Sbírka úloh z matematiky pro 2. ročník tříletých učebních oborů
Jméno: ……………………… Třída: ………………
Obsah
Výrazy Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů Násobení výrazů Dělení výrazů jednočlenem Vytýkání před závorku Rozklad podle vzorců Lomené výrazy Lineární rovnice o jedné neznámé Rovnice se závorkami Rovnice se zlomky Rovnice s neznámou ve jmenovateli Slovní úlohy Vyjádření neznámé ze vzorce Nerovnice Soustavy rovnic Slovní úlohy Soustavy nerovnic Kvadratické rovnice Slovní úlohy
Test:
3 4 5 6 6 8 8 9 11 18 20 22 24 26 27 30 33 37 38 38 44
J
2
Výrazy Výraz je
a) každé číslo a každá proměnná b) součet, rozdíl, součin a podíl (pokud hodnota dělitele je různá od nuly) dvou výrazů c) mocnina a absolutní hodnota výrazu
Početní operace provádíme v tomto pořadí: 1. umocňování a odmocňování 2. násobení a dělení 3. sčítání a odčítání Pokud jsou ve výrazu závorky, má výpočet hodnoty v závorce přednost před všemi jinými úpravami. 1. Určete hodnotu výrazu 3 + 17 13 − 4 a) 26 + − - (16+11) = 5 3 b) 14 . 33 – 27 : 3 + 11 . 4 : 2 = c) 14 . (33 – 27) : 3 + 11 . (4 : 2) = d) (14 . 3)3 – 27 : (3 + 11 . 4 : 2) = e) 3 . 52 – 24 : 4 + 2 . 3 = f) 3 . (52 – 24) : 4 + 2 . 3 = g) (3 . 5)2 - [24 : (4 + 2)] . 3 = h) 3 . (52 – 24 : 4) + 2 . 3 =
2. Určete hodnotu výrazu
3x2 -
2x +15 3
a) pro x = 0,
b) pro x = 2,
c) pro x = - 1
3. Určete hodnotu výrazů: x
-1
0
0,5
-2
x
y
2x-3
2(y-2)
3x-y
-1
0
2
-2
0
-3
3
-10
x+1 10-x 3x-2 2(1-2x)
3
4. Určete, zda je výrazem zápis: a) 3x – y + 987 b) 2x = 0 c) 84 ≥ 72 d) 4a8 – 5b-3 e) -156
Člen výrazu Součin, podíl nebo mocninu považujeme jako celek za jediný člen. Před každým členem je tedy znaménko + nebo -. Znaménko + se před prvním členem vynechává. Dva výrazy, které se navzájem liší pouze ve znaménkách před všemi svými členy, se nazývají opačné výrazy. Hodnoty dvou navzájem opačných výrazů jsou opačná čísla. 1. Vypište jednotlivé členy výrazu: a) 2 . 3 – 6 b) 20 : 5 + 2 . 4 c)
3 -1 2
d) 2 . 82 – (3 + 4). (2 –4) e) 35 . 24.(8 + 3) f) 3x + 7x2 – x + 6
2. Zapište k výrazům ze cvičení 1 výrazy opačné.
3. Určete opačný výraz k výrazu
4x3 – 7x + 9 a hodnotu obou výrazů pro x = 4.
4
Absolutní hodnota Absolutní hodnota reálného čísla: Absolutní hodnotu čísla si můžeme představit jako vzdálenost tohoto čísla od počátku číselné osy. Zapisujeme ji pomocí svislých čárek . Absolutní hodnota a) kladného čísla je číslo samo; +5 = 5 8 = 8 b) záporného čísla je číslo k němu opačné -7 = 7 -3 = 3 c) nuly je nula 0 = 0 Absolutní hodnota výrazu - je rovna výrazu samému, pokud je jeho hodnota nezáporná, - je rovna výrazu opačnému, pokud je jeho hodnota záporná. Příklad: Určete 2x - 1. Řešení: Pokud je 2x – 1 ≥ 0 1 , x≥ 2 Pokud je 2x – 1 < 0, 1 x< , 2
je
2x - 1 = 2x – 1,
je
2x - 1 = -2x + 1.
1. Vypočtěte: a) 17,2 - -32,6 + -15,4 + 7,8 = b) 12,4 + -2,3 . (-13,5) = c) 26,5 – 63,2 . 0,6 + (-7)=
*2. Určete absolutní hodnotu výrazů: a) 7 – 2x b) 12a + 16 c) –6b – 36 d) 2m + 6 3. Napište opačný výraz k výrazu: a) 3m2 –4mn + n3 b) 18x – 3x -1 + 4x –5 4. Určete hodnotu výrazu 2x4 – 7x3 + 3x2 +2x –5
pro x = -3.
