Hat´ areloszl´ ast´ etelek ´ es korl´ atlanul oszthat´ o eloszl´ asok. I. r´esz Az alapvet˝ o probl´em´ ak megfogalmaz´ asa. A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik alapvet˝ o feladata a k¨ ovetkez˝o k´erd´es vizsg´alata: Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, ´es legyen Sn =
n P
ξk ,
k=1
n norm´ alt n = 1, 2, . . . , a bel˝ ol¨ uk k´esz´ıtett r´eszlet¨ osszegek sorozata. Tekints¨ uk az SnB−A n r´eszlet¨ oszegeket alkalmas norm´ al´ assal. Mikor viselkedik ezeknek a norm´ alt o¨sszegeknek az eloszl´ asa k¨ ul¨ onb¨oz˝ o nagy n sz´amokra hasonl´oan, azaz mikor van ezeknek a norm´ alt r´eszlet¨ osszegeknek hat´areloszl´asa, ha n → ∞? Hogyan ´erdemes az An ´es Bn norm´ al´ o konstansokat v´ alasztani? Milyen eloszl´ asok jelenhetnek meg hat´areloszl´ask´ent?
Ugyanez a k´erd´essorozat term´eszetes m´ odon felmer¨ ul, ha ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen ´es egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. A k´erd´es egy k¨ ovetkez˝ o term´eszetes m´ odos´ıt´ asa a k¨ ovetkez˝ o sz´eriasorozatokr´ol sz´ol´ o k´erd´es. El˝osz¨ or vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o fogalmat: Sz´ eriasorozatok definici´ oja. ξ1,1 , . . . , ξ1,n1 .. .. . . ξk,1 , . . . , ξk,nk .. .. . . k → ∞, sz´eriasorozat, ha az egy sorban lev˝ o ξk,1 . . . , ξk,nk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. (A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sorokban lev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kapcsolat´ ar´ ol nem t´etelez¨ unk fel semmit.) Legyen Sk =
nk P
j=1
ξk,j , ahol ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk , k = 1, 2, . . . sz´eriasorozat. Milyen
hat´areloszl´ast´etelt teljes´ıthetnek az Sn vagy Sn − An (normaliz´alt) r´eszlet¨ osszegek? Mi a lehets´eges hat´areloszl´as, ha az egy sorban szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nemcsak f¨ uggetlenek, hanem azonos eloszl´ as´ uak is? A k¨ ovetkez˝ o kapcsolat van f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok illetve sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeinek vizsg´alata k¨ oz¨ ott. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen (esetleg egyforma ξ eloszl´ as´ u) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. Defini´ aljuk a ξk,j = Bjk , 1 ≤ j ≤ k, sz´eriasorozatot, k = 1, 2, . . . . (Itt a Bk konstans megegyezik a r´eszlet¨ osszegek norm´ al´ as´aban szerepl˝o Bk norm´ al´ o faktorral, ´es nk = k.) Ezzel a v´ alaszt´ assal f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeinek vizsg´alata u ´gy is tekinthet˝ o, mint speci´alis sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeinek vizsg´alata. A hat´areloszl´ast´etelek vizsg´alat´aban bizonyos trivi´ alisan ´erdektelen eseteket ki akarunk z´arni. Ilyen eset a p´eld´aul a k¨ ovetkez˝ o. Legyen ξ1 = ξ, ´es ξk ≡ 0, ha k ≥ 2. Ekkor 1
´ Sn = ξ, ´es Sn1−0 → ξ, ha n → ∞. Altal´ anosabban, azt a lehet˝ os´eget akarjuk kiz´ arni, hogy az Sn r´eszlet¨ osszeg egyetlen tagja domin´ans szerepet j´ atsszon a hat´areloszl´asban. Ennek ´erdek´eben vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝o kicsis´eg fogalm´ at. Definici´ o. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyek r´eszleto ¨sszegeinek norm´ al´ as´ aban Bn a norm´ al´ asi faktor. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et, ha minden ε > 0-ra sup P (|ξj | > εBn ) < ε,
1≤j≤n
ha n > n0 (ε).
A ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk sz´eriasorozat akkor teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et, ha minden ε > 0-hoz l´etezik k0 = k0 (ε) k¨ usz¨ obindex u ´gy, hogy sup P (|ξk,j | > ε) < ε,
1≤j≤nk
ha k > k0 (ε)
minden ε > 0-ra. A tov´ abbiakban a hat´areloszl´ast´etelt az egyenletes kicsis´eget teljes´ıt˝ o sorozatok vagy sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeire vizsg´aljuk. Megfogalmazzuk a kor´ abbiakban m´ ar szerepelt klasszikus eredm´enyeket. Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. a.) F¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeire: Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen val´ on P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, Eξj = 0, Eξj2 = σj2 , j = 1, 2, . . . , Dn2 = σj2 , ´es teljes´ıtse j=1
ez a sorozat a k¨ ovetkez˝ o Lindeberg felt´etelt:
n 1 X 2 lim 2 Eξj I(|ξj | > εDn ) = 0 n→∞ Dn j=1
minden ε > 0-ra. Ekkor az Sn =
n P
ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegekre
j=1
Sn Dn
eloszl´ asban konverg´ al a standard norm´ alis eloszl´ ashoz. b.) Sz´eriasorozatok r´eszlet¨ oszegeire: Legyen ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat, k = nk P 2 2 1, 2, . . . , Eξk,j = 0, Eξk,j = σk,j , 1 ≤ k ≤ nk , k = 1, 2, . . . , Sk = ξk,j . Legyen j=1
nk P
j=1
2 Eξk,j = 1, ´es teljes¨ ulj¨ on a k¨ ovetkez˝ o Lindeberg felt´etel:
lim
k→∞
nk X j=1
2 Eξk,j I(|ξk,j | > ε) = 0
minden ε > 0 − ra.
Ekkor az Sk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz. 2
Megjegyz´es: A Lindeberg felt´etelb˝ ol k¨ ovetkezik az egyenletes kicsis´eg felt´etele. Poisson eloszl´ ashoz val´ o hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyen ξ1,1 . . . , ξ1,n1 .. .. . . ξk,1 . . . , ξk,nk .. .. . . sz´eriasorozat, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket: 1.) A ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem negat´ıv eg´esz ´ert´ekeket vesznek fel. nk P 2.) P (ξk,j = 1) = λk,j , lim λk,j = λ > 0. k→∞ j=1
3.)
sup λk,j → 0, ha k → ∞, ´es
1≤j≤nk
Ekkor az Sk =
nk P
nk P
j=1
P (ξk,j ≥ 2) → 0, ha k → ∞.
ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak a λ param´e-
j=1
ter˝ u Poisson eloszl´ ashoz, ha k → ∞. Egy kieg´esz´ıt´esben megadjuk a fenti t´etel bizony´ıt´ as´at. Az els˝ o t´ argyaland´ o k´ erd´ es Tekints¨ uk el˝ osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o k´erd´est: Legyen ξk,1 , . . . , ξk,nk olyan sz´eriasorozat, amelyben az egy sorban szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nemcsak f¨ uggetlenek, hanem egyforma nk P eloszl´ as´ uak is. Tegy¨ uk fel, hogy az Sk = ξk,j r´eszlet¨ osszegek Sk − Ak normaliz´altjai j=1
eloszl´ asban konverg´ alnak valamilyen F eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. Milyen F eloszl´ as jelenhet meg, mint hat´areloszl´as? Az al´ abbi heurisztikus gondolatmenet c´elja megindokolni a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok defini´al´ as´at, mint a lehets´eges hat´areloszl´asok csal´adj´ anak a term´eszetes jel¨oltj´et. A ξk,1 , . . . , ξk,nk sorozatot osszuk fel L darab egyforma hossz´ us´ ag´ u blokkra. (Egy k-t´ ol nem f¨ ugg˝o L sz´amot tekint¨ unk. Az, hogy nk nem felt´etlen¨ ul oszthat´o az L sz´ammal, nem okoz s´ ulyos probl´em´at. P´eld´aul felhaszn´alhatjuk azt, hogy az egyenletes kicsis´eg felt´etele miatt minden egyes sorb´ol v´eges sok (L-n´el kevesebb) tagot elhagyva nem v´ altozik a hat´areloszl´ast´etel. Ilyen m´ odon el´erhetj¨ uk azt, hogy az egyes sorok (k) (k) o blokkokban lev˝ o ξj,k tagsz´ ama L-lel oszthat´o.) Legyen η1 , . . . , ηL a k-ik sorban lev˝ (k) (k) Ak val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszege minusz L . Ekkor η1 , . . . , ηL f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es (k) (k) asban. η1 + · · · + ηL ⇒ S eloszl´ V´egrehajtva a k → ∞ hat´ar´ atmenetet, kapjuk, hogy ∆
η1 + · · · + ηL = S 3
∆
ahol = eloszl´ asban val´ o azonoss´agot jel¨ol, ´es η1 , . . . , ηL f¨ uggetlen egyforma eloszl´ as´ u (k) osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, amelyek eloszl´ asa megegyezik az η1 val´ hat´areloszl´as´aval, amikor k → ∞. (Ez a l´ep´es val´ oj´aban r´eszletesebb indokl´ ast ig´enyelne. (k) osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konA f˝ o probl´ema annak indokl´ asa, hogy az η1 val´ verg´alnak, illetve el´eg annyit megmutatni, hogy ennek a sorozatnak van konvergens r´eszsorozata.) Definici´ o. Egy F eloszl´ as, (illetve egy F eloszl´ as´ u S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o) korl´ atlanul oszthat´ o, ha tetsz˝ oleges L eg´esz sz´ amra l´eteznek olyan f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u η1 , . . . , ηL val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, amelyekre az η1 + · · · + ηL o ¨sszeg F eloszl´ as´ u. EkvivalensR definici´ o. Egy F eloszl´ as akkor ´es csak akkor korl´ atlanul oszthat´ o, ha anitx nak ϕ(t) = e F ( dx) karakterisztikus f¨ uggv´eny´ere ´es tetsz˝ oleges L pozit´ıv eg´esz sz´ amra az ω(·)L = ϕ(·) f¨ uggv´enyegyenlet megoldhat´ o, ahol ω(·) karakterisztikus f¨ uggv´eny. Vizsg´ aland´ o k´ erd´ esek: a.) Korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok jellemz´ese. b.) Annak bizony´ıt´ asa, hogy csak a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok l´epnek fel hat´areloszl´ ask´ent. K´ es˝ obb vizsg´ aland´ o k´ erd´ es: Ha ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok norm´ alt r´eszlet¨ osszegeinek hat´areloszl´as´at vizsg´aljuk, akkor hasonl´o indokol´ assal term´eszetess´e v´ alik a korl´atlanul oszthat´o eloszl´ asok egy fontos aloszt´ aly´ anak, a stabilis eloszl´ asoknak a bevezet´ese. Definici´ o. Egy F eloszl´ as stabilis, ha tetsz˝ oleges L pozit´ıv eg´esz sz´ amhoz megadhat´ ok olyan AL ´es BL norm´ al´ o konstansok, amelyekre igaz az, hogy az FL (x) = F (BL x + AL ) eloszl´ asokra FL ∗ · · · ∗ FL = F. (∗) | {z } L-szeres konvul´ uci´ o
Ekvivalens megfogalmaz´ asban: Ha η1 , η2 , . . . f¨ uggetlen F eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ alto∆ (η1 −AL )+···+(ηL −AL ) , vagy m´ as megfogalmaz´ asban: z´ ok, akkor η1 = BL ϕ(t) =
−tAL /BL
e
ϕ
t BL
L
,
R ∆ ahol ϕ(t) = eitx F (dx) az F eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´enye. (E definici´ oban = szint´en eloszl´ asban val´ o azonoss´ agot jel¨ ol.) Val´ oj´ aban azt is megk¨ ovetelj¨ uk, hogy az α FL f¨ uggv´enyben szerepl˝ o BL norm´ ao ´ tag BL = L alak´ u sz´ am legyen valamely α > 0 sz´ ammal, de m´elyebb vizsg´ alatok azt mutatj´ ak, hogy csak ilyen norm´ al´ o tagggal teljes¨ ulhet a (∗) formula. 4
Vizsg´ aland´ o k´ erd´ esek: a.) A stabilis eloszl´ asok ´es a definici´ ojukban szerepl˝o AL ´es BL norm´ al´ o faktorok jellemz´ese. b.) Stabilis eloszl´ asok vonz´asi tartom´any´ anak megad´asa, ´es az el˝ ofordul´ o hat´areloszl´ast´etelekben szerepl˝o norm´ al´ o faktorok megad´asa. P´ eld´ ak korl´ atlanul oszthat´ o´ es stabilis eloszl´ asokra. a.) Norm´ alis eloszl´ as. Ez korl´ atlanul oszthat´o, s˝ot stabilis eloszl´ as. Egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u σ 2 sz´or´ asn´egyzet˝ u η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa megegyezik L darab 2 f¨ uggetlen 0 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u σL sz´or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszeg´enek az η √ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval. Ezen ¨ osszeadand´ ok eloszl´ asa megegyezik az L val´ √ eloszl´ as´aval. Teh´ at η eloszl´ asa stabilis, AL = 0 ´es BL = L v´ alaszt´ assal. b.) Poisson eloszl´ as. Ez korl´ atlanul oszthat´o, de nem stabilis eloszl´ as. Mivel k´et f¨ uggetlen λ ´es µ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszege λ + µ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ez´ert egy λ param´eter˝ u Poisλ son eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa megegyezik L darab f¨ uggetlen L param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ¨ osszeg´enek az eloszl´ as´aval. Ez´ert λ a Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok korl´ atlanul oszthat´oak. Viszont egy L param´eter˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nem ´ırhat´ o fel egy λ param´eter˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o line´aris transzform´ altjak´ent, ´es a Poisson eloszl´ as nem stabilis. A fenti k´et p´elda a legfontosabb p´elda a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asokra. Egy´eb p´eld´ ak: 1 a.) A Cauchy eloszl´ as. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f (x) = π(1+x es karakterisztikus 2) ´ L L f¨ uggv´enye ϕ(t) = e−|t| . Mivel e−|t| = e−|t|/L , azaz ϕ(t) = ϕ Lt , a Cauchy eloszl´ as stabilis AL = 0 ´es BL = L v´ alaszt´ assal. b.) Γ-eloszl´ asok. Ezen eloszl´ asok s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 1 ν ν−1 −αx α x e ha x ≥ 0 fα,ν (x) = Γ(ν) , 0 ha x < 0 R∞ ahol α > 0, ν > 0 k´et param´eter, Γ(t) = 0 xt−1 e−x dx a Γ f¨ uggv´eny. N´emi sz´amol´ assal l´athat´ o, hogy fα,µ+ν = fα,µ ∗ fα,ν , ez´ert
fα,ν = fα, Lν ∗ · · · ∗ fα, Lν , | {z } L-szeres konvoluci´ o
ez´ert fα,ν korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as. Be lehet l´atni, hogy egy fα,ν (x) s˝ ur˝ ut −ν s´egf¨ uggv´eny˝ u eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´enye ϕα,ν (t) = (1 − i α ) , ´es innen k¨ ovetkezik a fenti konvoluci´ okra fel´ırt azonoss´ag. A korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok csal´adja pontosan le´ırhat´ o. Ezt a le´ır´ast a L´evy– Hincsin formula adja meg. Ennek form´alis megfogalmaz´asa el˝ ott megadjuk e formula 5
szeml´eletes val´ osz´ın˝ us´egi tartalm´ at. Nevezetesen megmutatjuk, hogy f¨ uggetlen Poisson ´es norm´ alis eloszl´ as´ u korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok seg´ıts´eg´evel term´eszetes m´ odon u ´j korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok konstru´ alhat´ oak, ´es ezek eloszl´ asa megadja az ¨ osszes (L´evy–Hincsin formula ´ altal le´ırt) korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ ast. Korl´ atlanul oszthat´ o eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok konstrukci´ oja. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha ξ1 , · · · , ξk f¨ uggetlen, korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, akkor α1 ξ1 + · · · + αk ξk + A line´aris kombin´aci´o szint´en korl´ atlanul oszthat´o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Tov´ abb´a, ha Fn korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok sorozata, Fn ⇒ F , ahol ⇒ eloszl´ asbeli konvergenci´ at jelent, akkor F is korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as. Val´ oban, fel´ırva tetsz˝oleges L pozit´ıv eg´esz sz´amra az Fn = Gn,L ∗ · ∗ Gn,L azonos{z } | L-szeres konvol´ uci´ o GL ∗ ·
s´agban elv´egezve az n → ∞ hat´ar´ atmenetet megkapjuk a k´ıv´ant F =
|
∗G {z L}
L-szeres konvol´ uci´ o
