Jurnal Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
SISTEM ORTONORMAL DALAM RUANG HILBERT Orthonormal Systems in Hilbert Space
ZETH ARTHUR LELEURY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon E-mail:
[email protected]
ABSTRACT Hilbert space is one of the important inventions in mathematics. Historically, the theory of Hilbert space originated from David Hilbert’s work on quadratic form in infinitely many variables with their applications to integral equations. This paper contains some definitions such as vector space, normed space and inner product space (also called pre-Hilbert space), and which is important to construct the Hilbert space. The fundamental ideas and results are discussed with special attention given to finite dimensional pre-Hilbert space and some basic propositions of orthonormal systems in Hilbert space. This research found that each finite dimensional preHilbert space is a Hilbert space. We have provided that a finite orthonormal systems in a Hilbert space X is complete if and only if this orthonormal systems is a basis of X. Keywords: Hilbert space, Inner product space, Orthonormal systems, Pre-Hilbert space
PENDAHULUAN Ruang Hilbert diperkenalkan oleh David Hilbert (1862-1943), seorang ahli matematika yang sangat terkenal pada generasinya. Penelitian yang dilakukannya menciptakan dasar dari pekerjaannya mengenai “ruang dimensi tak terbatas”, yang kemudian disebut dengan ruang Hilbert, suatu konsep yang sangat diperlukan dalam matematika analisis. Ruang Hilbert merupakan ruang vektor atas suatu lapangan, dimana pada ruang vektor tersebut juga terdapat suatu inner product dan norm, sedemikian sehingga setiap barisan Cauchy konvergen ke suatu elemen di dalamnya. Hal ini disebut dengan penyempurnaan sifat dari ruang vektor. Selanjutnya dalam tesisnya yang berjudul Learning in Hilbert Spaces, Nimit Kumar juga mencoba menyusun suatu konsep tentang konvergensi barisan dalam ruang ber-norm yang mempunyai konsekuensi alami terhadap barisan Cauchy dan gagasan kelengkapannya (Kumar, 2004). Dalam kaitan dengan Ruang Hilbert L2 ( , ), pada tahun 1907, Fischer dan Riesz membuktikan suatu jawaban natural untuk masalah konvergensi deret Fourier klasik (Zeidler, 1995). Dalam penelitian ini akan
ditunjukkan bahwa hal tersebut merupakan suatu kasus khusus dari suatu hasil abstrak pada sistem ortonormal dalam ruang Hilbert. Selain itu juga dibahas beberapa sifat atau teorema tentang ruang pre Hilbert dan ruang Hilbert serta pembuktiannya. Diharapkan melalui penelitian ini, masalah-masalah dalam ruang pre Hilbert dengan dimensi terbatas dan sistem ortonormal dalam ruang Hilbert yang ditemui serta bentuk pengembangannya akan lebih mudah dipahami.
METODOLOGI PENELITIAN Tipe penelitian ini adalah studi pustaka yaitu mempelajari beberapa textbook dan jurnal yang berhubungan dengan penulisan, Kemudian mencoba membahas inti permasalahan tersebut dengan menuangkan secara benar. Penelitian ini dilakukan dengan cara mengumpulkan, mempelajari dan menganalisis textbook dan jurnal yang berkaitan dengan permasalahan yang diteliti. Hasil-hasil yang diperoleh dalam penelitian ini berupa pembuktian teorema dan akibat dengan menggunakan bantuan beberapa definisi dengan tetap memperhatikan keterkaitan yang ada.
