TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM
Kuliah 5 – Sistem LTI
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
64 BAB
III
S I S T E M
L T I
Tujuan Instruksional 1. Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem. 2. Khusus Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan: -
Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian tentang sistem LTI.
-
Mahasiswa dapat memahami tentang jumlah konvolusi sistem LTI waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat memahami tentang integral konvolusi sistem LTI waktu kontinyu.
-
3.1.
Mahasiswa dapat menjelaskan tentang sifat-sifat sistem LTI.
Pengertian Sistem LTI Dua sifat sistem yang sangat penting adalah sifat linearitas dan sifat
waktu invarian. Sistem yang mempunyai kedua sifat penting ini disebut dengan sistem linear waktu invarian (Linear Time Invariance atau LTI). Berbagai pemrosesan fisik dapat dinyatakan sebagai sistem LTI. Pada subbab berikut akan dibahas tentang sistem LTI, baik untuk waktu kontinyu maupun waktu diskrit.
3.2. Sistem LTI Waktu Diskrit dan Jumlah Konvolusi Isyarat waktu diskrit dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian isyarat x[n] dan impuls satuan yang tergeser waktu, atau dinyatakan sebagai
65 x[ n ] =
+∞
∑
x [ k ]δ [ n − k ]
k = −∞
= ... + x [ − 2 ]δ [ n + 2 ] + x [ − 1 ]δ [ n + 1 ] + x [ 0 ]δ [ n ] + x [1 ]δ [ n − 1 ] + x [ 2 ]δ [ n − 2 ] + ...
Gambar
3.1
memperlihatkan
suatu
isyarat
x[n]
dan
gambar
3.2
mengilustrasikan proses jumlahan konvolusi untuk membentuk x[n]. x[n] -1 -3 -2
2
3
0 1
n
Gambar 3.1 Isyarat x[n]
Perlu diingat bahwa
⎧ x[ k ] ; n = k x[ n ]δ [ n − k ] = ⎨ ;n≠k ⎩0
x[−3] δ[n+3] (a) -3 -2 -1
0
1
2
3
n
x[−2] δ[n+2]
(b) -3 -2 -1 0
1
2
3
n
x[−1] δ[n+1]
(c) -1 -3 -2
0
1
2
3
n
66 x[0] δ[n]
(d)
-3 -2 -1 0
1
2
3
n
x[1] δ[n−1]
(e) -3 -2
-1 0
1
2
3
n
x[2] δ[n−2]
(f) 2 -3 -2 -1
0
1
3
n
x[3] δ[n−3]
(g) 3 -3 -2 -1
0
1
2
n
Gambar 3.2 Perkalian x[k] δ[n−k] dengan −∝ < k < +∝ Pada gambar 3.2 terlihat bahwa jika isyarat (a) hingga (g) dijumlahkan, maka akan diperoleh isyarat x[n]. Jika h[n] adalah keluaran sistem LTI saat masukannya δ[n] dan isyarat x[n] dapat dinyatakan sebagai
x[n] =
+∞
∑
x[k] δ [n − k]
k = −∞
maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan sebagai
67 +∞
∑
y[n] =
x[k] h [n − k]
k = −∞
dengan x[n] adalah masukan sistem. Keluaran y[n] sebagai hasil sering disebut dengan jumlah konvolusi atau jumlah superposisi. Sedangkan operasinya disebut dengan konvolusi deret x[n] dan h[n] dan ditulis sebagai y[n] = x[n] ∗ h[n] =
+∞
∑ x[k]
h [n − k]
k = −∞
Deret h[n] sering disebut dengan tanggapan impuls, yaitu tanggapan sistem saat masukannya berupa impuls satuan δ[n].
