Teori Bifurkasi (3 SKS) Fajar Adi Kusumo Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail :
[email protected]
Sistem Dinamik Fajar Adi Kusumo
PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik. KOMPONEN-KOMPONEN SISTEM DINAMIK : a. Ruang Keadaan (state space) b. Waktu c. Operator Evolusi โ hukum evolusi yang menggambarkan evolusi ruang keadaan terhadap waktu.
CATATAN : Misalkan T merupakan himpunan bilangan yang menyatakan waktu. a. Jika T= โ, maka sistem dinamik dikatakan kontinu. b. Jika T = โค, maka sistem dinamik dikatakan diskret.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
2
Sistem Dinamik Kontinu Fajar Adi Kusumo
โข Diberikan Persamaan Diferensial : ๐ฅ+๐๐ฅ+๐ฅ =0 โข Jika dibawa ke dalam bentuk sistem PD : ๐ฅ1 = ๐ฅ2 ๐ฅ2 = โ๐ฅ1 โ ๐๐ฅ2 โข Hitunglah solusi dari persamaan diferensial di atas. โข Manakah ruang keadaan dari sistem PD di atas? โข Bagaimana pengaruh parameter ๐ terhadap solusi PD tersebut? Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
3
Sistem Dinamik Kontinu PERSAMAAN PENDULUM : Fajar Adi Kusumo
๏ฑ๏ฆ๏ฆ ๏ซ
g sin ๏ฑ ๏ฝ 0 l
๏ฑ๏ฆ ๏ฝ
Ruang Keadaan (State Space) : ๐ = ๐ 1 ร โ1
d ๏ฑ dt
l
๏ฑ ๏ฑ๏ฆ
Himpunan ๐ 1 menyatakan lingkaran satuan yang diparameterisasi oleh sudut ฯด. Himpunan โ1 menyatakan semua kecepatan yang mungkin.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
4
Sistem Dinamik Kontinu Fajar Adi Kusumo
Solusi dari persamaan pendulum : Misalkan ๐ = ๐ฆ1 dan ๐ = ๐ฆ2 . Solusi pers. Pendulum tersebut merepresentasikan hukum evolusi terhadap waktu.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
5
Sistem Dinamik Diskret Fajar Adi Kusumo
โข Diberikan sistem dinamik diskret : ๐ฅ โฆ ๐๐ฅ dengan ๐ฅ โ โ dan ๐ suatu parameter. Bagaimanakah mapping dari sistem di atas? โข Diberikan sistem dinamik diskret : ๐ฅ ๐1 ๐ฅ ๐ฆ โฆ ๐2 ๐ฆ Bagaimanakah mapping dari sistem tersebut? Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
6
Operator Evolusi Fajar Adi Kusumo
EVOLUSI PADA SISTEM DINAMIK : Perubahan ruang keadaan dari sistem dalam waktu t๏T. Misalkan X suatu ruang keadaan dan t๏T, maka pemetaan :
๏ช :X ๏ฎX t
x0 ๏ก ๏ช t x0 ๏ฝ xt disebut operator evolusi dari sistem dinamik.
Pada sistem dinamik kontinu, {๏ชt}t๏T disebut flow. Pada sistem dinamik diskret, {๏ชt}t๏T disebut map. Sistem dinamik dikatakan invertible ๏ ๏ชt terdefinisi untuk t๏ณ0 dan t<0.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
7
Sifat-sifat Operator Evolusi Fajar Adi Kusumo
Jika ๏ช suatu operator evolusi, maka :
a. ๏ช 0 ๏ฝ I , dengan I identitas. ๏ช 0 x0 ๏ฝ x0 , x0 ๏ X . b. ๏ช t ๏ซs ๏ฝ ๏ช t ๏ฏ ๏ช s . ๏ช t ๏ซ s x ๏ฝ ๏ช t (๏ช s x); t , s ๏ T , x ๏ X
๏ชt
๏ชs
xs
xt+s
x0 Jika suatu operator evolusi tidak berubah menurut waktu, maka dikatakan bahwa sistem dinamiknya autonomous.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
8
Sistem yang Invertibel Fajar Adi Kusumo
Suatu sistem dinamik kontinu dikatakan invertibel jika
untuk ๏ช ๏ญt invers dari ๏ช t , berlaku ๏ช -t ๏ฏ ๏ช t ๏ฝ I
Sistem dinamik diskret : Misalkan f=๏ช1 (time-one map), maka
๏ช 2 ๏ฝ ๏ช1 ๏ฏ ๏ช1 ๏ฝ f ๏ฏ f ๏ฝ f 2 Jadi f2 merupakan iterasi kedua dari peta. Secara umum ๏ชk=fk untuk setiap k>0. Jika sistem dinamik diskret tersebut invertibel, maka persamaan di atas juga berlaku untuk k<0.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
9
Definisi Formal โSistem Dinamikโ Fajar Adi Kusumo
Suatu sistem dinamik merupakan triplet {T,X,๏ชt} dengan T merupakan himpunan waktu, X ruang keadaan, dan {๏ช t } dengan
๏ชt : X ๏ฎ X
Merupakan keluarga dari operator-operator evolusi yang diparameterisasi oleh t๏T dan memenuhi sifat :
a. ๏ช 0 ๏ฝ I , dengan I identitas. ๏ช 0 x0 ๏ฝ x0 , x0 ๏ X . b. ๏ช t ๏ซs ๏ฝ ๏ช t ๏ฏ ๏ช s . ๏ช t ๏ซ s x ๏ฝ ๏ช t (๏ช s x); t , s ๏ T , x ๏ X
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
10
Definisi โFormalโ Sistem Dinamik Fajar Adi Kusumo
Contoh : Misalkan ๐ = โ2 dan keluarga transformasitransformasi linear tak singular pada ๐ diberikan oleh matriks yang bergantung pada t ๏โ : ๏ฌt ๏ฆ e t ๏ช ๏ฝ ๏ง๏ง ๏จ 0
0๏ถ ๏ท ๏ญt ๏ท e ๏ธ
dengan ๐, ๐ โ 0 merupakan bilangan real. Sistem di atas invertibel dan terdefinisi untuk setiap (๐ฅ, ๐ก). Pemetaan ๏ชt kontinu di ๐ฅ dan ๐ก.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
11
Orbit Fajar Adi Kusumo
Suatu orbit yang dimulai dari x0 merupakan sub-himpunan terurut dari ruang keadaan X. Or( x0 ) ๏ฝ {x ๏ X : x ๏ฝ ๏ช t x0 , ๏ขt ๏ T ๏ง ๏ช t x0 terdefinisi}
Orbit pada sistem kontinu dengan operator evolusi kontinu berupa suatu kurva di ๐ yang diparameterisasi oleh waktu t. Arah pada orbit ini menunjukkan arah kenaikan dari t. Orbit pada sistem diskret merupakan barisan titik-titik pada ๐ yang dienumerasi oleh bilangan bulat yang membesar.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
12
Potret Fase Fajar Adi Kusumo
