Pružnost, pevnost, plasticita

Pružnost, pevnost, plasticita

Pracovní verze výukového skripta 3. října 2016

c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman

České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Thákurova 7 166 29 Praha 6

Kapitola 2

Osový tah nebo tlak 2.1

Rovnoměrně tažený nebo tlačený prut

2.1.1

Vztah mezi protažením prutu a působící silou

Nejjednodušším způsobem namáhání prutu je osový (dostředný, centrický) tah nebo tlak. Uvažujme nejprve prizmatický prut (tj. přímý prut konstantního průřezu), jehož levý koncový průřez je pevně připojen k nehybné podpoře, zatímco na pravý koncový průřez působí vnější síla F na paprsku procházejícím střednicí prutu, viz obr. 2.1. Prut je přitom protahován, nebo stlačován, v závislosti na tom, zda je vnější síla působící na pravý konec orientována doprava (tj. “ven z prutu”), nebo doleva (tj. “do prutu”). Původní délku prutu (měřenou podél střednice v nezatíženém stavu) označíme L a změnu délky v důsledku protažení či stlačení prutu označíme ∆L (řecké písmeno ∆ se často používá v souvislosti s přírůstkem nebo rozdílem). Výchozí stav

Deformovaný stav

F

F L

ΔL

Obrázek 2.1: Rovnoměrně tažený prut. Síla F v tomto případě charakterizuje zatížení prutu a protažení ∆L popisuje jeho odezvu na dané zatížení. Obě veličiny jsou poměrně snadno měřitelné. Vztah mezi nimi lze pro konkrétní prut určit pokusem a graficky zobrazit v podobě pracovního diagramu jednoosé zkoušky. V takovém diagramu je na vodorovné ose vyneseno protažení prutu (které v popsaném případě odpovídá podélnému posunu pravého konce prutu, tedy posunu působiště síly F ve směru jejího paprsku) a na svislé ose odpovídající síla. Pro většinu běžných materiálů je aspoň část pracovního diagramu v okolí jeho počátku velmi blízká přímce, což svědčí o lineárně pružném chování materiálu v této oblasti. Skutečný pracovní diagram pak můžeme nahradit přímkou, která představuje idealizovaný pracovní diagram. Její směrnice n=

F ∆L

(2.1)

16

KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK

tj. konstanta úměrnosti mezi silou F a protažením ∆L, se nazývá normálová tuhost prutu, případně tuhost prutu v tahu/tlaku. Jde o sílu vztaženou na jednotkové protažení, a proto se vyjadřuje v jednotkách N/m (samozřejmě lze použít i kN/m nebo MN/m). Pod pojmem tuhost obecně rozumíme schopnost přenášet namáhání a přitom se jen málo deformovat. Opačná vlastnost, tj. schopnost se deformovat i při malém namáhání, se nazývá poddajnost. Obecně tedy platí, že velká tuhost odpovídá malé poddajnosti a malá tuhost odpovídá velké poddajnosti. Extrémním případem je dokonale tuhé těleso, které se nedeformuje vůbec, jeho tuhost je tudíž nekonečná a poddajnost nulová. Normálová tuhost prutu definovaná vztahem (2.1) zřejmě závisí na rozměrech prutu i na použitém materiálu. Pro daný konkrétní prut je možné ji určit měřením, ale je nepraktické takové měření opakovat pro každý jednotlivý prut zkoumané konstrukce. Proto je užitečné oddělit vliv geometrie prutu od vlivu materiálu a odvodit vzorec, který umožní tuhost prutu zjistit i bez měření. 1. Nejprve si představme, že zdvojnásobíme obsah průřezové plochy prutu a přitom zachováme jeho délku (i materiál, ze kterého je vyroben). Síla potřebná k danému protažení pak vzroste také na dvojnásobek oproti původnímu prutu. Prut o dvojnásobném průřezu si totiž při tahovém nebo tlakovém namáhání můžeme představit jako dva původní pruty vedle sebe (paralelně). Zobecněním této úvahy dospějeme k závěru, že normálová tuhost prutu je přímo úměrná obsahu průřezové plochy A. 2. Nyní si představme, že zdvojnásobíme délku prutu a přitom ponecháme jeho průřez (i materiál, ze kterého je vyroben) beze změny. Při působení stejné síly se dvakrát delší prut protáhne dvakrát více než prut původní, protože si jej můžeme představit jako dva původní pruty spojené za sebou (sériově). Tentokrát se tedy na dvojnásobek zvýší normálová poddajnost prutu a jeho normálová tuhost klesne na polovinu. Zobecněním této úvahy dospějeme k závěru, že normálová tuhost prutu je nepřímo úměrná jeho délce L. Právě provedené úvahy motivují přechod od popisu přetváření prutu k popisu přetváření materiálu. V prutu s průřezem o obsahu A a zatíženém osově působící silou F je materiál namáhán stejně jako v prutu s průřezem o obsahu 2A a zatíženém silou 2F . Silové účinky na samotný materiál jsou tudíž popsány poměrem F/A, tedy silou vztaženou na jednotkovou plochu. Výsledná veličina se nazývá napětí a vyjadřuje se v pascalech [Pa = N/m2 ]; ve stavební praxi je obvyklou jednotkou megapascal [MPa = 106 Pa], případně kilopascal [kPa = 103 Pa]. Ve II. části tohoto učebního textu si ukážeme, že při obecném namáhání je napětí charakterizováno šesti nezávislými složkami. V I. části budeme pracovat pouze s jedinou složkou, která působí kolmo na průřez prutu a přesněji se jí říká normálové napětí, my však budeme pro jednoduchost mluvit pouze o napětí. Napětí se značí řeckým písmenem σ a jeho přesná definice vyžaduje limitní přechod k nekonečně malé plošce. V případě osově taženého nebo tlačeného prutu je napětí v celém průřezu konstantní (je po průřezu rozloženo rovnoměrně) a lze je prozatím vyjádřit vztahem F σ= (2.2) A Ukázali jsme, že přechodem od síly k napětí můžeme vyloučit vliv obsahu průřezu a sestrojit veličinu, která charakterizuje silové účinky přímo na úrovni materiálu. Podobně lze postupovat i pro přetvoření (deformaci). Na úrovni celého prutu je deformace charakterizovaná protažením ∆L, tedy změnou délky prutu. Jestliže dva stejné

2.1. ROVNOMĚRNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT

17

pruty o počáteční délce L a protažené o ∆L spojíme za sebe, získáme prut o počáteční délce 2L a protažený o 2∆L. Je však zřejmé, že samotný materiál je v obou případech deformován stejným způsobem. Proto zavedeme poměrné přetvoření ∆L (2.3) L které popisuje deformaci na úrovni materiálu. Ve II. části si ukážeme, že při obecném přetváření je deformace charakterizována šesti nezávislými složkami. V I. části budeme pracovat pouze s jedinou složkou, která představuje relativní změnu délky ve směru osy x (tedy rovnoběžně se střednicí prutu) a přesněji se jí říká normálová deformace, případně poměrné (relativní) protažení. Pro jednoduchost budeme někdy mluvit pouze o deformaci. Abychom vyloučili záměnu, budeme o protažení prutu, tedy o veličině ∆L, hovořit jako o celkovém nebo absolutním protažení, na rozdíl od poměrného nebo relativního protažení ε. V případě lineárně pružného chování je síla působící na prut přímo úměrná jeho absolutnímu protažení a konstantou úměrnosti je zde normálová tuhost prutu n, viz vzorec (2.1). Namáhání materiálu lze však bez ohledu na rozměry prutu charakterizovat pomocí napětí σ a deformace ε. V případě lineárně pružného chování mezi těmito veličinami opět platí přímá úměra a příslušná konstanta úměrnosti σ E= (2.4) ε závisí pouze na samotném materiálu, nikoli na rozměrech prutu. Jde o známý Youngův modul pružnosti, který má stejný fyzikální rozměr jako napětí (protože poměrné protažení ε je bezrozměrná veličina) a pro materiály obvykle používané ve stavební praxi se nejpohodlněji vyjadřuje v gigapascalech [GPa = 109 Pa]. Vztah (2.4) lze přepsat do tradiční podoby Hookeova zákona σ = Eε (2.5) ε=

Přímá úměra mezi napětím a deformací je charakteristická pro lineárně pružný materiál. ΔL