20
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
KAJIAN PUSTAKA Pada bagian ini dikaji definisi dan beberapa teorema dari ruang vektor, ruang ber-norm, ruang inner product dan ruang pre-Hilbert sebagai konsep dasar dari pembahasan sistem ortonormal dalam Ruang Hilbert. Ruang Vektor Konsep dasar ruang vektor yang digunakan sebagai landasan pada pembicaraan selanjutnya adalah rentang(span), basis, dan dimensi. Definisi 1. (ruang vektor) Sistem X merupakan ruang vektor atas lapangan F, terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan skalar jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini : I. Terhadap operasi penjumlahan. 1.Tertutup ( v1,v2X) v1 + v2X 2.Asosiatif ( v1,v2,v3X ) (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3) 3.Terdapat elemen netral ( 0X )(vX ) 0+v=v+0=v 4.Setiap elemen mempunyai invers ( vX ) ( -vX ) v + (-v) = -v + v = 0 5.Komutatif ( v1,v2X) v1 + v2 = v2 + v1 II. Tertutup terhadap pergandaan skalar. ( vX ), F maka vX : FxX X nt
df
(,v) (,v) v vX III. Untuk setiap v1,v2X ; ,F 1. ( + )v1 = v1 + v1 2. (v1 + v2) = v1 + v2 3. ()v1 = (v1) 4. 1F . v1 = v1 selanjutnya ruang vektor X atas lapangan F dinotasikan dengan X(F). (Steven, 2001)
itu, maka X disebut berdimensi tak terbatas dan ditulis dim X . Jika X memiliki basis yang terdiri dari n vektor, maka dikatakan bahwa X memiliki dimensi n. Ruang bagian {0} dari X dikatakan memiliki dimensi 0. (Anton, 1987) Ruang Ber-Norm Ruang ber-norm adalah suatu ruang vektor dengan norm yang didefinisikan di dalamnya. Definisi 5. (norm) Diberikan ruang vektor X. Suatu fungsi riil .
: X R,
disebut norm jika memenuhi : 1. x 0 , x X 2.
x 0 x = 0
3.
x x ,
4.
x y x y ,
x X , R
x, y X
(Kreyszig,1978) Teorema 1. Misalkan {u n } suatu barisan dalam ruang ber-norm berdimensi terbatas dengan dim X 0 . u n u dalam X, n jika dan hanya jika komponen-komponennya saling berhubungan (corresponding components) satu sama lain dengan respek bahwa sebarang basis konvergen. (Zeidler,1995)
Definisi 2. (rentang/span) Misalkan v1 , v 2 ,..., v n adalah vektor-vektor dalam suatu
Definisi 6. Suatu barisan vektor {xn} dalam ruang be-norm disebut barisan Cauchy jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan M sedemikian sehingga xm xn untuk setiap m,n > M. Dengan kata lain Lim xm xn 0
ruang
vektor-vektor berbentuk 1 v1 2 v 2 ... n v n , dimana 1 , 2 ,..., n
(Zeidler,1995)
adalah skalar-skalar disebut suatu kombinasi linear dari v1 , v 2 ,..., v n . Himpunan semua kombinasi linear dari
Teorema 2. Misalkan {u n } suatu barisan Cauchy dalam ruang ber-
v1 , v 2 ,..., v n disebut rentang dari v1 , v 2 ,..., v n . Rentang
norm X atas F yang memiliki barisan bagian
dari
konvergen, yakni un u dalam X, untuk n Maka, keseluruhan barisan konvergen ke u. Dengan kata lain un u dalam X, untuk n
vektor
X.
v1 , v 2 ,..., v n
Jumlah
akan dinyatakan dengan Rentang
( v1 , v 2 ,..., v n ). Definisi 3. (basis) Jika X adalah
(Anton, 1987)
sebarang
ruang
vektor
dan
S {v1 , v2 ,..., vn } adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam X, maka S disebut suatu basis untuk X jika S bebas linear dan merentang X. (Anton, 1987) Definisi 4. (dimensi) Suatu ruang vektor X disebut berdimensi terbatas jika X berisi suatu himpunan vektor terbatas v1 , v2 ,..., vn yang
m , n
{u n }
yang
(Zeidler,1995) Ruang Inner product Definisi 7. (ruang inner product) Misalkan X ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungsi .,. : X x X F disebut inner product jika memenuhi aksioma-aksioma berikut :
membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan seperti Leleury
21
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
1.
x, x 0
2.
x, x 0 x = 0
un u , v n
3.
x, y
un u
4.
x, y x, y
un , v n
y, x
x y, z
5.
x, z
(ii)
y, z
untuk setiap x,y,zX dan F Suatu ruang vektor X bersama-sama dengan inner product disebut ruang inner product. Suatu ruang inner product adalah lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam X konvergen ke suatu titik dalam X . (Kreyszig,1978)
u, v
u, v F Sedemikian sehingga menunjukkan bahwa untuk setiap u, v, w X dan , F berlaku :
u, u 0 dan
ii.
