Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (an )∞ n=1 = (a1 , a2 , ..., an , ...) végtelen sorozata. Az ∞ X
an
n=1
végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az an számot a sor n-edik tagjának nevezzük. 2. Definíció. A
∞ X
an végtelen sor n-edik részletösszege:
n=1
sn := a1 + ... + an =
n X
ak .
k=1 ∞ X
an végtelen sor konvergens, ha a részletösszegeib˝ol képzett (sn )∞ n=1 sorozat konn=1 P vergens, azaz ha ∃S ∈ R : S = limn→∞ sn . Ekkor S a ∞ n=1 végtelen sor összege.
3. Definíció. A
4. Definíció. A
∞ X
an végtelen sor divergens, ha a részletösszegeib˝ol képzett (sn )∞ n=1 sorozat diver-
n=1
gens. 1. Tétel. Ha a
∞ X
an sor konvergens, akkor
n=1
lim an = 0.
n→∞
2. Tétel (Cauchy-féle konvergenciakritérium). A
∞ X
an végtelen sor akkor és csakis akkor konvergens,
n=1
ha (∀ε > 0) (∃N (ε) > 0), hogy bármely n, m > N (ε) esetén n X a k < ε. k=m
5. Definíció. Az 1 + q + q 2 + ... + q n−1 + ... =
∞ X n=1
végtelen sort geometriai sornak nevezzük. 3. Tétel. Ha |q| < 1, akkor a geometriai sor konvergens.
1
q n−1 =
∞ X n=0
qn
4. Tétel (Ekvikonvergencia). Ha (an )∞ o és pozitív tagú sorozat, akkor a n=1 monoton csökken˝ ∞ X
∞ X
an ,
n=1
2n a2n
n=1
sorok közül vagy mindkett˝o konvergens, vagy mindkett˝o divergens. P
an és
P
P
an és
P
bn pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indext˝ol P P eltekintve érvényes az an ≤ bn egyenl˝otlenség. Ekkor, ha bn konvergens, akkor an is konvergens.
5. Tétel (Majoráns kritérium). Legyen a
bn pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indext˝ol P P eltekintve érvényes az an ≤ bn egyenl˝otlenség. Ekkor, ha an divergens, akkor bn is divergens.
6. Tétel (Minoráns kritérium). Legyen a
7. Tétel (Gyökkritérium). Legyen (an ) pozitív tagú sorozat, és % := lim
√ n
n→∞
ahol % lehet 0 és ∞ is. Ekkor a
P
an ,
an sor
• % < 1 esetén konvergens; • % > 1 esetén divergens; • % = 1 esetén lehet konvergens is és divergens is. 8. Tétel (Hányados kritérium). Legyen (an ) pozitív tagú sorozat, és λ := lim
n→∞
ahol λ lehet 0 és ∞ is. Ekkor a
P
an+1 , an
an sor
• λ < 1 esetén konvergens; • λ > 1 esetén divergens; • λ = 1 esetén lehet konvergens is és divergens is. 9. Tétel (Intergál kritérium). Legyen j ∈ N rögzített és f : [j, ∞) → R folytonos, monoton csökken˝o és R∞ P pozitív. Ekkor a ∞ n=1 f (n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az j f (x) dx improprius integrál konvergens. 2
6. Definíció. A
P
an sor jeltartó, ha minden tagja nemnegatív vagy nem pozitív.
7. Definíció. A
P
an sor alternáló, ha a szomszédos tagkai különböz˝o el˝ojel˝uek.
8. Definíció. Legyen Π : N → N végtelen permutáció, Πn := Π(n). A
P
aΠ(n) sor a
P
an sor egy
átrendezése. P
9. Definíció. A
10. Definíció. A
an sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a
P
an sor feltételesen konvergens, ha a
P
P
|an | sor konvergens.
an sor konvergens, de a
P
|an | sor nem.
10. Tétel (Leibniz-kritérium). Ha az (an ) pozitív tagú szigorúan monoton csökken˝o ( 0 < an+1 < an ) sorozatra limn→∞ an = 0, akkor a ∞ X
(−1)n an
n=1
sor konvergens. 11. Tétel. Ha a
P
an sor abszolút konvergens, akkor tetsz˝oleges átrendezése is konvergens marad és a
sor összege sem változik. 12. Tétel. Feltételesen konvergens sor átrendezhet˝o úgy, hogy az átrendezett sor összege tetsz˝oleges a ∈ R legyen. A sor úgy is átrendezhet˝o, hogy részletösszegeinek a határértéke plusz vagy mínusz végtelen legyen.
