RUAS GARIS BERARAH
Definisi Ruas Garis Berarah Definisi 1 Suatu ruas atau garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir. Contoh: Apabila A dan B dua titik, lambang AB kita gunaka sebagai ruas garis berarah dengan pangkal Adan titik akhir B.
A
B
Definisi 2
AB ≅ CD
(dibaca ruas garis AB ekuivalen dengan ruas garis CD), apabila
S P ( A) = D dengan P titik tengah AB . B D P A
C
Contoh: Diberikan titik A, B, C dan F pada bidang ekuilidis seperti berikut ini, lukislah: a. D sehingga AB ≅ CD b. E sehingga AB ≅ EF
D
Jawab: B
P C
A Q F
E
1
a.
AB ≅ CD apabila S P ( A) = D dengan P titik tengah BC . Akibatnya titik D diperoleh dengan cara mencari titik tengah BC , namakan ini titik P kemudian mencari D sehingga S P ( A) = D
b. AB ≅ EF apabila S Q (B ) = E, dengan Q titik tengah AF . Karena S Q ( A) = F, maka Q merupakan titik tengah AF , karena Q titik tengah BE
maka S Q (B ) = E
Sifat – sifat Ruas Garis Berarah Teorema 1 Apabila AB dan CD dua ruas garis berarah yang tidak segaris. Maka segi empat ABDC sebuah jajaran genjang jika dan jika AB ≅ CD Bukti:
A B P C
D
Untuk membuktikan teorema ini kita harus membuktikan dua hal yaitu: 1. AB ≅ CD maka ABDC sebuah jajaran genjang Misal P adalah titik tengah BC maka SP(A) = D sebab AB ≅ CD , karena AD dan BC diagonal-diagonal segi empat ABDC dan AP = PD dan BP = PC, maka segi empat ABDC adalah sebuah jajaran genjang. 2. ABDC jajaran genjang maka AB ≅ CD Karena
segi
empat
ABDC
jajaran
genjang,
maka
diagonal
AD dan BC berpotongan saling membagi sama panjang artinya apabila titik potong antara AD dan BC kita misalkan P maka P = AD ∩ BC sehingga AP = PD dan BP = PC.
2
Akibatnya P titik tengah BC dan SP(A) = D. Jadi AB ≅ CD Teorema 2 Diketahui ruas-ruas garis berarah AB, CD dan EF maka: 1. AB ≅ AB (sifat refleksif) Bukti: Namakan titik tengah AB dengan P, maka Sp(A) = B. jadi AB ≅ AB
A
P
B = Sp(A)
2. jika AB ≅ CD maka CD ≅ AB (simetrik) Bukti: Karena AB ≅ CD maka segi empat ABDC jajaran genjang. Karena segi empat CDBA = segi empat ABDC maka segi empat CDBA jajaran genjang. Akibatnya CD ≅ AB .
A
B
C
P C
D
P D
A
B
3. jika AB ≅ CD , CD ≅ EF maka AB ≅ EF Bukti: •
Karena AB ≅ CD
maka segi empat ABDC jajaran genjang. Kerena
diagonal-diagonal AD dan BC sama panjang sehingga AP = PD dan BP = PC maka dapat disimpulkan bahwa AB = DC sehingga AB // CD …….(1) •
Karena CD ≅ EF maka esegi empat CDFE jajaran genjang. Sama halnya dengan yang pertama maka didapat CD // EF …………………………(B)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa AB = FE dan AB // FE .
3
Teorema 3 Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah AB maka ada titik tunggal Q sehingga PQ ≅ AB Bukti: B
Q A
R
P Syarat PQ ≅ AB adalah PQ = AB . Untuk membuktikan bahwa PQ = AB maka BR = RP dan AR = RQ, dengan R adalah titik potong antara BP dan AQ .
Kelipatan Ruas Garis Berarah Definisi: Andaikan diberikan AB dan k suatu bilangan real. Apabila k > 0 , maka k AB adalah AP sehingga P ∈ AB dan AP = k (AB). Apabila k < 0 , maka k AB adalah AP dengan P adalah anggota sinar yang berlawanan dengan AB sedangkan AP = k AB . Selanjunya AP disebut kelipatan dari AB .
