TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM
Bab 2 – Sistem
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
51 BAB II S I S T E M
Tujuan Instruksional 1. Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem. 2. Khusus Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan: -
Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian sistem.
-
Mahasiswa dapat membedakan jenis sistem waktu kontinyu dan sistem waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat memahami jenis-jenis interkoneksi sistem.
-
Mahasiswa dapat menjelaskan sifat-sifat sistem.
-
Mahasiswa dapat menerapkan teori untuk analisis sistem, terutama yang berhubungan dengan bidang teknik elektro.
2.1. Pengertian Sistem Sistem dapat diartikan sebagai suatu proses dimana isyarat masukan akan diubah menjadi isyarat keluaran. Suatu sistem terdiri atas komponen-komponen, piranti-piranti, atau bagian-bagian yang lebih kecil yang disebut subsistem. Dipandang dari sifat isyarat masukan dan keluarannya, sistem dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu: 1. Sistem waktu kontinyu Pada sistem waktu kontinyu, masukan berupa isyarat waktu kontinyu dan akan dihasilkan keluaran yang merupakan isyarat waktu kontinyu pula. Isyarat masukan sistem waktu kontinyu biasanya dinotasikan dengan x(t), dan isyarat keluarannya dinotasikan dengan y(t). Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu kontinyu akan dinotasikan dengan pernyataan:
52 x(t) → y(t) Hubungan ini juga dapat diperlihatkan dengan ilustrasi pada gambar 2.1.
Sistem waktu kontinyu
x(t)
y(t)
Gambar 2.1 Sistem waktu kontinyu
2. Sistem waktu diskrit Pada sistem waktu diskrit, masukan berupa isyarat waktu diskrit dan akan dihasilkan keluaran yang merupakan isyarat waktu diskrit pula. Isyarat masukan sistem waktu diskrit biasanya dinotasikan dengan x[n], dan isyarat keluarannya dinotasikan dengan y[n]. Hubungan masukan-keluaran dalam sistem waktu diskrit akan dinotasikan dengan pernyataan: x[n] → y[n] Hubungan ini juga dapat diperlihatkan dengan ilustrasi pada gambar 2.2.
Sistem waktu diskrit
x[n]
y[n]
Gambar 2.2 Sistem waktu diskrit
2.2. Interkoneksi Sistem Seperti telah dikemukakan di atas, sistem dapat tersusun atas beberapa subsistem yang lebih sederhana. Untuk membentuk sistem ini, dibutuhkan hubungan antara subsistem-subsistem tersebut yang biasanya disebut interkoneksi sistem. Adanya interkoneksi sistem ini juga akan memudahkan analisis, karena sistem dapat dipecah menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana. Ada beberapa jenis interkoneksi sistem yang sering dijumpai, yaitu: 1. Interkoneksi seri (cascade) Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.3.
53
masukan
keluaran Sistem 1
Sistem 2
Gambar 2.3 Interkoneksi seri
2. Interkoneksi paralel Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.4.
Sistem 1 masukan
+
keluaran
Sistem 2
Gambar 2.4 Interkoneksi paralel
3. Interkoneksi seri - paralel Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.5.
Sistem 1
Sistem 2 ⊕
x(t)
Sistem 4
y(t)
Sistem 3
Gambar 2.5 Interkoneksi seri – paralel
Antara sistem 1 dan sistem 2 terhubung seri, sistem 1 dan sistem 2 terhubung paralel dengan sistem 3. Sedangkan sistem 1, 2, dan 3 terhubung seri dengan sistem 4. 4. Interkoneksi umpan balik (feedback)
54 Interkoneksi umpan balik menghubungkan keluaran kembali ke masukannya. Hubungan semacam ini biasanya digunakan dalam pengendalian (kontrol). Interkoneksi ini diilustrasikan pada gambar 2.6.
masukan
keluaran Sistem 1
⊕
Sistem 2
Gambar 2.6 Interkoneksi umpan balik
Keluaran sistem 1 merupakan masukan sistem 2, sedangkan keluaran sistem 2 diumpan-balik dan ditambahkan ke masukan eksternal untuk menghasilkan masukan yang aktual.
