BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx

Abstrak Dalam tulisan ini, dibahas Sistem Interkasi Nonlinear Sepasang Osilator Tanpa Perturbasi dari hasil simplifikasi ke bentuk normal yang dilakukan oleh Tuwankotta. Pada banyak kasus, model matematika berbentuk sistem persamaan diferensial berparameter sering memunculkan titik ekuilibrium non-hiperbolik yang mengalami bifurkasi pada nilai parameter tertentu. Bifurkasi yang dibahas adalah Bifurkasi Saddle-Node dipermukaan bola. Bifurkasi ini menunjukan, akibat dari parameter tertentu yang divariasikan, mempengaruhi kestabilan dan keadaan equilibrium yang terbagi menjadi dua bagian, kemudian menyatu dan akhirnya lenyap atau menghilang seluruhnya. Maka digunakan simulasi matcont dan maple, untuk menganalisa terjadinya bifurkasi Saddle-Node. Sebagai perbandingan, juga dibuktikan dengan penormalan sistem awal sehingga diperoleh bentuk normal dari Bifurkasi SaddleNode. Kata Kunci: Sepasang Osilator, Titik Equilibrium Nonhiperbolik, Parameter Bifurkasi, Saddle-Node, Bentuk Normal.

o

1

PENDAHULUAN

Sistem dinamik non-linear telah menjadi topik yang menarik untuk dipelajari sejak tahun 1900-an. ULFV merupakan suatu sistem osilator berpasangan yang menggunakan model dua-lapisan atmosfer global diformulasikan dalam bentuk pola aliran (EOFs) yang menyatakan interaksi antara pola aliran di atmosfir (aliran udara, panas dan lainnya) dengan komponen yang lebih lambat pada sistem cuaca (laut, lautan es dan lainnya). Dalam model atmosfer ini rentang waktunya sangat panjang (bertahun-tahun untuk beberapa dekade). Interaksi kedua dinamik tersebut terjadi di permukaan laut. Selain terjadi perpindahan air melalui penguapan dan hujan, pada permukaan laut juga terjadi interaksi momentum dari atmosfer dengan momentum dari lautan. Unsur-unsur yang mempengaruhi interaksi ini adalah tekanan permukaan, suhu dan uap air pada suatu lapisan di atmosfer. 1

Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Jln.Jend. Sudirman, No.6, Kab/Kota Gorontalo, Provinsi Gorontalo. Telp.0435-827213, Fax.0435-827213 Email:[email protected]

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Pada tahun 2003 dan 2004 Tuwankotta melakukan penelitian yang termotivasi oleh sistem ULFV yang dimodelkan oleh Crommelin. Sebelum melakukan analisa dinamik dari sistem tersebut, Tuwankotta melakukan penormalan ke dalam bentuk yang sederhana yang dikenal dengan bentuk normal. Simplifikasi ke bentuk normal yang dilakukan oleh Tuwankotta tersebut yang dibahas dalam tulisan ini. Persoalan fisika dalam model sistem Tuwankotta yang berhasil disimplifikasi sebagian besar mengandung parameter-parameter yang saling berhubungan. Pada umumnya bifurkasi terjadi dalam sistem dinamik yang memuat satu atau lebih parameter dan lebih ditekankan pada perubahan perilaku pada penyelesaian yang mungkin dialami jika parameterparameter tersebut berubah. Perubahan parameter dalam persamaan diferensial dapat menyebabkan perubahan kestabilan. Perubahan parameter tersebut juga mempengaruhi keadaan titik kritis. Titik kritis mungkin akan terbagi menjadi beberapa bagian, atau bergabung, atau menghilang seluruhnya. Dengan demikian ada dua hal yang diperhatikan pada bifurkasi, yaitu masalah kestabilan dan muncul atau hilangnya titik kritis. Pandanglah bentuk normal sistem persamaan diferensial Tuwankotta di R3 berikut ini: r˙ x˙ y˙

