Transformasi Fourier Quaternion yang Didasarkan pada Bidang Ortogonal Split dengan Satu atau Dua Quaternion Murni

Transformasi Fourier Quaternion yang Didasarkan pada Bidang Ortogonal Split dengan Satu atau Dua Quaternion Murni Sukardi, Mawardi Bahri, dan Naimah Aris

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS) Jl. Perintis Kemerdekaan KM 10 Makassar 90245, Indonesia [email protected]

The Quaternion Fourier Transforms Based on Orthogonal Planes Split with One or Two Pure Quaternion Sukardi, Mawardi Bahri, and Naimah Aris

Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Hasanuddin University (UNHAS) Jl. Perintis Kemerdekaan KM. 10 Makassar 90245, Indonesia [email protected]

Abstrak Transformasi Fourier quaternion merupakan metode yang digunakan untuk mengetahui sinyal yang berupa quaternion. Dalam penelitian ini akan dikembangkan transformasinya menjadi sebuah transformasi yang berdasarkan quaternion split sehingga transformasinya dinamakan transformasi Fourier quaternion yang didasarkan pada bidang ortogonal split dengan satu atau dua quaternion murni. Dalam transformasi itu akan diselidiki sifat-sifatnya seperti penjumlahan, linear, pergeseran waktu, invers dan pergeseran frekuensi. Hasil dari penelitian ini memperlihatkan bahwa sifat-sifat tersebut masih bawaan dari sifat transformasi Fourier.

Kata kunci: Transformasi Fourier quaternion, bidang ortogonal split, quaternion murni.

Abstract The quaternion Fourier transformation is a method used to transform the quaternion signal. In this research it will be developed transformation on quaternion split so that the transform is called Fourier transformation quaternion based on orthogonal planes split with one or two pure quaternion. It also will be investigated some of its properties such as addition, linear, inverse, time shift, and frequency shift. The result in this study show that they correspond to Fourier transform properties.

Keywords: quaternion Fourier transform, orthogonal planes split, pure quaternion.

1. Pendahuluan Quaternion pertama kali diperkenalkan oleh Sir William Rowan Hamilton (1809 − 1865 𝑀) pada tahun 1843 M. Hamilton menemukan perkalian tertutup untuk bilangan kompleks empatdimensi dari bentuk 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧, dimana 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1. Hamilton dijuluki dengan bilangan kompleks quaternion empat dimensi. Secara umum

quaternion

ditulis [𝑠, 𝑣], 𝑠 ∈ ℝ , 𝑣 ∈ ℝ3 . Dimana 𝑠 ini dikatakan bagian skalar dan 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah bagian vektor. [1] Transformasi matematis digunakan terhadap suatu sinyal untuk mengetahui informasi yang terkandung dalam sinyal tersebut yang tidak dapat terbaca pada sinyal aslinya. Transformasi ini telah umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi. Transformasi Fourier (TF) dikenal sebagai alat yang handal untuk menganalisis sinyal termasuk untuk pengolahan gambar. [2] Transformasi Fourier riil atau kompleks diperluas menjadi transformasi Fourier quaternion dengan menggunakan aljabar quaternion, transformasi itu akan dikaji sifat sifatnya yang didasarkan pada bidang orthogonal split dengan menggunakan parameter dua unit quaternion murni 𝑓 dan 𝑔. metode yang digunakan dalam pengkajian tersebut adalah metode literatur baik dari jurnal, buku atau penelitian yang dilakukan para ahli.

2

2. Aljabar Dasar Quaternion Quaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks yang tidak komutatif yang diperkenalkan oleh Sri William Roman Hamilton pada tahun 1843 M. Secara umum quaternion memiliki bentuk himpunan yang dapat ditulis sebagai berikut: ℍ = {𝑠 + 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧|𝑠, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} Setiap quaternion dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: 𝑞 = 𝑠 + 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 ∈ ℍ,

𝑠, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ,

dan quaternion mempunyai bentuk konjugat, yaitu: 𝑞̃ = 𝑠 − 𝑖𝑥 − 𝑗𝑦 − 𝑘𝑧,

𝑝𝑞 ̃ = 𝑞̃𝑝̃,

Pada bagian skalar konjugat quaternion tidak mengalami perubahan sedangkan untuk bagian vektor mengalami perubahan. Akar kuadrat dari perkalian quaternion dengan konjugatnya menghasilkan sebuah norm yang didefinisikan sebagai ‖𝑞 ‖ = √𝑞𝑞̃ = √𝑞̃𝑞 = √𝑠 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ,

‖𝑝𝑞 ‖ = ‖𝑝‖‖𝑞 ‖.

