STATISTIK PERTEMUAN XI
Topik Bahasan:
Analisis Ragam (ANOVA)
Universitas Gunadarma
1. Pendahuluan Metode hipotesis dengan menggunakan distribusi z dan distribusi t efektif untuk uji hipotesis tentang perbedaan rata-rata µ dari satu atau dua populasi Analisis ragam (Analysis of varians /ANOVA) merupakan prosedur uji hipotesis dengan membandingkan rata-rata µ dari 3 atau lebih populasi secara sekaligus H0 : µ1 = µ2 = µ3 (Semua rata-rata 3 populasi adalah sama) H1 : Rata-rata 3 populasi adalah tidak semuanya sama Uji analisis ragam dilakukan dengan menggunakan distribusi F.
2. Distribusi F • Seperti halnya distribusi t, bentuk kurva distribusi f tergantung dari jumlah derajat bebas df, yaitu terdiri dari 2 derajat bebas dimana satu sebagai pembilang dan satu sebagai penyebut. Keduanya disebut sebagai parameter untuk distribusi f. df = (8, 14) Pembilang/numerator (dfn)
Penyebut/denumerator (dfd) 3
• Meningkatnya derajat bebas df, puncak kurva distribusi f bergerak ke kanan sehingga kemiringannya berkurang. df = (1, 3) df = (7, 6) df = (12, 40) df = (8, 14) 0.05
F
2.70
F
• Contoh : Tentukan nilai f untuk derajat bebas 8 untuk pembilang (dfn), dan 14 untuk penyebut (dfd), serta 0.05 luas daerah pada ekor sebelah kanan kurva distribusi f. (tabel hal. 180) F 0.05= (8, 14) = 2.70
Derajat Bebas untuk Pembilang 1
2
…..
8
…..
100
1
161.5
199.5
…..
238.9
…..
253.0
2
18.51
19.00
…..
19.37
…..
19.49
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
14
4.60
3.74
…..
2.70
…..
2.19
4
3. Analisis ragam satu arah
One-way ANOVA test menganalisa hanya satu faktor atau variabel. Sbg contoh, dalam pengujian kesamaan rata-rata µ untuk skor mahasiswa dengan 3 metode berbeda disini hanya ada 1 faktor yang mempengaruhi skor mahasiswa, yaitu metode. Jika 3 dosen yang berbeda dengan 3 metode yang berbeda disini ada 2 faktor yang mempengaruhi skor mahasiswa, yaitu metode dan dosen bukan uji satu arah. Asumsi untuk One-way ANOVA :
1. 2. 3.
Populasi-populasi dimana sampel diambil terdistribusi (mendekati) normal Populasi-populasi dimana sampel diambil memiliki ragam (simpangan baku) yang sama Sampel diambil dari populasi yang berbeda secara acak dan independent
• Uji analisis ragam satu arah selalu memiliki daerah penolakan (rejection) di sebelah kanan dari ekor kurva disribusi f. • Pengujian hipotesis dengan ANOVA memiliki prosedur yang sama dengan uji hipotesis sebelumnya. 5
3.1. Penghitungan nilai statistik uji f
Nilai statistik uji f untuk pengujian hipotesis dengan ANOVA merupakan rasio dua ragam, yaitu ragam antara sampel (MSB) dan ragam dalam sampel (MSW)
F=
MSB MSW
DIMANA
MSB = T1 2 SSB = n1
SSB ; k -1
MSW =
2 2 T2 2 T3 .... ( x) + n + n + 2 3
n
SSW n-k
T1 2 SSW = x - n1 2
T2 2 T3 .... + n + n + 2 3 2
Keterangan : x = variabel x k = jumlah perlakuan / treatment ni = ukuran sampel i Ti = total nilai variabel dalam sampel i n = jumlah semua sampel = n1 + n2 + n3 + … ∑x = total nilai x dalam semua sampel = T1 + T2 + T3 + … ∑x2 = total kuadrat nilai x dalam semua sampel 6
Contoh : Terdapat 3 metode pengajaran dalam mata kuliah Dasar-dasar pemrograman. Di akhir semester diberikan test yg sama pada 15 mahasiswa, dan diperoleh skor sbb : Metode I
Metode II
Metode III
48
55
84
73
85
68
51
70
95
65
69
74
87
90
67
Hitunglah nilai statistik uji f ! Jawab : Metode I
