III Sistem LTI Waktu Diskrit
Sistem LTI
Operasi Konvolusi Watak sistem LTI Stabilitas sistem LTI Kausalitas sistem LTI
lts
1
III.1 Sistem LTI Sistem LTI Linear Time Invariant Linear Tak-ubah-Waktu Linear Shift Invariant ( LS I ) Sistem LTI adalah sistem yang memiliki sifat superposisi (sifat linear) dan sifat ketak-ubahan waktu.
lts
Secara matematis sistem LTI mudah dianalisis dan dimanipulasi , sehingga memungkinkan pengembangan berbagai algoritma pengolahan isyarat digital berbasiskan sistem LTI .
2
Sistem LTI dicirikan oleh respons impuls-nya :
d[n]
h[n] Sistem LTI
h[n] n -2 -1 0 1
2 3 4
n -2 -1 0 1
2 3 4
Respons Impuls h[n] adalah runtun output yang dihasilkan oleh sebuah sistem LTI ketika pada inputnya diberikan runtun unit impuls
lts
d[n]. 3
Sifat ketak-ubahan-waktu : Pergeseran runtun impuls sebesar k cuplikan akan mengakibatkan pergeseran runtun respons-impuls sebesar k cuplikan.
d[n]
h[n]
Sistem LTI
h[n] n -2 -1 0 1
n
2 3 4
-2 -1 0 1
d[n-k]
Sistem LTI
2 3 4
h[n-k]
h[n] n
n -2 -1 0 1 lts
k
2 3 4
-2 -1 0 1
2 3 4 4
k
Sifat superposisi (linear) : Sifat superposisi sistem LTI dapat dimanfaatkan untuk menyederhanakan perhitungan output sistem ketika runtun input sembarang diberikan. Langkah langkah perhitungan output sistem LTI : 1. Dekomposisikan runtun input sembarang x[n] menjadi runtunruntun impuls tergeser k dan terskala x[k] d[n-k] . sampai dengan +
8
8
k adalah integer didalam range -
2. Dengan satu runtun impuls tergeser k dan terskala sebagai input, hitung runtun output y[n]k = x[k] h[n – k]. Kerjakan langkah 2 sampai seluruh runtun impuls tergeser dan terskala diberikan 3. Jumlahkan seluruh hasil perhitungan output pada langkah 2
lts
5
x[0] x[1] x[-1] x[2]
1. Dekomposisi runtun x[n] Runtun x[n] sembarang :
n
8
x[n] =
S x[n]
-2 -1 k
8
k=-
x[n]
k = -1
0 1
=
2 3
4
x[n] -1 n
+ k=0
x[n]0
x[n]k = ... x[n]-1 +
x[n]0 + x[n]1 +
n k=1
+
x[n]2 + ...
n k=2
lts
x[n]1
+
x[n]2 n6
sifat tak-ubah waktu
2. Perhitungan output
x[k] d[n – k] konstante Untuk input 8
x[n] =
S 8
k=-
x[k] d[n-k] ,
k
input x[n]k
output y[n]k
:
:
:
-2
x[-2] d[n + 2]
x[-2] h[n + 2]
-1
x[-1] d[n + 1]
x[-1] h[n + 1]
0
x[0] d[n]
x[0] h[n]
1
x[1] d[n - 1]
x[1] h[n - 1]
2
x[2] d[n - 2]
x[2] h[n - 2]
:
:
:
maka output 8
y[n] =
S
ltsSifat
8
k=-
x[k] h[n-k]
linear (superposisi)
x[k] h[n – k]
h[n]
x[n]
+
y[n]
+ 7