Norm quaternion yang memiliki jarak satu disebut unit quaternion yang dapat ditulis sebagai ‖𝑞 ‖ = 1. Himpunan quaternion dinotasikan dengan ℍ1 . 1

Bagian 𝑣 = 𝑠 − 𝑞 = 2 (𝑞 − 𝑞̃ ) = 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 disebut quaternion murni, dan ketika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif −(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ). Setiap unit quaternion dapat ditulis sebagai berikut: 𝑞 = ‖𝑞 ‖(cos 𝜃 + 𝑢 sin 𝜃) = 𝑒 𝑢𝜃 , 𝑣

Dengan 𝑠 = ‖𝑞 ‖ cos 𝜃 , ‖𝑣‖ = ‖𝑞 ‖ sin 𝜃, dan 𝑢 = ‖𝑣‖ = √−1. Invers dapat juga dikatakan sebagai konjugat dari quaternion yaitu: 𝑞 −1 =

𝑞̃ = 𝑞̃, ‖𝑞 ‖2

Bagian skalar dari quaternion didefinisikan sebagai

3

𝑞 ≠ 0.

1 𝑆𝑐 (𝑞 ) = 𝑠 = (𝑞 + 𝑞̃ ) 2 Sedangkan skalar untuk perkalian dua buah quaternion didefinisikan sebagai 𝑆𝑐 (𝑝𝑞 ) = 𝑆𝑐(𝑞𝑝) = 𝑠𝑠 ′ − 𝑥𝑥 ′ − 𝑦𝑦 ′ − 𝑧𝑧 ′ , Dengan sifat linear yang dapat ditulis sebagai 𝑆𝑐 (𝛼𝑞 + 𝛽𝑝) = 𝛼𝑆𝑐 (𝑞 ) + 𝛽𝑆𝑐 (𝑝) = 𝛼𝑠 + 𝛽𝑠′. 3. Bidang Ortogonal Split Bidang ortogonal split dengan dua unit quaternion murni bebas linear dengan parameter 𝑓 dan 𝑔 dimana 𝑓 2 = 𝑔2 = −1, 𝑓 ≠ ±𝑔, didefinisikan sebagai 𝑞± =

1 (𝑞 ± 𝑓𝑞𝑔 ), 2

dan untuk satu unit quaternion murni (𝑓 = 𝑔) didefinisikan sebagai 1 𝑞± = (𝑞 ± 𝑓𝑞𝑓 ). 2 Bidang ortogonal 𝑞+ dibangun oleh basis ortogonal quaternion {𝑓 − 𝑔, 1 + 𝑓𝑔} dan bidang orthogonal 𝑞− dibangun oleh basis ortgonal quaternion {𝑓 + 𝑔, 1 − 𝑓𝑔}. Basis dari bidang ortogonal 𝑞+ dan 𝑞− dapat dinterpretasikan dalam bentuk ℝ4 , yang dapat ditulis dalam bentuk himpunan sebagai berikut: {𝑓 − 𝑔, 1 + 𝑓𝑔, 𝑓 + 𝑔, 1 − 𝑓𝑔}, Oleh karena itu, dapat dipresentasikan dalam bentuk kombinasi linear untuk setiap quaternion 𝑞 ∈ ℍ, dengan 4 koefisien bilangan riil 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 ∈ ℝ, yaitu: 𝑞 = 𝑞1 (1 + 𝑓𝑔) + 𝑞2 (𝑓 − 𝑔) + 𝑞3 (1 − 𝑓𝑔) + 𝑞4 (𝑓 + 𝑔), Dimana 𝑞+ = 𝑞1 (1 + 𝑓𝑔) + 𝑞2 (𝑓 − 𝑔) 𝑞− = 𝑞3 (1 − 𝑓𝑔) + 𝑞4 (𝑓 + 𝑔), Untuk bidang ortogonal 𝑞+ dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: (𝑞1 + 𝑞2 𝑓 )(1 + 𝑓𝑔) = (1 + 𝑓𝑔)(𝑞1 − 𝑞2 𝑔),

