FUNGSI ALIH SISTEM ORDE 1 Oleh: Ahmad Riyad Firdaus Politeknik Batam
I. Tujuan 1. Memahami cara melakukan simulasi sistem fisis (sistem mekanik dan elektrik) untuk orde 1 2. Memahami karakteristik sistem fisis terhadap perubahan nilai parameter dari sistem fisis dalam ranah (domain) waktu dan ranah frekuensi.
II. Dasar Teori Untuk memahami, merancang atau memperbaiki suatu sistem kendali, seringkali lebih efektif jika digunakan tiruan karakteristik dari sistem yang ditangani. Hal ini berkaitan dengan alasan keselamatan, kecepatan perancangan, kemudahan dan biaya perancangan. Selain itu, hasil percobaannya dapat mendukung perencanaan sistem yang akan dibuat. Proses peniruan karakteristik sistem ini disebut SIMULASI. Dalam analisis sistem kendali, harus lebih dulu mengetahui karateristik sistem yang akan diatur (plant) dan karateristik alat kendali yang akan digunakan. Dalam kasus sistem kendali linier, time-invariant, single-input-single output, karakteristik yang penting adalah Transfer Function (Fungsi Transfer). Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (output) sistem dengan transformasi Laplace masukan (input) sistem dengan asumsi kondisi awal sama dengan nol. Penentuan fungsi transfer dapat dilakukan melalui dua cara yaitu : 1) Penurunan melalui persamaan matematis Penentuan fungsi transfer yang dilakukan dengan penurunan persamaan secara matematis mempersyaratkan adanya model dinamika dari sistem fisis bersangkutan. Keakuratan fungsi transfer yang diperoleh bergantung pada keakuratan model dinamika fisis tersebut. 2) Pengukuran langsung terhadap sistem fisis sesungguhnya, yaitu dengan mengamati keluaran sistem fisis tersebut terhadap sinyal uji/masukan tertentu. Untuk melakukan
1
pengukuran cara ini perlu dipahami analisis sinyal dalam kawasan(domain) waktu dan kawasan frekuensi.
II.1 Penurunan Fungsi Transfer orde 1 melalui persamaan matematis A. Sistem Mekanik Dalam gambar 1. ditunjukkan secara skematis sebuah sistem mekanik rotasi (Gambar 1).
J T
ω f Gambar 1 Sistem Mekanik
Dalam sistem ini, masukan sistem berbentuk torsi T yang menggerakkan beban dengan momen inersia J. Karena adanya gaya gesek dengan koefisien gesekan sebesar f maka akan terjadi torsi lawan sebesar f.ω. Keluaran dari sistem ini adalah kecepatan sudut (ω) Menurut Hukum Newton untuk dinamika sistem mekanik rotasi adalah : Jα = ∑ T ..................................................................................................................(1.1) dimana : J = Momen Inersia [Kg-Meter2] α = Percepatan sudut [Rad.det-2] T = Torsi [Newton-Meter] Berdasarkan hukum Newton diatas maka untuk sistem mekanik rotasi yang ditunjukkan dalam gambar 1.1, didapatkan
J.
dω ( t ) = T ( t ) − f . ω ( t ) .........................................................................................(1.2) dt
atau
2
J.
dω ( t ) + f . ω ( t ) = T ( t ) .........................................................................................(1.3) dt
Dalam bentuk Laplace (perhatikan kesederhanaan perubahan dari Pers. 1.3 menjadi Pers.1.4. )
J . sΩ ( s) + f . Ω ( s) = T ( s) ........................................................................................ (1.4) atau Ω( s) 1 ......................................................................................................... (1.5) = T ( s) Js + f dimana
Ω( s) = L [ω ( t )] T ( s) = L [ T ( t )] Diagram blok hubungan masukan dan keluaran sistem di atas ditunjukkan dalam Gambar 2.
T(s)
1 Js + f
Ω (s)
Gambar 2 Diagram Blok dari Gambar 1
B. Rangkaian RC R
Vi
i
C
Vo
Gambar 3 Rangkaian RC
3
Vi = Vo + IR I SC I = SCVo
Vo =
Vi = Vo + SCRVo Vi = Vo (1 + SCR ) Vo 1 = Vi 1 + SCR 1 Vo = RC 1 Vi S+ RC
C. Rangkaian RC dengan OP-AMP
4
II.3 Analisis Kawasan Waktu Sistem Orde 1
Secara umum, dari konsep analogi yang telah kita pelajari, model fungsi transfer yang menyatakan hubungan masukan keluaran sebuah sistem orde satu dapat dinyatakan dalam bentuk standar sebagai berikut. G ( s) =
C ( s) K .............................................................................................. (1.17) = R ( s ) sτ + 1
Sebagai contoh 1. Persamaan (1.5), yaitu fungsi transfer sistem mekanik rotasi (Gambar 1), dapat dinyatakan dalam bentuk standar persamaan (1.17) dimana K = 1/f dan τ = J/f
Bila Fungsi transfer persamaan (1.17) diberi masukan berupa step, R(s)=A/s, maka keluaran, C(s) akan berharga : C ( s) =
A K A K/τ .( ) = .( ) ......................................................................... (1.18) s sτ + 1 s s +1/ τ
Dengan merubah bentuk perkalian persamaan (1.18) diatas menjadi bentuk penjumlahan melalui metoda partial-fraction, diperoleh keluaran C(s) dalam bentuk penjumlahan sebagai berikut : 1 1 1 1 C ( s) = AK [ − ] = A'[ − ] ..................................................... (1.19) s ( s + 1 / τ) s ( s + 1 / τ) Dengan menggunakan Invers Transformasi Laplace, maka keluaran C(s), dalam kawasan s (s-domain), dapat dinyatakan dalam kawasan waktu (time domain), c(t) yaitu : c(t ) = A'[1 − e − t / τ ] ..................................................................................................(1.20) Kurva fungsi waktu dari persamaan keluaran, c(t), ditunjukkan dalam Gambar 7 C(t)
A
t
Gambar 7 Grafik Fungsi Waktu Persamaan A'[1-exp(-t/τ)]
5
Terlihat dalam grafik diatas, pada saat t menuju tak terhingga (t sangat besar), keluaran berharga tetap, atau disebut dengan keadaan steady state (tunak). Keadaan dimana sistem bergerak mulai saat awal sampai dengan sebelum mencapai keadaan tunak disebut keadaan transien. Terlihat dari gambar diatas, bahwa bagian pembagi pada fungsi transfer persamaan (1.17) yang dikenal dengan sebutan "pole" sangat berpengaruh terhadap pola keluarannya, dimana nilai pole (dalam hal ini diwakili oleh nilai τ) akan menentukan kecepatan respon sistem dari keadaan awal sampai tunak. Dari pembahasan diatas terlihat bahwa, untuk menentukan fungsi transfer melalui pengukuran secara langsung terhadap sistem fisis yang sesungguhnya dapat dilakukan dengan memberikan masukan sinyal tertentu dan keluaran dari sistem diamati terhadap waktu.