= = =

k1 r + δxr −k2 x + Ωy − δr2 −k1 y − Ωx

(1)

dimana Ω = ω + αx + βy dan |1 <   1 adalah parameter yang terperturbasi. Berdasarkan hasil simplifikasi Tuwankotta dalam bentuk normal di atas, penulis tertarik untuk menganalisa perilaku bifurkasi yang terjadi dalam sistem yang tanpa perturbasi. Perilaku yang diteliti penulis adalah perilaku bifurkasi satu parameter yakni bifurkasi Saddle-Node. Selain itu, penulis tertarik untuk mengamati kondisi perubahan yang terjadi pada bifurkasi Saddle-Node, dan serta ingin menunjukannya melalui 3 cara yakni secara numerik melalui proses komputasi Matcont, simulasi pemograman Maple 16 dan analitik bentuk normal yang menunjukan bifurkasi Saddle-Node. Untuk itulah penulis mengambil judul ”Bifurkasi Saddle-Node Pada Sistem Interaksi Nonlinear Sepasang Osilator Tanpa Perturbasi”. Penelitian ini dapat mengembangkan keilmuan di bidang matematika murni dan juga untuk menunjukan adanya bifurkasi Saddle-Node dari sistem interaksi sepasang osilator tanpa perturbasi melalui 3 cara yaitu secara numerik dengan menggunakan Matcont, simulasi dengan menggunakan Maple 16 dan analitik yang menunjukan bentuk normal adanya bifurkasi

2 2.1

TINJAUAN PUSTAKA Sistem Dinamik Pandang suatu persamaan diferensial biasa: x˙ = F (x),

hal. xx

x ∈ Rn

(2)

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

dengan F : Rn → Rn adalah fungsi C r . Solusi dari persamaan (2) adalah suatu kurva γ : Rn → Rn yang memenuhi dγ/dt = F (γ(t)) untuk setiap t ∈ R. Ruang variabel bebas pada sistem dinamik biasanya dinyatakan sebagai waktu, sedangkan ruang variabel terikat di Rn pada persamaan (2) sering disebut dengan ruang fase. Kurva γ diatas disebut dengan orbit, sedangkan kumpulan dari orbit-orbit pada ruang fase disebut dengan potret fase. (Hasan, 2011: 4) 2.2

Sistem Interaksi Nonlinear Sepasang Osilator Pandang suatu sitem persamaan diferensial orde dua sebagai berikut: ˙˙ x ¨ + ωx2 x = εf (x, x, ˙ y, y) 2 ˙ y¨ + ωy y = εg(x, x, ˙ y, y) ˙

(3)

dengan ωx dan ωy adalah bilangan-bilangan positif dan 0 < ε  1. Fungsi f dan g merupakan fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu. Sistem (3) dikenal sebagai sistem interaksi nonlinear sepasang osilator. Salah satu fenomena yang dipelajari pada sistem pasangan osilator adalah perpindahan energi antara osilator. Pada resonansi orde rendah, perpindahan energi tersebut lebih besar dibandingkan pada resonansi orde tinggi. (Fajar, 2008: 1) 2.3

Bentuk Normal Tuwankotta

Pandang sistem persamaan diferensial di R4 berikut. Misalkan 0 < ε  1 merupakan parameter yang cukup kecil dengan z = (z1 , z2 , z3 , z4 ) (dalam Hasan, 2012): ! A1 0 z˙ = z + F (z) (4) 0 A2 dengan: A1 =

εµ1 −1

1 εµ1

! ,

A2 =

εµ2 −εω

εω εµ1

! (5)

Sistem ini merupakan sistem interaksi nonlinear sepasang osilator. Simplifikasi sistem ini, kemudian dengan metode perataan yang dilakukan oleh Tuwankotta akhirnya memperoleh bentuk normal sebagai sebagai berikut Pandanglah sistem persamaan diferensial Tuwankotta di R3 berikut ini: r˙ x˙ y˙

= = =

k1 r + δxr −k2 x + Ωy − δr2 −k1 y − Ωx

(6)

dimana Ω = ω + αx + βy dan |1 <   1 adalah parameter yang terperturbasi. Bentuk normal tak terperturbasi dari sistem Tuwankotta ini yang digunakan untuk menunjukan adanya bifurkasi Saddle-Node 2.4

Titik Equilibrium

Definisi 2.1. (Fajar, 2008) Titik equilibrium adalah suatu titik dimana suatu persamaan diferensial mempunyai solusi pada ruang keadaan (state space) tidak bergerak (diam).