2.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Untuk rangkaian seperti gambar 2.7 berikut ini, maka tentukan bagaimana hubungan antara Vs(t) sebagai masukan dan Vc(t) sebagai keluaran. R
i(t) Vs
C
VC
Gambar 2.7 Rangkaian RC untuk contoh soal no. 1
Penyelesaian: Arus i(t) yang mengalir dalam rangkaian dapat dinyatakan dengan: i(t) =
Vs (t) − Vc (t) R
55 atau dapat juga dinyatakan sebagai:
i(t) = C
d Vc (t) dt
Sedangkan pada rangkaian berlaku hubungan:
VR + VC = VS i(t) R + VC = VS d VC (t) + VC (t) = VS (t) dt d 1 1 VC (t) + VC (t) = VS (t) dt RC RC
RC
Persamaan yang terakhir inilah yang menyatakan hubungan antara VS(t) sebagai masukan dan VC(t) sebagai keluaran pada rangkaian RC tersebut. 2. Sebuah bank memberikan bunga sebesar 10% setiap akhir bulan. Nyatakan hubungan antara y[n] dan x[n], jika y[n] adalah saldo akhir bulan ke-n dan x[n] adalah simpanan bersih bulan ke-n. Penyelesaian: x[n] adalah simpanan bersih pada bulan ke-n y[n] adalah saldo akhir bulan y[n-1] adalah saldo akhir bulan ke-[n − 1] maka y[n] = x[n] + 1,1 y[n − 1] 3. Untuk gambar rangkaian 2.8 di bawah ini, gambarkan diagram blok yang mengilustrasikan interkoneksi sistem yang mewakilinya.
i1(t)
i2(t) R V(t)
i(t)
C
Gambar 2.8 Rangkaian untuk soal no. 3
56
Penyelesaian:
i(t) +
t
i1(t)
1 v (t ) = ∫ i1 (t ) dt C −∞
-
i2 (t ) = i2(t)
v(t)
v(t ) R
Gambar 2.9 Diagram blok untuk soal no. 3
2.2.2
Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem terdiri atas dua buah subsistem yang terhubung dengan interkoneksi seri seperti terlihat pada gambar 2.3. Berikut adalah hubungan masukan dan keluaran untuk masing-masing sistem. Subsistem 1 : y1[n] = 2x1[n] + 4x1[n − 1] Subsistem 2 : y2[n] = x2[n] + 0,5x2[n − 3] Dengan x1[n] dan x2[n] melambangkan isyarat masukan sistem 1 dan sistem 2, sedangkan y1[n] dan y2[n] adalah isyarat keluaran masing-masing subsistem. Tentukanlah: a. Hubungan masukan dan keluaran sistem secara keseluruhan. b. Apakah keluaran sistem akan berubah jika urutan interkoneksi kedua subsistem dibalik? Jika berubah, tentukan hubungan masukan dan keluaran sistem yang baru. 2. Ulangi soal no. 1 jika antara subsistem 1 dan subsistem 2 terhubung dengan interkoneksi paralel.
57 2.3.
