Ega Gradini, Penyelesaian Masalah Titik....
Penyelesaian Masalah Titik Tetap dari Fungsi dalam Sistem Dinamik Melalui Penggunaan Software Pembelajaran Mathematica 6.0 Ega Gradini1
Abstrak
Dalam masalah rekayasa di bidang fisika, biologi, matematika dan terapanterapannya,sistem dinamik sering ditemui dalam bentuk matematis,dimana dalam menyelesaikan persamaan digunakan proses pengulangan fungsi. Proses pengulangan inilah yang dinamakan iterasi. Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica 6.0? dan apakah dengan Mathematica6.0 dapat mempermudah dan mempercepat dalam mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik?, khususnya sistem dinamik dengan fungsi satu variabel.Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui bagaimana mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica 6.0. Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap bukubuku atau literatur .Tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam. Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari solusi titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica dapat dicari dengan perintah Nroots ataupun Solve. Sedangkan untuk mencari titik tetap pada orbit dari fungsi dalam sistem dinamik dapat dicari dengan menggunakan perintah Nest ataupun NestList. Dari pembahasan juga dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan Mathematica lebihcepat dan lebih mudah dalam mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik.Berdasarkan hasil kegiatan di atas pembahasan mengenai penggunaan software Mathematica untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik masih sangat terbatas sehingga perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam dalam pengkajian berikutnya,dan apakah software Mathematica ini dapat berlaku untuk masalah sistem dinamik yang lain, seperti masalah titik tetap pada fungsi trigonometri dan lain-lain.Bagi mahasiswa matematika yang tertarik untuk melakukan penelitian yang berkaitan dengan sistem dinamik,hendaknya dapat melakukan penelitian pada pokok bahasan sistem dinamik yang lain,sehingga dapat mengembangkan aplikasi Mathematica untuk masalah sistem dinamik.
Kata kunci:Iterasi, Bifurkasi, Mathematica 6.0, Titik Tetap, Sistem Dinamik, Software Edukasi
1
Ega Gradini, Dosen Jurusan Tadris Matematika - Sekolah Tinggi Agama Islam
Negeri (STAIN) Gajah Putih, Jalan Yos Sudarso No Takengon, Aceh.
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 |48
kemampuannya dalam menyimpan dan
Pendahuluan Matematika
pada
dasarnya
merupakan alat, sarana atau pelayan ilmu
memberikan informasi tetapi juga dalam segi perhitungan matematika.
lain. Hal ini tidak dapat dipungkiri dengan
Untuk mendapat solusi masalah
munculnya berbagai aplikasi matematika,
sistem dinamik tersebut, dapat digunakan
baik dalam kehidupan sehari-hari maupun
dengan perhitungan manual, Mathematica,
dalam disiplin ilmu yang membutuhkan
dan
banyak perhitungan. Berbagai masalah
perhitungan dalam masalah sistem dinamik
dirasakan lebih mudah dimengerti dengan
baik secara manual, dengan Maple dan
pendekatan matematika, sebagai dasar dari
Pascal
berbagai disiplin ilmu.Dalam masalah
dikembangkan dan mungkin paling dikenal
rekayasa
baik
di
bidang
fisika,
biologi,
lain-lain.
Semua
adalah
metode
yang
hingga
paling
awal
sekarang.Program
matematika dan terapan-terapannya, sistem
Mathematica
dinamik sering ditemui dalam bentuk
jurusan matematika belum pernah dikaji
matematis, dimana dalam menyelesaikan
secara mendalam, oleh karena itu penulis
persamaan digunakan proses pengulangan
tertarik
fungsi. Dalam sistem dinamik proses
Mathematica untuk masalah titik tetap dari
pengulangan
fungsi
merupakan
aplikasi
dari
pada
untuk
masa
mengangkat
dalam
perkuliahan
materi
sistem
aplikasi
dinamik
untuk
sebuah fungsi, dan proses pengulangan
dijadikan judul skripsi. SelainMathematica
inilah yang dinamakan iterasi. Dalam
belum pernah dikaji secara mendalam
mengerjakan
dari
dalam perkuliahan,dengan Mathematica
mahasiswa menggunakan cara manual,
juga lebih mudah untuk mencari solusi
padahal dalam sistem dinamik terdapat
masalah
soal yang bila diselesaikan secara manual
Mathematica memang dirancang khusus
sangat sulit diselesaikan atau bahkan tidak
untuk mencari dan menyelesaikan masalah
dapat
apabila
sistem dinamik walaupun dengan program
menggunakan Mathematica maka masalah
lain masalah sistem dinamik juga dapat
sistem dinamik tersebut dapat dengan
diselesaikan, tetapi butuh waktu lama
mudah diselesaikan. Semua ini seiring
untuk mengerjakannya.
