Bab 9 Teori Relativitas
9.1
Transformasi Galilei
9.1.1 Peristiwa dan Koordinat Peristiwa fisika (physical event) adalah peristiwa yang terjadi pada suatu titik di dalam ruang pada suatu saat dalam satuan waktu. Bagi seorang pengamat suatu peristiwa digambarkan dengan menetapkan tempat koordinatnya P(x, y, z) dan koordinat waktu t yang dicatat pengamat oleh jamnya.
y
y’
v
x
O z
O’ z’
y’ x’ z’
x’
x 9.1.2 Transformasi koordinat Galilei Hubungan antara pengukuran dari O (x, y, z, t) dan O’(x, y, z, t) dari suatu peristiwa tertentu adalah x’ = x – vt y’ = y z’ = z t’ = t 9.1.3 Transformasi kecepatan Galilei Hubungan antara pengukuran kecepatan oleh O(vx, vy, vz) dan O’(vx’, vy’, vz’) memiliki persamaan dx'
d
dx
vx’ = dt ' = dt ' x vt = dt v = vx – v vy’ = vy vz’ = vz 9.1.4 Transformasi percepatan Galilei Hubungan antara pengukuran percepatan oleh O(ax, ay, az) dan O’(ax’, ay’, az’) memiliki persamaan ax’ = ax a y’ = a y a z’ = a z 9.1.5 Keinvarianan sebuah persamaan Keinvarianan (invariance) sebuah persamaan adalah bahwa persamaan akan memiliki bentuk yang sama apabila ditentukan oleh kedua pengamat.
9.2
Postulat Relativitas
9.2.1 Ruang mutlak dan Eter Konsekuensi dari transformasi kecepatan Galilei adalah bahwa jika seorang pengamat mengukur sinyal cahaya yang merambat dengan kecepatan c = 3 x 108m/s, maka pengamat yang lain yang bergerak relatif terhadapnya akan mengukur sinyal cahaya dengan kecepatan yang berbeda (lebih besar atau lebih kecil) dari c. Apakah yang menentukan kerangka acuan khusus yang sedemikian rupa sehingga jika seorang pengamat diam relatif terhadapnya, maka pengamat akan mengukur nilai c bagi kecepatan sinyal cahaya. Sebelum Einstein, umumnya diketahui bahwa ruang yang diam terhadap pengamat istimewa ini disebut ruang mutlak. Pengamat lain bergerak terhadap ruang mutlak ini akan mendapati bahwa laju cahaya berbeda dengan c. Selanjutnya karena cahaya adalah suatu gelombang elektromagnetik, maka menurut ahli fisika abad 19 harus terdapat suatu medium dimana cahaya merambat. Maka dipostulatkan bahwa eter berperan sebagai ruang mutlak. 9.2.2 Percobaan Michelson – Morley Jika eter memang ada, maka seorang pengamat di bumi yang bergerak mengarungi eter ini seharusnya mencatat suatu angin eter. Michelson (1881) berhasil merancang alat untuk mengukur gerak bumi mengarungi eter. Tahun 1887 Michelson dan Morley melakukan percobaan dan hasilnya ternyata bahwa tidak ada gerak mengarungi eter yang teramati. 9.2.3 Pengukuran panjang dan waktu Kegagalan transformasi Galilei menjelaskan persamaan fisika dilihat kembali oleh Einstein dan menurutnya bahwa besaran apapun yang relevan dengan teori – teori fisika haruslah paling tidak prinsipnya mempunyai suatu prosedur yang terdefinisikan dengan jelas tentang bagaimana besaran itu diukur. Einstein ternyata tidak dapat menemukan cara untuk membenarkan transformasi Galilei t’ = t, yakni pernyataan bahwa dua pengamat dapat mengukur waktu yang sama bagi suatu peristiwa. Akibatnya transformasi Galilei t’ = t ditolak Einstein. 9.2.4
Postulat Relativitas Khusus
1
Gagasan Einstein yang disebut Asas Relativitas adalah bahwa semua pengamat yang tak mengalami percepatan haruslah diperlakukan sama dalam semua hal, meskipun mereka bergerak dengan kecepatan tetap relatif terhadap yang lainnya. Postulat 1 :
Hukum – hukum fisika adalah invarian bagi semua pengamat inersial (yang tak mengalami percepatan) (semua gerak adalah relatif)
Postulat ini menyatakan bahwa tidak ada kerangka acuan yang universal. Jika hukum fisika berbeda untuk pengamat yang berbeda dalam keadaan gerak relatif, maka kita tidak dapat menentukan mana dalam keadaan “diam” dan mana dalam keadaan “bergerak”. Dalam ruang hampa, laju cahaya yang diukur semua pengamat inersial adalah c = 3 x 108 m/s tidak bergantung pada gerak sumbernya.