5
Sčítání a odčítání výrazů K danému výrazu přičteme výraz tak, že přičteme každý jeho člen. Výraz odečteme tak, že přičteme výraz k němu opačný. 1. Výraz
3x2 – 5x + 2 přičtěte k výrazu
2. Výraz
3x2 – 5x + 2 odečtěte od výrazu
x –1 2x2 +3
3. Vypočtěte: a) 3a – 2 + 2a = b) 2x + 3 + 3x – 2 = c) 5a + (3a +7) = d) 9a – (6 – 5a) = e) (6a + 3) + (2a + 5) = f) (4x – 8) – (-9x + 6) = g) (25a – 37 b – 9) + (12a + 16 b – 24) = h) (x + 2y – 3z) – (x –2y – 3z) = i) (5a + 3b – 7c – 9) + (-3a + 7b + 9c – 3) = j) (15x + 27y –12z) – (30y – 10z + 5x) = k) x + (2y – 3z – x) – (2y – z + 3x) = l) a – (a –b) + (a – b) – b + (a + b) = m) 3x - [2x + 6 + (5x –8)] = n) 6m - [(2m – 6) + (3m + 7)] =
Násobení výrazů Při násobení výrazů násobíme každý člen jednoho výrazu každým členem druhého výrazu. 1.Vynásobte: a) 3a . 7ab = b) 5a2b . 3ab2 =
c) 6a2b2. (-8ab3) = d) (-5xy) . (-3x3y4) =
6
2. Vynásobte: a) m(m +5) = b) 4n(3n –7) =
c) 5r(2r –0,2) = d) (-6x)(x + y) =
e) 7x(x – 2y + 3) = f) (-8x + y – 5)(-2) = g) (-3,5x + 0,2y –1)(-4x) =
3. Zjednodušte: a) 5x + 3(x –7) = b) 9a – 6(2a – 1) = c) (4x – 5y).3 – 2x = d) 5xy + 2x(y –3) + 15x = e) (-8)(-r + s) – 3(4r + 7s) =
4.Vynásobte: a) (m – 3)(m + 5) = b) (x + 4)(x – 7) = c) (2n + 3)(4 –n) = d) (5a – 6)(7 – 3a) = e) (6a + b)(a – 5b) = f) (4x + 5)(-4x –5) =
5. Vynásobte a zjednodušte: a) (m + 1)(3m2 – 5m + 6) = b) (6n2 + 2n – 3)(5 – n) = c) (a – 4)(a – 3)(a –2) = d) 7x – 3x(8y – 7) + 4y(6x – 2) = e) (2x – 3)3y – (5x – 7)4y + 6y = f) (2a + 3)(8b – 6) + (7a – 3)(4b – 1)=
7
g) (4a + 2)(6b – 9) + (3a + 6)(3 – 8b) = h) 2x – 5x[3 – 4(6x –8)] = i) (2x – 3)[(2x – 3)2x -3] =
6.Umocněte: a) (x + 3)2 = b) (y – 2)2 =
Dělení výrazů jednočlenem Při dělení výrazů jednočlenem vydělíme každý člen výrazu jednočlenem. 1.Vydělte výrazy: a) (4a + 4) : 4 =
e) (-14y – 7x) : (-7) =
b) (12x – 6) : 3 =
f) (-3x + 6y) : (-1) =
c) (27m + 45) : 9 =
g) (8r2 – 6r) : 2r =
d) (5a – 5b) : (-5) =
h) (-21s4 + 3s2) : (-3s2) =
i) (-18b2a3 + 36a3b – 9ab) : (-9ab) = j) (4r4s4 – 8r3s3 + 16 r6s6) : 2r3s3 =
J
Vytýkání před závorku ac + bc = c(a + b) Vytknout před závorku můžeme každého dělitele všech členů výrazu. V závorce píšeme podíly vzniklé dělením členů výrazu vytknutým dělitelem. 2. Rozložte výrazy: a) 3x – 3y =
f) 3m + 6m2 =
b) rt + st =
g) 2y2z – yz =
c) 6x + 9 =
h) 17 a2b – 21ab2 =
d) 12b – 12 =
i) –8r3s4 – 12r4s2 =
e) 12x + 18y =
j) -63 + 126m2 =
8
3.Vytkněte (-1) z daného výrazu: a) 4 – x =
e) -1 – m – m2 =
b) a + b =
f) 8 – y + x =
c) -5 + y =
g) -4r2 + 4r – 1 =
d) –x – 3 =
h) k2 – 2k + 1 =
4. Vypočtěte užitím rozkladu na součin: a) 138 + 138 . 9 =
d) 101 . 79 – 79 =
b) 56 . 2 + 56 . 8 =
e) 12 . 35 – 35 . 2 =
c) 47 . 101 – 47 =
f) 99 . 951 + 951 =
5.Rozložte na součin: a) 8p(a + b) + q(a+b) = b) c(x – y) – 2(x – y) = c) (4 – 5a) - 7b(4 – 5a) = d) a(7y + 9) + 7y + 9 = e) 3(d – 4) – r(4 –d) = f) s(c + 5) + 2(c + 5) =
6.Rozložte na součin: a) p + q – p2 - pq = b) xy – 4x + 12 – 3y = c) b2 – bc – 5b + 5c = d) mn + 8m + 9n + 72 =
Rozklad podle vzorců ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 ( a + b ) (a – b ) = a2 - b2 Zaměníme-li obě strany ve vzorcích, provádíme rozklad výrazů.