3.3. Sistem LTI Waktu Kontinyu dan Integral Konvolusi Dengan cara analogi (seperti pada sistem LTI waktu diskrit), maka pada sistem LTI waktu kontinyu, masukan x(t) dapat dinyatakan sebagai +∞
x(t) =
∫ x (τ ) δ (t − τ)dτ
−∞
Dan jika h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI saat masukannya δ(t), maka keluaran sistem LTI saat masukannya x(t) adalah +∞
y(t) =
∫ x (τ ) h (t − τ)dτ
−∞
Keluaran y(t) sebagai hasil sering disebut dengan integral konvolusi atau integral superposisi, dan ditulis sebagai
y(t) = x(t) ∗ h(t) +∞
=
∫ x(τ ) h (t − τ) dτ
−∞
3.4. Sifat-sifat Sistem LTI Berikut akan dipelajari beberapa sifat-sifat penting yang melekat pada sistem LTI, baik sistem LTI waktu kontinyu maupun sistem LTI waktu diskrit. 1. Sifat komutatif
68 Sistem LTI mempunyai sifat komutatif, yaitu:
x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) +∞
+∞
−∞
−∞
∫ x(τ) h(t − τ) dτ = ∫ h(τ) x(t − τ) dτ
untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem waktu diskrit berlaku x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] +∞
∑ x[k] h[n − k] =
k = −∞
+∞
∑ h[k] x[n − k]
k = −∞
2. Sifat distributif Sistem LTI mempunyai sifat distributif, yaitu: x(t) ∗ { h1(t) + h2(t) } = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t) untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem LTI waktu diskrit berlaku x[n] ∗ { h1[n] + h2[n] } = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n] Dan sebagai akibat sifat komutatif dan distributif sistem LTI, maka berlaku pula { x1(t) + x2(t) } ∗ h(t) = x1(t) ∗ h(t) + x2(t) ∗ h(t) untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem LTI waktu diskrit berlaku { x1[n] + x2[n] } ∗ h[n] = x1[n] ∗ h[n] + x2[n] ∗ h[n] 3. Sifat Asosiatif Sistem LTI mempunyai sifat asosiatif, yaitu: x(t) ∗ { h1(t) ∗ h2(t) } = { x(t) ∗ h1(t) } ∗ h2(t) untuk sistem LTI waktu kontinyu, atau x[n] ∗ { h1[n] ∗ h2[n] } = { x[n] ∗ h1[n] } ∗ h2[n] untuk sistem LTI waktu diskrit. 4. Sistem LTI dengan dan tanpa memori
69 Sistem LTI tanpa memori mempunyai ciri: h(t) = 0 untuk t ≠ 0
(sistem LTI waktu kontinyu)
atau h[n] = 0 untuk n ≠ 0
(sistem LTI waktu diskrit)
sehingga tanggapan impulsnya akan berbentuk: h(t) = k δ(t)
(sistem LTI waktu kontinyu)
atau h[n] = k δ[n]
(sistem LTI waktu diskrit)
dengan k adalah konstanta yang besarnya sama dengan h(0) atau h[0]. Dengan demikian, maka keluaran sistem LTI tanpa memori adalah: y(t) = k x(t)
(sistem LTI waktu kontinyu)
atau y[n] = k x[n]
(sistem LTI waktu diskrit)
Jika k = 1, maka sistem LTI menjadi sistem identitas dimana keluaran sama dengan masukannya. Sistem LTI dengan memori tidak mempunyai ciri seperti pada sistem LTI tanpa memori, karena sistem LTI dengan memori mempunyai keluaran yang juga bergantung pada masukan yang telah lalu maupun yang akan datang. 5. Invertibilitas sistem LTI Sistem LTI disebut invertibel jika terdapat sistem inversinya. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 3.3 berikut. x(t)
h(t)
y(t)
h1(t)
w(t)=x(t)
Gambar 3.3 Sistem invertibel waktu kontinyu Jika suatu sistem dengan tanggapan impuls h(t) mempunyai sifat invertibel, maka terdapat sistem inversinya (yaitu dengan tanggapan impuls h1(t)). Jika kedua sistem disusun seperti pada gambar 3.3, maka
