BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein

BAB II

DASAR TEORI

Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang bergerak relatif satu dengan yang lain dengan kecepatan konstan dihubungkan melalui transformasi Lorentz. Ada suatu cara sederhana untuk memperoleh persamaan-persamaan yang konsisten secara relativitas khusus (yaitu persamaanpersamaannya tampak sama dari sudut pandang pengamat dalam gerak relatif) dengan menyatakan persamaan-persamaan tersebut dengan cara invarian Lorentz.

2.1 Teori Relativitas Umum Einstein

Teori relativitas umum Einstein adalah teori yang menyatakan bahwa gravitasi bukan gaya seperti halnya gaya lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi didalam ruang waktu tersebut. Teori relativitas umum ini dibangun atas dua asas, yaitu pertama asas kesetaraan (principle of equivalence) dan kedua, kovariansi umum (general covariance) Asas kesetaraan berbunyi,”Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan dalam daerah kecil (local) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem dipercepat yang setara”. Implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa gravitasi dan massa inersia. Sifat ini memungkinkan untuk menghilangkan efek gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan yang dipercepat yang sesuai. Hal ini merupakan konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua benda yang berada didalamnya akan merasakan percepatan yang sama serta tidak bergantung pada ukuran maupun massanya. Misalkan sebuah benda yang bermassa m jatuh didalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar g. Menurut mekanika Newton dapat dipilih kerangka acuan inersial (y‟,t‟) untuk menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y,t). Atau dengan kata lain,

Universitas Sumatera Utara

kerangka (y,t) adalah kerangka yang dipercepat sebesar g terhadap kerangka inersial (y‟,t‟) pada daerah tanpa medan gravitasi. Contoh penerapannya adalah bahwa sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti misalnya elevator yang kabel gantungannya putus adalah kerangka inersial lokal. Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan diam (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap diam. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas didalam medan gravitasi. hal ini sesuai pada asas kovariansi umum yang berbunyi,”hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sembarang pemilihan transformasi koordinat”.

2.2 Prinsip Relativitas

Pada intinya, teori relativitas Einstein (baik teori relativitas khusus maupun teori relativitas umum) adalah teori fisika modern dari ruang dan waktu, yang telah diganti konsep ruang dan waktu absolut Newton dengan ruang – waktu . Semula dalam fisika, relativitas berarti penghapusan ruang absolut,suatu penyelidikan yang telah dikenal sebagaimana yang diinginkan sejak Newton. Dan ini tentu saja apa yang disempurnakan dua teori Einstein: relativitas khusus, teori ruang waktu datar, menghapuskan ruang mutlak dalam peranan Maxwell sebagai „eter‟ yang membawa medan elektromagnetik, dan khususnya gelombang cahaya, sedangkan relativitas umum, teori ruang – waktu lengkung, menghapuskan ruang waktu mutlak juga dalam peranan Newtonian – nya mengenai standar ada dimana – mana dan tidak dapat dipengaruhi dari gerak seragam atau diam. Anehnya , dan tidak secara terencana tetapi agak sebagai satu hasil sampingan yang tidak dapat dihindarkan, teori Einstein juga menghapuskan konsep waktu mutlak Newton. Defenisi yang lebih modern dan positif dari relativitas telah disusun dari teori relativitas yang sebenarnya. Berdasarkan pandangan ini, relativitas dari setiap teori fisika menggambarkan dirinya sendiri dalam grup transformasi yang menentukan hukum teori invariant dan oleh karena itu menggambarkan kesimetrian, sebagai contoh ruang dan waktu dari teori ini. Maka seperti yang


akan kita lihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup galilean, relativitas

khusus

memiliki

relativitas

dari

grup

Lorentz

(grup

poincare).(Wolfgang Rindler, 2006)