azonoss´agot. Val´ oj´aban ennek a hat´ar´ atmenetnek a v´egrehajthat´os´ aga indokl´ asra szorul. Viszont ezt az ´ all´ıt´ ast csak olyan speci´alis esetben fogjuk alkalmazni az al´ abb ismertetett konstrukci´ oban, amikor a limeszel´es jogoss´aga k¨ onnyebben igazolhat´o. A Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okkal v´egrehajtand´o konstrukci´ o k¨ onnyebben megtehet˝o Poisson folyamatok seg´ıts´eg´evel. Ez´ert felid´ezz¨ uk a k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt, amelynek megadjuk az egyik lehets´eges bizony´ıt´ as´at t´argyal´ asunk v´eg´en egy kieg´esz´ıt´esben. T´ etel. Legyen (X, A, µ) m´erhet˝ o t´er µ σ-v´eges m´ert´ekkel. Ekkor l´etezik Poisson mez˝ o µ sz´ aml´ al´ o m´ert´ekkel. Pontosabban meg lehet adni egy (Ω, B, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ ot, azon egy ξ(ω), ω ∈ Ω, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot, amely ´ert´ekeit az X halmaz megsz´ aml´ alhat´ o r´eszhalmazain veszi fel (a ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m´erhat˝ os´ege azt jelenti, hogy minden A ∈ A halmazra ´es k nem negat´ıv eg´esz sz´ amra {ω : #{ξ(ω) ∩ A} = k} ∈ B) u ´gy, hogy teljes¨ ulnek a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agok: 1.) Tetsz˝ oleges v´eges m´ert´ek˝ u halmazban 1 val´ osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok kijel¨ olt pont van. 2.) Ha A1 ∈ A, A2 ∈ A, . . . , Ak ∈ A diszjunkt halmazok, µ(Aj ) < ∞, j = 1, . . . , k, akkor az A1 , . . . , Ak , halmazokba es˝ o kijel¨ olt pontok sz´ ama f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ(Aj ), j = 1, . . . , k, param´eterrel. Legyen µ olyan σ-v´eges m´ert´ek a R\{0} halmazon, (R a tov´ abbiakban a sz´amegyenest jel¨oli), ´es legyen x1 (ω), x2 (ω), . . . Poisson mez˝ o az (R\{0}, A) t´eren µ sz´aml´al´ o m´er∞ P xn (ω) t´ekkel. (Itt A a Borel σ-algebr´at jel¨oli.) Azt szeretn´enk bel´ atni, hogy a ξ(ω) = n=1
¨sszeg, azaz a Poisson mez˝ o o´ altal megjel¨olt pontok koordin´ at´ ainak az ¨osszege korl´ atlanul oszthat´o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Ugyanis, tetsz˝oleges pozit´ıv eg´esz L-re tekints¨ unk L j j ot a (R \ {0}, A) t´eren darab f¨ uggetlen (y1 (ω), y2 (ω), . . . ), j = 1, 2, . . . , L Poisson mez˝ ∞ P µ ynj (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Azt aml´al´ o m´ert´ekkel, ´es defini´aljuk az ηj = L sz´ n=1
v´ arjuk, hogy a ξ(ω) ´es η1 (ω) + · · · + ηL (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa megegyezik, hiszen az η1 (ω) + · · · + ηL (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nem m´ as mint az o¨sszes ynj (ω), 6
n = 1, 2, . . . , j = 1, . . . , L, koordin´ at´ ak ¨ osszege. Viszont az ynj (ω) Poisson mez˝ ok egyes´ıt´ese Poisson mez˝ o µ sz´aml´al´ om´ert´ekkel, hiszen tetsz˝oleges A halmazba es˝o pontok µ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszege. sz´ama L darab f¨ uggetlen L param´eter˝ A fenti heurisztikus gondolatmenetben az okoz gondot, hogy a ξ(ω)-t ´es ηj (ω)-t defini´al´ o v´egtelen ¨ osszeg nem felt´etlen¨ ul ´ertelmes. Bel´ atjuk, hogy ha a µ m´ert´ekre alkalmas feltev´est tesz¨ unk, ´es a fent defini´alt ¨ osszeget megfelel˝ oen regulariz´ aljuk, akkor a fenti heurisztika pontoss´ a tehet˝ o. Tov´ abb´a, mint a k´es˝obb megfogalmazand´ o L´evy– Hincsin formula mutatja, az ´ıgy kapott val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asai a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asf¨ uggv´enyek el´eg gazdag csal´adj´ at adj´ ak. Tegy¨ uk fel, hogy a µ m´ert´ek teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´etelt: µ([a, ∞)) < ∞ µ((−∞, −a]) < ∞ Z a Z 0 2 x µ( dx) < ∞, x2 µ( dx) < ∞ 0
minden a > 0-ra.
(∗∗)
−a
Defini´ aljuk az ξN (ω) =
P
xn (ω) v´eletlen tagsz´ am´ u o¨sszeget minden N =
n : |xn (ω)|>2−N
0, 1, . . . -ra. Ezek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ertelmesek, mert µ((−∞, −2−N ) ∪ (2−N , ∞)) < ∞ miatt ez a halmaz egy val´ osz´ın˝ us´eggel a tekintett Poisson mez˝ onek csak v´eges sok tagj´ at tartalmazza. Ez´ert a ξN (ω)-t defini´al´ o ¨ osszeg egy val´ osz´ın˝ us´eggel v´eges sok tagb´ ol all. Azt a´ll´ıtjuk tov´ ´ abb´a, hogy a ξ(ω) = lim ξN (ω) − (EξN (ω) − Eξ1 (ω)) limesz N →∞
egy val´ osz´ın˝ us´eggel l´etezik. Mivel ξN (ω) − (EξN (ω) − Eξ1 (ω)) = ξ0 (ω) + ζk (ω) = ζk′ (ω) − Eζk′ (ω),
el´eg bel´ atni, hogy a
∞ P
´es
ζk′ (ω) = n:
X
N P
ζk (ω), ahol
k=0
ξn (ω),
2−k <|ξn (ω)|≤2−k−1
ζk (ω) egy val´ osz´ın˝ us´eggel konverg´al. Viszont a ζk val´ osz´ın˝ us´egi
k=0
v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. (Diszjunkt halmazokba es˝o pontok koordin´ at´ ait adjuk o¨ssze, ´es egy Poisson mez˝ o diszjunkt halmazaiban bek¨ovetkez˝ o esem´enyek f¨ uggetlenek egym´ ast´ol.) Ez´ert a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik klasszikus eredm´enye (a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszegeinek konvergenci´ aj´anak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel´et megad´o h´arom ∞ P sor t´etel, pontosabban annak k¨ onnyebb fele) alapj´ an el´eg bel´ atni azt, hogy Var ζk < k=0
∞. (A ζk definici´ oja alapj´ an Eζk = 0.) A k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg viszont k¨ ovetkezik a (∗∗) rel´ aci´ob´ ol ´es a k¨ ovetkez˝ o lemm´ab´ ol. Lemma. Legyen µ v´eges m´ert´ek egy v´eges (a, b] intervallum Borel m´erhet˝ o halmazainak A σ-algebr´ aj´ an. Legyen x1 (ω), . . . , xk(ω) (ω) (v´eletlen k = k(ω)-val) Poisson mez˝ o 7
((a, b], A)-n µ sz´ aml´ al´ o m´ert´ekkel, S(ω) = ES =
Z
k(ω) P
xj (ω). Ekkor
j=1
b
xµ( dx),
Var S =
a
Z
b
x2 µ( dx).
a
Tov´ abb´ a az S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmusa, (amelyik l´etezik) minden t ∈ R-re teljes´ıti a log Ee
itS
=
Z
b
eitx − 1 µ( dx)
a
azonoss´ agot. Megjegyz´es: A lemm´aban besz´elt¨ unk karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ ar´ ol. Jegyezz¨ uk meg, hogy ha egy ϕ(·) karakterisztikus f¨ uggv´eny egy az orig´ot tartalmaz´ o [A, B] intervallumban sehol sem egyenl˝o null´ aval, akkor term´eszetes m´ odon defini´alhat´ o e karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmusa ebben az [A, B] intervallumban. Azt kell meg´erteni, hogy b´ar egy komplex sz´am logaritmusa nincs egy´ertelm˝ uen meghat´ arozva, mert ha z1 = log z, akkor a log z = z1 + i2kπ rel´ aci´o tetsz˝oleges k eg´esz sz´amra teljes¨ ul, a ϕ(·) karakterisztikus f¨ uggv´eny ψ(t) = log ϕ(t) logaritmus´ at a k¨ ovetkez˝ o m´ odon term´eszetes defini´alni a fenti felt´etelek mellett az [A, B] intervallumon: Egyr´eszt megk¨ ovetelj¨ uk, ψ(t) hogy e = ϕ(t), A ≤ t ≤ B, m´ asr´eszt legyen ψ(t) folytonos f¨ uggv´eny az [A, B] intervallumon, amelyre ψ(0) = 0. Teh´ at egy folytonoss´agi megk¨ ot´essel v´ alasztjuk ki a logaritmus f¨ uggv´eny megfelel˝ o´ ag´ at. A Lemma ´es (∗∗) alapj´ an ∞ X
k=0
Var ζk =
∞ Z X
k=0
2
x µ( dx) =
Z
0<|x|≤1
2−k−1 <|x|≤2−k
x2 µ( dx) < ∞,
ahonnan k¨ ovetkezik a k´ıv´ant konvergencia. A lemma bizony´ıt´ asa: Ha a µ m´ert´ek v´eges sok u1 , . . . , un pontba van koncentr´ alva n P µ(uj ) = µj , j = 1, . . . , n, µj = 1, akkor S = u1 Z1 + · · · + un Zn , ahol Z1 , . . . , Zn j=1
f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ1 , . . . , µn param´eterekkel. Ez´ert ebben az esetben Z X X ES = uj EZj = uj µj = xµ( dx) Z X X 2 2 uj µj = x2 µ( dx) Var S = uj Var Zj = Z X X itS ituj Zj ituj eitx − 1 µ( dx). log Ee = log Ee = µj e −1 = 8
Ha µ tetsz˝oleges v´eges m´ert´ek (a, b]-n, akkor r¨ogz´ıts¨ unk egy T > 0 eg´esz sz´amot, ´es b−a legyen µT az az a + T t, t = 1, . . . , T pontokba koncentr´ alt m´ert´ek, amelyre b−a b−a b−a t =µ a+ (t − 1), a + t . µT a + T T T Ha x1 (ω), . . . , xk(ω) (ω) Poisson folyamat ((a, b], A)-n µ sz´aml´al´ o m´ert´ekkel, akkor defib−a b−a ni´ aljuk az xj,T (ω) = a + T tj , ha a + T (tj − 1) < xj (ω) ≤ a + b−a T tj , 1 ≤ j ≤ k(ω) pontfolyamatot. Ekkor x1,T (ω), . . . , xk(ω),T Poisson mez˝ o ((a, b], A)-n µT sz´aml´al´ o m´ert´ekkel. k(ω) P Legyen ST (ω) = xj,T (ω). Ekkor ST (ω) → S(ω), ha T → ∞. Ez´ert j=1
lim EST = ES,
T →∞
lim Var ST = Var S
´es
T →∞
lim log EeitEST = log EeitES ,
T →∞
´es T → ∞ hat´ar´ atmenettel megkapjuk a lemma ´ all´ıt´ as´at tetsz˝oleges v´eges µ m´ert´ekre. Megjegyz´es: A karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ ara adott k´eplet ´erv´enyes a = −∞ ´es b = ∞ eset´en is, ha µ([a, b]) < ∞. Val´ oban, ha alkalmazzuk a formul´ at olyan, (an , bn ] intervallumra, amelyre −∞ < an < bn < ∞, an → a ´es bn → b, akkor n → ∞ hat´ar´ atmenettel megkapjuk a formul´ at az ´ altal´ anos esetben is. A lemma seg´ıts´eg´evel megadhatjuk a fent konstru´ alt ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmus´ at. Nevezetesen, Z itξ eitx − 1 − itA(x) µ( dx), log ϕ(t) = log Ee = R\{0}
ahol µ egy a (∗∗) felt´etelt teljes´ıt˝ o m´ert´ek, ´es A(x) = 1, ha |x| ≤ 1, ´es A(x) = 0, ha |x| > 1. ∞ P Ezt a k´epletet a k¨ ovetkez˝ ok´epp igazolhatjuk: Mivel ξ(ω) = ξ0 (ω) + ζk (ω), k=0
´es az ¨ osszegben szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ez´ert ξ(ω) karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmus´ at megkapjuk, ha ¨ osszegezz¨ uk az egyes tagok karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmus´ at. Tov´ abb´a, a Lemma alapj´ an log Ee
itζk
= log E
itζk′
−
itEζk′
=
Z
2−k
2−k−1
eitx − 1 − itx µ( dx).
A ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat kiss´e ´ altal´ anosabb m´ odon is defini´alhatjuk. Legyen A(N ) → 0, B(N ) → ∞, ha N → ∞, 0 < A(N ) < 1 < B(N ) ≤ P ∞, tetsz˝oleges xn (ω) monoton, determinisztikus sorozat, vezess¨ uk be a ξN (ω) = n : A(N )<|xn (ω)|
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altozokat, ahol xn (ω) Poisson mez˝ o az (R \ {0}, A) t´eren µ sz´aml´al´ o 9
m´ert´ekkel, ´es µ egy a (∗∗) felt´etelt teljes´ıt˝ o m´ert´ek. Ekkor egy val´ osz´ın˝ us´eggel l´etezik a k¨ ovetkez˝ o regulariz´alt ¨ osszeg: ξ(ω) = lim Reg ξN (ω) N →∞ X = lim N →∞
xn (ω) − E
n : A(N )<|xn (ω)|
X
xn (ω) .
n : A(N )<|xn (ω)|<1
Hasonl´ oan defini´alhatunk tetsz˝oleges pozit´ıv eg´esz L sz´amra L darab f¨ uggetlen ηL (ω) µ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot, mint L darab f¨ uggetlen a R \ {0}, A) t´eren L sz´aml´al´ o m´ert´ekkel defini´alt Poisson mez˝ o pontjai koordin´ at´ ainak seg´ıts´eg´evel defini´alt regul´ aris o¨sszeget. ∆ ∆ Ekkor η1 + · · · + ηL = ξ, ahol = eloszl´ asban val´ o konvergenci´ at jel¨ol. Ez´ert ξ korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. ´ Ujabb korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot kapunk, ha a fent konstru´ alt ξ(ω) helyett ´ altal´ anosabb, ξ(ω) + η(ω) + D alak´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot tekint¨ unk, 2 ahol η a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol f¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u σ ≥ 0 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es D konstans. Ennek az u ´j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmusa σ 2 t2 log ϕ(t) ¯ = log ϕ(t) − + itD = 2
Z
R\{0}
σ 2 t2 eitx − 1 − itA(x) µ( dx) − + itD, 2
alak´ u, ahol ϕ(t) a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye. A L´evy–Hincsin formula l´enyeg´eben azt mondja ki, hogy a fenti k´eplet megadja az osszes korl´ ¨ atlanul oszthat´o eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek logaritmus´ at, ´es egy karakterisztikus f¨ uggv´eny fent megadott reprezent´aci´oj´aban szerepl˝o µ(·) m´ert´ek ´es σ 2 ´es D sz´amok egy´ertelm˝ uen meghat´ arozottak. A L´evy–Hincsin formul´ at az irodalomban t¨obb, k¨ ul¨ onb¨oz˝ o ekvivalens m´ odon fogalmazt´ak meg. Ennek a formul´ anak nincsen kit¨ untetett, ,,legjobb alakja”. A tov´ abbi el˝ oad´asokban William Feller An Introduction to the Probability Theory and Its Application II. k¨ onyv 17. fejezet´eben le´ırt t´argyal´ asm´odot fogjuk k¨ ovetni. Ez´ert a L´evy–Hincsin formul´ at a Feller k¨ onyvben le´ırt m´ odon fogalmazzuk meg, ´es megmutatjuk, hogy az ott szerepl˝o reprezent´aci´o ekvivalens az a´ltalunk megadottal. A Feller k¨ onyvben megfogalmazott eredm´eny kimond´as´ahoz sz¨ uks´eg van a k¨ ovetkez˝ o definici´ ora. Definici´ o. A sz´ amegyenes Borel σ-algebr´ aj´ an defini´ alt M m´ert´ek kanonikus m´ert´ek, ha tetsz˝ oleges v´eges [a, b] ⊂ R intervallum M {[a, b]} m´ert´eke v´eges, ´es tetsz˝ oleges a > 0 sz´ amra Z −a Z ∞ 1 1 M ( dx) < ∞, ´es M ( dx) < ∞. 2 2 x −∞ x a T´ etel. L´ evy–Hincsin formula. as akkor ´es csak akkor korl´ atlanul osztR itx Egy F eloszl´ hat´ o, ha az eloszl´ as ϕ(t) = e F ( dx) karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek van logaritmusa, 10
´es az a k¨ ovetkez˝ o alakban ´ırhat´ o fel: log ϕ(t) =
Z
∞
−∞
eitx − 1 − it sin x M ( dx) + itB, x2
ahol M kanonikus m´ert´ek. Az F korl´ atlanul oszthat´ o eloszl´ as egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza a karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek logaritmus´ at el˝ oa ´ll´ıt´ o k´epletben az M kanonikus m´ert´eket ´es a B val´ os sz´ amot. Megjegyz´es: A fenti k´epletben az integrandus ´ert´ek´et az orig´oban u ´gy defini´aljuk, mint t2 az integrandus folytonos kiterjeszt´es´et az orig´oba, azaz ´ert´eke − 2 . Ez´ert, az orig´obeli 2 osszehasonl´ıtva a L´evy–Hincsin formula r´esz hozad´eka az integr´alhoz −M (0) t2 . ´Igy ¨ altalunk ´es a Feller k¨ ´ onyv ´ altal megadott alakj´ at, kapjuk, hogy M (0) = σ 2 , ´es ez adja meg a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as norm´ alis komponens´et. Tov´ abb´a, a µ(dx) = x2 M (dx), x ∈ R\{0}, definici´ oval l´athatjuk, hogy a µ akkor ´es csak akkor teljes´ıti a (∗∗) felt´etelt, ha az ˝ ot defini´al´ o k´epletben szerepl˝o M (·) egy kanonikus m´ert´ek megszor´ıt´ asa ´ R \ {0}-ra. At´ırva az ´ altalunk megadott integr´alt µ m´ert´ek helyett M m´ert´ek szerinti integr´alra, azt kapjuk, hogy a kapjuk, hogy a Rkarakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ ara ∞ A(x)−sin x M ( dx) + i(B − D)t. Az adott k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝ o reprezent´aci´o k¨ ul¨ onbs´ege −∞ it x2 ebben a formul´ aban szerepl˝o integr´al v´eges, mert sup |A(x) − sin(x)| < ∞,
´es
x6=0
A(x) − sin x = 0. x→0 x2 lim
Ez´ert az B vagy D konstans alkalmas v´ alaszt´ as´aval a k´et kifejez´es k¨ ul¨ onbs´ege null´ av´a tehet˝ o. Az a´ltalunk, illetve a Feller k¨ onyvben szerepl˝o reprezent´aci´o k¨ ul¨ onbs´ege a µ illetve M m´ert´ek haszn´ alat´an k´ıv¨ ul abb´ol ad´ odik, hogy az ´ altal´ anos korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok el˝ o´all´ıt´ as´aban egy limeszel´est is v´egre kell hajtani, ´es ez csak bizonyos regulariz´ aci´o seg´ıts´eg´evel lehets´eges. A regulariz´aci´o maga nem egy´ertelm˝ u, ´es az, hogy mi a ,,term´eszetes regulariz´aci´o” az az alkalmazott m´ odszert˝ol f¨ ugg. V´eg¨ ul jegyezz¨ uk meg, hogy hasonl´oan l´athat´ o, hogy az ´ altalunk defini´alt A(x) helyettes´ıthet˝ oa ha |x| ≤ a x τ (x) = τa (x) = a ha x ≥ a −a ha x ≤ −a
uggv´ennyel a L´evy–Hincsin formul´ aban, azaz egy F korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as ϕ(t) = Rf¨ eitx F ( dx) karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a logaritmusa a k¨ ovetkez˝ o alakban is fel´ırhat´o: Z ∞ itx e − 1 − itτ (x) M ( dx) + itB, log ϕ(t) = x2 −∞ Mi a m´ asodik r´eszben a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asoknak ezt a jellemz´es´et fogjuk haszn´ alni. A τ (·) f¨ uggv´eny haszn´ alat´anak az az el˝ onye az A(·) f¨ uggv´ennyel szemben, 11
