Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi

Bab 4: Analisis Sistem Kendali

EL303: Sistem Kendali

♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi § Sistem Orde-3 : ω n2 P C(s) = R (s) (s 2 + 2ζω n s + ω n2 )(s + p)

(0 < ζ < 1)

Respons unit stepnya: e −ζω n t c( t ) = 1 − βζ 2 ( β − 2) + 1 +

{ βζ

2

( β − 2) cos 1 − ζ 2 ω n t

βζ [ζ 2 ( β − 2) + 1] 1−ζ

2

}

sin 1 − ζ 2 ω n t −

e − pt βζ 2 ( β − 2) + 1

( t ≥ 0)

dengan:

β=

p ζω n

Mengingat:

βζ 2 ( β − 2) + 1 = ζ 2 ( β − 1) 2 + (1 − ζ 2 ) > 0 maka suku yang mengandung e-pt selalu negatif .

___________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 24



Respons Transient Sistem Orde Tinggi: Fungsi alih loop tertutup: C(s) G (s ) = R (s) 1 + G (s) H(s)

Secara umum: G (s ) =

p (s ) q (s )

;

H (s ) =

n (s ) d (s )

Diperoleh: C(s) p (s )d (s ) = R (s) q (s)d(s) + p(s) n (s) b 0s m + b1s m−1 + L + b m−1s + b m = a 0 s n + a 1s n −1 + L + a n −1s + a n

(m ≤ n )

Dengan menghitung pole-pole dan zero-zero nya, diperoleh: C(s) K (s + z1 )(s + z 2 ) L (s + z m ) = R (s) (s + p1 )(s + p 2 ) L (s + p n )

Untuk pole-pole yang berbeda, diperoleh tanggapan unit stepnya: ai a n C(s) = + ∑ s i =1 s + p i

• Pole dan zero yang berdekatan akan saling melemahkan pengaruhnya. • Pole yang sangat jauh dikiri bidang s memiliki pengaruh yang kecil pada tanggapan waktu alih. Bila sistem memiliki pole nyata dan kompleks sekawan, maka :




m

C(s) =

K ∏ (s + z i ) q

i =1 r

s∏ (s + p j ) ∏ (s 2 + 2ζ kω k s + ω k2 ) j=1

k =1




Bila semua pole-polenya berbeda, maka: r b k (s + ζ kω k ) + c kω k 1 − ζ k2 a q aj +∑ C(s) = + ∑ s j=1 s + p j k =1 s 2 + 2ζ kω k s + ω k2

Dalam domain waktu : q

r

j=1

k =1

c( t ) = a + ∑ a je − pjt + ∑ b k e −ζkωkt cos ω k 1 − ζ k2 t r

+ ∑ c k e −ζkωkt sin ω k 1 − ζ k2 t

( t ≥ 0)

k =1

Kurva tanggapan orde tinggi : gabungan dari sejumlah kurva eksponensial dan kurva sinusoidal teredam:

• Pole-pole loop tertutup menentukan tipe tanggapan waktu alih. • Zero-zero loop tertutup menentukan bentuk tanggapannya.




♦ Pole-pole Loop Tertutup Dominan: • Orde tinggi seringkali didekati dengan orde-2 untuk memudahkan analisis. • Pendekatan ini dapat dilakukan bila ada sepasang pole dominan terhadap pole-ple lainnya. • Suatu pole A disebut dominan terhadap pole B bila perbandingan bagian real nya minimal 1 : 5 dan tak ada zero didekatnya. • Pole loop tertutup dominan seringkali muncul dalam bentuk pasangan kompleks sekawan.

Pole P2 dominan terhadap P2 bila : σ1 1 ≤ σ2 5




♦ Kestabilan Sistem • Semua pole loop tertutup harus berada disebelah kiri sumbu imajiner. • Pole-pole pada sumbu imajiner membuat sistem berosilasi dengan amplitudo tetap, sehingga harus dihindari. • Kestabilan sistem tak dipengaruhi oleh input, tetapi oleh sifatnya sendiri. • Semua pole loop tertutup berada disebelah kiri bidang s belum menjamin karakteristik transient yang memuaskan. • Bila pole dominan terlalu dekat dengan sumbu imajiner, timbul osilasi berlebihan atau tanggapannya menjadi lambat.




o ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK § Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak

untuk jenis input tertentu.. § Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step,

mungkin memiliki galat untuk input ramp. § Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka)

sistem ybs.

