫ݔ‬ሻଶ െ ͵͸ ସ

4 Los op:

ଶ

‫ ;ݔ‬൅ ʹ݇‫ ݔ‬െ Ͷ݉‫ ݔ‬െ ʹ݇݉ ൅ ͵݉ଶ ൌ Ͳ

6 Los op: ሺ‫ ݔ‬െ ͺሻଶ ൐ ʹ‫ ݔ‬െ ͳ͸

8 Los op:

ସሺ௧ మିସ௧ାସሻ ଵ଺

9 Maak de Euclidische deling van ଵ ‫ Ϳݔ‬െ ʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬െ ͵ door ‫ ݔ‬൅ ଶ

10 Maak de Euclidische deling van ͵‫ ݔ‬ସ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷ door ‫ ;ݔ‬൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ʹ

12 Ontbind in factoren:

ൌ

ଷ௧

௧ାସ

൅

ଶ௧

௧ିସ

ሺʹ‫ ݔ‬െ ͳሻଷ ൅ ሺ͵‫ ݔ‬൅ ͳሻͿ

Merk op dat het nulpunt een numerieke afronding is. Het aantal cijfers na de komma bij het nulpunt is wat ingesteld is via het menu ‘Opties>Afronden’. Voor de andere waarden in de functie onderzoeker wordt het aantal decimalen ingesteld met de knop rechts bovenaan de functie onderzoeker. Wil je het nulpunt exact vinden, dan kun je in het CAS-venster de vierkantsvergelijking ͷ‫ ;ݔ‬൅ ͵Ͳ‫ ݔ‬൅ ͳͲ ൌ Ͳ oplossen. In de functie onderzoeker krijgen we een nulpunt enkel te zien als het interval slechts één nulpunt bevat. Anders staat er ‘Meervoudige wortels’.

12

Onderzoeksvensters voor functies en statistiek

12.1

Onderzoeksvenster voor functies

Met de ‘functie onderzoeker’ kunnen eigenschappen van functies weergegeven worden in een apart venster. We leggen dit uit aan de hand van een concreet voorbeeld. Vanaf een toren van 10 meter hoog wordt een pijl recht omhoog geschoten. We kunnen de hoogte ݂ሺ‫ݔ‬ሻ (in meter) na x seconden uitdrukken met het voorschrift ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െͷ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵Ͳ‫ ݔ‬൅ ͳͲ.We geven de functie in. In het tekenvenster wordt de grafiek getekend.

We kiezen nu in de derde laatste knoppengroep de knop en klikken op de functie f in het tekenvenster of in het algebravenster. Er verschijnt dan een apart onderzoeksvenster met als titel ‘functie onderzoeker’. - We kiezen eerst voor het tabblad ‘Interval’. Onderaan stellen we de grenzen van dit interval in. We kunnen dan o.a. aflezen: het minimum en het maximum dat de functie in dit interval bereikt en het nulpunt in dit interval.

39

- Kiezen we voor het tabblad ‘Punten’, dan zie je de x- en de y-coördinaat van één punt van de grafiek. Dit punt wordt ook in het tekenvenster getekend (in het rood). Wil je een ander punt, dan kan je de x-coördinaat aanpassen in het vakje ‘x’. - Onderaan in het venster heb je nog een aantal keuzemogelijkheden. o Met de knop krijg je 4 extra punten vóór het te onderzoeken punt en 4 extra punten na het te onderzoeken punt. Zo kun je het verloop van de functie in de omgeving van het punt beter onderzoeken. De stapgrootte van de punten kun je bovenaan instellen.

40

Aan de linkerkant zien we een lijst met de belangrijkste statistische kenmerken van de gegevens. We vinden hier o.a. het aantal gegevens n, het gemiddelde, de standaardafwijking σ, het minimum en het maximum van de gegevens, de mediaan en de kwartielen Q1 en Q3. Aan de rechterkant zien we een histogram, waarbij de gegevens verdeeld zijn over 5 klassen. In dit onderzoeksvenster kunnen we heel wat aanpassen.

o Met de knop krijgen we twee hulplijnen om de x- en de y-coördinaat van het te onderzoeken punt gemakkelijker af te lezen. o Met de knop zien we de raaklijn in het te onderzoeken punt aan de grafiek van de functie. 12.2

Onderzoeksvenster voor statistiek

In GeoGebra zit ook een apart onderzoeksvenster voor statistiek ingebouwd: de ‘Data analyse’. Hieronder vinden we de resultaten van een snelheidscontrole van 100 auto’s. De snelheden zijn uitgedrukt in km/h.

- Rechts boven zit een knopje , waarmee we het statistisch onderzoeksvenster kunnen integreren met of losmaken van het hoofdvenster. - Met het driehoekje linksboven kunnen we een opmaakwerkbalk zichtbaar maken. Hiermee kunnen we de databron, de statistieken, de data en een tweede grafiek laten zien. - Met het knopje links bovenaan het grafisch gedeelte kun je verschillende grafische voorstellingen maken van de gegevens. Voor ons zijn hier belangrijk: het histogram, het staafdiagram, de boxplot en het stengelen bladdiagram. - Voor het histogram kunnen allerlei instellingen gewijzigd worden. - Bovenaan het grafisch gedeelte zit een schuifknop waarmee we het aantal klassen kunnen wijzigen. De gegevens worden dan verdeeld over een aantal klassen die even breed zijn. Je hebt dan wel weinig greep op de klassengrenzen. - Met het knopje

rechts bovenaan kunnen we een extra instellingsvenster openklappen.

We brengen deze gegevens in de cellen A1 tot J100 van het rekenblad.

Om deze gegevens te analyseren, klikken we de gegevens aan en openen we een apart onderzoeksvenster met de knop (onderzoek één variabele) uit de werkbalk van het rekenblad. We kiezen daarna voor het tabblad ‘Analyseer’.

