Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad

3

Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad 1

Het basisvenster

Downloaden van GeoGebra

- GeoGebra is een gratis wiskundepakket dat meetkunde of geometrie en algebra combineert. Elk meetkundig object correspondeert met een algebraïsche uitdrukking en omgekeerd. Het pakket wordt ontwikkeld door Markus Hohenwarter aan de Florida Atlantic University voor het wiskundeonderwijs in de middelbare scholen. - GeoGebra 4.2 is gratis te downloaden via http://www.geogebra.org. Kies dan voor ‘Software’ en daarna bij ‘Geogebra Desktop’ voor ‘Windows’. Kies bij het installeren voor taal ‘Nederlands’. Bevestig dat je akkoord gaat met de licentievoorwaarden. Kies voor de standaardinstallatie en de knop ‘Installeren’. De installatie wordt nu voltooid, waarna je GeoGebra 4.2 kan opstarten. Om na te gaan over welke versie je beschikt, kan je het nummer opvragen via ‘Help’, ‘About/Licentie’. - Een voorlopige demoversie van GeoGebra 5.0 met een onderdeel voor ruimtemeetkunde kun je downloaden via het forum op de website http://www.geogebra.org/forum. Ga naar het onderdeel ‘Bètatests’ Kies daar voor:

en daarna voor:

en dan voor:

Kies nu voor de laatste beschikbare Installer versie. Bij mij was dit: Merk op dat de versie 5 eigenlijk een 4.9 versie is. De rest van de installatie gebeurt zoals bij GeoGebra 4.2.

2

Gebruik van GeoGebra

- Je kunt GeoGebra gebruiken in de lessen meetkunde (werken met punten, rechten, lijnstukken, cirkels, hoeken, lengte en oppervlakte, eigenschappen onderzoeken van vlakke figuren, werken met transformaties van het vlak, congruentie en gelijkvormigheid,…), in de lessen getallenleer (numerieke berekeningen, uitwerken en ontbinden van algebraïsche vormen, oplossen van vergelijkingen, omvormen van formules, werken met tabellen, staafdiagrammen en grafieken, berekenen van gemiddelde en mediaan,…). Met de proefversie van GeoGebra 5.0 kun je ook aan ruimtemeetkunde doen. - GeoGebra kan gebruikt worden: - door de leraar om theorie (begrippen en eigenschappen) of oefeningen in de klas te demonstreren, - door de leerlingen om zelfstandig de theorie te verwerken aan de hand van een bestaande applet, - door de leerlingen om de resultaten van een oefening te controleren aan de hand van een bestaande applet of door zelf een applet op te bouwen, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze gebruik maken van een bestaande applet of webpagina, - door de leerlingen om zelfstandig oefeningen te maken, waarbij ze zelf de applet opbouwen.

Wanneer je GeoGebra opstart krijg je bovenstaand beeld. - Bovenaan zie je de menubalk (‘Bestand’, ‘Bewerken’,...). We bespreken de menubalk onder 4. - Daaronder vind je werkbalk of de knoppenbalk. Hier vind je een aantal tekenopdrachten waarmee je constructies kunt uitvoeren in het tekenvenster. Terzelfdertijd worden de overeenkomstige coördinaten, vergelijkingen,... getoond in het algebravenster. We bespreken de werkbalk verder in 8. - Daaronder zie je twee vensters: links het algebravenster en rechts het tekenvenster. De schikking van deze vensters kan gewijzigd worden. In het algebravenster wordt onderscheid gemaakt tussen vrije objecten en afhankelijke objecten. Vrije objecten kunnen rechtstreeks gewijzigd worden. Dit is niet het geval voor afhankelijke objecten. In het tekenvenster staat een assenstelsel getekend. Dit assenstelsel kun je ook weglaten. - Helemaal onderaan vind je de invoerlijn (zie 6). Hier kun je rechtstreeks objecten, functies en commando's invoeren. Onmiddellijk na het indrukken van ‘ENTER’ worden alle overeenkomstige objecten in het tekenvenster en het algebravenster getoond. Ook dit bespreken we verder in 8.

4

De menubalk

4.1

Bestand

Nieuw venster Nieuw Openen Open webpagina Open recente Bestanden Opslaan (als) Broncode kopiëren

1

Creëert een 2de, 3de,... venster om in te werken. Je start opnieuw met een leeg venster. Je kunt al of niet het vorige venster opslaan. Hiermee kun je een bestand inladen en openen. Hiermee kun je applets van het internet inladen en openen Hiermee kun je bestanden openen die je recent gebruikt hebt. Hiermee kun je een bestand opslaan (onder een bepaalde naam). Hiermee kun je applets invoeren vanuit Geogebra Wiki.

2

Exporteren Afdrukvoorbeeld Sluiten 4.2

Toetsenbord

Opnieuw Kopiëren Plakken Tekenvenster kopiëren Afbeelding invoegen van Eigenschappen

Alles selecteren Toon/verberg objecten Toon/verberg labels Verwijderen

Hiermee kun je een vorige bewerking ongedaan maken. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk. Hiermee kun je het ongedaan maken opnieuw annuleren. Dit kan ook met de knop rechts van de werkbalk Hiermee kun je de geselecteerde elementen kopiëren. Hiermee kun je de gekopieerde elementen plakken op een willekeurige plaats in hetzelfde of een ander venster. Hiermee kun je het tekenvenster of een deel ervan kopiëren, bijv. naar een Wordbestand. Hiermee kun je op een willekeurige plaats van het scherm een afbeelding invoeren uit een bestand of van het klembord. Dit brengt je in het menu ‘voorkeuren’. Je kan dit menu ook oproepen met de knop rechts van de werkbalk. Met het eerste ikoontje ( ) kun je één of meerdere objecten aanduiden in de linkerkolom en daarvan de eigenschappen wijzigen. We leggen dit uit in 5.3. Met het tweede ikoontje ( ) kun je het tekenvenster opmaken. We leggen dit uit in 5.2. Met het ikoontje kun je het invoerveld, de werkbalk en de titelbalk al dan niet zichtbaar maken. Met het ikoontje kun je een aantal voorkeuren instellen voor punten, rechten,… Met het laatste ikoontje ( ) ten slotte kun je een aantal voorkeuren instellen voor de hoekeenheid, de stijl van de rechte hoek, de aanduiding van de coördinaten, … Hiermee kun je alle objecten uit het tekenvenster selecteren. Hiermee kun je alle geselecteerde objecten tonen of verbergen.

4.4

CAS Tekenvenster Tekenvenster 2 Overzicht constructiestappen

Opties

Algebraïsche beschrijvingen

Magnetische roosterpunten

Afronden Labels

Lettergrootte Taal Geavanceerd Instellingen opslaan Standaardinstellingen herstellen

Hiermee kun je van alle geselecteerde objecten de labels tonen of verbergen. Hiermee kun je alle geselecteerde objecten verwijderen.

4.5

Beeld

Algebravenster Rekenblad

Hiermee kun je een toetsenbord al dan niet zichtbaar maken. Het toetsenbord is zeer handig bij het gebruik van een e-board. Hiermee kun je het invoerveld zichtbaar of onzichtbaar maken. Dit geeft opnieuw het menu ‘Voorkeuren’ (zie 4.2). Alle sporen (zie 5.3) worden verwijderd. Alle berekeningen worden opnieuw uitgevoerd.

Invoerveld Lay-out Vernieuwen Alles opnieuw berekenen

Bewerken

Ongedaan maken

4.3

1

Hiermee kun je een dynamisch werkblad als webpagina maken . Je kunt ook het tekenvenster of een deel ervan kopiëren naar bijv. een Wordbestand. Laat je een afdrukvoorbeeld zien. Je kunt op voorhand een deel van het tekenvenster selecteren. Hiermee sluit je GeoGebra af.

2

Hiermee kun je het algebravenster al dan niet zichtbaar maken . Hiermee kun je het rekenblad al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het rekenblad in 7. Hiermee kun je het CAS-venster al dan niet zichtbaar maken. We bespreken het CAS-venster in 11. Hiermee kun je het tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Hiermee kun je een 2de tekenvenster al dan niet zichtbaar maken. Hiermee verschijnt er rechts een venster met een overzicht van de verschillende constructiestappen. Je kan hier ook nog kiezen: wat er bij elke stap getoond wordt (naam, icoon van de werkbalk, definitie, commando, waarde, titel en al of niet stoppunt), of alle stappen of enkel de stoppunten moeten getoond worden, Je kan het overzicht van de constructiestappen wegschrijven als webpagina en je kan het afdrukken. Heel interessant is ook dat hier bij het vraagteken een ondersteuning staat bij Geogebra 4.2 (voorlopig enkel in het Engels).

Bij ‘waarde’ wordt van elk object in het algebravenster de waarde weergegeven, bijv. H=(3,2). Bij ‘definitie’ wordt van elk object in het algebravenster de definitie weergegeven, bijv. H=snijpunt van hA en hB. Bij ‘commando’ wordt van elk object in het algebravenster het commando weergegeven, dat het object genereerde, bijv. H=snijpunten[hA , hB]. Hiermee kan je punten niet, min of meer of volledig binden aan roosterpunten. ‘Uit’: de punten zijn niet gebonden aan de roosterpunten. ‘Vastmaken aan rooster’(1): als je een punt aanduidt in de onmiddellijke omgeving van een roosterpunt, dan zal dit roosterpunt gekozen worden. ‘Vastmaken aan rooster’ (2): gelijk waar je een punt aanduidt in het tekenvenster wordt altijd het dichtstbijzijnde roosterpunt gekozen. ‘Automatisch’: als het rooster niet aanstaat is dit gelijk aan ‘Uit’, als het rooster wel aanstaat is dit gelijk aan ‘Vastmaken aan rooster (1)’. Hiermee kun je het aantal decimale cijfers (van 0 tot 15) of het aantal beduidende cijfers (van 3 tot 15) kiezen. Hierbij kun je al of niet namen zetten bij de objecten in het tekenvenster. ‘Automatisch’ betekent dat er een label gezet wordt bij elk nieuw object als het algebravenster ingeschakeld is en geen label als het algebravenster niet ingeschakeld is. Hier kun je de lettergrootte in het tekenvenster kiezen. Hier kies je de taal waarin de opdrachten verschijnen. Hier kom je weer in het menu ‘Voorkeuren’ terecht (zie 4.2) Dit slaat al de huidige instellingen op. Zo keer je terug naar de standaardinstellingen van GeoGebra 4.2.

Macro's

Hiermee kun je door enkele muisklikken een vooraf ingegeven constructie opnieuw laten uitvoeren. We leggen dit verder uit in 10 aan de hand van een voorbeeld. Verder kun je hier knoppen toevoegen of uitschakelen op de knoppenbalk. 4.6

Venster

Hiermee kun je een nieuw venster openen. 4.7

Help

Help Handleidingen GeoGebraforum GeoGebraTube Info/Licentie

Hiermee open je de GeoGebra Help (voor GeoGebra 4.2 voorlopig enkel in het Engels). Hier vind je heel wat handleidingen van GeoGebra. Hiermee open je een forum waar je vragen kan stellen over het gebruik van GeoGebra. Hier vind je heel wat dynamische applets die je in de lessen kunt gebruiken. Hier kun je o.a. zien met welke versie van GeoGebra je werkt.

1

Je kiest dan voor het tabblad ‘Exporteer als webpagina’. Je vult de titel in en plaatst de tekst van de opgave boven of onder de constructie. In het tabblad ‘Geavanceerd’ kun je kiezen of de menubalk, de werkbalk en/of de invoerlijn moeten getoond worden. Als je dan klikt op ‘exporteren’ is de webpagina klaar voor gebruik. 2

Je kan de schermindeling ook aanpassen met behulp van het kleine driehoekje helemaal rechts in het midden van het scherm. Je kan hier kiezen voor (1) algebravenster + tekenvenster, (2) een basistekenvenster, (3) enkel het meetkundevenster, (4) rekenblad + tekenvenster, (5) CAS-venster + tekenvenster.

3

4

5

Opmaak binnen de vensters

5.1

Opmaak van het algebravenster Bovenaan links staat een driehoekje. Daarmee kun je het de opmaakwerkbalk daaronder zichtbaar of onzichtbaar maken. Om het algebravenster niet te overladen, kun je bepaalde objecten aanduiden als hulpobjecten. Met deze knop kun je de hulpobjecten al dan niet zichtbaar maken in het algebravenster. Hiermee kun je de indeling van de objecten wijzigen - onafhankelijke en afhankelijke objecten (en eventueel hulpobjecten), - objecten geordend per soort (punten, rechten, lijnstukken, cirkels,...) - objecten in de volgorde van de constructie

Met de ikoontjes rechtsboven kun je: - het algebravenster losmaken van of integreren in de andere vensters. - het algebravenster uitschakelen. 5.2

Opmaak van het tekenvenster De ikoontjes bovenaan links en rechts hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het assenstelsel in en uit te schakelen, - om het rooster in en uit te schakelen, Naargelang het gebruik van de knoppen van de werkbalk komen op de opmaakwerkbalk nog andere knoppen te voorschijn: voor kleur en transparantie, puntstijl en puntgrootte, gebruik van labels, lijnstijl en lijndikte, label, achtergrondkleur, vetjes en cursief, tekstgrootte,...

Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in een leeg deel van het tekenvenster. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Assen Rooster Navigatiebalk

Zoom x-as : y-as Toon alle objecten Standaardbeeld Tekenvenster

Hiermee kun je de x-as en de y-as zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je het coördinatenrooster zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je de navigatiebalk zichtbaar of onzichtbaar maken. Hiermee kun je een overzicht van de constructie geven (als een film afspelen of stap per stap). Met het ikoontje , rechts op de navigatiebalk, kun je een overzicht van de constructiestappen krijgen (zie 4.3). 3 Hiermee kun je in- of uitzoomen met een zeker percentage . Hier kun je de verhouding van de eenheden op de x-as en de y-as instellen. Het assenstelsel wordt aangepast zodat alle objecten getoond worden. Hiermee kun je terugkeren naar de standaardinstellingen op de x-as en de y-as. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 2de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het tekenvenster.