Postulat 2 :
Postulat ini menyatakan bahwa kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat dan tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat.
9.3
Transformasi Koordinat Lorentz
Selama transformasi Galilei dan transformasi kecepatan menghasilkan sesuatu yang sesuai dengan ekspektasi intuitif kita, maka transformasi itu melanggar kedua postulat relativitas khusus. Postulat pertama mensyaratkan persamaan yang sama untuk fisika dalam kedua kerangka acuan O dan O’, tetapi ternyata persamaan pokok dalam kelistrikan dan kemagnetan mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Postulat kedua mensyaratkan harga yang sama untuk kelajuan cahaya baik diukur dari pengamat O ataupun O’. Jika kita mengukur kelajuan cahaya menggunakan transformasi Galilei akan didapatkan vx’ = vx - v c’ = c + v Bentuk transformasi yang lain harus memenuhi 1. Persamaan itu linear terhadap x dan x’, sehingga suatu kejadian dalam kerangka O bersesuaian dengan kejadian dalam kerangka O’ 2. Persamaannya sederhana 3. Persamaan itu dapat direduksi sehingga dalam mekanika klasikpun teruji kebenarannya Transformasi Lorentz Suatu terkaan yang yang masuk akal adalah bahwa fungsi yang seharusnya adalah x’ = k(x – vt) k adalah pembanding tetapi dapat merupakan fungsi v. Jika persamaan itu dibalikkan maka akan menjadi x = k(x’+vt’) y’ = y z’ = z t’ ≠ t Jika x’ disubsitusikan maka akan didapatkan x = k { [ k(x – vt)] + vt’ } x = k2 ( x – vt) + kvt’
( 1kvk ) x 2
t’ = kt +
Pada saat t = 0 titik asal kedua acuan O, dan O’ adalah sama dan t’= 0. Jika kelajuan cahaya diukur haruslah sama x = ct dan x’ = ct’ jika x’ dan t’ disubsitusi akan menjadi x’ = ct’ 1 k 2
k(x – vt) = ckt + ( kv x
) cx dan
k vc k 1 vc ckt vkt ct ct c 1 1 k 2 1 k 2 k kv c k kv c 1 k 2 1 v 1 k 2
1 sehingga
1( v / c )
Jadi pada transformasi Lorentz haruslah dipenuhi syarat – syarat sbb :
x'
x vt
,
1( v / c ) 2
y' y ,
z ' z , dan t '
t xv / c 2 1 ( v / c ) 2
Transformasi balik Lorentznya adalah
x
x ' vt ' 1( v / c )
2
,
y y' ,
z z ' , dan t
t ' vx'/ c 2 1 ( v / c ) 2
9.4 Pengukuran panjang relativistik Jika sebuah benda diam terhadap seorang pengamat, maka panjangnya ditentukan dengan mengukur selisih antara koordinat – koordinat ruang titik – titik ujung benda itu. Karena benda itu tidak bergerak, maka pengukurannya dapat dilakukan sebarang waktu, dan panjang yang diukur disebut panjang diam (rest) atau panjang sejati (proper) benda. Sebatang tongkat yang terletak pada sumbu x dalam kerangka O. Pengamat dalam kerangka ini menentukan koordinat ujung tongkat x 1 dan x2 sehingga panjang proper tongkat Lo x 2 x1
Supaya kita bias mencari L x 2 ' x1 ' yang merupakan panjang tongkat yang terukur dari kerangka bergerak O’ pada saat t’ diperoleh
