BAB II PEMODELAN STRUKTUR DAN ANALISIS DINAMIK
II.1
Pendahuluan
Analisis dinamik sangat diperlukan untuk bangunan-bangunan berlantai banyak atau yang memiliki ketinggian lebih dari 40 meter. Respon dinamik struktur diakibatkan oleh beban – beban dinamik, yang biasanya merupakan fungsi dari waktu. Dalam bab ini akan dibahas pemodelan suatu bangunan geser, dengan menggunakan asumsiasumsi dasar antara lain adalah massa dari struktur terpusat di setiap lantainya, kekakuan balok dianggap tak terhingga, dan deformasi aksial kolom diabaikan. Asumsi-asumsi ini menyederhanakan struktur tersebut dari banyak derajat kebebasan menjadi hanya satu derajat kebebasan setiap lantainya. Selain itu juga akan dibahas tentang metoda untuk mencari solusi dari persamaan keseimbangan dinamik dengan menggunakan metoda numerik Runge-Kutta. II.2
Pemodelan Struktur
Pemodelan struktur yang digunakan dalam hal ini adalah model bangunan geser, dimana massa dianggap terpusat pada setiap lantai (lumped mass system) yang dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar II.1 Pemodelan Bangunan Geser
7
II.2.1 Pemodelan bangunan geser multi DOF (n-DOF) Persaman gerak untuk sistem dengan banyak derajat kebebasan dapat diperoleh dengan prinsip keseimbangan dari gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu gaya luar dan gaya-gaya lainnya yang terjadi akibat adanya gerakan-gerakan pada pada sistem tersebut, seperti gaya inersia, gaya redaman dan gaya elastik pegas. Bangunan geser n-DOF dapat dimodelkan seperti pada gambar berikut:
Gambar II.2 Model Struktur Bangunan n-DOF. Dimana persamaan gerak untuk sistem yang digambarkan pada Gambar II.2 diatas adalah: Untuk massa 1: Persamaan dinamiknya adalah: ..
.
.
.
m 1 . x 1 + k 1 .x 1 + c 1 . x 1 − k 2 .( x 2 − x 1 ) − c 2 .( x 2 − x 1 ) = F
(2.1)
Disederhanakan menjadi: ..
.
.
m 1 . x 1 + (k 1 + k 2 ).x 1 − k 2 .x 2 + (c 1 + c 2 ). x 1 − c 2 . x 2 = F1
(2.2)
Untuk massa i: Persamaan dinamiknya adalah: ..
.
.
.
.
m i . x i + k i ( x i − x i −1 ) + c i ( x i − x i −1 ) − k i +1 ( x i +1 − x i ) − c i +1 ( x i +1 − x i ) = Fi
Dapat disederhanakan menjadi:
8
(2.3)
mi . xi + [− k i (xi −1 ) + (k i + k i +1 )xi + (−k i +1 )xi +1 ] + ... ..
. . . ⎤ ⎡ ( c ) x ( c c ) x ( c ) x − + + + − − i 1 i i +1 = Fi i i +1 i +1 ⎥⎦ ⎢⎣ i
(2.4)
Untuk massa n: Persamaan keseimbangannya adalah: ..
.
.
