Penempatan Nilai Eigen Finite dengan State Feedback pada Sistem Singular LTI

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 T - 42

Penempatan Nilai Eigen Finite dengan State Feedback pada Sistem Singular LTI Kris Suryowati Fakultas Sains Terapan, Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta e-mail: [email protected] Abstrak Pada teori sistem kontrol salah satu masalah yaitu penempatan nilai-nilai eigen atau penempatan kutub-kutub akan mempengaruhi sifat-sifat sistem. Sistem singular LTI terdapat dua masalah penempatan nilai eigen yaitu penempatan nilai eigen finite dan nilai eigen infinite. Sistem singular LTI diasumsikan bahwa sistem regular untuk menjamin keberadaan solusi, serta sistemnya terkendali. Pada penelitian ini dibahas mengenai penempatan nilai eigen finite dengan memberikan state feedback pada sistem sehingga sistem loop tertutupnya memiliki sifat-sifat yang diharapkan. Pada pembahasan selanjutnya akan ditunjukkan syarat perlu dan syarat cukup keberadaan matriks K pada state feedback sedemikian sehingga sistem loop tertutup mempunyai nilai-nilai eigen finite dan menentukan matriks K apabila nilai-nilai eigen finite sudah ditetapkan. Serta diberikan contoh aplikasinya pada model sistem singular untuk rangkain RLC sederhana.

Kata Kunci: Sistem singular LTI, Nilai-nilai eigen sistem, State feedback I. PENDAHULUAN Sistem singular LTI merupakan sistem linear singular time invariant yaitu sistem linear singular yang tidak dipengaruhi oleh perubahan waktu yang mempunyai bentuk umum (1) Ex(t)  Ax(t)  Bu(t) ; y = C x dengan x(t) 

dx(t) , x  Rn vektor keadaan, u Rm vektor masukan (vektor kendali), dan A,ERnxn dt

; BRnxm matriks-matriks konstan. Untuk menjamin keberadaan dan ketunggalan solusi, diasumsikan bahwa sistem linear singular di atas regular pada [6]. Sistemnya dapat dibentuk ke dalam bentuk dekomposisi standar sistem pada [6] dan [4] serta bentuk ekuivalen sistem melalui dekomposisi singular. Pada teori sistem kontrol salah satu masalah yaitu penempatan kutub-kutub sistem. Kutub-kutub merupakan nilai akar-akar persamaan karakteristik sistem yang dapat juga disebut nilai-nilai eigen sistem. Nilai-nilai eigen mempengaruhi sifat-sifat misalnya apabila suatu sistem mempunyai nilai-nilai eigen dengan bagian realnya negatif maka dikatakan bahwa sistemnya stabil, atau pada sistem singular mempunyai nilai eigen infinite maka dikatakan sistemnya terdapat term impuls. Pada sistem singular LTI mempunyai nilai-nilai eigen infinite dan nilai-nilai eigen finite yang mempengaruhi sifat-sifat sistem. Dengan demikian penempatan nilai eigen adalah penting dalam efektifitas sifat-sifat dinamik dan sifat-sifat statik system, dalam hal ini nilai-nilai eigen perlu ditempatkan karena akan mempengaruhi sifat-sifat sistem. Pada sistem singular LTI terdapat dua masalah penempatan nilai-nilai eigen yaitu penempatan nilai eigen infinite [5] dan penempatan nilai eigen finite, untuk penempatan nilai eigen infinite sudah dibahas. sebagai kelanjutannya sehingga dalam penelitian ini dibahas masalah penempatan nilai eigen finite dengan state feedback atas dekomposisi standar dan dekomposisi singular sistem. Sedangkan pada [9] penempatan nilai eigen finite dengan output feedback. Atas asumsi bahwa sistem terkendali artinya pada bentuk dekomposisi standar sub sistem pertama terkendali dan subsistem kedua terkendali. Dengan demikian dengan memberikan state kontrol feedback maka sistem loop tertutup yang terbentuk mempunyai sifat yang diiginkan misalkan tadinya sistemnya tidak stabil maka sistem dapat distabilkan dengan menempatkan kutub-kutub finite dibidang sebelah kiri atau mempunyai nilai-nilai eigen real negatif sedemikian sistem loop tertutup stabil dan tidak terdapat term impuls. Pada [6], [3] dan [8], sistem normal, yaitu yang berbentuk x (t) = Ax(t) + Bu(t) bersifat terkendali ] p(s) maka terdapat gain matriks K pada state feedback sedemikian sehingga det[ In s A BK , dengan p(s) = sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 merupakan persamaan karakteristik berupa polinomial sebarang sesuai berderajat n, dalam hal ini matriks K dapat dimodifikasi. Dengan mengganti K maka hanya dapat

