Pemodelan Sistem Dinamik Desmas A Patriawan.
Tujuan Bab ini • Mengulang Transformasi Lalpace (TL) • Belajar bagaimana menemukan model matematika, yang dinamakan transfer function (TF). • Belajar bagaimana menemukan model matematika, yang dinamakan state space. • Bagaimana mengubahn antara TF ke model state space (SS). • Bagaimana melinierkan system non linier.
Pemodelan pada domain frekuensi • Melihat kembali Transformasi Laplace (TL). • Notasi standart pada dinamik dan control (shorthand notasi). • Mengubah matematik kedalam bentuk operasi aljabar. • Sangat baik untuk analisis blok diagram.
• TL dapat digunakan dalam proses control sebagai: • Solusi dari persamaan turunan (linier). • Analisis dari linier control (respon frekuensi). • Prediksi dari respon transient pada input yang berbeda.
• TL hanya dapat di aplikasikan pada linier dan konstan kefisien sistem. • Langkah-langkahnya: • Temukan persamaan dari gerakan yang mendiskripsikan system dinamik behavior. • Ambil TL kedalam persamaan dinamik. • Manipulasi persamaan transformasi untuk mendapatkan: • Transfer function (initial conditions = 0) • Persamaan karakteristik/egeinvalues. • Final atau inisial nilai (menggunakan Final Value Theorem (FVT) dan Initial Value Theorem (IVT) jika dapat diapplikasikan.
• Gunakan inverse TL untuk mendapatkan time respon jika diperlukan.
• “one-side” TL dari fungsi 𝑓(𝑡) diberikan persamaan:
• Ini dinamakan “one-side” TL yang memiliki batas lebih rendah 0− (sebagai ganti −∞ pada transformasi two-sided). • 0− berarti pengganti sebelum 𝑡 = 0. Penggunaan dari 0− adalah batas bawah yang dijinkan dari fungsi impulse. Biasanya perbedaan antara 0 dan 0− tidak diperlukan. • 𝑠 adalah bilangan kompleks yaitu 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔.
Inverse TL • Persamaannya adalah
• Dimana
Tabel Transformasi Laplace
• Contoh 3 • Temukan TL dari bersamaan berikut:
Partial fraction expansion • Basic idea: memperluas istilah kompleks untuk 𝑌(𝑠) kedalam bentuk yang sederhana, tiap bentuk yang didapatkan dari table TL. Lalu dapat diambil dalam 𝐿−1 dari kedua sisi pada persamaan untuk mendapatkan 𝑦(𝑡). • Case 1. Akar dari penyebut 𝐹(𝑠) adalah real dan berbeda. • Case 2. Akar dari penyebut 𝐹(𝑠) adalah real dan berulang. • Case 3. Akar dari penyebut 𝐹(𝑠) adalah kompleks dan imaginer.
• Contoh 4:
• Contoh 5:
Keperluan model matematik • Harus mempunyai kuantitas model matematika untuk memahami dan mengendalikan system yang kompleks. • Harus mempunyai metode dasar untuk memodelkan system fisika: • • • •
Mekanik Elektrik Hidrolik Biologi
• Pemodelan matematika adalah deskripsi dari system dalam bentuk persamaan. • Jenis dari model: • Mental, intuisi atau verbal model • Grafik dan table • Model matematika
• Membuat pemodelan: • Pemodelan matematika atau prinsip pertama pemodelan • Proses atau identifikasi system
Prosedur dari pemodelan • Mengerti fisika dan interaksi dari berbagai elemen. • Membuat diagram sederhana yang merepresentasikan dari system. • Memberikan elemen dan interkoneksi dengan hukum-hukum yang berlaku. • Gambar Free block diagram (FBD). • Identifikasikan atau definisikan input, output dan variable yang mempengaruhi. • Mendapatkan bentuk yang diinginkan model system. • Jika model tidak linier, tentukan kondisi keseimbangan dan mendapatkan model yang dilinierkan.
Sistem mekanik: translasi dan rotasi. • Sistem mekanik translasi : hanya bergerak secara horizontal atau vertical. • Variabel: • • • • • •
𝑥, displacement (perpindahan) dalam meter (𝑚) 𝑣, velocity (kecepatan) dalam meter per sec (𝑚 𝑠) 𝑎, acceleration (percepatan) dalam meter per sec square (𝑚 𝑠 2 ) 𝑓, force (gaya) dalam Newton (N) 𝑤, energy dalam Joule (J) 𝑝, Power (daya) dalam watts (W)
• Semua variable terdapat fungsi waktu.
• Hukum-hukum pada elemen termasuk dalam transformasi system adalah massa, gesekan dan stiffness (kekakuan). • Massa • Gesekan: dimana dua benda geser satu sama lain adalah gaya gesek 𝑓 antara benda tersebut yang memiliki fungsi relative terhadap kecepatan dan permukaan geser.