4

(3.1)

dan untuk bidang ortogonal 𝑞− dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: (𝑞3 + 𝑞4 𝑓 )(1 − 𝑓𝑔) = (1 − 𝑓𝑔)(𝑞3 + 𝑞4 𝑔).

(3.2)

Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) diperoleh bentuk identitas dengan dua sudut 𝜃 dan 𝜗 yaitu: 𝑒 𝜃𝑓 𝑞± 𝑒 𝜗𝑔 = 𝑒 (𝜃∓𝜗)𝑓 𝑞± = 𝑞± 𝑒 (𝜗∓𝜃)𝑔 .

(3.3)

4. Transformasi Fourier Quaternion Transformasi Fourier quaternion merupakan perluasan dari transformasi Fourier riil atau kompleks dengan menggunakan aljabar quaternion. Transformasi Fourier quaternion dapat singkat sebagai QFTs (Quaternion Fourier Transforms), dan secara umum QFTs mempunyai bentuk kompleks sebagai berikut: 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘) = ∫ℝ2 𝑒 −𝑓𝑥1 𝑤1 ℎ(𝒙)𝑒 −𝑔𝑥2 𝑤2 𝑑2 𝒙,

(4.1)

dengan fungsi modul quaternion ℎ ∈ 𝐿1 (ℝ2 ; ℍ), dimana 𝑑2 𝒙 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 dan 𝒙, 𝒘 ∈ ℝ2 . Dan mempunyai bentuk invers yang dapat ditulis sebagai:

ℎ(𝒙) =

1 ∫ 𝑒 𝑓𝑥1𝑤1 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘)𝑒 𝑔𝑥2 𝑤2 𝑑2 𝒘. (2𝜋)2

5. OPS-QFTs Pada Persamaan (4) telah didefinisikan QFTs, dimana 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘) adalah operator dari QFTs. 1

Dengan memisalkan ℎ = ℎ− + ℎ+ , ℎ± = 2 ( ℎ ± 𝑓ℎ𝑔) , maka berlaku 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘) = 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ− + ℎ+ }(𝒘) = 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ− }(𝒘) + 𝐹 𝑓,𝑔 {ℎ+ }(𝒘) Sehingga QFTs dapat ditulis dengan bentuk QFTs yang didasarkan pada quaternion split, sedemikian sehingga transformasi itu dapat katakan sebagai transformasi Fourier quaternion yang didasarkan pada bidang orotogonal split dengan dua unit quaternion murni dapat disingkat 𝑓,𝑔 sebagai OPS-QFTs dari ℎ± dengan operator 𝐹± {ℎ}(𝒘).

Misalkan 𝜃 = 𝑥1 𝑤1 dan 𝜗 = 𝑥2 𝑤2 , dengan mentransformasikan 𝑓 → −𝑓 dan 𝑔 → −𝑔, berdasarkan pada Persamaan (3.1) dan Persamaan (3.2) maka basis bidang ortogonalnya

5

menjadi ℎ+ = (ℎ1 − ℎ2 𝑓 )(1 + 𝑓𝑔) = (1 + 𝑓𝑔)(ℎ1 + ℎ2 ) dan ℎ− = (ℎ3 − ℎ4 𝑓)(1 − 𝑓𝑔) = (1 − 𝑓𝑔)(ℎ3 + ℎ4 𝑔), maka OPS-QFTs memiliki bentuk sisi kiri dan sisi kanan yang termuat dalam teorema berikut: Teorema 5.1 (OPS-QFTs dari 𝒉± ) OPS-QFTs dari split ℎ± dengan dua unit quaternion murni bebas linear 𝑓 dan 𝑔 dari fungsi modul quaternion ℎ ∈ 𝐿2 (ℝ2 ; ℍ), mempunyai bentuk kompleks sebagai berikut:

