lV* s !..
1
.,'r.
,
1'
{rl 1.
er,g.,r\lutr
Diketahuivekror
u
=:i
_
q
j.
f}
'
.',';,iir";,'llH&+u$Wgrw****
i =8i -6j
danvekror
hubungan
'I'entukan:
a) la+a b) *a-o 2.
{ = [.-rJ,danvektor t
(-2\
=
""r,ro.
h)
Diketahui vektor 6, = Zi - a j, vekror 6 = -+i - i, au, vektor e = -i + zj.
c)
' t-/
rz
a)
ffi = +nd
l'enl.ukan vektor yang dirvakili oleh
\-L
Ifr.
Tentukan koordinat
iitik
R.
e
bilangan asli. Ruas-ruas garis berarah
u"r,,o,
)
(:i),
vekrorc =
fr.
Tentukan vektor yrng dirvakili oleh
/2 \ tln + il1 = 1\,rz + n)
b)
dan
pada ruas garis PQ,
OAl, OA2, OAr, . . ., OA, sebagai wakil bagi vektor-vektor d,, ir, dr, . . ., 6n. Buktikanbahwa dr * [z + ir+...-td,
(nyatakan hasilnya dalant vektor-vektor basls r dan J).
-6+c + z5 - d 4. Diketahu i vektor i = (1.],
clan
-7). Tirik
Diketahui ririk-ririk AJt, t), A?(2, 2), A3(3, 3), dan An(n, n), dengan
A
Tentukan vektor-vektor berikut ini
= \',J'
y) terletak
ruas garis berarah
l-
-
-o /4\
3)
ruas garis berzu'ah
[oj.
a) p+q++r b) p + 2q - 3i
i'i
Koorrliriar ritik P adalah (2,
a)
Tentukan:
. '.j
-r.
seningga
- [1'j. \.+,/ '
dengrn
x bilangan real. Tentukan,,,*til1,
R(.r,
15\
t;.,tr :r :':':
f1),
koorclinar titlk Q adalah (12,
Diketahui vektor D ^
3.
2:,i -3h +xd =
beriaku
s
@' *'#u*e*€ if
,,
t.
c) 'l'entukanlah vektcr satuan dari vcktor r = (?), ,"0,", p, vektor Q, dan vektor i. -O (2\ vcktor ,- /-i\ \r = ['rJ,dan = [r'J X Vektor i adalah vektor satuan yang searah a) Hitunglah ldl, Ibl, dan t6t. / \ derrgan sumbu X pos.ilif clan vektor ] Dikctahui vekror
b)
Tentukanlah vektor satuan dari vektor
i,
2.
vektor
6, d.,l vektor
Diketahui vektor
/3\
F = (3), ,"u,",
o = [g,i, dan vektor
a) b)
Tentukan vektor
E
i
=
P
+
q.
i.
Hitunglah panjang dari vektor !i, vektor {, dan vektor i.
adalah vektor satuan yang searah delrgan sumbu I positif.
a) b)
i + j Uuko, merupakan vektor satuan. Tentukan vektor satuan dari vektor Jclaskan mengapa vekror
i + J.
@,
**Marc
4 (4\
t.
Diketahui vektor
rr)
l, aan vektor
-z [:/ a) |
I,lLi: , :r,r . 'ritll I ti:
d = lr
l. vektor 6 = [0,/
e=
Diketahui vektor
-: l.
u = | -z l.
lz)
[
Tentukanlali:
l-lf
.:,,i
i,
iiii:
(i) I+u (ii) 6+n (iii)I+e
'-:.,
.
b)
,.t...
(iv)d +a (v) b +6 (vi)C +6 3.
Periksalah, apakah
=
(4\
15) |
r-6)
[
lrl (s/
dan vektor
Tentukanlatr
-8]
a) [+V
c) {, +v
b) r*n
d) j, -v
Diketahui vektor d =
Zi + 2j
-
6=ai - j*zi,aurvektor
(i) a+U=6+a (ii) d+d=d+d (iii)b+6=d+b
j +:[.
k, vektor
6 = -i
+ .:
t * .ti
Tentukanlah:
+(2x-y)
b) d,-6+2d c) a -36 +4c d) Za + 6 -le 4,
Diketahui yektor
aj + 3[. rltu vektor i
=
6.
e - rl)
t;l'
vektor
t'il
[l)'dan
hubungan
6.
vektor
Diketahui titik A dengan koordinar (1, -1, 3), titik B dengan koordinat (2, 4, 5), dan titik C dengan koordinat (5, -13, l l).
