RUAS GARIS BERARAH
9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang ruas garis berarah sebagai berikut: Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir. Apabila A dan B dua titik, lambang
kita gunakan sebagai ruas garis
berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Dengan
dan AB melukiskan
⃗ menggambarkan sinar atau
dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa
setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B. Dua ruas garis
dan
= CD,
tidak perlu sama;
dan
disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB
AB adalah bilangan real. Jika
dan
adalah sebuah himpunan sedangkan ≅
kongruen ditulis
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah membandingkan dua ruas garis berarah
dan
dan
. . Dalam
tidaklah sukup, jika AB =
CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas ekivalen dengan ruas garis berarah 㜊 yang ditulis sebagai
garis berarah = Definisi:
. =
apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah
.
Teorema 9.1: Andaikan
dan
dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4 =
ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika
.
Bukti: Akan ditunjukkan jika
dan
adalah dua ruas garis berarah yang tidak
segaris maka ABCD jajargenjang ⟺
=
.
Untuk menunjukkan hal tersebut pertama akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan tidak segaris maka
=
dan
adalah dua ruas garis berarah yang
. Selanjutnya akan dibuktikan jika
=
maka ABCD jajargenjang dengan
dan
adalah 2 ruas garis berarah
yang tidak segaris. (⟹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka
dan
=
Andaikan ABCD sebuah jajargenjang, maka diagonal-diagonal
dan
berpotongan di tengah-tengah,
misalkan di titik P, sehingga Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah maupun
. Berdasarkan definisi keekivalenan, diperoleh
=
. (⟸) Akan dibuktikan jika dan
=
maka ABCD jajargenjang dengan
adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Andaikan
=
Buat titik tengah
. , misalkan titik P,
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D. Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD. Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah dan て
segiempat ABCD. Dengan
adalah diagonal-diagonal
segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P. Akibatnya segiempat ABCD adalah sebuah jajargenjang. Akibat Teorema 9.1: Jika
maka AB = CD dan ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ sejajar atau segaris.
=
Bukti: Akan dibuktikan Andaikan Kasus
=
⟹
dan ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ sejajar atau segaris.
=
=
∈ ⃖ ⃗:
Karena
=
, menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P
adalah titik tengah
, sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan
.
Karena Sp(A) = D, artinya AP = PD diperoleh AP = PD ⟺ AB + BP = PC + CD Karena BP = PC, maka AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D ⊂ ⃖ ⃗ dan
diperoleh karena Kasus
⊂ ⃖ ⃗ sehingga
dan
∈
maka ⃖ ⃗ segaris dengan ⃖ ⃗ .
segaris dengan
∉ ⃖ ⃗: =
Karena
, maka
tidak segaris
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajargenjang, menurut karakteristik jajargenjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD. Karena
//
⊂ ⃖ ⃗ dan
,
⊂ ⃖ ⃗ maka ⃖ ⃗//⃖ ⃗ .
Teorema 9.2: ,
Diketahui ruas-ruas garis berarah =
1.
, dan
maka
(sifat reflexi);
2. jika
=
maka
3. jika
=
dan
= =
(sifat simetrik); =
maka
(sifat transitif).
Bukti: =
1. Akan dibuktikan
(sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah
, maka Sp(A) = B =
Menurut definisi keekivalenan diperoleh =
2. Akan dibuktikan jika
maka =
Menurut teorema 9.1 jika diagonal-diagonal
dan
=
. (sifat simetrik)
maka segiempat ABCD jajargenjang,
membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah akibatnya Sp(C) = B menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah maka
=
. =
3. Akan dibuktikan jika
dan
=
maka
=
(sifat
transitif): Diperoleh
=
apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah
Diperoleh
=
apabila Sq(C) = F dengan Q titik tengah =
Menurut teorema 9.1 jika sehingga
//
dan
//
maka segiempat ABCD jajargenjang
akibatnya
//
.
=
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika =
jika
maka AB = CD,
maka CD = EF
Akibatnya AB = EF. Karena AB = EF dan
//
maka ABFE jajargenjang.
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka
//
.
Teorema 9.3: Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah =
tunggal Q sehingga
maka ada titik
.