u, v w u, v u, w ;
u, u 0 u 0 ;
v, u
(bar
menunjukkan
konjugat
bilangan kompleks). Suatu ruang pre Hilbert atas F adalah ruang vektor X atas F bersama dengan suatu inner product. Dari (ii) dan (iii) diperoleh bahwa :
v w, u
v, u
untuk setiap u, v, w X dan , F
w, u
(Zeidler,1995)
Teorema 3. (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Misalkan X adalah ruang pre Hilbert, maka berlaku :
1 2
u, u
v, v
1 2
untuk setiap u,vX
atau dapat ditulis dalam bentuk norm: u, v
u
vn v
0,
vn dalam M sedemikian sehingga vn u dalam X, n . Misalkan n , berarti untuk setiap n. Maka
u, v n
0
u, u 0 . Dengan demikian
diperoleh bahwa u = 0.
v
Sebelum membahas mengenai sistem ortonormal dalam ruang Hilbert, terlebih dahulu dibahas tentang definisi dan beberapa teorema dasar dari ruang Hilbert yang nantinya akan digunakan untuk pembuktian sifatsifat pada sistem ortonormal dalam Ruang Hilbert. Selain itu juga disajikan contoh ruang Hilbert dalam kaitannya dengan ruang pre-Hilbert dalam dimensi terbatas. Ruang Hilbert
i.
u, v
vn u
PEMBAHASAN
Definisi 8. (ruang pre Hilbert) Misalkan X ruang vektor atas lapangan F, dimana F = R atau F = C. Suatu inner product pada X memberikan u, v X dan setiap pasangan dengan u, v
u, v
u, v n v
n Jika M adalah dense dalam X, terdapat suatu barisan
Ruang Pre Hilbert
iii.
un u, v n u, v n v
=
untuk setiap u,vX
(Zeidler,1995)
Definisi 9. (Ruang Hilbert) Suatu ruang vektor X atas F adalah ruang Hilbert jika dan hanya jika berlaku sifat berikut : (i) Terdapat suatu inner product dalam X, dan (ii) Setiap barisan Cauchy
dengan norm u
adalah
konvergen. (Zeidler,1995) Teorema 5. Setiap ruang pre-Hilbert dengan dimensi terbatas adalah ruang Hilbert. Bukti Misalkan dim X = 0. Maka X 0 dan pernyataan ini trivial. Misalkan dim X 0 . Anggap bahwa {u n } adalah suatu barisan Cauchy. (4.3) Karena dua norm dalam ruang vektor dengan dimensi terbatas X atas F selalu
Teorema 4. Misalkan X adalah ruang pre Hilbert, maka : i. Inner product adalah kontinu, sehingga
ekivalen, maka dapat ditulis nj mj b u n u m
un u dan vn v , n Mengandung arti un , vn u, v , n ii. Misalkan M adalah dense subset dari X. Jika u, v 0 untuk u X dan setiap v M , maka u 0
Karena komponen–komponen berhubungan satu sama lain, akibatnya setiap barisan { nj } juga Cauchy.
Bukti (i) Jika
untuk setiap n, m n0 ( ) dan j .
Karenanya diperoleh
jn j , n untuk setiap j. Dari Teorema1 diperoleh bahwa
un u dalam X, n
vn terbatas, maka dari ketaksamaan Schwarz
(4.3) diperoleh bahwa:
Contoh (Ruang Hilbert L2 ( a, b) ) : Anggap bahwa a b .
Leleury
22
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
Misalkan L2 ( a, b) adalah notasi himpunan semua fungsi terukur. u : ( a , b) R b
Sedemikian sehingga
u
2
b
b
a
2
dx dan secara tidak langsung
a
b
uv
integral
dx . Maka
v
2
u dx and
b
dx ada, dan karenanya terdapat
a
a
a
(i) L2 (a, b) adalah suatu ruang Hilbert real dengan inner product : b
u, v uv dx untuk setiap u, v L2 (a, b) . a
(ii) dim L2 (a, b) Dengan tepat, digunakan mengikuti prinsip identifikasi (I) Dua fungsi u dan v berhubungan dengan elemen yang sama dalam ruang Hilbert L2 (a, b) jika dan hanya jika u( x) v( x) untuk setiap x (a, b) . Sehingga, elemen L2 (a, b) adalah kelas fungsi yang ditandai oleh (I).