Het tabblad ‘Histogram’. - Hier kunnen we o.a. we de klassengrenzen manueel bepalen. De schuifbalk en het aantal klassen worden dan vervangen door twee invulvakjes voor de eerste klassengrens (‘Start’) en de klassenbreedte ‘Breedte’. - Bij het frequentietype kunnen we kiezen tussen de gewone frequenties en de cumulatieve. Verder hebben we keuze tussen absolute frequenties (‘Tel’) en relatieve frequenties (‘Relatief’). - Bij ‘Toon’ kunnen we naast het histogram ook de frequentietabel en/of het frequentiepolygoon tonen.

Het tabblad ‘Graaf’ - Hier kunnen we het rooster op het histogram al dan niet tonen. - We kunnen ook de grenzen en de stapgrootte voor de x-as en de y-as manueel instellen.

In plaats van een histogram kunnen we ook een boxplot tonen. Hier kunnen we dan nog kiezen of we de ‘uitschieters’, d.w.z. de gegevens die sterk afwijken van het gros van de meetwaarden, al dan niet tonen.

41

42

Je kan ook een stengelen bladdiagram weergeven. De stengels worden automatisch bepaald, en onderaan wordt de sleutel getoond. Je kan de stengels wijzigen door bovenaan op -1 of +1 te klikken.

We geven nu eerst een willekeurige waarde aan ܽሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ, bijv. ܽሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ൌ ‫ ;ݔ‬െ ‫;ݕ‬. We maken dan een invulveld met het voorlaatste icoontje op de werkbalk . Als titel kiezen we ontbinden in factoren en als gelinkt object de veelterm ܽሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ.

Wanneer we klikken op ‘Toepassen’ krijgen we: We ontbinden nu ܽሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ door het commando ‘b=Ontbinden[a]’ op de invoerlijn.

In het tekenvenster voeren we als tekst in:

Er verschijnt dan als tekst1: We maken ook een aanvinkvakje om deze oplossing al of niet te tonen.

Je kan alle grafieken heel eenvoudig naar het tekenvenster overbrengen door op de grafiek met de rechtermuistoets te klikken. Door ‘Kopieer naar tekenvenster’ te kiezen, worden de grafieken weergegeven in het tekenvenster.

Je kan nu een onbeperkt aantal oefeningen maken door in het invulvak telkens een andere veelterm in te vullen. 13.2

En, zoals reeds hoger vermeld, kun je ook verschillende zaken tegelijk weergeven. Zo zijn hierboven de statistische parameters, de data, het histogram, het frequentiepolygoon én de boxplot weergegeven. Merk op dat je bij de lijst van gegevens bepaalde waarden kan wegklikken, zodat ze niet meer meegeteld worden. Zo kun je bijv. het effect van uitschieters op het gemiddelde en de mediaan illustreren.

Scripts

13

Het gebruik van invulvelden, knoppen en scripts

Aan elk GeoGebra-object kan een ‘script’ gekoppeld worden. Dit zijn een reeks bevelen, die uitgevoerd worden telkens je op een object klikt (‘on click’) of telkens als een object geüpdatet wordt (‘on update’), d.w.z. dat de waarde van het object verandert. We beperken ons hier tot de scripts ‘on click’ en leggen het systeem uit aan de hand van een voorbeeld, nl. een oefening, waarbij voor een hele reeks functies het voorschrift moet bepaald worden.

13.1

Invulvakken

Voorbeeld: functievoorschriften bepalen bij grafieken

Om een variabele handmatig te wijzigen, kunnen we gebruik maken van een invulvak, dat gekoppeld is aan deze variabele. Voorbeeld: Ontbinden van een veelterm in factoren We beperken ons tot veeltermen met - één variabele x, - twee variabelen x en y, - drie variabelen x, y en z. We kunnen die algemeen voorstellen door ܽሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ.

De bedoeling van deze oefening is dat de leerlingen het voorschrift bepalen van een reeks van functies, die ଵ ontstaan door de grafieken van de elementaire functies ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫Ϳݔ‬, ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ξ‫ ݔ‬en ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ horizontaal of ௫ verticaal te verschuiven. ଵ ଵ We nemen als functies: ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൅ ͵, ݂ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻͿ, ݂ଷ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ Ϳݔ‬൅ ͳ, ݂ସ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ , ݂ହ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ξ‫ ݔ‬െ ͳ ൅ ͵ en ௫ିସ

݂଺ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ξ‫ ݔ‬൅ ͵. Deze functies zetten we in een lijst Lf:

௫ାଷ

Lf = {1/(x-4)+3, (x+2)³, x³+1, 1/(x+3), sqrt(x-1)+3, sqrt(x+3)}. We voeren nu een getal n in, dat het nummer van de oefening aangeeft. Als beginwaarde voeren we in:

43

44

n=1

We hebben ook een actieknop nodig om over te gaan naar de volgende oefening. We kunnen een actieknop

We definiëren nu de actieve functie f als het n-de element van de lijst Lf:

maken door de knop

f = Element[Lf, n]

te activeren in de voorlaatste knoppenreeks op de werkbalk.

Het opschrift van deze actieknop is

.

Het is de bedoeling dat het functievoorschrift ݃ሺ‫ݔ‬ሻ, dat de leerlingen invullen, vergeleken wordt met de actieve functie uit de lijst. Als beginwaarde voor ݃ሺ‫ݔ‬ሻ vullen we in: g(x)=0

Telkens we deze knop indrukken moeten er twee dingen gebeuren: - de functie g moet terug naar de begintoestand gebracht worden, m.a.w. g(x) moet opnieuw gelijk aan 0 worden, - n moet met 1 verhoogd worden, behalve bij de laatste oefening, waar n opnieuw gelijk aan 1 moet worden.