2.3 Teori Relativitas khusus

Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein pada tahun 1905 merupakan salah satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep – konsep dasar dalam fisika, khususnya yang berkaitan dengan ruang – waktu , momentum – energi sebagai aspek kinematika semua gejala alam, yang selanjutnya mengangkat cahaya sebagai pembawa isyarat berkelakuan maksimum. Sumbangan teori relativitas khusus adalah mampu menampilkan persamaan maxwell, yang merupakan persamaan dasar dalam elektrodinamika, dalam yang bentuk kovarian.Konsekuensi teori relativitas khusus adalah kelajuan gelombang elektromagnet, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka inersial, kelajuan cahaya sama dengan c, atau dengan kata lain , c merupakan suatu besaran invarian. Selain itu persamaan maxwell berlaku dalam semua kerangka inersial, yang oleh karena itu konsep ruang – waktu dan momentum – energi yang mutlak harus diganti.(Anugraha R,2005) Teori ini didasarkan pada dua asas, yaitu: 1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) dalam setiap kerangka acuan inersial 2. Ketidakubahan laju cahaya : laju cahaya memiliki nilai c yang sama dalam semua sistem inersial.

2.3.1 Transformasi Lorentz

Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu, dan kecepatan tidak taat dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan “akal sehat” , itu tidaklah memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan pada laju tinggi. Oleh karena itu, diperlukan seperangkat persamaan transformasi


baru yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan panjang,pemuluran waktu dan efek dopler relativistik. Karena juga diketahui bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo, apabila laju relatifnya rendah.(Krane K.,2006) Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan Transformasi Lorentz dan, seperti halnya dengan transformasi Galileo ia mengaitkan koordinat dari suatu peristiwa (x,y,z,t) sebagaimana diamati dari kerangka S dengan koordinat peristiwa yang sama (x‟,y‟,z‟,t‟) yang diamati dari kerangka acuan S‟ yang sedang bergerak dengan kecepatan v terhadap S. dengan menganggap bahwa gerak relatifnya adalah sepanjang arah x positif.

Gambar (2.3.1) Kerangka S’ Bergerak Dengan Kecepatan Konstan Terhadap Kerangka S

Bentuk persamaan Transformasi Lorentz ini adalah sebagai berikut

………………………………………………………...(2.1) …………………………………………………………(2.2) …………………………………………………………(2.3)


………………………………………………………..(2.4) Sekarang anggap suatu jam standar C‟ yang ditempatkan dalam keadaan diam dalam S‟ pada suatu titik di sumbu x‟. Ketika jam C‟ merekam waktu , jam standar di S pada saat itu akan direkam waktu t1 yang diberikan oleh transformasi Lorentz, ………………………………(2.5) Dengan :

……………………………………….(2.6)

Selanjutnya, ketika C‟ direkam waktu‟ =

, ini juga serupa dengan jam lain

dalam S yang direkam waktu ……………………………….(2.7) Dengan mengurangkan persamaan ini diperoleh ……………….(2.8) Maka disimpulkan bahwa periode jam ketika diamati bergerak

lebih besar dari

periode dalam keadaan diamnya. Dengan kata lain: jam yang bergerak lebih lambat daripada jam yang berada dalam keadaan diam. Hal ini disebut pemuluran waktu relativistik.(Gron O.,Hervik S.,2007) Pada kasus pengukuran panjang, kondisinya agak lebih rumit, karena persamaan transformasi mengandung y dan z dalam cara yang berbeda daripada x, dalam arah gerak relatifnya. Suatu skala yang tegak lurus terhadap arah gerak relatif mempunyai panjang yang sama dalam sistem koordinat lain. Dianggap pertama suatu batang tegar yang dihubungkan dengan S‟, titik – titik ujung mempunyai koordinat

dan

. Panjang batang dalam sistem ini

(dimana batang relatif dalam keadaan diam terhadap sistem S‟ ini) adalah ……………………………….(2.9)


Suatu pengamat yang dihubungkan dengan S akan menganggap panjang batang dengan perbedaan koordinat (x2 –x1) dari titik-titik ujungnya pada waktu yang sama yaitu t. Koordinat

dan

dihubungkan ke x2 , x1 dan t dengan persamaan

transformasi Lorentz, menghasilkan ……………………………………….(2.10) ……………………………………….(2.11) Oleh karena itu perbedaan koordinatnya adalah ……………………………………….(2.12) Dengan memisalkan panjang (x2 –x1) dengan l, maka diperoleh ……………………………….(2.13) Batang yang kelihatan dikontraksi dengan faktor

. Efek ini disebut

dengan kontraksi Lorentz. (Peter G.Bergman,1961)