70 akan diperoleh keluaran akhir yang sama dengan masukannya, yaitu x(t). Hal yang sama juga berlaku pada sistem LTI waktu diskrit. Pada gambar 3.3, agar w(t) = x(t) maka harus dipenuhi syarat: h(t) ∗ h1(t) = δ(t) Dengan cara yang sama, maka untuk sistem LTI waktu diskrit juga harus dipenuhi syarat h[n] ∗ h1[n] = δ[n] dimana h(t) : tanggapan impuls sistem LTI waktu kontinyu h[n] : tanggapan impuls sistem LTI waktu diskrit h1(t) : tanggapan impuls sistem inversi waktu kontinyu h1[n] : tanggapan impuls sistem inversi waktu diskrit 6. Kausalitas untuk sistem LTI Sistem kausal merupakan sebuah sistem yang keluarannya bergantung pada masukan saat ini dan masukan yang telah lalu. Untuk sistem LTI, maka kausalitas menghendaki y[n] yang tidak bergantung pada x[k] untuk k > n atau dapat dinyatakan dengan h[n−k] = 0 untuk k > n atau h[n] = 0 untuk n < 0 Sedangkan untuk sistem LTI waktu kontinyu harus dipenuhi: h(t) = 0 untuk t < 0 Dengan demikian, untuk sistem LTI kausal berlaku: n
∑
y[n] =
x[k] h[n − k]
k = −∞
=
∞
∑
h[k] x[n − k]
k=0
untuk sistem LTI waktu diskrit, dan untuk sistem LTI waktu kontinyu berlaku: y(t) = =
∫ ∫
t
−∞ t
0
x( τ)h(t − τ)dτ
h( τ(τ)x − τ)dτ
71
7. Stabilitas sistem LTI Sistem LTI stabil jika untuk setiap masukan terbatas maka akan dihasilkan keluaran yang terbatas pula. Untuk sistem LTI waktu diskrit dengan masukan x[n] terbatas sebagai berikut ⎢ x[n] ⎢ < B untuk semua n harus menghasilkan keluaran yang terbatas. Keluaran sistem dengan masukan yang terbatas tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: y[n]
+∞
∑
=
h[k]x[n
− k]
k = −∞ +∞
∑
≤
h[k]
x[n − k]
k = −∞ +∞
∑
≤ B
h[k ]
k = −∞
Dari persamaan di atas, supaya keluaran y[n] mempunyai nilai yang terbatas maka +∞
∑ h[k] < ∞
k = −∞
Dengan cara yang sama, maka untuk sistem LTI waktu kontinyu, stabilitas mensyaratkan y(t) ≤ B
+∞
∫
−∞
h( τ) d τ
atau +∞
∫ h( τ)
−∞
dτ < ∞
72 3.5.
Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Jika ⎧1, ; n ≥ 0 u[n] = ⎨ ⎩0, ; n < 0 maka nyatakan u[n] sebagai jumlahan impuls-impuls satuan tergeser. Penyelesaian: u[n] =
+∞
∑
u[k] δ[k − k]
k = −∞
=
+∞
∑ 1 δ [n
− k]
k=0
=
+∞
∑ δ [n
− k]
k=0
2. Untuk sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] dan masukan x[n] pada gambar 3.4 berikut ini, tentukanlah y[n] = x[n] ∗ h[n]. h[n]
(a) 1 -1 0
x[n]
1
2
n
2
(b)
0,5 -1 0
1
2
n
Gambar 3.4 (a) Tanggapan impuls untuk soal no. 2 (b) Masukan untuk soal no. 2
73 Penyelesaian: Cara 1 Jumlah konvolusi antara x[n] dan h[n] dapat dijelaskan dengan ilustrasi pada gambar 3.5. y[n] = x[n] ∗ h[n] =
+∞
∑ x[k] h[n − k]
k = −∞
=
1
∑ x[k] h[n − k] k =0
= x[0] h[n − 0] + x[1] h[n − 1] = 0,5 h[n] + 2 h[n − 1]
0,5 h[n]
(a) 0,5 -1 0
1
2
2 h[n−1]
3
n
2
-1
0
1
2
3
(b)
n
2,5 y[n]
2
(c)
0,5 -1
0 1
2
3
Gambar 3.5 Grafis penyelesaian soal no. 2
n
74 Cara 2 Cara yang kedua ini adalah dengan mencari nilai y[n] untuk tiap harga n. y[n] =
+∞
∑ x[k]h[n − k]
k = −∞
Dengan memasukkan harga-harga n, maka akan diperoleh nilai y[n] sebagai berikut. y[0]
=
+∞
∑
x[k] h[0 − k]
k = −∞
=
+∞
∑
x[k] h[ − k]
k = −∞
= 0,5 y[1]
=
+∞
∑
x[k] h[1 − k]
k = −∞
= 0,5 + 2 = 2,5 y[2]
=
+∞
∑
x[k] h[2 − k]
k = −∞
= 0,5 + 2 = 2,5 y[3]
=
+∞
∑
x[k] h[3 − k]
k = −∞
= 2
Nilai
y[n]
untuk
n
yang
lain
sama
dengan
nol.