F

ε

F = Aσ ε

σ=Eε

σ

Obrázek 2.2: Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně tažený prut. Abychom se ve struktuře dosud uvedených rovnic lépe orientovali, uspořádáme je do schématu na obr. 2.2. V jeho horní části jsou uvedeny veličiny vztahující se k celému prutu (celkové protažení a odpovídající vnější síla), v dolní části pak jsou veličiny vztahující se k materiálu (poměrné přetvoření a napětí). Šipky pak spojují dvojice veličin, které jsou svázány jednou z uvedených rovnic. Ze schématu lze vyčíst, že vztah mezi silou a protažením můžeme buď zapsat buď přímo, ve tvaru F = n ∆L

(2.6)

nebo jej odvodit kombinací ostatních tří rovnic: F = Aσ = AEε = AE

∆L EA = ∆L L L

(2.7)

18


Porovnáním pravých stran rovnic (2.6) a (2.7) zjistíme, že normálovou tuhost prutu lze vyjádřit jako EA n= (2.8) L Výsledek odpovídá předchozím úvahám, podle kterých by normálová tuhost prutu n měla být přímo úměrná obsahu průřezové plochy A a nepřímo úměrná délce prutu L. Zároveň vidíme, že je přímo úměrná modulu pružnosti materiálu. Chceme-li tedy zvýšit normálovou tuhost prutu (a tím snížit jeho protažení při dané působící síle), můžeme použít materiál s vyšším modulem pružnosti, zvětšit průřezovou plochu, nebo prut zkrátit, případně tyto úpravy kombinovat. Vztah (2.8) umožňuje stanovit tuhost prutu výpočtem, aniž bychom museli provádět měření. Stačí znát modul pružnosti materiálu a rozměry prutu. Naopak pokud modul pružnosti pro některý materiál neznáme (nebo jeho hodnotu chceme ověřit), můžeme tohoto vztahu v upravené podobě L n A využít při přepočtu změřené tuhosti prutu n na modul pružnosti E. E=

(2.9)

PŘÍKLAD 2.1 Vypočítejte maximální velikost síly F působící na nosník dle obr. 2.3 tak, aby nebyla překročena únosnost táhla dc, které je vyrobeno z ocelového prutu kruhového průřezu o průměru d = 20 mm. Výpočtovou pevnost oceli (tj. maximální napětí, které připustíme) uvažujte jako fY = 210 MPa. Pro vypočtenou hodnotu síly F určete též svislý posun pravého konce nosníku za předpokladu, že nosník je dokonale tuhý. Modul pružnosti táhla je E = 210 GPa. N

d

0,75 m

(a)

a

c

α 1m

b

F

1,5 m

α

wc

c

α

(c)

wb

wc

(b)

ΔL

Obrázek 2.3: Schéma konstrukce, deformace a detail styčníku c. Řešení: Nejprve si pro další výpočty připravíme geometrické charakteristiky, a sice délku táhla L=

q

12 + 0,752 m = 1,25 m

(2.10)


19

průřezovou plochu táhla A=π·

d2 (20 mm)2 =π· = 314,16 mm2 4 4

(2.11)

a sinus a cosinus úhlu sevřeného táhlem a vodorovnou osou, sin α = 0,6, cos α = 0,8

(2.12)

NRd = AfY = 314,16 mm2 × 210 MPa = 65974 N ≈ 66 kN

(2.13)

Poté určíme únosnost táhla

a z momentové podmínky rovnováhy ke kloubu a N sin α × 1 m − F × 2,5 m = 0

(2.14)

určíme velikost síly N sin α 66 kN × 0,6 = = 15,84 kN 2,5 2,5

F =

(2.15)

O tuhém nosníku předpokládáme, že se vlivem zatížení vůbec nedeformuje, na rozdíl od táhla, které se působením tahové osové síly protáhne. Po zatížení silou F se tudíž nosník pootočí kolem kloubu a, jak je ve značně přehnaném měřítku nakresleno na obr. 2.3b, a současně dojde k protažení táhla o ∆L =

NL 66 · 103 × 1,25 N·m = = 1,25 · 10−3 m = 1,25 mm EA 210 · 109 × 314,46 · 10−6 Pa · m2

(2.16)

Při otáčení tuhého nosníku kolem kloubu a by se bod c pohyboval po kružnici se středem a, ale protože posuny jsou velmi malé, můžeme kruhový oblouk nahradit tečnou v bodě c, tj. svislicí. Podle obr. 2.3c pak najdeme svislý posun bodu c, wc =

∆L sin α

(2.17)

Z podobnosti trojúhelníků podle obr. 2.3b snadno určíme svislý posun bodu b, wb = 2,5wc =

2,5 ∆L 2,5 · 1,25 = mm = 5,21 mm. sin α 0,6

(2.18)

PŘÍKLAD 2.2 Tuhý nosník, jehož deformaci lze zanedbat, je upevněn kloubem a dvěma ocelovými táhly podle obr. 2.4. Navrhěte táhla shodného kruhového průřezu pro charakteristické zatížení F = 80 kN a vypočítejte pokles pravého konce nosníku. Výpočtovou pevnost a modul pružnosti uvažujte hodnotami fY = 210 MPa a E = 210 GPa. Řešení: Pro tuhý nosník v rovině lze sestavit tři nezávislé podmínky rovnováhy, ale působí na něj čtyři neznámé síly – reakce v kloubové podpoře H a V a síly v táhlech N1 a N2 . Úloha je proto jednou staticky neurčitá. Podmínky rovnováhy X

Fix = 0 :

H=0

(2.19)

X

Fiz = 0 :

N1 + N2 + V − F = 0

(2.20)

Mia = 0 :

2N1 + 4N2 − 3F = 0

(2.21)

X

20

KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK N2

1

H

1,5 m

2

3m

N1

F

a V

1m

ΔL2

1m ΔL1

2m

Obrázek 2.4: Tuhý nosník s kloubovou podporou zavěšený na dvou táhlech.

je třeba doplnit o čtvrtou podmínku, kterou získáme z úvah o deformaci konstrukce. Tuhý nosník zůstane přímý, táhla se protáhnou a tuhý nosník se pootočí kolem kloubu a, jak je naznačeno v dolní části obr. 2.4, kde jsou deformace vykresleny v přehnaném měřítku. Na základě podobnosti trojúhelníků můžeme pro protažení táhel ∆L1 a ∆L2 zapsat jednoduchý vztah ∆L1 ∆L2 = , tj. 2∆L1 = ∆L2 2 4

(2.22)

Zároveň jsou protažení ∆L1 a ∆L2 závislá na silách v táhlech, která se chovají jako rovnoměrně tažené pruty, takže pro ně platí vztah (2.7). Jelikož jsou obě táhla ze stejného materiálu a mají mít stejnou průřezovou plochu, bude normálová tuhost průřezu pro obě stejná a označíme ji EA. Dosadíme-li do (2.22) protažení vyjádřená podle (2.7) jako ∆L1 = N1 L1 /EA a ∆L2 = N2 L2 /EA, dostaneme 2

N1 L1 N2 L2 = EA EA

(2.23)

a po úpravě získáme vztah mezi silami v táhlech N2 = N1

2L1 2 × 1,5 m = N1 = N1 L2 3m

(2.24)

Pro dané geometrické uspořádání tedy v obou táhlech vzniknou stejné síly. Názorně se to dá vysvětlit tak, že při pootočení tuhého nosníku kolem kloubu a bude absolutní protažení táhla 2 dvojnásobkem absolutního protažení táhla 1, protože táhlo 2 je dvakrát dál od kloubu než táhlo 1, ale poměrná protažení obou táhel budou stejná, protože táhlo 2 je dvakrát delší než táhlo 1. Jelikož jsou obě táhla ze stejného materiálu, vzniknou v nich při stejném poměrném protažení také stejná napětí, a jelikož mají obě táhla mít stejnou průřezovou plochu, vzniknou v nich i stejné normálové síly.