Diagram yang menggambarkan interaksi dari orbitorbit suatu sistem dinamik disebut potret fase. Pada sistem dinamik kontinu, potret fase menggambarkan solusi sistem PD dalam ruang keadaan (state space).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
13
Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik Fajar Adi Kusumo
Misalkan ๐ = โ๐ dan ๐ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐)๏๐. Hukum evolusi terhadap waktu dari sistem dinamik tersebut ditunjukkan secara implisit melalui persamaan : x๏ฆi ๏ฝ f i ( x1 , x2 ,..., xn ), i ๏ฝ 1,2,..., n Dalam bentuk vektor, persamaan tersebut dapat dituliskan sbb:
x๏ฆ ๏ฝ f (x)
dengan f:โn๏ โn merupakan fungsi smooth. ๏ถRuas kanan dari sistem di atas yaitu f(x) menyatakan medan vektor dari sistem. ๏ถPersamaan di atas dikenal dengan persamaan diferensial biasa (ODE) autonomous, dan sistem dinamik yang dibentuk oleh persamaan di atas disebut sistem autonomous.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
14
Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik Fajar Adi Kusumo
CONTOH :
g ๏ฆ ๏ฆ ๏ฑ ๏ซ sin ๏ฑ ๏ฝ 0 l dapat dituliskan dalam bentuk sistem sbb: Persamaan pendulum
๏ถ ๏ฆ ๏ฑ๏ฆ1 ๏ถ ๏ฆ๏ง ๏ฑ 2 ๏ท ๏ง ๏ท๏ฝ g ๏ง๏ฑ๏ฆ ๏ท ๏ง ๏ญ sin ๏ฑ1 ๏ท ๏จ 2๏ธ ๏จ l ๏ธ
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
15
Solusi dari Sistem ODE
Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem ODE x๏ฆ ๏ฝ f (x) dengan ๐๏โ๐ dan ๐: โ๐๏ โ๐ suatu fungsi smooth pada daerah ๐๏โ๐. Jika kondisi tersebut dipenuhi, maka terdapat dengan tunggal fungsi ๐ = ๐(๐ก, ๐0), ๐: โ1 ร โ๐ โ โ๐ yang smooth di (๐ก, ๐), dan memenuhi, untuk ๐0๏๐ : i. ๐(0, ๐๐) = ๐๐ ; ii. terdapat suatu interval โ=(-ฮด1,ฮด2) dengan ฮด1,2=ฮด1,2(x0)>0 sehingga untuk setiap t๏โ berlaku ๐(๐ก) = ๐(๐ก, ๐๐)๏๐ dan
y๏ฆ (t ) ๏ฝ f ( y(t ))
Fungsi ๐ = ๐(๐ก) merupakan solusi yang dimulai dari ๐0.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
16
Solusi dan Sistem ODE Fajar Adi Kusumo
Kurva Solusi : ๐ถ๐(๐0) = {(๐ก, ๐): ๐ = ๐(๐ก, ๐0), ๐ก๏โ}๏โ1 ร โ๐.
Orbit : proyeksi dari ๐ถ๐(๐0 ) ke ruang keadaan (state space). ๐๐(๐0) = {๐ โถ ๐ = ๐(๐ก, ๐0), ๐ก๏โ}๏โ๐. Jika diberikan ๏ช๐ก: โ๐ โ โ๐, maka ๏ช๐ก ๐0 = ๐(๐ก, ๐0). Dengan demikian sistem dinamik kontinu dapat dituliskan sebagai {โ1, โ๐, ๏ช๐ก}.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
17
Kurva Solusi dan Orbit pada Sistem ODE Fajar Adi Kusumo
Kajian utama dalam teori tentang sistem dinamik adalah melakukan analisis terhadap sistem dinamik yang didefinisikan oleh ODE. Dengan menggunakan teori ini beberapa ciri dari potret fase suatu sistem dapat diprediksi tanpa harus menyelesaikan (mencari solusi) dari sistem tersebut. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
18
Solusi Equilibrium Fajar Adi Kusumo
Suatu titik ๐ฅ0๏๐ disebut equilibrium (titik tetap) jika ๏ช๐ก๐ฅ0 = ๐ฅ0 untuk setiap ๐ก๏๐. ๏Equilibrium merupakan orbit yang paling sederhana. ๏Operator evolusi akan memetakan suatu equilibrium ke dirinya sendiri. ๏Pengertian equilibrium biasa diterapkan untuk sistem dinamik kontinu, sedangkan untuk sistem dinamik diskret biasa digunakan istilah titik tetap.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
19
Solusi Equilibrium Fajar Adi Kusumo
Contoh : Diberikan sistem PD : ๐ฅ = ๐ โ ๐ฅ 2 dengan ๐ฅ โ โ. - Bagaimanakah solusi umum untuk persamaan diferensial di atas? - Bagaimanakah pengaruh parameter ๐ terhadap solusi umumnya? - Tentukan titik-titik equilibrium dari sistem di atas. - Bagaimana kaitan antara titik-titik equilibrium dan solusi umumnya?
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
20
Solusi Equilibrium (Contoh) Fajar Adi Kusumo
โข Solusi umum (๐ โ 0): ๐ ๐ถ ๐ 2 ๐๐ก โ 1 ๐ฅ ๐ก; ๐ = ๐ถ ๐ 2 ๐๐ก + 1
โข Untuk ๐ = 1 :
๐ถ ๐ 2๐ก โ 1 ๐ฅ ๐ก; 1 = ๐ถ ๐ 2๐ก + 1
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
21
Solusi Equilibrium (Contoh) Fajar Adi Kusumo
โข Solusi untuk ๐ = 0 :
โข Solusi lain untuk ๐ = 0 :
Teori Bifurkasi
๐ฅ ๐ก; 0 = 0 (Solusi Trivial) ๐ฅ = โ๐ฅ 2 1 ๐ฅ ๐ก = ๐ก+๐ถ
Senin, 29 Juli 2013
22
Orbit Periodik Fajar Adi Kusumo
Suatu cycle merupakan sebuah orbit periodik (orbit nonequilibrium ๐ฟ0), yaitu jika untuk setiap ๐ฅ0 โ ๐ฟ0 memenuhi ๐ ๐ก+๐0 ๐ฅ0 = ๐ ๐ก ๐ฅ0 untuk suatu ๐0 > 0 untuk setiap ๐ก โ ๐. ๏Nilai ๐0 terkecil yang memenuhi sifat di atas disebut periode dari cycle ๐ฟ0. ๏Untuk waktu kontinu, suatu cycle ๐ฟ0 digambarkan sebagai sebuah kurva tertutup di ruang fase.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
23
Orbit Periodik โ Limit Cycle Fajar Adi Kusumo
Jika pada lingkungan (neighborhood) suatu cycle dari sistem dinamik kontinu tidak terdapat cycle lain, maka cycle ini disebut
Limit Cycle.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
24
Orbit Periodik โ Limit Cycle Fajar Adi Kusumo
Contoh :
๐ฅ1 = ๐ผ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ1 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 ๐ฅ2 = ๐ฅ1 + ๐ผ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 .