2a+36 + kc
=
t bilangan real. Tentukanlah nilai k.
Tentukan ruas-ruas garis berarah berikut dalarn bentuk vektor kolonr.
berlaku
\2)
r;l [,0.J
(i)
oA
(iv) AB
(ii)
oE
(v)
(iii) oc
b)
dengan
ti
= vektor
hitunglah nilai x dan nilai y.
a)
t
j +:f
[
= (x + y) i aan vektor 6 =5? +
Misalkan diketahui vektor
-a) a+b+c
c)
BC
(vi) Ae
Perlihatkan bahwa titik A, titik B, darr titik C segaris atau kolinear Tentukan nilai perbandingan AB : BC.
h
@ 1.
Dikcrahui vcktor
(
i!;;altk:lti:tt"Et {;tr:fit.Jlil:,,s;ffirr1rtr':il.*
vs$-ilBtdl'rE a =l
2\
* i, ou" vektor 13,/ J
a) tr)
i
r3) l-'tl I r ,l' f-r\
i'ektot b
= g. ABC adalah bangun geornetri segiriga dengan ririk-ririk sudut t(_4, _f B(5, 5, 3), dan C(_3, 1,2). a) Hitunglah AB, BC, dan ACl.
lzl
\2)
}=:-*.----
t.
b)
Hitunglah ta t, tbt, ctan ld II Tentukan yektor-vekror satuan
d
vektor d, vekror 6, a,n u"o,o.
u'1"
c)
VR a)
I
\
b) Tentukan i =2a -:6 - Sa (2\ X t a) 2. Diketahui vektor u = j+ ldan u.kt^, "*' vcr\tul./ (.].J
/l \
b)
, _il,
I-Iitunglah keliting scgiriga ABCI l utlukkan bahrva titik-tirtk A(4, 2, 4).
f[11;,,1;,?];l;],13,**irxil Hitunglah luas segitiga ABC itul Trrnjukkan bahrva ririk-ririk p(4,2,6).
Q(10,-2,4),dan R(-2,0,2)adalah titik-titik sudut dari ,.gi,igr-rorn, kakit
Hitunglah luas segitiga PQR itul
, = l; l. v"t,o. rir adarah resulran dari -r ftoz acrarah [, bangun georner.ri segitiga _ }.\ r'.ekro1 il dengan vekror i. / \ o"rgon ritik-ritik sudut ^K(-11, g, 4), a) Tentukanlah vektor ,& I Lel, _.1, _1), M(g, _2, 4). b) Hitunglah panjang vektor i, panjang a) Hitungiah dan K;;, ;tup,iurr''urrit vektor i, dan panjang vektor t) oenga-n menggunakan dalil kosinus, () Tentukanlah vektor-vektor satuanfr/! dari hiturigtatr besar sudut KrM! 'zektor [, vektor i, dan vektor ri, I \f Segitiga DEF dcngan titik_titik suclut A Dl6. , (*) -10,0), E(l,0, _5), ctan F(6, r0, r0). "I'urrjukkln balrrva a) 3. IVlisalkan diketahui vektor i = | , I O.n segitiga DEf nrcru_ vcktor 6 -
r,
)
l;'rl
r'-ri
Selain itu diketatrui
:::,:: panJang:T,u,,r,u"u,o. vet(tor b.
pula
b) [l[il:i,T'lf: l'l,1,iJL',u,,,,, X
.a.:lrn.*r
persamaan bota .jika pusar da,
i sama dengan 1]"'l::JJrltT;lit[r:"!:i]ffi,0,,_
-jari r = 5. 'a) Tentukanlah nirai-nirai .r yang b) pusar di ritik (3, 1, 4) dengan jari-jari mungkin. r = 5. b) Tentukanlah vektor-vektor satuan clari { Dit.rrt,ui persarlaan sebuah bola clitentu_ vektor d dan vektor 6. f\ ' kan oleir: 4' Hitunglah jarak antara
6l l.
ffi
tdn**u-u
.