Met dit menu kun je allerlei instellingen doen. - Basis: dimensies (interval op x-as en y-as, verhouding eenheden op x-as en y-as,...), assen (toon assen, kleur, lijnsoort), navigatiebalk voor constructieoverzicht (al dan niet tonen, knop voor het afspelen, …), achtergrondkleur, ... - x-as: toon x-as, toon getallen op de assen, enkel positieve assen, afstand, onderverdelingen, label, eenheid, verplaatsing van de x-as (bijv. 'Assenstelsel bij 5.0' betekent dat de x-as door het punt (0, 5) getekend wordt),... - y-as: analoog als voor x-as - Rooster: toon rooster, soort rooster (cartesiaans, isometrisch), afstand tussen de roosterlijnen, kleur, lijnsoort,... 5.3

Opmaak van objecten

Als je met de rechter muisknop klikt op een object in het algebravenster of het tekenvenster, dan krijg je het een snelmenu, dat afhangt van de aard van het object. Bij punten verkrijg je het volgende: Poolcoördinaten/Cartesische Coördinaten Object tonen Label tonen Spoor aan

Naam wijzigen Eigenschappen

3

Hiermee kun je switchen tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten. Het object wordt al of niet getoond. Je kan dit ook regelen met het knopje dat vóór het object staat in het algebravenster. Het label van het object wordt al of niet getoond. Stel dat de ligging van het punt B afhankelijk is van de ligging van het punt A. Als je het spoor van punt B aanzet, dan zal dit punt een spoor achterlaten als je het punt A verplaatst. Hiermee kun je de naam van een object wijzigen. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 1ste ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van objecten.

Je kan ook inzoomen op een bepaald gebied van het tekenvenster. Daartoe maak je een zoomvenster met de muis door rechtsklikken en slepen.

5

6

6

De invoerlijn

Met het ikoontje

rechts van de invoerlijn, kun je Griekse letters én allerlei symbolen invoeren.

Helemaal rechts onderaan vind je het ikoontje voor invoerhulp. Als je daarop klikt krijg je alle functies en commando's van GeoGebra. Klik je een commando aan, dan vind je onderaan de syntax ervan. Voorbeeld Klik je op KGV (kleinste gemeen veelvoud), dan vind je onderaan als syntax:

Met dit venster kun je de naam, de kleur, de tekenstijl,… van het object wijzigen. Je kunt in de linker kolom ook verschillende objecten tegelijk aanduiden (bijv. alle punten door op ‘Punt’ te klikken) en ze tegelijk wijzigen. Onder de syntax vind je twee knoppen, nl. ‘Plakken’ en ‘Toon Online Help’. - Met ‘Plakken’ breng je het commando over naar de invoerlijn. - Met ‘Toon Online Help’ krijg je informatie over het commando (voorlopig enkel in het Engels).

Enkele onderdelen uit dit menu voor een punt. - In het tabblad ‘Basis’ kun je: - de naam van het object wijzigen - het object een titel geven, - aangeven of je het object wilt tonen, - aangeven of je het label bij het object wil tonen; je kan daarbij kiezen tussen ‘Naam’, ‘Naam en waarde’, ‘Waarde’ en ‘Titel’, - of het object een spoor moet achterlaten in het tekenvenster, - of het object moet gefixeerd worden in het tekenvenster, - of het object al dan niet een hulpobject moet zijn. - In het tabblad ‘Stijl’ kun je de puntgrootte en de puntstijl aanpassen. - In het tabblad ‘Algebra’ kun je kiezen welk soort coördinaten je wil en kan je de stapgrootte wijzigen. - In het tabblad ‘Geavanceerd’ kun je bijv. een voorwaarde aangeven voor welke het object mag getoond worden. Bij rechten kun je - in het tabblad ‘Stijl’ de lijndikte en de lijnsoort kiezen, Bij veelhoeken en cirkels kun je - in het tabblad ‘Kleur’ de (on)doorzichtigheid aanpassen: 0 = volledig doorschijnend, 100 = volledig ondoorschijnend. enz…

7

8

7

Het rekenblad

7.1

Het rekenblad

Met de menuknop ‘Beeld’ kun je het rekenblad zichtbaar of onzichtbaar maken. Het rekenblad bestaat uit een cellen. Elke cel heeft een naam. Zo heeft de cel in kolom A en rij 1 de naam A1. Deze celnamen kun je gebruiken in uitdrukkingen en bevelen.

7.3

Werkbalk van het rekenblad

Als het rekenblad geactiveerd is, verschijnt er bovenaan ook een nieuwe werkbalk. 7.2

Opmaak van het rekenblad

De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om het invoerveld al dan niet te tonen, - om de stijl te wijzigen naar vetjes of cursief, - om links of rechts uit te lijnen of te centreren, - om de achtergrondkleur in te stellen, - om de stijl voor de randen te bepalen. Een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster krijg je door met de rechtermuisknop te klikken in het rekenblad. Je bekomt dan het volgende snelmenu. Kopiëren Plakken Knippen Verwijderen Importeren databestand Opties van rekenblad

Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad kopiëren. Hiermee kun je geknipte of gekopieerde gegevens op een willekeurige plaats in het rekenblad plakken. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad knippen. Hiermee kun je geselecteerde gegevens uit het rekenblad verwijderen. Hiermee kun je bijv. tekstbestanden in het rekenblad importeren. Hiermee krijg je opnieuw de ikoontjes van de voorkeuren te zien (zie 4.2). Het 3de ikoontje ( ) brengt je in onderstaand menu voor de opmaak van het rekenblad.

9

We bekijken slechts enkele knoppen. Onderzoek één variabele Selecteer een reeks cellen. Als je op deze knop drukt, kan je met het tabblad ‘Analyseer’ een onderzoeksvenster openen voor dataanalyse. We leggen dit verder uit in 7.4. Maak een lijst Selecteer een reeks cellen. Met deze knop creëer je in het algebravenster een lijst met de gesorteerde inhoud van de geselecteerde cellen. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘Creëer lijst’. Maak een lijst van punten Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een reeks van punten met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘Creëer puntenlijst’. Maak een tabel Selecteer in het rekenblad een rechthoek van data. Met deze knop creëer je in het tekenvenster een tabel met de gegeven data. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘Creëer tabel’. Maak een veelhoeklijn Selecteer in het rekenblad een reeks van coördinaten(koppels). Met deze knop creëer je in het tekenvenster een gebroken lijn die de punten verbindt met de gegeven coördinaten. Je kan hetzelfde verkrijgen door met de rechtermuisknop te klikken in de geselecteerde cellen en te werken met ‘Creëer veelhoekslijn’. Som Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop bereken je de som van die getallen (per kolom). Bereken gemiddelde van Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop geselecteerde cellen bereken je het gemiddelde van die getallen (per kolom). Tel het aantal waarden in Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop de gekozen cellen bereken je het aantal getallen per kolom. Bepaal maximale waarde Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop in de geselecteerde cellen bereken je het maximum van die getallen (per kolom). Bepaal minimale waarde Selecteer in het rekenblad een reeks getallen. Met deze knop in de geselecteerde cellen bereken je het minimum van die getallen (per kolom).

10

7.4 Onderzoeksvenster voor statistiek

Rechts zien we het staafdiagram van de gegevens. Links zien we o.a. het aantal gegevens (n), het gemiddelde en de mediaan van de gegevens. In het midden zie je opnieuw de lijst van de gegevens. Hier kan je gegevens wegvinken zodat ze niet meer meegeteld worden. Zo kun je bijv. het effect van uitschieters op het gemiddelde en de mediaan illustreren.

In GeoGebra zit ook een apart onderzoeksvenster voor statistiek ingebouwd: de ‘Data analyse’. Hiernaast vinden we de resultaten van 30 leerlingen bij een toets op 20 punten. De resultaten zijn ingebracht in de cellen A1 tot C10 van het rekenblad. Om de gegevens te analyseren, klikken we de gegevens aan en openen we een apart onderzoeksvenster met de knop (onderzoek één variabele) uit de werkbalk van het rekenblad. We kiezen daarna voor het tabblad ‘Analyseer’.

In het menu, waar staat ‘Histogram’ kiezen we voor

‘Staafdiagram’. Verder klikken we de knoppen aan. We krijgen dan het volgende beeld. en

Je kan het staafdiagram heel eenvoudig naar het tekenvenster overbrengen door op het staafdiagram met de rechtermuistoets te klikken. Door ‘Kopieer naar tekenvenster’ te kiezen, wordt het staafdiagram weergegeven in het tekenvenster.

11

Functies en commando's4

8

Enkele opmerkingen over algebraïsche invoer - Als je de ↑ - toets indrukt krijg je op de invoerlijn de laatst ingevoerde regel terug. - Als je in het algebravenster een object aanklikt en dan op Alt-F3 drukt, dan krijg je de definitie van dit object terug op de invoerlijn. 8.1 Functies functie sqrt(x)

betekenis Berekent de positieve vierkantswortel van x.

Functie floor(x)

cbrt(x)

Berekent de derdemachtswortel van x.

ceil(a)

abs(x) sgn(x)

Berekent de absolute waarde van x. Geeft resp. 1, 0 en -1 als x > 0, x = 0 en x < 0.

round(x) random()

betekenis Berekent het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan het getal a. Berekent het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan het getal a. Rondt het getal a af tot op de eenheid. Geeft een willekeurig getal tussen 0 en 1.

8.2 Organisatie Begrip Hoofdknop Objecten verplaatsen (‘Ruststand’) Schuifknop

Traag plotten

-

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Het object wordt verplaatst door met de muis te slepen. Dit kan je ook verkrijgen door de Esc - toets in te drukken. Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om een schuifknop voor een getal- of een hoekwaarde te creëren. De schuifknop is de grafische representatie voor een getal of een 5 hoekwaarde. Je kan de schuifknop animeren door er met de rechtermuisknop op te klikken en daarna te klikken op ‘Animatie aan’. -

Commando -

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? -

-

-

SlowPlot[f]

Plot traag de grafiek van de functie f van links naar rechts. De voortgang wordt getoond op een schuifbalk. Je kan de animatiesnelheid en de herhaling wijzigen.

4

De functies en commando’s worden beperkt tot wat nodig is in de eerste graad. Een overzicht van alle commando’s (in het Engels) kan je terugvinden in http://wiki.geogebra.org/en/Category:Commands. Hier vind je ook reeds de commando’s bij de Beta-versie van Geogebra 5 (met ruimtemeetkunde). 5 Als je bij een getal of een hoek, die je ingevoerd hebt, het object zichtbaar maakt, dan krijg je eveneens een schuifknop bij dit object in het tekenvenster.

12

Aanvinkvakje om objecten te tonen of te verbergen

Wanneer je in deze modus in het tekenvenster klikt, creëer je een aanvinkvakje dat kan gebruikt worden om objecten te tonen of te verbergen. Er verschijnt een venster waarin je de objecten kunt aanduiden waarvan de zichtbaarheid aan dit aanvinkvakje gekoppeld wordt. Met dit instrument kun je een reeks van GeoGebra-bevelen uitvoeren met één druk op de knop. Deze bevelen worden opgesomd in een GeoGebrascript. Met dit instrument kun je de definitie van objecten wijzigen. Je creëert een invulvak in het tekenvenster, dat gekoppeld is aan een object. Als je de knop activeert, kun je iets invullen, dat opgeslagen wordt in het gekoppelde object. Met deze opdracht kan je teksten creëren. We leggen dit apart uit in 9.

Actieknop

Invulvak

Tekst invoegen

6

-

-

-

-

Invulvak[] Invulvak[gelinkt object]

Creëert een invulvak in het tekenvenster. Creëert een invulvak in het tekenvenster, gekoppeld aan een object.

Tekst[object] of Tekst[object, true]

Geeft het object als een tekst in het tekenscherm. De variabelen worden vervangen door hun waarde. Idem, maar de variabelen worden niet vervangen door hun waarde. Idem als de bovenstaande, maar het object o wordt als een tekst geplaatst in het tekenscherm op de positie (a, b). Geeft het getal a als breuk in het tekenvenster. Geeft de coördinaat van het punt P in breukvorm in het tekenvenster. Geeft het aantal karakters van tekst t (spaties inbegrepen). Zet de naam van het object A in het tekenvenster. Plaatst het object met de naam A in het tekenvenster.

Tekst[object,false]

Tekst als breuk afbeelden

-

-

-

Tekst[object o,(a,b)] of Tekst[object o,(a,b), true] Tekst[object o,(a,b), false] TekstAlsBreuk[getal a] TekstAlsBreuk[punt P]

Lengte van een tekst Naam van een object Object met gegeven naam

6

-

-

-

Lengte[tekst t]

-

-

-

Naam[object A]

-

-

-

Object[naam A]

Je kan ook een item uit het algebravenster slepen naar het tekenvenster als tekst. Als je het item uit het algebravenster wijzigt, wordt ook de tekst in het tekenvenster gewijzigd.

13

Afbeelding invoegen

Hoekpunt van een afbeelding Pen

-

-

Vrije vorm

Met deze opdracht kan je afbeeldingen creëren: - klik in het tekenvenster om de positie van de linkerbenedenhoek van de 7 afbeelding te bepalen , - kies uw afbeelding en klik op "open" -

-

-

Hoekpunt[afbeelding a, getal n]

Zo kun je met de vrije hand een tekening maken.

-

Genereert het n-de hoekpunt van een afbeelding. -

Zo kun je een functie of een meetkundige vorm met de vrije hand tekenen.

-

-

-

Geeft ‘true’ als het object gedefinieerd is en ‘false’ als het niet gedefinieerd is. Beeldt het ikoontje met toolnumber n af in het tekenvenster. Toont een venster waarin de relatie tussen de objecten a en b wordt beschreven. -

Gedefinieerd

-

-

-

Gedefinieerd[object A]

Ikonen afbeelden in het tekenvenster Relatie tussen 2 objecten

-

-

-

ToolIMage[nummer n]

Selecteer twee objecten. Er verschijnt een venster met informatie over hun onderlinge relatie Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster en sleep. De positie van het teken-venster in de oorsprong wordt gewijzigd. Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om in te zoomen.

Relatie[object a, object b]

-

-

Uitzoomen

Klik op een willekeurige plaats in het tekenvenster om uit te zoomen.

-

-

Toon/verberg object

Klik op een object om het te tonen of te verbergen. Alle verborgen objecten worden in een dikke lijnsoort weergegeven. De wijzigingen worden uitgevoerd zodra je een andere opdracht in de werkbalk kiest.

-

-

Verplaats tekenvenster

Inzoomen

7

Door achteraf rechts te klikken op de afbeelding kun je via eigenschappen de grootte en de positie van de afbeelding wijzigen. Hoekpunt 1 is de linkerbenedenhoek, hoekpunt 2 is de rechterbenedenhoek en hoekpunt 4 is de linkerbovenhoek van de afbeelding.