- Tentukan titik equilibrium dari sistem di atas. - Dengan menggunakan transformasi ๐ฅ1 = ๐ cos ๐ dan ๐ฅ2 = ๐ sin ๐, ubahlah sistem di atas mejadi sistem dalam ๐, ๐. - Tentukan limit cycle dari sistem di atas dan gambarkan fase potret dari sistem di atas untuk berbagai nilai ๐ผ.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
25
Periodik Orbit โ Limit Cycle Fajar Adi Kusumo
โข Dalam koordinat polar sistem pada contoh di atas, akan menjadi : ๐ = ๐ ๐ผ โ ๐2 ๐ = 1. (BIFURKASI HOPF)
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
26
Himpunan Invarian dan Kestabilannya Fajar Adi Kusumo
Himpunan invarian dari suatu sistem dinamik {๐, ๐, ๐๐ก } adalah suatu himpunan bagian ๐๏๐ sehingga ๐ฅ0๏๐ berakibat ๐๐ก ๐ฅ0๏๐ untuk setiap ๐ก๏๐.
Contoh himpunan invarian : -Titik equilibrium. -Limit cycle/orbit periodik. -Manifold invarian: suatu hypersurface berdimensi hingga di suatu ruang โ๐ .
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
27
Himpunan Invarian dan Kestabilannya Fajar Adi Kusumo
Suatu himpunan invarian ๐๐ dikatakan stabil jika i. Untuk setiap lingkungan yang cukup kecil ๐ โ ๐๐ terdapat lingkungan ๐ โ ๐๐ sehingga ๏ช๐ก๐ฅ๏๐ untuk setiap ๐ฅ๏๐ dan untuk setiap ๐ก > 0. (Stabil Lyapunov)
ii. Terdapat sebuah lingkungan ๐๐ โ ๐๐ sehingga ๏ช๐ก๐ฅ๏ ๐๐ untuk setiap ๐ฅ๏๐๐, untuk t๏ ๏ฅ. (Stabil Asimptotik)
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
28
Himpunan Invarian dan Kestabilannya Fajar Adi Kusumo
Kestabilan Lyapunov
Teori Bifurkasi
Kestabilan Asimptotik
Senin, 29 Juli 2013
29
Kestabilan Equilibrium Fajar Adi Kusumo
Kestabilan Titik Equilibrium : Pandang sistem ODE ๐ = ๐(๐) dengan ๐๏โ๐ dan ๐: โ๐๏ โ๐ suatu fungsi smooth. Sistem tersebut memiliki equilibrium ๐0, yaitu ๐(๐0) = ๐. Misalkan ๐ด merupakan matriks Jacobian dari ๐(๐) yang dievaluasi di titik equilibrium ๐0 . Titik ๐0 dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari ๐ด bernilai negatif atau memiliki bagian real negatif.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
30
Fungsi Lyapunov Fajar Adi Kusumo
โข Fungsi Lyapunov : Misalkan ๐ โถ โ๐ โ โ1, ๐(๐) > 0 (< 0) untuk setiap ๐๏๐๏โ๐, dan ๐(๐0) = ๐. Jika untuk ๐ก โฅ ๐ก0 berlaku ๐ป๐ โ
๐ ๐ โค 0, maka solusi ๐ = ๐0 stabil secara Lyapunov.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
31
Kestabilan pada Sistem Dinamik Diskret Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem dinamik diskret :
x ๏ก f ( x), x ๏ ๏n dengan f merupakan pemetaan yang smooth. Misalkan pemetaan tersebut memiliki sebuah titik tetap x0, yaitu f(x0)=x0, dan misalkan A merupakan matriks Jacobian dari f(x) yang dievaluasi di x0, A=fx(x0). Titik tetap x0 stabil jika semua nilai-nilai eigen m1,m2,โฆ,mn dari A memenuhi |m|<1. Nilai eigen dari suatu titik tetap sering disebut pengali (multiplier).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
32
Contraction Mapping Principle Fajar Adi Kusumo
Contraction Mapping Principle : Misalkan ๐ ruang metrik lengkap dengan jarak ๐. Misalkan terdapat pemetaan kontinu ๐: ๐๏ ๐ yang memenuhi bahwa untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ๏๐ berlaku ๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ), dengan 0 < ๐ < 1, maka sistem dinamik diskret {โค+, ๐, ๐ ๐ } memiliki sebuah titik tetap yang stabil ๐ฅ0. Lebih lanjut, untuk setiap nilai awal ๐ฅ berlaku ๐๐ (๐ฅ)๏ ๐ฅ0 untuk ๐ ๏ + ๏ฅ.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
33
Time-Shift Map Fajar Adi Kusumo
Poincare Map digunakan untuk melakukan analisis terhadap sistem dinamik kontinu, menggunakan sistem dinamik diskret.
Keunggulan : dimensi dari sistem dinamik diskret yang dibangun melalui Poincare map lebih rendah dari sistem asalnya (sistem dinamik kontinu).
Time-shift map : Cara paling sederhana untuk membentuk sistem dinamik diskret dari sistem dinamik kontinu โ1, ๐, ๐๐ก adalah dengan menetapkan suatu ๐๐ > 0 dan membentuk sistem dalam ๐ yang dibangun oleh iterasi ๐ ๐ = ๏ช ๐. Setiap himpunan invarian di {โ1, ๐, ๐๐ก } merupakan himpunan invarian terhadap map ๐.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
34
Time-Shift Map โ The Inverse Problem Fajar Adi Kusumo
Inverse problem : pengkonstruksian sistem ODE jika ๐๐ -time-shift map dari sistem ODE tersebut dinyatakan sebagai pemetaan f yang smooth dan invertible. Misalkan ๐: โ๐ โ โ๐, smooth dan invertible. Pandang {(๐ก, ๐ฅ)๏โ1 ร โ๐: ๐ก๏[0, ๐๐ ]} (lihat gambar). Hubungkan titik (๐๐ , ๐ฅ) di sisi atas dari ๐ ke (0, ๐(๐ฅ)) di sisi bawah dari ๐. Ruang ๐ yang dikonstruksi merupakan manifold berdimensi ๐ + 1 dengan koordinat (๐ก ๐๐๐ ๐๐ , ๐ฅ).
Sistem autonomous ODE terkait dengan pemetan f (suspension system):
t๏ฆ ๏ฝ 1 x๏ฆ ๏ฝ 0 Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
35
Contoh โ The Inverse Problem Fajar Adi Kusumo
Pandang pemetaan f yaitu:
1 2
๐ฅ โฆ โ ๐ฅ dengan ๐ฅ๏โ1.
