FUNGSI ALIH SISTEM ORDE 2 Oleh: Ahmad Riyad Firdaus Politeknik Batam
I. Tujuan 1. Memahami cara melakukan simulasi sistem fisis (sistem mekanik dan elektrik) untuk orde 2 2. Memahami karakteristik sistem fisis terhadap perubahan nilai parameter dari sistem fisis dalam ranah (domain) waktu dan ranah frekuensi.
II. Dasar Teori Untuk memahami, merancang atau memperbaiki suatu sistem kendali, seringkali lebih efektif jika digunakan tiruan karakteristik dari sistem yang ditangani. Hal ini berkaitan dengan alasan keselamatan, kecepatan perancangan, kemudahan dan biaya perancangan. Selain itu, hasil percobaannya dapat mendukung perencanaan sistem yang akan dibuat. Proses peniruan karakteristik sistem ini disebut SIMULASI. Dalam analisis sistem kendali, harus lebih dulu mengetahui karateristik sistem yang akan diatur (plant) dan karateristik alat kendali yang akan digunakan. Dalam kasus sistem kendali linier, time-invariant, single-input-single output, karakteristik yang penting adalah Transfer Function (Fungsi Transfer). Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (output) sistem dengan transformasi Laplace masukan (input) sistem dengan asumsi kondisi awal sama dengan nol. Penentuan fungsi transfer dapat dilakukan melalui dua cara yaitu : 1) Penurunan melalui persamaan matematis Penentuan fungsi transfer yang dilakukan dengan penurunan persamaan secara matematis mempersyaratkan adanya model dinamika dari sistem fisis bersangkutan. Keakuratan fungsi transfer yang diperoleh bergantung pada keakuratan model dinamika fisis tersebut. 2) Pengukuran langsung terhadap sistem fisis sesungguhnya, yaitu dengan mengamati keluaran sistem fisis tersebut terhadap sinyal uji/masukan tertentu. Untuk melakukan pengukuran cara ini perlu dipahami analisis sinyal dalam kawasan(domain) waktu dan kawasan frekuensi.
1
III. Penurunan Fungsi Transfer orde 2 melalui persamaan matematis A. Sistem Elektrik Dalam gambar 1 ditunjukkan sebuah sistem rangkaian elektrik yang terdiri dari R, L dan C, dimana sebagai tegangan input adalah e dan arus output adalah i. R
L
C
e
i
Gambar 1 Rangkaian Elektrik Dengan menerapkan hukum Kirchoff pada rangkaian diatas diperoleh persamaan dinamika sebagai berikut : L.
di (t ) 1 + R.i (t ) + ∫ i (t ).dt = e(t ) ...........................................................................(1.6) dt C
Transformasi Laplace persamaan (1.6) adalah
L. sI ( s) + R. I ( s) +
1 1 . I ( s) = E ( s) ........................................................................(1.7) C s
Dengan demikian Fungsi Transfer dari rangkaian elektrik diatas adalah : I (s) = E ( s)
s 1 Ls + Rs + C
..............................................................................................(1.8)
2
Diagram blok hubungan input dan output dari sistem diatas ditunjukkan dalam gambar 5
E(s)
s
I (s)
Ls2 + Rs + 1/ C
Gambar 2 Diagram Blok dari Gambar 2
2
L
di 1 + Ri + ∫ i dt = Vi dt C
I = Vi SC 1 I Vo = ∫ i dt = C SC I = SCVo SLI + RI +
S 2 LCVo + SRCVo + Vo = Vi Vo ( S 2 LC + SRC + 1) = Vi Vo 1 = 2 Vi S LC + SRC + 1 Vo = Vi
1 LC 1 R S2 + S + L LC 2
Vo ωn = 2 Vi S + 2ζω n S + ω n 2
……………………………..(1.8b)
B. Sistem Suspensi
k p m y f
Gambar 3. Sistem Suspensi
Perhatikanlah penurunan fungsi transfer dari sistem pada gambar 3, yang terdiri dari komponen pegas, damper/peredam (piston dalam silinder yang berisi oli) dan massa.
3
dimana P adalah daya yang diberikan ke massa (input), dan y adalah pergerakan tranlasi yang dihasilkan (output). Persamaan dinamika dari sistem translasi ini dapat diturunkan melalui hukum Newton pada sistem translasi yaitu : ma = ∑ F ............................................................................................................. (1.12) dimana : m = massa [Kg] a = percepatan [m.det-2] F = Gaya Berdasarkan hukum Newton diatas, diperoleh : m.
d 2 y(t ) dy ( t ) = p( t ) − f . − k . y ( t ) ................................................................... (1.13) 2 dt dt
atau m.