We plaatsen nu een tekst in het tekenvenster, die de opgave weergeeft.

We voegen daarom aan de actieknop een script toe met twee bevelen:

We creëren nu in het tekenvenster een invulvak met als opschrift ‘f(x) = ‘, dat gekoppeld wordt aan het object We willen ook de leerling verwittigen wanneer hij aan de laatste oefening komt. (de functie) g. Dit gebeurt door de knop te activeren in de voorlaatste knoppenreeks op de werkbalk, titel en gelinkt object in te voeren en dan op ‘Toepassen’ te klikken.

Dit doen we door een tekst te tonen.

in te voeren. We vullen ook de voorwaarde in om deze tekst

En ten slotte voeren we ook een actieknop toe om de oefening van het begin af aan opnieuw te starten. Als de leerling nu een functievoorschrift intikt, dan wordt dit opgeslagen in de functie g.

Het opschrift van deze actieknop is Het script bij deze actieknop is:

Er zijn twee mogelijkheden:

.

- Ofwel is het ingevulde functievoorschrift correct, d.w.z. dat g(x) = f(x). In dit geval willen we dat er een tekst “Dat is correct” verschijnt in het tekenvenster.

Bij de eigenschappen van deze tekst, vullen we in het tabblad ‘Geavanceerd’ de voorwaarde in om de tekst te tonen, nl. f==g (dubbel gelijkheidsteken) of

We hebben nu nog één probleem. Als de leerling een oefening fout heeft opgelost, dan verschijnt de tekst “Niet juist! Probeer nog eens.” Deze tekst zal echter ook verschijnen als we naar de volgende oefening gaan. g(x) wordt dan immers gelijk aan 0 gesteld en dus is g verschillend van f. Ook bij het indrukken van de knop ‘Herbegin’ verschijnt diezelfde ongewenste tekst.

.

- Ofwel is het ingevulde functievoorschrift niet correct, d.w.z. dat g(x) ǂ f(x). In dit geval willen we dat er een tekst “Niet juist! Probeer nog eens.” verschijnt in het tekenvenster.

Om dit te vermijden, creëren we een Booleaanse variabele, d.i. een variabele, die maar twee standen kan innemen: ‘true’ of ‘false’. We noemen deze variabele ‘nieuweOpgave’ en stellen hem bij het begin gelijk aan ‘true’, door op de invoerlijn in te voeren: “nieuweOpgave=true”. We moeten nu op vier plaatsen iets toevoegen. 1 Telkens er iets ingevuld wordt in het invulvak ‘f(x) = ‘, moet ‘nieuweOpgave’ gelijk zijn aan ‘false’. Dat doen we door aan het invulvak een script toe te voegen:

Bij de eigenschappen van deze tekst, vullen we in het het tabblad ‘Geavanceerd’ als voorwaarde in: fǂg.

45

46

- anaglyphen of 3D zicht, te bekijken met een 3D bril (‘projection for glasses’) - scheve parallelprojectie (‘oblique projection’). Om het vertrouwde Cavalièreperspectief te verkrijgen, klik je eerst op mogelijkheid van de laatste knop 2 De tekst “Niet juist! Probeer nog eens.” mag enkel zichtbaar zijn als ‘nieuweOpgave’ gelijk is aan ‘false’. We passen dus de voorwaarde aan:

, en daarna op

de

(de 4

).

Als je met de rechtermuisknop klikt in het tekenvenster, krijg je ook hier een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster. Ook hier kan je de assen, het rooster en het (x,y)-vlak tonen of verbergen. Verder beschik je over een aantal voorkeuren onder de titel ‘tekenvenster’. Dit menu ‘Voorkeuren’ is echter nog volop in ontwerp. In het 3D tekenvenster heb je een aparte werkbalk. Je vindt hier een aantal commando’s terug uit het 2D tekenvenster, naast een aantal nieuwe, typische 3D commando’s. Uiteraard is ook hier algebraïsche invoer mogelijk. Hiervoor beschik je over een aantal nieuwe 3D commando’s naast de vertrouwde 2D commando’s. Let er echter op dat niet alle commando’s uit 2D werken in 3D. Op de volgende bladzijden vind je een overzicht van de belangrijkste commando’s.

3 Telkens we overgaan naar een volgende oefening moet ‘nieuweOpgave’ gelijk worden aan ‘true’. We passen dus het script van deze actieknop aan.

Het is voorlopig niet mogelijk om in het 3D tekenvenster te werken met schuifknoppen en actieknoppen of met de navigatiebalk. Dit kan echter omzeild worden door deze elementen te tonen in het 2D tekenvenster.

4 En ook bij het aanklikken van de knop ‘Herbegin’ moet ‘nieuweOpgave’ gelijk worden aan ‘true’. We passen dus ook dit script aan.

14

Het gebruik van 3D

14.1

Het 3D tekenvenster

In de proefversie van GeoGebra 5.0 Beta, beschik je in de menubalk over een knop die een 3D tekenvenster opent.

De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster en het rekenblad. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om de assen te tonen of te verbergen, - om het rooster in het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het beeld al dan niet te laten roteren rond de z-as; de snelheid pas je aan met de schuifknop, - om terug te keren naar het standaardbeeld, - om een bovenzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,y)-vlak, - om een vooraanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,z)-vlak, - om een zijaanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (y,z)-vlak, - om de ‘clipping box’ aan en af te zetten en te vergroten of te verkleinen, - om de projectie te kiezen: - loodrechte parallelprojectie (‘parallel projection’), - perspectiefprojectie (‘perspective projection’)

47

48

14.2

Commando’s in het 3D tekenvenster

14

14.2.1 Punten Begrip

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren in het (x,y)-vlak. Je kan het punt nu verslepen in het Oxy-vlak. Klik op het punt met de linkermuisknop. Nu kan je de z-coördinaat van het punt wijzigen. Nogmaals klikken op het punt laat een horizontale verplaatsing toe in een vlak, evenwijdig met het (x,y)-vlak. Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd.