soal
kebanyakan
diselesaikan,
tetapi
dengan kemajuan teknologi, komputer
sistem
Dalam
dinamik
menentukan
solusi
karena
atau
merupakan produk teknologi yang mampu
penyelesaian suatu masalah titik tetap dari
memecahkan
fungsi dalam sistem dinamik, keberadaan
masalah,
ISSN 2354-0074
bukan
hanya
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 49
alat
bantu
sangat
untuk
pandang utama yang digunakan dalam
mempermudah menyelesaikan secara cepat
teori umum pada sistem dinamik. Sistem
dan
iniperkembangan
dinamik mempunyai 2 komponen: ruang
teknologi komputer dan perangkat lunak
fasa (ruang pusat), yang terdiri dari semua
lainnya dirasakan sangat pesat, khususnya
kemungkinan
di bidang pendidikan. Salah satu perangkat
(untuk besaran skalar pada garis R,
lunak (software) berbasis matematika yang
meliputi semua kemungkinan nilai x), dan
dikembangkan untuk kepentingan ilmu
„dinamik‟ yang digambarkan bagaimana
pengetahuan adalah Mathematica.
keadaan berubah pada saat itu (untuk kata
tepat.
dibutuhkan
Dewasa
Mathematica digunakan
oleh
belum para
banyak
ilmuwan
dinamik
„keadaan‟
ditentukan
pada
sistem
dengan
solusi
atau
persamaan x = f(x)).Dengan meningkatnya
mahasiswa di Indonesia untuk membantu
teknologi komputer diperoleh keuntungan
menyelesaikan
yang sangat besar dalam teori sistem
permasalahan-
permasalahan
matematika,
padahal
dinamik pada akhir-akhir ini, dan teori ini
Mathematica adalah perangkat lunak yang
mendapat perhatian pada tahun 1980-an
lengkap dan komunikatif. Persoalan yang
dibawah
dapat
bonner (Robinson, 2004:56).
diselesaikan
denganMathematica
merupakan persoalan matematika murni,
media
Secara
persahabatan
numerik
telah
„chaos‟
diselidiki
seperti sistem dinamik.Dengan alasan di
kerumitan dari persamaan sistem dinamik.
atas penulis tertarik untuk meneliti tentang
Sama halnya dengan menguji perilaku
aplikasiMathematica untuk sistem dinamik
grafik iterasi logistik. Semuaini merupakan
satu variabel, khususnya masalah titiktetap
masalah yang solusinya di luar teknik yang
dari
beberapa
disajikan dalam teori sistem dinamik. Teori
penulis
ini memperoleh dukungan yang besar pada
tertarik, diantaranya adalah “Bagaimana
tahun 80-an, ketika dipopulerkan dibawah
mencari solusi untuk masalah titik tetap
bendera media-friendly “Chaos”. Salah
dari fungsi dalam sistem dinamik dengan
satunya yang popular adalah Making A
menggunakan Mathematica?”dan “Apakah
New Science yang ditulis oleh J. Gleick.
dengan Mathematica dapat mempermudah
Sementara
dan mempercepat dalam mencari solusi
menyajikannya
untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam
Chaos yang ditulis oleh E. N. Lorente
sistem dinamik?”