x1
x1' vt 1( v / c ) 2
x2
x 2 ' vt 1( v / c ) 2
2
x 2 ' vt
Lo x 2 x1
Sehingga panjang relativistik
9.5
1 ( v / c ) 2
x1' vt
1( v / c ) 2
x 2 ' x1'
1( v / c ) 2
L 1 ( v / c ) 2
L Lo 1 ( vc ) 2
Pengukuran waktu relativistik
Jika seorang pengamat O menentukan dua peristiwa A dan B terjadi pada kedudukan yang sama, maka selang waktu diantara kedua peristiwa ini dapat ditentukan oleh O dengan sebuah jam tunggal. Selang waktu tB – tA = to yang diukur oleh O dengan jam tunggalnya disebut selang waktu sejati ( proper time interval ) diantara kedua peristiwa itu. Kejadian A dan B menurut pengamat O’ yang bergerak terhadap O dengan kecepatan v akan berbeda. Selisih waktu menurut O’ adalah t’B – t’A = t. Untuk mencari hubungan antara selisih waktu yang diukur O dan O’ kembali transformasi Lorentz digunakan. t v ( x x ) t '
B
c2
A
1 (v / c )2
Karena menurut O kedua peristiwa itu terjadi pada kedudukan yang sama, maka x B x A 0 Sehingga waktu relativistik
9.6
t
to 1( v / c ) 2
Transformasi kecepataan relativistik
Untuk menentukan kecepatan relativistik anggaplah pengamat O’ bergerak sepanjang sumbu x – x’ dengan kecepatan tetap v terhadap O. Masing – masing pengamat mengukur kecepatan partikel ( vx , vy, vz ) sedangkan bagi O’ adalah ( vx’ , vy’, vz’ ). Maka dari transformasi Lorentz didapatkan
Untuk kerangka O
:
x
x ' vt ' 1( v / c )
2
z z ' , dan t
y y' ,
,
dy v y dt ,
dx v x dt ,
t ' vx'/ c 2 1 ( v / c ) 2
dz v z dt
Dengan menurunkan transformasi Lorent untuk x, y, z, dan t ' ' dy dy dz dz dx dx'v dt ' 2 1(v / c)
2 dt dt 'v dx'/ c 2 1(v / c)
maka akan didapatkan bahwa dx ' ' ' v dx vdt dt ' dx v x dt ' dx ' v dx ' dt v 2 1 2 ' c c dt
v,x v sehingga v x 1 v x 'v / c 2
kecepatan relatifnya menjadi
vx
vx ' v 1
vx 'v c2
vx v 1vx v / c 2
atau v x '
vx’ = v = vx = c =
kecepatan benda terhadap pengamat O’ kecepatan pengamat O’ terhadap O kecepatan benda terhadap pengamat O kecepatan cahaya
9.7
Massa, Energi dan Momentum dalam Teori Relativitas
Salah satu perkembangan utama yang dihasilkan Teori Relativitas Khusus adalah bahwa massa sebuah benda akan berubah terhadap kecepatannya. Energi, momentum dan lainnya juga mengalami transformasi Lorentz sebagai berikut. 9.7.1
Relativitas massa
Massa diam adalah massa paling kecil m
Massa relativistik m mo v c
mo 1 ( v / c ) 2
mo
= massa relativistik = massa benda diam = kelajuan gerak relatif = kelajuan cahaya
9.7.2
Mekanika relativistik
Momentum relativistik
mo v F d mv d dt dt v 2 1( c )
p mv
mov 1 ( v / c ) 2
mo v
dan ini tidak setara dengan F ma m dv dt d dv dm bahkan massanya pun sebab dt mv m dt v dt dm Bentuk dt tidak nol jika kelajuan benda berubah terhadap waktu. Gaya resultan benda selalu sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.
