Tangram en het derde Problem von Hilbert Prof. Dr. Duco van Straten Johannes Gutenberg Universiteit Mainz 5 Februari 2005 Voordracht Noorwijkerhout
David Hilbert
(1862-1943)
Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen
Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen Problem Nr.3: Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfl¨ ache und H¨ ohe.
1. Het eeuwenoude Tangram-Spel
1. Het eeuwenoude Tangram-Spel
is helemaal niet zo oud! China ca. 1780
Het gaat erom leuke figuren te leggen.
URL: www.tan-gram.de
Zoals deze mooie zwaan:
Hier zijn de stukken:
Zo moet je ze neerleggen:
Schilderij van Jusepe de Ribera (1630) (Madrid)
Archimedes, 287 - 212
Het
Stomachion van Archimedes.
Het idee is verder hetzelfde...
Vraag:
Welke figuren kun je met Tangram leggen?
Vraag:
Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen!
Vraag:
Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen! Lange dunne figuren kunnen niet!
2. De Oppervlakte van Figuren
h
a A(
) = ah
Het Parallelogram
h
a A(
) = ah
De Driehoek
A(
a ) = (1/2) ah
h
Nu een willekeurige Figuur F
Die delen we natuurlijk op...
in driehoeken D1 , D2 , D3 , . . . D N en zetten dan A(F ) = A(D1) + A(D2) + . . . A(DN )
We krijgen zo een Funktie A : {F iguren} −→ R, F 7→ A(F )
3. Het Vloerbedekkingsprobleem
Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking?
3. Het Vloerbedekkingsprobleem
Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien ?
3. Het Vloerbedekkingsprobleem
Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien ? Verknippen !
Bij deze verhuizing
is het vrij makkelijk
Maar hoe ga je dit aanpakken?
√ De zijde is 2/ 4 3 = 1.519614... maal groter
Opgelost door Dudney, 1902!
Voor...
...deze...
...verhuizing...
...moet...
...je...
...zo...
...slim...
...zijn...
...als...
Gavin Theobald !
Maar is het altijd mogelijk?
Vraag:
Gegeven figuren F en G met A(F ) = A(G) Kun je de figuur F tot “Tangram” verknippen, en daaruit de figuur G leggen?
Wanneer dit mogelijk is schrijven we F ∼G en noemen F en G schaar-equivalent. Dus: F = F 1 + F2 + . . . + F r G = F10 + F20 + . . . + Fr0 waarbij Fi kongruent met Fi0
De volgende zaken zijn vrij duidelijk F ∼F F ∼ G =⇒ G ∼ F F ∼ G en G ∼ H =⇒ F ∼ H Het is een equivalentie-relatie.
G
F
G
H
Duidelijk is: F ∼ G =⇒ A(F ) = A(G) maar is omgekeerd A(F ) = A(G) =⇒ F ∼ G waar ?
Laat geen der Geometrie onwetende hier binnentreden!
Euclides (365-275)
De Axiomatische Methode De Elementen • Axioma • Definitie • Stelling • BEWIJS!
4. Oplossing von het vloerbedekkingsprobleem Stelling: (Euclides, F.Bolyia, P. Gerwien) (1832) A(F ) = A(G) =⇒ F ∼ G Bewijs:
Stap 1: We verdelen F zoals voorheen
Stap 2: We werken met de driehoeken
en maken er rechthoeken van.
Stap 3: Bij rechthoeken met gelijk oppervlak b’ b
ab=a’b’
,
a’ b/a’ = b’/a
a
Stap 3: ...heb je evenwijdigheid b’ b
ab=a’b’
,
a’ b/a’ = b’/a
a
Stap 3: De truc is... b’ b
ab=a’b’
,
a’ b/a’ = b’/a
a
Stap 3: ...verschuiven! b’ b
ab=a’b’
,
a’ b/a’ = b’/a
a
Stap 4: In deze situatie...
..moet je eerst halveren.
