BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM DINAMIK
SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains
Disusun oleh : Nama : Avienta Ika Pratiwi NIM : 05305144016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2012
ii
iii
iv
MOTTO
﴾٦ - ۵ : َفإِنَّ َم َع ْالعُسْ ِر يُسْ رً ا • إِنَّ َم َع ْالعُسْ ِر يُسْ رً ا ﴿ االن شراح Artinya : “Karena sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan, Sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan.”
ك َ ص َر ال َّس ْم َع ُك ُّل كا َ َن أُول ِئ َ ك إنَّ ِع ْل ٌم ِب ِه َو ْالفُ َؤادَ َو ْال َب َ َْس ل َ َوالَ َت ْقفُ ما َ لَي (٣٦ : َع ْن ُه َمسْ ُئ ْوال ً) اإل سراء Artinya : “ Dan Allah tidak menjadikan pemberian bala bantuan itu melainkan sebagai kabar gembira bagi kemenanganmu, dan agar tentram hatimu karenanya. Dan kemenanganmu itu hanyalah dari Allah
v
PERSEMBAHAN
بسم هللا ا لر حمه الر حيم االحمد هلل رب العا لميه اشهد ان ال اله اال هللا وحده ال شريك له و اشهد ان محمدا عبده ورسى له اللهم صل وسلم على سيد وا محمد وعلى اله و صحبه اجمعيه اما بعد
Karya ini ku persembahkan untuk : 1. Ayahanda Agung Suharso dan Ibunda Yuliarti tercinta, yang selalu dan tak hentihentinya memberikan do’a dan telah berjuang dengan segala kemampuan baik berupa materiil maupun spiritual untuk kelancaran studi. 2. Adikku tersayang Dilla atas perhatian dan kasih sayangnya selama ini. 3. Sahabat terbaik Asmah Syahromi, Wuri Widyastuti dan Tri Rahayu, yang telah memberikan supportnya dengan tulus ikhlas, baik berupa pemikiran dan tenaga yang tak henti-hentinya membantu tanpa kenal lelah dan sudi menyediakan waktunya untuk bertukar fikiran selama awal kuliah hingga tersusunnya skripsi ini. 4. teman-temanku, Mardria, Tri Sihono, Nurul Mukti, Septianti nur, Sri Rahayu, Sulastri Fardani, Ipung HP, dan sahabat-sahabat yang tak mampu saya sebutkan satu-persatu yang telah membantu saya dalam penyusunan skripsi ini dalam bentuk apapun. 5. Teman-teman seangkatan Jurusan Matematika 2005 yang memberikan support dan semangatnya.
vi
6. Rochmat Susanto yang telah memberi dukungan dengan tulus ikhlas dan sabar, serta motivasi-motivasi-nya yang mampu memompa kepercayaan diri untuk terus semagat dalam menyusun skripsi ini. 7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Mudah-mudahan Allah membalas segalanya yang terbaik dan semoga Allah selalu melimpahkan kasih-sayangnya terhadap kita semua. Amin.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi dengan judul “Bifurkasi Saddle-Node pada Sistem Dinamik” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Berhasilnya usaha penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, baik secara moril maupun secara materiil. Untuk itu, sebagai rasa hormat maka penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1.
Bapak Dr. Hartono, selaku Dekan FMIPA UNY yang telah memberikan kesempatan dan berbagai kemudahan sehingga penulis dapat menyusun skripsi ini.
2.
Bapak Dr. Sugiman, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah memberikan ijin dan berbagai kemudahan dalam penyusunan skripsi ini.
3.
Bapak Dr. Agus Maman, selaku Koordinator Progam Studi Matematika FMIPA UNY yang telah memberikan ijin dan berbagai kemudahan dalam penyusunan skripsi ini.
4.
Bapak Kus Prihantoso, M.Si., selaku Penasehat Akademik dan Pembimbing Skripsi, yang telah banyak memberikan pengarahan, bimbingan serta
viii
berbagai kemudahan selama menjalani masa kuliah di FMIPA UNY dan dalam menyusun skripsi ini. 5.
Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu-ilmunya kepada penulis. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini tidak lepas dari
kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk perbaikan dan penyempurnaan di masa yang akan datang. Harapan akhir semoga skripsi ini memberikan manfaat bagi penulis sendiri maupun para pembaca, khususnya mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Yogyakarta, 03 Agustus 2012 Penulis
Avienta Ika Pratiwi (05305144016)
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …………………………………………………...
i
HALAMAN PERSETUJUAN …………………………………………
ii
HALAMAN PERNYATAAN ………………………………………….
iii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………
iv
HALAMAN MOTTO ………………………………………….………
v
HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………...
vi
KATA PENGANTAR ………………………………………………..
viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………...……
x
DAFTAR GAMBAR……………………………………………...……
xii
ABSTRAK………………………………………………..……………
xiii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ………………………………..………
1
B. Rumusan Masalah ………………………………………………
4
C. Tujuan Penulisan ………………………………………………..
4
D. Manfaat Penulisan ………………………………………………
4
BAB II LANDASAN TEORI A. Titik Ekuilibrium …………………………………………….....