3
9.7.3
Massa dan energi
E = mc2
Hubungan yang paling terkenal yang diperoleh Einstein dari relativitas khusus adalah mengenai massa dan energi. s Energi kinetik = F ds o v s mv d mv d mv mo v sehingga v d ds v d mv dt dt v 2 o o o 1 (c) dengan memakai integral parsial akan didapatkan
F
Energi kinetik
mo v 2
Ek =
1 ( v )2 c
1 ( v )2 c
mov 2
Energi kinetik
Ek =
Energi totalnya
E = Eo + EK
Energi diam
E o mo c
v
0
1 ( v )2 c
dv
mo c 2 1 ( v ) 2 c
mo v 2
=
v
mo
1 ( v ) 2 c
mo c
2
v0
2
mc mo c
2
E Eo
2
Karena massa dan energi bukan merupakan kuantitas yang bebas, maka hukum kekekalan massa dan energi sebenarnya menjadi satu yakni hukum kekekalan massa – energi. Massa dapat diciptakan atau dimusnahkan tetapi jika hal ini terjadi, sejumlah energi akan hilang atau muncul dan sebaliknya. Bagaimana mungkin demikian banyak energi yang dikandung dalam sejumlah bahan yang kecil, tanpa seorangpun menyadarinya sebelum Einstein memberikan rumusannya. 9.7.4
Partikel tak bermassa
Partikel akan memiliki massa diam hanya partikel itu bergerak dengan kelajuan cahaya Adakah partikel tak bermassa ? Adakah partikel yang tidak mempunyai massa tetapi dapat menunjukkan sifat partikel contohnya mempunyai momentum dan energi ? Dalam mekanika klasik ini tidak mungkin terjadi tetapi dalam mekanika relativistik hal ini dapat terjadi ! mo c 2 Energi relativistik = mc2 1 ( v )2 c mo v Momentum relativistik = p 1 ( v )2 c Jika mo 0 dan v < c maka jelas bahwa E 0 dan p 0 . Sebuah partikel tak bermassa tidak akan mempunyai energi dan momentum. Tetapi jika mo 0 dan v = c, maka E
0 0
dan p
0 0
maka akan mempunyai harga berapa saja.
Sebenarnya masih ada batasan lain untuk partikel tak bermassa ini. E
p
mo c 2 2 1 v c2
mo v 2 1 v c2
E p 2
2
sehingga
maka E 2
maka p 2
mo 2c 4 2 1 v c2
mo 2c 4 2 1 v c2 mo 2v 2 2 1 v c2
p c 2 2
dan p 2c 2
mo 2v 2c 2 2 1 v c2
=
E 2 p2 mo2c4 atau E
mo 2v 2c 2 2 1 v c2
2 mo 2c 4 1 v 2 c 2 1 v c2
= mo 2c 4
p2 mo2c4
Jadi menurut persamaan tersebut bila ada partikel tak bermassa mo 0 maka hubungan antara energi dan momentumnya haruslah E pc Ternyata memang ada dua partikel yang tak bermassa tetapi dipenuhi bahwa m 0 dan E pc yaitu foton dan neutrino. 9.8
Efek Doppler
Mengapa alam semesta mengembang Efek Doppler untuk bunyi
fp
v vp v vs
fs
Efek Doppler Transversal
Waktu proper antara tik ialah to
v
1 fo
sehingga antara suatu tik dengan berikutnya selang waktunya t
kerangka acuan pengamat. Jadi frekuensi yang teramati ftransversa l 1t
to 1 ( v ) 2 c
dalam
2 1 v c2 to
4
Pengamat menjauhi sumber cahaya
Sekarang pengamat menempuh jarak vt menjauhi sumber antara dua tik ini berarti cahaya dan suatu tik tertentu mengambil waktu vt lebih panjang untuk sampai kepadanya dibandingkan dengan sebelumnya. Jadi waktu total antara
c
kedatangan gelombang yang berurutan ialah
v
T t
vt c
to
1 v c 2 1 v c2
to
1 v 1 v c c 1 v 1 v c c
to
1 v c 1 v c
sehingga
f menjauhi fo
1 v c 1 v c
Pengamat mendekati sumber cahaya
Pengamat dalam hal ini menempuh jarak vt menuju sumber antara tik, sehingga masing – masing gelombang cahaya mengambil