Hoofdknop Nieuw punt

Punt op object

Commando (a,b,c) P=(a,b,c)

Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten

Klik achtereenvolgens op twee objecten om de snijpunten of de doorsnede van deze objecten te bepalen

Punt[rechte a] Punt[lijnstuk b] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Snijpunten[object a,object b] of Doorsnede[object a, object b]

Midden

Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen.

Midden[punt A,punt B] Midden[lijnstuk c]

Zwaartepunt Ligt een punt in een regio?

-

-

-

Zwaartepunt[veelhoek v] IsInRegio[punt A, regio r]

Top

-

-

-

Top[kegel k]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert het punt met coördinaat (a, b, c). Creëert het punt P met coördinaat (a, b, c).

Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op het lijnstuk b, op de cirkel c of op de veelhoek v. Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van een rechte en een vlak of van 2 vlakken, met namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [AB] . Creëert het midden van het lijnstuk c. Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Geeft "true" als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel,…) ligt en "false" als het punt A niet in de regio r ligt. Geeft de top van een kegel k.

14

Alle constructies die uitgevoerd worden in het 2D-tekenvenster verschijnen automatisch in het Oxy-vlak van het 3D-tekenvenster. Omgekeerd zullen elementen in het 3D-tekenvenster, die in het Oxy-vlak liggen, ook verschijnen in het 2D-tekenvenster.

49

14.2.2 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Begrip Hoofdknop Rechte door twee punten Rechte door een punt met gegeven richtingsvector Loodlijn

-

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten.

Commando Rechte[punt A, punt B]

-

-

Rechte[punt A, vector v]

Creëert een rechte door het punt A met richtingsvector v.

Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte.

Loodlijn[punt A, rechte r]

Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector

Rechte[punt A, rechte g]

Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g.

Evenwijdige rechte

Lijnstuk tussen twee punten Halfrechte door twee punten

Vector

Loodlijn[punt A, vector v]

Lijnstuk[punt A,punt B]

Creëert het lijnstuk [AB]

Halfrechte[punt A, punt B]

Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Verschuift het punt A over de vector v.

Halfrechte[punt A, vector v] Vector[punt A, punt B] Vector[punt A]

Vector met beginpunt

Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn.

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door A en B.

Punt[punt A, vector v]

14.2.3 Veelhoeken Begrip Hoofdknop

Deelmenu

-

-

Veelhoek

Omtrek van een veelhoek

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren -

Commando Veelhoek[punt A,punt B,...]

Omtrek[veelhoek poly]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Berekent de omtrek van de veelhoek poly.

50

Oppervlakte van een veelhoek Pad, gebroken lijn of veelhoekslijn

-

-

zie oppervlakte

-

-

-

-

-

Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...]

Creëert een pad van het punt A naar het laatste punt.

Hoofdknop

Deelmenu

-

-

14.2.4 Cirkels Begrip Cirkel door drie punten Cirkel met middelpunt en straal

Cirkel met as door een punt

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Cirkel[punt A,punt B,punt C] Creëert de cirkel door de punten A, B en C.

Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in.

Cirkel[punt M,getal r]

Cirkel[rechte a,punt A]

Grondvlak

-

-

Klik op een rechte en op het een punt en creëer een cirkel met de rechte als as die door het punt gaat. Klik op een punt, selecteer een richting en geef een getal in en creëer een cirkel met het punt als middelpunt, een as met de gegeven richting en het getal als straal -

Ends

-

-

-

Cirkel met middelpunt, straal en richting

Cirkel[punt M,lijnstuk s]

Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)vlak met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)vlak met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal. Creëert een cirkel met a als as die door het punt A gaat.

Cirkel[punt M, richting a, getal r]

Creëert een cirkel met M als middelpunt, een as met richting a en r als straal.

Grondvlak[cilinder c] Grondvlak[kegel k] Ends[cilinder c]

Creëert het grondvlak van de cilinder c of de kegel k. Creëert het grondvlak en het bovenvlak van de cilinder c. Creëert het grondvlak van de kegel k.

Ends[kegel k] 14.2.5 Vlakken Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Vlak door 3 punten Vlak door een punt en een rechte

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op drie niet collineaire punten en creëer zo het vlak door die punten. Klik op - drie niet collineaire punten - op een punt en op een rechte, die niet

Commando Vlak[punt A, punt B, punt C]

Vlak[punt A, punt B, punt C] Vlak[punt A, rechte a]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door de punten A, B en C. Creëert een rechte door de punten A, B en C. Creëert een vlak door het punt A, dat de

51

door dit punt gaat - op twee snijdende of evenwijdige rechten - op een veelhoek om een vlak te creëren. Klik op een vlak en op een punt en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op een vlak en op een punt en creëer zo het loodvlak door het punt op de rechte.

Evenwijdig vlak

Loodvlak

Middelloodvlak

-

-

-

Vlak[rechte a, rechte b] Vlak[veelhoek v] Vlak[punt A, vlak α]

Loodvlak[punt A, rechte a] Loodvlak[punt A, vector v] Deelvlak[punt A, punt B] Deelvlak[lijnstuk a]

rechte a omvat. Creëert een vlak dat de rechten a en b omvat. Creëert het vlak waarin de veelhoek v ligt. Creëert een vlak door het punt A evenwijdig met het vlak α. Creëert een loodvlak op de rechte a door het punt A. Creëert een loodvlak op de vector v door het punt A. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk [AB]. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk a.

