Functies van de tweede graad Waarschijnlijk heb je wel al eens gehoord van functies van de eerste graad. Deze functies hebben het functievoorschrift y = ax + b en zien er als het volgt uit:
Zoals je ziet stellen deze functies gewoonweg rechten voor. Maar zoals je natuurlijk al wel vermoedde zal een functie van de tweede graad er anders uitzien, het voorschrift van zo’n functie ziet er als volgt uit: y = x2 Dit is de simpelste vorm van een functievoorschrift van de tweede graad.Op het einde van dit documentje ga je weten hoe je een functievoorschrift dat er zo uitziet moet begrijpen: y = ax2 + bx + c Maar laten we eerst beginnen met het gemakkelijkste. Ik teken even het voorschrift dat ik hierboven heb geschreven (y = x2)
Zoals je ziet heeft deze functie een soort van kegelvorm, dit soort figuur noemen we een parabool, meer bepaald deze figuur noemt men een dalparabool. Als we nu van dat voorschrift het volgende maken: y = -x2
Zoals je ziet krijgen we een omgekeerde dalparabool dit soort parabool noemen we een bergparabool. Maar waarom is dat nu een bergparabool? De reden brengt ons naar het volgende: y = ax2 Die “-” die ik voor de x2 had geplaatst stelde eigenlijk de “a” voor die gelijk was aan -1 en bij het andere voorschrift was de “a” gelijk aan 1. Hierdoor kunnen we stellen dat als de grafiek een dalparabool is wanneer a > 0 en een bergparabool is wanneer a < 0 Maar die “a” vertelt ons nog andere dingen over de parabool, ik toon het aan met de volgende twee functies:
y = 2x2!
!
!
!
!
!
y = ½!x2
Zoals je ziet is de grafiek waarbij a groter is smaller dan de grafiek waarbij “a” het kleinst is. Pas wel op het gaat hier over de absolute waarde van a. We kunnen hierdoor het volgende zeggen: Naarmate de absolute waarde van “a” groter is, wordt de grafiek smaller Bij dit soort voorschrift is de top ook altijd T (0,0). Het maximum bij een bergparabool is 0 en het minimum bij een dalparabool is 0, bij beide grafieken wordt dit bereikt in x = 0
Nu we de gemakkelijkste grafieken gevonden hebben, kunnen we overgaan naar de iets moeilijkere dingen. We gaan nu het functievoorschrift y = ax2 + ß
Zoals je ziet is de grafiek naar boven opschoven, dit is nu precies wat die “beta” daar staat te doen, beta zorgt ervoor dat het minimum bij een dalparabool en het maximum bij een bergparabool gaat stijgen of dalen. In dit geval was het volledige voorschrift: y = ½!x2 + 3 Dit wil zeggen dat de grafiek met 3 naar boven is geschoven hierdoor wordt de top ook T(0,ß) Nu wie die “beta” gezien hebben gaan we die even weglaten en gaan we over naar y = a (x - α)2
Zoals je misschien al kan raden gaat die “alpha” de grafiek juist opschuiven naar links of naar rechts. Ik zal weer aantonen hoe het juist in elkaar zit met een tekening:
Zoals je ziet is de grafiek met voorschrift y = ½(x-3)^2 naar rechts geschoven met 3. Dit komt omdat de alpha positief is α = 3 , pas hier wel op met het minteken dat in de formule staat hier is dus α niet negatief. Hier is dan ook de top gelijk aan T(α,0). Oké nu we dat hebben gehad kunnen we eindelijk overgaan tot de combinatie van alpha en beta, je kunt het al raden de top zal waarschijnlijk T(α,β) zijn.
y = a(x-α) + β
Deze grafiek heeft de volgende functie: y = ½ (x - 3)2 + 2 Je raad het misschien al maar deze functie zal de volgende eigenschappen hebben: - top T(α , β) - bereik = [β , +∞[ - domein = R - dalparabool (a > 0) Oké, nu wat dat eindelijk achter de rug hebben kunnen we de echte functies van de tweede graad helemaal ontcijferen.
y = ax2 + bx + c Om dit functievoorschrift helemaal te kunnen ontcijferen moeten we het functievoorschrift omvormen tot de vorm die ik hierboven heb onthult. Dit doen we aan de hand van een klein bewijs dat ik hier niet helemaal uit de doeken ga doen, maar je komt uiteindelijk op de volgende uitkomst:
✓
a x
✓
b 2a
◆◆2
D + 4a
Je herkent hier waarschijnlijk wel de volgende formule in a(x - α) + β, en dat is eigenlijk ook de bedoeling want als je het dan goed bekijkt dan krijg je de volgende dingen voor alpha en beta.
↵=
b 2a
=
D 4a
Mocht je het nog niet doorhebben die “D” staat voor discriminant dat gelijk is aan b2 - 4ac Op deze manier kun je dus alles gaan uitrekenen en vertellen over de grafiek. Je kunt zeggen wat de top is, wat het minimum is en het maximum, wat het bereik is, wat het domein is, of het het berg of dalparabool is... Je moet gewoon heel goed de bovenstaande formules goed onthouden en hetgeen dat ik op de vorige pagina’s beschreven heb goed in je achterhoofd houden. Zo simpel is het!