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

2.5

Bifurkasi

Definisi 2.2. (Thomas, 2010) Bifurkasi adalah perubahan kestabilan yang terjadi pada penyelesaian persamaan diferensial ketika melewati sebuah titik kritis. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya. Nilai dari parameter λ = λ0 yang menyebabkan bagian real dari nilai-nilai eigen Dx fλ adalah nol, disebut nilai bifurkasi.

2.6

Bifurkasi Saddle-Node

Definisi 2.3. Suatu bifurkasi yang menghubungkan dengan menunjukian λ1 = 0 disebut bifurkasi fold. Catatan: Bifurkasi ini memiliki nama lain, diantaranya Limit point, Bifurkasi Saddle-Node dan Turning point. (Kuznetsov, 1997: 80)

Ini merupakan bifurkasi Saddle-Node. (Kuznetsov, 1997: 80-81)

Gambar 1: Bifurkasi Fold atau Saddle-Node

3

METODOLOGI PENELITIAN

Pada penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan penelitian yaitu:

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

4 4.1

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Sistem Interaksi Nonlinear Sepasang Osilator yang Tak Terperturbasi

Pada bagian ini, peneliti membahas bentuk normal dari sistem Tuwankotta yang tanpa perturbasi. Untuk menganalisa bifurkasi Saddle-Node dari kondisi tidak adanya titik SaddleNode, hingga diperoleh satu atau dua titik dengan melakukan simulasi menggunakan Software Maple 16 dan Matcont. Selain simulasi, bukti adanya bifurkasi Saddle-Node juga dilakukan dengan menganalisis suatu sistem awal yang telah melalui tahap transformasi bola ke bidang-(x,y) sehingga diperoleh bentuk normal dari kondisi Bifurkasi Saddle-Node. Pandanglah bentuk normal dari sistem persamaan diferensial Tuwankotta di R3 berikut ini: r˙ x˙ y˙

= = =

εk1 r + δxr −εk2 x + Ωy − δr2 −εk1 y − Ωx

(7)

dimana Ω = ω + αx + βy dan |1 < ε  1 adalah parameter yang terperturbasi. Sistem yang telah diteliti oleh peneliti adalah sistem interaksi nonlinear sepasang osilator yang tak terperturbasi, atau ε = 0 sehingga sistemnya yaitu: r˙ x˙ y˙

= = =

δxr Ωy − δr2 −Ωx

(8)

Bifurkasi Saddle-Node dikenal dengan bifurkasi lokal dari sistem. Kelebihan dari mempelajari bifurkasi lokal adalah asumsi dipersekitaran solusi ekuilibrium lebih mudah diperoleh secara eksplisit. Menariknya, perilaku bifurkasi lokal ini diamati di permukaan bola, sehingga peneliti dapat lebih jelas mengamati perilaku bifurkasi sistem hanya dipermukaan

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

bola. 4.2

Transformasi Bola ke Bidang-(x,y) Pandang suatu fungsi yang merupakan jari-jari persamaan bola: R 2 = r 2 + x2 + y 2

(9)

dimana R itu adalah jari-jari persamaan bola di R3 . Perhatikan bahwa: d(R2 ) dt

= = =

2rr˙ + 2xx˙ + 2y y˙ 2r(δxr) + 2x(ωy + αxy + βy 2 − δr2 ) + 2y(−ωx − αx2 − βxy) 0

(10)

2

) solusi dari sistem, invarian terhadap permukaan bola. Oleh karena d(R = 0 maka solusi dt dari sistem yang tak terperturbasi akan tetap berada disekitar lingkungan bola. Pandang transformasi diruang fase Φ(−˜ r, x ˜, y˜)

r x y

−˜ r ⇒ r˙ = −r˜˙ x ˜ ⇒ x˙ = x ˜˙ y˜ ⇒ y˙ = y˜˙

(11)