vt c
lebih sedikit waktu
untuk datang daripada sebelumnya. Dalam kasus ini T t
vt c
to
1 v c 2 1 v c2
to
1 v 1 v c c 1 v 1 v c c
to
1 v c 1 v c
sehingga
f mendekati f o
1 v c 1 v c
Pengembangan alam semesta Efek Doppler cahaya merupakan alat penting dalam astronomi. Bintang – bintang memancarkan cahaya dengan frekuensi karakteristik tertentu dan gerak bintang mendekati atau menjauhi bumi terlihat sebagai pergeseran Doppler dalam daerah frekuensi itu. Garis spektral galaksi yang jauh semuanya tergeser ke arah frekuensi rendah sehingga biasanya disebut pergeseran merah (red shift). Pergeseran semcam itu menunjukkan bahwa galaksi – galaksi menjauhi kita dan saling menjauhi satu sama lain. Kelajuannya menjauhi teramati berbanding lurus dengan jarak hal ini menimbulkan dugaan bahwa seluruh alam semesta mengembang.
Big Bang
Data yang didapat pada saat ini sesuai dengan pengembangan dimulai sekitar 15 billiun tahun yang lalu dengan meledaknya massa mampat dahulu kala (the big bang). Seperti kita tahu bahwa gravitasi juga memperlambat pengembangan itu dan mungkin bahwa pengembangan itu terhenti. Jika hal itu terjadi semesta mulai menciut diikuti dengan big bang yang lain. Sebaliknya jika tak berhenti pengembangan akan berlangsung sepanjang jaman.
Albert Einstein ( 1879 – 1955) Dilahirkan di Ulm, Jerman. Ia sangat tidak senang pada sekolah – sekolah di Jerman yang disiplin secara kaku pada waktu itu, karena itu pada usia 16 tahun ia pergi ke Swiss untuk menyelesaikan pekerjaannya, kemudian ia memperoleh pekerjaanya sebagai orang yang memeriksa pemohon paten pada Swiss Patent Office di Berne. Kemudian tahun 1905, gagasannya yang sudah ada dalam pikirannya bertahun – tahun ketika ia harus memusatkan perhatiannya untuk pekerjaan lain berubah menjadi tiga makalah pendek. Gagasan itu telah mengubah pemikiran bukan hanya dalam bidang fisika melainkan juga dalam peradaban modern ini. Makalahnya yang pertama mengungkapkan sifat cahaya, ia menyatakan bahwa cahaya mempunyai sifat dual yaitu gelombang dan partikel. Makalah yang kedua ialah mengenai gerak Brownian gerak zigzag dari sebintik bahan yang terapung dalam fluida misalnya serbuk sari dalam air. Einstein mendapatkan rumus yang mengaitkan gerak Brownian dengan gerak partikel yang ditumbuk oleh molekul fluida dimana partikel itu terapung. Walaupun teori molekuler materi telah dikemukakan bertahun – tahun sebelumnya ini merupakan eksperimen yang meyakinkan yang memperlihatkan kaitan pasti yang sudah lama dinantikan orang. Makalah yang ketiga adalah relativitas. Walaupun sebagian besar dunia fisika pada mulanya tidak peduli atau skeptis, tetapi segera kesimpulan yang ditarik oleh Einstein terbukti dan perkembangan yang sekarang dikenal sebagai fisika modern mulai tumbuh. Setelah ia memperoleh kedudukan pada universitas di Swiss dan Cekoslowakia dalam tahun 1913 ia memperoleh pekerjaan di Kaiser Wilhelm di Berlin, sehingga ia dapat melakukan penelitian dengan bebas tanpa kekhawatiran