Metode II
Metode III
48
55
84
73
85
68
51
70
95
65
69
74
87
90
67
T1 = 324 n1 = 5
T2 = 369 n2 = 5
T3= 388 n3= 5
Σx = T1 + T2 + T3
n
= 324 + 369 + 388 = 1081 = n1 + n2 + n3 = 15
Σx2 = (48)2 + (73)2 + (51)2 + (65)2 + (87)2+ (55)2 + (85)2 + (70)2 + (69)2 + (90)2+ (84)2 + (68)2 + (95)2 + (74)2 + (67)2 = 80709 2 2 2 (1081)2 ( 369) ( 388) (324) SSB = + + = 432.13 5 5 5 15 SSW = 80709 -
(324) 5
2
+
( 369) 5
2
+
( 388) 5
2
= 2372.80 7
Menghitung nilai MSB dan MSW: MSB =
SSB 432.13 = = 216.07 k -1 3-1
MSW =
;
SSW 2372.80 = = 197.73 n-k 15 - 3
• Menghitung statistik uji f : F=
MSB 216.07 = = 1.09 MSW 197.73
• Tabel ANOVA : Sumber Keragaman Di antara kelompok
Derajat Bebas k-1
Jumlah Kuadrat SSB
Galat Sampling
n–k
SSW
Total
n-1
SST = SSB + SSW
Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Ratarata
MSB = MSW =
SSB k -1 SSW n-k
Kuadrat Ratarata
Di antara kelompok
2
432.13
216.07
Galat Sampling
12
2372.80
197.73
Total
14
2804.93
F hitung
F=
MSB MSW
F hitung
1.09
8
3.2. Uji ANOVA satu arah
Contoh : Merujuk pada contoh soal sebelumnya, ttg skor 15 mahasiswa yang diambil acak dari 3 kelompok metode pengajaran. Dengan tingkat signifikansi 1%, dapatkah kita menolak hipotesis nol (ho), bahwa skor seluruh mahasiswa dengan masingmasing metode pengajaran adalah sama? Asumsikan bahwa seluruh asumsi untuk uji anova satu arah telah terpenuhi. Jawab :
1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif katakan µ1, µ2, dan µ3 adalah rata-rata skor seluruh mahasiswa yang diajar, dengan metode I, II, dan III. H0 : µ1 = µ2 = µ3 (Semua rata-rata skor dari 3 kelompok adalah sama) H1 : Semua rata-rata skor dari 3 kelompok adalah tidak sama) H1 menyatakan bahwa sedikitnya satu rata-rata populasi berbeda dengan dua yang lain. 2. Pilih distribusi yang digunakan Karena kita membandingkan 3 rata-rata populasi yg terdistribusi normal, digunakan distribusi f untuk melakukan pengujian 3. Menentukan daerah kritis Tingkat signifikansi adalah 0.01. Karena uji anova satu arah maka daerah ekor kanan kurva distribusi f adalah 0.01. 9
Kemudian kita perlu mengetahui derajat bebas. df untuk pembilang = k -1 = 3 – 1 = 2 df untuk penyebut = n - k = 15 – 3 = 12 Sehingga dari Tabel Distribusi F, nilai kritis untuk F, F0.01 (2, 12) = 6.93 Terima Ho
Tolak Ho
df = (2, 12) = 0.01
6.93
F
4. Menentukan nilai statistik uji f Telah dihitung bahwa f hitung = 1.09 5. Membuat keputusan Karena f hitung = 1.09 lebih kecil dari nilai kritis f = 6.93, jatuh pada daerah penerimaan ho, dan kita gagal menolak ho. Sehingga disimpulkan bahwa rata-rata skor ketiga populasi adalah sama, dengan kata lain perbedaan metode pengajaran tidak menunjukkan pengaruh pada rata-rata skor mahasiswa. 10
• Latihan : Untuk melihat produktifitas kerja staf di bagian teller, seorang manager research suatu bank melakukan pengamatan terhadap jumlah customer per jam yang dapat dilayani oleh 4 orang teller. Data hasil beberapa pengamatan ditunjukkan pada tabel berikut : Teller A
Teller B
Teller C
Teller D
19
14
11
24
21
16
14
19
26
14
21
21
24
13
13
26
18
17
16
20
13
18
Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah H0 bahwa rata-rata jumlah customer per jam yang dilayani masing2 teller adalah sama. Asumsikan bahwa seluruh
asumsi untuk uji anova satu arah telah terpenuhi.