Selanjutnya, dengan mengikuti ketaksamaan (3) diperoleh bahwa b
b
a
a
uv dx uv
b b 2 2 dx 21 u dx v dx a a
1 u v ini adalah ketaksamaan yang ketaksamaan (1).
dikehendaki
oleh
Langkah 2: Akan ditunjukkan bahwa L2 ( a, b) adalah ruang vektor. Untuk setiap , R dan x ( a, b) ,
u ( x ) v ( x) 2
2
u( x) 2 u( x) v( x) 2
Misalkan u, v L2 (a, b) . Maka, integral
Bukti Akan ditunjukan (i).
uv dx .
2
v( x)
2
b
2 u dx dan
a
b
Langkah 1: Ketaksamaan Schwarz Akan ditunjukkan bahwa jika u, v L2 (a, b) , maka b
integral
uv dx ada
2
ada. Dari langkah 1, secara tidak langsung
v dx
a
b
terdapat
uv dx . Oleh sebab itu integral
a
a
b
dan 1 2
2 2 a uv dx a u dx a v dx b
b
Untuk membuktikan ketaksamaan klasik
b
ini,
2 1 2
2
dimulai
uv
1 2
(1) dengan
mudah,
untuk setiap , C ,
(2)
yang mana ditunjukkan dari 2 2 2 0 2 . Diberikan
u
Berarti ketaksamaan (1)
bahwa
v v
dengan
, jika perlu, boleh
u 1 dan v 1 .
ketaksamaan (1),
u( x ) v( x ) 2 1 u( x) v( x) untuk x ( a, b) 2
dx 0 sehingga u( x ) 0 untuk setiap x ( a, b)
Dari prinsip identifikasi (I), diperoleh bahwa fungsi u u(x ) berhubungan dengan elemen nol u 0 dalam L2 ( a, b) . Sebaliknya, misalkan u = 0 elemen nol dalam
adalah benar. Anggap sekarang bahwa u 0 dan v 0 . Gantikan
diasumsikan
2
a
a
dan v
b
u, v uv dx adalah suatu inner product pada L2 ( a, b)
b
b
u u
Langkah 3: Akan ditunjukkan bahwa
Misalkan u, u 0 . maka
u( x ) 0 atau v( x ) 0 untuk setiap x (a, b) ,
u dengan
ada, atau dengan kata lain u v L2 (a, b) .
a
1
uv dx 0 ,
dx
a
Pertama akan ditujukkan bahwa u, u 0 u 0 .
b 2 2 u u dx . a Pertama misalkan u 0 atau v 0 . Maka
Oleh sebab itu
2
2
Dari (3)
Jika fungsi u dan v terukur pada (a, b) , maka uv adalah product. Dari ketaksamaan (3), terdapat integral
L2 ( a, b) . Dari (I), elemen ini berhubungan dengan kelas semua fungsi u dimana u( x ) 0 untuk setiap x ( a, b) .
Oleh sebab itu, u, u 0 . Selanjutnya, jika
u( x) u1 ( x) and v( x) v1 ( x) untuk setiap x ( a, b) diperoleh bahwa u( x) v( x) u1 ( x) v1 ( x) untuk setiap x ( a, b) , dan b
b
a
a
uv dx u1 ( x) v1 ( x) dx1 Leleury
23
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
atau dengan kata lain u, v u1 , v1 .
b
Akibatnya, inner product berkenaan dengan prinsip identifikasi (I), atau dengan kata lain tergantung hanya pada kelas fungsi yang sesuai. Terakhir, jika u, v, w L2 (a, b) , maka u, v v, u dan b
b
a
s
2
dx 1 , atau dengan kata lain s L2 (a, b) .
a
Selanjutnya dengan menggunakan sifat m 1
v m ( x) v1 ( x) v k 1 ( x) v k ( x) .
