Teori Relativitas Khusus

Teori Relativitas Khusus Agus Suroso ([email protected]) Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung agussuroso102.wordpress.com

18 April 2017

Agus Suroso (FTETI-ITB)

Teori Relativitas Khusus

18 April 2017

1 / 39

Materi

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Transformasi Lorentz

3

Relativitas dari Keserentakan

4

Relativitas Kecepatan

5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

2 / 39


1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

3 / 39


Prinsip Relativitas Galileo Prinsip relativitas Galileo: ”Hukum-hukum mekanik haruslah berbentuk sama menurut semua kerangka acuan inersial.” Kerangka acuan inersial adalah kerangka acuan yang tidak dipercepat (diam atau bergerak dengan kecepatan konstan). Contoh: stasiun dan kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan



18 April 2017

4 / 39


Prinsip Relativitas Galileo Seseorang berdiri di dalam kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan (v ).

ys

yk

Stasiun (s)

Kereta (k)

v xk

xs vt

xk xs

Posisi ruangwaktu orang menurut kedua kerangka adalah: ts = tk ,

ys = yk ,

zs = zk ,

(1)

xs = xk + vt.

(2)

(transformasi Galileo) Agus Suroso (FTETI-ITB)


18 April 2017

5 / 39


Prinsip Relativitas Galileo Jika kemudian orang berjalan dalam kereta dengan kecepatan uk relatif terhadap kereta,

Kecepatan orang menurut kedua kerangka adalah: us =

dxs , dts

uk =

xk . dtk

(3)

Dari transformasi Galileo, us = uk + v . Agus Suroso (FTETI-ITB)


(4) 18 April 2017

6 / 39


Prinsip Relativitas Galileo Bagaimana jika ada berkas cahaya yang merambat dalam kereta dengan kecepatan c menurut kereta?

Kecepatan cahaya menurut stasiun menjadi: cs = c + v .

(5)

Kecepatan cahaya menurut kedua kerangka berbeda! Ini bertentangan dengan teori Maxwell tentang gelombang elektromagnetik, bahwa c = √µ10 ε0 (konstan). Agus Suroso (FTETI-ITB)


18 April 2017

7 / 39


Prinsip Relativitas Einstein

Einstein: 1

2

Prinsip relativitas: hukum-hukum Fisika haruslah berbentuk sama di semua kerangka acuan inersial. Laju cahaya konstan: Laju cahaya dalam vakum bernilai sama c = 3.00 × 108 m/s, bagi semua kerangka inersial, tidak bergantung pada kecepatan pengamat atau kecepatan sumber yang memancarkan cahaya.



18 April 2017

8 / 39


1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

9 / 39


Kereta dan Stasiun (lagi)

Menurut Lorentz, hubungan antara koordinat menurut kereta dan stasiun seharusnya berbentuk t = γ t 0 + vx 0 /c 2 , x = γ (x 0 + vt 0 ) , y = y 0, z = z 0.

(6) (7) (8)

dengan γ disebut faktor Lorentz. Agus Suroso (FTETI-ITB)


18 April 2017

10 / 39


Faktor Lorentz dan parameter kecepatan

Faktor Lorentz

1 γ=p , 1 − β2

(9)

parameter kecepatan,

v . c Untuk laju kerangka yang rendah, v << c:


β=

(10)

β ≈ 0,

(11)

γ ≈ 1.

(12)


18 April 2017

11 / 39


Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun Tulis kembali pers.(6) t = γ t 0 + vx 0 /c 2 .

(13)

Bagi pers. (7) dengan v , x =γ v

x0 0 +t . v

(14)

Kurangkan dua persamaan terakhir, x x0 x0 t − = γ vx 0 /c 2 − = γ v 2 /c 2 − 1 . v v v

(15)

Selesaikan untuk mendapatkan x 0 = γ (x − vt) . Agus Suroso (FTETI-ITB)


(16) 18 April 2017

12 / 39


Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun Dengan cara yang mirip seperti sebelumnya, didapat t 0 = γ t − vx/c 2 .

(17)

F Jadi secara total: t = γ t 0 + vx 0 /c 2 , x = γ x 0 + vt 0 ,

t 0 = γ t − vx/c 2 , x 0 = γ (x − vt) ,

y = y 0,

y0 = y,

z = z 0.

z 0 = z.

Untuk β = v /c kecil, persamaan tersebut akan kembali ke transformasi Galileo t 0 = t, Agus Suroso (FTETI-ITB)

x = x 0 + vt.


(18) 18 April 2017

13 / 39


1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

14 / 39


Relativitas dari Keserentakan Salah satu konsekuensi dari laju cahaya konstan adalah dua orang yang bergerak relatif satu sama lain tidak akan sepakat apakah dua kejadian terjadi serentak (simultan) atau tidak.