2.3.2 Massa dan Momentum Relativistik

Ada empat hukum kekekalan dalam mekanika klasik, tiga menggambarkan tiga komponen momentum dari suatu sistem terisolasi dan satu lagi menunjukkan energinya. Terhadap transformasi ruang, hukum kekekalan tiga momentum bertransformasi bersama sebagai komponen – komponen dari tiga vektor dimensional, sedangkan hukum kekekalan energi invarian. Dengan transformasi Galilean, hukum momentum adalah invarian, sedangkan hukum energi berlaku dalam sistem yang pertama. Hukum kekekalan klasik tidak kovarian terhadap transformasi Lorentz yang mana melibatkan waktu.Oleh karena itu, hukum ini harus dimodifikasi sehingga mereka kovarian Lorentz, tetapi juga mendekati hukum klasik untuk kecepatan rendah. Hukum Transformasi klasik akan mempunyai sifat transformasi yang sama terhadap transformasi koordinat ruang seperti hukum klasik, dengan kata lain ,


akan ada lagi hukum vektor (dengan tiga komponen) dan hukum skalar. Hal ini akan menentukan pencapaian besar bentuk hukum relativistik. Momentum relativistik didefenisikan sebagai: ………………………………………(2.14) Einstein meyakinkan bahwa hukum kekekalan momentum harus berlaku, dia membantunya dengan hipotesis yang berani: massa dari suatu objek harus bergantung pada kecepatannya. Dalam teori tumbukan partikel dapat ditentukan bahwa berlaku hubungan ……………………………………....(2.15) Sehingga persamaan (2.14) menjadi ………………………………………(2.16) Dengan m0 disebut massa diam yaitu massa yang diukur terhadap kerangka acuan yang terhadapnya benda diam. Dalam kerangka acuan lainnya, massa relativistik m akan lebih besar dari m0. Dalam defenisi baru kita tentang massa relativistik diatas telah memungkinkan untuk dipertahankan berlakunya hukum kekekalan momentum dalam semua kerangka acuan inersial.(Michael Fowler,2008)

2.3.3 Energi Kinetik

Energi kinetik dalam fisika klasik didefenisikan sebagai usaha sebuah gaya luar yang mengubah laju sebuah objek. Defenisi yang sama tetap dipertahankan berlaku dalam mekanika relativistik (dengan membatasi bahasan pada satu dimensi). Perubahan energi kinetik ΔK = Kf – Ki adalah ΔK = W=⎰ F dx Jika benda bergerak dari keadaan diam , Ki=0, maka energi kinetik akhir K adalah: ………………………………(2.17) Perbedaan antara besaran mc2 bagi sebuah partikel yang bergerak dengan laju v, dengan besaran m0c2 bagi sebuah partikel yang diam,tidak lain adalah energi kinetiknya. Besaran m0c2 disebut energi diam partikel dan dinyatakan dengan E0.


Jadi sebuah partikel yang bergerak, memiliki energi E0 dan tambahan energi K, sehingga dengan demikian energi relativistik total E partikel adalah: ………………(2.18) Persamaan ini merupakan hasil temuan terkenal Einstein yang menyatakan bahwa energi sebuah benda merupakan ukuran lain dari massanya, energi dan massa adalah setara, dan bahwa perolehan atau kehilangan energi sebuah benda dapat dipandang pula sebagai perolehan atau kehilangan massanya. Sangat bermanfaat untuk mempunyai hubungan antara energi total dan momentum relativistik, yaitu: ………………………………(2.19)

2.4 Persamaan Dirac

Dalam menurunkan persamaannya Dirac menggunakan sebuah strategi, bahwa pada persamaan energi dan momentum empat-vektor kompleks dari sebuah partikel, ………………(2.20) Dimana:

adalah notasi momentum 4-Vektor

Dapat difaktorisasi sehingga menghasilkan sebuah persamaan keadaan untuk partikel spin -1/2. Partikel ini diberikan simbol ψ( spinor empat– komponen ). Sehingga ………………(2.21)

Disini

dan

adalah koefisien – koefisien yang belum diketahui. Selanjutnya,

ruas kanan persamaan (2.21) diuraikan menjadi: ………(2.22)