14.2.6 Kubus, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol Begrip Kubus

Prisma

Hoofdknop -

Deelmenu -


Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een prisma met als grondvlak de veelhoek en als bovenvlak een vlak door het punt. Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een prisma te creëren.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Creëert een kubus met [AB] als ribbe. Kubus[punt A, punt B, richting r] - Is de richting r een rechte, een halfrechte, een lijnstuk of een vector die loodrecht staat op [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en loodrecht op de richting. - Is de richting r een vlak evenwijdig aan [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en evenwijdig aan dit vlak. Creëert een kubus met [AB] als ribbe en Kubus[punt A, punt B] met AB een zijvlak evenwijdig aan het (x,y)-vlak. evenwijdig aan het (x,y)-vlak Prisma[punt A, punt B, …, punt F, punt Q] Prisma[veelhoek v, punt Q] Prisma[veelhoek v, getal h]

Creëert een prisma met grondvlak AB…F en ribbe [AQ]. Creëert een prisma met grondvlak v en Q als een punt van het bovenvlak. Creëert een prisma met grondvlak v en hoogte h.

52

Piramide

Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een piramide met als grondvlak de veelhoek en het punt als top. Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een piramide te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een cilinder. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede het middelpunt van het bovenvlak; het getal is de straal van het grondvlak en het bovenvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een cilinder te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een kegel. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede de top, het getal is de straal van het grondvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een kegel te creëren. Klik op twee punten en creëer een bol met het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal. Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de bol in. -

Cilinder

Kegel

Bol met middelpunt door een punt Bol met middelpunt en straal Zijde

-

-

Hoofdknop -

Deelmenu -

Piramide[punt A, punt B, …, punt F, punt T] Piramide[veelhoek v, punt T] Piramide [veelhoek v, getal h] Cylinder[cirkel c, getal h] Cylinder[punt M, punt N, getal r]

Kegel[cirkel c, getal h] Kegel[punt M, punt T, getal r]

Creëert een piramide met grondvlak AB…F en top T. Creëert een piramide met grondvlak v en top T. Creëert een piramide met grondvlak v en hoogte h. Creëert een cilinder met grondvlak c en hoogte h. Creëert een cilinder met straal r. M en N zijn resp. de middelpunten van het grondvlak en het bovenvlak.

Creëert een kegel met grondvlak c en hoogte h. Creëert een kegel met T als top en een cirkel (M, r) als grondvlak.

Bol[punt M, punt A]

Creëert een bol met middelpunt M die door het punt A gaat.

Bol[punt M, getal r]

Creëert een bol met middelpunt M en straal r.

Zijde[cilinder c] Zijde[kegel k]

Creëert de mantel van de cilinder c of de kegel k.

14.2.7 Doorsneden Begrip Doorsnede van een veelvlak en een vlak


Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Creëert de doorsnede van het veelvlak a DoorsnedeRegio[veelvlak a, vlak met het vlak α. α]

53

Doorsnede van een cilinder, kegel of bol met een vlak

-

-

-

Doorsnede[vlak α, cilinder c] Doorsnede[vlak α, kegel c] Doorsnede[vlak α,bol c]

Creëert de doorsnede van het vlak α met de cilinder, kegel of bol c.

14.2.8 Hoeken, lengte, oppervlakte en volume Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Hoek

Afstand

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op 3 punten. Je creëert de hoek bepaald door deze drie punten, waarvan het tweede het hoekpunt is,

Hoogte

-

-

Creëert - de afstand tussen twee punten, - de afstand tussen een punt en een rechte, - de afstand tussen twee evenwijdige rechten. -

Lengte

-

-

-

Oppervlakte

Berekent de oppervlakte van een veelhoek.

Volume

Berekent het volume van een ruimtefiguur

Commando Hoek[punt A,punt B,punt C] Hoek[getal a] Afstand[punt A, punt B] Afstand[punt A,rechte r] Afstand[rechte a,rechte b]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Berekent en kleurt de hoek bepaald door de halfrechten [BA en [BC. Zet het getal a om in een hoek van a radialen. Berekent de afstand tussen twee punten A en B. Berekent de afstand tussen het punt A en de rechte r. Berekent de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b. Geeft de hoogte van een cilinder c, een kegel k of een veelvlak v.

Height[cilinder c] Height[kegel k] Height[veelvlak v] Lengte[vector v] Lengte[lijnstuk a] Oppervlakte[punt A,punt B,punt C,...] Oppervlakte[veelhoek p] Oppervlakte [cirkel c] Volume[ruimtefiguur f]

Berekent de lengte van de vector v. Berekent de lengte van het lijnstuk a. Berekent de oppervlakte van de veelhoek ABC... Berekent de oppervlakte van de veelhoek p. Berekent de oppervlakte van de cirkel c. Berekent het volume van de ruimtefiguur f.

14.2.9 Transformaties Begrip Hoofdknop Asspiegeling

Deelmenu

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op de spiegelas.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Spiegelt het object o t.o.v. de rechte a. Spiegeling[object o,rechte a]

54

Vlakspiegeling

Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het spiegelvlak.

Spiegeling[object o, vlak α]

Spiegelt het object o t.o.v. het vlak α.

Puntspiegeling

Selecteer het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het punt ten opzichte waarvan je het object wil spiegelen. Klik op het object dat je wilt roteren. Klik vervolgens op de as van de rotatie. Vul daarna in het venster de rotatiehoek in. Hierbij kan je nog kiezen tussen uurwijzer ten tegenwijzerzin. Klik op het object dat je wilt verschuiven. Klik daarna op de verschuivingsvector.

Spiegeling[object o,punt A]

Spiegelt het object o t.o.v. het punt A.

Rotatie[object o,hoek a ,rechte a]

Roteert het object o over de hoek a rond de rechte a.

Verschuiving[object o,vector v]

Verschuift het object o volgens de vector v.