9
1.Umocněte výrazy podle vzorců: a) (r + s)2 =
g) (3 + a)2 =
b) (p - q)2 =
h) (2y - x)2 =
c) (a + x)2 =
i) (r + 4s)2 =
d) (x + 1)2 =
j) (6x – 5y)2 =
e) (y - 2)2 =
k) (6a - 1)2 =
f) (15 - b)2 =
l) (3x – 2y)2 =
2.Umocněte výrazy: a) (-r + s)2 =
d) (-z -5)2 =
b) (-x - y)2 =
e) (-1 + v)2 =
c) (-3 + x)2 =
f) (-3a -2b)2 =
3.Rozložte výrazy podle vzorce: a) p2 – q2 =
f) a2 - 0,04 =
b) y2 – 25 =
g) 9x2 – y2 =
c) 16 – x2 =
h) 100a2 – 25b2 =
d) u2 – 1 =
i) -25 + a2 =
e) 0,36 – x2 =
j) –v2 + 1,44 =
4.Vyjádřete výraz jako rozdíl druhých mocnin: a) (x – 4)(x + 4) =
d) (-s + 1)(s + 1) =
b) (m + 8)(m – 8) =
e) (100 – z)(z + 100) =
c) (-m – 6)(m – 6) =
f) (5a – b)(5a + b) =
5.Vyjádřete jako druhou mocninu dvojčlenu: a) a2 – 18a + 81 = b) m2 + 4m + 4 = c) k2 – 5k + 25 = d) 9c2 + 1 – 6c=
10
e) 100b2 + 20b + 1 = f) z2 +12z + 36 =
J
Lomené výrazy Podíl s proměnnými zapsaný ve tvaru zlomku se nazývá lomený výraz. Určování podmínek, za kterých má lomený výraz smysl: Jmenovatel lomeného výrazu musí být různý od nuly ! 1. Urči podmínky, za kterých má výraz smysl: 42 p − 20q a) b) 7p q+6
c)
a−9 (6 − a )(7 x + 5)
d)
8y y − 12 y 2
e)
3x 2a
f) −
g)
6x x−2
h)
−a 5a + 1
i)
x−4 (3 x + 2)(8 − x )
8r 2 j) 2 r −9
k)
s+3 x 2 − 5x
l)
15 − t t2 + 4
4 m2
2. Zkrať výrazy a uveď podmínky, za kterých má výraz smysl: a)
b)
21 = 14 y
8y = 16 y
d)
x3 = x4
− 3m 2 = − m3
f)
2 xy 4 = 4x 2 y 3
12x = 15
c) −
e)
15a 3 b 4 g) = 35a 2 b 5
11
h)
m(a + 1) = 4(a + 1)
i)
12 x (2 − y ) = (2 − y ).3
j)
15b − 20c = 10b
k)
3(a − 5) = 4(5 − a )
l)
− 2( x − y ) = 8 x( y − x )
m)
3x − 6 y = 8 y − 4x
n)
ux − uy = vx − vy
( x − y) 2 o) 2 = x − y2 p)
xy + x + y + 1 = y2 −1
q)
uv − u − v + 1 = (v − 1) 2
r)
ac + bc − ad − bd = ac − bc − ad + bd
3. Vynásob výrazy (před násobením je pokud možno zkrať) a uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl : a)
a x . = b y
b)
3 x . = 4 3
c)
8 3b . = −9 4
d)
− 27 m − 36k . = 81k 15m
e)
2− x y . = y 3
f)
6 + a 1− y . = 2(1 − y ) a
g)
3 x 16 . = 4 3+ x
h)
5 3m + 7 . = 7 + 3m 10
12
i)
2uv u 2 − v 2 . = u+v u
− 9 x 2 a − 2b . j) = x 3a − 6b k)
2b − 9 .3b = 9b
l) (8-k) .
− 6x = k −8
m)
(r − s ) 2 22r 2 s . = 11r r+s
n)
4 x 2 − 25 − 8 . = 4x + 4 2x + 5
o)
m 2x − 2 . = x − x m2 2
p)
a 2 + a − 4r . = r 8 + 8a
q)
b 2 − 6b + 9 b 2 . = 3−b b3
49 + c 2 − 14c 12 . = r) 48d c−7 4. Vyděl výrazy (před dělením je pokud možno zkrať) a uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl : a)
a m : = b n
c) a :
e) −
b)
m = n
− 6a 8 :( − 15 20
a :m = b
d) −
m 3 : = 2n 8
)=
13
3c 100 f) = : − − 10 9 g)
a −1 a −1 : = x y
h)
3 3 : = b+5 5+b
i)
k −7 7−k = : 16 10
j)
xy y : = 2(m − n) 11m − 11n
k)
m2 m3 : = b − 3 12 − 4b
l)
16 − a 2 4 − a : = 5 10b
u 2 − 25 u 2 − 5u m) : = u+2 u2 − 4 n)
1 + a 2 + 2a 3a + 3 : = 1 − 2a + a 2 4a − 4
o)
b 2 − 4b 8 − 2b : = 3 + b2 9 − b2
x 2 + 7 x x 2 − 49 p) : = x+3 9 − x2 q)
m 2 − 4n 2 4n 2 + m 2 + 4mn : = 3m 9
r)
1 + 4a + 4a 2 4a 2 − 1 : = 20a 2 4a 2
s)
2x − y y 2 − 4x 2 : = 7a 21a 2
14
V příkladech 5-10 sečti výrazy a uveď podmínky, za kterých mají smysl: 5. m n a b 5 a) + = b) − + = 5 5 6 6 6
c)
x+ y y − = 2 2
e)
r 2−r − = 3 3
6. a)
m m +1 + = 8 8
6t 4 + 5t − = s s
b)
7 a + 1 7 a − 1 14 + − = 3x 3x 3x
c)
y y +1 y + 2 + 2 − 2 = c2 c c
d)
r s + = 12 12
e)
c d e − + = 4 3 6
f)
5y 3y y + − = 8 5 10
7.