………(2.23) Koefisien – koefisien linier dalam

dan

ditentukan oleh suku linier dari

. Jika suku

pada persamaan (2.23) diabaikan maka diperoleh: ………(2.24)

Akibatnya persamaan (2.22) menjadi: ………………………(2.25) Dengan diuraikan komponen – komponen untuk masing – masing ruas persamaan (2.25) maka diperoleh:

………………………………………………………(2.26)

Dimana:

adalah

komponen

–

komponen

momentum

kontravarian.Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa tidak ada satu himpunan skalar hanya dipenuhi jika

yang memenuhi ruas kanan persamaan. Persamaan tersebut harus merupakan bentuk – bentuk matriks, yang kemudian

dikenal dengan matriks Dirac. Dirac memilih matriks – matriks

yang

merupakan matriks orde empat, sebagai berikut:

(2.27)

Dimana

adalah matriks orde dua yang diberikan oleh matriks-

matriks Pauli sebagai berikut: …. (2.28) Dapat diuji hubungan persamaan (2.26) dengan mensubstitusikan matriks – matriks (2.27). Matriks – matriks Dirac kemudian memenuhi aljabar Clifford:


………………(2.29) Atau ………………(2.30) Disini B dan

adalah hubungan anti komutator untuk kuantitas A dan adalah matrik Minkowski. Dapat dibuktikan bahwa matriks

dipenuhi

………………………(2.31) Hubungan energi – momentum relativistik persamaan (2.21) kemudian menjadi : ………(2.32) Persamaan diatas mengandung dua solusi yaitu: ………(2.33) Dan ini diijinkan pula dua solusi baik untuk solusi energi positif maupun negatif. Berikut ini akan dijelaskan solusi (i) seperti dalam penurunan persamaan Schrodinger dan persamaan Klein – Gordon, momentum relativistik diganti menjadi operator dalam mekanika kuantum, persamaan operator – operator diferensial dalam notasi empat- vektor. Dan mengingat kembali bahwa operator bekerja pada suatu keadaan , ψ, maka persamaan (2.33) untuk solusi (i) menjadi: (Persamaan Dirac)

………(2.34)

Ini adalah persamaan diferensial orde pertama yang kovarian dan dikenal sebagai persamaan Dirac dengan ψ sebagai medan spinor Dirac. Persamaan (2.34) adalah persamaan matriks orde empat sehingga mudah dipahami bahwa medan spinor Dirac merupakan sebuah matriks kolom, 4 x 1, dengan empat komponen



Sebagai catatan , meskipun



mengandung empat komponen,

ini bukan

merupakan sebuah empat – vektor .


2.5 Matriks Dan Aljabar Dirac

Matriks Dirac diberikan oleh ………………………(2.36) Dengan representasi matriks ………(2.37)

, Dengan matriks Pauli

dinotasikan : ,

………(2.38)

,

Matriks-matrik tersebut mempunyai hubungan antikomutasi yaitu: ………………(2.39) Dan juga hubungan komutasi yaitu : ………………(2.40) mempresentasikan bentuk non-kovarian dari tensor anti simetrik Levi-Civita yang didefenisikan dalam persamaan (2.48). Matriks Dirac γ memenuhi relasi antikomutasi ………………(2.41) Dan relasi komutasi: ………(2.42) Dalam reperentasi ini diperoleh:

dan

………(2.43)

Dan kombinasi lain yang bermanfaat:

…..(2.44) ………(2.45) ………………………………(2.46) , ………………………(2.47)


Dengan tensor antisimatriks Levi-Civita yang didefenisikan dengan: …...(2.48) Hasil kali skalar antara matriks γ dan momentum – empat ditulis dengan ………………………………(2.49) Spinor Dirac partikel bebas memiliki bentuk: ,

………………………(2.50)

Dan ………………………(2.51) Dengan

yang ternormalisasi seperti: ………………………(2.52) ………………………(2.53)

dengan

spinor dua – komponen Pauli, dan spinor adjoin Dirac didefenisikan

dengan ,

………………………………(2.54)

,

………………………………(2.55)

dengan memakai persamaan spinor Dirac

dan , persamaan Dirac dapat ditulis

dengan : , ………………………………(2.56) , ………………………………(2.57) Yang dinyatakan spinor adjoin menjadi: , ……………………………....(2.58) , ………………………………(2.59)

