TRANSFORMASI LAPLACE
1.
Transformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan linier diferensial. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat dirubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar kompleks. Tranformasi Laplace dari
f (t)
didefinisikan oleh
L f ( t ) = F ( s ) = ∫0∞ f ( t ) e-st dt
(1)
Tabel 8.1 Pasangan – Pasangan Transformasi Laplace
NO
f (t)
F (s )
1
impulsa satuan δ ( t )
1
2
Tangga satuan 1( t )
3
t
4
n! s n+1 te-at
1 s 1 s2 n! s n+1 1
5
(s + a ) 6
sin ωt
2
ω s + ω2 s 2 s + ω2 n! s n+1 n! 2
7
cos ωt
8
t n ( n = 1,2,3,…)
9 10
t n e-at
( n = 1,2,3,…)
(
1 -at -bt e -e b-a
)
1
( s+a )
n+1
1
( s + a )( s + b )
11 12 13
(
1 be-bt - ae-at b-a
)
s
( s + a )( s + b )
1 1 1+ be-bt - ae-at ab a-b -at e sin ωt
(
)
1 s ( s + a )( s + b ) ω
(s + a ) 14
e-at cos ωt
+ ω2
s+a
(s + a ) 15
2
1 at - 1 + e-at 2 a
2
+ ω2
1 s (s + a ) 2
Adapun fungsi Matlab untuk menghitung trasnsformasi Laplace ini adalah L = laplace(F) L = laplace(F,t) L = laplace(F,w,z) Sedangkan fungsi Matlab untuk menghitung trasnsformasi Laplace balik adalah F = ilaplace(L) F = ilaplace(L,y) F = ilaplace(L,y,x) Contoh 1 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f ( t ) pada persamaan (2) s/d (5) berikut a.
f ( t ) = 10t
(2)
b.
f ( t ) = 6t 2
(3)
c.
f ( t ) = 6e-5t
(4)
d.
f ( t ) = 6e-5t cos 4t
(5)
Jawab : Kode Matlab untuk menyelesaikan fungsi f ( t ) pada persamaan (2) s/d (5) adalah clc clear all close all % syms s t f1 = 10*t 2
f2 = 6*(t^2) f3 = 6 * exp(-5*t) f4 = 6 * exp(-5*t) * cos (4*t) % L1 = Laplace(f1) L2 = Laplace(f2) L3 = Laplace(f3) L4 = Laplace(f4) pretty(L4) Hasil program f1 = 10*t f2 = 6*t^2 f3 = 6*exp(-5*t) f4 = 6*exp(-5*t)*cos(4*t) L1 = 10/s^2 L2 = 12/s^3 L3 = 6/(s+5) L4 = 3/8*(s+5)/(1/16*(s+5)^2+1) Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (6) s/d (9) berikut 10 s2
(6)
12 s3
(7)
a.
L ( f ( t ) ) = L (10t ) =
b.
L ( f ( t ) ) = L 6t 2 =
c.
L ( f ( t ) ) = L 6e-5t =
d.
L ( f ( t ) ) = L 6e-5t cos 4t =
( ) (
(
)
6 s+5
(8)
( 3 8)( s + 5 )
) (1 16 )( s + 5) (
3
2
)
+1
(9)
Contoh 2 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f ( t ) pada persamaan (10) berikut
f ( t ) = e-at
(10)
Jawab : Kode Matlab untuk menyelesaikan fungsi f ( t ) pada persamaan (10) adalah clc clear all close all % syms t a x; f = exp(-a*t) y = laplace(f,x) Hasil program f = 1/exp(a*t) y = 1/(a + x) Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (11) berikut
( )
L ( f ( t ) ) = L e-at =
1 a+x
(11)
Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik dari persamaan (12) berikut 6 + 2s + 21 2s 2 + 21s + 6 Y ( s ) = s2 = s + 8s + 12 s s 2 + 8s + 12
(
)
(
)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (12) adalah clc clear all close all % syms s f1 = (2*s^2) + (21*s) + (6); f2 = (s^3) + (8*s^2) + (12*s); f = f1/f2 % L = ilaplace(f) 4
(12)
Hasil program f = (2*s^2+21*s+6)/(s^3+8*s^2+12*s) L = -2*exp(-6*t)+7/2*exp(-2*t)+ 1/2 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (13) berikut 2s 2 + 21s + 6 L−1 ( F ( s ) ) = L−1 2 s s + 8s + 12
(
)
7 1 = -2e-6t + e-2t + 2 2
(13)
Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik dari persamaan (14) berikut F (s ) =
s+3 s + 5s 2 +12s + 8 3
(14)
Kode Matlab untuk menghitung persamaan (14) adalah clc clear all close all % syms s f1 = (s + 3); f2 = (s^3) + (5*s^2) + (12*s) + 8; f = f1/f2 % L = ilaplace(f) Hasil program f = (s+3)/(s^3+5*s^2+12*s+8) L = 2/5*exp(-t)-2/5*exp(-2*t)*cos(2*t)+3/10*exp(2*t)*sin(2*t) Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (15) berikut s+3 3 -2t 2 -t 2 -2t L−1 ( F( s) ) = L−1 3 = - e − e cos ( 2t ) + e sin ( 2t ) 2 5 10 s + 5s +12s + 8 5
(15)
Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik dari persamaan (16) berikut F (s ) =
10
( s + 2 )( s +1)
(16)
3
5
Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (16) adalah clc clear all close all % syms s f1 = 10; f2 = (s^4) + (5*s^3) + (9*s^2) + (7*s) + 2; f = f1/f2 % L = ilaplace(f1/f2) Hasil program f = 10/(s^4+5*s^3+9*s^2+7*s+2) L = -10*exp(-2*t)+5*(2+t^2-2*t)*exp(-t) Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (17) berikut s+3 3 -2t 2 -t 2 -2t L−1 ( F( s) ) = L−1 3 = - e − e cos ( 2t ) + e sin ( 2t ) 2 5 10 s + 5s +12s + 8 5