469

ISBN. 978-602-73403-0-5

memodifikasi sebarang koefisien a0. a1, a2, ..., an-1, tetapi tidak dapat merubah degree n pada polinomial yang ditentukan oleh matriks Ins . tetapi dalam sistem singular LTI, degree pada polinomial karakteristik sistem loop tertutup dapat diubah dengan pemilihan matriks K yang sesuai pada state feedback. Yang menjadi permasalahan disini yaitu pada penentuan state feedback matriks K sedemikian sehingga det[Es  (A  BK)]    0 ( dan s saling independent). Pada aplikasinya yaitu menganalisis penempatan nilai eigen finite model sistem singular LTI pada angkaian RLC sederhana. Diberikan state feedback u(t) = Kx(t) + v(t) (2) dengan v(t)Rm vektor input baru; KRmxn suatu matriks yang memenuhi. Kemudian dari (1) dan (2) diperoleh sistem loop tertutup sebagai berikut (.3) Ex(t)  (A  BK)x(t)  Bv(t) Berdasarkan latar belakang maka rumusan masalah pada penelitian ini yaitu syarat perlu dan cukup keberadaan matriks K agar nilai-nilai eigen dapat ditempatkan, selanjutnya menentukan matriks K pada 

state feedback sehingga nilai-nilai eigen finite memenuhi (E,(A + BK)) =  (  C  ) juga contoh aplikasi pada model sistem rangkaian RLC sederhana. Penelitian ini bertujuan menganalisis state feedback pada sistem singular LTI dan menyelesaikan masalah-masalah yang terkait yaitu menentukan syarat perlu dan cukup keberadaan matriks K pada state feedbak, enentukan formulasi matriks k pada state feedback serta mampu mengaplikasikan pada permasalahan real secara sederhana. Manfaatnya adalah untuk menambah wawasan pada aplikasi teori sistem kendali dalam hal ini diberikan bentuk model sistem singular LTI pada rangkaian RLC sederhana sampai dengan penempatan nilai-nilai eigen finitenya. II.

METODE PENELITIAN

Pada sistem singular LTI diasumsikan bahwa sistemnya regular, untuk menjamin keberadaan dan ketunggalan solusi sistem, juga sistem dibawa kebentuk dekomposisi standar sistem dan dekomposisi singular. Bentuk umum dari sistem linear singular time invariant adalah sebagai berikut: E x (t) = Ax(t) + Bu(t) (4) y(t) = Cx(t) dengan x  Rn vektor keadaan, u Rm vektor masukan (vektor kendali), yRr vektor output, dan A,ERnxn ; BRnxm ; CRrxn matriks-matriks konstan. Dengan rank E = q < n dan diasumsikan sistem tersebut regular yaitu matriks pencil (sE-A) regular. Pada [1] terkait Feedback Design for Regularizing Descriptor Systems dibahas tentang rancangan feedback sistem linear diskriptor dan sistem dekomposisinya menggunakan dekomposisi singular. Lemma 1 Matriks pencil (sE-A) regular [2] jika dan hanya jika terdapat matrix Q dan P nonsingular sehingga QEP = diag( I n 1 , N) dan QAP = diag( A1 , I n 2 ) , dengan n1 + n2 = n, A1 R , N R

n 2 xn 2

n 1 xn1

nilpoten.

 x1   dan menerapkan Lemma 2 sehingga diperoleh bentuk standar  x2 

Melalui transformasi x = P 

dekomposisi sistem singular LTI sebagai berikut: x 1 = A1x1 + B1u y1 = C1x1 N x 2 = x2 + B1u y2 = C2x2 dengan CP = [ C1 , C2 ] ; QB =

(5.a) (5.b)

 B1  n 1 xn n 2 xn n1 n2  B  ; B1  R ; B2  R ; x1 R ; x2 R .  2

Persamaan (5.a) disebut subsistem normal, sedangkan persamaan (5.b) subsistem linear singular khusus yaitu N adalah matriks nilpoten.