Homothetie[object o, getal r, punt P]

Geeft het homothetisch beeld van het object o. Het centrum van de homothetie is het punt P, de factor is r.

Rotatie met centrum over een bepaalde hoek

Verschuiving over een vector Homothetie

Klik op het object dat je wilt vermenigvuldigen en daarna op het middelpunt van de homothetie. Geef ten slotte de factor op.

15

Oefeningen

15.1

Illustreren van eigenschappen met GeoGebra

(1)

Illustratie van de stelling van de Pythagoras (3

de

jaar)

Inhoud - Als een driehoek rechthoekig is, dan is de som van de vierkanten op (kwadraten van) de rechthoekszijden gelijk aan het vierkant (kwadraat) van de schuine zijde. - Als een driehoek scherphoekig is, dan is de som van de vierkanten op (kwadraten van) de zijden die aanliggend zijn aan een scherpe hoek groter dan het vierkant op (kwadraat van) de derde zijde. - Als een driehoek stomphoekig is, dan is de som van de vierkanten op (kwadraten van) de zijden die aanliggend zijn aan deze stompe hoek kleiner dan het vierkant op (kwadraat van) de derde zijde.

Wat leren we over Geogebra? - Schuifknop (8.2, pag. 10) - Gebruik van titels (5.3, pag. 6) - Vierkant als regelmatige veelhoek (8.5.3, pag. 19) - Invoeren van dynamische teksten met objecten (9.3, pag. 34), gebruik van aanvinkvakjes (8.2, pag. 11)

Hoe de applet gebruiken? De leraar illustreert de theorie of de leerlingen ontdekken de eigenschappen aan de hand van de GeoGebra-webpagina

- Verschuivingen (8.5.7, pag. 23) - Gebruik van het rekenblad (7, pag.

De leraar illustreert de theorie of de leerlingen ontdekken de

de

(2)

Transformaties van grafieken van tweedegraadsfuncties (4 jaar)

- Is a > 0, dan vinden we de grafiek van y = ax² door de grafiek van y = x² verticaal uit te rekken met de positieve factor a.

55

Is a < 0, dan vinden we de grafiek van y = ax² door de grafiek van y = x² eerst te spiegelen om de x-as en daarna verticaal uit te rekken met de positieve factor a.. - We vinden de grafiek van y = a( x - a)2 door de grafiek van y = ax2 te verschuiven

8-9) - Voorwaarde om een object te tonen (5.3, pag. 6)

eigenschappen d.m.v. de GeoGebraapplet

- Beweging simuleren (8.5.7, pag 23) - Gebruik van animatie (8.2, pag. 10) - Voorwaarde om een object te tonen (5.3, pag. 6) - Gebruik van actieknoppen (8.2, pag. 11) - Invoeren van tekst met LaTeX (9.4, pag. 34),

De leraar illustreert de theorie of de leerlingen ontdekken het bewijs d.m.v. de GeoGebra-applet

-


over de vector v1(a, 0) . - We vinden de grafiek van y = a(x - a)2 + b door de grafiek van y = a( x - a)2 te verschuiven over de vector v 2 (0, b) . 15.2

Dynamische bewijzen met GeoGebra

(3)

Bewijs van de stelling van Pythagoras door James Garfield (3 jaar)

de

We berekenen de oppervlakte van het trapezium ADEC op twee manieren: - door de formule toe te passen, - door de som te nemen van de oppervlakten van de drie driehoeken.

(4)

de

Bewijs van de stelling van Pythagoras door Bhaskara (3 jaar)

vierkant op de schuine zijde

som van de vierkanten op de rechthoekszijden

56

de

(5)

Bewijs van de stelling van Pythagoras door vergelijking van oppervlakten (3 jaar) -

groot vierkant = vierkant op de schuine zijde + 4 x oppervlakte driehoek

groot vierkant = som van de vierkanten op de rechthoekszijden + 4 x oppervlakte driehoek de

(6)

Windmolenbewijs van de stelling van Pythagoras (3

jaar)

Het klassieke windmolenbewijs van de stelling van Pythagoras, geïllustreerd met GeoGebra.

15.3

Grafisch controleren van oplossingen van problemen met GeoGebra

(7)

Hoogte van een bus in een tunnel (3

de


- Ondoorschijnendheid van een veelhoek (5.3, pag. 7)

De leraar illustreert de theorie of de leerlingen ontdekken het bewijs d.m.v. de GeoGebra-applet.

jaar)

Eén van de vele tunnels in de rotsen langs het Vierwoudstedenmeer heeft als doorsnede een halve cirkel met een diameter van 8 m. Een autocar van 2,6 m breed wil deze tunnel - met éénrichtingsverkeer - inrijden. Bereken de maximale hoogte van deze bus als er tussen het dak van de bus en de tunnelwand een ruimte van 20 cm moet overblijven? Controleer je uitkomst met GeoGebra.

- Roteren van teksten (9.5, pag. 35) - Berekeningen met CAS (11, pag. 37-39)

De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun uitkomst grafisch met GeoGebra.

57

de

(8)

Baan van Venus en de aarde (4 jaar)

De planeten Venus (V) en Aarde (A) beschrijven bij benadering cirkelvormige banen rond de zon (Z). - Teken een stand van V en een stand van A waarbij de

- Cirkelvormige beweging van de aarde: ߙ஺ ൌ ቀ

ଷ଺଴

ଷ଺ହǡଶହ

ι

‫ݐ‬ቁ ,

‫ܣ‬ሺ‫ݎ‬஺ Ǥ ߙ஺ ǡ ‫ݎ‬஺ Ǥ ߙ஺ ሻ - Cirkelvormige beweging van Venus:

Ù

hoek VAZ het grootst is. Ù

- Herhaalde metingen van de hoek VAZ laten toe te besluiten dat de maximale grootte van deze hoek 46,33° is. Bereken hieruit de straal van de Venusbaan, als je weet dat de afstand tussen de aarde en de zon ongeveer 149,6 miljoen km is. - Op de GeoGebra-applet zie je een simulatie van de baan van Venus en de aarde. Als t = 0 staat Venus tussen de aarde en de zon (de zogenaamde benedenconjunctie

ߙ௏ ൌ ቀ

ଷ଺଴

ଶଶସǡ଻

ι

‫ݐ‬ቁ ,

De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun uitkomst grafisch met de GeoGebraapplet. Daarna simuleren ze met de applet de banen van Venus en de aarde rond de zon.