hogy τ (·) folytonos (´es korl´ atos) f¨ uggv´eny, ´es ez egyszer˝ ubb´e teszi bizonyos hat´ar´ atmenetek elv´egz´es´et. (Eml´ekeztet˝ ou ¨l: Eloszl´asok akkor ´es csak akkor konverg´ alnak egy hat´areloszl´ashoz, ha minden folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´enynek a v´ arhat´ o ´ert´eke ezen eloszl´ asok szerint konverg´al ennek a f¨ uggv´enynek a hat´arm´ert´ek szerinti v´ arhat´ o ´ert´ek´ehez.) Megjegyz´ esek: 1. Korl´ atlanul oszthat´ o folyamatok Tekints¨ unk egy F korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as´ u Gauss komponenst nem tartalmaz´ o R val´ osz´ın˝ us´egi eloszl´ ast. Ekkor az F f¨ uggv´eny ϕ(t) = eitx F ( dx) karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek logaritmusa a L´evy–Hincsin formula alapj´ an fel´ırhat´ o log ϕ(t) =
Z
x6=0
(eitx − 1 − itA(x))µ( dx) + iDt
alakban, ahol a µ m´ert´ek teljes´ıti a (∗∗) felt´etelt, A(t) = 1, ha |t| ≤ 1, ´es A(t) = 0, ha |t| > 1. A korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asokat le lehet ´ırni vagy a fenti m´ odon vagy egy kanonikus M m´ert´ek seg´ıts´eg´evel a L´evy–Hincsin formula ´ altalunk illetve a Feller k¨ onyv altal le´ırt form´aj´aban. A k´et jellemz´es ekvivalens. A tov´ ´ abbiakban k´enyelmesebbnek l´atszik a µ m´ert´ekkel dolgozni az M m´ert´ek helyett. A f˝ o r´eszben ismertetett konstrukci´ o alapj´ an egy Poisson mez˝ o seg´ıts´eg´evel konstru´ltunk egy F eloszl´ a as´ u ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot. Megmutatjuk, hogy a konstrukci´ o n´emi m´ odos´ıt´ as´aval olyan ξ(t) = ξ(t, ω), 0 ≤ t < ∞, sztochasztikus folyamatot is tudunk konstru´ alni, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´agokat: 1. ξ(1, ω) F eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. 2. ξ(t, ω) f¨ uggetlen ´es stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u folyamat, azaz tetsz˝oleges 0 < t1 < t2 < · · · < tk sz´amokra, ξ(0) ≡ 0, a ξ(t1 ), ξ(t2 ) − ξ(t1 ), . . . , ξ(tk ) − ξ(tk−1 ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es tetsz˝oleges 0 ≤ s, t < ∞-re a ξ(t + s) − ξ(t) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa nem f¨ ugg t-t˝ ol. 3. Majdnem minden ω-ra a ξ(·, ω) trajekt´oria minden pontban jobbr´ol folytonos, ´es minden pontban l´etezik a trajekt´ori´ anak baloldali hat´ar´ert´eke is. Az irodalomban az ilyen folyamatokat cadlag (continue ` a droite, limite ` a gauche) folyamatoknak h´ıvj´ ak. Megjegyz´es: L´etezik olyan f¨ uggetlen ´es stacion´arius n¨ovekem´eny˝ u W (t, ω), t ≥ 0, Gauss folyamat, amely 1 val´ osz´ın˝ us´eggel folytonos trajekt´ori´ aj´ u, W (0, ω) ≡ 0, ´es W (1, ω) standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Az ilyen folyamatot az irodalomban Wiener folyamatnak h´ıvj´ ak. Egy ´ altal´ anos korl´ atlanul oszthat´o F eloszl´ as be´agyazhat´o egy az el˝ obb felsorolt 1.—3. tulajdons´agokkal rendelkez˝ o ξ(t, ω), ´es egy t˝ole f¨ uggetlen σ-val megszorzott Wiener folyamat ¨ osszeg´ebe. Ez azt jelenti, hogy az ´ıgy konstru´ alt folyamat ´ert´eke a t = 1 helyen F eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A konstrukci´ oban szerepl˝o µ m´ert´eket ´es σ konstanst a L´evy–Hincsin formula hat´arozza meg. A korl´ atlanul 12
oszthat´o eloszl´ asok sok tulajdons´aga jobban meg´erthet˝o, ha ezt az eloszl´ ast be´agyazzuk egy ilyen korl´ atlanul oszthat´o folyamatba. A k´ıv´ant tulajdons´ag´ u folyamatot a k¨ ovetkez˝ o m´ odon konstru´ alhatjuk meg. Legyen + µ ¯ = µ × λ a µ m´ert´ek ´es az R = {t : t ≥ 0} pozit´ıv f´elegyenesen defini´alt Lebesgue m´ert´ek direkt szorzata az (R \ {0} × R+ , A) t´eren, ahol A a Borel σ-algebr´at jel¨oli, ´es (2) (1) (2) (1) tekints¨ unk egy (x1 (ω), x2 (ω), . . . ) = ((x1 (ω), x1 (ω)), (x2 (ω), x2 (ω)), . . . ) Poisson mez˝ ot a (R \ {0} × R+ , A) t´eren µ ¯ sz´aml´al´ o m´ert´ekkel. Tekints¨ unk a magyar´ azatban szerepl˝o regulariz´aci´ohoz hasonl´on alkalmas monoton cs¨okken˝ o A(N ) → 0 sorozatot. Az ott le´ırt elj´ar´ ashoz hasonl´oan defini´aljuk a ξ(t, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat szimult´an minden t ≥ 0-ra azzal a k¨ ul¨ onbs´eggel, hogy B(N ) = ∞-t v´ alasztunk, azaz ezek a korl´ atok nem jelennek meg a definici´ oban, tov´ abb´a + az ¨ osszegez´esben az xn (ω) ∈ R \ {0} × R pontok els˝ o koordin´ at´ ait o¨sszegezz¨ uk, ´es a ξ(t, ω) definici´ oj´aban csak azokat az xn (ω) mintapontokat vessz¨ uk figyelembe, amelyeknek m´ asodik koordin´ at´ aja kisebb vagy egyenl˝o mint t. R´eszletesebben: ξ(t, ω) = lim Reg ξN (t, ω) N →∞ = lim N →∞
X
x(1) n (ω) − E
n : A(N )<|x(1) n (ω)| x(2) (ω)≤t n
X
x(1) (ω) . n
n : A(N )<|x(1) n (ω)|<1 x(2) (ω)≤t n
A f˝ o r´eszben ismertetett ´ervel´esb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden r¨ogz´ıtett t ≥ 0-ra a lim Reg ξN (t, ω) hat´ar´ert´ek egy val´ osz´ın˝ us´eggel l´etezik. Tov´ abb´a a Reg ξN (t, ω), N →∞
t ≥ 0, folyamat teljes´ıti az 1.—3. tulajdons´agokat. Az 1. ´es 2. tulajdons´ag a Poisson mez˝ o f¨ uggetlens´egi ´es a m´ asodik koordin´ ata szerinti eltol´ asinvari´ ans tulajdons´ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik. Az ut´ obbi tulajdons´ag a Lebesgue m´ert´ek eltol´ asinvari´ ans tulajdons´ag´ anak a k¨ ovetkezm´enye. A 3. tulajdons´agot, mivel a Reg ξN (t, ω) folyamat stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u, el´eg 0 ≤ t ≤ 1 eset´en bel´ atni. Ez viszont az´ert igaz, mert a ((−∞, −A(N )) ∪ (A(N ), ∞)) × [0, 1] tartom´anyban az ´ altalunk tekintett Poisson mez˝ o csak v´eges sok pontot tartalmaz. Ez´ert a Reg ξN (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1 trajekt´ori´ anak csak v´eges sok ugr´ashelye van, ahol a trajekt´oria jobbr´ol folytonos. Egyszer˝ u N → ∞ hat´ar´ atmenettel kapjuk, hogy az 1. ´es 2. tulajdons´agot a ξ(t, ω) folyamat is teljes´ıti. A 3. tulajdons´agot el´eg 0 ≤ t ≤ 1-re bel´ atni. Tov´ abb´a, felhaszn´alva szabads´ a gunkat az A(N ) sorozat megv´ a laszt´ a s´ a ban, v´ a lasszuk ezt a sorozatot u ´gy, hogy R 2 −N x µ( dx) ≤ 4 . {x : 0<|x|
Vegy¨ uk ´eszre, hogy a Reg ξN (t, ω) − Reg ξN +1 (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, folyamat 0 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u folyamat minden N ≥ 1-re, amelyre Z 2 E (Reg ξN +1 (1, ω) − Reg ξN (1, ω)) = x2 µ( dx) ≤ 4−N . {x : A(N +1)<|x|
13
Ez´ert a Kolmogorov egyenl˝otlens´eg alapj´ an −N/2 P sup |Reg ξN +1 (t, ω) − Reg ξN (t, ω)| ≥ 2 0≤t≤1 Z N x2 µ( dx) ≤ 2−N . ≤2 {x : 0<|x|
Mivel a fenti becsl´esek jobboldal´ an szerepl˝o kifejez´esek ¨ osszege konvergens, ´es ξ(t, ω) = Reg ξ1 (t, ω) +
∞ X
N =1
[Reg ξN +1 (ω) − Reg ξN (t, ω)] ,
ez´ert a Borel–Cantelli lemm´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy hogy majdnem minden ω-ra 2−N/2 sup |ξ(t, ω) − Reg ξN (t, ω)| ≤ √ 2−1 0≤t≤1
ha N ≥ N0 (ω).