• Stiffness (kekakuan): ketika elemen mekanik dari subjek mendapat gaya 𝑓 dan melewati panjang dari ∆𝑥,
• Hubungan antar hukum-hukum. • D’ Alembert’s law> pengembangan dari hukum Newton untuk system translasi. • Untuk massa konstan : 𝑖 (𝑓𝑒𝑥𝑡 )
=
𝑑𝑣 𝑀 𝑑𝑡
• Dimana tambahan yang melebihi indek 𝑖 termasuk semua eksternal gaya (𝑓𝑒𝑥𝑡 )𝑖 yang bekerja pada benda. 𝑖 (𝑓𝑒𝑥𝑡 )𝑖
−
𝑑𝑣 𝑀 𝑑𝑡
=0
𝑑𝑣
• Penambahan gaya adalah nol yang dihasilkan −𝑀 dianggap sebagai 𝑑𝑡 tambahan dalam gaya. Gaya fiktif ini dinamakan gaya inersia atau D’Alembert force. 𝑖 𝑓𝑖
=0
D’ Alembert’s law.
• Hukum dari gaya reaksi > Menyertai setiap gaya dari saru elemen dengan yang lain disebut gaya reaksi pada elemen satu dari magnitude yang sama dan arah yang berbeda (hukum Newton 3).
• Hukum perpindahan> jika ujung dua elemen dihubungkan, kedua ujung diberikan gaya untuk bergerak dengan perpindahan dan kecepatan yang sama.
• Mendapatkan model dari system> Free block diagram (FBD). • Contoh 1
• Contoh 2:
Hubungan seri dan paralel
Rotasi • Dimodelkan menggunkan teknik yang sama dengan system mekanik translasi. • Variabel > variable dari system mekanik rotasi adalah: • • • •
𝜃, perpindahan angular pada radians (rad) 𝜔, kecepatan angular pada radian per detik (𝑟𝑎𝑑 𝑠) 𝛼, percepatan angular pada radian per detik kuadrat (𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 ) 𝜏, torsi dalam Newton-meter 𝑁. 𝑀
• Elemen dari hukum-hukum yang berlaku termasuk dalam system rotasi adalah momen inersia, gesekan, kekakuan, tuas dan gear. • Momen inersia > Joule dalam kilogram-mete𝑟 2 (𝑘𝑔. 𝑚2 ) 𝐽=
𝑟 2 𝑑𝑚
dimana 𝑟 adalah jarak dari poros referensi dan 𝑑𝑚 adalah massa dari elemen kecil
Torsi net diterapkan pada sumbu tetap rotasi diberikan oleh 𝜏=
𝑑 (𝐽𝜔) 𝑑𝑡
dimana 𝐽𝜔 adalah angular dari momentum bentuk benda.
𝐽 = 𝐽0 + 𝑚𝑎2
dimana 𝑎 adalah jarak antara parallel sumbu dan 𝐽0 adalah momen inersia tentang sumbu utama.
• Gesekan > gesekan elemen rotasi adalah satu dari persamaan aljabar antara torsi dan kecepatan relative angular antara 2 permukaan. Viskositas gesekan rotasi naik ketika 2 benda berputar terpisah oleh 1 lembar film minyak. 𝜏 = 𝑏∆𝜔 = 𝑏(𝜔2 − 𝜔2 )
• Kekakuan > biasanya berhubungan torsi pegas, seperti pegas utama pada jam, atau dengan relative poros tipis. • Pada torsi linier pegas atau poros flexible. 𝜏 = 𝑘∆𝜃
Dimana 𝑘 adalah kekakuan konstan dengan satuan dari Newton-meter (N.m) dan ∆𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1
• Potensial energy disimpan dalam elemen yang berputar dan untuk pegas linier atau shaft diberikan persamaan 𝑊=
1 𝑘𝜃 2 2
• Pada tuas ideal selalu diansumsikan pada ujung batang tidak memiliki massa, tidak terdapat gesekan, tidak terjadi momentum dan tidak ada penyimpanan energy.
• Untuk perpindahan yang kecil 𝑥2 =
𝑑2 𝑥1 , 𝑑1
𝑣2 =
𝑑2 𝑣1 , 𝑓2 𝑑1
=
𝑑2 𝑓1 𝑑1
• Gear (gigi) ideal gigi diansumsikan tidak terdapat momen dari inersia, tidak ada gesekan, tidak ada transfer energy dan meshing dari gigi yang sempurna.
𝑁=
𝑟2 𝑟1
=
𝑛2 𝑛1
Dimana 𝑟 dan 𝑛 dinotasikan radius dan jumlah dari gigi. 𝜃1 dan 𝜃2 adalah perpindahan angular pada gear. 𝑟1 𝜃1 = 𝑟2 𝜃2 ;
𝜃1 𝜃2
=
𝑟2 𝑟1
= N;
𝜔1 𝜔2
=
𝑟2 𝑟1
=𝑁
• 𝜃1 dan 𝜃2 adalah perpindahan angular dari gear.
𝜏1 𝜔1 + 𝜏2 𝜔2 = 0
• Interconnection Laws • D’Alembert Law untuk body dengan momen konstan ari inersia berputar pada sumbu tetap:
• Dimana penambahan melingkupi i termasuk semua torsi yang bekerja pada body dan istilah −𝐽𝜔 dapat dianggap inisial torsi.
• Hukum dari gaya reaksi, pada body yang berputar pada sumbu yang sama, macam-macam torsi yang diberikan satu elemen yang didampingi engan reaksi torsi dari magnitude yang sama dan arah dari opposite pada elemen pertama.
• Tanda referensi pada rims berada di atas dua disk ketika tidak ada torsi diterapkan. Perpindahan net sudut untuk poros 𝐾2 sehubungan dengan kondisi tanpa tekanan adalah 𝜃2 − 𝜃1 .
• Mendapatkan Pemodelan system