Contoh: Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti dibawah ini. a)
1 AB 2
b) −
3 AB 4
Jawab: a) Karena k = AP =
1 1 > 0 , maka 2 2
AB adalah AP sehingga P ∈ AB dengan
1 ( AB ) 2
4
3 3 < 0, − AB adalah AQ sehingga Q anggota sinar yang 4 4
b) Karena k = −
berlawanan dengan AB , dengan AQ = −
B
3 3 AB = AB 4 4
P A
Q
Contoh-contoh soalnya: 1. Diketahhui titik-titik A, B, C, dan D tiap tiga titik tak ada yang segaris, lukislah: a. Titik D sehingga CE ≅ AB b. Titik F sehingga DF ≅ BA
( )
c. S A AB
Penyelasaian: D
C
P B
A
B’
Q E
F
a. Titik D sehingga CE ≅ AB S P (D ) = A maka S Q ( A) = E
b. Titik F sehingga DF ≅ BA S P (C ) = B maka S Q (B ) = F
( )
c. S A AB = AB'
5
2. Diketehui titik-titik A, B, C yang tak segaris, lukislah: a. Titik D sehingga AD = 3 AB b. Titik E sehingga AE = −
4 AB 3
c. Titik F sehingga CF = 2 AB
Penyelasian: a. Titik D sehingga AD = 3 AB
A
B
P
D
C dimana k > 0 dan D ∈ AB b. Titik E sehingga AE = −
E
4 AB 3
A
B
C
c. Titik F sehingga CF = 2 AB A
B
P
T C
F
Sehingga CF = 2 AB dan 2 AB ≅ AP maka CF = AP
3. Diketahui A(0,0), B(5,3) dan C(-2,4) tentukan : a. Titik R sehingga AR ≅ BC b. Titik S sehingga CS ≅ AB c. Titik T sehingga TB ≅ AC
6
Penyelasaian: a. Titik R sehingga AR ≅ BC Misalkan R(x,y) maka AR ≅ BC adalah
(x − 0, y − 0) = (− 2 − 5, 4 − 3) x = − 7 dan y = 1 maka R( x, y ) = (− 7, 1) b. Titik S sehingga CS ≅ AB Misalkan S(x,y) maka CS ≅ AB adalah
(x + 2, y − 4) = (5 − 0, 3 − 0) (x + 2, y − 4) = (5, 3) x+2=5
y −4=3
x = 5−2
y = 3+ 4
x=3
y=7
maka S ( x, y ) = (3, 7 )
c. Titik T sehingga TB ≅ AC Misalkan T(x,y) maka TB ≅ AC adalah
(5 − x, 3 − y ) = (5 − 0, 3 − 0) (5 − x, 3 − y ) = (5, 3) 5− x = 5 3− y = −3 x=0 y=0 ∴ maka T ( x, y ) = (0, 0 )
4. Apabila A(1,3), B(2,7) dan C(-1,4) titik sudut jajaran genjang ABCD. Tentukan koordinat titik D ?
Penyelesaian: Diketahui untuk membentuk sebuah jajaran genjang maka AB ≅ CD maka: Misalkan titik D(x,y) sehingga AB ≅ CD adalah:
(2 − 1, 7 − 3) = (x + 1, y − 4) (1,4) = (x + 1, y − 4) x=0
D( x, y ) = (0,8)
y=8
7
y
(0,8) 8 7
(-1,4)
(2,7)
4 3
-1
(1,3)
1
2
x
5. Apabila A(-2, 4), B(h, 3), C(3, 0) dan D(5, k) titik sudut jajaran genjang ABCD, tentukan nilai h dan k! Penyelesaian: Diketahui untuk membentuk sebuah jajaran genjang maka AB ≅ CD maka:
(h + 2, 3 − 4) = (5 − 3, k − 0) (h + 2, 1) = (2, k ) h+2= 2 k =1 h=0 k =1 ∴jadi h = 0 dan k = 1
8
RESUME GEOMETRI TRASFORMASI RUAS GARIS BERARAH
Dosen Pembimbing : PADLI, M.Pd Oleh kelompok
: V
1. Desi Lastari
(4007 184)
2. Eli Marlina
(4007 235)
3. Juliamsyah
(4007 223)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM SEKOLAH TINGGI KEURURAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN AJARAN 2010
9
10
11