470

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

Bentuk ekuivalen sistem singular LTI melalui dekomposisi singular, karena asumsi sistem regular sehingga sistem dapat juga dibawa ke bentuk dekomposisi singular sebagai berikut Pada sistem singuluar LTI, diberikan P 1 dan Q1 matriks nonsingular sedemikian sehingga Q1EP1 = diag(Iq , 0) dengan q = rankE ,

A Q1AP1   11  A 21

A12  B  , Q1B   1  ,  A 22   B2 

x(t)  P11x(t)

Sehingga sistem singular LTI mempunyai bentuk equivalen sebagai berikut

 Iq 0  Diasumsikan

0 A x(t)   11  0  A 21 sistemnya

A12  B  x(t)   1  u(t)  A 22   B2 

terkendali,

sehingga

sistem

impuls

terkendali

dan

memenuhi

rank[A22 , B2 ]  n  q Definisi 2 Sistem singular lti disebut controlable jika untuk setiap t1>0, x1(0), wrn terdapat masukan

 x1   =w  x2 

kendali u rm yang memenuhi x = 

Teorema 3 Pernyataan berikut ekuivalen 1. Subsistem (5.a) controllable jika dan hanya jika rank[sE-A, B] = n ,untuk s C , s hingga. 2. Subsistem (5.b) controllable jika dan hanya jika Rank[ E , B ] = n 3. Sistem singular LTI controllable jika dan hanya jika kedua subsistem controllable. Teorema 4 Sistem singular LTI dikatakan R-kontrollable jika dan hanya jika subsistem pertama terkendali yang berlaku bahwa rank[sE-A, B] = n ,untuk setiap s C , s hingga. Metode yang digunakan dalam hal ini adalah berdasarkan definisi dan lema di atas untuk menyelesaikan masalah penempatan nilai eigen finite dengan menggunakan state feedback pada sistem singular LTI. Adapun alur metodologi penyelesaiannya sebagai berikut 1. Menentukan syarat perlu dan cukup keberadaan matriks K, pada state feedback dengan membuktikan teorema-teorema atau sifat-sifat yang terkait 2. Selanjutnya menentukan formulasi matriks K juga pembentukan state kontrol feedback sedemikian sistem loop tertutup stabil. 3. Menyelesaikan dan menjelaskan aplikasi pada kasus rangkain RLC sederhana III.

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

A. Analisis penempatan nilai eigen finite system singular LTI Diberikan system singular LTI pada persamaan (1), pada ini disamping mempunyai nilai eigen infinite juga nilai eigen finite yang perlu ditempatkan karena akan mempengarui sifat-sifat sistem. Dalam hal ini penempatan nilai-nilai eigen dapat dilakukan dengan syarat bahwa sistemnya terkendali. Misalnya suatu sistem singular LTI terkendali dan mempunyai nilai-nilai eigen finite yang real non negatif sehingga dikatakan sistem tersebut tidak stabil karena mempunyai nilai-nilai eigen real non negatif. Oleh karena itu nilai-nilai eigen finite tersebut perlu ditempatkan supaya sistemnya menjadi stabil, dalam hal ini salah satu contoh penempatan nilai eigen atau sering disebut kutub finite untuk menyetabilkan sistem. Dengan demikian penempatan nilai-nilai eigen finte memiliki pengaruh mendalam pada sifat dinamis dan statis dari suatu 471ystem. Jika pada sistem linear singular, diberikan state feedback u(t) = Kx(t) + v(t) (6) Pada penempatan nilai-nilai eigen finite digunakan state kontrol feedback pada persamaan (6) yang sering disebut P-state (pure state) kontrol feedback Selanjutnya dengan mensubstitusi persamaan (6) pada persamaan (1) sehingga diperoleh sebagai berikut (7) yang dikenal dengan sistem loop tertutup (system closed-loop).

