3. SOROZATOK ´ tossa ´ ga, monotonita ´ sa, konvergencia ´ ja 3.1 Sorozatok korla ´ . Egy f : N → R f¨ Defin´ıcio uggv´enyt (val´ os sz´am)sorozatnak nevez¨ unk. Ha A egy adott halmaz ´es f : N → A, akkor f -et A-beli (´ert´ek˝ u) sorozatnak nevezz¨ uk.
¤
Jel¨ol´eseink: f (n) = an a sorozat n-edik eleme, f = (an ) a sorozat maga, { an : n ∈ N } a sorozat ´ert´ekk´eszlete. ´ sa: Sorozat megada • k´eplettel pl. an = n1 (n ∈ N), √ • rekurz´ıv m´odon pl. a1 = 1, ´es an+1 = 2 + an (n ∈ N), • szab´ allyal pl. an = n-edik pr´ımsz´am. ´ k. Az (an ) sorozatot Defin´ıcio
fel¨ ulr˝ ol korl´ atosnak fel¨ ulr˝ ol korl´ atos nevezz¨ uk, ha ´ert´ek´eszlete . alulr´ ol korl´ atos alulr´ ol korl´ atosnak
Azaz Az (an ) sorozatot nevezz¨ unk, hogy
fel¨ ulr˝ ol korl´ atosnak ∃k ∈ R fels˝ o korl´ atj´ anak nevezz¨ uk, ha sz´am, melyet a sorozat egy alulr´ ol korl´ atosnak ∃k 0 ∈ R fels˝ o korl´ atj´ anak (∀n ∈ N) an ≤ k . (∀n ∈ N) an ≥ k 0
Az (an ) sorozatot korl´ atosnak nevezz¨ uk, ha alulr´ol ´es fel¨ ulr˝ol is korl´atos. K¨onny˝ u bel´atni, hogy egy an sorozat akkor ´es csakis akkor korl´ atos, ha van olyan K ∈ R hogy |an | ≤ K minden n ∈ N-re. Az (an ) sorozatot
monoton n¨ ovekv˝ onek (∀n ∈ N) an+1 ≥ an nevezz¨ uk, ha . monoton cs¨ okken˝ onek (∀n ∈ N) an+1 ≤ an
Az (an ) sorozatot
szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ onek (∀n ∈ N) an+1 > an nevezz¨ uk, ha . szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ onek (∀n ∈ N) an+1 < an
Egy sorozatot (szigor´ uan) monotonnak mondunk, ha (szigor´ uan) monoton n¨ovekv˝o vagy cs¨okken˝o.
¤
´lda. Legyen an := n1 (n ∈ N). Ez a sorozat alulr´ol korl´atos (pl. k 0 = 0 als´o korl´at), ´es fel¨ Pe ulr˝ol is korl´atos (pl. k = 1 fels˝o korl´at), ´ıgy korl´atos. Sorozatunk szigor´ uan monoton cs¨okken˝o. Az is igaz, hogy n n¨oveked´es´evel an egyre k¨ozelebb ker¨ ul 0-hoz (j´ollehet soha sem ´eri el a 0-t). Pontosabban, 0 ak´armilyen kis k¨ornyezet´et vessz¨ uk, azon bel¨ ul van a sorozatnak v´eges sok kiv´etel´evel minden eleme. ´ k. Az (an ) sorozatot konvergensnek nevezz¨ Defin´ıcio uk, ha van olyan a ∈ R sz´am, hogy b´armely ε > 0-hoz l´etezik olyan N (ε) ∈ R sz´am, hogy |an − a| < ε ha n > N (ε). A a sz´amot a sorozat hat´ ar´ert´ek´enek (limesz´enek) nevezz¨ uk ´es az an → a (n → ∞)
vagy lim an = a n→∞
jel¨ol´est haszn´aljuk. N (ε) az ε-hoz tartoz´o k¨ usz¨ obsz´ am. Az (an ) sorozatot divergensnek nevezz¨ uk, ha nem konvergens. 1
¤
2