δx ˜−˜ r ⇒ r˜˙ = δ x ˜r˜ ω y˜ + α˜ xy˜ + β y˜2 − δr2 −ω˜ x − α˜ x2 − β x ˜y˜

(12)

= = =

dari Sistem (11), maka diperoleh −r˜˙ x ˜˙ y˜˙

= = =

Jadi, ruang fase di Φ(r, x, y) = Φ(−˜ r, x ˜, y˜) sehingga penulis mengasumsikan r > 0. Karena solusi berada dipermukaan bola dan bergantung kepada besar jari-jari maka disubtitusikan r2 = R2 − (x2 + y 2 ) sehingga sistem menjadi, x˙ = Ωy − δ(R2 − (x2 + y 2 )) y˙ = −Ωx 4.3

(13)

Himpunan Titik-Titik Equilibrium di (x,y)

Ketika r = 0 dan Ω(x, y) = 0, maka r˙ = 0, x˙ = 0 dan y˙ = 0. Oleh karena Ω(x, y) = 0 maka ini disebut persamaan garis yang merupakan manifold equilibrium. Persamaan garis ω + αx + βy = 0 ini merupakan persamaan yang berada di dalam sistem, sehingganya Ω(x, y) = 0 memotong sumbu x dan y. Titik-titik perpotongan antara persamaan garis Ω(x, y) = 0 dan sumbu-(xy). Ketika x = 0, maka, ω + βy βy y

= = =

0 −ω − ωβ

karena ω > 0, β < 0, δ < 0 maka titik y = − ωβ berada pada sumbu positif y.

hal. xx

(14)

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Ketika y = 0, maka, ω + αx αx x

= = =

0 −ω −ω α

(15)

karena ω > 0, α < 0, δ < 0 maka titik x = − ω berada pada sumbu positif x. Titik-titik ini α yang disebut sebagai titik equilibrium pada saat x = 0 dan y = 0. Kondisi Manifold Equilibrium pada saat x = 0 dan y = 0, diperlihatkan pada gambar (2) berikut ini.

Gambar 2: persamaan garis ω + αx + βy = 0 yang memotong sumbu x dan y

Persamaan garis ω + αx + βy = 0 berada di kuadran I karena ω > 0 dan β < 0 maka menghasilkan bilangan positif pada y = − ωβ atau, ω > 0 maka ada −ω < 0 dan β < 0 maka ada 1 <0⇒ β −ω >0 β

1 β

<0

(kalikan kedua ruas dengan −ω)

Persamaan garis ω + αx + βy = 0 berada di kuadran I karena ω > 0 dan α < 0 maka menghasilkan bilangan positif pada x = − ω atau, α ω > 0 maka ada −ω < 0 dan α < 0 maka ada 1 <0⇒ α −ω >0 α

4.4

1 α

<0

(kalikan kedua ruas dengan −ω)

Titik Bifurkasi Saddle-Node

Bifurkasi adalah perubahan kualitatif suatu dinamik dari sistem pada saat parameter R melewati R0 , sehingga nilai R = R0 merupakan nilai bifurkasi. Ketika R = R0 maka akan terjadi satu titik equilibrium pada lingkaran permukaan bola. Kondisi terjadinya satu titik equilibrium ini adalah saat permukaan bola bersinggungan dengan garis manifold equilibrium. Sehingga dapat diperoleh nilai R0 sebagai berikut. Dengan menggunakan rumus jarak antara titik tengah lingkaran dengan garis singgung

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

diperoleh nilai R0 . R0

=

R0

=

R0

=

R0

=

|ax+by+c|

√

a2 +b2 |αx+βy+c|

√

α2 +β 2 |α(− ω )+β(− ω +ω)| α β

√

(16)

α2 +β 2 √ ω α2 +β 2

Perhatikan Gambar (3) kondisi terjadinya satu titik equilibrium saat permukaan bola bersinggungan dengan Manifold Equilibrium atau pada saat R = R0 .