471

ISBN. 978-602-73403-0-5

Lema 6 Sistem (1) dikatakan R-controllable (R-terkendali) yaitu pada bentuk dekomposisi standar system yang terdiri subsistem pertama dan subsistem kedua maka subsistem pertama terkendali, maka untuk sebarang matriks gain K yang diberikan memenuhi kondisi sE – (A+BK)≠0 Bukti: Dari sifat bahwa sistem singular LTI R- terkendali jika dan hanya jika subsistem pertama terkendali yaitu memenuhi rank[sE-A, B] = n untuk semua s dan s finite. Berdasarkan rank[sE-A, B] = n Sehingga untuk suatu matriks K yang diberikan maka rank[sE- (A+BK)] = rank[sE-A, B].

=n

Karena rank[sE - (A+BK)] = n, maka matriks [sE - (A+BK)] berordo n mempunyai jumlah n baris atau n kolom maksimun bebas linear, sehingga memenuhi sE - (A+BK) ≠ 0 untuk semua s dan s finite  Teorema berikut menyatakan siafat keberadaan matriks K apabila sistemnya R terkendali. Teorema 7 Jika sistem R-terkendali (stabilizable), untuk setiap set simetris A dengan sejumlah n1 elemen pada bidang kompleks, maka selalu ada gain matriks K sedemikian rupa sehingga loop tertutup mempunyai himpunan nilai-nilai eigen finite (E,A+BK)= A ( C-) . Disini himpunan simetris adalah himpunan yang skalar kompleks muncul atau nampak pada pasangan konjugat, dan n1 adalah order atau derajat subsistem pertama pada bentuk dekomposisi standar system yaitu n 1 = deg(sE-A). Bukti Diberikan sistem (1) regular, sehingga terdapat matriks nonsingular P, Q berukuran nxn atas lapangan n xn R, yang memenuhi QEP = diag I n , N dan QAP = diag A1, I n dengan n1 + n2 = n , A1 R 1 1 , 1 2



N R

n 2 xn 2







nilpoten berindeks h dan sistem (1) didekomposisi ke dalam bentuk dekomposisi standar

 x1 (t)   , selanjutnya bentuk standar dekomposisi berikut:  x 2 ( t )

melalui transformasi x(t) = P 

x 1 ( t ) = A1x1 (t ) + B1u ( t ) ; y1(t) = C1x1(t) Nx 2 ( t ) = I n 2 x 2 ( t ) + B2 u(t) ; y2(t) = C2x2(t) Y = C1x1(t) + C2x2(t) dengan x1(t) R

n1

, x2(t) R

n2

, y1(t), y2(t)Rr , B1 R

n1xm

, B2 R

n 2 xm

,

C1 R

rxn1

,

rxn 2

C2 R , n1 + n2 = n dan N nilpoten berindeks h. atas asumsi bahwa sistem R-kontrolable yang artinya subsistem pertama kontrolable atau terkendali, 

sehingga untuk sebarang   C  terdapat matriks gain K1 yang memenuhi (A1 + B1K1) = . Misalkan diberikan state feedback kontrol sebagai berikut u(x) = K1x1(t) + v(t) sehingga diperolah u(x) =[ K1 0 ] P-1x(t) + v(t)

 x1 (t)  1  sehingga K =  K1 0 P x (t)  2 

dengan P-1 x(t) = 

dari persamaan diatas maka sistem loop tertutupnya menjadi

x1 (t)   A1  B1K1  x1 (t)  B1v(t)

Nx 2 (t)  x 2 (t)  B2K1x1 (t)  B2 v(t) Y(t) = C1x1(t) + C2x2(t) Dengan memperhatikan sifat nilpotent pada matriks N, dan himpunan kutub sistem loop tertutup, sehingga pada sistem loop tertutup diperoleh (E,A+BK)= (QEP , Q(A+BK)P)





 ) dan = (A1 + B1K1) =  (  C

K =  K1 0 P1

Jadi terbukti jika sistem singular LTI R-terkendali maka terdapat gain matriks sedemikian sehingga nilai-nilai eigen finite diberikan.