Sifat-sifat Sistem Pada subbab ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar sistem yang mempunyai
interpretasi fisik yang penting. 1. Sistem dengan dan tanpa memori Pada sistem tanpa memori, keluaran sistem pada suatu waktu tertentu hanya bergantung pada masukan pada waktu yang sama. Contoh sistem tanpa memori adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y[n] = 2 x[n] v(t) = R i(t) y(t) = x(t) Contoh terakhir biasa disebut dengan sistem identitas, yaitu suatu sistem yang keluarannya sama dengan masukannya. Sistem dengan memori mempunyai mekanisme untuk menyimpan informasi harga masukan yang bukan saat ini, masukan ini mempengaruhi sistem. Contoh sistem dengan memori adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y[n] = x[n − 1] y[ n ] =
n
∑
x[ n ]
k =∞
1 v (t ) = C
t
∫ i ( t ) dt
−t
2. Sistem inversi Sebuah sistem disebut invertibel jika masukan yang tertentu menghasilkan keluaran yang tertentu pula. Dengan kata lain bahwa masukan sistem dapat diperoleh kembali dengan cara inversi. Contoh sistem invertibel adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y(t) = 2 x(t), maka masukan x(t) dapat diperoleh dengan cara inversi, yaitu x(t) = 0,5 y(t) Contoh sistem non invertibel adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y[n] = 0
58 y(t) = {x(t)}2 Pada kedua contoh sistem ini, masukan yang menghasilkan keluaran tertentu tidak dapat ditentukan secara pasti. 3. Kausalitas Suatu sistem disebut kausal jika keluaran sistem hanya bergantung pada harga masukan saat ini dan masukan yang telah lalu (sebelumnya). Sistem yang seperti ini juga disebut sistem nonantisipasif (yaitu sistem yang tidak dapat meramalkan masukan yang akan datang). Contoh sistem kausal adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: t
1 v(t ) = ∫ i (t ) dt C −t Contoh sistem non-kausal adalah sistem yang mempunyai hubungan keluaran dan masukan sebagai berikut: y[n] = x[n] – x[n +1] y(t) = x(t +1) Sistem-sistem tanpa memori merupakan sistem kausal. 4. Stabilitas Sistem yang stabil merupakan sistem yang dengan masukan kecil namun tetap menghasilkan keluaran yang tidak menyimpang. Sebagai contoh adalah jarum pendulum jam. Masukan x(t) berupa gaya tarikan, sedangkan keluaran y(t) berupa deviasi sudut yang dihasilkan. Meskipun masukan x(t) cukup kecil, pendulum akan tetap kembali pada posisi awalnya (gambar 2.10a). Sistem yang tidak stabil diperlihatkan pada gambar 2.10b.
x(t)
y(t)
y(t)
(a)
x(t)
(b)
Gambar 2.10 (a) Sistem stabil (b) Sistem tidak stabil
59
5. Invariansi waktu (time invariance) Sebuah sistem disebut waktu invarian jika perilaku sistem tersebut tidak terpengaruh oleh waktu. Sebagai contoh misalnya sebuah rangkaian RC; rangkaian RC pada eksperimen hari ini akan menghasilkan tanggapan yang sama dengan tanggapan yang dihasilkan pada eksperimen pada hari sebelumnya. Sifat waktu invarian sebuah sistem, secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sistem waktu diskrit: Jika y[n] adalah keluaran untuk masukan x[n], maka y[n − n0] adalah keluaran untuk masukan x[n − n0]. x[n] → y[n] x[n − n0] → y[n − n0] Untuk sistem waktu kontinyu: Jika y(t) adalah keluaran untuk masukan x(t), maka y(t − t0) adalah keluaran untuk masukan x(t − t0). x(t) → y(t) x(t − t0) → y(t − t0) 6. Linearitas Jika sebuah sistem mempunyai keluaran y1(t) untuk masukan x1(t) dan keluaran y2(t) untuk masukan x2(t), maka sistem tersebut linear jika: a. Masukan x1(t) + x2(t) menghasilkan keluaran y1(t) + y2(t) b. Untuk sebuah konstanta c, maka masukan cx1(t) akan menghasilkan keluaran cy1(t) Dengan kata lain, sebuah sistem disebut linear jika memenuhi syarat: Untuk sistem waktu kontinyu: c x1(t) + d x2(t) → c y1(t) + d y2(t) Untuk sistem waktu diskrit: c x1[n] + d x2[n] → c y1[n] + d y2[n]
60 Sistem linear mempunyai sifat superposisi, yaitu jika masukan sistem merupakan kombinasi yang dinyatakan oleh
x[n] = ∑ ak xk [n] k
= a1 x1[n] + a2 x2 [n] + ... maka tanggapan sistem dinyatakan sebagai jumlahan
y[n] = ∑ ak y k [n] k
= a1 y1[n] + a2 y 2 [n] + ... dengan k = 1, 2, 3, …. Sifat superposisi juga berlaku untuk sistem waktu kontinyu.