´ ıt´ All´ as. [a konvergencia k¨ornyezetes ´atfogalmaz´asa] Az (an ) sorozat konvergens ´es hat´ ar´ert´eke a akkor ´es csakis akkor, ha az a pont b´ armely k¨ ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak csak v´eges sok eleme van. Bizony´ıt´ as. Ha an → a (n → ∞), akkor minden ε > eset´en van olyan N (ε), hogy |an − a| < ε ha n > N (ε), ami u ´gy is ´ırhat´o, hogy a − ε < an < a + ε, azaz an ∈ K(a, ε) ha n > N (ε). De ez azt jelenti, hogy a K(a, ε) k¨ornyezeten bel¨ ul vannak az N (ε)-n´el nagyobb index˝ u elemek, m´ıg k´ıv¨ ul csak az N (ε)-n´el nem nagyobb index˝ uek lehetnek, melyek sz´ama ´eges. Ford´ıtva, ha minden ε > 0 eset´en a K(a, ε) k¨ornyezeten k´ıv¨ ul csak v´eges sok elem van, pl. a p darab ak1 , ak2 , . . . , akp elemek, akkor N (ε) := max{k1 , k2 , . . . , kp } v´alaszt´assal |an − a| < ε ha n > N (ε), azaz sorozatunk konvergens ´es hat´ar´ert´eke a. ¤ ¨ vetkezme ´ny. Ha egy sorozatban Ko • v´eges sok elemet tesz˝olegesen megv´altoztatunk, • a sorozatb´ol v´eges sok elemet elhagyunk, • a sorozathoz v´eges sok elemet hozz´avesz¨ unk, akkor sem a sorozat konvergenci´ aja ´es hat´ ar´ert´eke (divergenci´ aja) nem v´ altozik. ´ ıt´ All´ as. [a hat´ar´ert´ek egy´ertelm˝ us´ege] Konvergens sorozatnak pontosan egy hat´ ar´ert´eke van. Indirekt bizony´ıt´ as. Ha az an → a (n → ∞) sorozatnak k´et hat´ar´ert´eke volna, a, b(a < b) akkor ε = v´ alaszt´assal a defin´ıci´ob´ol ellentmond´asra jutunk.
b−a 3 ¤
´lda ´k. Pe 1 an = (n ∈ N) konvergens ´es hat´ar´ert´eke nulla. n an = (−1)n (n ∈ N) divergens. T´ etel. [konvergencia ´es korl´atoss´ ag kapcsolata] Konvergens sorozat korl´ atos. Van olyan korl´ atos sorozat mely divergens (nem konvergens). Bizony´ıt´ as. ε = 1-gyel kapjuk, hogy |an − a| < 1 ha n > N (1). Vil´agos, hogy k := max{a + 1, ´es a K(a, 1) k¨ornyezeten k´ıv¨ uli elemek } a sorozat fels˝o korl´atja, m´ıg k 0 := min{a − 1, ´es a K(a, 1) k¨ornyezeten k´ıv¨ uli elemek } a sorozat als´o korl´atja. an = (−1)n (n ∈ N) korl´atos de nem konverges. T´ etel. [konvergencia ´es monotonit´as kapcsolata] Monoton
¤ n¨ ovekv˝ o ´es fel¨ ulr˝ ol korl´ atos sorozat konvergens. cs¨ okken˝ o ´es alulr´ ol
Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel pl. hogy (an ) n¨ovekv˝o fel¨ ulr˝ol korl´atos, ´es legyen a := sup{ an : n ∈ N }. V´eve egy ε > 0 sz´amot a − ε nem fels˝o korl´atja a sorozatnak, ´ıgy van olyan n0 ∈ N index, hogy an0 > a − ε. Legyen N (ε) := n0 , akkor n > N (ε) = n0 eset´en a − ε < an0 ≤ an ≤ a < a + ε azaz ´es ezt kellett bizony´ıtani.