d)
a)
x−7 x+3 − = 3 2
b)
a 3 − = 5b 2b
c)
m 7 − = b 2 2b
15
8. a) m +
1 = n
b) b −
c = d
c)
k 1 +4− = 3 k
d) x +
9.
2 −8 = x
a)
2+a 4−b + = b c
b)
x + 3 y −1 − = y x
c)
m+n m−n + = mn m2
d)
a−b a−c − = ab ac
e)
1− a 1 2a − + = a +1 a +1 a +1
f)
6+ x 5− x − = x−2 x−2
g)
5+b b−3 − = 8−a a−8
h)
r−2 r +3 + = b − 10 10 − b
i)
2b b b+3 + − = c −5 5−c c −5
16
10. a)
x−3 2 + = x+3 x
b)
1 3 + = 1+ a 1− a
c)
8 y+4 − = y y−4
d) x + 5 −
e) m +
x2 = x−5
n2 +n= m−n
V příkladech 11-12 uprav výrazy a uveď podmínky, za kterých mají smysl : 11. 1 a) + 3 .a = a 1 b) − b. 2 − = b 3 c) 4. 5 + = 4c d)
a2 + b2 − 2 .ab = ab
m2 + y2 = e) − my. 2 + my 8y 8x f) − y . − x = x y g)
x 1 . x − = x +1 x
2 1 h) 1 + + 2 y y
y . = y +1
17
*12. 1 1 1 1 = a) + : + x y 2x 2 y
1 1 1 1 b) + : 2 − 2 = y x y x
1 1 2 c) 2 − + 1 : 1 − 2 = x x x
x2 x d) − 1 = − 1 : x − x −1 1− x
J
Lineární rovnice o jedné neznámé Lineární rovnice o jedné neznámé je možno převést ekvivalentními úpravami na tvar ax = b kde a,b jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá.
Ekvivalentní úpravy rovnic 1. K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (odečíst) týž výraz. 2. Obě strany rovnice můžeme násobit (dělit) týmž výrazem, různým od nuly. 3. Obě strany rovnice můžeme zaměnit
Při úpravách lineárních rovnic postupujeme takto: 1. 2. 3. 4.
Odstraníme závorky ve výrazech. Vhodným vynásobením obou stran rovnice se zbavíme zlomků. Rovnici upravíme na tvar ax = b. Obě strany rovnice dělíme číslem a ≠ 0.
18
Zvláštní případy řešení rovnic: 1. po úpravách vyjde : ax = 0 a∈ R, a ≠ 0 : x = 0 2. po úpravách vyjde : 0x = b b∈ R, b ≠ 0 : rovnice nemá řešení ( NŘ ) 3. po úpravách vyjde : 0x = 0 rovnice má řešení pro všechna reálná čísla ( x ∈ R ) 1. Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ x
+
36
=
44
Zk. : L: P:
c/ 56 = 45 -
b/ y - 28 = 37
Zk. : L: P:
x
Zk. : L : P: 2. Řeš rovnice a proveď zkoušku a/ 3x = 18
d/ 25 - y = 14
Zk. : L : P:
Zk. : L : P:
b/ - 7 y = 56
Zk. : L : P:
c/ - 9z = - 36
Zk. : L : P:
3. Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ 9x - 7 = 17 + 5x
b/ 5y + 7 = 8y + 16
Zk. : L : P:
Zk. : L : P:
19
c/ 4z + 13 = 9z - 7
+ 2x
Zk. : L : P:
Zk. : L : P:
e/ -3y - 6 = -5y
d/ 16 - 5x = -5
+ 14
Zk: L: P:
Rovnice se závorkami V příkladech 4-6 nejprve odstraňte závorky a potom vyřešte: 4. a) 9( x – 4 ) – 5x = x - 12
b) 8x - 4(3x - 4 ) = 15 - 4x
c) 7( z - 5 ) - 3z = 2z - 13
20
d) 7x - 2( 4x - 3 ) = 6 - x
e) 2( 4y - 3 ) - 3 = 2 - 5( 1 - y )
f) 2( 4z + 3 ) - 2 = 6 - 5( 1 - z )
5. a) 4( 2 - 5x ) = 6( 7 - 3x )
b) 4( x - 3 ) = 8 ( x + 1)
21
c) 6( 5 - 3x ) + 3( 5x - 4 ) = 0
d) 8(3x – 5) – 5(2x – 8) = 20 + 4x
6. a) b) c) d) e) f)