keuangan dan beban kewajiban rutin. Pada waktu itu minat Einstein ialah terutama dalam bidang gravitasi dan mulai dari hal yang ditinggalkan Newton lebih dari dua abad yang lalu. Teori relativitas Umum Einstein yang diterbitkan 1915 mengaitkan gravitasi dan struktur ruang dan waktu. Dalam teori ini gaya gravitasi dapat dipikirkan sebagai ruang waktu melengkung di sekitar benda sehingga massa berdekatan cenderung bergerak ke arahnya, sama seperti kelereng yang bergerak menggelinding ke alas lubang yang berbentuk seperti mangkok. Dari teori relativitas umum orang dapat membuat berbagai ramalan teoritis, misalnya cahaya harus dipengaruhi oleh gravitasi dan ternyata semuanya terbukti secara eksperimental. Penemuan berikutnya yang menyatakan bahwa alam semesta ini memuai ternyata cocok dengan teori. Pada tahun 1917 Einstein mengemukakan penurunan baru mengenai rumus radiasi benda hitam Planck dengan memperkenalkan gagasan radiasi pemancaran yang terstimulasi, suatu gagasan yang muncul 40 tahun kemudian sebagai laser. Perkembangan mekanika kuantum dalam tahun 1920 mengganggu Einstein yang tidak menerima pandangan probabilistik sebagai pengganti pandangan deterministik walaupun dalam skala atomik.
Hendrik A. Lorentz (1853 – 1928) Dilahirkan di Amhem Belanda. Ia belajar di Universitas Leyden. Pada umur 19 tahun ia kembali ke Amhem dan mengajar pada salah satu sekolah lanjutan atas. Sambil mengajar ia menyiapkan tesis doktoral yang memperluas teori Maxwell mengenai elektromagnetisme yang meliputi rincian dari pemantulan dan pembiasan cahaya. Tahun 1878 ia menjadi profesor fisika teoritis di Leyden Belanda. Ia tinggal di situ selama 34 tahun kemudian pindah ke Haarlem. Lorentz meneruskan pekerjaannya untuk menyederhanakan teori Maxwell dan memperkenalkan gagasan bahwa medan elektromagnetik ditimbulkan oleh muatan listrik pada tingkatan atomik. Ia mengemukakan bahwa pemancaran cahaya oleh atom dan berbagai gejala optis dapat dirunut ke gerak interaksi elektron atomik. Dalam tahun 1896 seorang mahasiswanya Pieter Zeeman menemukan bahwa garis spektral atom dalam medan magnetik akan terpecah menjadi beberapa komponen yang frekuensinya agak berbeda. Hal tersebut membenarkan pekerjaan Lorentz sehingga keduanya
5
mendapat Nobel pada tahun 1902. Dalam tahun 1895 Lorentz mendapatkan seperangkat persamaan yang mentransformasikan kuantitas elektromagnetik dari suatu kerangka acuan ke kerangka acuan lainnya yang bergerak relatif terhadap yang pertama. Walaupun pentingnya penemuan itu baru disadari 10 tahun kemudian ketika Einstein mengemukakan teori relativitas khususnya. Lorentz bersama GF Fitzgerald mengusulkan bahwa hasil negatif eksperimen Michelson – Morley dapat dipahami jika panjang dalam gerak relatif terhadap pengamat mengerut. Eksperimen selanjutkan memperlihatkan bahwa walaupun pengerutan seperti itu terjadi, hal itu bukan merupakan penyebab yang nyata dari hasil Michelson – Morley. Penyebabnya itu karena tidak ada eter yang dapat berlaku sebagai kerangka acuan universal.
6