m n . x n + k n ( x n − x n −1 ) + c n ( x n − x n −1 ) = Fn
(2.5)
.. . . ⎡ ⎤ m n . x n + [( − k n )x n −1 + k n x n ] + ⎢( − c n ) x n −1 + c n x n ⎥ = Fn ⎣ ⎦
(2.6)
Sehingga persamaan geraknya adalah sebagai berikut: .. . . ⎤ ⎡ m 1 . x 1 + [(k 1 + k 2 ).x 1 − k 2 .x 2 ] + ⎢(c 1 + c 2 ). x 1 − c 2 . x 2 ⎥ = F1 ⎦ ⎣ . . .. . ⎡ ⎤ m i . x i + [− k i ( x i −1 ) + (k i + k i +1 )x i + ( −k i +1 )x i +1 ] + ⎢( −c i ) x i −1 + (c i + c i +1 ) x i + ( −c i +1 ) x i +1 ⎥ = Fi ⎣ ⎦
.. . . ⎤ ⎡ m n . x n + [( − k n )x n −1 + k n x n ] + ⎢( − c n ) x n −1 + c n x n ⎥ = Fn ⎦ ⎣
Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik menjadi:
⎡m 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0
0 m2
0 0
0 0
0
O
0
0 0
0 0
m n −1 0
⎡k 1 + k 2 ⎢ −k 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0
− k2 k2 + k3 0 0
.. ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎥ ⎪ .. ⎪ ⎥ ⎪⎪ x 2 ⎪⎪ 0 ⎥⎨ M ⎬ + K ⎥ .. 0 ⎥ ⎪ x n −1 ⎪ ⎪ ⎪ m n ⎥⎦ ⎪ x.. n ⎪ ⎭ ⎩
0 0
0 − k3 O − k n −1 0
0 0 k n −1 + k n − kn
0 ⎤ ⎧ x1 ⎫ 0 ⎥⎥ ⎪⎪ x 2 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎨ M ⎬ + K ⎥ − k n ⎥ ⎪ x n −1 ⎪ ⎪ ⎪ k n ⎥⎦ ⎪⎩ x n ⎪⎭
9
(2.7)
⎡c 1 + c 2 ⎢ −c 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0
− c2
0
0
c2 + c3
− c3
0
0
O − c n −1
c n −1 + c n
0
0
− cn
. 0 ⎤ ⎧ x 1 ⎫ ⎧ F1 ⎫ ⎪ . ⎪ 0 ⎥⎥ ⎪ x 2 ⎪ ⎪⎪ F2 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎨ M ⎬ = ⎨ M ⎬ ⎥ . − c n ⎥ ⎪ x n −1 ⎪ ⎪Fn −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ c n ⎥⎦ ⎪ x. n ⎪ ⎪⎩ Fn ⎪⎭ ⎩ ⎭
(2.8)
Persamaan matrik diatas dapat ditulis sebagai:
[M ]{x} + [C]{x} + [K ]{x} = {F} ..
.
(2.9)
..
Dimana x( t ) = percepatan .
x( t ) = kecepatan x( t ) = perpindahan
Dengan M, C dan K berturut-turut adalah massa, redaman dan kekakuan struktur, sedangkan F adalah beban dinamik fungsi waktu t yang bekerja pada sistem, yang selanjutnya untuk alasan praktis, fungsi waktu t dapat tidak ditulis.
II.2.2 Redaman struktur Semua struktur mendisipasi energinya pada saat bergetar. Metode yang biasa digunakan untuk menghitung disipasi energi dalam dinamika struktur adalah dengan memasukan gaya redaman yang besarnya sebanding dengan kecepatan relative struktur, tetapi dengan arah yang berlawanan dengan arah gerakan struktur. Jenis peredam ini biasa disebut sebagai peredam viskos (viscous damping) karena efek redaman akan terjadi jika ada gerakan pada fluida ideal. Energi yang didisipasi biasanya sangat kecil, sehingga analisis dengan mengabaikan redaman adalah realistic, tetapi bila redaman cukup berarti, pengaruhnya harus diperhitungkan dalam analisis. Redaman yang muncul pada struktur adalah pengaruh gesekan seperti yang terjadi pada hubungan antar elemen atau geser dalam didalam elemen struktur untuk memodelkan redaman secara tepat karena banyak mekanisme yang mungkin terjadi pada struktur. Pada penelitian ini, matrik redaman diambil proporsional terhadap kekakuan, yaitu:
10
C=αxk
(2.10)
Dimana koefisien redaman (ξ) untuk baja diambil 5 %.
II.2.3 Pembebanan Pemodelan pembebanan untuk struktur dinamik dapat dibedakan menjadi 2 macam yaitu pembebanan harmonik dan pembebanan sembarang.