Pemetaan di atas memiliki titik tetap di ๐ฅ0 = 0 (stabil). Misalkan ๐ > 0 dan memenuhi persamaan ๐๐๐๐ = 2. Sistem suspensi untuk pemetaan tersebut :
t๏ฆ ๏ฝ 1 x๏ฆ ๏ฝ ๏ญkx
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
36
Poincare Map Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem dinamik : ๐ = ๐(๐) dengan ๐๏โ๐ dan ๐ fungsi smooth. Misalkan ๐ฟ0 orbit periodik dari sistem tersebut dan ฮฃ merupakan bidang potong dari ๐ฟ0 di titik ๐๐๏๐ฟ0. ฮฃ berdimensi ๐ โ 1 dan memotong ๐ฟ0 dengan sudut tak-nol. ฮฃ berkurang satu dimensi dari ruang fasenya ๏ codim ฮฃ = 1 (codim=codimension). Didefinisikan : ๐ โถ โ๐ โ โ1 smooth dengan ๐(๐๐) = 0, dan ฮฃ = {๐๏โ๐: ๐(๐) = 0} --- bidang ฮฃ terletak pada himpunan ketinggian dari ๐ di titik nol. Sudut potong tak-nol berarti gradien ๐ป๐(๐) tidak ortogonal terhadap ๐ณ๐ di ๐๐. Contoh paling sederhana pemilihan ๐ adalah : ๐ป๐ ๐0 , ๐ ๐0 โ 0, ๐ ๐ = ๐ ๐0 , ๐ โ ๐0 Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
37
Poincare Map dan Kestabilan Cycle Fajar Adi Kusumo
Pandang pemetaan ๐ โถ ฮฃ โ ฮฃ, dengan ๐ โฆ ๐๐ = ๐(๐), ๐, ๐ ๐๏ฮฃ. Pemetaan ๐ di atas disebut pemetaan Poincare yang berkaitan dengan cycle ๐ฟ0. Titik ๐0 merupakan titik tetap dari pemetaan Poincare, ๐(๐0) = ๐0. Diberikan koordinat lokal ๐ = (๐ฆ1, ๐ฆ2, ๐ฆ3, โฆ , ๐ฆ๐โ1 ) pada ฮฃ sehingga ๐ = ๐ berkaitan dengan titik ๐0. Pemetaan Poincare didefinisikan sebagai ๐ โถ โ๐โ1 โ โ๐โ1 yang membawa ๐ (berkaitan dengan ๐) ke ๐๐ (berkaitan dengan ๐๐ ), ๐(๐) = ๐๐ . Titik ๐ = ๐ merupakan titik tetap dari pemetaan ๐. Dengan demikian kestabilan dari cycle ๐ณ0 berkaitan dengan kestabilan dari titik tetap ๐0 = ๐.
Cycle ๐ณ0 stabil jika semua nilai eigen (multiplier) ๐๐, , ๐ = 1,2, . . , ๐ โ 1 dari matriks Jacobian ๐๐ ๐ด= ๐๐ฆ ๐=0 berada di dalam lingkaran satuan |๐| = 1. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
38
Ekuivalensi pada Sistem Dinamik
-Pengertian ekuivalensi mengacu pada definisi relasi ekuivalensi. Fajar Adi Kusumo
- Tujuan : untuk membandingkan perilaku-perilaku kualitatif dari suatu sistem dinamik dengan sistem dinamik lainnya. - Jika dua buah sistem dinamik memiliki perilaku kualitatif yang sama, dikatakan bahwa kedua sistem dinamik tersebut ekuivalen. -Dua buah sistem dinamik dikatakan ekuivalen jika kedua sistem tersebut : โข โข
Memiliki jumlah titik equilibrium dan cycle yang sama Jenis kestabilan dari titik-titik ekuilibrium dan cycle dari kedua sistem tersebut sama.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
39
Ekuivalensi secara Topologis
Fajar Adi Kusumo
DEFINISI Suatu sistem dinamik {๐, โ๐, ๏ช๐ก } dikatakan ekuivalen ๐ก ๐ ๐ secara topologis terhadap sistem dinamik {๐, โ , } jika terdapat suatu homeomorfisma โ โถ โ๐ โ โ๐ yang memetakan orbit-orbit dari sistem pertama ke orbit-orbit dari sistem kedua dengan tetap mempertahankan arahnya terhadap waktu.
Definisi di atas dapat diperluas untuk state space berupa ruang metrik lengkap atau ruang Banach, suatu manifold smooth berdimensi hingga, seperti Torus (๐2) atau sphere (๐2).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
40
Ekuivalensi secara Topologis Fajar Adi Kusumo
โข Misalkan ๐ โฆ ๐(๐) dan ๐ โฆ ๐(๐) dengan ๐, ๐ ๏โ๐ dua buah sistem dinamik diskret yang ekuivalen secara topologis (๐ = ๏ช1, ๐ = ๐1 pemetaan yang invertibel dan smooth). โข Ekuivalensi secara topologis berarti, terdapat homeomorfisma ๐ dengan ๐ = ๐(๐) dan berlaku ๐(๐) = ๐(๐(๐)) atau ๐(๐(๐) = ๐(๐(๐)) Dengan demikian ๐(๐) = ๐โ๐ (๐(๐(๐))) Fungsi ๐ dan ๐ dikatakan saling konjugat. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
41
Ekuivalensi pada Sistem Kontinu Fajar Adi Kusumo
Diberikan dua buah sistem dinamik, yaitu ๐ = ๐ ๐ dan ๐ = ๐ ๐ dengan ๐, ๐๏โ๐, ๐, ๐ smooth dan ๏ช๐ก dan ๐ ๐ก menunjukkan flow dari sistem di atas. Misalkan ๐ = ๐(๐), dengan ๐: โ๐ โ โ๐ suatu pemetaan yang smooth dan invertibel, maka untuk setiap ๐๏โ๐ berlaku : โ1 ๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐๐ Dengan demikian ๐ akan memetakan solusi sistem pertama ke solusi sistem kedua yaitu : ๐ ๐๐ก ๐ = ๐ ๐ก ๐ ๐ Jika kedua sistem dinamik di atas memenuhi ๐ ๐ = maka ๐ dikatakan diffeomorfik.