|an − a| < ε ¤
3
˝ veletek, rendeze ´s e ´s konvergencia kapcsolata 3.2 Mu ¶ an , (can ), (|an |) sorozatokat bn rendre az (an ), (bn ) sorozatok ¨ osszeg´enek, szorzat´ anak, h´ anyados´ anak, az (an ) c-szeres´enek, abszol´ ut ´ert´ek´enek nevezz¨ uk. A h´anyados defin´ıci´oj´aban fel kell tenn¨ unk, hogy bn 6= 0. ¤ µ
´ k. Ha (an ), (bn ) sorozatok c ∈ R, akkor az (an + bn ), , (an bn ), Defin´ıcio
T´ etel. [konvergencia ´es m˝ uveletek kapcsolata] Konvergens sorozatok ¨ osszege, szorzata, h´ anyadosa (ha ´ertelmezve van), konstansszorosa, abszol´ ut ´ert´eke is konvergens, ´es e sorozatok hat´ ar´ert´ekeinek ¨ osszeg´ehez, szorzat´ ahoz, h´ anyados´ ahoz, konstansszoros´ ahoz, abszol´ ut ´ert´ek´ehez konverg´ al, azaz ha an → a, bn → b (n → ∞) akkor an + bn → a + b (n → ∞), an bn → ab (n → ∞), an a → (n → ∞), ha bn , b 6= 0, bn b can → ca (n → ∞), |an | → |a| (n → ∞). Bizony´ıt´ as. Itt csak az els˝o ´all´ıt´ast igazoljuk. Tetsz˝oleges ε > 0 mellett ³ε´ ³ε´ ε ε |an − a| < ha n > N1 , ´es |bn − b| < ha n > N2 , 2 2 2 2 amib˝ol n ³ε´ ³ ε ´o ε ε |(an + bn ) − (a + b)| < |an − a| + |bn − b| < + = ε ha n > N (ε) := max N1 , N1 2 2 2 2 ´es ezt kellett igazolni. ¤ T´ etel. [konvergencia ´es a rendez´es kapcsolata] o, azaz ha an → a 6= 0 (n → ∞), akkor van olyan n0 ∈ R, hogy sg an = sg a (1) Konvergens sorozat jeltart´ ha n > n0 . (2) A konvergencia meg˝ orzi a monotonit´ ast, azaz ha an ≤ bn (n ∈ N) ´es an → a, bn → b (n → ∞)), akkor a ≤ b. ´ enyes a rend˝ (3) Erv´ ort´etel, azaz ha an → a, bn → a (n → ∞) ´es an ≤ xn ≤ bn (n ∈ N), akkor (xn ) is konvergens ´es xn → a, (n → ∞). Az els˝o ´all´ıt´asban sg a signum (el˝ ojel) f¨ uggv´enyt jel¨oli, melynek defin´ıci´oja 1 ha x > 0 0 ha x = 0 . sg x := −1 ha x < 0 Bizony´ıt´ as. Az els˝ o ´all´ıt´as igazol´as´ahoz legyen ε = |a|/2, akkor |an − a| < |a|/2 ha n > n0 := N (|a|/2). Innen a − |a|/2 < an < a + |a|/2 ha n > n0 amib˝ol a > 0 ill. a < 0 esetsz´etv´alaszt´assal ad´odik ´all´ıt´asunk. ¤ A m´ asodik ´all´ıt´ast indirekt u ´ton igazoljuk. Ha a > b volna, akkor a − b > 0 ´ıgy a jeltart´os´ag miatt an − bn > 0 volna el´eg nagy n-re, ami ellentmond´as. ¤ A rend˝ ort´etel igazol´ asa. Az an ≤ xn ≤ bn (n ∈ N) felt´etelb˝ol an kivon´as´aval kapjuk, hogy 0 ≤ xn − an ≤ bn − an vagy |xn − an | ≤ |bn − an | < ε ha n > N (ε) ami ´eppen azt jelenti, hogy xn − an → 0 (n → ∞) amib˝ol xn = (xn − an ) + an →) + a = a ha n → ∞.