Hatványsorok 11. Definíció. Legyen adott (an )sorozat. A ∞ X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ...
n=0
és ∞ X
an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + ...
n=0
alakú sorokat 0 középpontú, illetve a középpontú hatványsoroknak nevezzük.
3
P∞
12. Definíció. A
P∞
hatványsor konvergál a c pontban, ha a
13. Definíció. A
P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergál a H ⊂ R halmazon, ha minden c ∈ H pontban
P∞
hatványsor konvergens a H ⊂ R halmazon. Ha bármely c ∈ / H
n n=0 an x
n n=0 an c
sor konvergens.
konvergál. 14. Definíció. Legyen a
n n=0 an x
esetén a sor divergens, akkor a H halmazt a hatványsor konvergenciatartományának nevezzük. 13. Tétel.
(a) Ha a
P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergens a c 6= 0 pontban, akkor abszolút konvergens
minden x ∈ (−|c|, |c|) pontban. (b) Ha a
P∞
n n=0 an x
hatványsor divergens a d pontban, akkor divergens minden |x| > |d| esetén.
15. Definíció. Tekintsük azt az origó körüli szimmetrikus (−c, c) intervallumot, amelyben a
P∞
n n=0 an x
hatványsor abszolút konvergens és azon kívül pedig divergens. Ennek az intervallumnak a sugarát (c) a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Ha a hatványsor mindenütt konvergens, akkor a konvergenciasugarat végtelennek tekintjük, ha csak az origóban konvergens, akkor pedig nullának. 14. Tétel (Cauchy-Hadamard). A
P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergenciasugara %, ahol p an+1 1 n , = lim |an | = lim n→∞ % n→∞ an
amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen. 15. Tétel. Legyen a
P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon. Definiáljuk az f :
(−c, c) → R függvényt a következ˝oképpen: f (x) :=
∞ X
an xn .
n=0
Ekkor a ∞ X
(n + 1)an+1 xn = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ...
n=0
hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény differenciálható a (−c, c) intervallumon, és f 0 (x) =
∞ X
(n + 1)an+1 xn .
n=0
4
(x ∈ (−c, c)).
16. Tétel. Legyen a
P∞
n=0 an
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon. Definiáljuk az f :
(−c, c) → R függvényt a következ˝oképpen: f (x) :=
∞ X
an xn .
n=0
Ekkor a ∞ X a1 a2 an n+1 x = a0 x + x2 + x3 + ... n+1 2 3
n=0
hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a (−c, c) intervallumon, és Z
∞ X an n+1 f (x) dx = x n+1
(x ∈ (−c, c)).
n=0
17. Tétel (Abel). Legyen a
P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon, és legyen f (x) =
∞ X
an xn ,
n=0
ha x ∈ (−c, c). Ha az f függvény kiterjeszthet˝o a (−c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos P n legyen, akkor a ∞ n=0 an x hatványsor konvergens c-ben is, és f (c) =
∞ X
an cn .
n=0
(Ha az f függvény kiterjeszthet˝o a [−c, c) intervallumra úgy, hogy −c-ben folytonos legyen, akkor a P∞ P∞ n n n=0 an (−c) . ) n=0 an x hatványsor konvergens −c-ben is és f (−cc) = 18. Tétel (Taylor-formula). Legyen az f : I ⊂ R → R függvény (n + 1)-szer differenciálható a 0-t is tartalmazó I nyitott intervallumon. Ekkor minden x ∈ I esetén f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2 f (n) (0) n x + ... + x + Rn+1 (x), 2! n!
ahol Rn+1 (x) =
f (n+1) (c) n+1 x (n + 1)!
valamely 0 és x közötti c számra. Ha J a 0-t és x-et összeköt˝o intervallum, akkor |Rn+1 (x)| ≤
max |f t∈J
5
(n+1)
|x|n+1 (t)| (n + 1)!
.
16. Definíció. Legyen az f : I → R függvény akárhányszor differenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A ∞ X f (n) n=0
n!
xn
hatványsort az f függvény 0 középpontú Taylor-sorának nevezzük. P∞
n n=0 an x
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon, és f (x) = P n akkor az f függvény Taylor-sora ∞ n=0 an x , azaz
19. Tétel. Ha a
f (n) (0) = ak n!
(k ∈ {1, 2, ...})
6
P∞
n n=0 an x ,