21

Jakmile jsme tři podmínky rovnováhy (2.19)–(2.21) doplnili o rovnici (2.24) (která vznikla spojením geometrických a materiálových rovnic), máme k dispozici dostatečný počet rovnic pro výpočet čtyř neznámých. Po dosazení (2.24) do momentové podmínky rovnováhy (2.21) dostaneme 2N1 + 4N1 = 3F (2.25) a odtud N1 = 0,5 F = 0,5 × 80 kN = 40 kN

(2.26)

N2 = N1 = 40 kN

(2.27)

Z rovnice (2.20) bychom pak mohli dopočítat svislou reakci V v kloubové podpoře, zatímco vodorovná reakce H je podle (2.19) nulová. Nyní můžeme přejít k návrhu průměru táhel. Aby napětí způsobené osovou silou N1 nepřekročilo povolenou hodnotu fY , musí být průřezová plocha nejméně Amin =

N1 40 · 103 N = = 0,19048 · 10−3 m2 = 190,48 mm2 fY 210 · 106 Pa

(2.28)

a odpovídající poloměr kruhového průřezu je s

dmin =

4Amin = π

s

4 × 190,48 mm2 = 15,57 mm π

(2.29)

Navrhneme d = 16 mm a posoudíme: πd2 = 201,06 mm2 4 = AfY = 201,06 mm2 × 210 MPa = 42,223 · 103 N = 42,22 kN

A= NRd

(2.30) (2.31)

Pro navržený průřez je vypočtená únosnost táhla NRd = 42,22 kN větší než normálové síly N1 = N2 = 40 kN a navržený průřez vyhoví pro obě táhla. Pokles pravého konce nosníku w se v tomto příkladu rovná přímo protažení táhla 2, tj. N2 L2 40 · 103 × 3 N·m = = 2,84 · 10−3 m = 2,84 mm EA 210 · 109 × 201,06 · 10−6 Pa · m2 (2.32) Z použitého postupu výpočtu vyplývá, že u staticky neurčité kontrukce jsou velikosti vnitřních sil závislé i na průřezech prvků konstrukce a na modulech pružnosti použitých materiálů. Tím se staticky neurčité kontrukce liší od staticky určitých, pro které lze vnitřní síly vypočíst výhradně z podmínek rovnováhy. w = ∆L2 =

PŘÍKLAD 2.3 Určete napětí v betonu a v oceli pro centricky tlačený železobetonový sloup na obr. 2.5. Vlastní tíhu sloupu zanedbejte. Modul pružnosti uvažujte pro beton jako Ec =30 GPa a pro ocel Es =210 GPa (indexy c a s odpovídají anglickým slovům “concrete” a “steel”). Určete také průběh normálové síly N , napětí v betonu σc a v oceli σs , poměrného protažení εx a posunutí u. Řešení: Normálovou sílu lze určit jednoduše z podmínky rovnováhy, je konstantní po délce prutu a její hodnota je N = −1600 kN. Vzhledem k použití dvou různých materiálů je však úloha vnitřně staticky neurčitá, neboť v betonu vznikne jiné napětí než

22


[kN]

[MPa]

[MPa]

[-]

–

–

x

-0,298·10-3

ε

–

σs

-62,59

σc

-8,941

N

–

-1600

L = 5,0 m

1600 kN

0,5 m

0,3 m

6Ø32

Obrázek 2.5: Železobetonový sloup zatížený osamělou silou.

v oceli. Při výpočtu napětí tedy nelze jednoduše vydělit normálovou sílu průřezovou plochou. Stále však platí, že normálová síla je výslednicí napětí v průřezu. Pokud v betonové části průřezu o ploše Ac vznikne napětí σc a ve výztuži o ploše As vznikne napětí σs , můžeme odpovídající normálovou sílu zapsat jako N = Ac σ c + As σ s

(2.33)

Abychom mohli určit, jak se namáhání rozloží mezi betonovou a ocelovou část průřezu, potřebujeme ještě jednu rovnici. Stačí si uvědomit, že poměrné protažení (zde spíš zkrácení) betonu a výztuže bude stejné. Podle Hookeova zákona vyjádříme poměrné protažení pro beton jako σc /Ec a pro ocel jako σs /Es a zapíšeme podmínku jejich rovnosti σc σs = (2.34) Ec Es V rovnicích (2.33)–(2.34) jsou neznámými pouze napětí, ostatní veličiny jsou známé. Z rovnice (2.34) nejprve vyjádříme σs =

Es σc = mσc Ec

(2.35)

Pro pohodlí jsme zavedli tzv. pracovní součinitel m, což je poměr modulů pružnosti oceli a betonu. V našem případě je jeho hodnota m=

210 MPa Es = =7 Ec 30 MPa

(2.36)

Pomocí vztahu (2.35) můžeme z rovnice (2.33) vyloučit neznámou σs : N = Ac σc + As mσc = (Ac + mAs ) σc

(2.37)

Odtud už snadno vyjádříme napětí v betonu σc =

N Ac + mAs

(2.38)


23

a po zpětném dosazení do (2.35) také napětí v oceli σs = mσc =

mN Ac + mAs

(2.39)

Při dosazování konkrétních hodnot zadaných veličin nejprve vyjádříme plochu oceli (6 prutů kruhového průřezu o průměru 32 mm) a celkovou plochu průřezu (obdélník 0,5 × 0,3 m2 ): π · 322 mm2 = 4825 mm2 = 4,825 · 10−3 m2 4 A = 0,3 · 0,5 m2 = 0,15 m2

As = 6 ·

(2.40) (2.41)

Pracovní součinitel m = 7 jsme již určili, takže nyní snadno získáme tzv. ideální plochu průřezu1 Ac + mAs = A + (m − 1)As = 0,15 m2 + 6 · 4,825 · 10−3 m2 = 0,1790 m2

(2.42)

a vypočteme napětí N −1600 kN = −8941 kPa = −8,941 MPa = Ac + mAs 0,1790 m2 σs = m · σc = 7 · (−8,941) MPa = −62,59 MPa σc =

(2.43) (2.44)

Můžeme také vyčíslit poměrná protažení betonu a výztuže a ověřit, že jsou stejná: −8,941 MPa σc = −0,298 · 10−3 = Ec 30 GPa σs −62,59 MPa εs = = = −0,298 · 10−3 Es 210 GPa εc =

(2.45) (2.46)

Jelikož je poměrné protažení konstantní po délce prutu, absolutní protažení se vypočte jednoduše jako ∆L = εL = −0,298 · 10−3 · 5 m = −1,49 · 10−3 m = −1,49 mm

(2.47)

Záporné znaménko vypovídá o tom, že se jedná o zkrácení. Výsledky jsou vykresleny na obr. 2.5. Je poučné se na závěr zamyslet nad názorným významem odvozených vztahů. Výraz v rovnici (2.42) jsme označili za ideální plochu průřezu. Je to plocha betonu zvětšená o m-násobek plochy oceli, kde m je poměr modulů pružnosti. Za stejného poměrného protažení vzniká v oceli m-krát větší napětí než v betonu. Vyztužený průřez se tedy při osovém tlaku chová podobně jako průřez z prostého betonu zvětšený o m-násobek plochy výztuže. Takto definovanou ideální plochu pak můžeme použít při výpočtu napětí v betonu pomocí obvyklého pravidla “síla dělená plochou”. Přestože plocha výztuže obvykle představuje jen několik procent plochy průřezu, její příspěvek k ploše ideálního průřezu je díky vyššímu modulu pružnosti mnohem významnější. 1

Všimněte si drobné úpravy – abychom nemuseli počítat plochu betonové části průřezu Ac = A−As , přepsali jsme Ac + mAs jako Ac + As + (m − 1)As = A + (m − 1)As a do takto upraveného výrazu dosadili celkovou plochu A a plochu výztuže As .

24

2.1.2


Pracovní diagramy materiálů

Pro experimentální stanovení Youngova modulu pružnosti, pevnosti, tažnosti a dalších mechanických vlastností materiálů se často používá jednoosá tahová či tlaková zkouška. Obr. 2.6 ukazuje tahovou zkoušku ocelového vzorku v trhačce, kde se měří vzájemný posun čelistí a celková síla. Na obr. 2.7 je tlaková zkouška betonu v lisu, kde se v tomto případě použily extenzometry pro určení relativní vzdálenosti dvou bodů přímo na povrchu vzorku.

Obrázek 2.6: Trhačka pro kovy.

Obrázek 2.7: Lis pro betonové vzorky.