Bukti: =
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga Andaikan ada titik Q misal R adalah titik tengah
=
dengan Sp(A) = Q maka =
Menurut teorema 9.2 (2) maka Akan dibuktikan Q tunggal,
=
Andaikan ada titik T sehingga Karena R titik tengah
maka SR(A) = T =
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga Akibat 1: Jika Jika
( ,
titik
(
), +
=
( , −
), dan
,
+
( ,
) titik-titik yang diketahui maka
)
adalah titik tunggal sehingga
−
. ≠
Andaikan P bukan titik tungga maka −
diperoleh = [(
+
−
,
= [(
+
−
−
=(
−
,
=( −
)−(
+
−
)−( ,
)] − [( ,
,
+
−
)] − [( 가 −
)−(
−
−
,
−
)
= (0,0) = 0. Akibat 2: Jika
=(
⟺
−
, =
), −
= 1,2,3, … maka ,
−
=
= −
≠0
)
−
−
−
artinya
)−( , ,
−
)] )]
(⟹) Akan dibuktikan jika Jika ⟹
=
−
Karena
=
⟺ [( ,
)−( ,
⟺(
,
−
=(
=
−
maka
,
)] = [( ,
= 1,2,3, … maka
−
=
)=(
−
),
,
=
−
sehingga
−
)−( ,
−
,
=
−
)]
)
−
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d) =
jika dan hanya jika −
diperoleh
=
−
(⟸) Akan ditunjukkan jika Jika
=(
Dipunyai
),
, −
=
dan
dan
−
=
=
−
,
−
= 1,2,3, … maka
=
−
,
−
− −
=(
−
,
misalkan R = S ⟺ ( )−( ,
⟺
=
−
⟺
=
−
maka dapat dibuat =(
Jadi jika (
,
),
−
,
−
)
−
,
)=(
−
)−( ,
)]
−
)] = [( ,
,
−
)
− ⟺
=
maka
)
−
⟺ [( ,
−
=
titik yang sama misalkan R dan S, dengan dan
=
−
= =
−
,
= 1,2,3, … maka
−
=
−
maka Jika
=
=
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar Definisi: Andaikan k
sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka
adalah ruas garis berarah
sehingga
∈
dan AP = k (AB) jika
k>0. Apabila k<0 maka k
adalah ruas garis berarah
⃗ sedangkan AP = | |
sinar yang berlawanan arah dengan Dikatakan bahwa
adalah kelipatan
dengan P anggota
.
.
SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1.
Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar? =−
a. b.
(
)=
c.
(
)=
d.
Jika
=
e.
Jika
=
(
)
( ) maka ( ) dan
′=2 ( ), maka
=
=
Jawab: a. Benar b. Benar c. Benar d. Benar e. Benar 2.
Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan: a. R sehingga
=
b. S sehingga
=
c. T sehingga
=
Jawab: =
a. R sehingga
Berdasarkan teorema akibat jika −
=
−
=
maka AR = BC sehingga
⟺
=
⟺
=
−
+
−2 0 −7 5 − + = 4 3 0 1
Jadi R = (-7,1). =
b. S sehingga
Berdasarkan teorema akibat jika −
=
−
Jadi R = (3,7). c. T sehingga
=
=
maka CS = AB sehingga
⟺
=
⟺
=
−
+
0 −2 3 5 − + = 3 0 4 7
=
Berdasarkan teorema akibat jika −
=
−
maka TB = AC sehingga
⟺
=
⟺
=
−
+
−2 0 7 5 − + = 3 4 0 −1
Jadi R = (7,-1). 3.
Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan: a. D sehingga CD = AB b. E sehingga AE = BC c. F sehingga AF = Jawab: a. D sehingga CD = AB −
Karena CD = AB maka ⟺
=
⟺
=
−
=
−
+
3 2 −1 0 − + = −4 1 5 0
Jadi D (0,0). b. E sehingga AE = BC −
Karena AE = BC maka ⟺
=
−
=
−
+
−1 3 2 −2 − + = 5 −4 1 10 Jadi E (-2,10). ⟺
=
c. F sehingga AF = Karena AF =
−
maka
⟺
=
1 2
−
+
⟺
=
1 2
−1 2 − 5 1
+
Jadi koordinat E adalah ( ,3).
=
1 2 = 2 1 3
−
〰
4.
Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D. Jawab: Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K adalah titik tengah BC dan AD. Karena K titik tengah BC maka
=
,
Karena K titik tengah AD maka
=
,
=
,
=
,
1 11 1+ 3+ , = , 2 2 2 2 1+ 1 ⟺ = ⟺ 1+ =1⟺ =0 2 2 3+ 11 ⟺ = ⟺3+ = 11 ⟺ =8 2 2 Jadi koordinat D adalah (0,8). ⟺
5.
Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang ABCD, tentukan h dan k. Jawab: Karena ABCD jajargenjang maka =
Dari − ⟺
=
=
dan
menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka =
−
−2 3 −2 ℎ 5 ℎ+2 − = − ⟺ = 3 4 0 −1 −
Sehingga diperoleh ℎ + 2 = −2 ⟺ ℎ = −4 dan – 6.
= −1 ⟺
= 1.
Jika A(-h,-k), B(5,-2√3), C(k,8√3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga =
, tentukan h dan k.
Jawab: Karena
=
maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD
sehingga −
=
⟺ 5 + ℎ = −9 − ⟺ −2√3 +
− ⟺ℎ+
⟺
5+ℎ −2√3 +
=
−9 − ℎ − 8√3
= −14 ... (1)
= ℎ − 8√3 ⟺ ℎ − @ = 6√3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3√3 dan h = - 7 + 3√3. 7.
Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi? a. Kesejajaran pada himpunan semua garis. b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut. c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga. d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3. Jawab: a. Relasi ekivalensi b. Relasi ekivalensi c. Relasi ekivalensi d. Bukan relasi ekivalensi e. Bukan relasi ekivalensi
8.