Titik-titik
sudur dari segiriga ABC mempunyai koordinat A{2, -3,4), B(-2,6, 1), dan C(2, 0, 2). Vektor-vektor posisi dari titik A, titik B, dan titik C berturut_turut adalah d, 6, dan 6.
a) b)
Nyatakan vektor a , vektor b, dun vektor 6 dalam bentuk vektor kolom. Tentukan vektor-vektor yang dirvakiii oleh ruas-ruas garis berarah
aB,
cf,
Al, Sf
- *"'----.
DC
n
,
sE, au, CE. Pada gambar diatas, )4BCD adalah bangun geometri jajargenjang. Vektor-vektor posisi
posisi titik A aCalah d dan vektor posisi titik B adalah 6. Dengan menggunakan
dari titik-titik A, B, C, dan D berturtrt-turut adalah e, 6, e , dan i. Titik-titik p dan Q berturut-turut adalah titik-titik tengah ,4_B dan IlC. Tirik-titik E dan F adalali tiriktitik potong antara AC dengan Dp dan AC dengan DQ.
rumus perbandingan vektor, nyatakan vektor-vektor posisi dari tirik-titik berikut ini dalam a dan 6. a) Titik E, yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3 : b) Titik F, yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 5 :,2
a) b)
1
c)
vcktor posisi titik p adarah O = vektorposisi titik e adatali q =
lil
u.,
[,./ re')
\.
Diketahui suatu segitig a ABC scbarang. Titik-ririk P, Q, dan.R adalah ritik-ririk tengah pada sisi-sisi AB, BC, dan CA. Jika e, 6, e, p, {, dan i masing-masing
titik Ql
Buktikanbahrvafr= + e6r
d)
Tentukan vekror-vekror fang dirvakili
e)
'I'Lrnjukkan bahrva
jetr
13i
terletak pada ruas garis pe dcngan nilai perbandingan PR : RQ= I : 3. Tentukan vektor posisi dari titik R.
Buktikan bahrva J - u = e - Ul Tentukan vektor posisi dari titik p dan
oleh ruas-ruas garis berarah DF
i l0 l. firit
rR
A
:'';)'::ti'l:':jlt''::':nii't:4!r'!ti1#Px;t''h\:"n'
adalah vektor-vektor posisi dari tirik-ritik A, B, C, P, Q, dan R, tunjukkan bahrva a + b + c = p + Q + i.
Diketahui ruas garis AB dengan vektor
{{-,
:.
ra
o-
oO
aG = pJ = Fd
r
=
OABCDE adalah bangun geonretri segi enarn beraturan, vekior-vektor posisi dari iitik-titik A, B, C, /). dan E ber-r.ururturut aclajah i, 'u, ., a, Oan ij.
Tunjukkanbahwa a
3(a
-
a).
+6+d+i +6=
-
L 3
@
vortwaua
i-.i .-.j;i' 1.
Diketahui tirik A(2, -2) dan titik B(-4,
a) b)
1).
Tentukan koordinat
titik P, jika
Tentukan koordinat
ritik 0, jika
AP:PB-3:5!
AQ:QB=-3:51
Diketahui ruas garis AB dengan koordinat
titik A(3, -1) dan koordinar titlk B(4,1). Titik K dan titik L terletak pacla ruas garis AB sehingga AK = KL = LB. Tentukan koordinat titik K dan koordinat titik Ll Dalam segitigaABC dengan titik-titik sudut
A(3,
-l),
B{9,
-z),
dan C(-5, -4). Titik-
titik P, Q, dan R adalah titik tengah dari sisi-sisi BC, AC, dan AB. Tentukan koordinat titik P, koordinat titik Q, dan koordinat titik Rl
{
Diketahui segitiga ABC scbarang dengan
titik-titik sudut .4(-r,, ),), B(xz, )2), C(x, y).
dan
Titik Iadalah titik berat segitigaABC, yaitu merupakan titik potong dari garis-garis beratnya.