Výsledkem tahové nebo tlakové zkoušky je pracovní diagram materiálu, který zobrazuje vztah mezi poměrným protažením ε a normálovým napětím σ. Na obr. 2.8 je srovnání pracovních diagramů konstrukčních ocelí, které se používají ve stavebnictví. Pro ocel Weldox 1100 jsou označeny charakteristické body pracovního diagramu, které platí i pro ostatní oceli nižších tříd: E - mez úměrnosti. V oblasti OE platí Hookeův zákon a experimentálně lze stanovit Youngův modul pružnosti. P - mez pružnosti. Vymezuje počátek vzniku trvalých deformací. Při odtížení ze stavu za bodem P se stav materiálu nevrací do bodu O. fY - mez kluzu (yield stress, yield strength). Dochází k plastickým dislokacím na hranách polykrystalů, při odtížení vzniká trvalá plastická deformace. Mez kluzu se používá pro stanovení maximálního přípustného napětí na ocelové konstrukci. Většina ocelových konstrukcí je namáhána napětím do 50 % charakteristické meze kluzu. Charakteristická mez kluzu odpovídá statisticky 5% dolnímu kvantilu pro více vzorků (to znamená, že ze 100 vzorků má jen 5 mez kluzu pod charakteristickou hodnotou). fu - mez pevnosti (ultimate strength). Odpovídá největšímu napětí, které materiál přenese. Této meze je dosaženo až po plastickém přetváření s velkými dislokacemi. F - porušení (failure). Před tímto stavem se deformace koncentruje do krátkého úseku tyče, ve kterém výrazně roste protažení v podélném směru a zároveň se zmenšuje průřezová plocha, což vede ke vzniku tzv. krčku (necking). Protože napětí tradičně vyjadřujeme jako sílu dělenou původní průřezovou plochou, dochází ke


25

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

ε (10-3)

fy-mez kluzu fu-mez pevnosti P-mez pružnosti

E-mez úměrnosti

-16 -14 -12 -10

WELDOX 1100

-8

-6

-4

-2

5

ft

2

F-porušení

S690

-10 S460

S355

S235

Tlak

-30

O

0

-20

σ (MPa)

σ (MPa)

zdánlivému poklesu napětí. Lze ovšem definovat také skutečné (Cauchyho) napětí, chápané jako síla dělená skutečnou průřezovou plochou. Skutečné napětí může pomalu růst nebo zůstávat zhruba konstantní, ale v důsledku zmenšení plochy průřezu přenášená síla klesá. Bod F pracovního diagramu odpovídá přetržení tyče. Maximální dosažená deformace charakterizuje tažnost materiálu.

50

100 150 200 250 300 350 ε (10-3)

Obrázek 2.8: Pracovní diagramy konstrukčních ocelí.

fc-tlaková pevnost

-40

Obrázek 2.9: Pracovní diagram pro beton třídy C25/30.

Pracovní diagram pro beton je na obr. 2.9. Obvykle se zobrazuje jen jeho tlaková část, neboť pevnost betonu v tahu ft je 8-12× menší než pevnost v tlaku fc a ve výpočtech se někdy zanedbává. Hookeův zákon je při namáhání tlakem dostatečně výstižný do přibližně 50 % fc , poté již v betonu dochází k šíření mikrotrhlin a k zakřivení pracovního diagramu. Běžné hodnoty napětí v betonu obvykle nepřekračují 50 % charakteristické pevnosti v tlaku. Rozšíření materiálových rovnic pro případ plastického přetváření je předmětem kapitoly 6. Při namáhání materiálu jednoosým tahem dochází k jeho příčné kontrakci, tzv. Poissonovu efektu. Tento jev bude podrobně popsán v článku 7.1, kde bude také definován bezrozměrný Poissonův součinitel ν, představující vedle Youngova modulu pružnosti E další důležitou charakteristiku pružného materiálu. Tab. 2.1 shrnuje základní parametry materiálů, které se vyskytují ve stavební praxi.

2.1.3

Vliv teplotních změn

Zatím jsme uvažovali pouze protahování nebo stlačování prutu způsobené silovým zatížením. Ke změně délky však dochází i při ohřívání nebo ochlazování prutu. Pokud se prut může volně deformovat, je jeho protažení přímo úměrné změně teploty ∆T a vypočte se jako εT = αT ∆T (2.48) kde αT je součinitel teplotní roztažnosti daného materiálu. Změnou teploty rozumíme rozdíl mezi teplotou ve zkoumaném stavu a teplotou ve výchozím stavu, ve kterém měl prut původní délku L. Tuto změnu můžeme vyjádřit ve stupních Celsia, ale stejně tak v kelvinech, přičemž číselná hodnota zůstává stejná. Kelviny se někdy používají pro zjednodušení zápisu, protože u nich není třeba psát symbol pro stupeň (takže místo ∆T = 20◦ C napíšeme ∆T = 20 K). To je výhodné zejména při zápisu součinitele teplotní roztažnosti, například αT = 12 · 10−6 K−1 místo αT = 12 · 10−6 (◦ C)−1 .

26


Materiál

Beton C25/30, 28 dní Beton C60/75, 28 dní Beton C90/105, 28 dní Cihla plná Dřevo smrkové, po vláknech Dřevo tvrdé, po vláknech Epoxidová pryskyřice Guma Hliník Měď Ocel běžná konstrukční Ocel lanová Plynosilikátová tvárnice Polyethylén HDPE Polystyren expandovaný PVC Sklo Uhlíková vlákna Zdivo cihelné Zeminy soudržné Zeminy nesoudržné Žula

Modul pružnosti E [GPa] 30 35 40 5 10 12,5 2-7 15 70 117 200-210 200-210 1,5-3 0,8 3-4 0,3-4 50-70 230-400 3-6 0,01-0,2 0,1-0,2 52

Poissonův součinitel ν [-] 0,1-0,2 0,1-0,2 0,1-0,2 0,3 0,35-0,45 0,35-0,45 0,35 ≈0,5 0,33 0,36 0,27 0,27 0,2 0,46 0,1-0,2 0,4-0,5 0,22 0,14 0,2 0,25-0,5 0,15-0,35 0,2-0,3

Charakteristická pevnost, mez kluzu fc , fY [MPa] 25 60 90 15-30 10-13 18 25-85 30 95 70 250-690 1500-2300 1-6 15 1-2 20-60 30-90 1000-6000 3-10 0,025-1 0-0,5 100-250

Součinitel teplotní délkové roztažnosti αT [10−6 K−1 ] 12 12 12 3-10 5 5 45-65 77 23 17 11-13 11-13 8 120 50-70 50 25.5 2-6 5,5 30-50 9-15 7.9

Tabulka 2.1: Základní parametry běžných stavebních materiálů.

Kladné hodnoty ∆T odpovídají ohřátí, při kterém se obvyklé materiály roztahují, zatímco záporné hodnoty ∆T odpovídají ochlazení, které vede ke zkrácení prutu (tedy záporné hodnotě εT ). Prozatím předpokládáme, že změna teploty je ve všech bodech prutu stejná, takže ji lze popsat jedinou hodnotou a prut se roztahuje nebo zkracuje rovnoměrně. Veličina εT z rovnice (2.48) odpovídá skutečnému poměrnému protažení ε pouze za nulového napětí. Pokud je prut zatížen a v materiálu vznikne nenulové napětí, vypočte se poměrné protažení σ σ ε= + εT = + αT ∆T (2.49) E E jako součet příspěvku od napětí podle Hookeova zákona (2.5) a příspěvku od teploty podle (2.48). Vztah (2.49) můžeme invertovat a vyjádřit napětí v závislosti na poměrném protažení a změně teploty: σ = E(ε − εT ) = E(ε − αT ∆T )

(2.50)

PŘÍKLAD 2.4 Jaké napětí by vzniklo v kolejnici osazené za teploty 20◦ C, kdyby teplota klesla na −30◦ C a kolejnice nemohla volně dilatovat? Řešení: Pokud by dlouhý úsek kolejnice nemohl dilatovat, bylo by poměrné protažení nulové (přinejmenším ve střední části tohoto úseku) a vzniklé napětí by se po dosazení ε = 0 do (2.50) vyjádřilo jako σ = −EαT ∆T

(2.51)


27

Pro ocel je E = 210 GPa a αT = 12 · 10−6 K−1 . Uvažovaná změna teploty je ∆T = −50 K, takže konkrétní hodnotu napětí vypočteme jako σ = −210 · 109 Pa × 12 · 10−6 K−1 × (−50 K) = 126000 · 103 Pa = 126 MPa

(2.52)