¤
4
˝ v´ıtett valo ´ s sza ´mok, ve ´gtelenhez tarto ´ sorozatok 3.3 Bo ´ . Az Rb := R ∪ {+∞} ∪ {−∞} halmazt a b˝ Defin´ıcio ov´ıtett val´ os sz´ amok halmaz´anak nevezz¨ uk (+∞ helyett gyakran csup´an ∞-t ´ırunk). ¤ ˝ veletek Rb -ben: b´armely x ∈ R-re legyen Mu x + (±∞) = (±∞) + x = ±∞ (±∞) + (±∞) = ±∞ x(±∞) = (±∞)x = ±∞ ha x > 0 x(±∞) = (±∞)x = ∓∞ ha x < 0 (±∞)(±∞) = +∞ x = 0. ±∞ ´rtelmezve az al´abbiak: Nincsennek e (±∞) + (∓∞), (±∞)(∓∞), 0(±∞), (±∞)0, ±∞ x , . ±∞ 0 ´s: minden x ∈ R eset´en, (a kor´abbi rendez´es megtart´asa mellett) Rendeze −∞ < x < +∞.
´s. Rb nem test! Megjegyze A hat´ ar´ ert´ ek fogalm´ anak kiterjeszt´ ese. Az an = (−1)n , an = (−1)n , an = n, an = −n2 (n ∈ N) valamennyien divergens sorozatok, de k¨oz¨ ul¨ uk az els˝o kett˝o m´ask´eppen viselkedik, mint az utols´o kett˝o: azok nagy n eset´en ∞-hez ill. −∞-hez k¨ozelednek. ´ . Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozatnak a hat´ Defin´ıcio ar´ert´eke b´armely K ∈ R sz´amhoz van olyan N (K) ∈ R, hogy an > K ha n > N (K). an < K Jel¨ol´ese (az els˝o esetben) an → +∞ (n → ∞) vagy lim an = ∞. n→∞
+∞ +∞ (vagy a sorozat tart a -hez ) ha −∞ −∞
¤
Ha an → ∞(−∞) akkor a sorozat divergens, de van hat´ ar´ert´eke. Ha a +∞ k¨ ornyezetein a ]K, +∞[ intervallumokat, a −∞ k¨ ornyezetein a ]−∞, K[ intervallumokat ´ertj¨ uk,ahol K ∈ R tetsz˝ oleges, akkor egyszer˝ u bel´atni, hogy ´erv´enyes az al´abbi ´ ıt´ All´ as. Egy sorozat hat´ ar´ert´eke +∞ (vagy −∞) akkor ´es csakis akkor, ha +∞ (vagy −∞) b´ armely k¨ ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak csak v´eges sok eleme van. ´lda ´k. Az an = n (n ∈ N) sorozat hat´ar´ert´eke +∞. Pe Az an = −n2 (n ∈ N) sorozat hat´ar´ert´eke −∞. ´ . Ha A ⊂ R fel¨ Defin´ıcio ulr˝ol nem korl´atos akkor sup A := ∞. Ha A ⊂ R alulr´ol nem korl´atos akkor inf A := −∞.
¤
5
Ezzel a kieg´esz´ıt´essel minden A ⊂ R halmaznak van supremuma ´es infimuma, de lehet hogy ezek v´egtelenek azaz −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞. Tov´abb´a minden monoton sorozatnak van hat´ ar´ert´eke (Rb -ben): n¨ovekv˝o nem korl´atos sorozat tart +∞-hez, cs¨okken˝o nem korl´atos sorozat tart −∞-hez. A hat´ar´ert´ek ´es m˝ uveletek kapcsolata is kiterjeszthet˝ o, az al´abbi t´etellel. T´ etel. Ha an → a, bn → b (n → ∞) ahol most a, b ∈ Rb , c ∈ R, akkor an + bn an bn an bn can tov´ abb´ a ha |an | → ∞ akkor
→ a + b (n → ∞), → ab (n → ∞), a → (n → ∞), b → ca (n → ∞),
ha a + b ´ertelmezve van, ha ab ´ertelmezve van, a ha bn 6= 0, ´es ´ertelmezve van, b ha ca ´ertelmezve van,
1 → 0 (n → ∞). an ´ re ´rte ´kek 3.4 Nevezetes hata
T´ etel. (1)
+∞ 1 na → 0
(2)
ha a > 0, ha a = 0, ha a < 0.