14

Toon/verberg label

Klik op een object om respectievelijk het label te tonen of te verbergen. De aard van het label kun je instellen in de eigenschappen van een object. Kopieert de zichtbare eigenschappen van een object zoals kleur, afmetingen, lijntype,... Kies eerst het object waarvan je de zichtbare eigenschappen wil kopiëren. Klik daarna op alle objecten waarvan je wil dat ze deze eigenschappen overnemen. Klik op een object om het te verwijderen. -

Stijl kopiëren

Object verwijderen Spoor verwijderen Nummer constructiestap

-

-

-

-

-

-

Verwijder[object a]

Verwijdert een object a en alle van dit object afhankelijke objecten. Verwijdert alle sporen. Geeft het nummer van de huidige constructiestap. Geeft het nummer van de constructiestap, waarbij object a gecreëerd werd. Geeft de stapgrootte op de x-as, resp. de y-as.

Inzoomen[1] Constructiestap[] Constructiestap[object a]

Stap op de assen

-

-

-

Hoofdknop -

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? -

Als ... dan

-

-

-

Tellen met een voorwaarde

-

-

-

MarkeringX[] MarkeringY[]

8.3 Logica Begrip Relaties tussen objecten

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Geeft de relatie tussen twee objecten a en b. Dit bevel laat je toe te vinden of - twee rechten evenwijdig zijn of loodrecht op elkaar staan, - twee objecten gelijk zijn, - een punt op een rechte of op een kegelsnede ligt, - een rechte een cirkel snijdt of raakt. Als[voorwaarde v, object Geeft object a of b naargelang aan de voorwaarde v al dan niet voldaan is. a,object b] Als[voorwaarde v, object a] Geeft object a als aan de voorwaarde voldaan is en niets als aan de voorwaarde niet voldaan is. Telt het aantal elementen in lijst L die aan TelAls[voorwaarde v, lijst L] de voorwaarde voldoen. Commando Relatie[object a, object b]

15

Behoud ... als

-

-

-

BehoudAls[voorwaarde v, lijst L]

Gedefinieerd?

-

-

-

Gedefinieerd[object o]

Geheel getal?

-

-

-

Geheel[getal a]

Ligt een punt in een regio?

-

-

-

IsInRegio[punt P, regio a]

Maakt een nieuwe lijst, waarbij de elementen van lijst L, die aan de voorwaarde v voldoen, bewaard blijven. Geeft ‘true’ als o gedefinieerd is en ‘false’ als o niet gedefinieerd is. Geeft ‘true’ als a een geheel getal is en ‘false’ als a geen geheel getal is. Geeft ‘true’ als het punt P in de regio a ligt en ‘false’ als P niet in de regio a ligt.

8.4 Getallenleer en algebra Begrip Hoofdknop

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er?

Getal

-

-

-

a=3

Euclidische deling

-

-

-

Deling[a,b]

Omzetten naar een ander talstelsel

-

-

-

NaarBasis[getal a, basis b]

Commando

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er?

Quotiënt bij Euclidische deling Rest bij Euclidische deling Aantal delers Delers van een getal

-

-

-

Quotiënt[a,b]

-

-

-

Mod[a,b]

-

-

-

Delers[getal a] Delerslijst[getal a]

Creëert een getal met waarde 3. Bij dit getal hoort als object een schuifknop. Geeft een lijst met het quotiënt én de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Zet het decimaal getal a om naar het talstelsel met basis b. Het resultaat verschijnt in het tekenvenster. Zet het getal a (gegeven als een tekst) om van het talstelsel met basis b naar een decimaal getal. Berekent het quotiënt van de Euclidische deling van de getallen a en b. Berekent de rest bij Euclidische deling van de getallen a en b. Geeft het aantal delers van a. Geeft een lijst met de delers van a.

Som van de delers van een getal Minimum

-

-

-

Delerssom[getal a]

Geeft de som van de delers van a.

-

-

-

Min[getal a, getal b] Min[lijst L]

Berekent het minimum van a en b. Berekent het minimum van de getallen in lijst L. Berekent het minimum van een interval i. Bij open intervallen is dit het infimum.

VanBasis[getal a als tekst, basis b]

Min[interval i]

16

Maximum

-

-

-

Max[getal a, getal b] Max[lijst L] Max[interval i]

Grootste gemene deler

-

-

-

GGD[geheel getal a, geheel getal b] GGD[lijst L]

Kleinste gemeen veelvoud

-

-

-

KGV[geheel getal a, geheel getal b] KGV[lijst L]

Is een getal een priemgetal? Priemgetal volgend op… of voorafgaand aan…

-

-

-

IsPriemgetal[geheel getal a]

-

-

-

VolgendPriemgetal[geheel getal a] VorigPriemgetal[geheel getal a]

Priemfactoren

-

-

-

Priemfactoren[geheel getal a]

Ontbinden

-

-

-

Ontbinden[veelterm f(x)]

Factoren

-

-

-

Factoren[geheel getal a] Factoren[veelterm f(x)]

Uitwerken van veeltermproducten Vereenvoudig

-

-

-

Uitwerken[expressie]

-

-

-

Vereenvoudig[functie f]

Berekent het maximum van a en b. Berekent het maximum van de getallen in lijst L. Berekent het maximum van een interval i. Bij open intervallen is dit het supremum. Berekent de grootste gemene deler van de getallen a en b. Berekent de grootste gemene deler van de getallen in lijst L. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen a en b. Berekent het kleinste gemeen veelvoud van de getallen in lijst L. Geeft ‘true’ als het getal een priemgetal is en ‘false’ als het getal geen priemgetal is. Geeft het eerste priemgetal dat volgt op het getal a. Geeft het priemgetal dat onmiddellijk voorafgaat aan het getal a. Geeft de lijst van de priemfactoren van het getal a. Ontbindt de veelterm f(x) in factoren en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie. Ontbindt het getal a in priemfactoren en geeft het resultaat in de vorm van een matrix. Ontbindt de veelterm f(x) in factoren in de vorm van een matrix en tekent tegelijk ook de grafiek van de functie. Werkt de expressie uit en tekent het resultaat als een functie. Vereenvoudigt het functievoorschrift van de functie f indien mogelijk.

17

8.5 Meetkunde 8.5.1 Punten Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Nieuw punt

Punt op object

Punt binnen regio

-

-

Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten Midden -

-

Commando (a,b) P=(a,b)

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert het punt met coördinaat (a, b). Creëert het punt P met coördinaat (a, b).

Punt[rechte a] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Punt[vector v] Punt[pad p] Puntbinnen[cirkel c] Puntbinnen[veelhoek v]

Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op de cirkel c, op de veelhoek v, op de vector v of op het pad p.

Met deze knop bind je een vrij punt aan een pad of een gebied, of maak je een gebonden punt terug vrij. In het eerste geval moet je op een vrij punt én op een lijnobject of een gebied klikken, in het tweede geval moet je enkel op een gebonden punt klikken. Klik achtereenvolgens op twee objecten om alle mogelijke snijpunten van deze objecten te bepalen

-

-

Snijpunten[object a, object b] of Doorsnede[object a, object b]

Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen.

Midden[punt A, punt B] Midden[lijnstuk c]

Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van twee grafieken van veeltermfuncties met de namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [AB] . Creëert het midden van het lijnstuk c.

-

Zwaartepunt[veelhoek v] IsInRegio[punt A, regio r]

Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd.

Vasthechten/losmaken van punt

Zwaartepunt Ligt een punt in een regio?

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren.

-

Creëert een willekeurig punt binnen de cirkel c of de veelhoek v.

Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Geeft ‘true’ als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel,…) ligt en ‘false’ als het punt A niet in de regio r ligt.

18

8.5.2 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Rechte door twee punten

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten.

Lijnstuk tussen twee punten Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte Halfrechte door twee punten

Vector (georiënteerd lijnstuk) tussen twee punten Vector met beginpunt

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door A en B.

Commando Rechte[punt A, punt B]

Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op een punt dat je als beginpunt van een lijnstuk kiest. Vul daarna in het venster de lengte van het lijnstuk in. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat

Lijnstuk[punt A, punt B]

Creëert het lijnstuk [AB]

Lijnstuk[punt A, getal a]

Creëert het lijnstuk met beginpunt A en lengte a.

Halfrechte[punt A, punt B]

Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector

Vector[punt A, punt B]

Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Verschuift het punt A over de vector v.

Halfrechte[punt A, vector v]

Vector[punt A] Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn. Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte.

Loodlijn

Punt[punt A, vector v]

Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g.

Loodlijn[punt A, rechte r] Loodlijn[punt A, vector v]

Klik op een rechte en op een punt A en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten en creëer zo de middelloodlijn van het lijnstuk bepaald door die twee punten. Klik op drie punten om de bissectrice te creëren van de hoek bepaald door die punten. Het middelste punt is het hoekpunt, of Klik op twee rechten om de bissectrices te creëren van de hoeken bepaald door deze rechten.

Evenwijdige rechte

Middelloodlijn

Bissectrices

Rechte[punt A, rechte g]

Creëert de middelloodlijn van [AB] . Creëert de middelloodlijn van het lijnstuk a.

Middelloodlijn[punt A, punt B] Middelloodlijn[lijnstuk a] Bissectrices[punt A, punt B, punt C]

Creëert de bissectrice van de hoek ABˆ C ; B is het hoekpunt.

Bissectrices[rechte a, rechte b]

Creëert de bissectrices van de hoeken bepaald door de rechten a en b.

19

8.5.3 Veelhoeken Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Veelhoek

Starre veelhoek

Commando Veelhoek[punt A, punt B,...] Veelhoek[lijst L]

Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt. Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op een veelhoek te creëren. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven. Klik op twee punten en creëer zo de zijde van een regelmatige veelhoek. In het venster geef je het aantal zijden van de veelhoek op. Klik op een aantal punten A, B, C,... en sluit op het punt A. De gebroken lijn ABC... wordt getekend.

Starre veelhoek[punt A, punt B,...]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Creëert een veelhoek, waarvan de hoekpunten in lijst L staan. Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten. Door het eerste punt te verslepen kun je de veelhoek verschuiven, door het tweede punt te verslepen, kun je de veelhoek draaien rond het eerste punt.

-

-

-

Omtrek[veelhoek p]

Creëert een regelmatige veelhoek met n zijden en waarvan de punten A en B twee opeenvolgende hoekpunten zijn. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het punt A naar het laatste punt. Creëert een aaneengesloten rij van lijnstukken van het eerste punt van lijst L naar het laatste punt. Berekent de omtrek van de veelhoek p.

-

-

zie oppervlakte in 8.5.6

-

-

-

-

-

DoorsnedeRegio[veelhoek p, veelhoek q]

Geeft de doorsnede van twee veelhoeken p en q.

Hoofdknop

Deelmenu

Regelmatige veelhoek Pad, gebroken lijn of veelhoekige lijn

Omtrek van een veelhoek Oppervlakte van een veelhoek Doorsnede van twee veelhoeken

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren.

Veelhoek[punt A, punt B, getal n] Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...] Veelhoekslijn[lijst L]

8.5.4 Cirkels Begrip Cirkel met middelpunt door punt

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer een cirkel met het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal.

Commando Cirkel[punt M, punt A]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een cirkel met M als middelpunt die door het punt A gaat.

20

Creëert een cirkel met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal.

Cirkel met middelpunt en straal

Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in.

Cirkel[punt M, getal r]

Passer

-

-

Cirkel door drie punten

Klik op een lijnstuk (of op twee punten die een lijnstuk bepalen) en daarna op een punt. Je verkrijgt een cirkel met het lijnstuk als straal en het punt als middelpunt. Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten.

Cirkel[punt A, punt B, punt C]

Creëert de cirkel door de punten A, B en C (de omgeschreven cirkel aan driehoek ABC)

Middelpunt van een cirkel

Klik op een cirkel om het middelpunt te bepalen

Middelpunt[cirkel c]

Creëert het middelpunt van de cirkel c.

Straal van een cirkel Omtrek van een cirkel Halfcirkel door twee punten

Cirkel[punt M, lijnstuk s]

-

-

-

Straal[cirkel c]

Berekent de straal van de cirkel c.

-

-

-

OmtrekKegelsnede[kegelsnede c] Halfcirkel[punt A, punt B]

Berekent de omtrek van een cirkel c.

Klik op twee punten. Je verkrijgt de halfcirkel met deze punten als eindpunten.

Cirkelboog met middelpunt door twee punten

Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de boog. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelboog met het eerste punt als beginpunt, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt. Klik op drie punten. Je verkrijgt een cirkelsector met het eerste punt als middelpunt en de twee andere punten als eindpunten van de sector.

Cirkelboog door drie punten

Cirkelsector met middelpunt door twee punten

Cirkelsector door drie punten

Klik op drie punten. Je verkrijgt een sector, met het eerste punt als beginpunt van de boog, het tweede punt op de boog en het derde punt als eindpunt van de boog.

CirkelboogMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B]

CirkelboogDriePunten[punt A, punt B, punt C]

CirkelsectorMetMiddelpunt [punt M, punt A, punt B]

CirkelsectorDriePunten [punt A, punt B, punt C]

Creërt een halfcirkel met de punten A en B als eindpunten. Creëert een cirkelboog met M als middelpunt en A als beginpunt. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelboog met A als beginpunt, door B en met C als eindpunt.

Creëert een cirkelsector met M als middelpunt en A als beginpunt van de boog van de sector. Het punt B bepaalt het eindpunt van de boog, maar ligt niet noodzakelijk op de boog. Creëert een cirkelsector, waarvan de boog A als beginpunt heeft, door B gaat en C als eindpunt heeft.

21

8.5.5 Hoeken, lengte en oppervlakte Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Hoek

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Je creëert - de hoek bepaald door drie punten, waarvan het tweede het hoekpunt is, - de hoek bepaald door twee lijnstukken, - de hoek bepaald door twee rechten, - alle hoeken van een veelhoek.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Hoek[punt A, punt B, punt C] Berekent en kleurt de hoek bepaald door de halfrechten [BA en [BC. Hoek[lijnstuk a, lijnstuk b] Berekent en kleurt de hoek bepaald door de lijnstukken a en b. Hoek[rechte a, rechte b] Berekent en kleurt de hoek tussen de richtingsvectoren van a en b. Hoek[vector u, vector v] Berekent en kleurt de hoek tussen de vectoren u en v. Berekent en kleurt de hoek tussen de Hoek[vector v] vector v en de x-as. Hoek[veelhoek p] Berekent en kleurt alle inwendige hoeken (punten in tegenwijzerzin) of uitwendige hoeken (punten in wijzerzin) van de veelhoek p. Hoek[punt A, punt B, hoek a ] Creëert een hoek met waarde a en [BA als beginbeen. Creëert ook een nieuw punt, nl. A’ = Rotatie[A, a , B].

