Teori Relativitas
Mirza Satriawan
December 7, 2010
Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus
M. Satriawan
Teori Relativitas
Quiz
1
Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel.
2
Tuliskan hukum kelestarian energi momentum dengan menggunakan tensor energi-momentum
3
Tuliskan bentuk umum tensor energi-momentum untuk fluida sempurna dalam KDS
4
Apa perbedaan antara debu dan fluida sempurna?
M. Satriawan
Teori Relativitas
Fluida
Fluida termasuk suatu kontinum dengan sifat-sifat tertentu. Kontinum adalah kumpulan partikel sedemikian banyak sehingga dinamika masing-masing partikelnya tidak dapat diikuti, dan hanya besaran-besaran reratanya saja yang dipakai untuk mendeskripsikan dinamikanya. Nilai besaran-besaran rerata ini (seperti tekanan, temperatur) dapat bervariasi dalam suatu fluida. Sekumpulan partikel yang cukup banyak, dengan nilai besaran rerata tadi yang cukup homogen, disebut sebagai elemen. Fluida dicirikan oleh sifat dimana gaya paralel terhadap bidang batas antar elemennya relatif lebih kecil dibandingkan gaya tegaklurus terhadap bidang batas antar elemen.
M. Satriawan
Teori Relativitas
~ Debu (Vektor Jumlah Partikel N)
Tinjau suatu kumpulan partikel yang seluruhnya diam terhadap suatu kerangka acuan (dalam kerangka diam sesaat (KDS) partikel-partikel). Kumpulan partikel semacam ini disebut sebagai debu. Dalam KDS, didefinisikan kerapatan partikel n, sebagai jumlah partikel per volume dalam kerangka ini. Dalam kerangka dimana semua partikel-partikel bergerak dengan kecepatan v, maka rapat jumlah partikelnya (karena kontraksi Lorentz) adalah n √ 1 − v2
M. Satriawan
Teori Relativitas
(1)
M. Satriawan
Teori Relativitas
Fluks Partikel
Fluks partikel melewati suatu permukaan adalah jumlah partikel yang melewati permukaan tersebut per satuan luas per satuan waktu. Dalam KDS, karena partikelnya diam maka fluksnya nol. Dalam kerangka dimana partikelnya bergerak dengan kecepatan v ke arah x, maka dalam ∆¯t jumlah partikel yang menembus suatu luasan ∆A adalah sejumlah rapat partikel dikali v∆¯t∆A, sehingga fluksnya (fluks)x¯ = √
M. Satriawan
nv 1 − v2
Teori Relativitas
(2)
M. Satriawan
Teori Relativitas
Bila arah kecepatan tidak tegak lurus permukaan, maka (fluks)x¯ = √
M. Satriawan
nvx¯ 1 − v2
Teori Relativitas
(3)
Vektor empat fluks jumlah partikel
Vektor empat fluks jumlah partikel didefinisikan sebagai ~ = nU ~ N
(4)
¯ komponennya dalam suatu kerangka O, nvx nvy nvz ~ →¯ √ n , √ , √ , √ N O 1 − v2 1 − v2 1 − v2 1 − v2 Perhatikan
~ ·N ~ = −n2 ; N
~ · N) ~ 1/2 n = (−N
jadi n adalah besaran skalar Lorentz.