Vidíme, že pokud je deformaci bráněno, může od teplotních změn vzniknout obrovské napětí, které je v tomto případě řádově srovnatelné s pevností materiálu. Stejně velké napětí bychom ale dostali i pro betonový prvek, který se nemůže zkracovat a je ochlazen o padesát stupňů. Součinitel teplotní roztažnosti má totiž i pro beton podobnou hodnotu jako pro ocel. Takto vypočtené napětí je samozřejmě zcela fiktivní, protože beton má tahovou pevnost řádově jen několik MPa a při uvažovaném typu zatížení by došlo ke vzniku trhlin, takže výpočet podle pružnosti není realistický. Rovnice (2.49) a (2.50) popisují vliv teplotních změn na vztah mezi napětím a deformací, podávají tedy popis chování na úrovni materiálu. Snadno je můžeme přepsat pomocí veličin popisujících chování celého prutu, tedy pomocí síly F a absolutního protažení ∆L. Stačí využít vztahy (2.2) a (2.3) v kombinaci s (2.49):

∆L = Lε = L

σ + εT E

=

LF + LαT ∆T EA

(2.53)

Výsledek můžeme zapsat jako ∆L =

F + ∆LT n

(2.54)

kde n = EA/L je normálová tuhost prutu a ∆LT = LεT = LαT ∆T

(2.55)

je protažení prutu od teplotní změny. Pro dané protažení a změnu teploty můžeme z (2.54) vypočítat sílu F = n (∆L − ∆LT ) =

EA (∆L − LαT ∆T ) L

(2.56)

PŘÍKLAD 2.5 Na železobetonovém sloupu vykreslete průběhy normálové síly N , napětí σ a poměrného protažení ε a určete posun horního konce sloupu uc . Sloup je zatížen třemi osamělými silami a jeho dolní část se ohřála o ∆T = +10◦ C. Uvažujte modul pružnosti E = 30 GPa a součinitel teplotní roztažnosti αT = 12 · 10−6 K−1 . Řešení: Jelikož je tato úloha staticky určitá, můžeme určit průběh normálové síly postupem známým z 1. ročníku. Postupujeme od volného konce (tj. horního) a postupně sčítáme veškeré podélné síly působící na sloup. Jeho horní část je namáhána normálovou silou NII = −100 kN. Záporné znaménko zde označuje tlak. V dolní části sloupu vzniká normálová síla NI = −500 kN. Odpovídající hodnoty napětí snadno určíme jako −500 kN = −1041,6 kPa = −1,0416 MPa 0,8 · 0,6 m2 −100 kN = = −1250 kPa = −1,25 MPa 0,4 · 0,2 m2

σI = σII

(2.57) (2.58)

Nyní můžeme přejít k výpočtu přetvoření. V horní části sloupu způsobí napětí σI deformaci σII −1,25 MPa εII = = = −41,6 · 10−6 (2.59) E 30 GPa


[-]

–

+

–

–

x

–

[MPa] -4,167·10-5

[kN] -100

ε

–

200 kN

200 kN

-500

1

0,8x0,6 m

3,6 m

b

o ΔT=10 C

1,8 m

2

σ

-1,25

0,4x0,2 m

c

N

-1,042

100 kN

8,5278·10-5

28

a

Obrázek 2.10: Sloup zatížený osamělými silami a změnou teploty.

Počítali jsme zde podle Hookeova zákona v jeho nejjednodušší podobě (2.5). V dolní části však musíme uplatnit obecnější vztah (2.49), protože zde došlo i ke změně teploty: σI −1,0416 MPa +αT ∆T = +12·10−6 K−1 ·10 K = −34,72·10−6 +120·10−6 = 85,27·10−6 E 30 GPa (2.60) Jakmile známe poměrná protažení (pro horní část sloupu jde o zkrácení, protože εII je záporné), můžeme snadno spočítat absolutní protažení jednotlivých částí podle vztahu (2.3): εI =

∆LI = LI εI = 3,6 m · 85,27 · 10−6 = 307 · 10−6 m −6

∆LII = LII εII = 1,8 m · (−41,6 · 10

−6

) = −75 · 10

(2.61) m

(2.62)

Celkové protažení sloupu je součtem protažení jeho částí a zároveň odpovídá posunu horního konce sloupu uc = ∆L = ∆LI +∆LII = 307·10−6 m−75·10−6 m = 232·10−6 m = 0,232 mm (2.63) Uvedený příklad ukazuje, že vliv ohřátí na deformaci může převýšit účinek tlakových sil. U staticky určitých konstrukcí nemá teplota vliv na průběh vnitřních sil (alespoň při výpočtu vnitřních sil na původní nedeformované konstrukci, tj. dle teorie 1. řádu). Naopak u staticky neurčitých konstrukcí je teplota často dominantním zatížením, které nelze ignorovat (viz např. vybočení bezstykového kolejového pásu v letních měsících). Při řešení příkladu jsme postupně využívali jednotlivých základních rovnic, např. Hookeova zákona a vztahu mezi absolutním a poměrným protažením. Kdyby nás nezajímalo napětí a poměrné protažení a chtěli bychom od normálových sil přejít rovnou k absolutním protažením jednotlivých částí, bylo by výhodné dosadit do vztahu (2.54). Dolní část sloupu se chová jako rovnoměrně tlačený prut zatížený silou FI = −500 kN a horní část jako rovnoměrně tlačený prut zatížený silou FII = −100 kN. Normálové tuhosti jednotlivých částí sloupu vypočteme jako 30 · 0,8 · 0,6 GPa · m2 EAI = = 4 GN/m LI 3,6 m EAII 30 · 0,4 · 0,2 GPa · m2 = = = 1,3 GN/m LII 1,8 m

nI = nII

(2.64) (2.65)

2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT

29

Dále stanovíme protažení od teplotní změny na dolní části: ∆LI,T = LI αT ∆T = 3,6 m · 12 · 10−6 K−1 · 10 K = 432 · 10−6 m

(2.66)

Na horní části se teplota nezměnila a ∆LII,T je tedy nulové. Jakmile známe tuhosti prutů a protažení od teploty, můžeme podle (2.54) pohodlně určit FI −500 kN + ∆LI,T = + 432 · 10−6 m = 307 · 10−6 m nI 4 GN/m −100 kN FII + ∆LII,T = = = −75 · 10−6 m nII 1,3 GN/m

∆LI = ∆LII

(2.67) (2.68)

Výsledky samozřejmě souhlasí s (2.61)–(2.62).

2.2 2.2.1

Obecně tažený nebo tlačený prut Základní rovnice

Od rovnoměrného tahu nebo tlaku, popsaného v předchozím článku, nyní postoupíme k obecnému případu, kdy se normálová síla nebo průřezová plocha (případně i obě tyto veličiny) mění po délce prutu. V případě nerovnoměrného namáhání je vhodné zkoumaný prut myšleně rozložit na tzv. elementární segmenty. Každý z nich představuje část prutu nacházející se mezi dvěma nekonečně blízkými průřezy. Elementární segment má tedy nekonečně malý rozměr dx ve směru osy x, ale jeho rozměry kolmo na osu x jsou konečné a odpovídají danému průřezu. Jelikož představa nekonečně malé délky je poněkud abstraktní, můžeme zprvu vycházet z představy malé, ale konečné délky segmentu ∆x, a teprve následně provést limitní přechod, při kterém se ∆x blíží nule. Vztahy původně zapsané pro celý prut můžeme v obecném případě uplatnit alespoň na úrovni jednotlivých elementárních segmentů prutu. Například můžeme pro každý segment definovat poměrné protažení jako podíl mezi přírůstkem délky segmentu a jeho původní délkou. Změnu délky segmentu pak můžeme dát do souvislosti s posuny jednotlivých průřezů ve směru střednice prutu (tj. ve směru osy x). fx(x) Výchozí stav

x x+Δx Δx u(x) u(x+Δx)

Deformovaný stav

Obrázek 2.11: Tažený prut a jeho elementární segment. Pokud je prut osově tažený nebo tlačený, jednotlivé průřezy se při deformaci prutu posouvají pouze ve směru střednice, ale neotáčejí se ani neztrácejí rovinnost. Každý bod se tedy posouvá ve směru osy x a hodnota tohoto posunu u je společná pro celý průřez, takže závisí pouze na souřadnici x. Změna polohy všech bodů je proto jednoznačně

30


popsána funkcí u(x). Na obr. 2.11 je znázorněn jistý segment prutu, ohraničený průřezy o souřadnicích x a x + ∆x. Segment má původní délku ∆x, která po deformaci vzroste o rozdíl posunů pravého a levého okraje segmentu, tedy o ∆u = u(x + ∆x) − u(x). Poměrné protažení segmentu lze definovat jako podíl ∆u/∆x. Protože však teoreticky pracujeme s nekonečně krátkým segmentem, přejdeme v limitě k nulové délce segmentu a napíšeme u(x + ∆x) − u(x) ε(x) = lim (2.69) ∆x→0 ∆x Výraz na pravé straně z matematického hlediska odpovídá derivaci funkce u podle proměnné x, takže můžeme (2.69) přepsat jako ε(x) =

du(x) = u0 (x) dx

(2.70)