11
4. Analisis ragam dua arah
Two-way anova test menganalisa dua faktor atau variabel, baik tanpa interaksi maupun dengan interaksi. Misal : Pengaruh pemberian 3 jenis pupuk terhadap produksi 4 varietas gandum ada 2 faktor yaitu jenis pupuk dan varietas gandum yang ingin dilihat pengaruhnya terhadap produksi gandum
4.1. Two-way anova test (tanpa interaksi) • Ringkasan tabel anova 2 arah tanpa interaksi : Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Di antara Baris
r-1
SSB_r
Di antara kolom
c-1
SSB_c
Galat Sampling
(r – 1) (c – 1)
SSW = SST- SSB_r - SSB_c
Total
rc - 1
( x)2 SST = x r.c 2
Kuadrat Ratarata MSB_r =
SSB_r r -1
F hitung F1 =
MSB_r MSW MSB_c
SSB_c F2 = c -1 MSW SSW MSW = (r - 1) (c - 1) MSB_c =
-
12
DIMANA
T SSB_r =
r1
2
2
Tr2 Tr3 c
2
+
....
- ( x)
2
r.c
T SSB_c =
c1
2
2
Tc 2 Tc 3 r
2
+
....
- ( x)
2
r.c
( x)2 SST = x r.c 2
Keterangan : x = variabel x r = jumlah perlakuan / treatment dalam baris c = jumlah perlakuan / treatment dalam kolom Tri = total nilai variabel dalam baris ke-i Tcj = total nilai variabel dalam baris ke-j ∑x = total nilai x dalam semua sampel = T1 + T2 + T3 + … ∑x2 = total kuadrat nilai x dalam semua sampel
Contoh : Tabel berikut menunjukkan data produksi 3 varietas gandum (dalam ton/ha) dengan 4 jenis perlakuan pupuk. Ujilah h0’, pada taraf nyata 0.05 bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum untuk ke-4 perlakuan pupuk tsb. Juga ujilah h0”, bahwa tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-3 varietas gandum tersebut. 13
Varietas Gandum
Jenis Pupuk
Total
Rata-rata
74
210
70
57
47
159
53
59
66
58
183
61
p4
58
57
53
168
56
Total Rata-rata
236 59
252 63
232 58
720
v1
v2
v3
p1
64
72
P2
55
P3
Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif a. H0 : 1 = 2 = 3 = 3 = 0 (pengaruh baris / jenis pupuk adalah nol) H1 : Sekurang-kurangnya satu i adalah tidak sama dengan nol) b. H0” : β1 = β2 = β3 = 0 (pengaruh kolom / varietas gandum adalah nol) H1 : Sekurang-kurangnya satu βj adalah tidak sama dengan nol) 2. = 0.05 3. Wilayah kritis : F1 > 4.76 (dari tabel distribusi F, untuk F0.05(3.6) = 4.76) F2 > 5.14 (dari tabel distribusi F, untuk F0.05(2.6) = 5.14) 4. Perhitungan :
T SSB_r =
r1
2
2
Tr2 Tr3 c
2
+
....
- ( x)
2
r.c
210 =
2
2
159 183 3
2
+ 168
2
- ( 720)
2
12
498 14
T SSB_c =
c1
2
2
Tc 2 Tc 3
2
....
+
r
- ( x)
2
r.c
236 =
2
2
252 232 4
2
+
....
- ( 720)
2
12
56
( x)2 SST = x r.c 2
( 720)2 = ( 64 55 59 58 72 57 66 57 74 47 58 53 ) 662 12 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Hasil perhitungan disajikan dalam tabel ANOVA berikut : Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Ratarata
F hitung
Di antara Baris
3
498
166
9.22
Di antara kolom
2
56
28
1.56
Galat Sampling
6
108
18
-
Total
11
662
-
-
5. Keputusan : a. Tolak H0’ dan simpulkan bahwa ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-4 jenis pupuk tersebut. b. Terima H0” dan simpulkan bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-3 varietas gandum.
15
Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Tiap Sel Baris
Kolom
Total
1
2
…
j
…
c
1
x11
x12
..
x1j
..
x1c
Tr1
2
x21
x22
..
x2j
..
x2c
Tr2
..
..
..
..
..
..
..
i
xi1
xi2
..
xij
..
xic
Tr3
..
..
..