M. Satriawan
Teori Relativitas
(5)
(6)
Dari definisi fluks jumlah partikel di atas, maka rapat jumlah partikel dapat dianggap sebagai fluks - bak waktu. Dalam diagram ruang waktu, fluks ruang yang menembus permukaan dengan x konstan dalam interval waktu ∆t dapat digambarkan sebagai
M. Satriawan
Teori Relativitas
Untuk fluks -bak waktu, dapat dibayangkan partikel yang menembus permukaan dengan t konstan dalam interval ruang ∆x
M. Satriawan
Teori Relativitas
Bentuk satu untuk mendeskripsikan permukaan Permukaan didefinisikan melalui solusi dari suatu persamaan φ(t, x, y, z) = konstan
(7)
˜ adalah bentuk-satu normal, secara Gradien dari fungsi φ, dφ, ˜ tidak langsung dφ mendeskripsikan permukaan φ = konstan, karena menentukan secara unik arah (normal) dari permukaan. Biasanya dipakai normal-satuan, bila permukaannya tidak null, untuk mendeskripsikan permukaan
dengan
˜ dφ| ˜ n˜ ≡ dφ/|
(8)
˜ = |ηαβ φ,α φ,β |1/2 |dφ|
(9)
˜ adalah besar dari dφ. M. Satriawan
Teori Relativitas
Bila dalam ruang-3, ‘elemen permukaan’ didefinisikan sebagai vektor satuan normal dikalikan elemen area di permukaan. Dalam ruang-4 elemen volume suatu ruang spasial yang koordinatnya xα , xβ , dan xγ diwakili dengan ˜ α dxβ dxγ ndx
(10)
dan untuk volume satuan (dxα = dxβ = dxγ = 1), cukup diwakili ˜ dengan n.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Fluks melewati suatu permukaan
Dalam hukum Gauss, fluks medan listrik yang menembus ˆ Analog dengan ini, fluks suatu permukaan diberikan oleh ~ E · n. jumlah partikel yang menembus suatu permukaan φ konstan ~ Misalkan, bila φ adalah koordinat x¯ , ˜ Ni. diberikan oleh hn, ˜ x. Fluks jumlah maka permukaan konstan x¯ memiliki normal d¯ partikel yang melewati permukaan x¯ konstan adalah ˜ x, Ni ˜ x)α ~ = Nα (d¯ hd¯
M. Satriawan
Teori Relativitas
Mewakili suatu kerangka dengan bentuk satu
Sebelumnya suatu kerangka inersial diwakili dengan vektor ~ Kita dapat mewakilinya juga dengan empat kecepatannya U. bentuk satu yang terkait dengan vektor empat kecepatannya ~ ), yang memiliki komponen g(U, Uα = ηαβ Uβ
(11)
Dalam KDS U0 = −1, Ui = 0, yang sama dengan −d˜ t¯. Penggunaan d˜ ¯t untuk mendeskripsikan suatu kerangka lebih ~ Sebagai contoh, untuk mendapatkan energi alami daripada U. ~ sedangkan bila suatu partikel pada suatu kerangka E = −~p · U, memakai bentuk satu, E = hd˜ ¯t, ~pi
M. Satriawan
Teori Relativitas
Tensor Energi-Momentum Dalam KDS, energi setiap partikel E = m, dan kerapatan partikel adalah n, sehingga rapat energi ρ = mn
(12)
sehingga ρ adalah besaran skalar Lorentz. ¯ yang bergerak dengan kecepatan ~v terhadap Dalam kerangka O KDS, atau dalam kerangka dimana partikel-partikel bergerak dengan kecepatan sama ~v, kerapatan partikelnya adalah √ √ 2 2 n/ 1 − v , dan energi per partikelnya m/ 1 − v , sehingga rapat energinya ρ mn = (13) rapate nergi = 2 1−v 1 − v2 √ ¯ Karena bentuk ini mengandung dua faktor Λ00 = 1/ 1 − v2 , maka tentunya rapat energi adalah komponen dari suatu 2 tensor tipe ( ). 0 M. Satriawan
Teori Relativitas
Untuk debu, karena bentuk ρ di atas adalah perkalian antara vektor empat momentum dan vektor empat fluks jumlah partikel dalam kerangka KDS, maka dapat diperumum, untuk sembarang kerangka ~ = mnU ~ ⊗U ~ = ρU ~ ⊗U ~ T ≡ ~p ⊗ N
(14)
Komponen dari tensor energi-momentum ˜ α , dx ˜ β ) = Tαβ . T(dx
(15)