5
B. Pembagian Sistem Dinamik …………………………………….
6
1. Sistem Dinamik Linear ……………………...…………....
6
a. Nilai Eigen Real dan Berbeda …………………………
8
b. Nilai Eigen Komplek ………………………………......
17
x
c. Nilai Eigen Real Kembar …………………….........…... 2. SistemDinamik Non-Linear ………………………...........
28 32
D. Kestabilan ………………………………………………….........
37
E. Bifurkasi …………………………………………………...........
41
BAB III PEMBAHASAN A. Bifurkasi pada Sistem Dinamik Orde Satu ….............................
43
B. Bifurkasi Saddle-node pada Sistem Dinamik Dimensi Satu secara Umum ............................................................……...........
50
C. Bifurkasi Saddle-node pada Sistem Persamaan Dimensi Dua ....
56
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan …………….......…………………………………...
74
B. Saran …………………........…………………………………….
76
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………
77
LAMPIRAN.............................................................................................
77
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Koordinat Kutub …………………….....……….....……..
21
Gambar 2.2 (a) Titik Ekuilibrium Stabil .................................................
38
(b) Titik Ekuilibrium Stabil Asimtotik….............................
39
………….
44
…………………………...
47
…….
47
Gambar 3.1 Diagram Titik Ekuilibrium Sistem Gambar 3.2 Diagram Bifurkasi
Gambar 3.3Diagram yang dibatasi titik ekuilibrium Gambar 3.4 Diagram Bifurkasi
menggunakan sifat 49
differensial……………...................................................... Gambar 3.5 Diagram Kestabilan Sistem dengan Tiga Nilai Parameter
xii
58
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM DINAMIK
oleh Avienta Ika Pratiwi 05305144016 ABSTRAK Kestabilan sistem dinamik 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇) dengan 𝑥 ∈ ℝ𝑛 dan 𝜇 ∈ ℝ𝑚 , mengalami bifurkasi saat bagian real nilai eigen dari Matriks Jacobian 𝐽𝑓 𝑥 bernilai nol. Salah satu contoh bifurkasi adalah bifurkasi saddle-node. Parameter yang berubah mempunyai pengaruh terhadap keadaan kestabilan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node dan tidak semua sistem dinamik dapat mengalami bifurkasi saddle-node. Pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node dapat diketahui dari bagian real nilai eigen dari Matriks Jacobian 𝐽𝑓 𝑥 sistem 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 yang menyebabkan perubahan kestabilan titik ekuilibrium. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node adalah pada saat 𝜇 > 0. Pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node adalah bertambahnya dua titik ekuilibrium pada sistem jika terdapat titik ekuilibrium sebelum terjadi bifurkasi, maka sifat kestabilan titik ekuilibrium tersebut tidak berubah setelah terjadi bifurkasi. Bentuk sistem yang dapat mengalami bifurkasi saddle-node adalah 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 a) 𝑥 = 𝜇 + 𝑥 2 yang memenuhi 0,0 ≠ 0 serta 𝜕𝑥 2 0,0 ≠ 0 . 𝜕𝜇 b)
𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 , 𝑥 ∈ 𝑅1 , 𝜇 ∈ 𝑅1 𝑦 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑔 ∈ 𝐸 ⊆ 𝑅𝑛
Sistem 𝑥 memenuhi syarat poin (a) serta matriks Jacobian dari sistem 𝑦 = 𝑔 𝑦 mempunyai 𝑅𝑒 𝜆𝑖 < 0, ∀𝑖. c) 𝑥 = 𝑝2 𝑥, 𝑦 − 𝜇
𝑦 = 𝑦 ± 𝜇 + 𝑞2 (𝑥, 𝑦, 𝜇)
memenuhi syarat saat 𝜇 = 0, 𝑦 = ∅(𝑥, 𝜇) merupakan solusi dari persamaan 𝑦 ± 𝜇 + 𝑞2 𝑥, 𝑦, 𝜇 = 0 di daerah sekitar titik asal, 𝜓 𝑥 = 𝑝2 𝑥, ∅(𝑥) = 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯ ± 𝜇 dimana 𝑚 ≥ 2 dan 𝑎𝑚 ≠ 0, untuk 𝑚 bilangan genap serta memenuhi : jika banyaknya titik ekuilibrium saat 𝜇 < 0 adalah 𝑘, dan saat 𝜇 > 0 adalah 𝑙, maka 𝑘 − 𝑙 = 2 dan tidak ada titik ekuilibrium yang mengalami perubahan kestabilan. d) 𝑥1 = 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝜇 𝑥2 = 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝜇 Sistem 𝑥1 memenuhi syarat poin (b) dan serta matriks Jacobian dari sistem 𝑥2 mempunyai 𝑅𝑒 𝜆𝑖 < 0, ∀𝑖.
xiii