2.6 Spinor


Dalam teori kelompok orthogonal (seperti rotasi atau kelompok Lorentz) sebuah spinor merupakan sebuah elemen dari kompleks ruang vektor, tidak seperti vektor spasial, sebuah spinor hanya mengubah sampai tanda dibawah penuh kelompok orthogonal. Ini berarti bahwa 360 derajat rotasi mengubah koordinat numerik spinor kedalam negatif mereka, sehingga dibutuhkan rotasi 720 derajat untuk mendapatkan kembali nilai –nilai aslinya. Spinors adalah bentuk objek yang berhubungan dengan ruang vektor dengan bentuk kuadrat (seperti ruang Euclidian dengan standar metrik atau Minkowski ruang dengan metrik Lorentz), dan direalisasikan sebagai elemen ruang representasi Clifford Algebras. Spinor seperti vektor dan tensor dalam definisi mereka termasuk sifat transformasi mereka, meskipun tidak seperti tensor, ruang spinor tidak dapat dibangun dengan cara yang unik dan alami dari vektor spasial. Seperti vektor spinor dapat diubah dibawah sangat kecil transformasi orthogonal. Spinor digunakan untuk mempelajari sifat – sifat momentum sudut intrinsik dari elektron dan partikel. Secara klasik spinor dalam tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan spin elektron tidak relativistik, spin -1/2 partikel dan lainnya. Melalui persamaan Dirac, Dirac spinor diperlukan dalam deskripsi matematis dari keadaan kuantum dari relativistik elektron maupun partikel. Spinor dapat digambarkan dalam hal sederhana, sebagai vektor ruang transformasi yang berhubungan dengan cara tertentu untuk rotasi dalam ruang fisik. Dengan kata lain spinor

memberikan

representasi linier dari kelompok rotasi dalam ruang dengan sejumlah masing – masing memiliki spinor 2υ dengan

atau 2υ. Beberapa contoh

sederhana dari spinor dalam dua dimensi dari aljabar Clifford dari basis ortonormal dari dan

dimensi,

dibangun

vektor yang saling orthogonal dengan

dengan aturan produk untuk vektor – vektor basis ……………(2.60)

Aljabar Clifford orthogonal satuan,

dibangun dari dasar satu unit skalar, 1, dua vektor dan

dan satu unit pseudoscalar

. Dari definisi

ini jelas bahwa dan

. ………(2.61)


Sebuah ruang spinor dapat dibangun secara eksplisit dengan konstruksi kuat atau tetap dan abstrak. Kesetaraan konstruksi ini adalah konsekuensi dari keunikan representasi spinor dari Clifford aljabar kompleks. Dalam dimensi 3, mendefinisikan matriks gamma menjadi sigma matriks pauli menimbulkan akrab dua spinor komponen yang digunakan dalam non relativistik mekanika kuantum. Demikian juga dengan menggunakan 4 × 4 matriks gamma Dirac menimbulkan 4 komponen spinor Dirac digunakan dalam 3 relativistik +1 dimensi teori medan kuantum. (Herman Paris ,1996)

2.7 Persamaan Spinor Relativistik Foton Bebas

Persamaan Dirac berasal faktorisasi hubungan dispersi Einstein dari persamaan medan orde pertama dalam turunan waktu. Yaitu, dengan memfaktorkan dispersi hubungan relativistik pada empat matriks; ………(2.62) Dimana

dan β adalah matriks Dirac untuk sebuah foton, massa m0 = 0,

persamaan (2.62) diperoleh; ………………………(2.63) maka; ………………………(2.64) persamaan (2.64) merupakan persamaan kuantisasi kanonikal yang merupakan; ………………………(2.65) Dimana operator Hamiltonian foton,

………………………...(2.66) Dan

adalah merupakan fungsi gelombang spinor dari foton. Untuk Lorentz

proper Lp penjelasan yang tidak dapat diperkecil lagi dari foton spin 1 adalah masing-masing D10, D01, D½½, dan dimensi tersebut sesuai dengan tiga, tiga dan empat. Dalam hal ini dipilih fungsi gelombang spinor foton sebagai dasar vektor dari tiga dimensi yang tidak dapat diuraikan lagi, yaitu adalah;