Dichtste punt

-

-

Klik op twee punten A en B. Vul daarna in het venster de grootte van de hoek in. Je creëert een derde punt C en een hoek ABˆ C met de opgegeven grootte. Creëert - de afstand tussen twee punten, - de afstand tussen een punt en een rechte, - de afstand tussen twee evenwijdige rechten. -

Lengte

-

-

-

Lengte[vector v] Lengte[punt A]

Berekent de oppervlakte van een veelhoek.

Oppervlakte[punt A, punt B, punt C,...] Oppervlakte[veelhoek p]

Hoek met gegeven grootte

Afstand

Oppervlakte

Afstand[punt A, punt B] Afstand[punt A, rechte r] Afstand[rechte a, rechte b] DichtstePunt[pad p, punt P]

Oppervlakte[cirkel c] Oppervlakte[cirkelsector c]

Berekent de afstand tussen twee punten A en B. Berekent de afstand tussen het punt A en de rechte r. Berekent de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b. Bepaalt het punt op het pad p dat het dichtst bij het punt P ligt. Berekent de lengte van de vector v. Berekent de lengte van de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Berekent de oppervlakte van de veelhoek ABC... Berekent de oppervlakte van de veelhoek p. Berekent de oppervlakte van de cirkel c. Berekent de oppervlakte van de cirkelsector c.

22

8.5.6 Transformaties Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Roteren

Asspiegeling

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Selecteer eerst het centrum van de rotatie. Daarna kun je objecten t.o.v. dit centrum roteren door met de muis te slepen Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op de spiegelas.

Puntspiegeling

Selecteer het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het punt ten opzichte waarvan je het object wil spiegelen. Klik op het object dat je wilt roteren. Klik vervolgens op het centrum van de rotatie. Vul daarna in het venster de rotatiehoek in. Hierbij kan je nog kiezen tussen uurwijzer ten tegenwijzerzin. Klik op het object dat je wilt verschuiven. Klik daarna op de verschuivingsvector.

Rotatie met centrum over een 8 bepaalde hoek

Verschuiving over 9 een vector Homothetie

8.6

Klik eerst op het object dat je wilt vergroten of verkleinen. Klik daarna op het centrum van de homothetie en geef ten slotte de factor aan.

Commando -


Spiegeling[object o, rechte a]

Spiegelt het object o t.o.v. de rechte a.

B= Spiegeling[object o, rechte a] Spiegeling[object o, punt A]

Spiegelt het object o t.o.v. het punt A.

B= Spiegeling[object o, punt A] Rotatie[object o, hoek a ,punt A]

Roteert het object o over de hoek a rond het punt A.

B= Rotatie[object o, hoek a , punt A] Verschuift het object o volgens de vector v.

Verschuiving[object o, vector v] B= Verschuiving[object o, vector v] Homothetie[object o,getal f, punt C]

Voert op het object o een homothetie uit met als factor f en als centrum C.

Lijsten en rekenblad Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Gegevens naar rekenblad

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Stel dat het punt P’ afhankelijk is van het punt P. Selecteer het punt P’ en laat het punt P bewegen. De variërende coördinaten van P’ verschijnen in het rekenblad.

Commando -


8 Om een object te zien draaien over een hoek α, kunnen we het object laten draaien over de hoek r . α, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie. 9 Om een object te zien verschuiven over een vector v, kunnen we het object laten draaien over de hoek r . v, waarbij we voor r een getal nemen tussen 0 en 1. We laten r dan veranderen met een schuifknop of door animatie.

23

Nummer van een kolom uit het rekenblad Naam van een kolom uit het rekenblad Naam van een rij uit het rekenblad Lijst maken van gegevens in het rekenblad Gegevens van een lijst naar het rekenblad brengen

-

-

-

CelKolom[B3]

Geeft het nummer van de kolom (hier dus de 2de) waarin cel B3 voorkomt.

-

-

-

CelKolomNaam[B3]

Geeft de naam van de kolom (hier B) in het tekenvenster.

-

-

-

CelRij[B3]

-

-

-

Celbereik[A1,A10]

Geeft het nummer van de rij (hier dus 3) waarin cel B3 voorkomt. Creërt een lijst van de getallen in cel A1 tot cel A10.

-

-

-

KolomVullen[getal n, lijst L] RijVullen[getal n, lijst L] CelVullen[B2, lijst L]

Objecten naar het rekenblad brengen

-

-

-

CellenVullen[A1:C6, object o]

Lengte van een lijst Toevoegen aan een lijst

-

-

-

Lengte[lijst L] Toevoegen[lijst L, getal n]

Invoegen in een lijst

-

-

-

n-de element van een lijst

-

-

-

Toevoegen[getal a, lijst L] Invoegen[getal a, lijst L, geheel getal n] Invoegen[lijst M, lijst L, geheel getal n] Element[lijst L, geheel getal n]

Eerste elementen van een lijst

-

-

-

Eerste[lijst L] Eerste[lijst L, geheel getal n]

Laatste elementen van een lijst

-

-

-

Laatste[lijst L] Laatste[lijst L, geheel getal n]

Deellijst maken van een lijst

-

-

-

Neem[lijst L, geheel getal m, geheel getal n]

Brengt de gegevens van lijst L naar kolom n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar rij n van het rekenblad. Brengt de gegevens van lijst L naar het rekenblad rechts van cel B2. Brengt het object o naar de cellen A1 tot C6 van het rekenblad. Geeft het aantal elementen van lijst L. Vult het getal n aan op het einde van lijst L. Vult het getal a aan vooraan in lijst L. Voegt het getal a in op de n-de positie van lijst L. Voegt lijst M in op de n-de positie van lijst L. Geeft het n-de element van lijst L. Geeft een lijst die enkel het eerste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de eerste n elementen van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel het laatste element van lijst L bevat. Geeft een lijst die enkel de laatste n elementen van lijst L bevat. Maakt een nieuwe lijst met het m-de tot het n-de element van de oorspronkelijke lijst L.

24

Deel van een lijst dat aan een voorwaarde voldoet

-

-

-

BehoudAls[voorwaarde v , lijst L]

Omkeren van een lijst

-

-

-

Omkeren[lijst L]

Samenvoegen van twee lijsten Unie van twee lijsten

-

-

-

Samenvoegen[lijst L, lijst M]

-

-

-

Unie[lijst L, lijst M]

Doorsnede van twee lijsten

-

-

-

Doorsnede[lijst L, lijst M]

Som van een rij

-

-

-

Som[lijst L] Som[lijst L, geheel getal n]

Product van een rij Paren van getallen omzetten in koppels Tabellen in het tekenvenster plaatsen

-

-

-

Product[lijst L] Puntenlijst[lijst L van paren]

-

-

-

TabeLT[{x^2,4},{x^3,8},{x^4,16}] TabeLT[Rij[i^2,i,1,10]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16}] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"]] TabeLT[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"vr"] ]

Sorteren van getallen Maximum en minimum van een lijst

-

-

-

Sorteer[lijst L]

-

-

-

Max[lijst L] Min[lijst L]

Maakt een nieuwe lijst van getallen. Deze nieuwe lijst bevat enkel de getallen van de oorspronkelijke lijst L die voldoen aan de voorwaarde. Maakt een nieuwe lijst, waarin de elementen in de omgekeerde volgorde staan van lijst L. Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt. Creëert een nieuwe lijst die de elementen van de lijsten L en M samenvoegt en de gemeenschappelijke elementen verwijdert. Creëert een nieuwe lijst die de gemeenschappelijke elementen geeft van de lijsten L en M. Geeft de som van de getallen in lijst L. Geeft de som van de eerste n getallen van lijst L. Geeft het product van de getallen in lijst L. Zet de lijst L om in een lijst M van koppels. Creëert in het tekenvenster een tabel met 3 rijen en twee kolommen. Al de gegevens van de tabel zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met één rij. Al de gegevens zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 4 rijen en 2 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn links uitgelijnd. Creëert in het tekenvenster een tabel met 2 rijen en 4 kolommen. Al de getallen zijn rechts uitgelijnd. Rangschikt de getallen in lijst L van klein naar groot. Berekent het maximum, resp. het minimum van lijst L.

25

Tellen met een voorwaarde Frequentie van een element in een tabel

-

-

-

TelAls[voorwaarde v, lijst L]

-

-

-

Frequentie[lijst L] Frequentie[true, lijst L] Frequentie[lijst G, lijst L] Frequentie[true, lijst G, lijst L] Frequentie[lijst G, lijst L, true, getal f]

Frequentie[lijst G, lijst L, true, getal f] 8.7

Statistiek Begrip

Frequentietabel

Hoofdknop -

Deelmenu -

Staafdiagram

-

-

10

Telt het aantal elementen in lijst L die aan de voorwaarde voldoen. Geeft de frequenties van de elementen van lijst L. De elementen worden numeriek of alfabetisch gesorteerd. Idem, maar geeft de cumulatieve frequenties. Geeft de frequenties van elke klasse. De klassengrenzen staan in de lijst G, de ruwe gegevens in lijst L. Idem, maar geeft cumulatieve frequenties. Geeft de frequentie van elke klasse. De klassengrenzen staan in de lijst G en de ruwe gegevens in lijst L. f is de schaalfactor. Als f gelijk is aan B/N (B = klassenbreedte, N = effectief), dan worden de relatieve frequenties aangegeven; is f gelijk aan 1/N, dan worden de frequentiedichtheden aangegeven. Idem, maar geeft de cumulatieve frequenties.

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? -

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een frequentietabel van de gegevens in lijst L. Staafdiagram[lijst L, getal w] Tekent een staafdiagram van de ruwe gegevens in lijst L, waarbij elke staaf een breedte w heeft. Tekent een staafdiagram van de Staafdiagram[lijst L, lijst F] 10 gegevens in lijst L en de frequenties uit lijst F. Commando Frequentietabel[lijst L]

De lijst van gegevens moet een lijst zijn met een constante toename.

26

27

berekend d.m.v. de expressie e, waarbij het getal k gaat van c tot d met een stapgrootte e. Berekent het gemiddelde van de getallen in lijst L1. Berekent het gewogen gemiddelde van de getallen in lijst G. De frequenties van elk getal staan in lijst F. Berekent het gemiddelde van de eerste coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent het gemiddelde van de tweede coördinaatgetallen van de punten in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst L. Berekent de mediaan van de getallen in lijst G, rekening houdend met de frequenties in lijst F. Geeft de veeltermregressielijn van graad n van de punten in lijst L.

Idem, maar elke staaf heeft een breedte w. Tekent een staafdiagram tussen de xwaarden a en b met de hoogtes uit lijst H. Tekent een staafdiagram in het interval éëa, b ùû . De hoogtes van de staven worden

Invoeren van tekst in het tekenvenster

9.1

Invoeren van tekst

- Om een tekst in te voeren in het tekenvenster maak je gebruik van de knop ‘Tekst invoegen’ (10de knop op de werkbalk). Je klikt in het tekenvenster op de plaats waar je de tekst wil hebben. Je krijgt dan het volgende scherm

VeeltermRegr[lijst L, getal n]

Mediaan[lijst G, lijst F]

Mediaan[lijst L]

GemiddeldeY[lijst L]

GemiddeldeX[lijst L]

Gemiddelde[lijst G, lijst F]

Gemiddelde[lijst L]

Hiernaast vind je het invoervak. Links van ‘LaTeXformule’ vind je een aanvinkvakje om de tekst te interpreteren als LaTeXcode. Onder ‘Symbolen’ zit een uitgebreide keuzelijst met speciale tekens. Met ‘Objecten’ kun je de GeoGebra-objecten uit de applet in een dynamisch geheel plaatsen. Daaronder vind je een lijst met de laatst gebruikte speciale tekens. Hiernaast verschijnt onmiddellijk de tekst, zoals hij er zal uitzien als je op ‘OK’ drukt.

- Je kan ook gegevens van het algebravenster verslepen als tekst naar het tekenvenster. 9.2

Eigenschappen van teksten

Veeltermregressie

-

Mediaan

-

-

-

- Klikken we met de rechtermuisknop op een tekst in het tekenvenster of in het algebravenster, dan kunnen we de eigenschappen van de tekst aanpassen. Via het tabblad ‘Eigenschappen’ krijgen we de volgende mogelijkheden.

Gemiddelde

Staafdiagram[getal a, getal b, expressie e, getal k, getal c, getal d, getal e]

Staafdiagram[lijst L, lijst F, getal w] Staafdiagram[getal a, getal b, lijst H]

9

- Met het tabblad ‘Basis’ kunnen we het object al dan niet tonen, het al of niet fixeren en er al of niet een hulpobject van maken. - Met het tabblad ‘Tekst’ kunnen we kiezen voor het lettertype, de grootte van de letter, al dan niet vetjes, al dan niet cursief.

28

- Met het tabblad ‘Kleur’ kunnen we de kleur van de tekst bepalen. - Met het tabblad ‘Positie’ kunnen we de tekst koppelen aan een punt. - Met het tabblad ‘Geavanceerd’ kunnen we o.a. een voorwaarde bepalen waarop de tekst zichtbaar is, kunnen we de laag bepalen van de tekst en kunnen we bepalen in welk(e) tekenvenster(s) de tekst moet komen. - Met het tabblad ‘Scripting’ kunnen we een script toevoegen aan de tekst (zie 13). 9.3

9.5

Roteren van teksten Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC. We willen nu bij de schuine zijde ሾ‫ܥܤ‬ሿ de tekst “schuine zijde” plaatsen zó dat de tekst evenwijdig staat met de schuine zijde van de driehoek. Hiervoor plaatsen we eerst een tekst “schuine zijde” op een willekeurige plaats in het scherm. De naam van deze tekst is tekst1. Daarna roteren we tekst1 door het commando ‘RoteerTekst[tekst1,-β]’. We slepen deze nieuwe tekst (tekst2) naar de juiste plaats in het scherm. Ten slotte verbergen we tekst1.

Invoeren van dynamische teksten Stel dat je in het tekenvenster de tekst "De diameter van een cirkel van een cirkel is ..." wilt zetten, waarbij op de puntjes de waarde van de variabele diameter d van een cirkel moet komen. Je klikt in het tekenblad waar je de tekst wilt hebben. Je typt dan in het invoervak eerst de tekst "De diameter van de cirkel is gelijk aan" Dan klik je in het keuzelijstje ‘Objecten’ op ‘d’. In het voorbeeld zie je dat dan de waarde van d, in dit geval 6 wordt ingevuld. Om de tekst naar het tekenblad te verhuizen, klik je ten slotte op ‘OK’.