0 1 n a → +∞ divergens
(3) Ha a > 0, akkor
√ n
ha ha ha ha
(n → ∞)
|a| < 1, a = 1, a > 1, (n → ∞) a ≤ −1.
a → 1 (n → ∞).
(4) Ha |a| < 1, k ∈ R, akkor (5)
√ n
nk an → 0 (n → ∞). n → 1 (n → ∞).
(6) Ha a ∈ R akkor
(7)
√ n
an →0 n!
(n → ∞).
n! → +∞ (n → ∞). ¶n µ 1 (8) Az an = 1 + (n ∈ N) sorozat szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ o ´es fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, an < 3, ´ıgy n konvergens. Hat´ ar´ert´eke egy nevezetes sz´ am, amit e-vel jel¨ ol¨ unk, k¨ ozelit˝ o ´ert´eke e = 2, 71.... (9) Ha 0 6= cn → 0, akkor
1
(1 + cn ) cn → e
(n → ∞). ¤
6
Bizony´ıt´ asok. (1) Ha a = 0, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´o, mert n0 = 1 minden n ∈ N-re. Ha a > 0, akkor tetsz˝oleges (pozit´ıv) K-t v´eve na > K pontosan akkor, ha n > K 1/a ´ıgy defin´ıci´o alapj´an na → +∞. 1 1 Ha a < 0, akkor na = −a → = 0, mivel most −a > 0. n +∞ (2) A Bernoulli egyenl˝otlens´eg szerint (1 + x)n ≥ 1 + nx,
ha n ∈ N, x ≥ −1
´es itt egyenl˝os´eg akkor, ´es csakis akkor teljes¨ ul, ha n = 1 vagy x = 0. Ha a > 1 akkor a = 1 + h, ahol h > 0, ´ıgy an = (1 + h)n ≥ 1 + nh, an → +∞. Legyen most |a| < 1. Ha a = 0, akkor an = 0n = 0 → 0. ´Igy feltehetj¨ uk, hogy 0 < |a| < 1, ez´ert 1 1 |a|n = ³ ´n → = 0, amib˝ol an → 0. +∞ 1 |a|
n
Ha a = 1, akkor a = 1 → 1. Ha a = −1, akkor an = (−1)n divergens. 2 n Ha a < −1, akkor a2n = (a2 )n → +∞ mivel a2 > 1, ´es a2n−1 = (aa) → −∞, ´ıgy sorozatunk divergens. √ (3) Ha a ≥ 1, akkor bn := n a − 1 ≥ 0, a Bernoulli egyenl˝otlens´eg alapj´an kapjuk, hogy a = (1 + bn )n ≥ 1 + nbn , amib˝ol a−1 0 ≤ bn ≤ . n √ Innen a rend˝ort´etellel ad´odik, hogy bn → 0, n a q → 1. √ 1 Ha 0 < a < 1, akkor a ≥ 1, az el˝oz˝ oek miatt n a1 → 1, n a → 1. (4) Ha k < 0, akkor a sorozat els˝o ´es m´asodik t´enyez˝oje is z´erushoz tart, ´ıgy a sorozat is. ´ ıt´as miatt n0 an = an → 0. Ha k = 0 akkor a 2. All´ Ha k > 0, akkor legyen k0 egy k-n´al nagyobb eg´esz, ´es tegy¨ uk fel, hogy n > k0 . Van olyan h > 0, 1 hogy |a| = , ´es 1+h nk0 nk0 ¡ ¢ 0 ≤ nk |a|n ≤ . < n k0 +1 (1 + h)n k0 +1 h A jobboldali kifejez´est n¨ovelhetj¨ uk n · n...n k0 +1
h n(n − 1) . . . (n − k0 ) (k0 + 1)!