III. Alat dan Bahan
1. PC (Personal Computer) 2. MATLAB 6.1
IV. Prosedur Praktikum Sistem mekanik
1. Dari Gambar 1. Sistem mekanik, jika masukan yang diberikan adalah torsi (T) dan keluaran yang diinginkan adalah kecepatan sudut, maka diperoleh persamaan fungsi alih (TF)
Ω( s) 1 = . Diketahui momen inersia (J) = 5.10-6 kgm2 dan T ( s) Js + f
koefisien gesekan (f)= 1.10-5 Nm.s/rad, dan sistem mekanik ini diberi masukan torsi (T) sebesar 1 satuan. 2. Masukan nilai-nilai J dan f dan fungsi alih sistem mekanik tersebut dan tentukan nilai numerator dan denumerator dari fungsi alih tersebut. 3. Tulis script matlab di bawah ini dan amati hasilnya! num=[0 1]; den=[5e-6 1e-5]; TF=tf(num,den)
6
step(TF)
4. Fungsi step adalah memberikan masukan sebesar 1 satuan dalam hal ini adalah torsi. 5. Berapa amplitudo maksimum dari respon sistem tersebut? Jelaskan! 6. Tentukan fungsi alih sistem setelah diberi masukan step dan tentukan fungsi sistem dalam ranah (domain) waktu.
Rangkaian RC
7. Dari Gambar 2. Rangkaian RC, jika diberi masukan sebuah tegangan tertentu (Vin) dan diinginkan sebuah tegangan keluaran dengan besaran tertentu maka diperoleh persamaan fungsi alih (TF) =
1 . Diketahu nilai resistor sebesar 1 sRC + 1
kilo Ohm dan kapasitor sebesar 10µF. 8. Masukan nilai R dan C, tentukan numerator dan denumerator dari fungsi alih yang telah dibuat. 9. Tulis script matlab di bawah ini dan amati hasilnya! clc R=1000; C=1e-5; num=[0 1]; den=[R*C 1]; TF=tf(num,den) step(TF)
10. Fungsi step adalah memberikan masukan sebesar 1 satuan dalam hal ini adalah tegangan. 11. Tentukan fungsi alih sistem setelah diberi masukan step dan tentukan fungsi sistem dalam ranah (domain) waktu.
Rangkaian RC dengan OP-AMP
12. Dari Gambar 3. Rangkaian RC dengan OP-AMP, jika diberi masukan tegangan tertentu (Vin) dan diinginkan sebuah tegangan keluaran dengan besaran tertentu
7
R maka diperoleh persamaan fungsi alih (TF) = − 2 R1
1 . Jika diketahui R2 R2 sC + 1
= 10 K Ohm, R1= 1 K Ohm dan C = 1 µF 13. Masukan nilai R dan C, tentukan numerator dan denumerator dari fungsi alih yang telah dibuat 14. Tulis script matlab di bawah ini dan amati hasilnya! clc R1=1000; R2=10000; C=1e-6; num=-[0 R2/R1]; den=[R2*C 1]; TF=tf(num,den) step(TF)
15. Fungsi step adalah memberikan masukan sebesar 1 satuan dalam hal ini adalah tegangan. 16. Tentukan fungsi alih sistem setelah diberi masukan step dan tentukan fungsi sistem dalam ranah (domain) waktu
Tugas 1.
Jika diketahui persamaan gerak dari sistem orde satu: 2y’(t)+5y(t)=x(t) dengan y’(0) = y(0) = 0. a. Tentukan fungsi alih persamaan diatas, jika masukannya adalah X(s) dan keluarannya Y(s) b. Secara teori tentukan besar penguatan dan konstanta waktunya c. Gambarkan respon keluarannya, jika diberi masukan step menggunakan MATLAB d. Tentukan fungsi alih system setelah diberi masukan step.
8
2. R(s)
Perhatikan diagram blok di bawah ini!
10/ (5s+1)
+
C(s)
-
C ( s) R(s)
-
Tentukan fungsi alih
-
Tentukan besaran penguatan dan konstanta waktunya
-
Simulasikan dan amati grafik keluarannya jika masukan R(s) adalah 1 satuan (step)
9