18 April 2017

15 / 39


Relativitas dari Keserentakan Jika ada dua kejadian berurutan (misalnya dua petir yang terjadi berurutan), maka kerangka kereta dan stasiun masing-masing mengamati selang waktu dua kejadian tersebut sebagai ∆t 0 dan ∆t. Hubungan keduanya mengikuti pers. (6): ∆t = γ ∆t 0 + v ∆x 0 /c 2 . (19) Jika seseorang di kereta mengamati kedua petir terjadi secara serentak, maka ∆t 0 = 0, dan menurut persamaan di atas, ∆t 6= 0. Demikian juga jika sebaliknya, ∆t = 0 ⇒ ∆t 0 6= 0. Jadi, serentak atau tidak itu relatif!



18 April 2017

16 / 39


1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

17 / 39


Relativitas kecepatan Dari pers.(6) dan (7), diperoleh ∆x = γ (∆x 0 + v ∆t 0 ) , 0

0

∆t = γ ∆t + v ∆x /c

(20) 2

.

(21)

Dengan sedikit aljabar, diperoleh u=


u0 + v u−v ⇔ u0 = . 1 + u 0 v /c 2 1 − uv /c 2


(22)

18 April 2017

18 / 39


Relativitas kecepatan Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurut orang di kereta adalah u 0 = c dan menurut orang di stasiun u=

c +v = c. 1 + cv /c 2

(23)

Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c.



18 April 2017

19 / 39


Relativitas kecepatan Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurut orang di kereta adalah u 0 = c dan menurut orang di stasiun u=

c +v = c. 1 + cv /c 2

(23)

Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c. Demikian juga sebaliknya, jika u = c maka u0 =

c −v = c. 1 − cv /c 2

(24)

Jadi, c konstan bagi semua pengamat.



18 April 2017

19 / 39



1

Dua benda bergerak saling mendekat dengan kecepatan masing-masing 0, 5c. Berapakah kecepatan relatif satu benda terhadap lainnya? Bagaimana pula jika kecepatan kedua benda 0, 9c?

2

Sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan v menyalakan lampu depan. Berapakah kecepatan cahaya menurut orang yang diam di tepi jalan?

Apa kesimpulan Anda?



18 April 2017

20 / 39

Kontraksi Panjang

1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

21 / 39

Kontraksi Panjang

Tinjau posisi jendela kereta

Ahmad berada di dalam kereta. Menurutnya, posisi kursi jendela ke-1 dan ke-3 masing-masing x10 dan x30 , dan jarak kedua jendela adalah LA ≡ ∆x 0 = x10 − x30 .



18 April 2017

(25)

22 / 39

Kontraksi Panjang

Tinjau posisi jendela kereta Budi, yang berada di stasiun, mengukur jarak antarjendela dengan menentukan posisi kedua jendela saat t tertentu dan menghitung selisihnya. Gunakan transformasi Lorentz, ! ∆t 0 LA 0 ∆t = γ ∆x − v |{z} ∆t ⇒ LB = ∆x = = . (26) γ γ 0

y

y'

Stasiun (O)

O


Kereta (O')

v x x1 x2

O'


x' L

18 April 2017

23 / 39

Kontraksi Panjang

Kontraksi panjang

Panjang yang diukur oleh Ahmad adalah panjang proper, L0 . Benda sepanjang L0 , jika bergerak dengan laju v akan mengalami kontraksi, hingga panjangnya berubah menjadi L=

L0 γ

(27)

Karena γ ≥ 1, maka L ≤ L0 . Besaran L0 disebut sebagai panjang proper (proper length), yaitu panjang suatu benda yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerak bersama benda.



18 April 2017

24 / 39

Dilasi waktu

1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

25 / 39

Dilasi waktu

Dilasi waktu

Ahmad menyantap makan siangnya di dalam kereta selama waktu ∆t 0 . Selama makan, Ahmad tetap duduk di kursinya (dengan demikian perubahan posisi Ahmad selama makan, menurut kerangka kereta, adalah ∆x 0 = 0). Selang waktu Ahmad makan menurut Budi (yang berada di stasiun) adalah ! ∆t = γ

∆t 0 − v |{z} ∆x 0 /c 2

= γ∆t 0 .

(28)

0



18 April 2017

26 / 39

Dilasi waktu

Dilasi waktu

Jika ∆t0 adalah selang waktu dua kejadian yang terjadi di dalam kereta, diukur oleh pengamat di dalam kereta, maka selang waktu dua kejadian tersebut, diukur oleh orang di stasiun adalah ∆t = γ∆t0 .