Dengan
menggambarkannya secara grafis maka akan diperoleh ilustrasi seperti pada gambar 3.5c. Untuk cara yang ke-dua ini harus diperhatikan proses penggeseran dan pembalikan waktu pada tanggapan impuls h[n]. 3. Jika masukan x(t) dan tanggapan impuls h(t) seperti pada gambar 3.6, maka tentukanlah keluaran sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan.
⎧e − at ; t ≥ 0 x(t) = ⎨ ⎩0 ;t < 0
75
x(t) 1
a>0
0
(a)
t h(t) = u(t)
1
(b) 0
t
Gambar 3.6 Isyarat x(t) dan h(t) untuk soal no. 3 Penyelesaian: Penjelasan secara grafis diperlihatkan pada gambar 3.7. Untuk menentukan hasil integral konvolusi antara x(t) dan h(t), maka perlu diketahui terlebih dahulu harga-harga τ dimana x(τ) dan h(t − τ) saling tumpang tindih (overlap), sehingga hasil perkalian kedua isyarat ini tidak sama dengan nol, yaitu x(τ).h(t − τ) ≠ 0. Pada gambar 3.7b, x(τ) ≠ 0 dan h(t − τ) ≠ 0, tidak saling tumpang tindih, sehingga x(τ).h(t − τ) = 0 untuk semua nilai τ. Pada gambar 3.7c, x(τ) ≠ 0 dan h(t − τ) ≠ 0, saling tumpang tindih pada 0 < τ < t, sehingga x(τ).h(t − τ) ≠ 0 untuk nilai τ pada jangkauan tersebut. Sedangkan untuk harga τ yang lain, nilai x(τ).h(t − τ) = 0. Dengan demikian, maka keluaran sistem untuk jangkauan t = 0 sama dengan t = t dapat ditentukan sebagai berikut:
76
y(t) = x(t) ∗ h(t) = =
∫ ∫
+∞ −∞ t
0
x( τ)h(t − τ)dτ
1.e
− aτ
1 = − e − aτ a
dτ
t
0
[
1 − at e − e0 a 1 − at = − −1 e a 1 = 1 − e − at a = −
[
]
]
[
]
Dan untuk semua harga t, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai y(t) =
[
]
1 1 − e − at u(t) a
Isyarat keluaran y(t) diperlihatkan pada gambar 3.8.
3.6.
Soal-soal Tambahan
1. Buktikan sifat komutatif sistem LTI. 2. Buktikan sifat distributif sistem LTI. 3. Jelaskan mengapa untuk sistem LTI tanpa memori, tanggapan impuls untuk n ≠ 0 dan t ≠ 0 harus mempunyai nilai nol. 4. Jelaskan pula mengapa kondisi pada soal no. 3 tidak berlaku pada sistem LTI dengan memori. 5. Jelaskan tentang sistem inversi pada sebuah sistem yang invertibel.
77 h(-τ) 1
(a)
τ
0
h(t-τ) ; t < 0
h(t-τ) ; t > 0
1
t
1
τ
0
0
x(τ) 1
x(τ) a>0
0 (b)
τ
t
1
τ
a>0
τ
0 (c)
Gambar 3.7 Penjelasan grafis penyelesaian soal no. 3
78
y(t) 1/a
t
Gambar 3.8 Isyarat y(t) untuk penyelesaian soal no. 3