9.4

We kunnen de geroteerde tekst ook rechtstreeks invoeren. We illustreren dit met een voorbeeld. We tekenen in het tekenvenster de rechten ܽǣ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ en ܾǣ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͵. We willen nu de vergelijkingen van beide rechten in het tekenvenster zetten als teksten die evenwijdig staan met de respectievelijke rechten. Dit kan opnieuw door het GeoGebracommando ‘RoteerTekst[Tekst,hoek]’. We voeren dit commando nu echter in als een tekst met LaTeXformule én plaatsen hem in een dynamisch kadertje, m.a.w. we beschouwen hem als Object. I.p.v. de tekst eerst in te voeren en hem daarna te verslepen naar de juiste plaats, kunnen we de tekst ook koppelen aan een punt op de rechte, een punt dat je daarna verbergt. Het resultaat zie je hieronder rechts

Gebruik van een tekst in LaTeX-code Als je op het tekenscherm de tekst omtrek " " wil invoeren, dan gebruik je een diameter LaTeXformule. Je zet hiertoe een vinkje bij ‘LaTeXformule’. Op de invoerlijn verschijnen twee dollartekens. De tekst in LaTeX-code komt tussen deze twee tekens.

9.6

Teksten als breuken schrijven

Nemen we opnieuw de vorige oefening. Wanneer we het label van het snijpunt S van de rechten a en b zichtbaar maken, dan krijgen we

Je klikt nu op ‘LaTeXformule’ en kiest bij a ‘Wortels en breuken’ voor . b Je vervangt nu op de invoerlijn ‘a’ door ‘omtrek’ en ‘b’ door ‘diameter’. Ten slotte klik je weer op ‘OK’.

29

30

We willen nu echter de coördinaten van S als breuken weergeven. Daartoe koppelen we aan het punt S een tekst die er als volgt uitziet:

We willen nu steeds maar opnieuw de middens nemen van de laatst gevormde driehoek en daarmee een nieuwe driehoek vormen. Daarom stoppen we deze constructiestappen samen in een macro. Hiervoor gaan we als volgt te werk: - We selecteren 'Nieuwe macro’s aanmaken’ in het menu ‘Macro's’. - We selecteren de eindobjecten. Dit zijn de punten D, E en F, de lijnstukken [DE ] , [EF ] en [DF ] en de driehoek DEF. - We selecteren de beginobjecten. Dit zijn de punten A, B en C. - We geven een naam aan de macro, bijv. ‘fractaal’. - We kiezen een icoon voor de macro. Wanneer we nu de macro op de werkbalk aanklikken en daarna drie punten aanklikken, zal er telkens een nieuwe gelijkzijdige driehoek getekend worden. Zo verkrijgen we achtereenvolgens:

Het resultaat is dan:

Merk op dat we de tekst weer als een LaTeXformule weergeven en dat zowel de letter S als de beide breuken in een dynamisch kadertje zitten, m.a.w. als object beschouwd worden.

10

Macro's

Indien je bij een constructie steeds dezelfde reeks van bewerkingen moet uitvoeren, is het interessant om hiervoor een macro te maken. We maken als voorbeeld een fractaal van in elkaar ingesloten gelijkzijdige driehoeken.

11

Het CAS-venster

11.1

Het CAS-venster

Met de menuknop ‘Beeld’ kun je het CAS-venster zichtbaar of onzichtbaar maken.

We vertrekken van een gelijkzijdige driehoek ABC.

11.2

Invoer via de cellen en de werkbalk

Je tikt eerst op de invoerlijn de uitdrukking in waarop de bewerking moet uitgevoerd worden. Daarna druk je op de juiste knop van de werkbalk

We nemen de middens van elke zijde en vormen daarmee een nieuwe gelijkzijdige driehoek DEF.

11.3

Bereken exact

Werk de haakjes uit

Bereken numeriek

Substitueer een deel van de uitdrukking door…

Bewaar de invoer

Los exact op

Ontbind in factoren

Los numeriek op

Invoer via de cellen

Met CAS-commando’s kunnen een hele reeks rekenkundige en algebraïsche bewerkingen uitgevoerd worden. In 11.4 zie je een aantal voorbeelden. Er zijn wel een aantal verschillen met de gewone invoerlijn. - We kunnen om het even welke variabele gebruiken, zonder dat deze op voorhand gedefinieerd is, bijv. ܽ; െ ܾ;. - Het gelijkheidsteken wordt gereserveerd voor vergelijkingen. Om een waarde toe te kennen aan een

31

32

variabele moeten we := gebruiken, bijv. a:=3. - Een vermenigvuldiging moet expliciet met een * aangegeven worden - Om een uitdrukking exact te berekenen, druk je op ‘Enter’. - Om een uitdrukking numeriek te berekenen, druk je op ‘Ctrl-Enter’. - Om een uitdrukking te bewaren, druk je op ‘Alt-Enter’. - Met een spatie verkrijg je de vorige output. - Met = verkrijg je de vorige input. - #3 wordt in een formule vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is statisch en verandert niet als rij 3 gewijzigd wordt. - $3 wordt in een formule eveneens vervangen door de output van rij 3. Deze uitdrukking is echter dynamisch en wordt aangepast als rij 3 gewijzigd wordt. - Je kan vermijden dat er een output gegeven wordt door na een uitdrukking een ; te plaatsen. 11.4

12 Bepaal het quotiënt van 144 door 7

13 Bepaal het quotiënt en de rest bij deling van 144 door 7

14 Schrijf

Voorbeelden ଺

ଵସସ ଻

als een gemengd getal

ଵ

ଷ

15 Los de vergelijking ൌ ʹ‫ ݔ‬െ op ସ

଼

ଶ

1 Bereken exact: ͵ǡͶ െ ඥʹͷͺǡ͸ ൅ ͷǡͶǤ ʹǡͷͶ

16 Werk uit: ͳͲ‫ݔ‬ሺ͵ܿ െ ʹܾሻ െ ͷሺ͹ܾܿ െ ʹܿ‫ݔ‬ሻ

2 Bereken numeriek: ͵ǡͶ଺ െ ඥʹͷͺǡ͸ ൅ ͷǡͶǤ ʹǡͷͶଶ

17 Bereken ʹଵଵସ

3 Bepaal het aantal delers van 144

18 Werk uit: 4 Geef de lijst van de delers van 144

൫௫ షభ ௬ య ௭ ర ൯ ሺ௫ ర ௬ሻషమ

ఱ

19 Bereken exact: ሺ͸ǡͷǤͳͲଵ଼ ሻଶ

5 Bepaal de som van de delers van 144

20 Bereken numeriek: ሺ͸ǡͷǤͳͲଵ଼ ሻଶ

6 Onderzoek of 2013 een priemgetal is

21 Los op naar t : െ ቀ͹ ൅ ‫ݐ‬ቁ െ ʹ‫ ݐ‬ൌ ‫ ݐ‬൅

ଶ ଷ

ସ

ଶ

ହ

଺

ଵ ଶ

7 Bepaal het eerstvolgend priemgetal na 2013 22 Isoleer ܾଵ in de formule ‫ ܣ‬ൌ

8 Bepaal de lijst van de priemfactoren van 144

௕భ ା௕మ ଶ

Ǥ ݄

9 Bepaal de priemfactoren van 144 met hun exponenten

23 Werk uit: ሺ‫ ݔ‬௠ െ ʹሻሺ‫ ݔ‬௠ ൅ ͵ሻ

10 Bepaal de grootste gemene deler van 40, 48 en 72

24 Werk uit: ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻሺ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ሻ 25 Ontbind in factoren: ʹ‫ ݔ‬ସ െ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ସ

11 Bepaal het kleinste gemeen veelvoud van 40,48 en 72

26 Ontbind in factoren: ͵ʹ‫ ͿݕͿݔ‬െ ͷͲ‫ ݔ‬ହ ‫ ݕ‬ହ

33

34

11

36

Alle constructies die uitgevoerd worden in het 2D-tekenvenster verschijnen automatisch in het Oxy-vlak van het 3D-tekenvenster. Omgekeerd zullen elementen in het 3D-tekenvenster, die in het Oxy-vlak liggen, ook verschijnen in het 2D-tekenvenster.

-

Top

Top[kegel k]

Creëert het zwaartepunt van de veelhoek v. Geeft ‘true’ als het punt A in de regio r (veelhoek, cirkel,…) ligt en ‘false’ als het punt A niet in de regio r ligt. Geeft de top van een kegel k. Zwaartepunt[veelhoek v] IsInRegio[punt A, regio r] Zwaartepunt Ligt een punt in een regio?

Midden[punt A,punt B] Midden[lijnstuk c]

Creëert de snijpunten van 2 rechten, van een rechte en een cirkel, van 2 cirkels, van een rechte en een vlak of van 2 vlakken, met namen a en b. Creëert het midden van het lijnstuk [AB] . Creëert het midden van het lijnstuk c.

Plaatst een willekeurig punt op de rechte a, op het lijnstuk b, op de cirkel c of op de veelhoek v.

Hoofdknop

Commando’s in het 3D tekenvenster

12.2.1 Punten

35

12.2

Het is voorlopig niet mogelijk om in het 3D tekenvenster te werken met schuifknoppen en actieknoppen of met de navigatiebalk. Dit kan echter omzeild worden door deze elementen te tonen in het 2D tekenvenster.

11

In het 3D tekenvenster heb je een aparte werkbalk. Je vindt hier een aantal commando’s terug uit het 2D tekenvenster, naast een aantal nieuwe, typische 3D commando’s. Uiteraard is ook hier algebraïsche invoer mogelijk. Hiervoor beschik je over een aantal nieuwe 3D commando’s naast de vertrouwde 2D commando’s. Let er echter op dat niet alle commando’s uit 2D werken in 3D. Op de volgende bladzijden vind je een overzicht van de belangrijkste commando’s.

Klik op twee punten of op een lijnstuk om het midden te bepalen.

Als je met de rechtermuisknop klikt in het tekenvenster, krijg je ook hier een meer uitgebreide opmaak van het tekenvenster. Ook hier kan je de assen, het rooster en het (x,y)-vlak tonen of verbergen. Verder beschik je over een aantal voorkeuren onder de titel ‘tekenvenster’. Dit menu ‘Voorkeuren’ is echter nog volop in ontwerp.

Midden

).

Klik achtereenvolgens op twee objecten om de snijpunten of de doorsnede van deze objecten te bepalen

de

Snijpunt(en) of doorsnede van twee objecten

(de 4

Punt op object

mogelijkheid van de laatste knop

, en daarna op

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Klik in het tekenvenster om een nieuw punt te creëren in het (x,y)-vlak. Je kan het punt nu verslepen in het Oxy-vlak. Klik op het punt met de linkermuisknop. Nu kan je de z-coördinaat van het punt wijzigen. Nogmaals klikken op het punt laat een horizontale verplaatsing toe in een vlak, evenwijdig met het (x,y)-vlak. Klik op een bestaande figuur. Het punt wordt op de figuur gelegd.

Om het vertrouwde Cavalièreperspectief te verkrijgen, klik je eerst op

Commando

De ikoontjes rechtsboven hebben dezelfde betekenis als bij het algebravenster en het rekenblad. Op de opmaakwerkbalk eronder vind je knoppen: - om de assen te tonen of te verbergen, - om het rooster in het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het (x,y)-vlak te tonen of te verbergen, - om het beeld al dan niet te laten roteren rond de z-as; de snelheid pas je aan met de schuifknop, - om terug te keren naar het standaardbeeld, - om een bovenzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,y)-vlak, - om een vooraanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (x,z)-vlak, - om een zijaanzicht te verkrijgen, d.w.z. een zicht in de richting van het (y,z)-vlak, - om de ‘clipping box’ aan en af te zetten en te vergroten of te verkleinen, - om de projectie te kiezen: - loodrechte parallelprojectie (‘parallel projection’), - perspectiefprojectie (‘perspective projection’) - anaglyphen of 3D zicht, te bekijken met een 3D bril (‘projection for glasses’) - scheve parallelprojectie (‘oblique projection’).

Punt[rechte a] Punt[lijnstuk b] Punt[cirkel c] Punt[veelhoek v] Snijpunten[object a,object b] of Doorsnede[object a, object b]

In de proefversie van GeoGebra 5.0 Beta, beschik je in de menubalk over een knop die een 3D tekenvenster opent.

(a,b,c) P=(a,b,c)

Het 3D tekenvenster

Nieuw punt

12.1

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert het punt met coördinaat (a, b, c). Creëert het punt P met coördinaat (a, b, c).

Het gebruik van 3D

Begrip

12

12.2.2 Rechten, lijnstukken, halfrechten en vectoren Begrip

Meetkundige invoer Deelmenu Wat gebeurt er? Klik op twee punten en creëer zo de rechte door die punten.

Hoofdknop Rechte door twee punten Loodlijn

Evenwijdige rechte

Lijnstuk tussen twee punten Halfrechte door twee punten

Vector

Commando Rechte[punt A, punt B]

Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de loodlijn vanuit het punt op de rechte.

Loodlijn[punt A, rechte r]

Klik op een rechte en op een punt en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op twee punten om het lijnstuk te creëren tussen twee punten. Klik op twee punten en creëer zo een halfrechte met het eerste punt als beginpunt en die door het tweede punt gaat Klik respectievelijk op het beginpunt en het eindpunt van de te creëren vector

Rechte[punt A, rechte g]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door A en B. Creëert een loodlijn door het punt A op de rechte r. Creëert een loodlijn door het punt A op de vector v. Creëert een rechte door het punt A evenwijdig met de rechte g.

Loodlijn[punt A, vector v]

Lijnstuk[punt A,punt B]

Creëert het lijnstuk [AB]

Halfrechte[punt A, punt B]

Creëert een halfrechte met beginpunt A die door het punt B gaat. Creëert een halfrechte met beginpunt A en met richting en zin van de vector v. Creëert de vector met A als beginpunt en B als eindpunt. Creëert de vector met O als beginpunt en A als eindpunt. Verschuift het punt A over de vector v.

Halfrechte[punt A, vector v] Vector[punt A, punt B] Vector[punt A]

Vector met beginpunt

Klik eerst op het beginpunt van de vector en dan op de vector waaraan de nieuwe vector gelijk moet zijn.