6z - 3( z - 5 ) = 5( z + 3 ) 7x - 4( x - 6 ) = 3( x - 4 ) 9y - 3( 5 - 2y ) = 5( 3y - 7 ) 5( x - 7 ) - 4( 1 - x ) = 4( 3 - 2x ) 6( y + 3 ) = 3( 2y - 4 ) + 5( 2 - y ) 7( x + 6 ) - 3( 4 - x ) = 5( 2 + 3x )
Rovnice se zlomky 7. Nejprve vynásobte rovnici společným jmenovatelem a pak dále řešte: a)
x + 3x + 7 = 4 x + 5 3
b)
x − 5x + 8 = 3 − 4x 5
22
c)
x +1 x −1 = 4 3
d)
y + 3 2y − 8 = 5 3
e)
z − 3 3z + 1 − =0 4 7
f)
3y + 1 5y −1 − =0 8 14
g)
x−5 x−5 1 − = 4 8 8
23
h)
3x − 5 7 x + 3 1 − = 4 5 10
i)
7u − 1 5 + 3u + 6 = 5u − 3 2
k)
3 − x 6 − 7 x 2x − 5 x + 3 − = − 3 8 6 4
j)
2r − 3 r − 4 r + 6 r + 5 − = − 10 5 4 2
l)
6 + 7 x 5x − 3 x+3 − = 2− 3 6 2 J
Rovnice s neznámou ve jmenovateli 8. Řešte rovnice, určete podmínky, proveďte zkoušku:
a)
x−5 =0 x +1
c)
5z − 7 1 =− 7 − 3z 2
b)
y −3 =2 y+2
d)
2 3 4 + + =3 x x x
24
e)
5 9 +1 = −1 y y
h)
1 2 = x+3 x−2
f)
2 3 = x−3 x+5
i)
x−6 x = x 10 + x
g)
5 4 = 2y − 9 y − 6
j)
2z − 8 2z = z 5+ z
k)
z +1 z 3 − = 5 z − 3 10 z − 6 4
l)
m)
z+4 z 3 + = z + 3 12 + 4 z 2 8v 4 4 = + 3v − 15 3 v − 5
n)
3r 3 = +6 r −2 2−r
p)
1 2 3 − = s −1 s 1 − s
o)
15 y+2 + =0 8− y y−8
q)
s 1 1 − = 2s − 3 2 s − 3
r)
s +1 s 11 − = s s −8 8− s
25
Slovní úlohy 1. Ve dvou sudech je 90kg suroviny. V jednom sudu je o 8kg surovin více než ve druhém. Kolik surovin je v každém sudu?
2. Dělník odvezl za 4 dny 156 vozíků, a to tak, že každého následujícího dne odvezl o dva vozíky více než v předchozím dnu. Kolik vozíků odvezl první den?
3. Bedna se sádrou má hmotnost 42kg. Sádra má hmotnost 2krát větší než bedna. Kolik kg sádry je v bedně?
4. Ve dvou krabicích je celkem 420 šroubů. V jedné krabici je jich 3krát více než ve druhé. Kolik šroubů je v každé krabici?
5. Nádrž na olej je naplněna do jedné třetiny. Jestliže se z ní vypustí 500litrů, bude naplněna do jedné pětiny. Jaký je objem nádrže?
6. Vypočítejte šířku budovy o půdorysu tvaru obdélníku, jehož délka je o 6300mm kratší něž dvojnásobek jeho šířky. Obvod budovy je 64,8m.
26
7. První dělník splní úkol za 8hodin, druhý dělník tentýž úkol za 10hodin. Jaký čas ke splnění úkolu se může předpokládat, když budou oba dělníci pracovat společně.
8. Do nádrže vedou tři potrubí. Prvním nateče voda za 2hodiny, druhým za 3hodiny a třetím za 6hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní všemi potrubími současně?
9. Zedník vyzdil příčku za 8hodin, zednický žák vyzdil stejnou příčku za 12hodin. Kolik hodin by trvalo vyzdění jedné příčky při společné práci zedníka učně?
10. Prodavač prodal za tři dny celkem 1280 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně
než první den, třetí den prodal 1,5 krát více než druhý den. Kolik losů prodal první den? 11. V sedmých třídách nasbíraly děti 850 kg papíru. Třída 7.A nasbírala o 50 kg více než třída 7.B a 7.C dvojnásobek toho, co třída 7.A. Kolik papíru nasbírala třída 7.A?