Diketahui : Runtun tanggapan impuls h[n] sebuah sistem
d[n]
h[n]
1 0,75 0,50 0,25
h[n] n
-1
0
1
2
-1
3
0
1
2
3
n
Pertanyaan : Bagaimana runtun output sistem tsb bila diberikan runtun input x[n] sbb x[n]
y[n]
h[n]
-1
lts
0
1
2
3
n
? -1
0
1
2
3
n 8
Dekomposisi x[n]k = x[n] d[n – k] k=0
x[0] d[0]
1
k=1
0
2
3
0
k=2
1
2
3
0
n
-1
0
x[2] d[n – 2]
-1
1
2
n
3
x[1]
1
2
n
3
x[2] h[n–2]
x[2] lts
-1
x[1] h[n–1]
x[1] d[n – 1]
x[1]
-1
1
x[0] h[n- 0]
1
n -1
y[n]k = x[n] h[n-k]
x[2]
0
1
2
3
n
-1
0
1
2
3
9
n
x[3] d[n – 3]
k=3
x[3] h[n–3]
x[3] -1
x[3] 0
1
2
n
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
+
+ y[n]
x[n]
-1
0
n
1
2
n
3
-1
0
1
2
3
4
5
n
6
8
y[n] =
k=-
8
lts
S
x[k] h[n-k] 10
III.2 Operasi Konvolusi Operasi perhitungan output sistem LTI dengan cara diatas 8
y[n] =
S 8
k=-
x[k] h[n-k]
disebut operasi konvolusi jumlah. simbol operasi konvolusi
y[n]
= x[k] * h[n] 8
=
S
lts
8
k=-
x[k] h[n-k]
11
Sifat sifat Konvolusi Komutatif . Urutan runtun dalam konvolusi tidak berpengaruh
[ ] [ ] x[n]h[n - k ]
x n * h n = =
k = -
h[n]x[n - k ]= h[n]* x[n]
k = -
lts
x[n]
h[n]
y[n]
h[n]
x[n]
y[n] 12
Distributif
x[n]* (h1[n]+ h2[n]) = x[n]* h1[n]+ x[n]* h2[n]
x[n]
h1[n]+ h2[n]
y[n]
h1[n] x[n]
+
y[n]
h2[n] lts
struktur paralel
13
struktur cascade x[n] * h1[n]
x[n]
h1[n]
h2[n]
y[n] = x[n] * h1[n] * h2[n]
x[n]
h2[n]
x[n] * h2[n]
h1[n]
y[n] = x[n] * h2[n] * h1[n]
x[n]
Bila lts
h1[n]*h2[n]
y[n]
h1[n]*h2[n] = d[n] , maka h1[n] adalah inverse dari h2[n] 14
Pemulihan isyarat terdistorsi pada output kanal
transmisi sistem inverse kanal x[n]
x[n]terdistorsi
h1[n]
h2[n]
x[n]
h1[n] * h2[n] = d[n]
h2[n] = d[n] – d[n-1] lts
buktikan ! 15
y[n]
x[n]
h1[n]
+
h3[n]
+
h1[n] h1[n] = d[n] + 0,5 d[n-1]
h2[n] = 0,5 d[n] - 0,25 d[n-1] h4[n]
h3[n] = 2 d[n] h4[n] = - 2 (0,5)n U[n] x[n]
lts
h[n] ?
y[n]
16
Contoh : 1. Konvolusi dua runtun yang sama, {x[n]} , dengan durasi N = 6 x[k]
y[n] = x[n] * x[n] 8
k
=
S x[k] x[n - k]
x[-k]
8
k=-
0
k
n=0
0
x[ -1 - k]
x [n-k]
k
n = -1 0
x[ -2 -k] n=-2
k
lts
17
0
x[n-k]
x[k] k
n=-7
y[7] = 0
k
n=-1
y[-1] = 0
k
n= 0
y[0] = 1
n=1
y[1] = 2
n=5
y[5] = 6
k k
k
k
lts
k
n = 10
y[10] = 1
n = 11
y[11] = 0
n > 11
y[n] = 018
y[n] = x[n] * h[n]
y[n]
lts
19
Contoh 2 : Konvolusi dua runtun { x[n] } = { . . . , 0, 1, 2, 3, 0, . . . } dan { h[n] } = { . . . , 0, 2, 1, 0, 5, 0, . . . }
n=0
x[n-k]
n = -2
n=2 lts
20
lts
21
x[n]
h[n]
y[n] ?