♦ Klasifikasi Sistem Kendali § Sistem

kendali

dapat

dikelompokkan

terhadap

kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola, dst. § Input

sebenarnya pada sistem seringkali merupakan

kombinasi input-input tersebut. § Besarnya

galat terhadap setiap jenis input tersebut

merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.




Bentuk umum fungsi alih loop terbuka: G (s ) H (s ) =

K (Ta s + 1)(Tb s + 1)L (Tm s + 1) s N (T1s + 1)(T2 s + 1) L (T p s + 1)

§ Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s. § Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ). § Tipe sistem berbeda dengan orde sistem ! § Bila

tipe

sistem

bertambah,

maka

ketelitiannya

meningkat pula. § Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan dan ketelitian keadaan tunak. § Tipe maksimum sistem umumnya 2.




Galat Keadaan Tunak Fungsi alih loop tertutup :

C(s) G (s ) = R (s) 1 + G (s) H(s)

dan : E (s ) C(s) H (s) 1 =1− = R (s) R (s ) 1 + G (s) H (s)

Diperoleh : E (s ) =

1 R (s ) 1 + G (s ) H (s )

Galat keadaan tunak: e ss = lim e( t ) = lim sE (s) = lim t →∞

s →0

s→0

sR (s) 1 + G (s ) H (s )

§ Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat

statik. § Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya. § Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan,

percepatan, dst. § Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu,

dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap waktu.




♦ Konstanta Galat Statik s 1 s → 0 1 + G (s ) H (s ) s 1 = 1 + G (0) H(0)

e ss = lim

Konstanta galat posisi statik: K p = lim G (s)H (s) = G (0)H (0) s→0

Sehingga galat keadaan tunak : e ss =

1 1+ Kp

Untuk sistem tipe 0: K p = lim s →0

K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L =K (T1s + 1) (T2s + 1) L

Untuk sistem tipe 1 atau lebih: K p = lim s →0

K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L =∞ s N (T1s + 1) (T2 s + 1) L

( N ≥ 1)

Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Step: e ss =

1 1+ K

e ss = 0

untuk sistem tipe 0 untuk sistem tipe ≥1




Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Ramp: s 1 s → 0 1 + G (s ) H (s ) s 2 1 = lim s →0 sG (s ) H (s )

e ss = lim

Konstanta galat kecepatan statik : kυ = lim sG (s)H(s) s→0


1 Kυ

Untuk sistem tipe 0 : k v = lim s→0

sK (Ta s + 1)(Tb s + 1L =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) L

Untuk sistem tipe 1 : k v = lim s→0

sK (Ta s + 1)(Tb s + 1L =K (T1s + 1)(T2 s + 1) L

Untuk sistem tipe 2 atau lebih : k v = lim s→0

1 =∞ Kυ 1 1 e ss = = Kυ K e ss =

sK (Ta s + 1)(Tb s + 1L =∞ s N (T1s + 1)(T2 s + 1) L

( N ≥ 2)

for type 0 systems for type 1 systems



e ss =

1 =0 Kυ


for type 2 or higher systems




§ Pengertian galat kecepatan pada Kv menunjukkan galat posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan. § Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada keadaan tunak. § Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak. § Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp tanpa menimbulkan galat pada keadaan tunak.




Input unit parabola/akselerasi: t2 r(t ) = 2 =0

for

t≥0

for

t<0

Galat keadaan tunaknya: s 1 s → 0 1 + G (s ) H (s ) s 3 1 = lim s 2 G (s)H (s)

e ss = lim

s→0

Konstanta galat percepatan statik: K a = lim s 2 G (s)H (s) s→0


1 Ka




Konstanta Galat Percepatan Statik : For a type 0 system, K a = lim s →0

s 2 K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) L

For a type 1 system, s 2 K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L K a = lim =0 s→0 s(T1s + 1)(T2 s + 1) L

For a type 2 system, s 2 K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L K a = lim 2 =K s → 0 s ( T s + 1)( T s + 1) L 1 2

For a type 3 or higher system, s 2 K (Ta s + 1)(Tb s + 1) L K a = lim N =∞ s → 0 s ( T s + 1)( T s + 1) L 1 2

( N ≥ 3)

Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola: e ss = ∞ 1 e ss = K e ss = 0

for type 0 and type 1 systems for type 2 systems for type 3 or higher systems




§ Pengertian galat percepatan pada Ka menunjukkan galat posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan. § Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola pada keadaan tunak. § Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak.