Vyjádření neznámé ze vzorce Z daného vzorce nebo vztahu vyjádřete veličinu uvedenou v závorce. 1. a) s = vt
(v)
b) u = a 2
(a)
c) v = at
(t)
d) S = 2πrv
(r)
2. a) ρ =
m V
(m), (V)
27
b) sin α =
c) S =
a c
(a), (c)
av a 2
3. a) V = a3 U2 c) P = R
(a), (va)
(a) (U), (R)
b) S = 6a2 (a) 4 d) V = π ⋅ r 3 (r) 3
4.
a) R = R1 + R2
(R1)
c) o = 2(a + b)
(a)
5. a) v = 2 gh
(h)
b) C = C1 + C2 + C3
d) v = v0 + at
b) T = 2π
l g
(C2)
(v0), (a)
(l)
28
c) S = π(R2 + r2)
(r)
6. Do vztahu: ρl a) R = dosaďte za S
b) Q = S.v
c) ρ =
m V
d)
S=
1 1 1 = + R R1 R2
(R), (R1)
πd 2 4
dosaďte S = πr2
dosaďte za V =
a 2v 3
7. Vypočítejte druhou základnu zahrady tvaru lichoběžníku s obsahem 525 m2, je-li jedna (a + c ) ⋅ v ) základna 50 m a výška 15 m. (Obsah lichoběžníku S = 2
8) Ze vzorce v = 2 gh vypočítejte výšku h hladiny vody nad výtokovým otvorem. Přitom . m m je výtoková rychlost v = 20 a tíhové zrychlení g = 10 2 (odpor prostředí s s zanedbáváme).
J
29
Nerovnice Nerovnicí budeme rozumět každý ze zápisů tvaru l(x ) > p(x) l(x ) < p(x)
l(x ) ≤ p(x)
l(x ) ≥ p(x)
Opakování : Intervaly Množiny všech reálných čísel, větších (případně větších nebo rovných) než jisté číslo a a menších (menších nebo rovných) než jisté číslo b. Přitom a, b jsou reálná čísla, a < b
Množinový zápis
Grafické znázornění
Symbolický zápis
{ x∈ R ; x < b }
(- ∞ ,b )
{ x∈ R ; x ≤ b }
(- ∞ ,b 〉
{ x∈ R ; x > a }
( a, ∞ )
{ x∈ R ; x ≥ a }
〈 a, ∞ )
{ x∈ R ; a < x < b }
(a , b )
{ x∈ R ; a ≤ x ≤ b }
〈 a , b〉
{ x∈ R ; a ≤ x < b }
〈 a , b)
{ x∈ R ; a < x ≤ b }
( a , b〉
R=(- ∞ ; ∞ )
(- ∞ ; ∞ )
Způsob čtení otevřený interval méně nekonečno, b polouzavřený interval méně nekonečno, b otevřený interval a, nekonečno polouzavřený interval a, nekonečno otevřený interval a, b uzavřený interval a, b polouzavřený interval a, b , uzavřený zdola polouzavřený interval a, b , uzavřený shora interval méně nekonečno,nekonečno
Číslo a nazýváme dolní mez , číslo b horní mez intervalu. Otevřenost či uzavřenost intervalu značíme typem závorky. Závorky ( , ) znamenají, že příslušná mez do intervalu nepatří, závorky 〈 , 〉 znamenají, že příslušná mez do intervalu patří. Symboly - ∞ , ∞ nepředstavují čísla. Ekvivalentní úpravy nerovnic 1. K oběma stranám nerovnice přičteme (odečíst) týž výraz. 2. Obě strany nerovnice násobíme (dělíme) týmž kladným číslem. 3. Obě strany nerovnice násobíme (dělíme) týmž záporným číslem a změníme znaménko nerovnosti na opačné. 4. Obě strany nerovnice zaměníme a změníme znaménko nerovnosti v opačné.
Znaménko
Opačné znaménko
> < ≥ ≤
30
Řešte nerovnice v R, řešení znázorněte na číselné ose a zapište jako interval. 1. a) x ≥ 0
b) 7,2 ≤ x
c) -2,4 > x
d)
e) x > -
8 5
f) x < - 1
3 ≥x 4
2 3
2. a) 8x ≥ 40
c) 0 > 2x
b) -77 ≤ 11x
d) 15x > 5
3. a) - x < 3
b) -4x > - 8
c) −
x ≤2 6
4. a) 4x + 1 > 2x + 3
c) 5x - 3 ≥ 9x + 5
b) 7x - 1 < 4x - 10
d) 8 - 9x ≤ 5 - 3x
31
5. a) 3( 8x - 4 ) ≥ 4( 6x - 5 )
c) 9( 5 - 4x ) ≤ 6( 7 - 6x )
b) 7( 5 - 3x ) > 5( 7 - 4x )
d) 3( 8x - 4 ) < 4( 6x - 3 )
6. a)
x −1< 7 + x - 4 2
c) 5 >
b)
3 1 x −x≥ + 4 8 2
d) x −
x x − +4 2 3
x x x − ≤ +2 2 4 12
32
7. a)
x +1 >1 5
b) x ≥
2x − 3 3
e) x − 3 ≤
5x 2 x − 1 − 3 3
c)
x 2−x +1− ≤0 2 4
d) 0 <
f)
x 3x − 5 −4+ 6 2
x x+2 − ≥0 2 3
Soustavy rovnic Obecný zápis soustavy rovnic: ax + by = c dx + ex = f kde a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla a x, y jsou neznámé. Soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme dvojici lineárních rovnic o dvou neznámých, které spolu souvisí. Řešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme takovou uspořádanou dvojici čísel [ x ; y ] , která po dosazení do původní soustavy za příslušné neznámé dá platné rovnosti.