d 2 y(t ) dy ( t ) + f. + k . y ( t ) = p ( t ) .................................................................... (1.14) 2 dt dt
Transformasi Laplace dari persamaan (1.14) adalah m. s 2Y ( s) + f . sY ( s) + k .Y ( s) = P ( s) ..................................................................... (1.15)
Dengan demikian Fungsi Transfer dari rangkaian mekanik translasi pada gambar 3. adalah : Y ( s) 1 = ............................................................................................. (1.16) 2 P ( s) ms + fs + k
Sistem Orde-Dua
Secara umum fungsi transfer sistem orde-dua dapat dinyatakan dalam bentuk standar sebagai berikut : G ( s) =
C ( s) K ω 2n ………………..................................................... (1.21) = 2 R ( s) s + 2ζω n s + ω 2n
Dimana ωn adalah frekuensi natural dan ζ adalah rasio redaman (damping ratio). rasio redaman mempunyai harga 0 < ζ < ∝. Sebagai contoh :
4
1. Persamaan (1.8b), yaitu fungsi transfer sistem elektrik (Gambar 1), dapat dinyatakan dalam bentuk standar persamaan (1.21) dimana
K = 1, ωn = (L.C)-1/2 dan ζ =
1/2.R.(L.C-1)-1/2 2. Persamaan (1.16), yaitu fungsi transfer sistem mekanik translasi (Gambar 3), dapat dinyatakan dalam bentuk standar persamaan (1.21) dimana K = 1/k, ωn = (m.k-1)1/2 dan ζ = 1/2.f.(m.k)-1/2 Bila fungsi transfer persamaan (1.21) diberi input step, R(s)=A/s, maka output C(s) akan berharga
G ( s) =
C ( s) A K ω 2n = .( 2 ) .................................................................... (1.22) R ( s) s s + 2ζω n s + ω 2n
Dengan merubah bentuk perkalian persamaan (1.22) diatas menjadi bentuk penjumlahan melalui metoda partial-fraction dan analisis bilangan kompleks, kemudian dilakukan proses invers Transformasi Laplace, maka diperoleh nilai output, c(t), dalam kawasan waktu sebagai berikut : c( t ) = AK [1 −
1 1− ζ
2
. e −ζω nt .sin( ω n 1 − ζ 2 . t − φ )] ............................................. (1.23)
dimana :
φ = tan −1
1 − ζ2
ζ
Kurva fungsi waktu dari persamaan (1.23) ditunjukkan dalam Gambar 8
5
Gambar 4 Kurva Fungsi Waktu Persamaan
c( t ) = AK [1 −
1 1− ζ
2
. e −ζω nt .sin( ω n 1 − ζ 2 . t − φ )]
Pada Gambar 4 terlihat ada tiga daerah karakteristik yang masih dalam daerah kestabilan sistem. •
0 < ζ < 1, disebut sistem dalam keadaan teredam kurang (underdamped)
•
1 = ζ , disebut sistem dalam keadaan teredam kritis (critically damped)
•
1 > ζ , disebut sistem dalam keadaan teredam lebih (overdamped)
Beberapa karakteristik transien yang perlu diperhatikan untuk sistem orde-dua dalam daerah 0 < ζ < 1 adalah td, tr, tp, Mp dan ts (lihat Gambar 5) dimana nilai karakteristik tersebut adalah :
6
tr =
π −β ; ωd
tp =
π −β ωd
M p = e −( σ / ω d ) π x 100% t s ( 2%) =
4
σ
;
t s (5%) =
3
σ
dimana
ω d = ω n 1 − ζ2 ;
σ = ζω n ;
β = tan -1
ωd σ
Gambar 9 Karakteristik Sistem Orde Dua dengan Nilai Mp, tp, tr, ts
III. Alat dan Bahan
1. PC (Personal Computer) 2. MATLAB 6.1
IV. Prosedur Praktikum A. Sistem Elektrik
1. Dari Gambar 1. Sistem elektrik, jika masukan yang diberikan adalah tegangan (Vi) dan keluaran yang diinginkan adalah tegangan tertentu (Vo), maka diperoleh persamaan fungsi alih (TF)
Vo 1 = 2 . Diketahui momen induktansi Vi S LC + SRC + 1
(L) = 1 mH, Resistansi (R)= 1 KΩ, dan kapasitansi (C) = 1 µF.
7
2. Hitunglah, nilai K, ωn, dan ξ. Apakah sistem tersebut “underdamped’, ‘overdamped’ atau ‘critically damped’ 3. Tentukan numerator dan denumerator sistem tersebut! Berikanlah masukan STEP untuk menguji sistem tersebut! 4. Periksalah, respon transien dari sistem tersebut dengan mensimulasikan di Matlab. R=1000; L=1e-3 C=1e-6;
num=[1]; den=[L*C R*C 1]; TF=tf(num,den) step(TF,0.01);
Keluarannya:
8
5. Untuk mengtahui karakteristik respon transien (peak response/overshoot, settling
time, rise time dan steady state) dari sistem di atas, KLIK KANAN pada gambar, kemudian pilih CHARACTERISTIC.
B. Sistem Suspensi
1. Dari Gambar 2. Sistem Suspensi, jika diberi masukan sebuah daya (P) pada massa dan diinginkan sebuah keluaran pergerakan translasi (y) tertentu maka diperoleh persamaan fungsi alih (TF) =
Y ( s) 1 = . Diketahu nilai massa (m)= 320 2 P ( s) ms + fs + k
kg, konstanta pegas (k) = 80.000 N/m dan konstanta redaman (f) = 350 Ns/m. 2. Hitunglah, nilai K, ωn, dan ξ. Apakah sistem tersebut “underdamped’, ‘overdamped’ atau ‘critically damped’ 3. Tentukan numerator dan denumerator sistem tersebut! Berikanlah masukan STEP untuk menguji sistem tersebut! 4. Periksalah, respon transien dari sistem tersebut dengan mensimulasikan di Matlab. m=320; k=80000 f=350;
num=[1]; den=[m f k]; TF=tf(num,den) step(TF);
Keluarannya:
9
5. Untuk mengtahui karakteristik respon transien (peak response/overshoot, settling
time, rise time dan steady state) dari sistem di atas, KLIK KANAN pada gambar, kemudian pilih CHARACTERISTIC.
Tugas 1.
diketahui persamaan sebuah sistem: y’’(t)+y’(t)+5y(t) = x(t) dengan y’’(0)=y’(0)=0
2.
dari persamaan di atas, tentukan: a.
Y (s) X ( s)
b. K, ξ, ωn c. Gambarkan keluaran Y(s) untuk masukan X(s)= 1
10