(5)
k 1
b
Dari (4),
a
s( x) v k 1 ( x) v k ( x) untuk x (a, b)
u ( v w) dx uv dx uw dx , a
dan
(6)
k 1
Atau u, v w u, v u, w
Dengan demikian, limit terbatas v( x) lim v m ( x) ada
Akibatnya, L2 ( a, b) adalah suatu ruang pre Hilbert. Jelas, ketaksamaan Schwarz u, v u v untuk setiap u, v L2 (a, b)
untuk setiap x ( a, b) . Pada titik ujung x dari interval ( a, b) ditetapkan bahwa v( x ) 0 . Seperti limit dari fungsi terukur v m , fungsi v adalah juga terukur pada
sesuai untuk ketaksamaan Schwarz klasik (2) dari Langkah 1.
interval ( a, b) . Sesuai dengan persamaan (5) dan (6),
m
Langkah 4: ruang Hilbert. Akan ditunjukkan bahwa L2 ( a, b) adalah ruang Hilbert. Untuk yang terakhir ini, harus ditunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam L2 ( a, b) adalah konvergen. Berdasarkan Definisi 6, cukup dibuktikan bahwa setiap barisan Cauchy dalam L2 ( a, b) mempunyai barisan bagian yang konvergen. Misalkan u n suatu barisan Cauchy dalam L2 ( a, b) , atau
u n u m untuk setiap n, m n0 ( ) .
barisan
s m (x)adalah
vk 1 ( x) vk ( x) . k 1
naik,
maka
S ( x) lim s m ( x) 2 ada untuk setiap x (a, b) , dimana m
0 S ( x) . Jika L2 ( a, b) adalah ruang pre Hilbert, maka ketaksamaan segitiga berlaku. Oleh sebab itu, m
s m v k 1 v k 2 2 1
2
karenanya v1 s L2 (a, b) , dari Langkah 2. Dengan mengikuti ketaksamaan (7) diperoleh bahwa b
a
2 2 v( x) dx v1 ( x) s dx , b
a
Atau dengan kata lain v L2 (a, b) . Terakhir, akan ditunjukan bahwa v n v dalam L2 (a, b) , n .
vn vm
m
monoton
Jika v1 L2 (a, b) , diperoleh v1 , s L2 (a, b) , dan
b
v n v m dx 2
2
a
Misalkan m , dengan mengikuti lemma Fatou diperoleh bahwa
vn v
b
vn ( x) v( x) dx 2
a
lim v n ( x) v m ( x) dx
... 1 untuk m 1
a
2
m
b
2 lim v n ( x) v m ( x) dx 2 , m a
b
2 s m ( x) dx 1 untuk setiap m 1 .
untuk setiap n m0 ( ) . Ini adalah (8)
a
Dengan demikian, dari lemma Fatou, fungsi S adalah terintegral atas ( a, b) dengan b
S ( x) dx lim s a
m
b
m
( x) 2 dx lim s m ( x) 2 dx 1. m
1
Misalkan s( x) S ( x) 2 , diperoleh
s( x) lim s m ( x) untuk setiap x (a, b) ,
Akan ditunjukkan (ii). Pilih suatu interval c, d dengan
c, d a, b dan c d . Didefinisikan x n jika x c, d u ( x) n
a
Khususnya, S (x ) terbatas untuk setiap x ( a, b) . Misalkan pada titik-titik ujungnya (remaining points ) didefinisikan kembali S dengan aturan S ( x ) 0 .
m
2
b
sehingga
a
2
untuk setiap n, m m0 ( ) .
k 1
b
(8)
terdapat m0 ( ) sedemikian sehingga
u nk 1 u nk 2 k k 1, 2, ...
Jika
(7)
Jika v n adalah suatu barisan Cauchy, untuk setiap 0
Pilih 2 k , k 1, 2, ... dan terdapat bilangan asli n1 n 2 ... sehingga
Himpunan v k u n dan s m ( x) k
v( x) v1 ( x) s( x) untuk setiap x (a, b) .
0
untuk yang lain
Maka u n L2 (a, b) untuk setiap n = 0, 1, 2, … sehingga diperoleh bahwa fungsi u 0 , .... , u n bebas linear untuk setiap n. Karenanya dim L2 (a, b) .
(4)
Leleury
24
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
Sistem Ortonormal Pada bagian ini diasumsikan bahwa : (H) Misalkan X suatu ruang Hilbert atas F = R = C, dan u 0 , u1 , ... sistem ortonormal terbatas atau terbilang dalam X. Dengan kata lain, menurut definisi, untuk setiap k, m u k , u m km
Akibat 7. Misalkan u n suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F. Asumsikan bahwa deret tak terbatas
u c n u n dengan c n F , n n 0
(9)
Sasaran utama adalah mempelajari konvergensi yang disebut Deret Fourier abstrak
u un , u un .