II.2.3.1 Beban Harmonik Beban harmonik adalah beban yang besarnya berubah menurut waktu dan polanya mengikuti pola sinusoidal. Suatu sistem struktur linier n-DOF yang dibebani secara harmonik dimodelkan dengan persamaan dinamik seperti berikut ini: ..
.
[M ]{x}+ [C]{x} +[K ]{x} = {P sin( ωt )}
(2.11)
atau ..
.
[M ]{x}+ [C]{x} +[K ]{x} = {P cos(ωt )}
(2.12)
Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode Runge-Kutta.
II.2.3.2 Beban Sembarang Beban sembarang adalah beban yang tidak mengikuti pola sinusoidal. Salah satu contoh dari beban sembarang adalah gempa bumi. Persamaan dinamik struktur yang sedang terkena gempa pada level pondasinya adalah sebagai berikut: ..
.
[M ]{x t } + [C]{x} + [K ]{x} = 0 ..
..
(2.13)
..
Dimana: {x t } = {x(t )} + {x g (t )} ..
x t (t ) = percepatan massa total ..
x g (t ) = percepatan gempa bumi didasar bangunan Sehingga: ..
..
.
[M ]{x(t )} + {x g (t )} + [C]{x} + [K ]{x} = 0
11
(2.14)
..
.
..
[M ]{x} + [C]{x} + [K ]{x} = −[M ]{x g }
(2.15)
..
Percepatan gempa x g didapatkan dari data pencatatan gempa. Solusi dari persamaan ini juga diselesaikan dengan metode Runge-Kutta.
II.3
Metode Runge-Kutta
Integrasi numerik dengan menggunakan metode Runge-kutta banyak digunakan karena ketepatan dan kemudahannya. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tingkat satu. Untuk menyelesaikan persamaan dinamik yang merupakan persamaan diferensial tingkat dua, persamaan tersebut harus dibuat menjadi persamaan diferensial tingkat satu. Untuk sistem dinamik dengan banyak derajat kebebasan yang mengalami beban sembarang seperti beban gempa, angin, gelombang laut, beban mesin atau beban dinamik sembarang lainnya, respon struktur dapat dihitung dengan menggunakan integrasi numerik Runge-Kutta. Persamaan diferensial tingkat dua dari sistem dinamik dengan n-derajat kebebasan adalah: .. . . ⎞ ⎛ ⎡ ⎤ X = M −1 ⎢ F (t ) − C X − KX ⎥ = G ⎜ X , X , t ⎟ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
(2.16)
Persamaan 2.16 dapat ditulis menjadi dua persamaan diferensial tingkat satu: .
X =Y .
Y = G( X , Y , t ) Respon struktur sebagai fungsi waktu untuk setiap interval waktu ∆t dapat dihitung dengan menggunakan persamaan:
12
1 X (tn + h ) = X (tn) + h(Y1 + 2Y2 + 2Y3 + Y4 ) 6 . . 1 X (tn + h ) = X (tn) + h(G1 + 2G2 + 2G3 + G4 ) 6 .. . ⎡ ⎤ X (tn ) = M −1 ⎢ F (tn) − C X (tn) − KX (tn)⎥ ⎣ ⎦ Dengan: T1 = t i h 2 h T3 = t i + 2 T4 = t i + h h = ∆t
T2 = t i +
X1 = X i
Y1 = Yi
h h Y2 = Yi + G1 2 2 h h X 3 = X i + Y2 Y3 = Yi + G2 2 2 X 4 = X i + Y3 h Y4 = Yi + G3 h X 2 = X i + Y1
Xi dan Yi adalah vektor respon awal pada setiap iterasi.
13
G1 = G (T1 , X 1 , Y1 ) G2 = G (T2 , X 2 , Y2 ) G3 = G (T3 , X 3 , Y3 ) G4 = G (T4 , X 4 , Y4 )
(2.17)