Tunjukkan bahwa koordinat
titik 7'adalah
(x, + x" + x.. yr + )2 + 1,r) (3'3)
Ruas garis AB dengan koordinat titik A(-2, -1) dan koordinat tirik B(3, 3). Tirik C terletak plda perpanjangan ruas garis A-8,
sehingga BC = 3AB. Tentukanlah koordinat dari
titik
C!
Diketahui segitiga ,4BC dengan titik-titik sudut,4(3, 2), B(-1,6), dan C(7, 6). Titik .K membagi sisi AB dengan perbandingan
I : 3, titik I membagi AC dengan perbandingan 3 : 1, dan titik M rnembagi ^8C dengan perbandingan 9 : -.1. a) Gambarlah sketsa grafik segitiga ABC dalam satu sistern koordinat Cartesius! b) 'I'entukan koordinat titik-titik K, L, dan L'll c) Tentukan vektor-vektor yang dirvakili oleh ruas-ruas garis berarah
dan LMI
I(L, KM,
&
;1,r.,:rlii."l-:i,S*iW
@ veLaBBaEE l. Diketahui titik A(2, -4, 8) dan titik .B(9, 3,
Diketahui ririk A(-2, 0, 3), ritik -7), tirik c(2, 4, l), dan titik D(-r, 10, -11).
l).
1r(3, r0,
Tentukan koordinat titik P yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 5 : 2.
a)
Tentukanlah koordinat titik P, jika titik P membagi C1) dengan perbandingan
dengan perbandingan 3 : 7. Jika koordinat titik P(6, 8, 1), tentukan koordinat tirik 0.
b)
Dalam segi empat ABCD diketahui titik-
c)
Perlihatkan bahrva titik ,'1, titik B, dan titik P segaris atau kolinearl Hitunglah nilai perbandingan AB : BP.
Titik R(9, 2, 4) membagi ruas garis PQ
titik
sudut A(2,
C(1,
l, -3), dan D(3, 1, -2).
-1, 0), B(0, -1, -1),
Titik-titik P, Q, R, dan .S berrurur-turur adalah tirik-ritik tengah AB, BC, CD, dan DA.
a)
Perlihatkan bahrva segi empat ABCD
adalah bangun geometri persegi panjang!
b) c)
Tentukan koordinat-koordinat titik P, tirik 0, tirik fi, dan ririk .Sl Perlihatkan bahrva PQRS adalah bangun geometri jajargenjang!
x
I :2.
Diketahui segitiga AbC d"ngun titik-tirik
sudut A(5, 1, 5), B(11, 8, 3), dan c(-3,--2, 1).
a) b) c)
Perlihatkan bahrva segitiga ABC adalah sebuah segitiga sama kaki! Tentukan koordinat ritik D, jika titik D adalah titik tengah sisi BC!
Perlihatkan bahrva segitiga ADC adalah sebuah segitiga siku-siku di
d)
titik Dl Hitunglah luas segitiga ABC dan luas segitiga ADC!
S q"&UiBeeg€
1.
Dengan menggunakan definisi perkalian skalar a- . 6 = lal lbl cos g, hitunglah a ' 6 untuk setiap pasangan vektor d dan
vektor 6, pada gambar berikut ini. a)
l'.i:t,:. '
/*\
.,/o "(
d) a
6
t7
b)
'/
2.
/uo'
,,
7
OPOR adalah bangun persegi panjang O! =.A dan PQ = 8. Ruas garis berarah OP mewakili vektor p clan ruas garis berarah OQ mewakili vektor {. dengan
Hitunglah hasil kali skalar vektor p dengan
vektor {
!
1{B
@ v&baBseBs 1.
a) b)
Tentukan hasil kali skalar d b untuk pasangan-pasangan vektor I dan vektor 6 berikut ini.
a) d=5i+zj dana=li-tj b) d = 10i -lj dan 5 =:i +10j tirik B(-1, 3), dan C(4, 1). Ruas galis berarah AT
3.
b)
At
dan nias garis berarah
mewakiii vektor
i.
c)
i'
u!
i' i = i
[?