(Robinson, 2004:374).
suatu
permsalahan
fungsi. yang
Ada membuat
Sistem Dinamik dan Titik Tetap Pendekatan kualitatif adalah titik ISSN 2354-0074
penemu dalam
awal The
teori
ini
Essenceof
Definisi 1 Misal I⊆R, F:I → I fungsi. Titik x0 I Volume I. Nomor 1. April 2014 | 50
disebut titik tetap apabila F(x0) = x0.
.Sebuah titik x0 disebut eventually fixed
Karena x0 I titik tetap dengan F(x0) = x0,
jika x0 itu sendiri bukan tetap, tetapi
maka dengan demikian
beberapa titik pada orbit dari x0 adalah
2
F (x0) = F(F(x0))
tetap.
= F(x0) = x0, dan F2(x0) = x0 Definisi 2
Definisi 5
Misalkan F:I → I, I⊆R, dan x0
I.
Misalkan F: I → I, I⊆R, iterasi ke-n
Orbit dari x0 oleh F didefinisikan sebagai
dari F ditulis Fn(x) untuk suatu x bilangan
barisan x0, x1 = F(x0), x2 = F2(x0), x3 =
real, didefinisikan sebagai n kali komposisi
F (x0), …, xn = F (x0), …. Dalam hal ini, x0
dari fungsi F terhadap dirinya sendiri atau
disebut sebagai benih dari orbit, sedangkan
Fn(x) = (F o F o F o … o F)(x) =
xi dengan i = 0,1,2,3,… disebut elemen
F(F(F(F(…(x))))).
3
n
dari orbit.
Mengacu pada definisi 5 di atas, maka untuk suatu fungsi F(x), F2(x) adalah iterasi ke-2 dari fungsi F(x), dan dapat
Definisi 3 Misalkan F:I → I, I ⊆R, dan x0
I.
Orbit dari x0 oleh fungsi F disebut orbit
ditulis sebagai F2(x) = F(F(x)). Demikian pula F3(x) = F(F(F(x))) dan seterusnya.
periodik apabila orbit dari x0 berupa barisan pengulangan x0, F(x0), …, Fn-1(x0),
Menemukan Nilai Iterasi Yang Terakhir
x0, F(x0), …, Fn-1(x0), x0, … dengan n suatu
Dan Tabel Iterasi.
bilangan asli. Dalam hal ini n disebut sebagai periode prima dari orbit.Sebuah
Hal yang paling mudah untuk
titik x0 disebut eventually periodic jika x0
memfungsikan iterasi dengan mathematica
itu sendiri bukan periodik, tetapi beberapa
adalah
titik pada orbit dari x0 adalah periodik.
Nest. Perintahnya adalah:
dengan
menggunakan
perintah
Nest[fungsi, nilai awal, nomer iterasi]
Definisi 4 Misalkan F:I → I, I ⊆R, dan x0
(
I.
Orbit dari x0 oleh fungsi F disebut orbit periodik apabila orbit dari x0 merupakan orbit periodik dengan periode prima satu.
Richard, 2000:204). Dalam contoh berikut ini, diketahui f(x) = x3 dan kemudian dicari iterasi ke-3
Dengan kata lain, orbit dari x0 oleh fungsi
dari fyang dimulai dengan nilai awal 1.2.
F disebut orbit tetap jika orbit dari x0
Perintahnya adalah:
merupakan barisan konstan x0, x0, … ISSN 2354-0074
Clear[f,x]; f[x_] := Volume I. Nomor 1. April 2014 | 51
x^3; Nest[f ,1.2,3]
While[i <= LastIteration,
Diperoleh 137.371
If[ i >=
Pernyataan NestList[ … ] digunakan
FirstIteration,Print[i,”
untuk menyatakan iterasi sebanyak n kali.
“,N[y,8]]];y=h[y];I = i+1]
Perintahnya mirip dengan Nest. Untuk soal
hasilnya adalah:
yang sama yaitu f(x) = x3 dengan nilai awal
10
0.86414351
1.2 maka perintah untuk mencari 3 nilai
11
0.41089828
untuk iterasi pertama adalah:
12
0.84721309
Clear[f,x];
13
0.45305075
f[x_] := x^3;
14
0.86728519
NestList[f ,1.2,3]
15
0.40285557
Diperoleh
16
0.84197036
{1.2,1.728,5.15978,137.371}
17
0.46569696
(Richard,2000:204).