472

K =  K1 0 P1

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

Dalam proses pembuktian terlihat bahwa kontrol feedback yang dimaksud adalah kontrol feedback pada subsistem pertama yang sering disebut feedback lambat. Oleh karena itu, jika tujuannya memaksakan kontrol feedback adalah untuk menstabilkan sistem melaui penempatan nilai-nilai eigen yang diiginkan, dengan demikian cukup menyelesaikannya dengan menerapkan feedback lambat. Namun hal ini terdapat kelemahan karena n1 rank(E), yang kemungkinannya akan muncul term impuls dalam sistem loop tertutup dan sering tak terduga dalam praktek. Padahal term impuls pada sistem loop tertutup harusnya tidak nampak atau muncul. Untuk penjelasan lebih lengkan maka berikut diberikan contoh penempatan nilai eigen finite pada sistem berikut. Contoh Diberikan sistem singular LTI sebagai berikut

1 0 0  1 0 0  1  0 0 1  x(t)  0 1 0  x(t)  0  u(t)       0 0 0 0 0 1  1  Tentukan matriks gain K sedemikian sistem mempunyai nilai eigen finite  = {-1}, tentukan state kontrol feedback serta sistem loop yang terbentuk. Penyelesaian  dan s finite Sistem R terkendalia jika dan hanya jika rank[sE-A,B] = n , s C Pada sistem di atas diperoleh Rank [sE-A , B] = 3 maka sistem R terkendali. Sehingga dengan lema 1 dapat ditentukan K1 pada sub sistem pertama. Karena sistem regular maka sistem dapat didekomposisi ke dalam bentuk dekomposisi standar sebagai berikut

1 0 0  1 0 0  1  0 0 1  x(t)  0 1 0  x(t)  0  u(t)       0 0 0 0 0 1  1  0 1  0  Sehingga diperoleh n1 = 1, n2 = 2 dan N   ,A1  1 , B1  [1] dan B2     0 0  1  bentuk dekomposisi standar sistem

x 1 ( t ) = x1 (t)  1 x1 (t)  1 u(t)

0 1  1 0  0  0 0 x 2 (t)  0 1  x 2 (t)  1  u(t)       Dari diketahui  = {-1}. Selanjutnya menentukan K1, sehingga (A1 + B1K1) =  = {-1} Atau himpunan nilai-nilai eigen matriks (A1 + B1K1) adalah {-1} oleh karena itu matriks (A1 + B1K1) berordo 1 dan mempunyai nilai eigen berjumlah 1. diperoleh det((A1 + B1K1) – sI) = 0, dengan nilai eigen s = -1, dan misalkan K1 = [ k1 ] menentukan matriks K det((A1 + B1K1) – sI) = det( [1] + [1]. [ k1 ] – s.I) = 2 + k1 = 0 maka k1 = -2. Jadi K1 = [ -2 ]. Dalam hal ini

K =  K1 02  P1   2 0 0.I3   2 0 0

Berdasarkan hasil perhitungan, maka state kontrol feedback Sehingga sistem loop tertutup yang terbentuk adalah

1 0 0   1 0 0  1  0 0 1  x(t)   0 1 0  x(t)  0  v(t)       0 0 0  2 0 1  1 

473

u(t) = K.x(t) + v(t)