Teori Bifurkasi
๐๐ ๐ ๐๐
โ1
๐ ๐ ๐
Senin, 29 Juli 2013
42
Sistem Diffeomorfik Fajar Adi Kusumo
Dua buah sistem yang diffeomorfik dapat dipandang sebagai sistem yang sama, namun dituliskan dalam koordinat yang berbeda. Linearisasi di sekitar titik-titik equibrium yang bersesuaian akan menghasilkan nilai eigen yang sama. Pandang kembali sistem ๐ = ๐ ๐ dan ๐ = ๐ ๐ dengan ๐ = ๐(๐). Misalkan ๐0 dan ๐0 = ๐(๐0) adalah titik equlibrium masing-masing sistem dan ๐ด(๐0), ๐ต(๐0) adalah matriks Jacobian dari masing-masing sistem di sekitar ๐0 dan ๐0, maka ๏ญ1
๏ฆ ๏ถh ๏ถ ๏ฆ ๏ถh ๏ถ A( x0 ) ๏ฝ ๏ง ( x0 ) ๏ท B( y0 )๏ง ( x0 ) ๏ท ๏จ ๏ถx ๏ธ ๏จ ๏ถx ๏ธ
Dalam kasus ini matriks A dan B dikatakan similar. Jika ๐(๐) = ๐(๐)๐(๐) dengan ๐: โ๐ โ โ1 fungsi positif, maka kedua sistem dinamik di atas ekuivalen secara topologis dengan ๐(๐) = ๐. Kedua sistem dinamik tersebut dikatakan ekuivalen secara orbital. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
43
Ekuivalensi secara Topologis Lokal Fajar Adi Kusumo
Dua buah sistem yang ekuivalen secara orbital dapat bersifat nondiffeomorfik dan/atau memiliki cycle dengan bentuk sama namun memiliki periode berbeda. DEFINISI Suatu sistem dinamik {๐, โ๐, ๏ช๐ก } dikatakan ekuivalen secara topologis di sekitar suatu equlibrium ๐0 terhadap sebuah sistem ๐ก ๐ ๐ dinamik {๐, โ , } di sekitar equilibrium ๐0 jika terdapat homeomorfisma ๐: โ๐ โ โ๐, dengan sifat : 1. didefinisikan pada lingkungan (neighborhood) ๐๏โ๐ dari ๐0, 2. memenuhi ๐0 = ๐(๐0), 3. memetakan orbit-orbit dari sistem pertama di U ke orbit-orbit dari sistem kedua di ๐ = ๐(๐)๏โ๐, yang mempertahankan arah medan vektornya terhadap waktu.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
44
Ekuivalensi secara Topologis Lokal Fajar Adi Kusumo
Contoh : โข Dikusikan Contoh 2.1 (hal 43)
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
45
Equilibria Hiperbolik Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem dinamik ๐ = ๐(๐) dengan f fungsi smooth. Misalkan ๐0 = ๐ equilibrium dari sistem, dan ๐ด matriks Jacobian dari sistem tersebut di sekitar ๐0. Misalkan ๐โ, ๐0, ๐ + menyatakan banyaknya nilai-nilai eigen ๐ด yang mempunyai bagian real negatif, nol dan positif. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik jika ๐0 = 0. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik saddle jika ๐ โ ๐ +โ 0.
๏ป
๏ฝ
W s ( x0 ) ๏ฝ x : ๏ช t x ๏ฎ x0 , t ๏ฎ ๏ซ๏ฅ ,
๏ป
๏ฝ
W u ( x0 ) ๏ฝ x : ๏ช t x ๏ฎ x0 , t ๏ฎ ๏ญ๏ฅ
๐ ๐ (๐0) disebut himpunan (manifold) stabil dari ๐0. ๐ ๐ข(๐0) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari ๐0. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
46
Saddle dan Saddle Foci Fajar Adi Kusumo
Jika diambil lingkungan dari ๐0, maka akan diperoleh sub-manifold ๐ ๐ dan ๐ ๐ข yang masing-masing berdimensi ๐ โ dan ๐ +. Secara lokal, sub-manifold ๐ ๐ (๐0) dan ๐ ๐ข(๐0) tersebut menyinggung T s dan Tu. Ts dan Tu merupakan manifold stabil dan tak-stabil dari sistem hasil linearisasi di sekitar x0.
Saddle dan foci :
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
47
Dua Titik Equilibrium yang Equivalen secara Topologis Fajar Adi Kusumo
Fase potret dari suatu sistem dinamik kontinu di sekitar dua buah titik equilibrium hiperbolik x0 dan y0, ekuivalen secara topologis lokal jika dan hanya jika memiliki jumlah ๐ โ dan ๐ + yang sama. Klasifikasi dari equilibrium hiperbolik pada sistem planar :
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
48
Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret Fajar Adi Kusumo
Pandang pemetaan ๐ โฆ ๐(๐), dengan ๐๏โ๐ . Misalkan ๐0 titik tetap dari sistem tersebut dan ๐ด merupakan matriks Jacobian yang dievaluasi di ๐0. Banyaknya multiplier yang berada di dalam, pada, dan di luar lingkaran satuan pada bidang kompleks dari nilai-nilai eigen A, yaitu ๐โ ,๐0, dan ๐+ . Sebuah titik tetap dikatakan hiperbolik jika ๐0 = 0 (tidak ada multiplier pada lingkaran satuan). Jika ๐โ ๐+ โ 0, maka dikatakan bahwa titik tetap tersebut hiperbolik saddle. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
49
Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret Fajar Adi Kusumo
๐ ๐ ๐๐ = {๐: ๐ ๐ ๐ โ ๐0 , ๐ โ +โ} ๐ ๐ข ๐๐ = {๐: ๐ ๐ ๐ โ ๐0 , ๐ โ โโ} ๐ ๐ (๐0) disebut himpunan (manifold) stabil dari ๐0. ๐ ๐ข(๐0) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari ๐0.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
50
Kestabilan titik tetap di โ1 Fajar Adi Kusumo
Titik tetap stabil : Gambar kiri, multiplier 0<m<1 Gambar kanan, multiplier -1<m<0
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
51
Titik tetap saddle di โ2 Fajar Adi Kusumo
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
52
Sifat-sifat titik tetap saddle di โ2 Fajar Adi Kusumo
๏ถ Manifold stabil dan manifold tak stabil dari sistem diskret dapat berpotongan secara transversal. ๏ถPerpotongan yang transversal tersebut, jika ada, akan menyebabkan terjadinya tak berhingga banyak perpotongan yang transversal lainnya. ๏ถTerdapat takberhingga banyak titik-titik periodik dengan periode yang sangat besar ๏ถTitik tetap saddle dengan sifat seperti di atas akan menghasilkan struktur baru yang disebut struktur Poincare Homoklinik.
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
53
Limit Cycle Hiperbolik Fajar Adi Kusumo
๏ Pandang sistem dinamik ๐ = ๐ ๐ , ๐ฅ โ โ๐ yang memiliki limit-cycle ๐ฟ0. ๏Misalkan โ merupakan bidang potong transversal dari cycle dan Codim โ=1. ๏Misalkan ๐ = (๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ โ 1) koordinat dari โ. ๏Sistem di atas secara lokal mendefinisikan pemetaan ๐: โ โ โ yang merupakan pemetaan Poincare. ๏Titik ๐0 yang merupakan titik potong antara ๐ฟ0 dengan โ, merupakan titik tetap dari ๐.
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
54
Limit Cycle Hiperbolik Fajar Adi Kusumo
๏Jika titik tetap tersebut hiperbolik, maka terdapat manifold invarian dan yang masing-masing berdimensi n- dan n+ dengan n-+n+=n-1. ๏Kedua manifold di atas merupakan perpotongan bidang ฮฃ dengan manifold stabil dan tidak stabil dari cycle, yaitu
๏L0 dikatakan hiperbolik jika ฮพ0 merupakan titik tetap hiperbolik dari pemetaan Poincare.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
55
Saddle โcycle pada sistem berdimensi 3 Fajar Adi Kusumo
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
56
Bifurkasi dan Diagram Bifurkasi Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem dinamik
x๏ฆ ๏ฝ f ( x, ๏ก ), dan x ๏ก f ( x, ๏ก ); x ๏ ๏n , ๏ก ๏ ๏m dengan ฮฑ menyatakan parameter dari sistem di atas.
Munculnya non-ekuivalensi secara topologis pada fase potret ketika dilakukan variasi terhadap parameterparameternya disebut BIFURKASI.
Diagram yang menggambarkan terjadinya bifurkasi, terkait perubahan nilai parameter-parameternya disebut DIAGRAM BIFURKASI.