lts
22
III.3
Kriteria Stabilitas sistem LTI Sistem LTI disebut stabil jika dan hanya jika
8
8
Bukti : Bila x[n] bounded , dimana | x[n]| < Lx untuk maka
,
8
8
8
k=-
k= -
| y[n] | = | S h[k] x[n – k] | < S | h[k] | | x[n-k] | < Lx S | h[k] | 8
y[n] adalah runtun bounded , | y[n] | <
8
8
8
k= -
, jika dan hanya jika
Untuk sistem LTI yang runtun tanggapan impulsnya memenuhi syarat diatas, bila pada inputnya diberikan runtun { x[n]} yang bounded maka pada outputnya akan dihasilkan runtun { y[n]} yang lts 23 bounded
III.4 Kriteria Kausalitas Sistem LTI Sistem kausal adalah sistem yang outputnya saat ini ( y[n] ), tergantung pada harga input saat ini ( x[n] ) dan harga harga input sebelumnya ( x[n-1], x[n-2], . . . ) Sistem LTI disebut kausal jika dan hanya jika runtun tanggapan impulsnya,
h[n] = 0 untuk n < 0 Bukti : Untuk sistem kausal,
8
8
y[n] =
k=-
h[k] x[n-k] =
S
h[k] x[n-k]
k=0
8
S
syarat kausalitas sistem adalah y[n] = fungsi x[n-k] untuk k positif 8
Dengan demikian
k=lts
atau
h[k] x[n-k] = 0, 8
S
h[n] = 0 untuk n < 0
(terbukti)
24
Soal latihan : Bagaimana kausalitas dan stabilitas sistem LTI yang runtun tanggapan unit impulsnya sbb
an , n > 0 h[n] = an u[n] = 0
, n<0
Syarat Kausalitas : h[n] = 0 untuk n < 0 8
Syarat Stabilitas :
<
8
S | h[k] |
(?)
8
k=-
lts
(?)
25
an , n > 0 h[n] = an u[n] =
0
, n<0
h[n] = 0 untuk n < 0 , jadi sistem tsb kausal 1 8
8
S | h[k] | = S
=
1 - |a| 8
k=0
8
k=-
|a|
k
, bila | a | < 1
,
bila | a | > 1
Dari deret geometris, 8
S |a|
k
k=0 lts
1 =
1 - |a|
untuk | a | < 1 ,
maka sistem akan stabil bila
|a | < 1
26
III.4 Persamaan difference linear dengan koefisien tetap salah satu sub-kelompok sistem LTI adalah sistem sistem yang input x[n] dan output y[n] nya memenuhi persamaan difference linear derajat N dengan koefisien konstan,
N
M
k=0
k=0
S ak y[n-k] = S bk x[n-k]
ak dan bk : koefisien koefisien konstan
lts
27
b0
x[n]
+ Z-1
b1
Z-1
b2
Z-1
bM
Bagian Non-rekursif lts
y[n]
+ -a1
Z-1
-a2
Z-1
-aN
Z-1
Bagian Rekursif 28
n
y[n] =
Contoh : Akumulator
S
n
y[n] - y[n-1] =
8
k=-
x[k]
n-1
k=-
x[k]
8
8
S x[k] - S k=n-1
= x[n] +
n-1
S x[k] - S
8
k=-
8
k=-
x[k]
y[n] - y[n-1] = x[n] y[n] = x[n] + y[n-1]
x[n] Akumulator memenuhi persamaan difference linier dengan koefisien konstan sistem LTI ! lts
y[n] +
y[n-1]
z-1 29
1. Nyatakan respons impuls h[n] untuk sistem dengan persamaan difference y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] + b3 x[n-3]
2. Hitung output sistem, bila diketahui 1 h[n] =
x[n] = 3n
lts
(1/3)n untuk n > 3
untuk n > -3 untuk n < -3
3n
untuk n < 3
30
3. Gambarkan runtun output sistem bila runtun tanggapan impuls sistem dan runtun input yang diberikan adalah sbb.
x[n]
3
2 1
1 0
h[n]
3 1 2
4 -1
n
3
n
0 1 2 -1
-2
lts
31