(29)

Karena γ ≥ 1, maka ∆t ≥ ∆t0 . Besaran ∆t0 disebut sebagai waktu proper (proper time), yaitu selang waktu dua kejadian yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerak bersama kejadian tersebut.



18 April 2017

27 / 39

Dilasi waktu

Dilasi waktu: waktu hidup Muon



18 April 2017

28 / 39

Momentum

1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

29 / 39

Momentum

Konsep-baru Momentum (Mekanika klasik) Misal dalam suatu laboratorium terjadi peristiwa tumbukan elastik dua benda. Peristiwa tsb diamati oleh pengamat A yang diam di lab dan pengamat B yang bergerak dengan kecepatan konstan terhadap lab. Momentum yang diukur oleh A dan B akan berbeda, namun keduanya sepakat bahwa kekekalan momentum berlaku. (Relativitas) Jika definisi momentum tetap p = m ∆x ∆t , maka efek relativitas menyebabkan kekekalan momentum pada peristiwa tumbukan di atas tidak berlaku. Solusi: definisikan momentum sebagai p=m


∆x ∆x ∆t =m = γmv ⇒ ~p = γm~v . ∆t0 ∆t ∆t0


18 April 2017

(30)

30 / 39

Energi

1


2


3


4


5

Kontraksi Panjang

6

Dilasi waktu

7

Momentum

8

Energi



18 April 2017

31 / 39

Energi

Energi relativistik

Tinjau suatu benda yang dipercepat dari keadaan diam hingga memiliki kecepatan sebesar u. Usaha yang diperlukan untuk melakukan hal tsb adalah Z x2 Z x2 dp dx. W = Fdx = x1 x1 dt

(31)

Dengan mengingat definisi momentum (30), diperoleh dp d mu dv m p = . = 3/2 2 2 dt dt 1 − v /c (1 − v 2 /c 2 ) dt

(32)

Ingat pula bahwa dx = vdt.



18 April 2017

32 / 39

Energi

Energi relativistik

Akhirnya, Z t W =

m (1 −

0

Z

v 2 /c 2 )3/2

u

dv (vdt) dt

v

=m

(1 − v 2 /c 2 )3/2 mc 2 =p − mc 2 1 − v 2 /c 2

dv

0

mc 2 = γmc 2 − |{z} | {z } Eakhir

(33)

Eawal



18 April 2017

33 / 39

Energi

Energi relativistik

Hasil ini menunjukkan bahwa benda yang diam memiliki energi sebesar mc 2 , dan setelah mencapai laju v energi totalnya menjadi γmc 2 . Energi kinetik benda, didapat dari energi total dikurangi energi diam, K = (γ − 1) mc 2 .


(34)


18 April 2017

34 / 39

Energi

Untuk kecepatan rendah, v << c Ingat bahwa untuk nilai x → 0, berlaku (1 + x)2 = 1 + 2x + x 2 3

≈ 1 + 2x, 2

(1 + x) = 1 + 3x + 3x + x

3

(1 + x)4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4

≈ 1 + 3x, ≈ 1 + 4x,

. . . dst. Secara umum, untuk x → 0, (1 + x)n ≈ 1 + nx.

(35)

− 21 v2 1 v2 γ = 1− 2 ≈1+ . c 2 c2

(36)

Sehingga



18 April 2017

35 / 39

Energi

Untuk kecepatan rendah, v << c

Sehingga, (γ − 1) ≈ 1 +

1 v2 1 v2 − 1 = . 2 c2 2 c2

(37)

Jadi,

1 v2 1 × mc 2 = mv 2 , 2 2c 2 sama dengan energi kinetik pada fisika klasik.

(38)

K=



18 April 2017

36 / 39

Energi

Energi relativistik

Suku mc 2 tidak bergantung pada kecepatan benda, disebut energi diam, Ediam = mc 2 (39) Energi total adalah jumlah dari energi kinetik K dengan energi diam Ediam , Etotal = K + Ediam = γmc 2 . (40) Hubungan energi dan momentum, 2 Etotal = p 2 c 2 + m2 c 4 .



(41)

18 April 2017

37 / 39

Energi

Penutup

The relativity theory arose from necessity, from serious and deep contradictions in the old theory from which there seemed no escape. The strength of the new theory lies in the consistency and simplicity with which it solves all these difficulties.1

1 A. Einstein and L. Infield, The Evolution of Physics (New York: Simon and Schuster, 1961). Agus Suroso (FTETI-ITB)


18 April 2017

38 / 39

Energi

Ada pertanyaan? Kontak saya via: [email protected]



18 April 2017

39 / 39

Teori Relativitas Khusus

Recommend Documents