Punt[punt A, vector v]

12.2.3 Veelhoeken Begrip Hoofdknop

Deelmenu

-

-

-

-

Veelhoek

Omtrek van een veelhoek Oppervlakte van een veelhoek

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op minstens drie punten en klik daarna terug op het eerste punt om een veelhoek te creëren zie oppervlakte

Commando Veelhoek[punt A,punt B,...]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een veelhoek met de gegeven punten als hoekpunten.

Omtrek[veelhoek poly]

Berekent de omtrek van de veelhoek poly.

-

-

37

Pad, gebroken lijn of veelhoekslijn

-

-

Hoofdknop

Deelmenu

-

-

-

Veelhoekslijn[punt A, punt B, punt C,...]

Creëert een pad van het punt A naar het laatste punt.

12.2.4 Cirkels Begrip Cirkel door drie punten Cirkel met middelpunt en straal

Cirkel met as door een punt

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op drie punten. Je verkrijgt de cirkel door deze punten.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Cirkel[punt A,punt B,punt C] Creëert de cirkel door de punten A, B en C.

Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de cirkel in.

Cirkel[punt M,getal r]

Cirkel[rechte a,punt A]

Grondvlak

-

-

Klik op een rechte en op het een punt en creëer een cirkel met de rechte als as die door het punt gaat. Klik op een punt, selecteer een richting en geef een getal in en creëer een cirkel met het punt als middelpunt, een as met de gegeven richting en het getal als straal -

Ends

-

-

-

Cirkel met middelpunt, straal en richting

Cirkel[punt M,lijnstuk s]

Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)vlak met M als middelpunt en r als straal. Creëert een cirkel evenwijdig aan het (x,y)vlak met M als middelpunt en de lengte van het lijnstuk s als straal. Creëert een cirkel met a als as die door het punt A gaat.

Cirkel[punt M, richting a, getal r]

Creëert een cirkel met M als middelpunt, een as met richting a en r als straal.

Grondvlak[cilinder c] Grondvlak[kegel k] Ends[cilinder c]

Creëert het grondvlak van de cilinder c of de kegel k. Creëert het grondvlak en het bovenvlak van de cilinder c. Creëert het grondvlak van de kegel k.

Ends[kegel k] 12.2.5 Vlakken Begrip Hoofdknop Vlak door 3 punten Vlak door een punt en een rechte

Deelmenu

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op drie niet collineaire punten en creëer zo het vlak door die punten. Klik op - drie niet collineaire punten - op een punt en op een rechte, die niet door dit punt gaat - op twee snijdende of evenwijdige rechten

Commando Vlak[punt A, punt B, punt C]

Vlak[punt A, punt B, punt C] Vlak[punt A, rechte a] Vlak[rechte a, rechte b]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Creëert een rechte door de punten A, B en C. Creëert een rechte door de punten A, B en C. Creëert een vlak door het punt A, dat de rechte a omvat. Creëert een vlak dat de rechten a en b

38

- op een veelhoek om een vlak te creëren. Klik op een vlak en op een punt en creëer zo de evenwijdige door het punt aan de rechte. Klik op een vlak en op een punt en creëer zo het loodvlak door het punt op de rechte.

Evenwijdig vlak

Loodvlak

Middelloodvlak

-

-

-

Vlak[veelhoek v] Vlak[punt A, vlak α]

Loodvlak[punt A, rechte a] Loodvlak[punt A, vector v] Deelvlak[punt A, punt B] Deelvlak[lijnstuk a]

omvat. Creëert het vlak waarin de veelhoek v ligt. Creëert een vlak door het punt A evenwijdig met het vlak α. Creëert een loodvlak op de rechte a door het punt A. Creëert een loodvlak op de vector v door het punt A. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk [AB]. Creëert het middelloodvlak van het lijnstuk a.

12.2.6 Kubus, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol Begrip Kubus

Hoofdknop -

Deelmenu -

Prisma


Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een prisma met als grondvlak de veelhoek en als bovenvlak een vlak door het punt. Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een prisma te creëren. Selecteer een veelhoek en een punt en creëer zo een piramide met als grondvlak de veelhoek en het punt als top.

Piramide

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Creëert een kubus met [AB] als ribbe. Kubus[punt A, punt B, richting r] - Is de richting r een rechte, een halfrechte, een lijnstuk of een vector die loodrecht staat op [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en loodrecht op de richting. - Is de richting r een vlak evenwijdig aan [AB], dan heeft de kubus een zijvlak met ribbe [AB] en evenwijdig aan dit vlak. Creëert een kubus met [AB] als ribbe en Kubus[punt A, punt B] met AB een zijvlak evenwijdig aan het (x,y)-vlak. evenwijdig aan het (x,y)-vlak Creëert een prisma met grondvlak AB…F Prisma[punt A, punt B, …, en ribbe [AQ]. punt F, punt Q] Creëert een prisma met grondvlak v en Q Prisma[veelhoek v, punt Q] als een punt van het bovenvlak. Creëert een prisma met grondvlak v en Prisma[veelhoek v, getal h] hoogte h. Piramide[punt A, punt B, …, punt F, punt T] Piramide[veelhoek v, punt T]

Creëert een piramide met grondvlak AB…F en top T. Creëert een piramide met grondvlak v en top T.

39

Cilinder

Kegel

Bol met middelpunt door een punt Bol met middelpunt en straal Zijde

-

-

Hoofdknop -

Deelmenu -

-

-

Sleep een veelhoek of selecteer een veelhoek en voer de hoogte in om een piramide te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een cilinder. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede het middelpunt van het bovenvlak; het getal is de straal van het grondvlak en het bovenvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een cilinder te creëren. Selecteer twee punten en een getal en creëer zo een kegel. Het eerste punt is het middelpunt van het grondvlak, het tweede de top, het getal is de straal van het grondvlak. Sleep een cirkel of selecteer een cirkel en voer de hoogte in om een kegel te creëren. Klik op twee punten en creëer een bol met het eerste punt als middelpunt en de afstand tussen de twee punten als straal. Klik op een punt dat je als middelpunt kiest. Vul daarna in het venster de straal van de bol in. -

Piramide [veelhoek v, getal h]

Creëert een piramide met grondvlak v en hoogte h.

Cylinder[cirkel c, getal h]

Creëert een cilinder met grondvlak c en hoogte h. Creëert een cilinder met straal r. M en N zijn resp. de middelpunten van het grondvlak en het bovenvlak.

Cylinder[punt M, punt N, getal r]

Kegel[cirkel c, getal h] Kegel[punt M, punt T, getal r]

Creëert een kegel met grondvlak c en hoogte h. Creëert een kegel met T als top en een cirkel (M, r) als grondvlak.

Bol[punt M, punt A]

Creëert een bol met middelpunt M die door het punt A gaat.

Bol[punt M, getal r]

Creëert een bol met middelpunt M en straal r.

Zijde[cilinder c] Zijde[kegel k]

Creëert de mantel van de cilinder c of de kegel k.

12.2.7 Doorsneden Begrip Doorsnede van een veelvlak en een vlak Doorsnede van een cilinder, kegel of bol met een vlak


-

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Creëert de doorsnede van het veelvlak a DoorsnedeRegio[veelvlak a, vlak met het vlak α. α]

Doorsnede[vlak α, cilinder c] Doorsnede[vlak α, kegel c] Doorsnede[vlak α,bol c]

Creëert de doorsnede van het vlak α met de cilinder, kegel of bol c.

40

12.2.8 Hoeken, lengte, oppervlakte en volume Begrip Hoofdknop

Deelmenu

Hoek

Afstand

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op 3 punten. Je creëert de hoek bepaald door deze drie punten, waarvan het tweede het hoekpunt is,

Hoogte

-

-

Creëert - de afstand tussen twee punten, - de afstand tussen een punt en een rechte, - de afstand tussen twee evenwijdige rechten. -

Lengte

-

-

-

Oppervlakte

Berekent de oppervlakte van een veelhoek.

Volume

Berekent het volume van een ruimtefiguur

Commando Hoek[punt A,punt B,punt C] Hoek[getal a] Afstand[punt A, punt B] Afstand[punt A,rechte r] Afstand[rechte a,rechte b]

Algebraïsche invoer Wat gebeurt er? Berekent en kleurt de hoek bepaald door de halfrechten [BA en [BC. Zet het getal a om in een hoek van a radialen. Berekent de afstand tussen twee punten A en B. Berekent de afstand tussen het punt A en de rechte r. Berekent de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b. Geeft de hoogte van een cilinder c, een kegel k of een veelvlak v.

Height[cilinder c] Height[kegel k] Height[veelvlak v] Lengte[vector v] Lengte[lijnstuk a] Oppervlakte[punt A,punt B,punt C,...] Oppervlakte[veelhoek p] Oppervlakte [cirkel c] Volume[ruimtefiguur f]

Berekent de lengte van de vector v. Berekent de lengte van het lijnstuk a. Berekent de oppervlakte van de veelhoek ABC... Berekent de oppervlakte van de veelhoek p. Berekent de oppervlakte van de cirkel c. Berekent het volume van de ruimtefiguur f.

12.2.9 Transformaties Begrip Hoofdknop Asspiegeling

Deelmenu

Meetkundige invoer Wat gebeurt er? Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op de spiegelas.

Algebraïsche invoer Commando Wat gebeurt er? Spiegelt het object o t.o.v. de rechte a. Spiegeling[object o,rechte a]

Vlakspiegeling

Klik op het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het spiegelvlak.

Spiegeling[object o, vlak α]

Spiegelt het object o t.o.v. het vlak α.

Puntspiegeling

Selecteer het object dat je wilt spiegelen. Klik daarna op het punt ten opzichte waarvan je het object wil spiegelen.

Spiegeling[object o,punt A]

Spiegelt het object o t.o.v. het punt A.

41

Rotatie met centrum over een bepaalde hoek

Verschuiving over een vector Homothetie

Klik op het object dat je wilt roteren. Klik vervolgens op de as van de rotatie. Vul daarna in het venster de rotatiehoek in. Hierbij kan je nog kiezen tussen uurwijzer ten tegenwijzerzin. Klik op het object dat je wilt verschuiven. Klik daarna op de verschuivingsvector.

Rotatie[object o,hoek a ,rechte a]

Roteert het object o over de hoek a rond de rechte a.

Verschuiving[object o,vector v]

Verschuift het object o volgens de vector v.

Klik op het object dat je wilt vermenigvuldigen en daarna op het middelpunt van de homothetie. Geef ten slotte de factor.

Homothetie[object o, getal r, punt P]

Geeft het homothetisch beeld van het object o. Het centrum van de homothetie is het punt P, de factor is r.

42

13

Oefeningen

13.1

Illustreren van begrippen, eigenschappen, formules en constructies met GeoGebra

(1)

Afstand van een punt tot een rechte (1

ste

‘toepassen’, is het aanvinkvakje af. Om het aan of uit te vinken, moeten we wel zorgen dat we ons in de ‘ruststand’ bevinden. Daartoe klikken we op de eerste knop van de werkbalk. o Op dezelfde manier maken we het 2de aanvinkvakje. Hier kiezen we als titel ‘Loodlijn en voetpunt’. De objecten die we hier selecteren zijn de loodlijn en het voetpunt.

jaar)

- We starten met een eenvoudige applet over de afstand van een punt tot een rechte. Deze afstand is gelijk aan de minimale afstand van dit punt tot een willekeurig punt van de rechte. Hetzelfde principe geldt trouwens voor de afstand van een punt tot een cirkel, een ellips, een parabool,... en voor de afstand tussen twee rechten. - Je kunt deze applet volledig door de leerlingen laten opstellen. De opdracht kan dan bijv. als volgt luiden.

(2)

Fysische betekenis van een zwaartelijn in een driehoek (1

ste

jaar)

- Leerlingen kunnen een begrip beter onthouden als ze de oorsprong (de etymologie) van de woorden kennen. Zo is een zwaartelijn in een driehoek een rechte die de driehoek in twee driehoeken verdeelt die ‘even zwaar’ zijn. Dit wil zeggen dat als we de driehoeken zouden uitknippen uit een stuk hout of metaal ze even zwaar zouden wegen. In het vlak wil dit zeggen dat de oppervlakten van de driehoeken gelijk zijn. - Als we deze applet door de leerlingen laten opstellen, kan de opdracht bijv. als volgt luiden. 1 Teken een driehoek ABC en de zwaartelijn AM. 2 De zwaartelijn AM verdeelt de driehoek ABC in twee driehoeken ABM en AMC. Zet deze driehoeken in twee verschillende kleuren. Bepaal de oppervlakte van deze beide driehoeken. Wat stel je vast? Blijft deze eigenschap bewaard als je de punten A, B en C versleept? 3 Verklaar de eigenschap door gebruik te maken van de formule voor de oppervlakte van een driehoek. 4 Verklaar nu waarom men AM een 'zwaarte'lijn noemt.

1 Teken een rechte a en een punt P dat er buiten ligt. 2 Neem een willekeurig punt A op a, teken het lijnstuk [PA] en bepaal de lengte PA . 3 Laat het punt A lopen over de rechte a. Hoe moet je het punt A leggen op a zó dat de afstand PA minimaal wordt? Plaats dit besluit als tekst in het tekenvenster. 4 Construeer exact het punt S waarvoor de afstand minimaal is. De afstand |PS| noemen we de afstand van het punt P tot de rechte a. - Je kunt ook een klaargemaakte webpagina door de leerlingen laten gebruiken en door hen laten aanvullen. Je maakt dan zelf een applet met de punten 1 en 2 van hierboven. Je slaat de applet op als een webpagina (Bestand>Exporteren>Dynamisch werkblad als webpagina>Exporteer als webpagina). Je vult de titel in en vult als tekst onder de constructie de opdrachten 3 en 4 van hierboven in. Om die opdrachten uit te voeren, moeten de leerlingen ook over de werkbalk beschikken. Dit kan door in het tabblad 'Geavanceerd' de knop 'Werkbalk tonen' aan te klikken. Daarna klik je op de knop 'Exporteren'. De webpagina is nu klaar voor gebruik. - We kunnen ook een demo-applet maken. We voeren dan zelf de bovenstaande opdrachten 1 tot 4 uit. Het is echter interessant dat de leerlingen het besluit van 3 en de constructie van 4 nog niet van bij het begin zien. Daartoe kunnen we twee zgn. aanvinkvakjes maken, één voor het besluit en één voor de constructie uit 4. Dit gaat als volgt. o We beginnen met de tekst met het besluit in te voeren: "De afstand |PA| is minimaal a.s.a. PA ^ a". Hoe dit moet, werd in 8 uitgelegd. Om het teken ^ in te voeren, klikken we op ‘Symbolen’ en daarna op de 2de reeks (x : -). o Nu maken we het eerste aanvinkvakje. Hiervoor gebruiken we op de werkbalk de 2de knop van rechts, en daarin de knop ‘Aanvinkvakje om objecten te tonen of verbergen’. We klikken in het tekenvenster waar we het aanvinkvakje wilt hebben. Er verschijnt dan een venster zoals hieronder links.