18
0.87088155
untuk
19
0.39356405
mengelompokkan tabel iterasi yaitu pada
20
0.83534986
Cara
berikutnya
(Richard, 2000:204).
awal dua baris pertama dijelaskan dulu fungsinya, selanjutya menentukan variabel nilai awal, cetakan iterasi pertama yang
Mengontrol
diinginkan, dan cetakan iterasi terakhir
Perhitungan
secara
pendek
melakukan
aktual.
menggunakan
Pada
While[
perhitungan contoh …
]
ini yang
Dari
Untuk sejumlah latihan, kita perlu
yang diinginkan. Program Mathematica yang
Ketepatan
untuk bisa mengontrol ketepatan dari perhitungan. Kita menggunakan perintah SetPrecission
pada
Mathematica,
menyatakan iterasi untuk fungsi h(x) =
dengan menulis pemisalan n significant
3.5x(1 – x) yang dimulai dari 1 dan nilai
digits,
iterasi yang dicetak yaitu nilai dari iterasi
pembulatan yang diperlukan. Perintahnya
ke-10 sampai dengan nilai iterasi yang ke-
adalah:
20. Perintahnya adalah:
SetPrecission[expression,n]
Clear[h,x,I,y]; h[x_] :=
penambahan
nol-nol
atau
Nol ditambahkan pada bilangan
3.5x (1 - x);
binary, sehingga 10 dasar perwakilan
StartingValue = .1;
nomor-nomor baru tidak perlu diakhiri nol.
FirstIteration = 10;
Pada perintah-perintah berikut, variabel
LastIteration = 20; I=0;
SigDigits
y = N[StartingValue];
sejumlah pembulatan:
ISSN 2354-0074
mengontrol
nilai
dari
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 52
Clear[h,x];
Pada beberapa latihan, perlu juga
h[x_] := 3.5x(1-x);
untuk membuat grafik dari fungsi iterasi.
StartingValue = .1;
Sebagai contoh, untuk membuat grafik T2
FirstIteration = 10;
dimana
LastIteration = 20; SigDigits = 64; I=0;
( )
{
(
Program untuk menyelesaikan soal
y =etPrecission[StartingValue,
ini adalah sebagai berikut:
SigDigits];
Clear[T,x];
While[i <=
T[x_] := If[x<=.5,2x,2 –
LastIteration,If[i >=
2x];
FirstIteration,Print[i,”
xmin = 0;
“,N[y,8]]]; y =
xmax = 1;
SetPrecission[h[y],
NumberOfIterations = 2;
SigDigits]; i = i+1]
Plot[{Nest[T,x,NumberOfItera
hasilnya adalah:
tions],x},
10
0.86414351
11
0.41089828
12
0.84721309
13
0.45305075
14
0.86728519
15
0.40285557
16
0.84197036
17
0.46569696
18
0.87088155
19
0.39356405
20
0.83534986
{x,xmin,xmax}, PlotRange->{xmin,xmax}, AspectRatio->1] Hasil Yang diperoleh adalah
Fungsi h(x) = 3.5x(1 – x) tidak sensitifpada perubahan kecil dalamkondisi pemisalan,
keluaran
sama
dari
Penggunaan pernyataan if[ … ]
programini
untuk menentukan T(x). Variabel xmin dan
dengan
xmax dicatat ulang pada titik akhir dan
programsebelumnya(Richard, 2000:205).
pertama. Nomer iterasi = 2 memberi tahu program untuk menghitung grafik dari
E. Membuat Grafik Fungsi Iterasi ISSN 2354-0074
fungsi T2. Jika angka 2 diganti dengan Volume I. Nomor 1. April 2014 | 53
angka 3 maka yang terbuat adalah grafik T3. Plot dan Nest digunakan untuk membuat grafik pada garis y = x. Pada garis kedua perintah Plot, kita definisikan fungsi utama untuk membuat grafik. Plotrange->{xmin,xmax} adalah perintah
Teorema 1
untuk
kodomain
Jika f kontinue pada selang tutup
harus sama dengan domain. Akhirnya,
[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik
AspectRatio->1
dalam dari (a,b), maka terdapat paling
menampilkan
bahwa
menjadikan
grafiknya
persegi (Richard, 2000:206).
sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan f (b)− f (a)= f '(c)(b − a)
Teorema Nilai Rata-rata Untuk Titik
(Purcell, 2003:204).