(17)
Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, rubah bentuk persamaan (18) ke dalam bentuk ekspansi fraksi parsial serta carilah transformasi Laplace balik dari persamaan (18) tersebut F (s ) =
1 s + 5s3 + 7s 2 4
Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (18) adalah clc clear all close all % a = [ 0 0 0 0 1]; b = [ 1 5 7 0 0]; [r,p,k] = residue(a,b) Hasil program r = 0.0510 - 0.0648i 0.0510 + 0.0648i -0.1020 0.1429 p = 6
(18)
-2.5000 + 0.8660i -2.5000 - 0.8660i 0 0 k = [] Hasil program persamaan (18) dirubah menjadi bentuk persamaan (19) berikut r r1 r r + 2 + 3 + 4 s - p1 s - p 2 s - p3 s - p 4
(19)
( 0.0510 - j0.0648) ( 0.0510 + j0.0648 ) −0.1020 0.1429 + + + s - ( 2.500 + j0.8660 ) s - ( -2.500 - j0.8660 ) s-0 s-0
(20)
F (s ) =
F (s ) =
Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (20) adalah % Invers transformasi Laplace syms s f = 1/(s^4 + 5*s^3 + 7*s^2) pretty(ilaplace(f)) Hasil program /
/
|
1/2
|
/
1/2
|
| 3
\
11 3
1/2
| 3
\ \ t | |
sin| ------ | |
t |
\
2
/ |
5 | cos| ------ | + --------------------- | t
\
\
2
/
15
/
5
- + ------------------------------------------- - -7
/ 5 t \
49
49 exp| --- | \
2
/
Contoh 7 : Fungsi alih pada persamaan (21) berikut F (s ) =
1 s + 5s3 + 7s 2 4
(21)
Dengan menggunakan Matlab, tentukan f ( t ) dari fungsi alih persamaan (21) berikut Jawab : 7
Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (21) adalah clc clear all close all % syms s f = 1/((s^4)+ (5*s^3) + (7*s^2)) y = ilaplace(f) Hasil program f = 1/(s^4+5*s^3+7*s^2) y = 1/7*t+5/49*exp(5/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+11/147*3^(1/2)*exp(5/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)-5/49 Contoh 8 : Fungsi alih pada persamaan (22) berikut F (s) =
5s 2 + 3s+ 6 s 4 + 3s3 + 7s 2 + 9s + 12
(22)
Dengan menggunakan Matlab, tentukan f ( t ) dari fungsi alih tersebut Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (22) adalah clc clear all close all % syms s f = (5*s^2+ 3*s + 6)/(s^4 + 3*s^3 + 7*s^2 + 9*s + 12) y = ilaplace(f) Hasil program f = (5*s^2+3*s+6)/(s^4+3*s^3+7*s^2+9*s+12) y = -15/14*exp(3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t)+11/14*7^(1/2)*exp(3/2*t)*sin(1/2*7^(1/2)*t)+15/14*cos(3^(1/2)*t)+3/14*3^( 1/2)*sin(3^(1/2)*t)
Contoh 8.9 : Fungsi alih pada persamaan (23) s/d (26) berikut a.
F (s ) =
s s ( s + 2 )( s + 6 )
(23) 8
b.
F (s) =
s s ( s + 5)
(24)
c.
F (s ) =
3s + 1 s +2s +9
(25)
d.
F (s ) =
s - 25 s ( s + 3s + 20 )
(26)
2
2
2
Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik dari fungsi alih tersebut Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (23) s/d (26) adalah clc clear all close all % syms s disp('Solusi a') f1 = s/(s*((s + 2)*(s + 6))); y1 = ilaplace(f1) % disp('Solusi b') f2 = 1/((s^2)*(s + 5)); y2 = ilaplace(f2) % disp('Solusi c') f3 = 3*s + 1; f4 = s^2 + 2*s + 9; f5 = f3/f4; y3 = ilaplace(f5) % disp('Solusi d') f5 = s - 25; f6 = s*(s^2 + 3*s + 20); f7 = f5/f6; y4 = ilaplace(f7) Hasil program Solusi a y1 = 1/2*exp(-4*t)*sinh(2*t) Solusi b y2 = 1/5*t-2/25*exp(-5/2*t)*sinh(5/2*t)
9
Solusi c y3 = 3*exp(-t)*cos(2*2^(1/2)*t)-1/2*2^(1/2)*exp(t)*sin(2*2^(1/2)*t) Solusi d y4 = -5/4+5/4*exp(3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(3/2*t)*sin(1/2*71^(1/2)*t) Contoh 10 : Fungsi alih pada persamaan (27) berikut F (s ) =
(s
2
+ 9s + 7 ) ( s + 7 )
( s + 2 )( s + 3) ( s 2
+ 12s + 150 )
(27)
Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik dari fungsi alih tersebut Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (27) adalah clc clear all close all % syms s G1 = (s^2 + 9*s + 7)*(s + 7); G2 = (s + 2)*(s + 3)* (s^2 + 12*s + 150); % G = G1/G2; % y = ilaplace(G) pretty(y) Hasil program y = 2915/3198*exp(6*t)*cos(114^(1/2)*t)+889/20254*114^(1/2)*exp(6*t)*sin(114^(1/2)*t)-7/26*exp(-2*t)+44/123*exp(-3*t)
10