Stap 5: Maak de lengte van alle rechthoeken gelijk 1
1
A(F)
en zet ze achter elkaar
Stap 6: We hebben nu F ∼ R en net zo G ∼ R en
dus F ∼G QED
Pythagoras
Perigal,(1873)
5. 3-D Tangram
Chientu
Yangma
Piehnao
Een Kubus
is of zijn
3 Yangma’s
En een Piehnao
kun je
verknippen tot
een prisma
Een willekeurig lichaam...
...kun je opdelen...
...in Pyramiden
Volume van figuur F V (F ) = V (P1) + V (P2) + . . . V (PN ) Wat is het volume von een pyramide?
Stelling van Eudoxos
1 V (P ) = HA(B) 3
Eudoxos (408-355)
Limietproces!
Hilberts Vraag: Bestaat er een Tangram-bewijs voor Stelling von Eudoxos? Of, wat op hetzelfde neerkomt: V (F ) = V (G) =⇒ F ∼ G
Max Dehn
(1878-1952)
Stelling van Dehn (1902):
Tetraeder en Prisma met gelijk volume
T
W
zijn niet schaar-equivalent!
Dehn-Invariant:
• D(F + G) = D(F ) + D(G) • D(F ) = D(F 0) • F ∼ G =⇒ D(F ) = D(G).
D gedraagt zich als V , maar:
• D(Prisma) = 0 maar D(T) 6= 0
Definitie van D Gegeven een lichaam met ribben K1, K2, . . . , Kr . Dan heb je:
• li ∈ R de lengte van de ribbe. • θi ∈ R/π Z de hoeken tussen de vlakken bij die ribbe.
li θi
D(F ) := l1 ⊗ θ 1 + l 2 ⊗ θ 2 + . . . + l r ⊗ θ r
D(F ) is geen getal maar element van een Tensorprodukt R ⊗ (R/π Z)
Dit is een rare groep met rekenregels: (l1 + l2) ⊗ θ = l1 ⊗ θ + l2 ⊗ θ l ⊗ (θ1 + θ2) = l ⊗ θ1 + l ⊗ θ2
θ l1 l2
θ
θ1 θ2
l
De Dehn-invariant von een Prisma is 0,
D(Prisma) = 0 omdat 1) l ⊗ (π/2) + l ⊗ (π/2) = l ⊗ π = 0 en 2) de som van de hoeken in een driehoek=π. h ⊗ θ1 + h ⊗ θ2 + h ⊗ θ3 = 0
Dus ook D(Yangma) = 2 · D(Piehnao) = 0 want D(Piehnao) = D(Prisma) = 0 maar: D(T) 6= 0 omdat 1 cos(α) = =⇒ α 6∈ Qπ 3 (de moeilijkste stap)
Fazit:
Wiskunde is tijdnoos en nooit af.
Fazit:
Dehn-invariant iets heel geks.
Fazit:
Tensorprodukten op school?
Satz van Sydler (1965):
V (F ) = V (G) en D(F ) = D(G) =⇒ F ∼ G
Boekenlijst
Over verknippen: S. Coffin: The Puzzling World of Polyhedral Dissections, Oxford University Press, Oxford-NewYork, 1990. Greg N. Frederickson: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2002.
Over Meetkunde: C. Pritchard (ed): The changing shape of geometry. Celebrating a century of Geometry and Geomatry teaching, Cambridge University Press, 2003. R. Hartshorne: Geometry, Euclid and beyond, Springer, 2001.
Over de problemen van Hilbert: C. Reid: Hilbert, Springer Verlag, Berlin Heidelberg NewYork, 1970. F. Browder (ed): Mathematical Problems arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume XXVIII, American Mathematical Society, Rhode Island, 1976. The master class
Over Hilberts derde probleem: V. G. Boltianski: Hilbert’s Third Problem, Scripta Series in Mathematics, V. H. Winston & Sons, Washington, 1978. C.-H. Sah: Hilbert’s third Problem: Scissors Congruence, Research Notes in Mathematics Vol. 33, Pitman, San Francisco-London-Melbourne, 1979. P. Cartier: D´ ecomposition des poly` edres: le point sur le troisi` eme proble´ eme de hilbert, Seminaire Bourbaki, No. 646, (1985).