Tetap Dalam bahasa geometri, Teorema
Soal-soal
Yang
Dapat
Diselesaikan
Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan
Secara Manual dan Diselesaikan dengan
dipahami. Teorema ini mengatakan bahwa
Menggunakan Mathematica
jika
grafik
sebuah
fungsi
kontinue
mempunyai garis singgung tak tegak pada
Contoh 1
setiap titik antara A dan B, maka terdapat
Misal F(x) = x2 – 2, maka titik tetap
paling sedikit satu titik C pada grafik
oleh fungsi tersebut adalah:
antara A dan B, sehingga garis singgung di
1. Dikerjakan dengan cara manual
titik C sejajar talibusur AB.
F(x) = x ⇔ x2 – 2 = x ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = -1 Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2 adalah -1 dan 2. 2. Dikerjakan dengan Menggunakan Mathematica Perintahnya: Nroots[x^2-x-2= = 0,x] Hasilnya x = -1 dan x = 2 Selain dengan Nroots dapat pula
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 54
dicari dengan perintah: Solve[x^2-x2= =0]
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut di atas dapat dicari dengan mencari
Hasilnya {{x→-1},{x→2}}
turunan yang pertama dari F(x) = x - x2
Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2
yaitu: F (x) = 1 - 2x Untuk x = 0 maka │F
adalah -1 dan 2.
(0)│= │1 - 2.(0)│= 1 Jadi untuk x = 0 merupakan titik
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut di atas dapat dicari dengan mencari
tetap netral, karena │F (0)│= 1 = 1.
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2 Contoh 3
yaitu:F (x) = 2x Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │2.(-
Misal F(x) = x2 - 2 dan xo = 1. Maka
1)│= 2 > 1 Untuk x = 2 maka │F (2)│= │2.(2)│= 4 > 1
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah: 1. Dikerjakan dengan Cara Manual
Jadi untuk x = -1 merupakan titik tetap pelempar, karena │F (-1)│= 2 > 1.
xo = 1
untuk x= 2 merupakan titik tetap pelempar,
x1 = F(xo)
karena │F (2)│= 4 > 1.
=
F(1)
=
(1)2 - 2
Contoh 2
=
1-2
Misal F(x) = x - x2, maka titik tetap
=
-1
x2 = F(F(xo))
oleh fungsi tersebut adalah: 1. Dikerjakan dengan cara manual
=
F(-1)
F(x) = x
=
(-1)2 – 2
⇔
x - x2 = x
=
1-2
⇔
- x2 = 0
=
-1
⇔
x=0
x3 = F(F(F(xo)))
Jadi titik tetap dari F(x) = x - x2 adalah 0. 2. Dikerjakan dengan Menggunakan
= F(-1) = (-1)2 - 2 = 1-2
Mathematica Perintahnya: Nroots[-x^2==0,x]
= -1
Hasilnya x = 0. Selain dengan Nroots
x4 = F(F(F(F(xo))))
dapat
perintah:
= F(-1)
Hasilnya
= (-1)2 - 2
pula
dicari
Solve[-x^2==0].
dengan
{{x→0},{x→0}}, jadi titik tetap dari F(x)
= 1-2
= x - x2 adalah 0.
= -1 dan seterusnya.
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 55
Jadi orbit dari xo = 1 oleh F(x) = x2 -
x3 = F(F(F(xo)))
2 adalah barisan 1, -1, -1, -1, -1, ...
= F(- 6) = - 6 – (- 6)2
Jadi titik tetapnya adalah -1.
= - 6 - 36 2.