ܸሺ‫ݎ‬௏ Ǥ ߙ௏ ǡ ‫ݎ‬஺ Ǥ ߙ௏ ሻ

Ù

van Venus). Als je nu t laat toenemen (in dagen), zie je de hoek VAZ toenemen tot maximaal 46,33°. Beschrijf nu wat er gebeurt als je t verder laat toenemen. Kun je nu ook verklaren waarom Venus soms avondster en soms morgenster is? (9)

Aantal en aard van de oplossingen met een vierkantsvergelijking met een parameter (4

Voor welke waarde(n) van de parameter m heeft de vierkantsvergelijking ʹ‫ ;ݔ‬െ ʹሺ݉ െ ͳሻ‫ ݔ‬െ ሺ݉ െ ͷሻ ൌ Ͳ twee ongelijke positieve wortels? Controleer je uitkomst grafisch met GeoGebra. (10)

Extremumprobleem over het omheinen van een stuk land (4

de

de

jaar)

- Oplossen van vergelijkingen met CAS

De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun uitkomst grafisch met de applet.

- Gebruik van een 2de tekenvenster (4.3, pag. 3), meetkundige plaatsen (8.5.5, pag. 21)

De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun uitkomst grafisch met de GeoGebraapplet.

jaar)

Een boer wil op zijn land een rechthoekig stuk grond OPQR afzetten met gaas. Het stuk grond wordt begrensd door een gracht (blauw op de tekening). De grachtkant hoeft niet afgezet te worden. De boer heeft 30 meter gaas beschikbaar. Onderzoek wat de grootst mogelijke oppervlakte van het land is dat de boer op deze manier kan afzetten. Controleer je oplossing grafisch met GeoGebra.

58

15.4

Problemen oplossen met behulp van GeoGebra

(11)

De rechte van Euler (3

de

jaar)

- Controleer volgende eigenschappen met behulp van GeoGebra - de hoogtelijnen van een driehoek ABC gaan door één punt H; - de zwaartelijnen van een driehoek ABC gaan door één punt Z; - de (binnen)deellijnen van een driehoek ABC gaan door één punt D; - de middelloodlijnen van een driehoek ABC gaan door één punt M. - Van de vier punten H, Z, D en M liggen er drie op één rechte. Onderzoek met GeoGebra welke punten dit zijn. De rechte noemt men de rechte van Euler. Teken die. - Controleer met GeoGebra dat HZ = 2 MZ .

-

De leerlingen onderzoeken de eigenschappen met de GeoGebrawebpagina. Daarna leveren ze het analytisch bewijs zonder GeoGebra.

-

De leerlingen onderzoeken de eigenschap met de GeoGebra-applet. Daarna leveren ze het bewijs zonder GeoGebra.

- Al de vorige vaststellingen kun je ook analytisch aantonen. Doe dit voor de driehoek ABC met A (1, 0), B (5, 0) en C (0, 3). (12)

De hoeken van een koordenvierhoek (4

de

jaar)

- Teken een vierhoek ABCD die ingeschreven is in een cirkel. Een dergelijke vierhoek noemen we een koordenvierhoek. Waarom? - Verplaats de hoekpunten van de koordenvierhoek met GeoGebra en let op de hoeken. Welke eigenschap vind je voor deze hoeken? - Bewijs deze eigenschap. Maak eventueel gebruik van de hulpobjecten. 15.5

Statistisch onderzoeken met GeoGebra

(13)

Statistisch onderzoek vanuit een frequentietabel: aantal kinderen per gezin in 2677 gezinnen (3 /4 jaar)

de

Gegeven is een frequentietabel met het aantal kinderen per gezin in 2677 gezinnen. Bepaal met GeoGebra: - de volledige frequentietabel met de relatieve frequenties en de cumulatieve (absolute en relatieve) frequenties, - een staafdiagram en een boxplot, - een tabel met het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen, de standaardafwijking en de variantie.

de

- Berekenen van relatieve frequenties, cumulatieve absolute frequenties, cumulatieve relatieve frequenties via de rekentabel - Gebruik van het dollarteken - Getallen vanuit het rekenblad in een tabel zetten in het tekenvenster (7.3, pag. 9) - Gemiddelde, mediaan en kwartielen, standaardafwijking, frequentietabel, staafdiagram en boxplot vanuit een lijst met gegevens en een lijst met frequenties (8.9,pag. 28-31)

De leraar demonstreert of de leerlingen doen het statistisch onderzoek. Dit gebeurt door het maken van de GeoGebra-applet.