Čárka zde označuje derivaci podle prostorové proměnné x. Výraz du/dx bychom mohli chápat jako podíl mezi nekonečně malým přírůstkem délky du a původní nekonečně malou délkou segmentu dx. Rovnice (2.70) popisuje souvislost mezi funkcí u(x), která charakterizuje posuny jednotlivých průřezů, a funkcí ε(x), která charakterizuje poměrné protažení jednotlivých elementárních segmentů. Z obecného hlediska jde o vztah mezi přemístěním prutu a jeho přetvořením. Pod pojmem přemístění obecně rozumíme změnu polohy jednotlivých bodů zkoumaného tělesa. Přetvoření pak odpovídá změně tvaru a velikosti jednotlivých elementárních dílků, na které toto těleso myšleně rozkládáme. Rovnice popisující vztah mezi přemístěním a přetvořením se obecně nazývá geometrická rovnice. Vztah (2.70) je tedy geometrickou rovnicí pro osově namáhaný (tažený nebo tlačený) prut. Hookeův zákon popisuje chování materiálu a má stejnou podobu (2.5) jako v případě rovnoměrného tahu nebo tlaku. S jeho využitím z poměrného přetvoření ε snadno vypočteme odpovídající napětí σ a následně normálovou sílu N , která je v případě osového namáhání součinem napětí a obsahu průřezové plochy: N (x) = A(x)σ(x) = EA(x)ε(x)

(2.71)

Jak je ze zápisu vidět, připouštíme i prut proměnného průřezu, pro který se obsah A mění po délce prutu. Modul pružnosti E považujeme za konstantu, i když zobecnění na případ proměnného modulu pružnosti by nebylo obtížné. Rovnice (2.71) popisuje vztah mezi vnitřní silou (konkrétně normálovou silou N ) a veličinou charakterizující přetvoření (konkrétně poměrným protažením ε). Vztah tohoto typu budeme označovat za průřezovou rovnici, případně za zobecněnou materiálovou rovnici. Konstanta úměrnosti EA je v tomto případě normálová tuhost průřezu. fx(x+Δx/2)Δx

N(x)

N(x+Δx)

Obrázek 2.12: Síly působící na elementární segment prutu.


31

K úplnému popisu osově namáhaného prutu zbývá doplnit podmínku rovnováhy mezi vnitřními a vnějšími silami. Ve stavu statické rovnováhy musí podmínku rovnováhy splňovat nejen celé zkoumané těleso, ale také každá jeho část. Můžeme proto takovou podmínku zapsat pro libovolný elementární segment prutu. Je však třeba správně popsat všechny síly, které na uvažovaný segment působí. Jestliže segment myšleně vyřízneme z prutu a zkoumáme jeho rovnováhu, je třeba vzít v úvahu nejen vnější síly, kterými je tento segment zatížen, ale také síly, kterými na něj působí jeho bezprostřední sousedé. To jsou síly vnitřní, vznikající v jednotlivých průřezech. Na obr. 2.12 je znázorněn segment omezený průřezy o souřadnicích x a x + ∆x. V průřezu o souřadnici x vzniká normálová síla N (x). Pokud je kladná (tj. tahová), působí na uvažovaný segment směrem “ven”, tedy v tomto případě doleva. Naopak pro normálovou sílu N (x + ∆x), vznikající v průřezu o souřadnici x + ∆x, je kladná orientace doprava. Uvedené dvě hodnoty normálové síly jsou si obvykle velmi blízké, ale nejsou zcela totožné, protože vznikají ve dvou rozdílných průřezech. Kdyby byly stejné, segment by byl v rovnováze bez uvážení vnějších sil. Musíme však připustit, že přímo na segment působí silové zatížení, které je třeba do podmínky rovnováhy zahrnout. Působí-li na prut podélné spojité zatížení o intenzitě fx (x) (chápané jako síla na jednotku délky prutu a vyjádřené v N/m), musíme do podmínky rovnováhy zahrnout jeho výslednici na daném segmentu, která se spočítá jako součin intenzity zatížení a délky segmentu. Při vyhodnocení intenzity dosadíme hodnotu souřadnice uprostřed segmentu, tedy x + ∆x/2. Výslednou podmínku rovnováhy lze zapsat jako −N (x) + N (x + ∆x) + fx (x + ∆x/2) ∆x = 0

(2.72)

Po vydělení celé rovnice veličinou ∆x odtud plyne N (x + ∆x) − N (x) + fx (x + ∆x/2) = 0 ∆x

(2.73)

a limitní přechod ∆x → 0 pak vede k rovnici N 0 (x) + fx (x) = 0

(2.74)

Jedná se o diferenciální podmínku rovnováhy, popisující nekonečně malý segment. Z obecného hlediska o ní mluvíme jako o statické rovnici, protože popisuje statickou rovnováhu. Kromě spojitého zatížení mohou na prut působit i osamělé síly, které se v rovnici (2.74) neobjevují. Osamělou sílu působící na krajní průřez prutu postihneme v okrajových podmínkách, o kterých bude řeč v článku 2.2.2. V případě, že osamělá síla působí v některém mezilehlém průřezu, je třeba popis rovnováhy poněkud upravit. Při odvození diferenciální podmínky (2.74) jsme s takovým případem nepočítali. Pokud na jistý průřez o souřadnici x = xi působí podélná osamělá síla o velikosti Fi , je třeba ji zahrnout do rovnice (2.72). Pak ale nemůžeme levou stranu vydělit ∆x a použít limitní přechod, protože podíl Fi /∆x by neměl konečnou limitu. Místo toho uvážíme segment “vycentrovaný” kolem průřezu xi a limitní přechod provedeme, aniž bychom předtím rovnici dělili ∆x. Podmínku rovnováhy napíšeme jako −N (xi − ∆x/2) + N (xi + ∆x/2) + fx (xi ) ∆x + Fi = 0

(2.75)

a po limitním přechodu, při kterém se ∆x blíží k nule zprava, dostaneme −Ni− + Ni+ + Fi = 0

(2.76)

32


Přitom Ni− označuje limitní hodnotu funkce N (x), pokud se k průřezu xi blížíme zleva, zatímco Ni+ odpovídá limitě zprava. Rovnice (2.76) znamená, že v průřezu xi je funkce N (x) nespojitá, jinými slovy, dochází zde ke skoku v normálové síle. Velikost tohoto skoku odpovídá působící síle Fi , ale je třeba dát pozor na znaménko. Vztah (2.76) můžeme přepsat jako Ni− − Ni+ = Fi (2.77) a interpretovat následovně: Jestliže v jistém průřezu působí osamělá síla ve směru střednice prutu, dochází při přechodu přes tento průřez ke skokové změně normálové síly. Velikost tohoto skoku odpovídá velikosti působící síly. Pokud vnější síla působí doprava, je normálová síla těsně vpravo od zmíněného průřezu algebraicky menší než těsně vlevo od něj. To odpovídá základním pravidlům pro výpočet průběhu normálové síly, známým ze stavební mechaniky.

2.2.2

Diferenciální rovnice osově namáhaného prutu

V předchozím článku jsme odvodili tři základní rovnice popisující osově tažený nebo tlačený prut. Patří mezi ně • geometrická rovnice (2.70) • průřezová rovnice (2.71) • statická rovnice (2.74)

u(x)

fx(x)

ε(x)

N(x)

Obrázek 2.13: Struktura základních rovnic pro tažený nebo tlačený prut.

Pro lepší orientaci je struktura těchto rovnic znázorněna v diagramu na obr. 2.13. Funkce u(x), ε(x) a N (x) jsou zpravidla předem neznámé a naším úkolem je tyto funkce vypočítat ze základních rovnic. Funkce fx (x) popisující podélné spojité zatížení prutu je zadaná (někdy jako nulová).2 Tři výše zmíněné základní rovnice není třeba řešit jako soustavu rovnic. Díky jejich jednoduchému tvaru je možné z matematického popisu úlohy vyloučit neznámé funkce ε(x) a N (x) a sestavit jedinou rovnici s jedinou neznámou funkcí u(x). Nejprve pomocí geometrické rovnice (2.70) vyloučíme z průřezové rovnice (2.71) poměrné protažení: N (x) = EA(x)ε(x) = EA(x)u0 (x) 2

(2.78)

V diagramu se pro jednoduchost neobjevují osamělé vnější síly, které nelze (s tradiční matematickou výbavou studentů stavební fakulty) do diferenciální podmínky (2.74) zahrnout. Pokud jsou takové síly předepsány, je třeba celý prut rozdělit na intervaly tak, aby osamělé síly působily jen na hranici mezi dvěma sousedními intervaly. Uvnitř každého intervalu pak lze použít diferenciální podmínku (2.74). Na rozhraní mezi sousedními intervaly, tedy v průřezech zatížených osamělými silami, je třeba zapsat podmínku pro skok normálové síly ve tvaru (2.76).


