Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
6. tétel: A logaritmus, az exponenciális és logaritmusfüggvény és tulajdonságaik
A hatványozás kiterjesztése: a) Törtkitevıjő hatványok
n -adik hatványa ahol n ∈ Z, k ∈ N + a szám n-edik k
Egy pozitív valós szám
n k
hatványának k-adik gyöke. Azaz: a = k a n kikötés: a > 0 Ezzel a definícióval az összes egész kitevıjő hatványra vonatkozó tétel igaz marad törtkitevıjő hatványokra is. (Azaz mőködik a permanencia elv.) b) Irracionális kitevıre (kétoldali közelítéssel) Minden irracionális szám közelíthetı alulról és felülrıl egy-egy racionális számokat tartalmazó monoton sorozattal: 0 < bn < q < cn ahol b n , c n ∈ Q és b n → q és c n → q
Ekkor szeretnénk, ha a b < a q < a c is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.) Mivel a b n és c n monotonak, ezért a b és a c is monoton. Így [a b ; a c ] által meghatározott zárt intervallumok egymásba skatulyázottak, így a Cantor-axióma miatt van ezeknek metszete, ami szükségképpen egyelemő, a q pedig legyen ez a közös elem. Ezzel a definícióval biztosítottuk az exponenciális függvény monotonitását. Tétel: az így kapott f : R → R f ( x ) = a x a > 0 függvény a monotonitás mellett még folytonos is. (Dejó!) n
n
n
n
n
n
Definíció: a alapú logaritmus b az a kitevı, melyre a-t emelve b-t kapunk. (Így létezik log a b .) Jele: log a b Kikötések: a > 0 , a ≠ 1, b > 0
Azaz: log a b = x ⇔ a x = b , illetve röviden: a loga b = b Különleges alapok: log10 x = lg x illetve log e x = ln x A logaritmus azonosságai: a) Szorzat logaritmusa Szorzat logaritmusa egyenlı a tényezık logaritmusainak összegével. log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y a > 0 , a ≠ 1, x , y > 0 Biz.: x ⋅ y = a loga (x⋅ y ) a definíció alapján y = a loga y x = a loga x a loga ( x⋅ y ) = x ⋅ y = a loga x ⋅ a loga y = a loga x + loga y azonos alapú hatványok szorzata miatt mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton ( a ≠ 1) , ezért log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
b) Tört logaritmusa Tört logaritmusa egyenlı a számláló és nevezı logaritmusának különbségével. x a > 0 , a ≠ 1, x , y > 0 log a = log a x − log a y y Biz.: x
x=a
log a x
x y
y=a
log a y
log a x =a y y
a definíció alapján
x a loga x = log y = a loga x − loga y y a a azonos alapú hatványok hányadosa miatt mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton ( a ≠ 1) , ezért x log a = log a x − log a y y a
log a
=
c) Hatvány logaritmusa Hatvány logaritmusa egyenlı a hatványalap logaritmusa és a kitevı szorzatával. log a x k = k ⋅ log a x a > 0 , a ≠ 1, x > 0 és k ∈ R Biz.:
x = a log a x
k x k = a log a (x )
( ) = x k = (a loga x ) k = a k⋅loga x
a definíció alapján
log a x k
a hatvány hatványa miatt mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton ( a ≠ 1) , ezért log a x k = k ⋅ log a x
d) Gyök logaritmusa Gyök logaritmusa egyenlı a gyökalap logaritmusának és a gyökkitevınek a hányadosával. log a x a > 0 , a ≠ 1, x > 0 és k ∈ Z + k > 1 log a k x = k Biz.: hatvány logaritmusa alapján: 1 log a x 1 k log a x = log a x k = ⋅ log a x = k k e) Áttérés más alapra: Egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alap régi alapú logaritmusával. log b x a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1 ééés x > 0 log a x = log b a Biz.:
x = a loga x log b x = log b a loga x log b x = log a x ⋅ log b a log b x log a x = log b a
vegyük mindkét oldal b alapú logaritmusát (hiszen mindkét oldal pozitív) használva a hatvány logaritmusa tételét
elosztva log b a -val ( log b a ≠ 0 mert a ≠ 1 )
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Az exponenciális függvény: f : R → R f ( x ) = a x ahol a > 0 , a ≠ 1 valós szám (exponens = kitevı)
két alapvetıen különbözı exponenciális függvényt különböztethetünk meg 0 < a <1 a >1
1 f (x ) = 2 Df = R
x
g(x ) = 2 x Dg = R
R f = (0; ∞ ) = R + szigorúan monoton csökkenı szélsıértéke nincs zérushelye nincs szigorúan konvex inflexiós pontja nincs nem páros, nem páratlan alsó korlátja a 0 határértékei: lim a x = ∞ és lim a x = 0 x → −∞
x →∞
R g = (0; ∞ ) = R + szigorúan monoton növekedı szélsıértéke nincs zérushelye nincs szigorúan konvex inflexiós pontja nincs nem páros, nem páratlan alsó korlátja a 0 határértékei: lim a x = 0 és lim a x = ∞ x → −∞
x →∞
x
1 f (x ) = és g(x ) = a x a függvények grafikonjai az y-tengelyre szimmetrikus grafikonok A logaritmusfüggvény:
f : R → R f ( x ) = log a x ahol a > 0 , a ≠ 1 valós szám Az azonos alapú logaritmusfüggvény és exponenciális függvény egymás inverzfüggvényei, mert log a x o a x = log a a x = x és a x o log a x = a loga x = x ( x > 0) Így grafikonjaikat megkaphatjuk a másik grafikonjának y = x egyenesre való tükrözésével. Értelmezési tartományaik és értékkészletük felcseréléssel megkapható.