Gambar 3: Kondisi Terjadi perpotongan antara lingkaran dan garis manifold equilibrium ketika R = R0 (satu titik equilibrium)

Nilai R merupakan parameter bifurkasi Saddle-Node. Sehingga nilai R mempengaruhi ada atau tidak adanya titik equilibrium. Ketika R < R0 = √ 2ω 2 maka tidak terdapat titik equilibrium Saddle-Node. Perα +β

hatikan Gambar (4) berikut ini.

Gambar 4: Tidak terjadi perpotongan antara lingkaran dan garis manifold equilibrium

Ketika R > R0 = √

ω

α2 +β 2

maka terdapat dua titik equilibrium Saddle-Node yang

ditandai oleh titik-titik perpotongan antara lingkaran dan garis manifold equilibrium. Perhatikan Gambar (5) berikut ini.

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Gambar 5: terdapat dua titik potong di R > √

4.5

ω α2 +β 2

Simulasi dengan Matcont

Untuk α < 0, δ < 0, β < 0, ω > 0, secara numerik pada saat α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3, x = 0.368, y = 0.474 dan R = 0.60008333, maka diperoleh simulasi Matcont yang mengidentifikasi adanya bifurkasi Saddle-Node, yang ditandai dengan simbol ”LP” atau Limit Point (merupakan nama lain dari Saddle-Node).

Gambar 6: Simulasi adanya kejadian Bifurkasi Saddle-Node yang ditandai dengan LP

4.6

Simulasi dengan Maple

Untuk α < 0, δ < 0, β < 0, ω > 0 dan R < R0 maka dimisalkan α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3 dan R = 15 .

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Gambar 7: Simulasi tidak adanya titik equilibrium Saddle-Node R =

1 5

< R0

Untuk α < 0, δ < 0, β < 0, ω > 0 dan R = R0 maka dimisalkan α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3 dan R = 35 .

Gambar 8: Simulasi terdapat satu titik equilibrium Saddle-Node di R =

Untuk α < 0, δ < 0, β < 0, ω > 0 dan R > √

ω

α2 +β 2

−1, β = −4, ω = 3 dan R = 5.

hal. xx

3 5

= R0

maka dimisalkan α = −3, δ =

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Gambar 9: simulasi nampak jelas adanya dua titik equilibrium Saddle-Node di R = 5 > R0

Berdasarkan gambar di atas, dengan sistem dinamik berikut ini. x˙ = Ωy − δ(R2 − (x2 + y 2 )) y˙ = −Ωx

(17)

Dengan α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3 dan R ∈ R merupakan suatu parameter yang berubah-ubah. Dapat diketahui bahwa, perilaku sistem untuk nilai parameter R = 5 dan R0 = √ 2ω 2 dimana R > R0 (lihat Gambar (9)) menunjukan dua buah solusi periodik α +β

yang memiliki kestabilan yang berbeda. Titik sebelah kirinya stabil dan sebelah kanannya tidak stabil. Namun Ketika R melewati nilai bifurkasi R0 = √ 2ω 2 dimana R = R0 atau α +β

pada saat nilai R = 53 , kedua titik equilibrium dari solusi periodik tersebut menyatu (lihat Gambar (8)) yang menunjukan terdapat satu titik equilibrium ketika Manifold Invarian (permukaan bola) bersinggungan dengan garis Manifold Equilibrium. Dan kemudian lenyap atau tidak terdapat titik equilibrium ketika nilai R = 51 atau R < R0 (lihat(7)). Inilah yang merupakan fenomena bifurkasi fold atau Saddle-Node. 4.7

Normal Form dari Bifurkasi Saddle-Node

Akibat dari manifold equilibrium bersinggungan dengan manifold invariant, dan nampak jelas dari hasil simulasi Matcont dan Maple menunjukan adanya bifurkasi Saddle-Node, maka dari sistem (19) dapat diperoleh bentuk normal dari persamaan berikut. perhatikan Ω(x, y) = 0 sehingga y˙ = −Ωx = 0 dy dt

= 0 ⇒ dy = 0.dt ⇒ 2

2

R

dy =

R

0dt ⇒ y(t) = γ

2

x˙ = Ωy − δ(R − (x + y )) = −δR2 + δx2 + δγ 2 x˙ = (δγ 2 − δR2 ) + δx2 ˜ dengan scalling variabel x → 1δ x x = 1δ x ˜