ISBN. 978-602-73403-0-5

Dari hasil di atas terlihat adanya term impuls, jadi sistem loop tertutup yang terbentuk muncul adanya state respone, dalam hal ini harus dihindari. Jadi terbukti setelah melalui proses perhitungan, sistem loop tertutup mempunyai himpunan kutub-kutub {-1} atau (E,A+BK) = {-1}, pada kenyataan pada teori sistem kontrol berlaku apabila rankE = 2 seharusnya sistem loop tertutup terdapat dua nilai eigen, sehingga pada sistem loop tertutup terdapat term impuls. Oleh karena itu, tujuan memberikan kontrol umpan balik yaitu untuk menempatkan kutub finite dan kutub infinite. Dalam hal ini tidak hanya menempatkan kutub-kutub saja, tetapi adanya term impuls harus dieliminasi pada state respon sistem loop tertutup. Berikut menyatakan keberadaan matriks gain K pada state kontrol feedback. Teorema 8 Diberikan sistem singular LTI terkendali. Maka untuk sebarang himpunan  dengan jumlah elemen sama dengan rankE pada bidang kompleks, selalu ada matriks gain K sedemikian sehingga sistem loop tertutup mempunyai himpunan kutub-kutub finite, atau (A + BK) =  Bukti Diberikan P1 dan Q1 matriks nonsingular yang memenuhi Q1EP1 = diag(Iq , 0) dengan q = rankE

A Q1AP1   11  A 21

A12  B  , Q1B   1  ,  A 22   B2 

x(t)  P11x(t)

Sistem singular LTI mempunyai bentuk equivalen sebagai berikut

 Iq 0 

0 A x(t)   11  0  A 21

A12  B  x(t)   1  u(t)  A 22   B2 

Diasumsikan

sistemnya terkendali, sehingga sistem impuls terkendali dan memenuhi rank[A22 , B2 ]  n  q , sistem (A22 , B2) dapat dinormalkan, sehingga terdapat suatu matriks K2 yang

dapat dipilih sedemikian sehingga

A22  B2 K 2  0



Misalkan K  0

K 2  P11 dan u(t)  Kx(t)  u1 (t)

u(t)  0 K 2  P11.x(t)  u1 (t)  0 K 2  x(t)  u1(t) dengan u1(t) merupakan input baru untuk sistem, sehingga sistem loop tertutup yang terbentuk adalah

 Iq 0 

0 A x(t)   11  0  A 21

Matriks  A 22  B2 K 2 

1

A12  B1K 2  B  x(t)   1  u1 (t)  A 22  B2 K 2   B2 

ada karena

A22  B2 K 2  0 .

Selanjutnya didefinisikan matriks Q2 dan P2 matriks nonsingular sebagai berikut

 I (A12  B1K 2 )(A 22  B2 K 2 ) 1  Q2   q  I n q  0  Iq 0   P2   1 1   (A 22  B2 K 2 ) A 21 (A 22  B2 K 2 )  Dari perhitungan langsung diperoleh

Q2diag(Iq ,0)P2  diag(Iq ,0)

A Q2  11  A 21

A12  B1K 2  B  B  P2  diag(A1 , I) , Q2  1    1   A 22  B2 K 2   B2   B2 

Dengan

A1  A11  (A22  B2 K 2 )(A22  B2 K 2 ) 1 A21 B1  B1  (A12  B1K 2 )(A22  B2 K 2 )1 B2 dengan B2  B2

474

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

Selanjutnya dengan definisi

x(t)  P1x(t) = P1P1x(t) 2 2 1

Sistemnya ekuivalen ke bentuk

B  diag(Iq , 0)x(t)  diag(A1 , I)x(t)   1  u1 (t)  B2 

Yang bersifat R-terkendali berdasarkan lema 6.

(A1 , B1 ) terkendali sehingga untuk sebarang himpunan 

Karena pasangan

mempunyai elemen

q = rankE, maka suatu matriks K1 dapat dipilih sedemikian sehingga memenuhi

sebanyak





 A1  A1K1   Didefinisikan state vektor masukan baru u1 (t)   K1 

0 x(t)  v(t)

Sehingga diperoleh state keseluruhan kontrol feedback : u(t)  Kx(t)  K1 dan dengan







0 x(t)  v(t)

K  K  K1 0 P21.P11 maka diperoleh u(t)  Kx(t)  v(t)

Jadi untuk suatu gain matriks K maka sistem loop tertutup memiliki himpunan nilai-nilai eigen finite

  E, A  BK     A1  B1K1   

.