33

Toto vyjádření normálové síly pomocí posunové funkce pak dosadíme do podmínky rovnováhy (2.74). Získáme tak tzv. diferenciální rovnici osově namáhaného prutu 0

EA(x)u0 (x) + fx (x) = 0

(2.79)

Neznámou je zde funkce u(x), zatímco ostatní funkce jsou známé. Proto se tato rovnice často přepisuje do tvaru 0 EA(x)u0 (x) = −fx (x) (2.80) kde pravá strana odpovídá danému zatížení (ovšem se záporným znaménkem) a na levé straně je na neznámou funkci u(x) aplikován diferenciální operátor 2. řádu (dvakrát se derivuje podle x). Pro prut konstantního průřezu lze konstantu EA vytknout před závorku a (2.80) přepsat jako EA u00 (x) = −fx (x)

(2.81)

Z matematického hlediska představuje (2.80) obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu. Pokud má speciální tvar (2.81), je to navíc rovnice s konstantními koeficienty. I v obecnějším tvaru (2.80) jde o rovnici velmi jednoduchou, protože levá strana obsahuje pouze jeden člen. V tomto členu se dvakrát derivuje, ale žádnou nižší derivaci neznámé funkce už rovnice neobsahuje. Řešení takové rovnice je proto snadné a spočívá v podstatě ve dvojnásobné integraci. Jak je známo z matematiky, diferenciální rovnice mají jednoznačné řešení jen v kombinaci se vhodnými počátečními nebo okrajovými podmínkami. Zároveň jsou takové podmínky nepostradatelné i z fyzikálního hlediska, protože popisují důležité okolnosti, které by jinak nebyly zohledněny. V našem případě řešíme obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu, pro kterou je třeba předepsat dvě další podmínky. Počáteční podmínky by přicházely v úvahu, kdybychom řešili vývoj nějakého systému v čase (takže by se derivovalo podle časové proměnné t) a specifikovali bychom počáteční stav tohoto systému (například výchylku a rychlost při analýze kmitání soustavy s jedním stupněm volnosti). V našem případě má však nezávisle proměnná x charakter prostorové souřadnice a úloha se řeší na intervalu [0,L], kde L je délka prutu. Proto je na místě předepsat okrajové podmínky na hranici tohoto intervalu. Hranicí je v tomto případě dvoubodová množina obsahující body 0 a L, které odpovídají levému a pravému koncovému průřezu prutu. V každém z nich je třeba specifikovat jednu okrajovou podmínku. Její konkrétní podoba souvisí se způsobem uložení či zatížení příslušného koncového průřezu: • Pokud je v koncovém průřezu vazba zabraňující podélnému posunu, okrajová podmínka předepisuje hodnotu posunu u (zpravidla nulovou). Ve vazbě vzniká reakce, jejíž hodnota není předem známa, a tudíž je neznámá i hodnota normálové síly N . Podmínku tohoto typu označujeme za geometrickou, případně kinematickou, protože je předepsán pohyb koncového průřezu. • Pokud naopak v koncovém průřezu vazba není, je jeho posun neznámý, ale normálovou sílu lze určit podle zatížení. Nepůsobí-li přímo na krajní průřez předepsaná osamělá síla, je zde normálová síla nulová. Podmínku tohoto typu označujeme za statickou, protože je předepsána statická veličina, konkrétně normálová síla. Z výše uvedeného rozboru vyplývá, že v každém koncovém průřezu lze zapsat právě jednu okrajovou podmínku, buď geometrickou, nebo statickou. Tím je zajištěno, že celkově budou okrajové podmínky vždy dvě, bez ohledu na to, jak jsou či nejsou konce

34


prutu podepřeny. Diferenciální rovnici s okrajovými podmínkami se v matematice říká okrajová úloha. Zmiňme se ještě o tom, jak správně zapsat statickou okrajovou podmínku. Osamělá síla působící na koncový průřez prutu patří mezi vnější síly a její znaménko se řídí její orientací vzhledem k soustavě souřadnic. Tato síla je považována za kladnou, pokud je souhlasně orientovaná s kladnou poloosou x. Při obvyklém umístění souřadnicové osy je kladná orientace doprava. Působí-li kladná vnější síla F na pravý konec prutu, způsobuje v koncovém průřezu tah a odpovídající normálová síla je jí rovna. Statickou okrajovou podmínku v takovém případě zapíšeme jako N (L) = F

(2.82)

Naopak na levém konci působí kladná vnější síla “do průřezu” a vyvolá tlak. Normálová síla je pak záporná a okrajovou podmínku zapíšeme jako N (0) = −F

(2.83)

Podmínky (2.82) a (2.83) jsou zapsány pomocí normálové síly, ale základní neznámou v diferenciální rovnici (2.80) je posunová funkce u(x). Z matematického hlediska by okrajové podmínky měly být zapsány pomocí hledané funkce nebo jejích derivací až do řádu o jedničku nižšího, než je řád příslušné diferenciální rovnice. V našem případě pracujeme s rovnicí 2. řádu a v okrajových podmínkách se může vyskytovat u nebo jeho první derivace. S využitím vztahu (2.78) je možné podmínky (2.82) a (2.83) přepsat do tvaru, který předepisuje hodnoty první derivace hledané funkce. Například místo (2.82) lze napsat F u0 (L) = (2.84) EA(L) Ve jmenovateli zlomku na pravé straně je normálová tuhost pravého koncového průřezu.

PŘÍKLAD 2.6 Určete průběhy normálové síly N , napětí σ, poměrného protažení

u

[kN]

[kPa]

[-]

[m]

–

-1,667·10-6

– -50

-24

a

–

0,6

+

L = 4,0 m

+

x

+

b

1,667·10-6

ε 50

σ 24

N

+

γ=25 kN/m3

1,667·10-6

ε a posunutí u na oboustranně vetknutém sloupu z obr. 2.14. Sloup je zatížen pouze vlastní tíhou. Uvažujte modul pružnosti E = 30 GPa a objemovou tíhu materiálu γ = 25 kN/m3 .

0,8 m

Obrázek 2.14: Staticky neurčitý sloup zatížený pouze vlastní tíhou.

Řešení: Při výpočtu vyjdeme z diferenciální rovnice pro tažený-tlačený prut, kterou můžeme při konstantním průřezu uvažovat ve tvaru (2.81). Na její pravé straně je podélné


35

zatížení fx , které v daném případě pochází od vlastní tíhy sloupu. Intenzita fx představuje sílu na jednotku délky prutu, takže ji vyjádříme jako fx = γA, kde γ je objemová tíha (tedy tíha vztažená na jednotku objemu) a A je průřezová plocha. Zatížení samo bude mít kladné znaménko, protože osu x jsme zavedli kladně orientovanou dolů (viz obr. 2.14), takže vlastní tíha působí souhlasně s osou. Na pravé straně rovnice (2.81) je však −fx (x), v našem případě to bude záporná konstanta −γA. Po vydělení obou stran rovnice normálovou tuhostí průřezu EA (což je také daná konstanta) můžeme (2.81) přepsat jako γ u00 (x) = − (2.85) E Všimněte si, že průřezová plocha A z rovnice zmizela (krácením zlomku) a výsledné posuny ani poměrná protažení na ní při zatížení sloupu pouze vlastní tíhou nebudou záviset. Podle rovnice (2.85) je druhá derivace funkce u konstantní, takže samotná funkce u bude kvadratická a získáme ji dvojnásobnou integrací: γ x + C1 E γ x2 + C1 x + C2 u(x) = − E 2

u0 (x) = −

(2.86) (2.87)

Integrační konstanty C1 a C2 pak určíme z okrajových podmínek. Oba konce jsou vetknuté, takže se nemohou posouvat a okrajové podmínky předepisují nulové posuny pro x = 0 a x = L. Po dosazení obecného řešení (2.87) dostaneme u(0) = 0 . . . C2 = 0 u(L) = 0 . . . −

(2.88)

L2

γ γL + C1 L = 0 . . . C1 = E 2 2E

(2.89)

a výsledné řešení splňující diferenciální rovnici i okrajové podmínky je u(x) = −

γ x2 γL γ + x= Lx − x2 E 2 2E 2E

(2.90)

Jde o kvadratickou funkci, jejíž hodnota je pro x = 0 a x = L nulová. Jejím grafem je parabola vykreslená na obr. 2.14 zcela vpravo. Maximální hodnoty L =u 2

umax

γ = 2E

L L2 L − 2 4

!