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

˜˙ x˙ = 1δ x x˙ = (δγ 2 − δR2 ) + δx2 = (δγ 2 − δR2 ) + δ( 1δ x ˜ )2 2 2 2 x ˜˙ = δ(δγ − δR ) + x ˜ x ˜˙ = µ + x ˜2

1 ˙ x ˜ δ

(18)

dimana µ = δ(δγ 2 − δR2 ) maka diperoleh bentuk normal dari bifurkasi Saddle-Node, x ˜˙ = 2 µ+x ˜ .

5 5.1

PENUTUP Kesimpulan Bentuk normal dari sistem Tuwankotta yang tak terperturbasi, dengan sistem x˙ = Ωy − δ(R2 − (x2 + y 2 )) y˙ = −Ωx

(19)

Berdasarkan uraian pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa: 1. Dengan simulasi matcont, untuk α < 0, δ < 0, β < 0, ω > 0, secara numerik pada saat α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3 dan nilai awal x = 0.368, y = 0.474 serta R = 0.60008333, maka dapat diidentifikasi adanya bifurkasi Saddle-Node, yang ditandai dengan simbol ”LP” atau Limit Point 2. Dengan simulasi Maple 16, saat α = −3, δ = −1, β = −4, ω = 3, Dapat ditunjukan bahwa, perilaku sistem untuk nilai parameter R = 5 dan R0 = √ 2ω 2 dimana α +β

R > R0 (lihat Gambar (9)) menunjukan dua buah solusi periodik yang memiliki kestabilan yang berbeda. Titik sebelah kirinya stabil dan sebelah kanannya tidak stabil. Namun Ketika R melewati nilai bifurkasi R0 = √ 2ω 2 dimana R = R0 α +β

atau pada saat nilai R = 35 , kedua titik tetap dari solusi periodik tersebut menyatu (lihat Gambar (8)) yang menunjukan terdapat satu titik equilibrium ketika Manifold Invarian (permukaan bola) bersinggungan dengan garis Manifold Equilibrium. Dan kemudian lenyap atau tidak terdapat titik equilibrium ketika nilai R = 51 atau R < R0 (lihat(7)). Inilah yang merupakan fenomena bifurkasi fold atau Saddle-Node. 3. Selain simulasi Matcont dan Maple, adanya bifurkasi Saddle-Node dapat ditunjukan dengan Bentuk Normal Bifurkasi Saddle-Node yaitu x ˜˙ = µ + x ˜2 yang di simplifikasi dari sistem awal (19). 5.2

saran

Untuk peneliti lain yang ingin melakukan penelitian lanjutan dengan penelitian ini dapat dilakukan penelitian kembali sistem awal untuk menganalisa terjadinya bifurkasi lain atau bifurkasi yang terjadi secara simultan dengan bifurkasi Saddle-Node.

hal. xx

Yolpin Durahim (Jurnal Penelitian...)

Referensi [1] Kusumo, Fajar Adi. (2008). Analisis Sistem Konservatif Yang Terperturbasi Secara Singular. Bandung: Institut Teknologi Bandung. [2] Kuznetsov, Y.A. (1998), Elements of applied bifurcation theory, Springer-Verlag, New York. [3] Panigoro, Hasan S. (2011). Barisan Hingga Bifurkasi Period-Doubling Pada Interaksi Nonlinear Sepasang Osilator. Bandung: Institut Teknologi Bandung. [4] Panigoro, Hasan S. (2012). Simplifikasi Sistem Interaksi Nonlinear Sepasang Osilator dengan Menggunakan Metode Perataan. Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393. [5] Setiawan, Rubono. (2011). Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf. Surakarta: Universitas Sebelas Maret. [6] Tuwankotta, J.M. (2004). Chaos In A Coupled Oscillators System With Widely Spaced Frequencies and Energy-Preserving Non-linearity. International Journal of Non-Linear Mechanics 41 (2006) 180191.

hal. xx