33
Počet řešení dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: Jedno řešení Žádné řešení
Nekonečně mnoho řešení
Zápis řešení po vyřešení získáme uspořádanou dvojici čísel po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0.x = a nebo 0.y =b, kde a,b jsou libovolná nenulová čísla po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0.x = 0 nebo 0.y = 0
K={[x;y]} K = prázdná množina
K=R (řešíme-li soustavu v množině reálných čísel)
Metody řešení: 1. Srovnávací Z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou pomocí druhé neznámé a pak z obou vyjádření sestavíme rovnici. 2. Dosazovací Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé a pak toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice 3. Sčítací Nejprve, je-li to nutné, každou z rovnic vynásobíme vhodným číslem a pak tyto upravené rovnice sečteme (popř. odečteme) tak, aby v součtu (rozdílu) zůstala pouze jedna neznámá. Těmito úpravami získáme jedno rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Druhou neznámou pak získáme po dosazení první neznámé do libovolné z původních rovnic. 1. Řešte soustavu rovnic: a) x + y = 1 x - y = 5
c) x - y = -2 -x + y = 2
b) x + y = 3 3x - y = 5
d) x - y = 1 -x + y = 2
34
g) 3x + 4y = - 10 5x + 2y = 18
e) x + y = -1 x + 5y = 3
h) 4x + 3y = 6
f) 3x + 2y = 0 2x - 5y = - 19
2x + y = 4
2. Řešte soustavu rovnic: a) 3x + y = 2
b) 8x + 4y = 28
c) 4x – 2y = 10
x–y=6
3x – 4y = -6
-4x + 3y = -8
d) 4x + 2y = 6 -4x + 2y = 6
e) 2x + y = 3
f) 2x – y = 5
-4x + 2y = 6
4x – 3y = 8
3. Řešte soustavu rovnic: r s + =1 2 3 a) r s + =1 3 4
m n + = 13 6 2 b) m n − =6 2 3
35
1 2 u+ v=2 2 3 c) 3 1 u − v = −4 4 6
1 5 p + q = −17 4 6 d) 1 3 p − q = 11 6 8
*4. Řešte soustavu rovnic: x + 3 1− y = a) 2 4 x − 2y = 0
u 5v + = −4 5 2 b) u v 1 + = 6 3 6
*5. Řešte soustavu rovnic: 3x + y =2 9 a) x+2 =3 y
x+2 = −1 5y b) 2x + 2 = −3 3y
*6. Řešte soustavu rovnic: 5 7 = x+3 y +3 a) 3 4 = x − 10 7 − y
2 5 = 3x + 2 3 − y b) 3 1 = 3 − 7x 2 y + 5
*7. Řešte soustavu rovnic: 3x − 2 y 8x + 5 y = −1 4 10 a) x + 6y 2x − 5 y = 1− 3 5
2x − 3y x + 5 y = +5 4 3 b) 3x + 4 y y + 2 x = −1 5 2
36
Slovní úlohy 1. Při zlepšování životního prostředí okolí školy bylo 76 žáků rozděleno do dvou skupin A a B. Ve skupině A každý žák odpracoval šest hodin, ve skupině B čtyři hodiny. Celkem žáci odpracovali 352 hodin. Kolik žáků bylo ve skupině A a kolik v B?
2. Určete dvě čísla, jejichž součet je 46 a rozdíl je 12.
3. V internátu je ve 42 pokojích, z nichž některé jsou třílůžkové a některé čtyřlůžkové, ubytováno 150 žáků. Určete, kolik pokojů je třílůžkových a kolik čtyřlůžkových.
4. Na honu byli loveni jen zajíci a bažanti. Když lovci prohlíželi kořist, napočítali 26 hlav a 76 nohou. Kolik ulovili bažantů a kolik zajíců?
5. Účetní měla v pokladně v hotovosti 1750 Kč ve 23 bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik bylo kterých bankovek?
37
6. Dva chlapci o hmotnosti 30 kg a 40 kg si chtějí z klády dlouhé 2,8 m udělat houpačku. Jak daleko od obou konců ji musí podepřít, aby byli v rovnováze?