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
57
Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Saddle-node Fajar Adi Kusumo
Pandang sistem dinamik skalar :
u๏ฆ ๏ฝ ๏ญ ๏ญ u 2 ๏ญ๏ฆ ๏ฝ 0
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
58
Bifurkasi dari solusi equilibrium Fajar Adi Kusumo
Bifurkasi Transkritis
u๏ฆ ๏ฝ ๏ญu ๏ญ u 2 ๏ญ๏ฆ ๏ฝ 0
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
59
Bifurkasi dari solusi equilibrium Fajar Adi Kusumo
Bifurkasi Pitchfork
u๏ฆ ๏ฝ ๏ญu ๏ญ u 3 ๏ญ๏ฆ ๏ฝ 0
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
60
Bifurkasi dari solusi equilibrium Fajar Adi Kusumo
Bifurkasi Hopf : Bifurkasi ini akan menghasilkan sebuah solusi periodik pada sistem. 2 2 x๏ฆ1 ๏ฝ ๏กx1 ๏ญ x2 ๏ญ x1 ( x1 ๏ซ x2 ) 2 2 x๏ฆ2 ๏ฝ x1 ๏ซ ๏กx2 ๏ญ x2 ( x1 ๏ซ x2 )
Dalam koordinat polar, sistem di atas akan menjadi :
๏ฒ๏ฆ ๏ฝ ๏ฒ (๏ก ๏ญ ๏ฒ 2 ) ๏ฑ๏ฆ ๏ฝ 1
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
61
Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Fold Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik diskret :
u ๏ก ๏ก ๏ซ u ๏ซ u2
Untuk ฮฑ =0, sistem memiliki titik tetap di u =0 dengan multiplier ฮผ =1. Untuk ฮฑ <0, sistem memiliki dua titik tetap, yaitu u =ยฑ ๏ญ ๏ก (Titik tetap negatif โ stabil, titik tetap positif โ tak stabil). Untuk ฮฑ >0, sistem tidak memiliki titik tetap.
u
ฮฑ
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
62
Bifurkasi dari Titik Tetap Fajar Adi Kusumo
Bifurkasi Flip
Pandang sistem dinamik diskret : ๐ข โฆ โ 1 + ๐ผ ๐ข + ๐ข3 โก ๐ ๐ข; ๐ผ
Titik tetap : ๐ข = 0 dan ๐ข = ยฑ 2 + ๐ผ Di sekitar ๐ข = 0, sistem hanya memiliki satu titik tetap dengan multiplier ๐ = โ(1 + ๐ผ), dan ๐ = โ1 untuk ๐ผ = 0. Untuk ๐ผ โ 0, titik ๐ข = 0 stabil ketika ๐ผ < 0, dan tidak stabil untuk ๐ผ > 0.
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
63
Bifurkasi dari Titik Tetap Fajar Adi Kusumo
Bifurkasi Flip
Pada iterasi kedua, diperoleh:
Titik tetap : ๐ข1 = 0, ๐ข2,3 = ยฑ
๐ผ + ๐ ๐ผ , asalkan
|๐ผ | < 1. Titik tetap u2,3 stabil, ๐(๐ข2; ๐ผ) = ๐ข3 dan ๐(๐ข3; ๐ผ) = ๐ข2. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
64
Bifurkasi dari Titik Tetap Fajar Adi Kusumo
Kodimensi dari suatu bifurkasi pada suatu sistem dinamik adalah selisih antara dimensi dari ruang parameter dengan dimensi dari batas bifurkasinya. Batas bifurkasi (Bifurcation Boundary) : kurva atau permukaan yang membatasi dua daerah pada diagram parameter yang memiliki fase-potret berbeda.
Dua buah sistem dinamik dikatakan sama secara kualitatif jika kedua sistem tersebut memiliki diagram bifurkasi yang serupa.
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
65
Ekuivalensi Secara Topologis Fajar Adi Kusumo
Dua buah sistem dinamik ๐ฅ = ๐ ๐ฅ, ๐ผ dan ๐ฆ = ๐(๐ฆ, ๐ฝ) dikatakan ekuivalen secara topologis jika : โข Terdapat homeomorfisma pada ruang parameter p : โ๐ โ โ๐, ๐ฝ = ๐(๐ผ). โข Terdapat homeomorfisma pada ruang fase yang bergantung pada parameter, yaitu : ๐๐ผ : โ๐ โ โ๐, ๐ = ๐๐ผ (๐).
TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
66
Ekuivalensi Secara Topologis Fajar Adi Kusumo
Pandang dua buah sistem dinamik di โ๐ : ๐ฅ = ๐ ๐ฅ, ๐ผ dan ๐ฆ = ๐(๐ฆ, ๐ฝ) ๐ผ , ๐ฝ ๏โ๐ menyatakan parameter dari sistem. โข Kedua sistem di atas dikatakan ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya jika terdapat pemetaan (๐, ๐ผ) โฆ (๐๐ผ(๐), ๐(๐ผ)) yang terdefinisi pada neighborhood kecil dari (๐, ๐ผ) = (0,0) pada โ๐ ร โ๐ sehingga โข ๐ โถ โ๐ โ โ๐ merupakan homeomorfisma yang terdefinisi pada neighborhood dari ๐ผ = 0, ๐(0) = 0. โข ๐๐ผ: โ๐ โ โ๐ merupakan homeomorfisma yang bergantung pada parameter yang terdefinisi pada ๐๐ผ dari ๐ = ๐, ๐(๐) = ๐ dan memetakan orbit dari sistem pertama di ๐๐ผ ke orbit dari sistem kedua di โ๐ผ ๐๐ผ , dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
67
Bentuk Normal Topologis Pandang dua buah sistem dinamik:
(A) Fajar Adi Kusumo
dan (B)
Sistem (A) disebut bentuk normal topologis untuk bifurkasi, jika setiap sistem dalam bentuk generik (B) dengan titik equilibrium x =0 yang memiliki syarat bifurkasi yang sama di ฮฑ =0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal sistem (A) untuk nilai-nilai koefisien polinomial ฯi , i=1,2,3,โฆ,l. Syarat Non-degeneracy Syarat Generik Ni[f ]โ 0, i=1,2,โฆ,s. Ni merupakan fungsi yang memuat derivatif parsial f(x,ฮฑ) di (0,0)
TEORI BIFURKASI
๏ถ f ( x,0) ๏ถx x ๏ฝ0 Syarat Transversality
๏ถ f ( x, ๏ก ) ๏ถ๏ก ๏ก ๏ฝ0 Senin, 29 Juli 2013
68
Persistensi dari titik Equilibrium
Pandang dua buah sistem dinamik :
(1) Fajar Adi Kusumo
(2) Untuk ๐ = 0, sistem (2) akan menjadi sistem (1) dan memiliki equilibrium hiperbolik ๐ฅ0. Persamaan equilibrium untuk sistem (2) adalah Dengan demikian ๐น๐ฅ(๐ฅ0,0) = ๐ด0 (matriks Jacobian dari sistem (1)). Teorema Fungsi Implisit Matriks Jacobian dari sistem (2) di sekitar ๐ฅ(๐) adalah
Suatu titik ekuilibrium hiperbolik stabil secara struktur terhadap perturbasi yang smooth TEORI BIFURKASI
Senin, 29 Juli 2013
69
Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Fajar Adi Kusumo
โข Ada 2 jenis bifurkasi tipe ini, yaitu โ Bifurkasi FOLD โ Bifurkasi HOPF
โข Diberikan sistem dinamik ๐ = ๐ ๐, ๐ผ , ๐ โ โ๐ , ๐ผ โ โ โข Variasi terhadap nilai parameter ๐ผ dapat menyebabkan munculnya bifurkasi pada sistem. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