Tαβ adalah fluks dari momentum α yang melewati permukaan dengan xβ konstan. Karena itu, misalnya T00 adalah fluks momentum-0 (energi) yang menembus permukaan dengan x0 (=t) konstan (yang berarti kerapatan), atau dengan kata lain T00 adalah rapat energi. T0i adalah fluks momentum-0 (energi) yang menembus permukaan dengan xi konstan. Ti0 adalah fluks momentum-i yang menembus permukaan t konstan, atau tidak lain adalah rapat momentum. Tij adalah fluks momentum-i yang menembus permukaan xj konstan. M. Satriawan
Teori Relativitas
Dalam suatu kerangka, Tαβ = T(ω˜ α , ω˜ β ) = ρUα Uβ
(16)
¯ dimana semua partikel bergerak dengan Dalam kerangka O kecepatan v, maka ¯¯
¯¯
T00 = ρ/(1 − v2 );
T0i = ρvi /(1 − v2 )
¯¯
Tij = ρvi vj /(1 − v2 )
Ti0 = ρvi /(1 − v2 );
M. Satriawan
¯¯
Teori Relativitas
(17) (18)
Fluida Umum
Dalam debu, gerak partikel hanya gerak bersama, padahal secara umum partikel juga dapat bergerak secara acak relatif satu terhadap lainnya. Selain itu juga terdapat berbagai gaya antar partikel yang menyumbang pada energi potensial total. Dalam fluida umum, setiap elemen fluida mungkin memiliki KDS sendiri-sendiri. Semua besaran skalar dalam relativitas yang terkait dengan elemen fluida (seperti rapat jumlah partikel, suhu, rapat energi, dll.) didefinisikan sebagai nilainya dalam KDS.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Berikut ini tabel besaran makroskopik untuk fluida ~ kecepatan-4 ele- kecepatan empat di KDS U men fluida n rapat partikel jumlah partikel per satuan volume di KDS ~ ~ ≡ nU ~ N vektor fluks par- N tikel ρ rapat energi rapat energi massa total (massa diam, energi kinetik acak, energi kimia,dsb.) Φ energi internal Φ = (ρ/n) − m (semua energi selain per partikel energi massa diam) ρ0 rapat massa diam ρ0 = mn ini adalah ‘energi’ massa diam saja T temperatur definisi temperatur termodinamik di KDS p tekanan definisi tekanan di KDS s entropi jenis entropi per partikel M. Satriawan
Teori Relativitas
Hukum pertama termodinamika Hukum I termodinamika tidak lain adalah pernyataan kelestarian energi. Tinjau suatu elemen fluida dalam KDS-nya. Elemen ini dapat bertukar energi dengan elemen lain disekelilingnya melalui konduksi panas ∆Q dan melalui usaha (p∆V). Maka perubahan energi total elemen ∆E = ∆Q − p∆V
(19)
Bila elemen fluida mengandung N buah partikel, dan tidak terjadi kreasi atau anihilasi partikel (N tetap) maka V=
N ; n
∆V = −
N ∆n n2
(20)
Kita juga memiliki E = ρV;
∆E = ρ∆V + V∆ρ
M. Satriawan
Teori Relativitas
(21)
Kedua hasil di atas menyebabkan ∆Q =
∆n N ∆ρ − N(ρ + p) 2 n n
(22)
Bila didefinisikan q ≡ Q/N, panas per partikel, maka n∆q = ∆ρ −
ρ+p ∆n n
(23)
ρ+p dn n
(24)
untuk perubahan infinitesimal ndq = dρ −
Dari termodinamika untuk proses yang reversibel, entropi didefinisikan sebagai ∆Q = T∆S, dengan s = S/N maka dρ − (ρ + p) M. Satriawan
dn = nTds n Teori Relativitas
(25)
Tensor energi momentum secara umum Definisi Tαβ pada ?? sudah dalam bentuk umum. Tinjau dalam KDS, di mana tidak ada gerak bersama partikel dalam elemen fluida, serta tidak ada momentum-3 partikel. Sehingga dalam KDS didapati 1 2
3
4
T00 = rapat energi = ρ T0i = fluks energi. Walau tidak ada gerakan, energi dapat dipindahkan melalui konduksi panas, sehingga T0i adalah suku konduksi panas dalam KDS. Ti0 = rapat momentum. Walau partikel tidak memiliki momentum, tetapi karena ada fluks energi, maka energinya membawa momentum. Tij = fluks momentum. (akan dibahas selanjutnya)
M. Satriawan
Teori Relativitas
Komponen ruang dari tensor T Perdefinisi, Tij adalah fluks momentum-i yang melewati permukaan j.