- Ook hier kunnen we zelf een webpagina maken, die de leerlingen kunnen gebruiken. Opdracht 1 steken we zelf in de applet, de opdrachten 2, 3 en 4 voeren de leerlingen uit. - Maken we een demo-applet, dan kunnen we weer best in fasen werken door met 2 aanvinkvakjes te werken. o In een eerste fase tonen we enkel de driehoek die door de zwaartelijn in twee driehoeken verdeeld wordt, en laten we de leerlingen de eigenschap formuleren. o In een tweede fase tonen we de verklaring van deze eigenschap met de tekst " Opp. D ABM = opp. D AMC =

1 . BC . h " 2

Omdat in deze tekst een breuk voorkomt, voeren we hem best in met een latexformule (zie nr. 8) Let op dat we bij gebruik van latexformules ook de spaties tussen de woorden moeten invoeren. Hiervoor gebruiken we bij ‘LaTeXformule’ de knop ‘Spatie’. We creëren nu een eerste aanvinkvakje, waarbij we als titel "Verklaring van de eigenschap" nemen en als object de tekst selecteren. o In een derde fase tonen we het besluit van opdracht 2. We plaatsen eerst de tekst "Een zwaartelijn in een driehoek verdeelt de driehoek in twee driehoeken die even zwaar wegen" ergens in het tekenvenster. Dan maken we een tweede aanvinkvakje met als titel "Verklaring van de naam zwaartelijn" en als object de tekst. (3)

Oppervlakte van een cirkel (1

ste

jaar)

- We willen de leerlingen laten inzien waarom de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan ߨ‫ ݎ‬ଶ . We verdelen de cirkel met straal r daartoe in 4 gelijke stukken (sectoren), 2 rode en 2 groene. Met de rode stukjes vormen we een ‘kam’. We doen hetzelfde met de groene stukjes en schuiven de kammen in elkaar. Op die manier ontstaat een figuur die lijkt op een rechthoek. Doen we hetzelfde door de cirkel in 6, 8, 10, 12, …, 100 gelijke stukjes verdelen, dan nadert de figuur meer en meer tot een echte rechthoek.

Als titel kiezen we voor ‘Besluit’. Nu moeten we de objecten selecteren die moeten verdwijnen als het aanvinkvakje NIET geactiveerd is. Dit is enkel de tekst van hierboven (tekst1). Als we nu klikken op

43

44

- Het is hier vrijwel onmogelijk om de leerlingen zelf de applet te laten maken. Ook het maken van een demoapplet is niet zo eenvoudig. Je kan dit eventueel zelf bekijken door in de demo-applet te klikken op ‘Beeld>Overzicht constructiestappen’. - In de webpagina kan de leerlingenopdracht er bijv. als volgt uitzien Hierboven staat een cirkel met straal r afgebeeld. Hij is in 4 gelijke delen verdeeld. Met de 2 rode stukjes vormen we een 'kam'. We doen hetzelfde met de 2 groene stukjes en schuiven de twee kammen in elkaar. Op die manier ontstaat een grillige figuur.

2 We tekenen een cirkel met straal r1 die de benen b en c van α snijdt in B en C. Het is voldoende om twee kleine boogjes van de cirkel te tekenen in de omgeving van de punten B en C. Dit krijgen we door in de ‘Eigenschappen’ van B en C ‘Toon ingekorte snijlijnen’ aan te klikken. 3 We tekenen twee cirkels met B en C als middelpunten en met dezelfde straal r2, zó dat de cirkels elkaar snijden. Een van de snijpunten noemen we D. Ook hier is het voldoende om van elke cirkel een klein boogje te tekenen in de omgeving van D

1 Doe nu hetzelfde door de cirkel te verdelen in 6, 8, 10, 12, ... , 100 gelijke stukjes. De grillige figuur lijkt meer en meer op een rechthoek. 2 Wat zijn de afmetingen van deze rechthoek? 3 Wat is de oppervlakte van deze rechthoek? 4 Leid hieruit de formule voor de oppervlakte van een cirkel af. (4)

Spiegelen t.o.v. een cirkel (2

de

jaar)

- Bij de eigenschappen van de transformaties heb je het nadeel dat je geen tegenvoorbeelden hebt. Zowel spiegelingen, verschuivingen als draaiingen hebben immers alle besproken eigenschappen. Daarom is het interessant om een transformatie te beschouwen, waarvoor deze eigenschappen niet gelden, bijv. de spiegeling t.o.v. een cirkel. Om het punt P te spiegelen t.o.v. de cirkel c ga je als volgt te werk: - Je verbindt P met het middelpunt M van de cirkel c. - Je zoekt het snijpunt S van [PM ] met de cirkel. - Je spiegelt P rond S. Het spiegelbeeld is P'.

4 De bissectrice is de verbindingslijn van A met D. We willen nu graag langs de bissectrice de tekst “bissectrice” zetten. Dit kan door een geroteerde tekst de koppelen aan een punt E van de bissectrice, punt dat we achteraf verbergen. De tekst krijgen we als volgt:

- Het is niet aangewezen om de leerlingen hier zelf een applet te laten maken. Je kan dus gebruik maken van een webpagina. - Om de demo-applet te maken, kunnen we als volgt te werk gaan. 1 We tekenen een cirkel c met middelpunt M die door een punt A en een rechte a door de punten B en C. We onderzoeken wat het spiegelbeeld is van a t.o.v. c. 2 We nemen hiertoe een willekeurig punt P op a. Het spiegelbeeld van P t.o.v. c is P'. We zetten het spoor van P' aan. 3 We laten nu het punt P op a bewegen en bekijken wat er gebeurt met het spiegelbeeld P'. 4 We zetten het spoor van P' af en bepalen de meetkundige plaats van P' als P over de rechte a beweegt. We maken een aanvinkvakje, waarmee we de meetkundige plaats al dan niet kunt tonen. 5 We maken een actieknop om alle sporen te verwijderen. Hiervoor klikken we op in de voorlaatste knoppenreeks van de werkbalk. We vullen als titel in ‘Spoor verwijderen’ en als GeoGebra-script ‘Inzoomen[1]’. (5)

Constructie van de bissectrice van een hoek met passer en liniaal

- Hier is de bedoeling om enkel een demo-applet te maken. Dit gaat als volgt 1 We tekenen een hoek α met een schuifknop, zodat we hem kunnen aanpassen.

45

13.2

Dynamisch illustreren van begrippen en eigenschappen met GeoGebra

(6)

Illustratie van een draaiing (2

de

jaar)

- Het grote voordeel van GeoGebra is dat de meetkunde dynamisch wordt. Zo kunnen we nu figuren echt zien draaien of verschuiven. We kunnen dit illustreren met de volgende applet, die we zelf kunnen maken of die we de leerlingen kunnen laten maken. 1 Teken een vijfhoek ABCDE in en kies een punt S. 2 Voer een hoek a = 60° in. Maak een schuifknop bij a . Laat a veranderen van 0° tot 360° met een stapgrootte van 1°. 3 Draai de vijfhoek over de hoek α rond het punt S. De gedraaide vijfhoek noemen we A'B'C'D'E'. 4 Verbind A met A’, B met B’, C met C ' , D met D’ en E met E’ d.m.v. cirkelbogen met middelpunt S (in groene stippellijn). 5 Voer een getal r = 0,5 in. Maak een schuifknop bij r . Laat r veranderen van 0 tot 1 met een stapgrootte van 0,01. 6 Draai de vijfhoek over de hoek r . a rond het punt S. De gedraaide vijfhoek noemen we A"B"C"D"E". 7 Laat r veranderen van 0 tot 1 d.m.v. de schuifknop of door rechts te klikken op de schuifknop en bij de

46

eigenschappen van r te klikken op ‘Animatie aan’. 8 Laat deze animatie automatisch starten met een Start-knop. Dit is een actieknop met als titel ‘Start’ en als Geogebra-script ‘StartAnimatie[r]’. 9 Maak een Reset-knop. Dit is een actieknop met als titel ‘Reset’ en als GeoGebra-script ‘r=0’. (7)

Som van de hoeken van een driehoek (2

de

Archimedes maakte hierbij gebruik van regelmatige veelhoeken die ingeschreven en omgeschreven waren aan een cirkel met straal 0,5. De omtrek van die cirkel is 2 . 0,5 . p = p .

jaar)

Archimedes vertrok van een regelmatige zeshoek die ingeschreven was in die cirkel en vond als omtrek 6 . 0,5 = 3. Voor de omgeschreven zeshoek vond hij als benadering van de omtrek 6 . 0,57 735 = 3,4641.

We willen de leerlingen op een dynamische manier laten inzien dat de som van de hoek van een driehoek gelijk is aan 180°. De leerlingenopdracht kan bijv. als volgt luiden. 1 Teken in GeoGebra een willekeurige driehoek ABC, bepaal de grootte van elke hoek en bepaal de som van die hoeken. 2 Versleep de punten A, B en C. Wat gebeurt er met de som van de hoeken? 3 Verklaar de eigenschap d.m.v. de demo-applet.

Daarna verdubbelde hij het aantal zijden tot 12, 24, 48 en 96, en berekende opnieuw de omtrek van de in- en de omgeschreven veelhoek. Zo kwam hij tot het besluit dat 3,14103 < p < 3,14271 . Met Geogebra kunnen we dit procédé nog verder zetten en zo nog betere benaderingen van p vinden. - Hier werken we best met een demo-applet. We beginnen met een cirkel te tekenen met middelpunt O (0, 0) en straal 0,5. We passen het assenstelsel aan zodat de cirkel groot genoeg is op het scherm. We moeten nu n-hoeken construeren, waarbij n achtereenvolgens gelijk is aan 6, 12, 24,... , d.w.z. dat ݊ ൌ ͸Ǥ ʹ௘௫௣ , waarbij exp (de exponent) achtereenvolgens gelijk is aan 0, 1, 2, 3,... We stellen daarom exp = 1 als beginwaarde en maken van exp een schuifknop met minimum 0, maximum 8 en stapgrootte 1. Dan voeren we in: ‘n = 6*2^exp’. Bij de schuifknop zetten we niet het label met de waarde van exp, maar een tekst waarin we de waarde van n weergeven. Dan tekenen we de ingeschreven n-hoek. Als eerste punt van deze n-hoek voeren we in: ‘A = (0.5,0)’. Als tweede punt voeren we in: ‘B = Rotatie(A,360°/n)’. Dan tekenen we de regelmatige veelhoek, bepaald door de punten A en B.

Om de demo-applet te maken kunnen we als volgt te werk gaan: 1 We tekenen een driehoek ABC en bepalen de middens van de zijden (D is het midden van [BC], E is het midden van [AC] en F is het midden van [AB]. G is een willekeurig punt binnen driehoek ABC. We tekenen de vierhoeken FGDB en GECD. 2 We definiëren een draaihoek, waarvan de schuifbalk gaat van 0° tot 180°. 3 We laten de vierhoeken FGDB en GECD draaien over de draaihoek door de schuifknop te bedienen of te werken met ‘Animatie aan’. We maken een Start-knop om de animatie automatisch te laten starten. Hiertoe gebruiken we als script ‘StartAnimatie[draaihoek]’. 4 We duiden de hoeken van de driehoek ABC aan en de overeenkomstige hoeken in de gedraaide vierhoeken. 5 We maken een Reset-knop om de draaihoek terug gelijk te maken aan 0°. (8)

Benaderen van ߨ door Archimedes (1

ste

Om de omgeschreven n-hoek te tekenen, trekken we de raaklijnen t A en tB in A en B aan de cirkel. Deze snijden elkaar in het punt D, een eerste punt van de omgeschreven n-hoek. Een tweede punt D’ vinden we door het punt D te spiegelen om het punt A. Dan tekenen we de regelmatige veelhoek, bepaald door de punten D' en D. De beide raaklijnen verbergen we. We berekenen nu de omtrek pn van de ingeschreven cirkel met het commando ‘p_n=n*a’, waarbij a de zijde is van de ingeschreven zeshoek. Op analoge manier bepalen we de omtrek Pn van de omgeschreven veelhoek. We voeren nu de waarden van pn en Pn in als tekst in het tekenvenster. Als we exp laten toenemen van 1 tot 8, zal n als waarden 6, 12, 24, ..., 1536 aannemen. Voor n = 1536 vinden we pn = 3,14159 en Pn = 3,1416 . - We kunnen deze applet ook ‘geanimeerd’ laten werken. Hiertoe voeren we een actieknop ‘Start’ in met als script ‘StartAnimatie[exp]’ en een actieknop ‘Reset’ met als script ‘exp=0’

jaar)

- De eerste die een benadering vond voor ߨ met 3 beduidende cijfers was Archimedes van Syracuse (287211 v. Chr.).

47

(9)

Inhoud van een piramide (2

de

jaar)

We laten zien hoe je een kubus met ribbe a in drie gelijke piramiden kunt verdelen. Daaruit volgt dan dat de de inhoud van elke piramide 1/3 is van de inhoud van de kubus.

48

We maken hiertoe een demo-applet in GeoGebra 5.0. De grote lijnen van de opbouw van deze applet gaan als volgt. 1 We tekenen de kubus ABCDEFGH met A (4, 0, 0), B (4, 4, 0) en het grondvlak ABCD loodrecht op de z-as. 2 We verdelen deze kubus in 3 piramiden ABCDE, BCGFE en CDHGE zoals op nevenstaande tekening. 3 We definiëren drie getallen r , s en t die tussen 0 en 1 liggen en drie vectoren u (0, -7, 0), v (0, 8, 0) en w (-16, 0, 0). 4 We verschuiven de piramide ABCDE over de vector r . u, de piramide BCGFE over de vector s . v en de piramide CDHGE over de vector t . w. 5 We laten r, s en t veranderen van 0 tot 1 d.m.v. de schuifknoppen of door rechts te klikken op de schuifknoppen en bij de eigenschappen van r te klikken op ‘Animatie aan’. 6 We maken een actieknop ‘Reset’ om r, s en t opnieuw op 0 te zetten.

op de plek waar de som van de afstanden tot de zijden het kleinst is, omdat hij aan alle drie de stranden evenveel surft. Waar moet hij zijn hut bouwen? Hoe kun je dit verklaren? (11)

de

Vierendelen (2 jaar) - De opgave voor de leerlingen luidt als volgt: Hiernaast zie je een plaat van balsahout in H-vorm. Aan jou de taak om het hout te zagen langs de roosterlijnen, en wel op de manier dat vier congruente stukken ontstaan die door rotatie in elkaar kunnen overgaan. Geef ook aan hoe je de stukken moet roteren om ze in elkaar te laten overgaan. De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun uitkomst met GeoGebra.