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
= - 42
Mathematica Perintahnya:
x4 = F(F(F(F(xo))))
Clear[f,x]; f[x_]:=x^2-2;
= F(-42)
NestList[f,1,4]
= - 42 – (- 42)2
hasilnya adalah: {1, -1, -1, -1, -1} Jadi titik
= - 42 – 1764
tetapnya adalah -1.
= - 1806
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
x5 = F(F(F(F(F(xo)))))
di atas dapat dicari dengan mencari
= F(- 1806)
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2
= -1806 – (- 1806)2
yaitu:
= - 1806 - 3261636
F (x) = 2x, Untuk x = -1 maka │F (-1)│=
= - 3263442 dan seterusnya.
│2.(-1)│= 2 > 1
Jadi orbit dari xo = 2 oleh F(x) = x –
Jadi untuk F(x) = x2 - 2 dan xo = 1,
x2 adalah barisan 2, -2, -6, -42, -1806,...
maka titik tetapnya merupakan titik tetap pelempar, karena untuk nilai x = -1 maka
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42, -1806, -3263442, ...
│F (x)│> 1. 2. Contoh 4
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
Mathematica Perintahnya: 2
Misal F(x) = x - x dan xo = 2. Maka
Clear[f,x]; f[x_]:=x-x^2;
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah:
NestList[f,2,5]
1. Dikerjakan dengan Cara Manual xo = 2
hasilnya adalah {2, -2, -6, -42, -
x1 = F(xo)
1806, -3263442}
= F(2)
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42, -1806,
= 2–2
-3263442.Jadi klasifikasi untuk titik tetap
= 2-4
tersebut di atas dapat dicari dengan
= -2
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x2 = F(F(xo))
x – x2 yaitu:
= F(-2)
f (x) = 1 – 2x, Untuk x = -2 maka │F (-
= -2 – (-2)2
2)│=│1 - 2(-2)│=│1 + 4│= 5 > 1
= -2 - 4
Untuk x = -6 maka │F (-6)│=│1 - 2(-6)│=
= -6
│1 + 12│= 13 > 1 dan seterusnya.
2
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 56
Jadi untuk F(x) = x – x2 dan xo = 2 semua
1)14│= 15 > 1 Untuk x = 0 maka │F (0)│=
titik
│15.(0)14│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F
tetapnya
merupakan
titik
tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka │F (x)│> 1.
(1)│= │15.(1)14│= 15 > 1 Jadi x = -1 merupakan titik tetap pelempar, karena│F (-1)│= 15 > 1. x = 0
Contoh Soal Yang Sulit Diselesaikan
merupakan titik tetap penarik, karena│F
Secara Manual
(0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap pelempar, karena│F (1)│= 15 > 1.
Contoh 5
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
Misal F(x) = x15 dan xo = 15. Titik
fungsi F(x) = x15 dengan x = 15.
tetap dan orbit dari xo oleh fungsi tersebut
Perintahnya:
sangat sulit diselesaikan secara manual.
Clear[f,x]; f[x_]:=x^15;
Karena
secara
sulitdiselesaikan,
manual
sangat
NestList[f,15,2]
maka
untuk
hasilnya adalah:
menyelesaikan yaitu dengan menggunakan
{15,437893890380859375,17381
Mathematica.
5884388650643684523248235342
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
3048336904055981032837419410
x15. Perintahnya:
7072236685794679808754722755
NRoots[x^15-x= =0,x]
9573094377456591352752701090
Hasilnya:
6886812202653355422704296190
x = -1. x = -0.900969 0.433884i x = -0.900969 + 0.433884i x = -0.62349 0.781831i x = -0.62349 + 0.781831i x = -0.222521 0.974928i x = -0.222521 + 0.974928i x = 0x = 0.222521 - 0.974928i x = 0.222521 + 0.974928i x = 0.62349 0.781831i x = 0.62349 + 0.781831i x = 0.900969 0.433884i x = 0.900969 + 0.433884i x = 1.