Az utols´ o rel´ aci´o seg´ıts´eg´evel N → ∞ hat´ar´ atmenet adja, hogy nemcsak a Reg ξN (t, ω), hanem a ξ(t, ω) folyamat is teljes´ıti a 3. tulajdons´agot. Ugyanis innen k¨ ovetkezik, hogy egy olyan ω pontban, amely teljes´ıti ezt a felt´etelt, tetsz˝oleges 0 ≤ t ≤ 1 pontban ´es tetsz˝oleges ε > 0-ra | lim sup ξ(t ± 0) − lim inf ξ(t ± 0)| ≤ ε. Tov´ abb´a a jobboldali hat´ar´ert´ek megegyezik a ξ(t, ω) sz´ammal. b.) Stabilis eloszl´ asok: A stabilis eloszl´ asok illetve a term´eszetes m´ odon defini´alhat´ o f¨ uggetlen ´es stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u stabilis folyamatok, amelyekbe ezeket a folyamatokat be´ agyazhatjuk az el˝ oz˝ oek alapj´ an egyszer˝ uen megkonstru´ alhat´ oak. Egyszer˝ uen olyan korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ ast vagy folyamatot konstru´ alunk, amelyre a µ vagy M m´ert´ek extra homogenit´ asi tulajdons´aggal rendelkezik. Nevezetesen, legyen a µ m´ert´eknek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, amelyet a k¨ ovetkez˝ o k´eplet ad meg: C1 x−α ha x > 0 dµ (x) = dx C2 |x|−α ha x < 0 ahol C1 ≥ 0, C2 ≥ 0, C1 + C2 > 0, 1 < α < 3. Az utols´ o felt´etel azt biztos´ıtja, hogy a µ m´ert´ek teljes´ıti a (∗∗) felt´etelt. Ez a µ m´ert´ek stabilis eloszl´ asokat vagy folyamatokat hat´aroz meg. R´eszletesebb vizsg´alat megmutatja, hogy a fenti k´eplet megadja az o¨sszes stabilis eloszl´ ast ´es folyamatot. Tov´ abb´a, a korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ asok definic´oj´aban szerepl˝o regulariz´aci´o ebben a speci´alis esetben egyszer˝ ubb ´es term´eszetesebb m´ odon elv´egezhet˝ o. V´eg¨ ul a karakterisztikus f¨ uggv´enyeket megad´o integr´al ebben az esetben explicit m´ odon kisz´ am´ıthat´ o. Ennek ellen´ere sok vizsg´alatban c´elszer˝ ubb a karakterisztikus f¨ uggv´enyt az eredeti (nem kiintegr´alt) form´aj´aban haszn´ alni. A r´eszleteket itt nem dolgozzuk ki. 14
Poissson folyamat egyszer˝ u konstrukci´ oja. A Poisson eloszl´ as egyik alapvet˝ o tulajdons´aga az, hogy k´et f¨ uggetlen λ ´es µ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ¨ osszege λ + µ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Az al´ abbi lemm´aban megfogalmazzuk ennek az a´ll´ıt´ asnak bizonyos ´ertelm˝ u megford´ıt´ as´at, amely lehet˝ os´eget ad arra, hogy Poisson folyamatokat ´es mez˝ oket egyszer˝ uen megkonstru´ aljunk. Lemma. Legyen adva k darab urna, ´es ezekbe dobjunk be v´eletlen ξ sz´ am´ u goly´ ot, ahol ξ Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ > 0 param´eterrel. Legyenek az egyes dob´ asok eredm´enyei egym´ ast´ ol ´es a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol f¨ uggetlenek. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy minden egyes dob´ asn´ al a goly´ o az j-ik urn´ aba pj ≥ 0 val´ osz´ın˝ us´eggel k P esik, j = 1, . . . , k, pj = 1. Jel¨ olje ηj a j-ik urn´ aba es˝ o goly´ ok sz´ am´ at. Ekkor az ηj , j=1
j = 1, . . . , k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es ηj Poisson eloszl´ as´ u λpj param´eterrel, j = 1, . . . , k. A lemma bizony´ıt´ asa: (l1 + · · · + lk )! l1 p1 · · · plkk l 1 ! · · · lk ! k Y λ(l1 +···+lk ) l1 (λpj )lj −λpj lk −λ = p1 · · · pk e = e l 1 ! · · · lk ! l ! j j=1
P (η1 = l1 , . . . , ηk = lk ) = P (ξ = l1 + · · · + lk )
tetsz˝oleges l1 ≥ 0, . . . , lk ≥ 0 eg´esz sz´amokra. Innen ad´ odik az a´ll´ıt´ as. ´ Erdemes megfogalmazni az el˝ oz˝ o lemma al´ abbi k¨ ovetkezm´eny´et: A lemma k¨ ovetkezm´ enye. Legyen adva egy (X, A) m´erhet˝ o t´er, ´es azon egy µ val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek. Legyen ξ Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ > 0 param´eterrel, V´ alasszunk egym´ ast´ ol ´es a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol f¨ uggetlen¨ ul x1 , . . . , xξ pontokat az X t´eren u ´gy, hogy P (xj ∈ A) = µ(A) minden A ∈ A ´es j = 1, . . . , ξ-re. Ekkor tetsz˝ oleges diszjunkt A1 ∈ A, . . . , Ak ∈ A halmazokra az e halmazokba es˝ o kiv´ alasztott xl pontok sz´ ama egym´ ast´ ol f¨ uggetlen, ´es az egyes Aj , j = 1, . . . , k, halmazokba es˝ o pontok sz´ ama λµ(Aj ) param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Legyen adva egy (X, B) m´erhet˝ o t´er ´es rajta egy ν σ-v´eges m´ert´ek. Az el˝ oz˝ o konstrukci´ ot felhaszn´ alva konstru´ alhat´ o egy olyan x1 , x2 , . . . v´eletlen pontrendszer az X t´eren, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agot: B´ armely m´erhet˝ o v´eges ν m´ert´ek˝ u A halmazba es˝ o pontok sz´ ama ν(A) m´ert´ek˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es diszjunkt, m´erhet˝ o, v´eges m´ert´ek˝ u halmazokba es˝ o pontok sz´ ama egym´ ast´ ol f¨ uggetlen. Bizony´ıt´ as. Legyen Ak+1 = X \
k S
Aj , pj = µj (Aj ), j = 1, . . . , k + 1. Ekkor a
j=1
Lemma alapj´ an az egyes Aj halmazokba es˝o pontok sz´ama egym´ ast´ ol f¨ uggetlen λµ(Aj ) param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es ez az els˝ o bekezd´esben megfogalmazott ´ all´ıt´ as. 15
A m´ asodik ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´aban tekints¨ uk az X halmaznak egy olyan partici´oj´at, ∞ S amely rendelkezik a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´agokkal: X = Xj , az Xj , j = 1, 2, . . . , halj=1
mazok diszjunktak, µ(Xj ) = λj < ∞. Konstru´ aljunk a k¨ ovetkezm´eny m´ ar bizony´ıtott r´esz´enek felhaszn´al´ as´aval mindegyik Xj halmazon egy olyan pontrendszert (v´eletlen sz´am´ u pontot dobva le µ(Xj ) param´eter˝ u Poisson eloszl´ assal egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul µ(Aj ) osz´ın˝ us´eggel ess´ek), hogy egy u ´gy, hogy egy pont egy Aj ⊂ Xj halmazba µ(Xj ) val´ Aj ⊂ Xj halmazba es˝o pontok sz´ama legyen µ(Aj ), param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es diszjunkt halmazokba egym´ ast´ ol f¨ uggetlen sz´am´ u pont ess´ek. Legyen a k¨ ul¨ onb¨oz˝ o Xj halmazokba es˝o pontok sz´ama egym´ ast´ ol f¨ uggetlen. Mivel f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszege Poisson eloszl´ as´ u, ´es az o¨sszeg param´etere egyenl˝o az ¨ osszeadand´ ok param´eter´enek az ¨ osszeg´evel, ez´ert az itt le´ırt konstrukci´ oban tetsz˝oleges µ(A) < ∞ m´ert´ek˝ u halmazba µ(A) param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o esik, ´es diszjunkt halmazokba es˝o pontok sz´ama egym´ ast´ol f¨ uggetlen. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy v´egtelen sok f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszege is Poisson eloszl´ as´ u, ´es az ¨ osszeg param´etere megegyezik az o¨sszeadand´ ok param´eter´enek az ¨ osszeg´evel, felt´eve, hogy ez az ¨ osszeg v´eges. Ugyanis ebben az esetben az ¨ osszeg 1 val´ osz´ın˝ us´eggel, ez´ert eloszl´ asban is konverg´al.) Legyen adva egy (X, A) m´ert´ekt´er, ´es jel¨olje Z az X halmaz o¨sszes megsz´ aml´alhat´ o sok (x1 , x2 , . . . ), xj ∈ X, j = 1, 2, . . . pontot tartalmaz´ o r´eszhalmaz´ ab´ ol a´ll´ o pontrendszert. Legyen F az a legsz˝ ukebb σ-algebra, amelyet az z : z ∈ Z, z(A1 ) = k1 , . . . , z(Aj ) = kj ) halmazok gener´ alnak, ahol z(A), A ∈ A, jel¨oli a z pontrendszernek az A halmazba es˝o pontjainak a sz´am´at; j = 1, 2, . . . , tov´ abb´a kl nem negat´ıv eg´esz sz´am, ´es Al ∈ B, µ(Al ) < ∞, minden 1 ≤ l ≤ j-re. Egy (Ω, B, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on ´ertelmezett m´erhet˝ o ξ : (Ω, B) → (Z, F) lek´epez´est az (X, A) t´eren ´ertelmezett pontfolyamatnak nevezik. Legyen adva egy µ σ-v´eges m´ert´ek az (X, A) t´eren. Azt mondjuk, hogy a ξ pontfolyamat Poisson pontfolyamat az (X, A) t´eren µ sz´aml´al´ o m´ert´ekkel, ha tetsz˝oleges pozit´ıv eg´esz k sz´amra ´es diszjunkt Aj ∈ A, µ(Aj ) < ∞, j = 1, . . . , k, halmazokra az Aj , j = 1, . . . , k, halmazokba es˝o pontok sz´ama egym´ ast´ ol f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es az A halmazba es˝o pontok sz´ama Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o µ(A) param´eterrel. Az el˝ oz˝ o k¨ ovetkezm´enyben megmutattuk, hogy tetsz˝oleges (X, A, µ) m´erhet˝ o t´er eset´en σ-additiv µ m´ert´ekkel konstru´ alhat´ o e t´eren ´ertelmezett Poisson pontfolyamat µ sz´aml´al´ o m´ert´ekkel. Hat´ areloszl´ ast´ etel Poisson eloszl´ assal f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszegeire. Bel´ atjuk azt a harmadik oldalon is megfogalmazott hat´areloszl´ast´etelt, amelyben a hat´areloszl´as Poisson hat´areloszl´as´ u. K´et bizony´ıt´ ast is adunk. Az´ert ´erdemes a k´et megold´ as mindegyik´et tekinteni, mert ezekben az ´ altal´ anos hat´areloszl´ast´etelek bizony´ıt´as´anak k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝ o, fontos m´ odszer´et alkalmazzuk. Az els˝ o bizony´ıt´ asban a karakterisztikus f¨ uggv´enym´ odszert alkalmazzuk. Els˝ o bizony´ıt´ as: Azt mutatjuk meg, hogy az Sk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok karakterisztikus f¨ uggv´enyei konverg´ alnak egy λ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karak16
terisztkus f¨ uggv´eny´ehez. Egy λ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ∞ P k λ −λ+ikt = exp{−λ + λeit }. Jel¨olje ϕk,j (t) a karakterisztikus f¨ uggv´enye Eeitη = k! e k=0
ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. Ekkor az 1. felt´etel alapj´ an
ϕk,j (t) = P (ξk,j = 0) + P (ξk,j = 1)eit + ε(k, j, t) = 1 + λk,j (eit − 1) + ε¯(k, j, t), ahol |ε(k, j, t)| ≤ P (ξk,j ≥ 2), ´es |¯ ε(k, j, t)| ≤ 2P (ξk,j ≥ 2). Innen Ee
itSk
= =
nk Y
j=1 nk Y
j=1
ϕk,j (t) =
nk Y
1 + λk,j (eit − 1) + ε¯(k, j, t)
j=1
exp λk,j (eit − 1) + O(λ2k,j + ε(k, j, t))
nk nk X X it 2 = exp (e − 1) λk,j + O → exp{λ(eit − 1)}, λk,j + ε¯(k, j, t) j=1
ha k → ∞, mert lim
nk P
k→∞ j=1
j=1
λk,j = λ,
nk P
j=1
λ2k,j ≤
sup λk,j
1≤j≤nk
megfogalmazott t´etel 2. ´es 3. felt´etele alapj´ an, tov´ abb´a
nk P
j=1 nk P
j=1 it
λk,j → 0, ha k → ∞ a
ε¯(k, j, t) ≤ 2
nk P
j=1
P (ξk,j ≥
2) → 0, ha k → ∞ a 3. felt´etel alapj´ an. Mivel exp{λ(e − 1)} egy λ param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye, innen k¨ ovetkezik a t´etel ´ all´ıt´ asa. A m´ asodik bizony´ıt´ as a k¨ ovetkez˝ o Lemm´ an alapul. Ezt a lemm´at, illetve ennek egy altal´ ´ anos´ıt´ as´at bebizony´ıtjuk a III. r´esz kieg´esz´ıt´es´eben. Lemma A. Legyen Sk ´es S¯k , k = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyre az Sk − S¯k k¨ ul¨ onbs´egek sorozata sztochasztikusan tart null´ ahoz k → ∞ eset´eben. Ha az S¯k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata eloszl´ asban konverg´ al egy F eloszl´ ashoz, akkor az Sk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata is konverg´ al az F eloszl´ ashoz. M´ asodik bizony´ıt´ as: Azt fogjuk bel´ atni, hogy minden k konstansra konstru´ alhat´ o f¨ ug¯ k,j getlen, Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξ¯k,j , 1 ≤ j ≤ nk , sorozata alkalmas λ nk nk P P param´eterrel, amelyre az S¯k = ξ¯k,j ´es Sk = ξk,j ¨ osszegek k¨ ul¨ onbs´ege S¯k − Sk j=1
j=1
sztochasztikusan tart null´ ahoz, ha k → ∞, ´es lim
nk P ¯ k,j = λ. Innen k¨ λ ovetkezik a
k→∞ j=1
nk P ¯ k,j param´eterrel. T´etel ´ all´ıt´ asa. Ugyanis S¯k Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ j=1
Ez´ert S¯k eloszl´ asban konverg´al egy λ param´eter˝ u Poisson eloszl´ ashoz, ´es a Lemma A alkalmazhat´o. 17
¯ k,j a λk,j = xe−x egyenlet egyn´el kisebb megold´ Legyen λ asa. Ha λk,j ≤ e−1 , akkor ¯ k,j | = λ ¯ k,j |1 − e−λ¯ k,j | ≤ const. λ ¯2 ≤ ennek az egyenletnek van megold´ asa, ´es |λk,j − λ k,j nk P aci´okb´ ol k¨ ovetkezik, const. λ2k,j , ez´ert a lim λk,j = λ ´es lim sup λk,j = 0 rel´ k→∞ j=1
hogy lim
nk P
k→∞ j=1
k→∞ 1≤j≤nk
¯ k,j = 0. A ξ¯k,j = 1 esem´eny egyezzen meg sup λ
¯ k,j = λ, ´es lim λ
k→∞ 1≤j≤nk
¯ k,j sz´amot u 1 esem´ennyel. Jegyezz¨ uk meg, hogy a λ ´gy v´ alasztottuk meg, ¯ ¯ λk,j param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora teljes¨ ulj¨on a ¯ k,j −λ ¯ ¯ 1) = λk,j e = P (ξk,j = 1) azonoss´ag. Defini´ aljuk a ξk,j = m, m 6= 0, ¯m λ ¯ k,j k,j −λ ¯ esem´enyeket u ´gy, hogy P (ξk,j = m) = m! e , ´es r¨ogz´ıtett k-ra a ξ¯k,j , 1 ≤ j ≤ nk , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. El´eg gazdag val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on ilyen konstrukci´ o lehets´eges. (Egy lehets´eges konstrukci´ o: Legyen η1 , . . . , ηnk olyan f¨ uggetlen, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyek f¨ uggetlenek a ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okt´ ol is. Tekints¨ uk minden 1 ≤ j ≤ nk sz´amra a ξk,j = hogy egy P (ξ¯k,j =
a [0, 1] intervallum partici´oj´at egy A0 = [0, a1 ] ¯ ¯ l −λ
¯
e− λ ¯ ¯ −λ 1−λe
hossz´ us´ ag´ u ´es tov´ abbi Al,j =
λ e hossz´ us´ ag´ u intervallumokra, l = 2, 3 . . . , ´es legyen [al,j−1 , al,j ), al,j − al,j−1 = l!(1− ¯ ¯ −λ λe ) ξ¯j,k = l, (l 6= 1 esetben), ha ξk,j 6= 1, ´es ηj ∈ Al,j . Ekkor ugyanis a P (ξ¯k,j = l|ξ¯k,j 6= 1) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egek az el´ o´ırt ´ert´ekeket veszik fel.) Az a kik¨ot´es, hogy az a val´ osz´ın´egi mez˝ o, amelyen a konstrukci´ ot v´egezz¨ uk el´eg gazdag nem jelent kellemetlen megszor´ıt´ ast, mert a bizony´ıtand´ o hat´areloszl´ast´etel ´erv´enyess´ege nem f¨ ugg annak a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ onek a tulajdons´agait´ ol, amelyen dolgozunk. Bel´ atjuk, hogy az ´ıgy konstru´ alt ξ¯k,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszegeire igaz, hogy a S¯k − Sk k¨ ul¨ onbs´egek sztochasztikusan tartanak null´ ahoz.