………………………(2.67) dan metriks

dinyatakan sebagai;

………(2.68) Mereka adalah matriks hermitian ………………………………(2.69) dan operator Hamiltonian adalah hermitian ………………………(2.70)

2.8 Operator Spin Foton

Berikut ini, akan dibuktikan pemilihan

matriks wajar , mereka

dinyatakan bahwa persamaan (2.65) adalah persamaan spinor foton spin 1 . persamaan (2.65) dapat ditulis sebagai;

………………(2.71) dimana ………………(2.72) Momentum sudut orbital foton dipenuhi

………………(2.73) maka ………………(2.74) Persamaan (2.74) terlihat bahwa momentum sudut orbital foton tidak konservasi , tetapi total momentum sudut foton bebas harus konservatif . Jadi , foton harus memiliki momentum sudut intrinsik,seperti momentum sudut spin ,momentum sudut total dari foton adalah;


………………………(2.75) Dan adalah konservatif ………………………(2.76) dengan persamaan (2.74) dan (2.76), didapatkan ………(2.77) yaitu; …. (2.78) atau;

………………………(2.79) Dinyatakan ada hubungan komutatif sebagai berikut; ………(2.80) dapat disimpulkan bahwa; ………………………(2.81) Dengan persamaan (2.80) , dapat dihitung s matriks , dengan matriks sx adalah; ………………(2.82) dengan hubungan komutasi ………………. (2.83) didapat ………………………(2.84) ambil matriks sy dengan; …………………………(2. 85) dengan hubungan komutasi


………………………(2.86) diperoleh ……………………....(2.87) ambil matriks sz

………………………(2.88) dengan hubungan komutasi

………………………(2.89) diperoleh ……………………....(2.90) selanjutnya, harus dihitung nilai eigen dari sx, sy,sz. Untuk sx, nilai eigen

adalah; ……………..(2.9 1)

Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;

………………(2.92) yaitu ; ………………(2.93) ketika a=0, akar λ1 adalah; ………………………………(2.94) untuk sy, nilai eigen

adalah;


……………..(2.9 5) oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;

………………(2.96) yaitu ; ………………(2.97) ketika b=0,akar λ2 adalah; ………………………………(2.98) untuk sz, nilai eigen

adalah; ………(2.99)

Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;

………………(2.100) yaitu ; ………………(2.101) ketika c=0, akar λ3 adalah; ………………………………(2.102) dengan penjumlahan,diperoleh matriks spin foton seperti; ..( 2.103) Jelas, matriks ini adalah matriks spin foton , yang menggambarkan spin s = 1 . Di satu sisi , nilai eigen mereka ±

. Disisi lain , matriks persegi adalah;


….. (2.104) yaitu spin s adalah; s=1 Jika dibandingkan (2.68) dengan (2.103) maka didapatkan ………………(2.105)

2.9 Helisitas pada Foton

Dengan mempelajari helisitas foton, dapat diperoleh foton ruas kiri dan kanan . Helisitas didefinisikan sebagai proyeksi spin pada arah momentum , itu adalah; ………………………(2.106) dan ……..(2. 107) Untuk

,masalah nilai eigen ………………………...(2.108)

adalah; ……………...(2. 109) Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah; ………………(2.110) yaitu ; ………………………(2.111)


akar λadalah; ………………………(2.112) dan helisitas h adalah ℏ=+1 dan -1 Jika λ=+1 foton sesuai kaidah ruas kanan foton,dan jika λ=-1 foton sesuai kaidah ruas kiri foton

2.10 Persamaan Kekekalan Probabilitas Foton

Berikut ini, akan diberikan kerapatan dan persamaan kekekalan probabilitas foton. Konjugat hermitian pada pers (2.65). ………………(2.113) Dikalikan dengan

pada pers.(2.112), sehingga, ………………(2.114)

Dikalikan dengan

pada pers (2.65), ………(2.115)

Dengan didiferensialkan maka diperoleh, …..(2.116) atau ………………(2.117) ………………………(2.118)

dimana, ………………(2.119) merupakan probabilitas dan kepadatan arus foton masing-masing.


BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein

Recommend Documents