Tinjau dua elemen fluida di atas, dengan permukaan batas bersama S. Dalam gambar diperlihatkan gaya elemen A kepada B, sebesar F. M. Satriawan
Teori Relativitas
Karena dalam KDS (sehingga hukum Newton masih berlaku), maka A memberikan momentum dengan kelajuan sebesar F kepada elemen B. Bila bidang S memiliki luas permukaan A, maka fluks momentum menembus S adalah F/A. Bila S adalah permukaan dengan xj konstan, maka Tij untuk elemen fluida A adalah Fi /A. Jadi Tij menggambarkan gaya antara dua elemen fluida. Secara umum gaya ini tidak harus tegak lurus permukaan batas fluida, tetapi bila tegaklurus maka Tij nol bila i , j.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Sifat simetri Tαβ dalam KDS Tinjau gambar berikut ini
Gaya pada elemen tetangga pada permukaan-1 (permukaan−x konstan) adalah Fi1 = Tix l2 , pada permukaan-2 adalah Fi2 = Tiy l2 . Sedangkan pada permukaan-3 dan 4 adalah −Fi1 dan −Fi2 agar elemen fluida ini tidak mengalami percepatan tak hingga bila l → 0. M. Satriawan
Teori Relativitas
Pada elemen fluida tadi, torka terhadap sembarang sumbu juga harus nol (agar tidak mengalami percepatan sudut tak hingga). Total torka akibat gaya di keempat permukaan tadi terhadap sumbu-z adalah τz = l3 (Txy − Tyx ) (26) dan dengan momen inersia elemen terhadap sumbu-z xy yx . Agar α = 0, maka Txy = Tyx Bila I ρVl2 ρl5 sehingga α = T ρl−T 2 diterapkan untuk sembarang sumbu, maka diperoleh Tij = Tji
M. Satriawan
Teori Relativitas
Kesamaan rapat momentum dan fluks energi
Fluks energi adalah rapat energi dikalikan kecepatan alirannya. Tetapi karena energi sama dengan massa, maka ini sama dengan rapat massa dikalikan kecepatan, atau dengan kata lain rapat momentum. Jadi T0i = Ti0
M. Satriawan
Teori Relativitas
Kelestarian energi-momentum Tinjau gambar elemen fluida di bawah ini
Laju energi yang masuk melalui permukaan (4) (x = 0) adalah l2 T0x , energi yang masuk permukaan (2) (x = l) adalah −l2 T0x . Energi yang mengalir dalam arah y adalah l2 T0y (di y = 0) dan −l2 T0y (di y = l). Demikian juga untuk arah z.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Jumlah laju energi yang masuk harus sama dengan laju pertambahan energi di elemen tersebut ∂(T00 l3 )/∂t, sehingga ∂ 3 00 l T = l2 [T0x (x = 0) − T0x (x = l) + T0y (y = 0) ∂ − T0y (y = l) + T0z (z = 0) − T0z (z = l)]
(27)
setelah dibagi l3 dan diambil limit l → 0 maka ∂ 00 ∂ ∂ ∂ T = − T0x − T0y − T0z ∂ ∂x ∂y ∂z
(28)
atau dapat juga ditulis T0α ,α = 0
(29)
Hal yang sama juga dapat dijabarkan untuk aliran momentum (dengan mengganti 0 dengan i = 1, 2, 3). Sehingga hukum kelestarian energi-momentum secara umum dapat dituliskan Tαβ ,β = 0 Ini berlaku untuk sembarang materi dalam teori relativitas khusus (tidak lain adalah divergensi empat dimensi). M. Satriawan
Teori Relativitas
(30)
Kelestarian Partikel
Penjabaran seperti untuk energi dan momentum juga dapat kita lakukan untuk fluks jumlah partikel, bila dalam aliran fluida jumlah partikel total tetap. Sehingga dapat dituliskan