6= 6 = (7). ".0,",
(3,/ , dan vekror C
titik
dan
Periksalah, apakah
(2) a)
mewakili vektor
i' i
Diketahui vektor
Diketahui tirik A(3, 2),
il
Hitunglah
r-I\
= l., J. 6, e.d,dan
6'e e. Hitunglah a (b + c) dan (I + 6)' ct Hitunglah a' 6 + d' c dan a' d + b' cJ Hitunglah
t
u{WaEE 1.
t$ : -tr,:"
Pasangan-pasangan vektor
d
i,.i,5:li.liE;:;r::'r'gllr'la!wure--
dan vektor
6 berlkut ini saling tegak lurus atau ortogo-
nal. Hitunglah nilai .r. a) d =;ri +:1t aan 6 = -Z? + +j
b) a=3i-zjaanS=ai*jrj
o,o","hui vektor
a
I
'
n=
- [i], ""-,.,
vckror = [?l [jl, " o \.0/dan l.
Diketahui segitiga A.BC dengan koordinat-
koordinat
titik A(1, 3), tirik B(2, 5),
a)
dan
satuan dan vektor
ririk c(-i,4).
a)
b)
bahrva nilai .t =. I
[E, et,
d membentuk sudut
Diketahui vektor
il = r-','l
/4\
Tentukan rvakil dari ruas garis ber-
-lt t'= III l0 . Vektor d = I
(nyatakan hasilnya dalam bentuk Ruas garis berarah
Ai
nilai
,t!
Dengan menggunakan tanda-tanda hasil kali skalar
Al .C6,
bahrva Ats sejajar CDI
lz)
i
+
f,i
dan vekl.or
dan vektor
I tegak I urus pada vektor ii. Tentukanl ah nilai k yang mungkin.
aapat clinyata-
kan sebagai AB = k CD, tentukanlah
c)
perlihatkan
\.-8l
vektor kolom)!
b)
6,
!
hitunglah nilai e yang mungkin!
arah A-E dan ruas garis berarah CT i;,
sama dengan 2
b) Jika vektor d tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor c, perlihatkan bahlva ) = 0. Kemudian
BA, tsC, CA, dan CB. Dengan menggunakan Ieorcma Ortogonalitas, tunjukkan bahrva segitiga ABC siku-siku. Kemudian sebutkan titik sudut siku-sikunya.
Dketahui ririk A(5, 2, -3), tirik 8(6, l, 4), ririk C(-3, -2, -l), dan titik r(-1, 4, 13).
a)
ii
60o terhadap vektor
Tentukan vektor-vektor yang dirvakili oleh ruas-ruas garis berarah
Jika panjang vektor
i
perlihatkan
h
Diketahui empat buah titik teiletak di ruang dengan koordinat masing-masing adalah
A(2, -1,0), ,(0, -1, -l), C(l, l, _3), dan D(3, t, -2). Dengan menggirnakan teorenla Ortogonalitas, tunjukkan bahrva ABCD adalah bangun pcrsegi panjang.
.;: ,!:j.:::ti5l
..\.e$-sBl@un
l. i,"ir.,j
Vektor I dan vektor b, adalah vektorvektor sebarang yang bukan vektor nol. Tunjukkan bah'rva 1a + 6; ' (a + 6; =
td +
z.
d=
(*r\
jl, \r,
(r, ) | rr l, vettor [2, /
)
a) b) c) d)
.- + c) a ' b + i . 5 '(b -
a) e.a b) b.b {
c
e.(b-e)=d b-t.c (a+b)'i=ii.c1+b.c (a-b)'e=i'c*b'c
Dikctahui
Hitunglah nilai deri hasil kali skalar berikut
= lr: l. (., /
Tunjukkan bahwa.
[1r'
Q.
Tentukan vektor-vektor yang diwakili oleh ruas-ruas garis berarah PR dan
ql'
u"tto,
l.
[0,
b) jika lpl = ldl tunjukkan bahrva PR tegak lurus QS.
a)
Vektor
i,
vektor
i, a",
vektor
i
adalah vcktor-vektor satuan di ruang yang panjarlgnya satu satuan dan
b
saling tegak lurus. Salin dan lengkapilah tabel hasil kali skaiar
;i
berikut ini.
berikut:
h) e.(6-i)=ri
garis berarah PQ masing-masing mervakili
QS (nyatakan hasilnya dalam p dan
Hitunglah nilai p, jika berlaku hubungan
a) a '(b + c) - a '
d) p'D
PQRS adalah bangun geonetri jajargenjang. Ruas garis berarah PS dan ruas
a)
13)
6 = l-2 l, d",, ,.kto. e = lP
c) I'b
vektor p dan vektor
(2\ vektor a = I -l l, \2) rr)
oleh
lnl.