𝑓,𝑔 𝐹± {ℎ}(𝒘) = ∫ ℎ± (𝒙)𝑒 −𝑔(𝑥2 𝑤2 ∓𝑥1 𝑤1 ) 𝑑2 𝒙 = ∫ 𝑒 −𝑓(𝑥1 𝑤1 ∓𝑥2 𝑤2 ) ℎ± (𝒙)𝑑2 𝒙, ℝ2

ℝ𝟐

dengan 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝑑2 𝒙 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 . 6. Sifat-Sifat Dari OPS-QFTs 𝑓,𝑔

OPS-QFTs dari ℎ±

memiliki sifat-sifat sebagaimana sifat-sifat yang dimiliki trasnformasi

Fourier, diantara sifat-sifat OPS-QFTs dengan dua quaternion murni termuat dalam teoremateorema berikut: Teorema 6.1 (Sifat Penjumlahan) 𝑓,𝑔

Jika QFTs ℎ±

dari OPS split ℎ± dan 𝑘± dengan fungsi modul quaternion ℎ, 𝑘 ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ)

maka berlaku 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝐹± {ℎ(𝒙) + 𝑘(𝒙)}(𝒘) = 𝐹± {ℎ(𝒙)}(𝒘) + 𝐹± {𝑘 (𝒙)}(𝒘)

dimana 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 . Teorema 6.2 (Sifat Linear) 𝑓,𝑔

Jika QFTs ℎ±

dari OPS split ℎ± dan 𝑘± dengan fungsi modul quaternion ℎ, 𝑘 ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ)

maka berlaku 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝐹± {𝛼ℎ(𝒙) + 𝛽𝑘(𝒙)}(𝒘) = 𝛼𝐹± {ℎ(𝒙)}(𝒘) + 𝛽𝐹± {𝑘(𝒙)}(𝒘)

dimana 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

6

Teorema 6.3 (Pergeseran Waktu) 𝑓,𝑔

Misalkan QFTs ℎ± dari OPS split ℎ± (𝒙) dengan fungsi modul quaternion ℎ ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ) yang digeser oleh 𝒙𝟎 = 𝑥01 𝑒1 + 𝑥02 𝑒2 ∈ ℝ2 , yaitu ℎ0,± (𝒙) = ℎ± (𝒙 − 𝒙𝟎 ), maka diperoleh: Pergeseran waktu sisi kiri 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝐹0,± {ℎ(𝒙)}(𝒘) = 𝑒 −𝑓(𝑥01 𝑤1 ∓𝑥02 𝑤2 ) 𝐹± {ℎ(𝒙 − 𝒙𝟎 )}(𝒘).

Dan Pergeseran waktu sisi kanan 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝐹0,± {ℎ(𝒙)}(𝒘) = 𝐹± {ℎ(𝒙 − 𝑥0 )}(𝒘)𝑒 −𝑔(𝑥02 𝑤2 ∓𝑥01 𝑤1 ) ,

dengan 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 . Definisi 6.1 (Invers) 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 Misalkan 𝐹± {ℎ}(𝒘) adalah operator dari OPS-QFTs dari ℎ± dengan fungsi modul 𝑓,𝑔

quaternion ℎ ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ) maka OPS-QFTs dari ℎ±

mempunyai invers yang didefinsikan

sebagai: 𝑓,𝑔 ℎ± (𝒙) =

1 ∫ 𝑒 𝑓(𝑥1 𝑤1 ∓𝑥2𝑤2 ) 𝐹±𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘) 𝑑2 𝒘 2 (2𝜋) ℝ2

=

1 ∫ 𝐹±𝑓,𝑔 {ℎ}(𝒘) 𝑒 𝑔(𝑥2 𝑤2 ∓𝑥1𝑤1 ) 𝑑2 𝒘. 2 (2𝜋) ℝ2

dengan 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝑑2 𝒘 = 𝑑𝑤1 𝑑𝑤2 . Teorema 6.4 (Invers) 𝑓,𝑔

𝑓,𝑔

Jika 𝐹± {ℎ(𝑥)}(𝑤) adalah operator dari OPS-QFTs ℎ± dengan fungsi modul quaternion ℎ ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ) maka berlaku {𝐹±𝑓,𝑔 {ℎ(𝑥)}(𝑤)}

−1

𝑓,𝑔 = ℎ± (𝒙),

dengan 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 .