70
Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Fajar Adi Kusumo
โข Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen ๐1 = 0 disebut bifurkasi FOLD โข Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen ๐1,2 = ยฑ๐๐0 dengan ๐0 > 0, disebut bifurkasi HOPF (Andronov Hopf).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
71
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
โข Diberikan sistem dinamik berdimensi satu yang memuat satu parameter ๐ฅ = ๐ผ + ๐ฅ 2 โก ๐ ๐ฅ, ๐ผ โข Untuk ๐ผ = 0, sistem di atas memiliki sebuah titik equilibrium non hiperbolik yaitu ๐ฅ0 = 0 dengan nilai eigen ๐ = ๐๐ฅ 0,0 = 0
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
72
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
โข Untuk ๐ผ < 0, sistem memiliki 2 buah titik equilibrium, yaitu ๐ฅ1,2 ๐ผ = ยฑ โ๐ผ. Titik equilibrium sebelah kiri stabil, dan sebelah kanan tidak stabil. โข Untuk ๐ผ > 0, sistem tidak memiliki titik equilibrium.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
73
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
Analisis untuk sistem ๐ฅ = ๐ผ โ ๐ฅ2 dapat dilakukan dengan cara yang sama. Dua buah titik equilibrium dalam kasus ini muncul untuk ๐ผ > 0.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
74
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
LEMMA 3.1: Sistem
๐ฅ = ๐ผ + ๐ฅ2 + ๐ ๐ฅ3 Equivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal (titik equilibrium (0,0)) dari sistem ๐ฅ = ๐ผ + ๐ฅ2. (1)
BUKTI : Untuk membuktikan lemma tersebut perlu ditunjukkan bahwa homeomorfisma yang memetakan titik-titik equilibrium dari sistem pertama ke titik-titik equilibrium sistem kedua juga memetakan orbitorbit terkait
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
75
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 1 (Analisis Titik Equilibrium): Diberikan variabel skalar ๐ฆ sehingga sistem pertama dapat dituliskan sebagai berikut ๐ฆ = ๐ผ + ๐ฆ 2 + ๐ ๐ฆ, ๐ผ (2) dengan ๐ ๐ฆ, ๐ผ = ๐(๐ฆ 3 ) suatu fungsi smooth di sekitar ๐ฆ, ๐ผ = 0,0 . Didefinisikan suatu manifold yang terdiri atas titik-titik equilibrium sistem tersebut, yaitu ๐ = ๐ฆ, ๐ผ : ๐น ๐ฆ, ๐ผ = ๐ผ + ๐ฆ 2 + ๐ ๐ฆ, ๐ผ = 0 . Dengan demikian kurva ๐ melalui titik asalnya, yaitu ๐น 0,0 = 0. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
76
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Selanjutnya, karena ๐น๐ผ = 1 maka dengan menggunakan teorema fungsi implisit, manifold ๐ secara lokal dapat disajikan sebagai ๐ = ๐ฆ, ๐ผ : ๐ผ = ๐ ๐ฆ dengan ๐ merupakan fungsi smooth yang didefinisikan untuk |๐ฆ| kecil, ๐ ๐ฆ = โ๐ฆ 2 + ๐ ๐ฆ 3 .
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
77
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) Dengan demikian untuk ๐ผ < 0, Sistem (2) memiliki 2 buah equilibrium di sekitar titik asalnya. Kedua titik equilibrium ini akan berdekatan dengan titik equilibrium dari Sistem (1), yaitu ๐ฅ1 ๐ผ = โ๐ผ dan ๐ฅ2 ๐ผ = โ โ๐ผ untuk nilai parameter yang sama.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
78
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 2 (Konstruksi Homeomorfisma):
Dikonstruksikan pemetaan yang bergantung parameter ๐ฆ = โ๐ผ ๐ฅ , untuk ๐ผ cukup kecil. Pemetaan โ๐ผ akan memetakan orbit-orbit ๐ฅ pada Sistem (1) ke orbit ๐ฆ pada Sistem (2).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
79
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Untuk ๐ผ โฅ 0, didefinisikan pemetaan identitas โ๐ผ ๐ฅ = ๐ฅ sedangkan untuk ๐ผ < 0, diambil transformasi linear โ๐ผ ๐ฅ = ๐ ๐ผ + ๐ ๐ผ ๐ฅ dengan koefisien ๐ dan ๐ dihitung dengan syarat โ๐ผ ๐ฅ๐ ๐ผ = ๐ฆ๐ ๐ผ , ๐ = 1,2. (cari ๐ dan ๐)
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
80
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Dengan demikian pemetaan โ๐ผ : โ โ โ merupakan homeomorfisma yang memetakan orbit dari Sistem (1) di sekitar titik asal ke orbit terkait dari Sistem (2) dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
81
Bifurkasi FOLD Generik Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik ๐ฅ = ๐ ๐ฅ, ๐ผ , ๐ฅ โ โ, ๐ผ โ โ, dan ๐ fungsi smooth. Untuk ๐ผ = 0 diasumsikan bahwa di titik equilibrium ๐ฅ = 0 berlaku ๐ = ๐๐ฅ 0,0 = 0. Ekspansi Taylor dari ๐ ๐ฅ, ๐ผ di sekitar ๐ฅ = 0 : ๐ ๐ฅ, ๐ผ = ๐0 ๐ผ + ๐1 ๐ผ ๐ฅ + ๐2 ๐ผ ๐ฅ 2 + ๐ ๐ฅ 3 Ekspansi di atas memenuhi dua syarat, yaitu ๐0 0 = ๐ 0,0 = 0 ๐ ๐ฆ๐๐๐๐ก ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ข๐ ๐1 0 = ๐๐ฅ 0,0 = 0 (๐ ๐ฆ๐๐๐๐ก ๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ ๐น๐๐๐) Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
82
Bifurkasi FOLD Generik Fajar Adi Kusumo
Teorema 3.1: Diberikan sistem dinamik ๐ฅ = ๐ ๐ฅ, ๐ผ , ๐ฅ โ โ, ๐ผ โ โ, dan ๐ fungsi smooth, mempunyai titik equilibrium ๐ฅ = 0 untuk ๐ผ = 0 dan misalkan ๐ = ๐๐ฅ 0,0 = 0. Diasumsikan bahwa sistem tersebut memenuhi syarat berikut A.1. ๐๐ฅ๐ฅ 0,0 โ 0 A.2. ๐๐ผ 0,0 โ 0 Maka terdapat koordinat yang invertibel dan perubahan parameter yang mentransformasi sistem di atas ke dalam bentuk ๐ = ๐ฝ ยฑ ๐2 + ๐ ๐3 . Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
83
Bifurkasi FOLD Generik Fajar Adi Kusumo