Ennek az ´ all´ıt´ asnak a bizony´ıt´ as´ahoz vegy¨ uk ´eszre, hogy tetsz˝oleges ε > 0-ra P (|Sk − S¯k | > ε) ≤
nk X j=1
P (ξk,j ≥ 2) +
nk X j=1
P (ξ¯k,j ≥ 2),
mivel az Sk − S¯k 6= 0 rel´ aci´o csak u ´gy lehets´eges, ha ξk,j ≥ 2 vagy ξ¯k,j ≥ 2 valamely nk P 1 ≤ j ≤ nk indexre. Viszont lim P (ξk,j ≥ 2) = 0 a t´etel felt´etelei miatt. k→∞ j=1
Tov´ abb´a lim
nk P
nk ∞ P P ¯ 2 , ´es telP (ξ¯k,j ≥ 2) = 0, mert P (ξ¯k,j ≥ 2) ≤ const. λ k,j
k→∞ j=1 nk P
jes¨ ulnek a lim
k→∞ j=1
j=1
¯ k,j = λ, ´es lim λ
j=2
¯ k,j = 0 rel´ aci´ok. Innen k¨ ovetkezik a sup λ
k→∞ 1≤j≤nk
k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg ´es a t´etel ´ all´ıt´ asa.
18
P´ elda olyan nem stabilis eloszl´ asra, amely teljes´ıti a stabilit´ asi felt´ etel egy gyeng´ıtett v´ altozat´ at. Konstru´ alunk olyan S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot, amelynek F eloszl´ asa nem teljes´ıti a stabilit´as (∗) formul´ aban megadott felt´etel´et, de teljes´ıti annak k¨ ovetkez˝ o gyeng´ıtett v´ altozat´ at. ast konstru´ alunk, amelyR¨ ogz´ıts¨ unk egy α > 21 sz´amot. Olyan nem stabilis F eloszl´ re teljes¨ ul az F (2α (x − A)) ∗ F (2α (x − A)) = F (x) azonoss´ag alkalmas A = A(α) val´ os sz´ammal, vagy m´ ask´eppen megfogalmazva, ha S egy F eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es S ′ ´es S ′′ k´et f¨ uggetlen ´es az S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval azonos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi ′ ′′ ∆ +A) ∆ v´ altoz´ o, akkor (S +A)+(S = S, ahol = azt jelenti, hogy az azonoss´ag k´et oldal´ an α 2 egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok vannak. A k´ıv´ant tulajdons´ag´ u S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o konstrukci´ oja a k¨ ovetkez˝ o. Legyenek η(2 ), n = 0, ±1, ±2, . . . , f¨ uggetlen, Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ = 2n param´eterrel, ´es legyen n
S=
0 X
n=−∞
−nα
2
n
η(2 ) +
∞ X
n=1
2−nα [η(2n ) − E(η(2n )] = S1 + S2 .
Azt a´ll´ıtom, hogy α > 1/2 eset´en a fenti k´epletben defini´alt S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ′ ´ertelmes, azaz az ˝ ot defini´al´ o ¨ osszeg (egy val´ osz´ın˝ us´eggel) konverg´ al, ´es ha ha S ´es S ′′ k´et f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es ugyanaz az eloszl´ asuk mint S-nek, akkor (S ′ +A)+(S ′′ +A) ∆ = S. 2α A konvergencia bizony´ıt´ asa ´erdek´eben vegy¨ uk ´eszre, hogy E2−nα [η(2n )−Eη(2n )] = ∞ P Var (2−nαn [η(2n )−Eη(2n )]) < 0, ´es Var (2−nα [η(2n )−Eη(2n )]) = 2−2nα+n , ahonnan o ∞, ha α > 21 . Ez´ert az S2 kifejez´est defini´al´
∞ P
n=1
n=1
2−nα [η(2n ) − E(η(2n )] o¨sszeg konvern
gens. M´asr´eszt, n ≤ 0 eset´en P (η(2n ) 6= 0) = 1 − e−2 ≤ const. 2n . Innen azt kapjuk, 0 ∞ P P 2−n < ∞. Ez´ert a Borel–Cantelli lemma alapj´ an hogy P (η(2n ) 6= 0) ≤ const. n=−∞
n=0
az S1 kifejez´est defini´al´ o¨ osszeg egy val´ osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok tagot tartalmaz, ´ıgy az is konvergens.
Legyenek η ′ (2n ) ´es η ′′ (2n ), n = 0, ±1, ±2, . . . , az η(2n )-hez hasonl´oan f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ = 2n param´eterrel, ´es defini´aljuk az S ′ ´es S ′′ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat az S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot defini´al´ o k´eplethez hasonl´oan, n csak helyettes´ıts¨ uk ezekben a definici´ okban az η(2 ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat az η ′ (2n ) ′ ′′ +A) ∆ illetve η ′′ (2n ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okkal. Azt ´ all´ıtom, hogy (S +A)+(S = S. Ennek 2α ´ igazol´asa ´erdekben vegy¨ uk ´eszre, hogy minden n eg´esz sz´amra 2−α(n−1) η ′ (2n−1 ) + 2−α(n−1) η ′′ (2n−1 ) ∆ −αn n =2 η(2 ), 2α 19
´es 2−α(n−1) (η ′ (2n−1 ) − E(η ′ (2n−1 )) + 2−α(n−1) (η ′′ (2n−1 ) − Eη ′′ (2n )) 2α ∆
= 2−αn (η(2n ) − Eη(2n )), ´es az ezen azonoss´agokban szerepl˝o kifejez´esek k¨ ul¨ onb¨oz˝ o n indexre f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Ezeket az azonoss´agokat ¨ osszeadva minden n-re (n ≤ 0 indexekre az els˝ o, ´es n ≥ 1 indexekre a m´ asodik azonoss´agot vessz¨ uk az ¨ osszegez´esben) megkapjuk a bizony´ıtand´ o azonoss´agot. Az alkalmasan v´ alasztand´o A konstans az´ert szerepel ebben az azonoss´agban, mert n = 0-ra az η(20 ) = η(1), m´ıg n = 1-re a normaliz´alt η(2)−Eη(2) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot vett¨ uk az S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot defini´al´ o o¨sszegben. Megmutatjuk egy a II. r´eszben bizony´ıtand´ o eredm´eny seg´ıts´eg´evel, hogy az el˝ obb defini´alt S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nem stabilis eloszl´ as´ u. Vegy¨ uk ´eszre, hogy S eloszl´ asa korl´ atlanul oszthat´o, ´es ezt az eloszl´ ast olyan µ m´ert´ek defini´alja, amely az yn = 2nα pontokba van koncentr´ alva, n = 0, ±1, ±2, . . . , ´es µ(2nα ) = 2−n . A II. r´eszben be fogjuk l´atni, hogy egy korl´ atlanul oszthat´o eloszl´ as egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza a karakterisztikus f¨ uggv´eny´et defini´al´ o µ m´ert´eket. Ezen ´eszrev´etel seg´ıts´eg´evel l´athat´ o, hogy ha S1 , S2 ´es S3 f¨ uggetlen ´es az S val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval azonos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi 3 −B v´ altoz´ ok, akkor az S1 +S23+S val´ o sz´ ın˝ u s´ e gi v´ a ltoz´ o karakterisztikus f¨ u ggv´ e ny´ e t megα hat´aroz´o µ ¯ m´ert´ek k¨ ul¨ onb¨ozik a µ m´ert´ekt˝ ol. Erre a µ ¯ m´ert´ekre ugyanis µ ¯(A) = 3µ( 3Aα ) minden m´erhet˝ o A halmazra. Ez´ert a µ ¯ m´ert´ek k¨ ul¨ onb¨ozik a µ m´ert´ekt˝ ol, s˝ ot m´ as halmazba van koncentr´ alva. A fenti p´elda h´atter´eben a k¨ ovetkez˝ o ´eszrev´etel van. Egy korl´ atosan oszthat´o eloszl´ as akkor ´es csak akkor stabilis, ha az ˝ ot meghat´ aroz´o µ (vagy kanonikus M ) m´ert´ek bizonyos homogenit´ asi tulajdons´aggal rendelkezik. Ha ennek a homogenit´ asi tulajn dons´agnak csak egy gyeng´ıtett, csup´an t = k , n = 0, ±1, ±2, . . . , alak´ u param´eterekre megk¨ ovetelt v´ altozata igaz, ahol k egy r¨ogz´ıtett eg´esz sz´am, akkor teljes¨ ulhet a stabilit´ ast kifejez˝ o (∗) tulajdons´ag egy gyeng´ıtett v´ altozata, de a tekintett eloszl´ as nem stabilis.
20