..
r
xr1
xr2
..
xrj
..
xic
Trr
Total
Tc1
Tc2
..
Tcj
..
Tcc
T (Σx)
..
16
4.2. Two-way anova test (dengan interaksi) • Tiga hipotesis nol (H0 ) yang berbeda dapat diuji dengan anova dua arah dengan interaksi, yaitu : – – –
Tidak ada efek baris Tidak ada efek kolom Tidak ada efek interaksi 2 faktor baris dan kolom
• Ringkasan tabel anova 2 arah dengan interaksi : Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Di antara Baris
r-1
SSB_r
MSB_r =
SSB_r r -1
F1 =
Di antara kolom
c-1
SSB_c
MSB_c =
SSB_c c -1
F2 =
Interaksi Baris dan kolom
(r – 1) (c – 1)
SSB_i
MSB_i =
Galat Sampling
r.c (n - 1)
SSW
MSW =
Total
r.c.n - 1
( x)2 SST = x r.c.n 2
Kuadrat Rata-rata
SSB_i (r - 1) (c - 1)
SSW r.c (n - 1) -
F hitung
F2 =
MSB_r MSW MSB_c MSW MSB_i MSW
-
17
DIMANA :
T SSB_r =
r1
2
2
Tr2 Tr3
2
+
c.n
....
- ( x)
T SSB_c =
2
c1
r.c.n
2
2
Tc 2 Tc 3 r.n
x 2 Tr1 Tr2 Tr3 ... Tc1 Tc 2 Tc3 ... ( x)2 SSB_i = n c.n r.n r.c.n 2
2
2
2
2
2
2
+
....
- ( x)
2
r.c.n
( x)2 SST = x r.c.n 2
Keterangan : x = variabel x r = jumlah perlakuan / treatment dalam baris c = jumlah perlakuan / treatment dalam kolom n = jumlah pengamatan / ulangan dalam sel Tri = total nilai variabel dalam baris ke-i Tcj = total nilai variabel dalam baris ke-j ∑x = total nilai x dalam semua sampel = T1 + T2 + T3 + … ∑x2 = total kuadrat nilai x dalam semua sampel
18
Contoh : Tabel berikut menunjukkan data produksi 3 varietas gandum (dalam ton/ha) dengan 4 jenis perlakuan pupuk dengan masing2 percobaan dengan 3 ulangan. Ujilah pada taraf nyata 0.05 untuk : a. H0’ : tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-4 perlakuan pupuk. b. H0” : tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-3 varietas gandum. c. H0”’ : tidak ada interaksi antara jenis pupuk dan varietas gandum Jenis Pupuk
Varietas Gandum v1
v2
v3
64 66 70
72 81 64
74 51 65
P2
65 63 58
57 43 52
47 58 67
P3
59 68 65
66 71 59
58 39 42
58 41 46
57 61 53
53 59 39
p1
p4
Varietas Gandum
Jenis Pupuk
v1
v2
v3
p1
200
217
190
607
P2
186
152
172
510
P3
192
196
139
527
p4
145
171
150
466
Total
723
736
651
2110
Total
19
Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif a. H0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 0 (pengaruh baris / jenis pupuk adalah nol) H1 : Sekurang-kurangnya satu i adalah tidak sama dengan nol) b. H0” : β1 = β2 = β3 = 0 (pengaruh kolom / varietas gandum adalah nol) H1 : Sekurang-kurangnya satu βj adalah tidak sama dengan nol) c. H0”’ : ( β)11 = ( β)12 = … = ( β)43 = 0 (pengaruh interaksi adalah nol) H1 : Sekurang-kurangnya satu ( β)ij adalah tidak sama dengan nol) 2. = 0.05 3. Wilayah kritis : a. F1 > 3.01 (dari tabel distribusi F, untuk F0.05(3, 24) = 3.01) b. F2 > 3.40 (dari tabel distribusi F, untuk F0.05(2, 24) = 3.40) c. F3 > 2.51 (dari tabel distribusi F, untuk F0.05(6, 24) = 2.51) 4. Perhitungan : ( x)2 ( 2110)2 2 2 2 SST = x (64 66 .... 38 ) 127448 123669 3779 r.c.n 4.3.3 2
T SSB_r =
r1
2
2
Tr2 Tr3 c.n
2
+
....
- ( x) 607 2
r.c.n
2
2
2
2
510 527 + 466 ( 2110)2 9 36
= 124826 - 123669 1157 20
T SSB_c =
c1
2
2
Tc 2 Tc 3
2
+
r.n
....