♦ Hubungan antara Integral Galat pada Input Step dan Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp. Definisikan: ∞

L[e( t )] = ∫ ∈−st e( t ) dt = E (s) 0

Maka: lim s →0

∫

∞

0

∞

∈−st e( t ) dt = ∫ e( t )dt = lim E (s) 0

s→0

Ingat: E (s ) H (s )C (s ) 1 = 1− = R (s ) 1 + G (s ) H (s ) R (s )

Sehingga:

∫

∞

0

  R (s ) e(t ) dt = lim   s → 0 1 + G (s ) H(s ) 

Untuk input unit step :

∫

∞

0

 1 e( t ) dt = lim  s → 0 1 + G (s ) H (s )  1 = lim s → 0 sG (s ) H (s ) 1 = Kυ

1 s 

= steady-state actuating error in unit-ramp response Dengan demikian :

∫

∞

0

e( t ) dt = e ssr

dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step essr = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit ramp




§ Bila essr = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali. Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan K v = ∞ akan muncul minimal sekali overshoot bila diberi input step.




o ANALISIS KEPEKAAN

§ Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen penyusunannya

merupakan

ukuran

ketergantungan

karakteristiknya terhadap komponen tersebut. 0 change in T (s) d In T (s) = 0 S (s ) = , d In K (s) 0 change in K (s) 0 T K

dengan: T(s) = C(s ) / R (s)

Definisi kepekaan lain: S TK (s) =

dT (s) / T (s) dK (s) / K (s)

§ Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s) yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s). § Definisi diatas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil. § Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi. § Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter.




Pandang sistem kendali sbb:

Fungsi alih loop tertutup: T (s ) =

K 1G (s) C(s) = R (s ) 1 + K 2 G (s )

dengan: K1 : fungsi alih transducer input K2 : fungsi alih tranducer balikan G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian stabilisator, motor dan roda gigi pada lintasan maju.




♦ Kepekaan Sistem terhadap K1: STK1 =

dT(s) / T (s) K1 dT(s) = dK1 / K1 T(s) dK1

dengan: dT(s) G (s) T (s) = = dK 1 1 + K 1G (s) K 1 Sehingga: S TK1 (s) =

K 1 T (s) =1 T (s) K 1

§ Setiap perubahan karakteristik pada K1 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. § Elemen yang digunakan untuk K1 harus memiliki karakteristik presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

♦ Kepekaan Sistem terhadap K2: STK 2 (s) =

dT(s) / T (s) K 2 dT(s) = dK 2 / K 2 T(s) dK 2

dengan: − K 1 G 2 (s) dT(s) 0 − K 1 G 2 (s) = = 2 dK 2 [1 + K 2 G (s)] K 1 [1 + K 2 G (s)]2 2

Sehingga:




− K 1 G 2 (s) − K 2 G (s) K2 = S (s) = T (s) K 1 [1 + K 2 G (s)]2 1 + K 2 G (s) 2

T K2




Untuk nilai frekuensi dengan K2G(s)>>1, maka: STK 2 (s) = −1 § Setiap perubahan karaktersitik pada K2 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. § Elemen yang digunakan untuk K2 harus memiliki karakteristik presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu. § Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik komponen dan sistem berlawanan.

♦ Kepekaan Sistem terhadap G(s): SGT ( s ) (s) =

dT(s) / T(s) G (s) dT(s) = dG (s) / G (s) T(s) dG (s)

dengan: dT(s) (1 + K 2 G (s))K1 − K1G (s)K 2 K1 = = dG (s) [1 + K 2 G (s)]2 [1 + K 2 G (s)]2 Sehingga: S TG ( s ) (s) =

− K1 G (s) 1 = T (s) [1 + K 2 G (s)]2 1 + K 2 G (s)

§ Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu dirancang agar K2G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu presisi.



§


Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi tertentu saja.


Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi

Recommend Documents