Berdasarkan kontruksi pembuktian teorema tersebut maka dapat di desain proses untuk menentukan gain matriks K untuk menempatkan kutub-kutub finite sistem yang diberikan. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh berikut. B. Aplikasi pada rangkaian RLC sederhana sebagai berikut

dengan R resistor , L indukstansi diri (henry), C capasitor (farad), I arus yang mengalir , dan Vs tegangan sumber (volt). VR(t) tegangan resistor, VC tegangan capasitor, VL tegangan pada indukstansi. Pada rangkaian tersebut diterapkan Hukum Kirchof dan hukum hukum fisika berlaku

L

dVC (t) I(t) dI(t) ,0 = –R.I(t) + VR(t) , dan 0 = VR(t) + VC(t) +VL(t) - Vs(t)   VL (t) , dt C dt

Dan dihasilkan bentuk model persamaan berikut:

L 0  0  0

0 0 0 0

0 1 0 0

0  I(t )   0   0 VL (t )  1 / C   0 VC (t )   R    0 VR (t )   0

1 0 0 1

0 0 0 1

0  I (t )   0  0 VL (t )   0     Vs (t )  1 VC (t )  0      1 VR (t )   1

Model persamaan diatas merupakan model sistem singular selanjutnya jika R, L dan C misalkan bernilai 1, maka diperoleh sebagai berikut

475

ISBN. 978-602-73403-0-5

1 0  0  0

0 0 0 0

0 1 0 0

0  I(t )   0   0 VL (t )   1  0 VC (t )  1    0 VR (t )   0

1 0 0 1

0 0 0 1

0  I (t )   0  0 VL (t )   0   Vs (t ) 1 VC (t )  0      1 VR (t )   1

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk Ex (t )  Ax (t )  Bu (t ) dan misalkan u(t) =Vs(t) sebagai vektor masukan merupakan tegangan pada sumber. Sehigga diperoleh model bentuk sistem singular LTI sebagai berikut

1 0  0  0

0  0 1 0 0 0    0 0 1 0 0 0  x(t)  x(t)    u(t)  1 0 0 1  0 0      0  0 1 1 1  1 menentukan deg  sE  A   deg  -s 2  s  1  2 0 0 0 0

0 1 0 0

Sehingga sistem mempunyai dua nilai eigen, dan himpunan nilai eigennya : (E,A) = {-1,6180 , 1,2361}. Terlihat bahwa sistem tersebut tidak stabil karena terdapat nilai eigen yang terletak pada setengah bidang 

 . kanan atau (E,A)  C Berikut akan dijabarkan penempatan nilai-nilai eigen finite model sistem rangkaian RLC sederhana dengan mengambil R = L = C = 1 (sesuai model di atas) 0 1  1  1 Sistemnya regular, maka terdapat matriks P =  0 1  0 1

0 1 0 0

0 0 dan Q = 0  1

1 0  0  0

0 1  1 1 0 0  serta 0 1 1   0 1 0

 x1   x  sedemikian sehingga bentuk dekomposisi standar sistem:  2  1  1 1  1 x 1 ( t )   x 1 ( t )    v( t ) 0 = x 2 ( t )    v ( t )  1 0 0 0 ,

matriks stransformasi P-1x =

y(t) =

0 1x1(t)  0

0x 2 (t )

terlihat nilai N = 0 sehingga sistem tidak punya nilai-nilai eigen infinite. Karena sistemnya terkendali maka R-kontrollable artinya subsistem pertama terkendali, diasumsikan bahwa himpunan nilai-nilai eigen finite  = {-1,-2} Selanjutnya menentukan K1, sedemikian sehingga (A1 + B1K1) =  = {-1,-2} dengan kata lain menyatakan himpunan nilai-nilai eigen subsistem pertama (A1 + B1K1) adalah {-1,-2} dan misalkan K1 = [ k1 k2 ] , sehingga diperoleh det((A1 + B1K1) – sI) =