=
Buktikan jika memisahkan
=( ,
dan
=
maka
=( ,
),
= (0,0)
),
=
dengan jalan
=( ,
Bukti: Dari
=
diperoleh AB = CD maka
⟺
=
− −
Dari
=
diperoleh CD = EF maka
− −
⟺ ⟺
=
Sehingga 9.
−
+0 = +0
0 = 0
− − =
−
=
−
=
−
− − −
−
+ + − −
+ +
−
=
− −
.
Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan: a. D sehingga AD = 3 AB b. E sehingga AE = c. F sehingga AF = -2 AB Jawab: a. D sehingga AD = 3 AB (
−
) = 3(
−
)⟺(
− 0 ) = 3 (1 − 0 ) ⟺
=3
).
(
−
) = 3(
−
)⟺(
−
)⟺
− 0) = 3(−3 − 0) ⟺
= −9
Jadi D = (3,-9). b. E sehingga AE = (
−
1 )= ( 2
⟺ (
−
1 )= ( 2
)⟺
−
1 ( − )+ 2 1 = ( 5 + 3) + 0 = 4 2 1 = ( − )+ 2 1 = (7 − 1 ) + 0 = 3 2 =
⟺ Jadi diperoleh E = (4,3). c. F sehingga AF = -2 AB (
−
) = −2(
−
(
−
) = −2(
−
)⟺ ⟺ ⟺ )⟺ ⟺ ⟺
= −2( − ) + = −2 + 3 = −2.1 + 3.0 = −2 = −2( − ) + = −2 + 3 = −2. (−3) + 3.0 = 6
Jadi diperoleh E = (-2,6). = (0,0),
10. Jika
=( ,
= ( , 쾈 ) dan
),
=( ,
) sedangkan
k>0, tentukan: a. P sehingga
=
b. P sehingga
=
c. Jika
=
maka
=[
+ (
−
),
+ (
−
)]
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0? Jawab: a.
=
P sehingga Karena
=
maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P = − −
kP0P1 sehingga
=
− −
⟺ ⟺
b.
P sehingga
=
−0 = −0 =
−0 −0
=
Karena
c.
P1P=kP1P2 sehingga − = 呥 − ⟺ − = −
⟺
=
− = − − ( − 1)
⟺
−
⟺
=
− ( −1)
Jadi
=(
Jika
=
=
−
− −
− ( −1) )
=[
maka =
⟺
−
− ( − 1) ,
Karena
d.
maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
+ (
),
−
+ (
−
)]
maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P3P=kP1P2 sehingga − = − ⟺ − = −
⟺
= (
− = − − )+
⟺
−
⟺
= (
−
Jadi
=( (
=
− −
)+
⟺
−
, (
−
)+
− −
)+ )
Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0? rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
11. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui, gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut: a. P sehingga
=4
b. R sehingga
=
c. S sehingga
=3
d. T sehingga
= −2
Jawab: a. P sehingga
=4
=4 − Diperoleh − Karena
⟺
=
maka =4
−8 20
Jadi koordinat P = (-8,20). b. R sehingga
=
=4 − −
sehingga ⟺
−
= 4( − )
=4
−2 − 0 0 + 5−0 0
=
Karena
maka BR= BC sehingga R – B = − −
Diperoleh
− −
=
−3 ⟺ 2
⟺
−1=
⟺
−3=1⟺
=
⟺
−1 = −3
( − ) −2 − 1 5−3
−1 2
=4 , 4).
Jadi koordinat R = ( =3
c. S sehingga
=3
Karena
maka DS = 3BC sehingga S – D = 3 (C – B)
− −
Diperoleh ⟺
− 4 = −9 ⟺
⟺
+2=6⟺
− −
=3
−4 −2 − 1 =3 − (−2) 5−3
⟺
= −5 =4
Jadi koordinat S = (−5,4). = −2
d. T sehingga
= −2
maka CT = -2DB sehingga T – C = -2 ( B – D )
= −2
− −
Karena Diperoleh − − ⟺
+2=6⟺
⟺
− 5 = −10 ⟺
⟺
− (−2) 1−4 = −2 3 − (−2) −5
=4 = −5
Jadi koordinat R = (4, −5). 12. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada garis-garis itu. Buktikan bahwa
′=
′
Jawab: Bukti bahwa
′=
′
Tarik garis melalui Z’ dan W’ serta melalui Z dan W ′ dan ′ Jelas Jelas
′⊥ ′⊥
Jadi ZZ’//
berpotongan di P dan dan
′⊥ ′⊥
′
Perhatikan segitiga ZPZ’ dan segitiga WPW’, diperoleh
1. ∠ = ∠ ′ (sudut dalam berseberangan) 2. ∠ 3. ∠
=∠
′
=∠
4. Berdasarkan teorema kekongruenan jika dan hanya jika segitiga sejenis yang berlaku ∠ = ∠
,∠
=∠㝡
,∠
=∠
(sd, sd, sd)
maka kedua segitiga tersebut kongruen. Akibatnya ZZ’=WW’, Z’P=P, dan ZP=PW’ Jelas P adalah titik tengah ′ ′ dan W’=SP(Z) Jadi
′=
′.