- ( x)
2
r.c.n
723 =
2
2
2
736 651 ( 2110)2 350 12 36
x 2 Tr1 Tr2 Tr3 ... Tc1 Tc 2 Tc3 ... ( x)2 SSB_i = n c.n r.n r.c.n 2002 1862 .... 1502 = - 124826 124019 123669 771 3 2
2
2
2
2
2
Hasil perhitungan disajikan dalam tabel ANOVA berikut : Sumber Keragaman
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Rata-rata
F hitung
Di antara Baris
3
1157
385.667
6.17
Di antara kolom
2
350
175.000
2.80
Interaksi
6
771
128.500
2.05
Galat Sampling
24
1501
62.542
-
35
3779
-
-
Total
5. Keputusan : a. Tolak H0’ dan simpulkan bahwa ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-4 jenis pupuk tersebut. b. Terima H0” dan simpulkan bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-3 varietas gandum. c. Terima H0” dan simpulkan bahwa tidak ada interaksi antara jenis pupuk dan varietas gandum. 21
Topik Bahasan:
Uji chi kuadrat-statistika 2 22
UJI CHI KUADRAT (2)
Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara : - frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan - frekuensi harapan/ekspektasi frekuensi observasi frekuensi harapan
didapat dari hasil percobaan (o) didapat secara teoritis (e)
Contoh : Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali). Berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?
Kategori Frekuensi ekspektasi (e)
Sisi-1
Sisi-2
Sisi-3
Sisi-4
Sisi-5
Sisi-6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Jika dadu setimbang dilempar 120 kali maka masing-masing sisi akan muncul sebagai berikut Kategori Frekuensi ekspektasi (e)
Sisi-1
Sisi-2
Sisi-3
Sisi-4
Sisi-5
Sisi-6
20
20
20
20
20
20
Frekuensi ekspektasi = 20 diperoleh dari 1/6 x 120 Dalam sebuah percobaan, apakah frekuensi observasi akan sama dengan frekuensi ekspektasi? Uji chi kuadrat-statistika 2 23
Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (²)
Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif. Bentuk distribusi ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom dan luas daerah di bawah kurva ² db; α Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma) Contoh: nilai ² untuk db = 5 dengan luas daerah di sisi kanan kurva (α) = 0.010 adalah 15.0863 (Tabel hal 178) α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
9.23635
11.0705
12.8325
15.0863
16.7496
db 5
Uji chi kuadrat-statistika 2 24
Bentuk kurva x2
Daerah penolakan H0 → χ² > χ² tabel (db; α) Pengunaan Uji ² a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit b. Uji Kebebasan c. Uji beberapa proporsi Bentuk hipotesis H0: f0 = fe H : f0 ≠ fe 2 Uji 0chi kuadrat-statistika 25
Uji Kecocokan 2.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. H1 : ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/ perbandingan tersebut. Contoh 1 : Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali. H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali. H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali. Contoh 2: Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1 Uji chi kuadratstatistika 2 26
statistik Uji (² hitung) : k
2 i 1
(oi - ei) e
2
i
k : banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k oi : frekuensi observasi untuk kategori ke-i ei : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i Hitung frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0 Derajat Bebas (db) = k - 1 Contoh Berikut adalah hasil pengamatan dari pelemparan dadu 120 kali. Kategori Frekuensi ekspektasi (e)
Sisi-1
Sisi-2
Sisi-3
Sisi-4
Sisi-5
Sisi-6
20
22
17
18
19
24
Dengan taraf nyata 5 % ujilah apakah dadu dapat dikatakan seimbang? Uji chi kuadrat-statistika 2 27
Jawab 1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali. H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali. 2. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 4. Nilai Tabel χ² db = 5; α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705 5. Daerah Penolakan H0 jika χ² > χ² tabel (db; α) χ² > 11.0705 2 6. X hitung : 2 oi
ei
oi-ei
Sisi - 1