- Voor de demo-applet verwijzen we naar het ‘Overzicht constructiestappen’. 13.3 (10)

Grafisch controleren van oplossingen met GeoGebra Stelling van Viviani (2

de

(12)

Coördinaten van punten in de ruimte (1

jaar)

ste

jaar) In het assenstelsel zijn twee kubussen met ribbe 1 getekend. Bepaal de coördinaat van de punten A, B, C, D, E, F, G, P, Q, R, T, U, V en W. De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun oplossing met de applet. Bij het maken van de demo-applet creëren we de onderste kubus door het commando ‘Kubus[A,B,zAs]’ en de bovenste kubus door het commando ‘Kubus[P,O,zAs]’.

Vincenzo Viviani - Een surfer is gestrand op een eiland in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Hij wil een hut bouwen op de plek waar de som van de afstanden naar de zijden het kleinst is, omdat hij aan alle drie de stranden evenveel surft. Waar moet hij zijn hut bouwen? Het verrassend resultaat is dat de hut overal kan gebouwd worden. Deze eigenschap "In een gelijkzijdige driehoek is de som van de afstanden van een willekeurig punt binnen de driehoek tot de drie zijden van de driehoek constant" is vernoemd naar de Italiaanse wiskundige en wetenschapper Vincenzo Viviani (1622-1703), een leerling van Torricelli. Galileo Galilei was zo onder de indruk van Viviani's talent, dat hij hem naar zijn huis in Arcetri, ten zuiden van Firenze, haalde om met hem te werken. Van de stelling van Viviani bestaat ook een mooi visueel bewijs, gevonden door Ken-Ichiroh Kawasaki in 1966. - Om een demo-applet te maken tekenen we eerst de gelijkzijdige driehoek ABC (veelhoek1). Daarna leggen we het punt P binnen de driehoek met het commando ‘P=PuntBinnen[veelhoek1]’. We trekken de loodlijnen uit P op de drie zijden van de driehoek, bepalen de snijpunten van deze loodlijnen met de zijden, tekenen de lijnstukken p, q en r die P verbinden met deze snijpunten en verbergen daarna de loodlijnen. We tekenen ook de hoogte h van de driehoek op de hoogtelijn uit C op [AB]. Ten slotte tekenen we ook nog 3 hulplijnen in stippellijn, nl. de lijnstukken [PA], [PB] en [PC]. We kunnen ook twee aanvinkvakjes maken, één om de hoogte te tonen of te verbergen en één om de hulplijnen te tonen of te verbergen.

(13)

de

Bol in kubus (2 jaar) Een bol zit in een zo klein mogelijke kubusvormige doos. Welk percentage van de inhoud van de kubus wordt door de bol ingenomen? De leerlingen lossen het probleem op zonder GeoGebra en controleren hun resultaat met de applet. Het is hier ook heel mooi om de applet te bekijken in 3D-zicht. Bij het maken van de demo-applet creëren we - de cirkel cx door het bevel ‘Cirkel[M,3,xAs]’, - de cirkel cy door het bevel ‘Cirkel[M,3,yAs]’, - de cirkel cz door het bevel ‘Cirkel[M,3,zAs]’.

- We kunnen ook een webpagina maken voor de leerlingen met de volgende tekst. Een surfer is gestrand op een eiland in de vorm van een gelijkzijdige driehoek ABC. Hij wil een hut bouwen

49

50

13.4 (14)

(15)

Problemen oplossen met behulp van GeoGebra Merkwaardige lijnen in een driehoek (1

ste

ste

Constructie van een driehoek met drie gegeven merkwaardige punten (1

jaar)

jaar)

- Zwaartelijnen, hoogtelijnen, middelloodlijnen en bissectrices van een driehoek hebben als eigenschap dat ze telkens door één punt gaan: het zwaartepunt, het hoogtepunt, het middelpunt van de omgeschreven cirkel en het middelpunt van de ingeschreven cirkel. We laten de leerlingen dit onderzoeken aan de hand van GeoGebra. We laten ze ook onderzoeken of deze punten altijd binnen de driehoek liggen of dat ze ook buiten of op de driehoek kunnen liggen. - Als we de volledige applet door de leerlingen laten uitvoeren, kan de opgave er als volgt uit zien.

- Een driehoek wordt bepaald door drie punten. Dit hoeven niet noodzakelijk de hoekpunten te zijn. In de volgende opgaven wordt de driehoek bepaald door drie punten, die niet alle hoekpunten zijn. De bedoeling is om met die gegeven punten de driehoek te construeren. 1 Construeer de driehoek ABC als gegeven is: - een hoekpunt: A (0, 9), - het voetpunt van de hoogtelijn uit A op [BC] : H A (0, 0)

- het voetpunt van de hoogtelijn uit B op [AC] : H B ( ǡ ଵ଼ଵ 2 Construeer de driehoek DEF als gegeven is: - een hoekpunt: D (0, 9) - een hoekpunt: E (-5, 0) ହ଴ - het snijpunt van de hoogtelijnen: H (0, ).

ଷଵ଴ ଵଷହ଴

1 2 3 4 5 6

Teken een driehoek ABC Teken de 3 zwaartelijnen van de driehoek in een rode stippellijn. Wat valt je op? Teken de 3 hoogtelijnen van de driehoek in een blauwe stippellijn. Wat valt je op? Teken de 3 middelloodlijnen van de driehoek in een groene stippellijn. Wat valt je op? Teken de 3 binnendeellijnen van de driehoek in een zwarte stippellijn. Wat valt je op? Onderzoek door de punten A, B en C te verslepen welke van de volgende punten buiten de driehoek kunnen liggen: (a) Het snijpunt van de zwaartelijnen (b) Het snijpunt van de hoogtelijnen (c) Het snijpunt van de middelloodlijnen (d) Het snijpunt van de binnendeellijnen Bij welk soort van driehoeken is dit het geval? 7 Welke van de volgende punten kunnen op de driehoek liggen? (a) Het snijpunt van de zwaartelijnen (b) Het snijpunt van de hoogtelijnen (c) Het snijpunt van de middelloodlijnen (d) Het snijpunt van de binnendeellijnen Bij welk soort driehoeken is dit het geval? Waar precies liggen die punten dan?

ଵ଼ଵ

).

ଽ

- Hier is het aangewezen om te werken met een webpagina die door de leerlingen kan gebruikt worden. Op deze applet staan enkel de gegevens. We werken hier uiteraard met 2 tekenvensters. - In de demo-applet is alles volledig opgelost. Demonstratie gebeurt best met de navigatiebalk. (16)

ste

Grafieken van de remweg in functie van de tijd (1

jaar)

- Een automobilist die remt, komt maar na een zekere afstand tot stilstand. Deze afstand noemt men het remspoor. Op een testbaan meet men de remsporen van een nieuw type auto voor verschillende snelheden. De resultaten zijn samengevat in de volgende tabel.

- Het is wellicht interessanter, om tijd te winnen, om de leerlingen een webpagina te laten gebruiken om de vragen op te lossen. Deze bevat de constructies 1 tot 5 van hierboven. We maken ook 4 aanvinkvakjes, waarmee we resp. de zwaartelijnen, de hoogtelijnen, de middelloodlijnen en de bissectrices zichtbaar of onzichtbaar kunnen maken.

snelheid (in km/u) remweg (in m)

- We kunnen uiteraard ook een demo-applet maken. Ook daarin is het best om met aanvinkvakjes te werken voor de verschillende soorten van merkwaardige lijnen.

20

40

60

80

100

120

5

15

30

50

75

105

Het is de bedoeling om de tabel om te zetten in een grafische voorstelling. Daartoe kunnen we zowel een gebroken lijn als een vloeiende kromme gebruiken. - De leerlingenopdracht kan als volgt luiden. 1 Plaats de snelheden en de remwegen in het rekenblad. De snelheden komen in de cellen A1 tot A6 en

51

52

de remwegen in de cellen B1 tot B6. 2 Teken een assenstelsel en een rooster zodat de x-waarden kunnen variëren van -10 tot 150 en de y-waarden van -5 tot 125. Zet labels op de x-as en de y-as die de grootheden aanduiden. 3 Klik in het rekenblad de 12 waarden aan, klik binnen dit gebied op de rechtermuisknop en kies ‘Creëer veelhoekslijn’. In het tekenvenster krijg je nu een gebroken lijn door de punten A, B, C, D, E en F. 4 Teken in het groen een vloeiende lijn door A, B, C, D, E en F met het commando ‘VeeltermRegr[{A,B,C,D,E,F},2]’. 5 Wat is de remweg bij een snelheid van 50 km/u? Bij welke snelheid is de remweg 75 m? - Je kan ook een demo-applet maken. Bij het demonstreren is het interessant om te werken met de ‘Navigatiebalk voor constructieoverzicht’, die je vindt onder ‘Beeld’ op de menubalk.

- De leerlingen lossen dit probleem op aan de hand van een applet. - We kunnen deze applet volledig door de leerlingen laten tekenen, maar we kunnen ook een webpagina maken, waarop de driehoeken ABC en DEF reeds getekend zijn. - Maken we een demo-applet, dan kunnen we de hulplijnen én de verklaring (als tekst) toevoegen en twee aanvinkvakjes maken om die te tonen of te verbergen. 13.5

Statistisch onderzoeken met GeoGebra

(18)

Staafdiagram, gemiddelde en mediaan (1

ste

jaar)

- De 20 leerlingen van klas 1a behaalden de volgende punten op een test van wiskunde. 9 10

6 8

7 7

7 6

6 5

8 5

8 5

7 5

4 7

2 8

Het is de bedoeling dat de leerlingen een frequentietabel en een staafdiagram te tekenen en het gemiddelde en de mediaan berekenen door gebruik te maken van GeoGebra. - De leerlingenopdracht kan er dan als volgt uitzien. 1 2 3 4

Plaats de resultaten in het rekenblad in de cellen A1 tot A20. Rangschik de getallen in een lijst van klein naar groot door het commando ‘Sorteer(A1:A20)’. Maak een frequentietabel met het commando ‘Frequentietabel[A1:A20]’. Maak een staafdiagram, waarbij de breedte van elke staaf gelijk is aan 0,5. Gebruik hiertoe het commando ‘Staafdiagram[A1:A20,0.5]’. 5 Bereken het gemiddelde en de mediaan van de resultaten. Stel gemiddelde en mediaan voor als punten G en M op de x-as. 6 Het resultaat 2 noemen we een uitschieter. Verander dit resultaat in 0 en bekijk het effect op het gemiddelde en de mediaan. Welk van de twee is gevoelig voor uitschieters: het gemiddelde of de mediaan?

(17)

Verlengen van de zijden van een driehoek (2

de

jaar)

- We vertrekken van een willekeurige driehoek ABC. We verlengen de zijde [AB] met een stuk dat even lang is langs de kant van B, daarna verlengen we de zijde [BC] met een stuk dat even lang is langs de kant van C en ten slotte verlengen we de zijde [CA] met een stuk dat even lang is langs de kant van A. Zo bekomen we de driehoek DEF. Wat is de verhouding van de oppervlakten van de driehoeken DEF en ABC?

- Uiteraard kunnen we ook hier een demo-applet maken.

53

54

(19)

de

Schijf- en strookdiagram (2 jaar) Een onderzoek naar GSM-gebruik geeft nevenstaande resultaten. De bedoeling is om met GeoGebra een schijfdiagram en een strookdiagram te maken van deze resultaten. Vermits er geen rechtstreekse commando’s zijn in GeoGebra 4.2 om schijfdiagrammen of strookdiagrammen te maken, is het moeilijk om deze applet door de leerlingen te laten maken.

Om de demo-applet op te bouwen werken we als volgt: - We berekenen in het rekenblad de procenten van het GSM-gebruik door de aantallen te delen door de som en te vermenigvuldigen met 100. - We berekenen in het rekenblad de hoeken van de sectoren van het schijfdiagram door de procenten te vermenigvuldigen met 360° en te delen door 100. - Het opbouwen van het schijfdiagram is eenvoudiger. De hoekpunten van de onderste rechthoek zijn ‫ܣ‬଴ ሺͲǡ Ͳሻǡ ‫ܤ‬଴ ሺͷǡͲሻǡ ‫ܤ‬ଵ ሺͷǡ ‫ʹܤ‬ሻ en ‫ܣ‬ଵ ሺͲǡ ‫ʹܤ‬ሻ, waarbij B2 de cel is in het rekenblad waar het eerste aantal staat. De hoekpunten van de volgende rechthoek zijn: ‫ܣ‬ଵ ǡ ‫ܤ‬ଵ ǡ ‫ܤ‬ଶ ൌ ‫ܤ‬ଵ ൅ ሺͲǡ ‫͵ܤ‬ሻen ‫ܣ‬ଶ ൌ ‫ܣ‬ଵ ൅ ሺͲǡ ‫͵ܤ‬ሻ, waarbij B3 de cel is in het rekenblad waar het tweede aantal staat. De andere rechthoeken bouwen we op analoge manier op. ste

- We tekenen nu de cirkel van het schijfdiagram en het startpunt S0 van de boog van de 1 cirkelsector. Het eindpunt S1 van deze boog vinden we dan door ‘Rotatie[S0, D2, O]’ waarbij D2 de cel is in het rekenblad waar de eerste hoek staat (109,54°) en O het middelpunt is van de cirkel. - De cirkelsector tekenen we nu met het bevel ‘CirkelsectorMetMiddelpunt[O, S0, S1]’. De andere sectoren worden op analoge manier opgebouwd.

55

13.6

Berekenen met CAS

(20)

Exact en benaderend berekenen met CAS (1

ste

en 2

de

jaar)

Hiervan vind je 26 voorbeelden in 11.4. Het is de bedoeling dat de leerlingen dit zelf kunnen uitvoeren.

56

Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad

Recommend Documents