(10)
n 0
konvergen untuk sebarang u X maka c n u n , u n Bukti Dengan menggunakan persamaan (9) diperoleh m
m
m
sm un , u un . n 0
Definisi 10. Asumsikan (H). Sistem ortonormal terbatas
u 0 , . . . , u n
f (c 0 , ..., c m ) u c n u n ,
n
terbilang
(12)
u 0 , u1 , ...
n 0
dan dipertimbangkan masalah minimum berikut : dikatakan
lengkap dalam X jika dan hanya jika deret tak terbatas (10) konvergen untuk setiap u X . Artinya, u lim sm untuk setiap u X . m
(Zeidler,1995) Teorema 6. Sistem ortonormal terbatas
u 0 , . . . , u n lengkap dalam
ruang Hilbert X atas F jika dan hanya jika sistem ortonormal tersebut merupakan suatu basis dari X.
f (c 0 , ... , c m ) min! ,
m
m
f (c ) u c n u n , u c k u k
(13)
n 0
c 0 , ..., c n F
tergantung pada
u. Gunakan (9), diperoleh n
u k , u cn u k , u n ck ,
k = 0, 1, …, n.
n 0
Ini tersirat dalam persamaan (12). Berarti
u n
lengkap.
m
m
n 0
k 0
n 0
Oleh sebab itu,
f (c ) u
2
m
un , u
m
u n , u cn
2
n 0
2
(15)
n 0
Nilai terkecil dari f dicapai untuk c n u n , u , n 0, ... , m .
Khususnya, dari persamaan (11) diperoleh bahwa 2 u s m f (c) untuk setiap c F m dan m .
(16)
Dari persamaan (15)
u suatu sistem ortonormal yang lengkap; Maka u merupakan basis dalam X, oleh Misalkan
k 0
m
u, u c n u n , u c k u, u k c n c n
n
dimana koefisien
(14)
Bukti Dari persamaan (9),
Misalkan u n suatu basis dalam X. Maka
u c n u n untuk setiap u X
c 0 , ... , c m F
Teorema 8. Asumsikan (H). Maka, solusi tunggal dari persamaan (14) diberikan melalui koefisien Fourier c n u n , u , n 0, ... , m .
n 0
Bukti
2
m
u u n , u u n untuk setiap u X ortonormal
n 0
Ini merupakan pendukung persamaan (10). Akan diberikan suatu pendukung kedua untuk persamaan (4.10). Dalam rangka mendapatkan suatu aproksimasi terbaik dari u oleh suatu kombinasi linier c0 u 0 ... c m u m , diberikan
dikatakan lengkap dalam X jika dan hanya jika n 0
m
n 0
(11)
Nilai u n , u disebut koefisien Fourier dari u.
Sistem
m
u k , u lim u k , c n u n lim c n u k , u n c k .
juga ditetapkan
u sm
2
u
2
persamaan (12). Dalam hubungan ini, catat bahwa u 0 , . . . , u n adalah bebas linier, jika persamaan (13) dengan u = 0. Berarti c k 0 untuk setiap nilai k.
2
(17)
n 0
n
n
m
un , u
untuk setiap u X dan m . Karenanya diperoleh ketaksamaan Bessel berikut : m
n 0
un , u
2
u
2
untuk setiap u X dan m .
(18)
Teorema 9. (Kriteria Konvergensi) Misalkan u n suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F. Leleury
25
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
Maka deret
cn u n ,
u s mr
c n F , n ,
n 0
konvergen jika dan hanya jika deret
n 0
cn
Misalkan S m
S mk S m
2
n 0
lain, s m v, m . Misalkan r , dari ketaksamaan (20) dperoleh bahwa v = u.