(*,)
l, dun uektor e
I cian vektor 6 masing-masing vektor adalah satuan, suclut yang dibentuk oleh vektor I dan vektor 6 rurno dengan Vektor
60", dan vektor p ciitentukan P = 3a - 4b'
Ui2.
Diketahui vekror
u=
X /\
@ 1.
t#ffio*
ts
Jika 0 adalah besar sudut antara vektor d dan vektor 5, hitunglah nilai cos 0 bagi pasangan-pasangan vektor 6 dan vektor 6 berikut ini.
r1\
--
a) 6=l,ldanb \-r,/
2.
l
b)
tentukanlah cos a, cos p. dan cos 7 Kemudian perlihatkan bahrva cosz a, + cos2 p + cosz y= 1.
skalarl i, e.j,dan[
4.
I
Dengan menggunakan hasil-hasil kali
[,
Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik
sudut A(1, -3, 2), B(2, -6, 7), dan b) i=2i-sjoan6=-2i+sj c(4, -5, 1). Tentukan besar sudut.sudut dalam segitiga Diketahui vektor [ = i *:1 - Z[ aan vektor 5 = ai -zj + ai. / ABC tersebut, . a) Hitunglah e I, 61, dan d b. Y Diketahui empar buah titik yaitu ritik b) Tentukan besar sudut antara vektor 6 / \rt:, 3,3), titik O(r,2,-1), tirik R(4, t, 1), dan titik .t(6, 2, 5).' dengan vektor 6. a) Tunjukkan bahrva PQRS adalah Sudut a, sudut B, dan sudut 7 masingbangun jajargenjang. masing adalah sudut yang dibentuk oleh' ' b) Tentukanlah besar sudut-sudut pada vektor d = i + 2 : -Z iterhadap sumbu X. jajargenjang tersebut. I
-l
\:
(4\ I (3,
a)
terhadap sumbu )', dan terhadap sumbu Z.
I
$6
@ $'oatwer*
',
I .,,,.;,i.,;i.rl:!lHl1,i'tr"*r.,rn:r.r:ew-_-
l.
b)
Tentukan proyeksi vektor ortogonal AB pada arah AC dan proyeksi vektor
Misalkan vektor d adalah pro-veksi vektor ortogonal dari vektor i pada arah vektor
6
aan
p menyatakan
..-;
panjang vektor 6.
ortogonal dari At pada arah AE. p berada dalam batas-batas 0 Sp ( lil. V Diketalrui vekror i = 3i + Sj z[, b) Jikap = 0, sebutkan kedudukan vektor //\ \ vektor b = -i - 2 j + 3li, dan -vektor i terhadap vekror 6. e=2i-j++t. c) Jikap = ldl, sebutkan kedudukan a) Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor i terhadap vektor 6. vektor b pada arah vektor (a - 26). Dikelahui ritik ,4(2, 3, -1), ririk B(-2,4,3), b) Tentukan proyeksi vektor ortogonal dan vektor p = ai -:j + i. a) Tentukan proyeksi skaJar ortogonal . / &ui vektor b padaarahvektor(I -2c). '' Dibcrikan segitiga A-BC deugan ririk_ritik vektor p pacia arah ai. X sudur A(4. -3,?), B(2, _2, 6), dan c(3,4,5). \ b) Tentukan froyeksi vektor ortogonal 1 a) 'i'unjukkan bahrva proyeksi vektor
a) Tunjukkan
bahrva nilai
vektor p pada ,.otl nB.
Dikerahui titik A(1, 2, 2), ririk S(0. dan
a)
crtogonal CA pada arah BA dirvakili
l,
titik C(2, -1, -t). Tentukan ruas grris berarah Aii
0),
b) aou
ruas garis ber,.,.ah AC O"tunl bentuk vektor koiom.
olehvektorZi-i-
+Q..
'funjukkan bahwa proyeksi vektor orlogonal AC pada arah BC dirvakili
olelivekrori+Oj-i..
