BAB 4 SISTEM DINAMIK ORDE-TINGGI
Sistem dinamik orde-tinggi ⇒ gabungan dua atau lebih sistem dinamik orde-satu. Contoh: 1. Level control pada tangki-tangki, baik yang sistem non- interkasi (noninteracting system) maupun yang terinteraksi (interacting system). 2. Sistem pendinginan suatu proses panas (cooling of a hot process).
Respon Sistem Orde-Tinggi: Dua tipe fungsi alih orde-tinggi: 1. G ( s) =
n Y (s) = ∏ Gi ( s ) = X ( s ) i =1
K n
∏ (τ s + 1) i
i =1
m
2. G ( s) =
Y (s) = X (s)
K ∏ (τ ld s + 1) n
∏ (τ i =1
4. 1
j
j =1
lg i
s + 1)
Sistem orde-dua
Fungsi alih orde-dua: 1. G ( s) =
Y (s) K K = = 2 X ( s) (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) τ 1τ 2 s + (τ 1 + τ 2 ) s + 1
2. G ( s) =
Y (s) K = 2 2 X ( s ) τ s + 2τξs + 1 τ = konstanta waktu karakteristik (waktu) = τ1τ 2
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
47
ξ = rasio redaman (tanpa satuan) =
τ1 + τ 2 2 τ1τ 2
Fungsi step: X(s) = 1/s
⇒
Y (s) =
=
r1 = −
K s (τ s + 2τξ s + 1) 2
2
K s ( s − r1 )( s − r2 )
ξ 2 −1 ξ + τ τ
ξ2 −1 ξ r2 = − − τ τ ⇒ respon sistem tergantung pada rasio redaman (ξ)
0 <ξ <1 disebut redaman kurang (underdamped) ξ = 1 disebut redaman kritis (critically damped) ξ > 1 disebut redaman lebih (overdamped) Beda respon orde 1 dan orde 2: 1. Slope paling curam pada orde 2 tidak terjadi saat memulai respon. 2. Orde 1 tidak berosilasi. Respon sistem lup terbuka ⇒ redaman kritis atau redaman lebih (tidak berosilasi), osilasi hanya terjadi pada sistem lup tertutup.
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
48
4. 2
PERFORMANSI SISTEM KONTROL
Gambar 4.1 Kurva respon tangga satuan ωn 2 2 s + 2ωn ξs + ωn 2
Untuk fungsi alih sistem orde 2: G ( s) =
Mp =B
1. Overshoot (lewatan maksimum, Mp ):
A
=e
−πξ
1− ξ 2
− 2 πξ
2. Decay ratio:
C
B
=e
1− ξ 2
(kriteria untuk menentukan respon sistem kontrol yang memuaskan)
3. Peak time (waktu puncak , tp ):
tp = πω
d
dengan ω d = ω n 1 − ξ 2
ωn = frekuensi alamiah tak teredam ωd = frekuensi alamiah teredam
tr =
4. Rise time (waktu naik, t r): 5. Periode osilasi (T):
T=
(π − β ) , ωd
β = tan -1
ωd ,σ = ξω n σ
2πτ 1 −ξ 2
6. Setting time (waktu penetapan, t s): • untuk batas 2% t s = 4 σ = 4T
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
49
• untuk batas 5% t s = 3 σ = 3T 7. Delay time (waktu tunda): waktu yang diperlukan respon untuk mencapai setengah harga akhir yang pertama kali.