Akibat 11. Misalkan u n suatu sistem ortonormal terbilang yang
c n u n . Dari persamaan (9), 2
m k
c u
n m 1
n
n
m k
c
n m 1
2
(19)
n
untuk setiap m, k = 1, 2, … Jika c n 2 konvergen, maka {S m } merupakan n 0 suatu barisan Cauchy. Karenanya {S m } konvergen. Dengan kata lain,
Jika
cu n
n
n
cu n
n
n
konvergen.
lengkap dalam ruang Hilbert atas F. Maka, pernyataanpernyataan berikut dianggap benar : (i) Untuk setiap u, v X ,
u, v c n (u ) c n (v)
n0 cn
2
konvergen, dari persamaan (19).
(persamaan Parseval),
n 0
(ii) Untuk setiap u X , ketaksamaan Bessel digantikan dengan yang disebut persamaan Parseval khusus
u
konvergen, maka {S m } merupakan
suatu barisan Cauchy, dan karenanya
(20)
Jika suatu Deret Fourier selalu konvergen, maka barisan s m konvergen. Dengan kata
2
konvergen. Bukti
1 , r = 1, 2, … r
2
un , u
2
.
n 0
(iii) Jika u n , u 0 untuk setiap n dan u X , maka u = 0. Bukti (i). Dari persamaan (9) dan persamaan (10),
Dengan mengikuti Teorema 9 dan ketaksamaan Bessel (18), maka diperoleh bahwa deret Fourier konvergen untuk setiap u X . Dengan kata lain, terdapat beberapa sehingga v X sedemikian
v un , u un .
u, v lim
m
m
c n 0
m
n
m
(u )u n , c k (v)u n lim c n (u ) c n (v) m
k 0
n 0
. (ii) Ini adalah kasus khusus dari (i). (iv) Ini ditunjukan dari persamaan (10).
n 0
Bagaimanapun, ini mungkin bila v u . Tetapi jika sistem ortonormal u n lengkap, maka v u untuk setiap
uX . Teorema 10. Misalkan u n suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F. Maka, dua pernyataan berikut adalah ekivalen : (i) Sistem u n lengkap dalam X. (ii) Span / rentangan u n dense (rapat) dalam X.
Bukti (i) (ii). Ini jelas, oleh Definisi 10 (ii) (i). Diberikan 0 , terdapat koefisien c 0 , ... , c m F sedemikian sehingga m
f (c ) u c n u n
2
.
n 0
Dapat diasumsikan juga bahwa m cukup besar, dengan memisalkan c n 0 untuk n besar. Pilih
1r , r 1, 2, …, dengan mengikuti ketaksamaan (16) bahwa terdapat suatu barisan bagian {s mr } sedemikian sehingga
KESIMPULAN Dari pembahasan pada bagian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Setiap ruang Pre Hilbert dengan dimensi terbatas adalah ruang Hilbert. 2. Sistem ortonormal terbatas u 0 , . . . , u n lengkap dalam ruang Hilbert X jika dan hanya jika sistem ortonormal tersebut merupakan suatu basis dari X.
3. Dengan asumsi bahwa deret tak terbatas u c n u n n 0
konvergen untuk sebarang u X maka cn un , u dengan merupakan sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert. 4. Untuk sistem ortonormal terbilang u n dalam ruang
Hilbert maka deret
c u n 0
jika deret
n 0
cn
2
n
n
konvergen jika dan hanya
konvergen.
5. Sistem ortonormal terbilang yang lengkap dalam ruang Hilbert saling ekivalen dengan pernyataan bahwa rentangan dari sistem ortonormal tersebut dense dalam ruang Hilbert tersebut . 6. Jika sistem ortonormal terbilang yang lengkap dalam ruang Hilbert atas maka berlaku persamaan Parseval
Leleury
26
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 19 – 26 (2014)
u, v c n (u ) c n (v) dan ketaksamaan Bessel dapat n 0
digantikan
u
2
dengan
persamaan
Parseval
khusus
un , u . 2
n 0
DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. Aljabar Linear Elementer. Erlangga, Jakarta. (1987). Kumar, Nimit. Learning in Hilbert Spaces. Departement of Electrical Engineering at Indian Institute of Technology, Kanpur. (2004). Kreyszig, Erwin. Introductory Functional Analysis With Applications. John Wiley & Sons, New York. (1978). Steven, Leon J. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Erlangga, Jakarta. (2001). Zeidler, Eberhard. Applied Functional Analysis, Application to Mathematical Physics. SpringerVerlag. (1995).
Leleury