atau
∂ 0 ∂ ∂ ∂ N = − Nx − Ny − Nz ∂ ∂x ∂y ∂z
(31)
Nα ,α = (nUα ),α = 0
(32)
M. Satriawan
Teori Relativitas
Fluida sempurna
Dalam relativitas fluida sempurna didefinisikan sebagai suatu fluida yang tidak mempunyai viskositas dan tidak memiliki hantaran panas dalam KDS. Karena tidak ada hantaran panas, maka dalam KDS, T0i = Ti0 = 0. Bila jumlah partikel tetap, maka entropi jenis akan terkait dengan aliran panas melalui persamaan Tds = dQ artinya, dalam fluida sempurna, bila pers. (32) terpenuhi, maka entropi jenis s selalu konstan.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Viskositas adalah gaya yang paralel dengan permukaan antara elemen fluida. Bila tidak ada viskositas, berarti gaya selalu tegak lurus permukaan batas antar elemen fluida, sehingga Tij = 0 bila i , j, atau Tij adalah matriks diagonal. Dan karena ketiadaan viskositas ini tidak bergantung pada kerangka ruang, maka matrik Tij selalu ortogonal dalam semua kerangka KDS. Dan ini berarti matriks tersebut merupakan kelipatan dari matriks identitas. Permukaan x akan memiliki gaya pada arah x saja, demikian juga untuk arah y dan z. Gaya persatuan luas ini sama untuk ketiga arah dan disebut sebagai tekanan. Sehingga Tij = pδij .
M. Satriawan
Teori Relativitas
Bentuk T Dalam KDS, T untuk fluida sempurna memiliki bentuk ρ 0 0 0 p 0 (Tαβ ) = 0 0 p 0 0 0
0 0 0 p
(33)
Dapat ditunjukkan bahwa dalam KDS Tαβ = (ρ + p)Uα Uβ + pηαβ
(34)
atau dalam bentuk yang bebas kerangka, ~ ⊗U ~ + pg−1 T = (ρ + p)U Debu adalah bentuk fluida sempurna tanpa tekanan. M. Satriawan
Teori Relativitas
(35)
Hukum kelestarian Pers. (30) bila diterapkan pada fluida ideal Tαβ ,β = [(ρ + p)Uα Uβ + pηαβ ],β = 0
(36)
Anggap jumlah partikel tetap sehingga (nUβ ),β = 0. Suku pertama dari pers. (36) dapat dituliskan sebagai [(ρ + p)Uα Uβ ],β =
hρ + p
i ρ + p Uα nUβ ,β = nUβ Uα ,β n n
(37)
karena ηαβ adalah matriks yang konstan, maka ηαβ ,γ = 0. Selain itu juga diperoleh
atau
Uα Uα = −1 sehingga (Uα Uα ),β = 0
(38)
Uα ,β Uα = 0
(39)
M. Satriawan
Teori Relativitas
Dengan menggunakan hasil-hasil di (37) dan (39), pers. awal di (36) menjadi ρ + p nUβ Uα ,β +p,β ηαβ = 0 (40) n Kalikan dengan Uα dan dijumlah terhadap α, diperoleh nUβ Uα
ρ + p n
Uα ,β +p,β ηαβ Uα = 0
(41)
suku terakhir p,β Uβ tidak lain adalah derivatif p sepanjang garis dunia dari elemen fluida, dp/dτ. Kita peroleh setelah beberapa manipulasi
atau
i h ρ + p ,β +p,β = 0 Uβ − n n
(42)
h i ρ+p −Uβ ρ,β − n,β = 0 n
(43)
M. Satriawan
Teori Relativitas
yang dapat juga ditulis sebagai dρ ρ + p dn − =0 dt n dτ Bila dibandingkan dengan pers. (25) maka dapat disimpulkan Uα s,α =
ds =0 dτ
Jadi aliran partikel konstan fluida ideal, memiliki entropi jenis yang lestari, ini disebut sebagai adiabatik. Selain itu, apa yang kita lakukan, bahwa kelestarian energi dalam termodinamika, telah tersimpan dalam pers.36, paralel dengan Uα . Tiga komponen pers. (36) lainnya dapat dijabarkan sebagai berikut. Mulai dari pers nUβ