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
két alapvetıen különbözı logaritmusfüggvényt különböztethetünk meg 0 < a <1 a >1
f ( x ) = log 1 x
g( x ) = log 2 x
2 +
D f = (0; ∞ ) = R Rf = R szigorúan monoton csökkenı szélsıértéke nincs zérushelye x=1 szigorúan konvex inflexiós pontja nincs nem páros, nem páratlan nem korlátos határértékei: lim log a x = ∞ , lim log a x = −∞ x → 0+ 0
x →∞
D g = (0; ∞ ) = R + Rg = R szigorúan monoton növekedı szélsıértéke nincs zérushelye x=1 szigorúan konkáv inflexiós pontja nincs nem páros, nem páratlan nem korlátos határértékei: lim log a x = −∞ , lim log a x = ∞ x →0 + 0
x →∞
Alkalmazások: - számításoknál logaritmustáblázat használata (szorzás helyett összeadásra) - nagyságrend-meghatározás
-
radioaktív bomlástörvény (exponenciális) A radioaktív bomló anyag tömege az idı szerint exponenciálisan változik: m( t ) = m 0 ⋅ e − k⋅t ahol k az anyagra jellemzı állandó, m0 a bomló anyag kezdeti tömege, t az idı. Például a 14-es tömegszámú szénizotóp radioaktív, és élı szervezetben is megtalálható egy adott jellemzı mennyiségben. Megmérve a leletben a 14C izotóp mennyiségét, a bomlási állandó ismeretében kiszámolható, hogy a kezdeti szintrıl mennyi idı alatt bomlott a mértre, vagyis hogy mikor „halt meg” a lelet.
-
fényelnyelés törvénye (Lambert-Beer törvény, logaritmikus) bekapcsolási jelenség pH számolás az oxónium-ion koncentrációjából: pH = − lg[H 3O + ] kémiai reakciók sebességfüggése a hımérséklettıl (exponenciális) elektródpotenciál függése a koncentrációtól, logaritmikus (Nernst-egyenlet)
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
-
logaritmikus skálák: Richter (rezgések amplitúdóját méri, nyitott végő) A Richter-skála a földrengések nagyságát, ún. magnitúdóját határozza meg. Ezt az értéket megkapjuk, ha a földrengés kiindulópontjától 100 km-re lévı szabvány szeizmográfon felvett szeizmogramban megmérjük a mőszer által jelzett legnagyobb kitérést mikrométerben, s annak tízes alapú logaritmusát vesszük. hangnyomásszint (decibelek) csillagfényesség (magnitúdó)
-
érzékelés: Weber-Fechner törvény: az ingerület észlelt erıssége arányos a fizikai erısségének logaritmusával (ezerszer akkora ingert tehát körülbelül háromszorakkorának érzünk)
-
számítási bonyolultság jellemzése: Egy halmaz elemei közül kell megkeresni (kiválasztani) néhányat. Ha a halmaz n elembıl áll, és az adatokból barkochbakérdésekkel kell megkeresni egyet, ezt (ha jól kérdezünk) log2 n kérdésbıl lehet megtenni. (Logaritmikus lépésszám.)
Ha mindegyik adatot külön-külön meg kell vizsgálni, akkor n lépést kell megtennünk, ha bármely kettıt össze kell hasonlítani, akkor n n ⋅ (n − 1) = lépésre vagy szükség. (Polinomiális lépésszám.) 2 2 Ha pedig az n db elem bármely részhalmazát meg kell vizsgálnunk, akkor 2n db lépésre van szükség. (Exponenciális lépésszám.) A logaritmikus vagy polinomiális lépésszámot igénylı problémák nagyobb adathalmaz esetén is még lefuttathatóak számítógépen, ám az exponenciális problémák kilátástalanul hosszú idıt vesznek igénybe viszonylag kis elemszámú halmaz esetén is.