20
20
0
0
Sisi – 2
22
20
2
0.20
Sisi – 3
17
20
-3
0.45
Sisi – 4
18
20
-2
0.20
Sisi – 5
19
20
-1
0.05
Sisi - 6
24
20
4
0.80
H0: f0 = fe H0 : f 0 ≠ f e
(oi-ei) /ei
X2 hitung = 1.70
7. Kesimpulan : χ² hitung = 1.70 < χ² tabel Nilai χ² hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima
Uji chi kuadrat-statistika 2 28
Uji Kebebasan : Menguji ada tidaknya hubungan antar dua variabel Contoh: Kita ingin mengetahui apakah hobi ‘mengemil’ ada hubungannya dengan obesitas Bentuk hipotesis: H0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel) H1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel) Data pada pengujian ketergantungan (hubungan) variabel disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab) Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris xKolom k kolom Kolom ke-1 ke-2 Total baris Baris ke-1
Total baris ke-1
Baris ke-2
Total baris ke-2
Total kolom Wilayah kritis: X2 htung > X2 db; α Derajat bebas =(r-1) (k-1) Uji chi kuadrat-statistika 2 29
Total kolom ke-1 H0 ditolak
Total kolom ke-2
Total pengamatan
Uji X2 hitung 2
2
(oij - eij) e r,k
i, j1
ij
oi j : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ei j : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j Frekuensi ekspektasi (harapan):
frekuensi harapan sel ke ij
total baris ke - i x total kolom ke - j total pengamatan
Contoh Berikut adalah data jam kerja berdasarkan jenis kelamin (gender)
Angka dalam kotak merupakan fekuensi harapan
Apakah ada hubungan antara jam kerja dengan jenis kelamin? Gunakan taraf nyata 5 %. Uji chi kuadrat-statistika 2 30
Jawab 1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas 2. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 4. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147 5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 5.99147 6. Perhitungan χ² Frekuensi harapan :
5 x 14 2.33 30 13 x 14 pria, 25 - 50 jam 6.07 30 12 x 14 pria, 50 jam 5.60 30 pria, 25 jam
Uji chi kuadrat-statistika 2 31
5 x 16 2.67 30 13 x 14 wanita, 25 50 jam 6.93 30 12 x 14 wanita, 50 jam 6.40 30 wanita, 25 jam
Kesimpulan χ² hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147) χ² hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, antar gender dan jam kerja saling bebas
Uji chi kuadrat-statistika 2 32
Uji beberapa proporsi Uji ini merupakan perluasan dari uji dua proporsi pada uji ini kita dapat menguji lebih dari dua proporsi bentuk hipotesis :
H0 : p1= p2= p3=…=pk (semua proporsi sama) H1 : p1; p2; p3;…; pk tidak semua sama
data pengamatan dapat disajikan sebagai berikut contoh 1
2
…
k
Keberhasilan (sukses)
x1
x2
…
xk
Kegagalan
n1-x1
n2-x2
…
nk-xk
n1
n2
…
nk
Derajat bebas = (baris-1) (kolom-1)= (2-1) (k-1)
Uji chi kuadrat-statistika 2 33
Contoh Berikut adalah data pengamatan tentang dukungan beberapa kelompok masyarakat terhadap suatu kebijakan Kelompok 1
Kelompok 2
Kelompok 3
Setuju
35
(35.10)
45 (44.81)
38 (38.09)
118
Tidak setuju
12
(11.9)
15 (15.19)
13 (12.91)
40
60
51
47
158
Angka dalam kurung merupakan frekuensi harapan. Apakah proporsi masyarakat yang mendukung /setuju terhadap kebijakan sama? Gunakan taraf nyata 5 %.
Jawab 1. H0 : proporsi masyarakat yang setuju sama H1 : proporsi masyarakat yang setuju tidak semuanya sama 2. Statistik uji X2 3. Taraf nyata (α) = 5 % 4. Nilai Tabel X² : db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147 5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 5.99147 Uji chi kuadrat-statistika 2 34
6. Perhitungan oi
ei
oi-ei
(oi-ei)2/ei
Kel-1, setuju
35
35.1
- 0.1
0.0003
Kel-2, setuju
45
44.81
0.19
0.0008
Kel-3, setuju
38
38.09
- 0.09
0.0002
Kel-1, tidak setuju
12
11.9
0.1
0.0008
Kel-2, tidak setuju
15
15.19
- 0.19
0.002
Kel-3, tidak setuju
13
12.91
0.09
0.0006 X2 hitung = 0.0047
7. Kesimpulan X2 hitung < X2 tabel 0.0047< 5.99147 H0 diterima proporsi kelompok masyarakat yang setuju terhadap kebijakan sama Uji chi kuadrat-statistika 2 35