1854094259468910828281856816 5515717030251408538115955132 2001849023808191322662194955 3063473103975411504507064819 3359375}. Jadi untuk F(x) = x15 dan xo = 15 semua titik tetapnya merupakan titik tetap pelempar, karena untuk setiap nilai x maka │F (x)│> 1.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap tersebut di atas dapat dicari dengan
Contoh 6
mencari turunan yang pertama dari F(x) = x15 yaitu:
Misal F(x) = x25 dan xo = 545. Titik
F (x) = 15x14
tetap dan orbit dari xo oleh fungsi tersebut
Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │15.(-
sangat sulit diselesaikan secara manual.
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 57
Karena
secara
manual
sangat
sulit
fungsi F(x) = x25 dengan x = 545.
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
Perintahnya:
soal pada contoh 4.10 yaitu dengan
Clear[f,x]; f[x_]:=x^25;
menggunakan Mathematica.
NestList[f,545,1]
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
hasilnya adalah:
x25. Perintahnya: NRoots[x^25-x= =0,x]
{545,25698782981643620214314
Hasilnya:
7864160233298385955790928825
x = -1x = -0.965926 0.258819i x = -0.965926 + 0.258819i x = -0.866025 0.5ix = -0.866025 + 0.5ix = -0.707107 - 0.707107i x = 0.707107 + 0.707107i x = 0.5 - 0.866025ix = -0.5 + 0.866025ix = -0.258819 0.965926i x = -0.258819 + 0.965926i x = 0x = 1.19264x1017 – 1i x = 1.19264x1017 + 1ix = 0.258819 - 0.965926i x = 0.258819 + 0.965926i x = 0.5 0.866025ix = 0.5 + 0.866025ix = 0.707107 0.707107i x = 0.707107 + 0.707107i x = 0.866025 – 0.5ix = 0.866025 + 0.5ix = 0.965926 - 0.258819i x = 0.965926 + 0.258819i x = 1
438022613525390625}.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap tersebut di atas dapat dicari dengan mencari turunan yang pertama dari F(x) = x25 yaitu:F (x) = 25x24, Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │25.(-1)24│= 25 > 1 Untuk x = 0 maka │F (0)│= │25.(0)│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F (1)│= │25.(1)│= 25 > 1 Jadi x = -1 merupakan titik tetap pelempar, karena│F (-1)│= 25 > 1. x = 0 merupakan titik tetap penarik, karena│F (0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap pelempar, karena│F (1)│= 25 > 1 2. Mencari titik tetap pada orbit untuk ISSN 2354-0074
Jadi untuk F(x) = x25 dan xo = 545 semua titik tetapnya merupakan titik tetap pelempar, karena untuk setiap nilai x maka │F (x)│> 1.
Contoh 7 Misal F(x) = x20 dan xo = 9. Titik tetap dan orbit dari xo oleh fungsi tersebut sangat sulit diselesaikan secara manual. Karena
secara
manual
sangat
sulit
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan soal pada contoh 4.11 yaitu dengan menggunakan Mathematica. 1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) = x20. Perintahnya: NRoots[x^20-x= =0,x] Hasilnya: x = -0.986361 - 0.164595i x = -0.986361 + 0.164595i x = -0.879474 - 0.475947i x = 0.879474 + 0.475947ix = 0.677282 - 0.735724i x = 0.677282 + 0.735724i x = 0.401695 - 0.915773i x = 0.401695 + 0.915773i x = 0.0825793 - 0.996584i x = 0.0825793 + 0.996584i x = 0x = 0.245485 - 0.9694i x = 0.245485 + 0.9694i x = Volume I. Nomor 1. April 2014 | 58
0.546948 0.837166ix 0.546948 + 0.837166i x 0.789141 - 0.614213i x 0.789141 + 0.614213i x 0.945817 - 0.324699i x 0.945817 + 0.324699i x = 1. Jadi klasifikasi untuk titik tetap
= = = = =
soal pada contoh 4.12 yaitu dengan menggunakan Mathematica. 1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) = x17 + 3. Perintahnya: NRoots[x^17-x+3= =0,x]
tersebut di atas dapat dicari dengan mencari turunan yang pertama dari F(x) = 20