59

(14)

Statistisch onderzoek vanuit een klassentabel: lichaamslengte van 249 leerlingen uit de 2 de

Gegeven is een klassentabel met de lichaamslengte van 249 leerlingen uit de 2 graad. Bepaal met GeoGebra: - de volledige frequentietabel met de relatieve frequenties en de cumulatieve (absolute en relatieve) frequenties, - een tabel met het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen, de standaardafwijking en de variantie, - een histogram met frequentiepolygoon, een boxplot en een ogief

(15)

de

de

graad (3 /4 jaar)

- Gemiddelde, mediaan en kwartielen en standaardafwijking vanuit een lijst met klassenmiddens en een lijst met frequenties (8.9, pag. 28-31) - Histogram, frequentiepolygoon en boxplot vanuit een lijst met klassengrenzen en een lijst met frequenties (8.9, pag. 28-31) - Ogief punt per punt opbouwen en verbinden met een veelhoekslijn de


de

Statistisch onderzoek vanuit de ruwe gegevens zonder klassen: 50 maal gooien van 2 dobbelstenen (3 /4 jaar)

Simuleer met GeoGebra het 50 maal gooien met 2 dobbelstenen. Noteer telkens de som van de ogen. Maak met GeoGebra: - de volledige frequentietabel met de A.F., de R.F, de C.A.F. en de C.R.F., - een tabel met het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen, de modus, de standaardafwijking en de variantie, - een histogram, een boxplot en een stengel-bladdiagram

(16)

de

- Het creëren van toevalsgetallen (8.10, pag. 31-32) - Tellen met een voorwaarde (8.7, pag. 27) - Gemiddelde, mediaan, kwartielen, modus en standaardafwijking vanuit een lijst met data (8.9, pag 28-31) - Staafdiagram, boxplot en stengelbladdiagram vanuit een lijst met data (8.9, pag. 28-31) de

de

Statistisch onderzoek vanuit de ruwe gegevens met klassen: gewichten van 48 baby’s bij de geboorte (3 /4

Gegeven zijn de gewichten (in gram) van 48 baby’s bij de geboorte. Maak met GeoGebra: - de volledige frequentietabel met de absolute frequenties, de relatieve frequenties en de cumulatieve (absolute en relatieve frequenties), - een tabel met het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen, de standaardafwijking en de variantie, - een histogram, een boxplot, een ogief en een stengel-bladdiagram


jaar)

- Sorteren van getallen in een lijst (8.7, pag. 27) - Frequentietabellen vanuit een lijst met klassengrenzen en een lijst met data (8.9, pag. 28-29) - Minimum, maximum, gemiddelde, mediaan, kwartielen en standaardafwijking vanuit een lijst met data (8.9, pag. 28-31) - Boxplot en stengel-bladdiagram vanuit een lijst met data (8.9, pag. 31)


60

- Histogram, frequentiepolygoon en ogief vanuit een lijst met klassengrenzen en een lijst met data (8.9, pag. 28-31) 15.6

Simuleren van problemen met GeoGebra

(17)

Simuleren van het opgooien van een muntstuk (4

de

jaar)

Simuleer met GeoGebra het opgooien van een muntstuk. Bereken na elke worp de cumulatieve relatieve frequentie van het aantal keren ‘kop’. Onderzoek het verband tussen deze cumulatieve relatieve frequentie (de experimentele kans) en de theoretische kans op ‘kop’.

(18)

De leraar demonstreert of de leerlingen doen de simulatie. Dit gebeurt door het maken van de GeoGebra-applet.

- Som van twee rijen - Tellen met een voorwaarde (8.7, pag. 27)

De leraar demonstreert of de leerlingen doen de simulatie. Dit gebeurt door het maken van de GeoGebra-applet.

- Werken met CAS (11.4, pag. 38-39)

De leerlingen maken de berekeningen met CAS.

de

Simuleren van het 100 maal gooien van twee dobbelstenen (4 jaar)

Simuleer met Geogebra het 100 maal gooien van twee dobbelstenen en bepaal telkens de som van de ogen. Vergelijk: - de kansverdeling van de som van de ogen bij éénmaal uitvoeren van het experiment, - de kansverdeling van de som van de ogen bij 500 maal uitvoeren van het experiment, - de theoretische kansverdeling van de som van de ogen. 15.7

Exact berekenen met CAS

(19)

Voorbeelden uit de het 3

de

jaar

Zie pag. 38-39

(20)

- Genereren van een rij van toevalsgetallen (8.10, pag. 31) - Rij van de som van de eerste n elementen uit een rij (8.7, pag. 26) - Rij van de gemiddelden van de eerste n elementen uit een lijst - Gebruik van F9 (8.10, pag. 31)

Voorbeelden uit het 4

de

jaar

Zie pag. 39

- Werken met CAS (11.4, pag. 39)

De leerlingen maken de berekeningen met CAS.

61

15.8

Werken met scripts

(21)

Herkennen van grafieken (4

de

jaar)

Zie pag. 44-47

- Werken met invulvakken (8.2, pag. 11) - Werken met scripts (13, pag. 43-47)

15.9

Werken in de ruimte met GeoGebra 5.0

(22)

Berekenen van afstanden in een balk (3

de

jaar)

Een elektricien heeft 3 mogelijkheden om het punt A met het punt B te verbinden. Welke weg is de kortste? Controleer met de Geogebra-applet.

(23)

De leerlingen maken de oefening d.m.v. de GeoGebra-applet.

Bepalen van de doorsnede van een kubus en een vlak (4

Bepaal met de GeoGebra-applet de doorsnede van de kubus ABCDEFGH met het vlak, bepaal door de punten X, Y en Z.

- Openen van 3D-tekenvenster, gebruik van de menubalk, de werkbalk en de invoerlijn (14.1, pag. 47-48) - Tekenen van een prisma (14.2.6, pag. 52)

de

De leerlingen maken de oefening op papier en controleren aan de hand van de GeoGebra-applet.

jaar) - Rechten, lijnstukken en evenwijdige rechten (14.2.2, pag. 50) - Snijpunten (14.2.1, pag. 49) - Doorsnede van een vlak en een veelvlak (14.2.7, pag. 53)

De leerlingen maken de oefening d.m.v. de GeoGebra-applet en controleren ook met de applet.

62

Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad

Recommend Documents