ρ + p n
Uα ,β +p,β ηαβ = 0
M. Satriawan
Teori Relativitas
kemudian pindah ke KDS dengan Ui = 0, tetapi Ui ,β , 0. Komponen ke-i nya nUβ
ρ + p n
Ui ,β +p,β ηiβ = 0
(44)
karena Ui = 0 maka diperoleh (ρ + p)Ui ,β Uβ + p,β ηiβ = 0 dengan menurunkan indeks i, diperoleh (ρ + p)Ui ,β Uβ + p,i = 0 karena Ui ,β Uβ adalah percepatan ai maka (ρ + p)ai + p,i = 0
M. Satriawan
Teori Relativitas
(45)
Pentingnya T dalam Teori Relativitas Umum
Dalam teori gravitasi Newton, sebagai sumber medan gravitasi adalah rapat massa ρ, yang dalam bahasa relativistik adalah rapat massa diam ρ0 . Tetapi akan sangat aneh bila yang menjadi sumber hanya ρ0 karena energi dan massa diam saling terkait secara relativistik. Karena itu tentunya sebagai sumber haruslah dipakai seluruh energi massa total T00 . Tetapi bila hanya dipakai T00 , yaitu salah satu komponen dari T akan menghasilkan suatu teori yang tidak invarian Lorentz. Karena itu sebagai sumber gravitasi haruslah keseluruhan tensor energi momentum.
M. Satriawan
Teori Relativitas
Hal kedua yang terkait tensor energi momentum adalah peranan tekanan dalam Teori Relativitas Umum (TRU) sebagai sumber dari medan gravitasi dan kemunculannya dalam pers. (45). Dalam sebuah bintang yang masif, medan gravitasi yang kuat membutuhkan gradien tekanan yang besar untuk menyeimbangi tarikan gravitasi. Berapa besar gradien tekanan yang dibutuhkan diberikan oleh percepatan yang ditimbulkan gravitasi bila tidak ada tekanan. Besarnya gradien tekanan ditentukan dari p,i −ai = ρ+p Karena ρ + p jelas lebih besar daripada ρ maka besar gradien tekanan yang dibutuhkan lebih besar daripada dalam teori Newton, ρ~a + ∇p = 0. Karena p yang lebih besar akan menambah besar komponen T, medan gravitasi yang lebih besar juga muncul. Ketika besar p sudah sebanding dengan ρ, meningkatkan p justru tidak dapat menahan besar tarikan gravitasi, dan muncullah keruntuhan gravitasi. M. Satriawan
Teori Relativitas
Hukum Gauss Hukum Gauss disini adalah kesamaan antara integral volume dari suatu divergensi dengan suatu integral permukaan Z I α 4 V ,α d x = V α nα d3 S yang tidak adalah lain adalah bentuk integral dari Tαβ ,β = 0 dan Nα ,α = 0. Perhatikan gambar berikut
M. Satriawan
Teori Relativitas
Volume dalam gambar dibatasi oleh empat pasang permukaan hiper untuk t, x, y, dan z konstan (hanya t dan x yang ˜ dan pada t1 adalah digambarkan). Normal pada t2 adalah dt ˜ Normal pada x2 dan x1 adalah dx ˜ dan −dx ˜ berturutan. −dt. Sehingga integral permukaan di atas adalah Z Z 0 V dxdydz + (−V 0 )dxdydz t2 x1 Z Z x V dtdy dz + (−V x )dtdydz + permukaan lainnya x2
x1
(46)
M. Satriawan
Teori Relativitas
yang dapat juga ditulis sebagai Z Z [V 0 (t2 ) − V 0 (t1 )]dxdydz + [V x (x2 ) − V x (x1 )]dtdydz + · · · (47) atau
Z
∂V 0 dtdxdydz + ∂t
Z
∂V x dxdtdydz + · · · ∂x
Diringkas Z
V α ,α dtdxdydz
M. Satriawan
Teori Relativitas