x yaitu: F (x) = 20x19 Untuk x = 0 maka │F (0)│= │20.(019)│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F (1)│= │20.(119)│= 20 > 1 Jadi x = 0 merupakan titik tetap penarik, karena │F (0)│= 0 < 1.x = 1 merupakan titik tetap pelempar, karena │F (1)│= 20 > 1. 2. Mencari titik tetap pada orbit untuk fungsi F(x) = x20 dengan x = 9. Perintahnya:
Hasilnya: x = -1.08633x = -1.00984 0.397987i x = -1.00984 + 0.397987i x = -0.791853 0.738446i x = -0.791853 + 0.738446i x = -0.465012 0.972816ix = -0.465012 + 0.972816i x = -0.0778989 1.06912i x = -0.0778989 + 1.06912i x = 0.312905 1.017i x = 0.312905 + 1.017i x = 0.65254 - 0.829137i x = 0.65254 + 0.829137ix = 0.897877 - 0.537805i x = 0.897877 + 0.537805i x = 1.02444 - 0.185664i x = 1.02444 + 0.185664i Jadi klasifikasi untuk titik tetap
Clear[f,x];f[x_]:=x^20;
tersebut di atas dapat dicari dengan
NestList[f,9,1]
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
Hasilnya
adalah
{9,12157665459056928801}. Jadi untuk F(x) = x20 dan xo = 9
x17 + 3 yaitu: F (x) = 17x16 Untuk x = -1.08633 maka │F (1.08633)│=
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
│17.(-1.08633)16│= │17.(3,761736)│ =
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
63.94952 > 1
│F (x)│> 1.
Jadi x = -1.08633 merupakan titik tetap pelempar, karena │F (-1.08633)│> 1.
Contoh 8
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk fungsi F(x) = x17 + 3 dengan x = 11.
Misal F(x) = x17 + 3 dan xo = 11.
Perintahnya:
Titik tetap dan orbit dari xo oleh fungsi
Clear[f,x]; f[x_]:=x^17+3;
tersebut sangat sulit diselesaikan secara
NestList[f,11,2]
manual. Karena secara manual sangat sulit
Hasilnya adalah:
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
{11, 505447028499293774,
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 59
9172463893975597424478896754
Berdasarkan uraian pada
5212134742766342760937869901
pembahasan di atas, maka dapat
3516026401269483902781980416
disimpulkan bahwa:
6782838929516105693166852339
1. Untuk mencari solusi titik tetap dari
9723116579927183111458423316
fungsi dalam sistem dinamik dengan
1786679074581161904221053109
menggunakan Mathematica 6.0dapat dicari
1247073055355715988323965358
dengan perintah NRootsataupun Solve.
7874964615086743106522647224
Sedangkan untuk mencari titik tetap pada
2873668340748421525337401178
orbit dari fungsi dalamsistem dinamik
3597138766050157186281313973
dapat dicari dengan menggunakan perintah
0697592290851815427}
Nest ataupun NestList.
17
Jadi untuk F(x) = x + 3 dan xo = 11
2.
Dengan
menggunakan
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
Mathematica6.0lebih
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
mudah
│F (x)│> 1.
masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem
dalam
cepat
mencari
dan
lebih
solusi
untuk
dinamik. Penutup
DAFTAR PUSTAKA
Abell, Martha L. dan Braselton, James P. 1994. Mathematica By Example, Revised Edition. Cambridge:Academic Press Inc. Devaney, Robert L., 1992. A First Course In Chaotic dynamical Systems. Menlo Park:AddisonWesley. Perto Lawrence, 2000. Differential Equations and Dynamical System. New York:SpringerVerlag. Purcell, Edwin J., 2003. Kalkulus 1. Hamline:Addison-Wesley. Richard A. dan Holmgren, 2000. A First Course In Discrete Dynamical System. New York:Springer-Verlag. Robert L. dan Devaney, 1986. An Introduction to Chaotic Dynamical System.Canada:United States of America. Robinson James C. 2004. An Introduction to Ordinary Differential equations. United Kingdom:Cambridge University Press.
ISSN 2354-0074
Volume I. Nomor 1. April 2014 | 60