Teorema 3.2. Sebarang sistem skalar dengan satu parameter ๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ผ) yang memiliki titik equilibrium ๐ฅ = 0 di ๐ผ = 0 dengan ๐ = ๐๐ฅ 0,0 = 0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya terhadap sistem ๐ = ๐ฝ ยฑ ๐2 . Teorema di atas dapat dibuktikan dengan Lemma 3.1 dan Teorema 3.1. (Tunjukkan)
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
84
Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. ๐ฅ1 = ๐ผ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ1 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 ๐ฅ2 = ๐ฅ1 + ๐ผ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 Sistem di atas memiliki equilibrium ๐ฅ1 = ๐ฅ2 = 0 untuk setiap ๐ผ dengan matriks Jacobian ๐ผ โ1 ๐ด= 1 ๐ผ dengan nilai eigen ๐1,2 = ๐ผ ยฑ ๐. Selanjutnya dengan mengambil ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ ๐๐ฆ dan ๐ง = ๐๐ ๐๐ maka diperoleh ๐ = ๐ ๐ผ โ ๐2 , ๐ = 1. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
85
Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Fajar Adi Kusumo
BIFURKASI HOPF SUPERKRITIS
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
86
Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. ๐ฅ1 = ๐ผ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 + ๐ฅ1 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 ๐ฅ2 = ๐ฅ1 + ๐ผ๐ฅ2 + ๐ฅ2 ๐ฅ12 + ๐ฅ22 Dalam bentuk kompleks diperoleh ๐ง = ๐ผ+๐ ๐ง+๐ง ๐ง 2 Bifurkasi Hopf SUBKRITIS
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
87
Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Fajar Adi Kusumo
BIFURKASI HOPF SUBKRITIS
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
88
Bifurkasi HOPF Generik Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik ๐ = ๐ ๐, ๐ผ , ๐ = ๐ฅ1 , ๐ฅ2 ๐ โ โ2 , ๐ผ โ โ Fungsi ๐ smooth dan titik equilibrium ๐ = 0 untuk ๐ผ = 0 memiliki nilai eigen ๐1,2 (0) = ยฑ๐๐0 , ๐0 > 0. Selanjutnya dengan menggunakan linearisasi di sekitar titik equilibriumnya diperoleh ๐ = ๐ด ๐ผ ๐ + ๐ญ ๐, ๐ผ Dengan ๐(๐ผ) ๐ ๐ผ ๐ด ๐ผ = ๐ ๐ผ ๐(๐ผ) Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
89
Bifurkasi HOPF Generik Fajar Adi Kusumo
Teorema 3.4 Suatu sistem berdimensi dua dengan satu parameter ๐ = ๐ ๐, ๐ผ dengan titik equilibrium ๐ฅ = 0 untuk ๐ผ = 0 dan nilai eigen ๐1,2 (0) = ยฑ๐๐0 , ๐0 > 0 Equivalen secara topologis di sekitar titik equilibriumnya dengan bentuk normal berikut ๐ฆ1 ๐ฆ1 ๐ฝ โ1 ๐ฆ1 2 2 = ๐ฆ2 ยฑ ๐ฆ1 + ๐ฆ2 ๐ฆ2 . ๐ฆ2 1 ๐ฝ
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
90
Bifurkasi Satu Parameter untuk Sistem Diskret Fajar Adi Kusumo
โข Bifurkasi terkait munculnya multiplier ๐ = 1 disebut bifurkasi FOLD โข Bifurkasi terkait munculnya multiplier ๐ = โ1 disebut bifurkasi FLIP โข Bifurkasi terkait munculnya multiplier ๐1,2 = ๐ ยฑ๐๐0 , 0 < ๐0 < ๐ disebut bifurkasi Neimark-Sacker (Bifurkasi TORUS).
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
91
Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung pada satu parameter, yaitu ๐ฅ โฆ ๐ผ + ๐ฅ + ๐ฅ 2 โก ๐ ๐ฅ, ๐ผ โก ๐๐ผ (๐ฅ) Pemetaan ๐๐ผ ๐ฅ invertibel untuk nilai ๐ผ kecil di sekitar titik asalnya.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
92
Bentuk Normal Bifurakasi FOLD Fajar Adi Kusumo
โข Cara lain untuk menggambarkan bifurkasi FOLD adalah dengan menggambarkan titik tetapnya terhadap parameter.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
93
Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung satu parameter, yaitu ๐ฅ โฆ โ 1 + ๐ผ ๐ฅ + ๐ฅ 3 โก ๐ ๐ฅ, ๐ผ โก ๐๐ผ ๐ฅ Fungsi ๐๐ผ invertibel untuk nilai |๐ผ| kecil di sekitar titik asalnya. Titik tetap ๐ฅ0 = 0 memiliki multiplier ๐ = โ 1 + ๐ผ untuk setiap ๐ผ. Titik ๐ฅ0 stabil untuk ๐ผ < 0 dan tidak stabil untuk ๐ผ > 0. Untuk ๐ผ = 0, titik ๐ฅ0 = 0 memiliki multiplier ๐ = โ1. Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
94
Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Fajar Adi Kusumo
Jika diambil ๐ฆ = ๐๐ผ (๐ฅ), maka diperoleh
Pada iterasi kedua, selain titik equlibrium trivial, terdapat juga titik equilibrium non trivial yaitu ๐ฅ1,2 = ยฑ ๐ผ + ๐ ๐ผ
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
95
Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Fajar Adi Kusumo
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
96
Bentuk Normal Bifurkasi NeimarkSacker Fajar Adi Kusumo
Diberikan sistem dinamik diskret berdimensi dua
๐ผ adalah suatu parameter, ๐ = ๐ ๐ผ , ๐ = ๐ ๐ผ , dan ๐ = ๐ ๐ผ adalah fungsi-fungsi smooth. Selain itu 0 < ๐ 0 < ๐, ๐ 0 โ 0. Untuk ๐ฅ1 = ๐ฅ2 = 0 diperoleh matriks Jacobian cos ๐ โ sin ๐ ๐ด = 1+๐ผ sin ๐ cos ๐ Dengan nilai eigen ๐1,2 = 1 + ๐ผ ๐ ยฑ๐๐ Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
97
Bentuk Normal Bifurkasi NeimarkSacker Fajar Adi Kusumo
Transformasi ke dalam koordinat polar menghasilkan
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
98
Tugas Presentasi Kelompok Fajar Adi Kusumo
โข Kelompok I : โ Bifurkasi FOLD Generik
โข Kelompok II : โ Bifurkasi FLIP Generik
โข Kelompok III : โ Bifurkasi Neimark-Sacker Generik
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
99
Referensi Fajar Adi Kusumo
1. Kuznetsov, Y., Elements of Applied Bifurcation Theory -2nd ed, Applied Mathematical Sciences 112, SpringerVerlag New York, Inc, 1998 2. Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996.
Teori Bifurkasi
Senin, 29 Juli 2013
10 0