  1 1 1        k1   1 0  0

 1  k1  s 1  k 2 k 2    sI  0 1 s 

s  k1s  s 2  1  k 2  s 2  (k1  1)s  (1  k 2 )  0 Untuk s = -1 diperoleh -1 – k1 +1 +1 – k2 = 0 maka k1 + k2 = 1 Untuk s = -2 diperoleh -4 – 2k1 +2 +1 – k2 = 0 maka 2k1 + k2 = -1 Diperolek k1 = -2 dan k2 = 3. Jadi K1 = [ -2 3]

476

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

dan K = [K1 02 ]P-1

  2 3

1 0  1 1 0 0   0 1  1 0

0 1 0 0

1

0 0    2 0 3 0 0  1

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh state kendali feedback sebagai berikut u(t) = K.x(t) + v(t) = [ -2 0 3 0 ].x(t) + v(t)

1 0  sehingga sistem loop tertutupnya :  0  0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0  1 0 x(t)    1 0   0 2

1 0 0 0 0 0 1 2

0 0  0 0 x(t)    v(t) 0 1    1  1

Dari hasil di atas terlihat tidak terdapat term impuls, jadi sistem loop tertutup yang terbentuk stabil dan tidak terdapat term impuls pada state respon. IV. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Berdasarkan analisis dan pembahasan maka dapat disimpulkan bahwa stabilizability dan impuls terkendali merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk keberadaan K sehingga sistem loop tertutup tidak hanya stabil tapi juga tidak memiliki nilai-nilai eigen infinite dan tidak terdapat term impuls dalam state respon. matriks gain K yang ditentukan tidak tunggal yaitu tergantung nilai-nilai eigen yang diberikan. Pada contoh aplikasi rangkaian RLC sederhana, modelnya berbetuk sistem singular LTI dengan memisalkan R=L= C = 1 maka sistemnya terkendali dan tidak stabil, selanjutnya untuk menyetabilkan sistem maka nilai eigen ditentukan misalkan sistem mempunyai himpunan nilai-nilai eigen {-1 , -2 } dan dengan menerapkan teorema maka diperoleh matriks gain K = [-2 0 3 0] dan state kontrol feedback u(t) = [-2 0 3 0]x(t) + v(t) B. Saran Pada penelitian ini disarankan dapat diaterapkan pada sistem singular yang dengan dimensi lebih besar sehingga membutuhkan software dalam perhitungan, pada aplikasinya diterapkan pada model rangkaian RLC seri atau paralel. DAFTAR PUSTAKA

[1] A.G. Bunse,, dkk, 1999, Feedback Design for Regularizing Descriptor Systems, Linear Algebra and Application, No.299. [2] F.R. Gantmacher, 1960, The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company, New York [3] G.J. Olsder, 1994, Mathemathical Systems Theory, Delftse Uitgevers Maatschappij, Delft, Netherlands.. [4] K Suryowati, S Wahyuni dan Widodo, 2002, Bentuk Dekomposisi Standar Sistem (E,A,B,C), Dipublikasikan di Jurnal Matematika, Universitas Negeri Malang. [5] K Suryowati dan Y Setyawan, 2012, Penerapan Penempatan Nilai Eigen Infinite Sistem Singular pada Penyelesaian Persamaan Polinomial Matriks [Es – A] X + B Y = U(s), Dipublikasikan pada Jurnal Teknologi TECHNOSCIENTIA, Institut Sains dan Teknologi AKPRIND, Yogyakarta [6] L. Dai, 1989, Singular Control Systems,Lecture Notes in Control and Information Sciences, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York.

477

ISBN. 978-602-73403-0-5

[7] S.Y. Zhang, 1989, Pole placement for singular systems, System and Control Letters. [8] T. Kaczorek, 2004, Int. J. Appl. Math. Comput. Sci, Volume 14, : Infinite eigen value Assigment by Output Feedback for singular systems, Warsaw niversity of Technology, Poland [9] Y. Runyi and Dianhui Wang, 2006, Finite eigen value by Output Feedback for singular systems, IEEE Trans. on Auto. Control

478