7

Teorema 6.5 (Pergeseran Frekuensi) Misalkan bidang ortogonal split ℎ± (𝒙) dengan fungsi modul quaternion ℎ ∈ 𝐿2 (ℝ2 , ℍ) yang digeser oleh 𝒘𝟎 = 𝑤01 𝑒1 + 𝑤02 𝑒2 ∈ ℝ2 , yaitu 𝑓,𝑔 𝑓,𝑔 𝐹0,± {ℎ(𝒙)}(𝒘) = 𝐹± {ℎ(𝒙)}(𝒘 − 𝒘𝟎 )

Maka diperoleh pergeseran frekuensi sisi kanan ℎ± (𝒙) = ℎ± (𝒘 − 𝒘𝟎 )𝑒 𝑓(𝑥1 𝑤01 ∓𝑥2𝑤02 ) . Dan pergeseran frekuensi sisi kiri ℎ± (𝒙) = 𝑒 𝑔(𝑥2 𝑤02 ∓𝑥1 𝑤01 ) ℎ± (𝒘 − 𝒘𝟎 ). Dengan 𝒙 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 ∈ ℝ2 , 𝒘 = 𝑤1 𝑒1 + 𝑤2 𝑒2 ∈ ℝ2 . 7. Kesimpulan OPS-QFTs dengan dua quaternion murni memiliki sifat-sifat seperti sifat penjumlahan, linear, pergeseran waktu, invers dan pergeseran frekuensi. Sifat tersebut masih bawaan dari sifat transformasi Fourier. Penelitian lebih lanjut dapat dikaji sifat-sifat terutama sifat konvolusi, dan dapat juga dikembangkan dengan menggunakan komputasi dalam pengolahan citra yang berupa quaternion. Catatan: artikel ini disusun berdasarkan skripsi penulis dengan pembimbing utama Dr. Eng. Mawardi Bahri, M.Si dan Pembimbing Pertama Naimah Aris, S.Si., M.Math.

Referensi

[1] E. B. Dam, K. Martin and L. Martin, "Quaternions, Interpolation and Animation," Universitetsparken 1, Denmark, 1998. [2] Rusdin, M. Bahri and L. Haryanto, "Fourier Transforms and Their Properties," Master Thesis, 2011. [3] J. Suter, "Geometric Algebra Primer," 2003.

8

[4] E. Hitzer and S. J. Sangwine, "The Orthogonal Planes Split Of Quaternions," in International Conference on Clifford Algebras and their Aplication in Mathematical Physics, Germany, 2011. [5] K. Rubrecht, "Convolutions of hypercomplex Fourier transforms with applications in image processing," Universiteit Gent, 2013. [6] J. P. Morais and S. Georgiev, Real Quaternionic Calculus Handbook, Jerman: Birkhauser, 2014. [7] J. Y. Bin, "Quaternion and Rotations," 4 Februari 2015. [Online]. Available: www.cs.iastate.edu. [Accessed 12 3 2015]. [8] E. Hitzer, "The orthogonal planes split of quaternions and its relation to quaternion geometry of rotations," Conference Series, vol. 597, pp. 1-10, 2015. [9] E. Hitzer, "OPS-QFTs: A new type of quaternion Fourier transforms based on the orthogonal planes split with one or two general pure quaternions," vol. 1389, pp. 280-283, 2013. [10] M. Bahri, E. Hitzer, A. Hayashi and R. Ashino, "An Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transform," Computer and Mathematics with Applications, vol. 56, no. 9, pp. 2398-2410, November 2008. [11] E. Hitzer, "Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations," Advances in Applied Clifford Algebras, vol. 17, no. 3, pp. 497-517, 2007.

9