=
1 (k0 + 1)! ¡ ¢ ¡ hk0 +1 1 · 1 − n1 . . . 1 −
k0 −1 n
¢
(n − k0 )
→ 0,
mivel a jobboldali szorzat m´asodik t´enyez˝oj´enek nevez˝oj´eben az els˝o k0 db. t´enyez˝o 1-hez tart, m´ıg az utols´o +∞-hez. Ez´ert a rend˝ort´etel miatt nk |a|n → 0, ´es az abszol´ ut ´ert´ek elhagy´as´aval kapott sorozat is null´ahoz tart. 1 , k = 1-n´el, akkor (5) Legyen ε > 0 adott, alkalmazzuk az el˝oz˝o ´all´ıt´ast a = 1+ε n n → 0, amib˝ol < 1, ha n > N (1) = N ∗ (ε). (1 + ε)n (1 + ε)n Innen ´atrendez´essel, majd gy¨okvon´assal kapjuk, hogy 1 ≤ n < (1 + ε)n , 1 − ε < 1 ≤ azaz
√ n
n<1+ε
√ | n n − 1| < ε ha n > N ∗ (ε)
7
bizony´ıtva ´all´ıt´asunkat. (6) Legyen n0 egy |a|-n´el nagyobb term´eszetes sz´am, n > n0 , akkor ¯ n¯ µ ¶n ¯ a ¯ |a|n |a|n |a|n (n0 + 1)n0 |a| ¯ ¯ 0≤¯ ¯= = ≤ = . n! n! n0 !(n0 + 1)(n0 + 2) . . . n n0 !(n0 + 1)n−n0 n0 ! n0 + 1 A jobboldali ut ´ert´eke kisebb mint 1, ´ıgy a rend˝ort´etel ¯ n ¯ sorozatn 0-hoz tart, mivel a z´ar´ojeles t¨ort abszol´ miatt ¯ an! ¯ → 0 es an! → 0. (7) A sorozatunk szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o, mert az p √ n n! < n+1 (n + 1)! egyenl˝otlens´eg ekvivalens az (n + 1)n n+1n+1 n+1 = ... n! 1 2 n egyenl˝otlens´eggel, ami igaz, mert a jobboldalon lev˝o szorzat minden t´enyez˝oje 1-n´el nagyobb. M´asr´eszt sorozatunk nem korl´atos fel¨ ulr˝ol, ugyanis ha az volna, akkor √ Kn n n! ≤ K, n! ≤ K n , 1 ≤ n! Kn ´ ıt´as szerint. k¨ovetkezne, ami nem lehet, mert → 0 a 6. All´ n! (8) A monotonit´as igazol´asa: ha n > 1 akkor ¶n ¶n ¶n µ µ µ n+1 n+1 1 µ 2 ¶n 1+ n an n n −1 n n n ¶n = µ =µ ¶n−1 = µ ¶n−1 = an−1 n−1 n−1 n2 n 1 n 1+ n−1 n−1 n−1 1<
µ ¶n µ ¶ µ ¶ 1 n 1 n 1 n 1− 2 > 1−n· 2 = 1− = 1, = n−1 n n−1 n n−1 n ahol a Bernoulli egyenl˝otlens´eg szigor´ u v´altozat´at haszn´altuk. A korl´atoss´ag igazol´asa: a binomi´alis t´etelt haszn´alva kapjuk, hogy µ ¶n X n µ ¶ 1 n 1 an = 1 + = . n k nk k=0
l ≤ 1 (l = 0, . . . , k − 1) egyenl˝otlens´eget haszn´alva az el˝oz˝o ¨osszeg ´altal´anos tagj´at fel¨ ulr˝ol Az 1 − n megbecs¨ ulj¨ uk: µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ n 1 n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1 2 k−1 1 = = 1 · 1 − 1 − . . . 1 − k nk nk · n! n n n k! 1 1 1 1 ≤ = ≤ = k−1 . k! 1 · 2...k 1 · 2 · 2...2 2 Ezt felhaszn´alva kapjuk, hogy n
an ≤ 1 + (9) Nem bizony´ıtjuk.
1 1 1 1 (1/2) − 1 + 1 + 2 + · · · + n−1 = 1 + = 1 + 2 (1 − 1/2n ) < 3. 0 2 2 2 2 1/2 − 1 ¤