Soustavy nerovnic 1. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte graficky na číselné ose a zapište intervalem: c) 3x – 1 < 2 a) -7x – 5 > 3x – 2 2 – 3x < 5 7 – 5x > 3 – 2x
b)
2x – 4 > 3 1 – 5x > 6
d)
3x + 5 ≥ 9 – x 4 – 3x ≥ 2 – 5x
2. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte graficky na číselné ose a zapište intervalem: a) 2(x – 1) ≤ 1 – x 7 – 3x ≤ x + 10
b) 7 – 3x ≤ 1 – x
c) 3x – 8 < x + 6 ≤ 2x + 2
x – 3 > 2x – 6
J
Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice jsou všechny rovnice, které se ekvivalentními úpravami dají převést na tvar : ax2 + bx + c = 0 kde a, b, c jsou libovolná reálná čísla a zároveň a ≠ 0 Člen ax2 nazýváme kvadratický člen, člen bx nazýváme lineární člen a člen c nazýváme absolutní člen. Řešení kvadratické rovnice naz. kořeny, ozn. x1 a x2
38
Příklady 1 - 6 řeš bez použití vzorce. 1. a) x2 - 3x = 0
c) 5x2 - 4x = 0
b) 3x2 + x = 0
d) -2x2 + 6x = 0
2. a) x2 = 5x
b) x2 = - 6x
c) 8x2 = 3x
d) 15 x2 = - 9x
3. a) x2 - 4 = 0
c) 9 x2 + 16 = 0
b) 4 x2 - 81 = 0
d) x2 - 50 = 0
f) 0,25 x2 - 0,04 = 0
b) x2 = 121
c) 64 x2 = 100
e)
x2 1 − =0 36 4
4. a) 27 x2 = 0
39
d) 2 x2 = -32
g) 13 x2 =
13 225
f) -4 x2 = 25
e) 3 x2 = 75
h)
x2 4 = 2 9
j)
x2 6 = 8 27
5. a) ( x - 1 )( x - 2 ) = 0
c) ( 2x + 1 )( x - 5 ) = 0
b) ( x - 3 )( x + 4 ) = 0
d) ( 3x - 2 )( 6x + 2 ) = 0
6. a) ( x - 8 )2 = 0
d) ( 7x - 21 )2 = 0
b) ( x + 3 )2 = 0
x 1 e) − = 0 3 2
2
2
2
c) ( 2x - 5 ) = 0
7. Řešte rovnice užitím vzorců:
3x 5 f) + = 0 4 6
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
a) x2 + 2x + 1 = 0
b) x2 - 4x + 4 = 0
40
c) 4x2 + 4x + 1 = 0
d) 9 x2 - 24x + 16 = 0
e) 25x2 + 80x + 64 = 0
Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 má řešení
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
b2-4ac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice, ozn. D Jestliže D > 0, má rovnice 2 řešení. Jestliže D = 0, má rovnice 1 řešení. Jestliže D < 0, nemá rovnice řešení. 8. Řešte kvadratické rovnice a) x2 + 2x - 24 = 0
b) x2 - 14x + 49 = 0
c) x2 - 2x - 35 = 0
d) x2 + 2x + 24 = 0
41
e) x2 + 7x - 8 = 0
f) x2 + 4x - 165 = 0
9. Řešte kvadratické rovnice a) 5x2 + 4x - 1 = 0
b) 3x2 - 4x - 3 = 0
c) 4x2 + 7x - 2 = 0
d) 2x2 + 9x + 14 = 0
e) 25x2 - 10x + 1 = 0
f) 8x2 + 2x - 3 = 0
i) 3x2 - 17x - 6 = 0
g) 5x2 - 6x + 4 = 0
j) 10x2 + 21x - 10 = 0
h) 9x2 - 9x + 2 = 0
j) 5x2 - 27x + 10 = 0
42
10. Řešte kvadratické rovnice a) ( x - 3 )2 + ( x - 4 )2 = ( x - 2 ) 2
b) ( x - 5 )2 + ( 2 + x )2 = ( x + 3 ) 2
c) ( x - 6 )2 + ( x - 8 )2 = 100
d) (x - 1)(x + 2) = 10 – 3x
f) 2(x + 1) = 3(2 – x2)
e) (2x + 3)2 – 2x2 = x2 – 27
g) 0 = 21 – 4x(5x – 4)
43
Slovní úlohy 1. Výška trojúhelníku je o 3 cm delší než jeho základna. Vypočítejte výšku trojúhelníku, je-li jeho obsah 0,65 dm2.
2. Vypočítejte obvod obdélníku, jehož šířka je o 6 cm kratší než jeho délka a obsah je 216 cm2.
3. Zvětší-li se strana čtverce o 3 dm, zdevítinásobí se jeho obsah. Určete délku jeho strany.
4. Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku je o 7 cm kratší než druhá odvěsna a o 8 cm kratší než přepona. Vypočítejte obvod trojúhelníku.
J 44
Seznam použité literatury: Barták, J. a kol.: Matematika I pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1990. Barták, J. a kol.: Matematika II pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1988. Barták, J. a kol.: Matematika III pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1986. Hudcová, M., Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ Prométheus, Praha 1994 Běloun, F. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro základní školy SPN, Praha 1985 Nováková, E.: Aplikovaná matematika pro učební obory ve stavebnictví a stavební praxi Raport, Rakovník
2. vydání Květen 2007
Zpracovala: RNDr. Dagmar Fialová Mgr. Vlastislava Kolmanová
45