2.3.1.
Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan y(t) = sin {x(t)} Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian. Penyelesaian: Misalkan x1(t) adalah masukan sebarang sehingga akan diperoleh keluaran y1(t) = sin { x1(t) } Jika x1(t) digeser sebesar t0 ke arah kanan sehingga menjadi x2(t) sebagai berikut x2(t) = x1(t − t0) Maka dengan masukan x2(t) akan diperoleh keluaran y2(t)
= sin {x2(t)} = sin { x1(t – t0)}
Sehingga x1(t) → sin {x1(t)} x1(t – t0) → sin {x1(t – t0)} Nilai sinus suatu masukan tergeser adalah versi tergeser dari keluaran, atau pergeseran waktu pada masukan menghasilkan pergeseran yang sama pada sisi keluaran. Dengan demikian, sistem yang dinyatakan dengan persamaan y(t)=sin{x(t)} merupakan sistem yang mempunyai sifat waktu invarian.
61 2. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan y(t) = x(2t) Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian. Penyelesaian: Misalkan isyarat masukan x1(t) adalah sebagai berikut: x1(t) 1
-2
2
t
Gambar 2.11 Masukan x1(t) untuk soal no.2 maka keluaran sistem adalah
y1(t) = x1(2t) 1
-1
1
t
Gambar 2.12 Keluaran y1(t) untuk soal no.2 Sebuah sistem disebut mempunyai sifat waktu invarian jika pergeseran waktu pada masukan akan menghasilkan pergeseran yang sama pada keluaran. Dengan demikian, penggeseran masukan pada gambar 2.11 menjadi x2(t) = x1(t – 2) maka akan menggeser keluaran pada gambar 2.12 menjadi y2(t) = y1(t – 2). Dengan masukan x2(t), keluaran sistem diperlihatkan pada gambar 2.13b. Sistem mempunyai sifat waktu invarian jika dipenuhi syarat y2(t) = y1(t – 2), yang berarti gambar 2.13b harus sama dengan gambar 2.13c. Ternyata syarat ini tidak dipenuhi, sehingga dengan demikian sistem yang dinyatakan dengan persamaan y(t)=x(2t) adalah sistem yang tidak waktu invarian.
62
x2(t) = x1(t - 2) 1
(a) 0
4
t
y2(t) 1
(b)
0
2
t
y1(t – 2) (c)
0
1
2
t
Gambar 2.13 (a) Masukan x2(t) = x(t – 2) (b) Keluaran y2(t) (c) Keluaran y1(t) versi tergeser
2.3.2.
Soal-soal Tambahan
1. Buktikan bahwa sistem yang mempunyai hubungan masukan dan keluaran y[n] = 0 merupakan sistem yang non-invertibel. 2. Buktikan bahwa sistem yang mempunyai hubungan masukan dan keluaran y[n] = {x(t)}2 merupakan sistem yang non-invertibel. 3. Jelaskan mengapa sistem tanpa memori juga merupakan sistem yang kausal.
63 4. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan persamaan y(t) = cos {x(t)} Tentukanlah apakah sistem tersebut adalah sistem yang waktu invarian. 5. Sebuah sistem waktu kontinyu dinyatakan dengan y(t) = x(t - 2) + x(2 - t) Tentukanlah apakah sistem tersebut mempunyai memori atau tanpa memori. 6. Sebuah sistem waktu diskrit dinyatakan dengan y[n] = x[t – 2] - 2x[n – 8] Tentukanlah sifat-sifat apa saja yang melekat pada sistem tersebut.