Gambar 4.2 Kurva Mp terhadap ξ
Catatan: • Dua buah sistem orde dua mempunyai kestabilan relatif yang sama (Mp sama) apabila keduanya mempunyai ξ sama tapi ωn berbeda • Harga overshoot (Mp ) yang baik adalah: 2,5% - 25% atau harga rasio redaman (ξ)nya 0,4 - 0,8 sebab:
ξ < 0,4 ⇒
Mp terlalu besar
ξ > 0,8 ⇒
respon lebih lambat
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
50
4. 3 Sistem orde-tinggi
Respon sistem orde tinggi sangat mirip dengan respon orde-2 redaman lebih dengan dead time. Makin besar orde-nya, makin besar pula dead time-nya. Oleh karena itu sistem orde-3 atau lebih bisa didekati dengan sistem orde-2 plus dead time:
G ( s) =
Ke − st (τ a s + 1)(τ b s + 1) 0
4. 4LEAD & LAG:
Bentuk kedua sistem orde tinggi: m
G ( s) =
Y (s) = X (s)
K ∏ (τ ld s + 1) j
j =1
n
∏ (τ i =1
lg i
s + 1)
Pengaruh: (τld s +1)
Y1 ( s ) = Y2 ( s ) = dengan
1 s (τlg 1 s + 1)(τ lg 2 s + 1)(τ lg 3 s + 1)
(τ ld s + 1)
s(τ lg 1 s + 1)(τ lg 2 s + 1)(τ lg 3 s + 1) τld = konstanta waktu τlg = konstanta waktu
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
51
Gambar 4.3 Perbandingan antara y1 (t) dan y2 (t)
Gambar 4.4 Respon lead/lag terhadap input step
Dari gambar respon y1 (t) dan y2 (t) terlihat bahwa (τld s +1) mempercepat respon. Pada τld =τlg ⇒ hubungan Y(s) dan X(s) menjadi satu orde lebih kecil. Bagaimana kalau fungsi alihnya: Y ( s ) τ ld s + 1 = X ( s ) τ lg s + 1
⇒
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
disebut lead/lag.
52
y (t ) = 1 +
τ ld − τ lg τ lg
e
−
t
τ lg
3 hal penting respon lead/lag: 1. Respon awal tergantung rasio lead/lag 2. Perubahan akhir pada output lead/lag sesuai dengan besarnya perubahan step pada input −t
3. Laju decay eksponensial hanya fungsi τlg :
τ lg
e
CONTOH: 1. Tinjau sistem pada gambar di bawah ini, di mana ξ = 0,6 dan ωn = 5 rad/detik. Cari waktu naik, waktu puncak, lewatan maksimum, dan waktu penetapan jika sistem dikenai masukan tangga satuan.
R(s)
ωn
+ E(s)
2
s ( s + 2ξω n )
C(s)
JAWAB: Dari harga ξ dan ωn yang diberikan: ωd = ωn 1 −ξ = 4 2
dan
• Waktu naik: β = tan -1
tr =
σ = ξωn = 3 (π − β ) 3,14 − β = ωd 4
ωd 4 = tan −1 = 0 .93 rad σ 3
t r = 0,55 detik
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
53
tp = π
• Waktu puncak:
ωd
=
3 ,14 = 0 ,785 detik 4
• Lewatan maksimum: Mp =e
− πξ
=e
1 −ξ 2
− (σ ω d )π
= e −(
3
4 ) 3,14
= 0,095 = 9,5%
• Waktu penetapan: untuk kriteria 2%:
t s = 4/σ = 4/3 = 1,33 detik
untuk kriteria 5%:
t s = 3/σ = 3/3 = 1 detik
2. Untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, diinginkan untuk menentukan harga penguatan (gain) K dan konstanta umpan-balik kecepatan Kh sedemikian rupa sehingga lewatan maksimum berharga 0,2 dan waktu puncaknya 1 detik. Dengan harga- harga K dan Kh ini diinginkan untuk memperoleh waktu naik dan waktu penetapan.
R(s)
K s( s + 1)
+ E(s)
C(s)
1 + Kh s
JAWAB: Mp =e
− πξ
1 −ξ 2
= 0,2
maka:
πξ 1− ξ 2
= 1,61
ξ = 0,456
t p = π ω = 1 detik, maka ωd = 3,14 d
ωn =
ωd 1 −ξ 2
ωn = √K
= 3,53 maka K = ωn2 = 12,5
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
54
Kh =
2 Kξ − 1 = 0,178 K
Waktu naik:
tr =
β = tan -1
(π − β ) 3,14 − β = ωd 3,14
ωd 3,14 = tan −1 = 1,10 rad σ 0,456 x 3,53
t r = 0,65 detik Waktu penetapan:
t s = 2,48 detik (2%) t s = 1,86 (5%)
Sistem Dinamik Orde-Tinggi
55