=

γL2 8E

(2.91)

nabývá posun uprostřed prutu, tedy pro x = L/2. Základní neznámou v diferenciální rovnici (2.81) je funkce u popisující posuny, ale z praktického hlediska nás zajímá rozložení napětí, případně normálové síly. Napětí snadno vyhodnotíme dosazením nejprve do geometrické rovnice (2.70), podle které určíme poměrné protažení, a poté do Hookeova zákona (2.5): γ (L − 2x) 2E γ σ(x) = Eε(x) = (L − 2x) 2 ε(x) = u0 (x) =

(2.92) (2.93)

Obě funkce jsou lineární a nabývají nulové hodnoty uprostřed prutu, viz grafy na obr. 2.14. Maximálního kladného napětí je dosaženo na horním konci prutu, tedy pro

36


x = 0, a extrémního tlakového napětí naopak na dolním konci prutu, pro x = L: γL 2 γL = σ(L) = − 2

σmax = σ(0) =

(2.94)

σmin

(2.95)

Normálovou sílu pak snadno určíme jako napětí přenásobené průřezovou plochou: N (x) = Aσ(x) =

γA (L − 2x) 2

(2.96)

Předveďme ještě výpočet konkrétních hodnot významných veličin: 25 · 42 kN · m−3 m2 γL2 = = 1,6 · 10−6 m 8E 8 · 30 GPa γL 25 · 4 kN · m−3 m = = = 1,6 · 10−6 2E 2 · 30 GPa γL 25 · 4 = = kN · m−3 m = 50 kPa 2 2 γLA 25 · 4 · 0,8 · 0,6 = = kN · m−3 m · m2 = 24 kN 2 2

umax =

(2.97)

εmax

(2.98)

σmax Nmax

(2.99) (2.100)

Podobně by se spočítaly i extrémní záporné hodnoty poměrného protažení, napětí a normálové síly, ale není to nutné, protože ve zkoumaném případě mají stejnou absolutní hodnotu jako extrémní kladné hodnoty. Na závěr je vhodné se zamyslet nad názorným významem výsledků vykreslených na obr. 2.14 a zkontrolovat je. V horní polovině sloupu vzniká tah, který se postupně zmenšuje od horního okraje směrem dolů a zmizí v průřezu uprostřed sloupu. Níže pak postupně narůstá tlak, který dosahuje maximální hodnoty v patě sloupu. Můžeme si tedy představit, že horní polovina sloupu “visí” z horního konce a dolní polovina “stojí” na dolním konci. Jelikož jsou obě poloviny ze stejného materiálu, deformují se stejně, jen s opačným znaménkem, tj. horní polovina se protahuje a dolní zkracuje. Kdybychom sloup rozřízli vodorovným řezem uprostřed jeho výšky, vznikly by dvě staticky určité části, na kterých by průběh normálové síly bylo možné určit elementárním postupem z 1. ročníku a přesně by odpovídal průběhu vykreslenému na obrázku. Vzhledem ke stejným vlastnostem obou částí sloupu by posun dolního konce horní části (která “visí” a protahuje se) vyšel stejně jako posun horního konce dolní části (která “stojí” a zkracuje se) a spojitost prutu by zůstala zachována. Tato úvaha ukazuje, že při šikovném využití symetrie bychom vlastně nemuseli řešit úlohu jako staticky neurčitou. Zamysleme se ještě nad tím, proč napětí ani posuny v této úloze nezávisejí na průřezové ploše. Kdybychom sloup rozřízli svislým řezem, vznikly by dva sloupy, které by se při zatížení vlastní tíhou chovaly zcela stejně jako původní jeden. Napětí i posuny by tedy zůstaly stejné, jen normálová síla by se rozdělila na dvě části v poměru průřezových ploch. Alternativní způsob řešení: Staticky neurčitou konstrukci můžeme vždy převést na libovolnou staticky určitou konstrukci a vynutit kinematické okrajové podmínky, jejichž počet odpovídá stupni statické neurčitosti. Namísto dolní podpory zavedeme neznámou tahovou reakci Ra a budeme hledat její hodnotu takovou, aby posun u(4) = 0. Funkci


37

posunutí určíme z funkce spojitého zatížení fx = γA postupnou integrací Nx = −

Z

fx dx = −γAx + γAL + Ra = γA(L − x) + Ra |

{z

Okr. p.

(2.101)

}

Nx Ra σx γ Ra σx = = γ(L − x) + , εx = = (L − x) + A A E E EA Z γ 1 2 Ra x u(x) = εx dx = (Lx − x ) + + |{z} 0 E 2 EA

(2.102) (2.103)

Okr. p.

Neznámou reakci Ra určíme z přetvárné podmínky u(4) = 0: u(4) = 0 =

γ 1 Ra x (Lx − x2 ) + E 2 EA

⇒

Ra = −γA

L = −24 kN 2

(2.104)

Vlastní tíha sloupu se tedy rovnoměrně rozdělí mezi horní a dolní podporu.

2.2.3

Vliv teplotních změn

Při odvození průřezové rovnice (2.71) a následně diferenciální rovnice (2.80) jsme vycházeli ze základního tvaru Hookeova zákona (2.5), který nezahrnuje vliv teplotních změn. Není však obtížné celý postup zobecnit a vzít v úvahu vliv oteplení či ochlazení prutu. Pro jednoduchost předpokládáme, že se celý prut ohřeje či ochladí rovnoměrně, takže změnu teploty popíšeme konstantou ∆T a odpovídající poměrné protažení od teploty εT je také konstantní po celém prutu. Napětí lze vyjádřit podle upraveného Hookeova zákona (2.50) a pro normálovou sílu dostaneme N (x) = A(x)σ(x) = EA(x) [ε(x) − εT ] = EA(x) [ε(x) − αT ∆T ]

u(x)

fx(x)

ε(x)

N(x)

(2.105)

Obrázek 2.15: Struktura základních rovnic pro tažený nebo tlačený prut se zahrnutím vlivu teplotních změn. Takto upravenou průřezovou rovnici pak můžeme zařadit do diagramu základních rovnic na obr. 2.15. Jak je vidět, změna teploty se projeví v průřezové rovnici, tedy ve vztahu mezi vnitřní silou a přetvořením segmentu, ale neovlivní tvar geometrické ani statické rovnice. Spojení základních rovnic a eliminace neznámých ε a N vede k zobecněné variantě diferenciální rovnice osově namáhaného prutu, která bere v úvahu vliv teplotních změn: [EA(x)(u0 (x) − εT )]0 = −fx (x) (2.106) Připomeňme, že εT = αT ∆T je poměrné protažení prutu, ke kterému by došlo pod vlivem teplotní změny, pokud by deformaci prutu nebylo ničím bráněno a prut se mohl volně roztahovat či zkracovat.

38


PŘÍKLAD 2.7 Proveďte analýzu oboustranně vetknutého prutu, na který nepůsobí žádné silové zatížení, ale je vystaven rovnoměrné změně teploty. Uvažujte nejprve prut konstantního průřezu a poté prut obdélníkového průřezu o konstantní výšce h a lineárně proměnné šířce, obr. 2.16. b1

h

L

x L

x b2

Obrázek 2.16: Oboustranně vetknutý prut zatížený rovnoměrnou změnou teploty.

Řešení: V rovnici (2.106) je pro zadaný případ pravá strana nulová a okrajové podmínky na obou koncích odpovídají nulovému posunu. Řešíme tedy diferenciální rovnici [EA(x)(u0 (x) − εT )]0 = 0

(2.107)

u(0) = 0

(2.108)

u(L) = 0

(2.109)

s okrajovými podmínkami

Podle rovnice (2.107) je derivace výrazu v hranaté závorce rovna nule, tento výraz proto musí mít konstantní hodnotu. Integrací (2.107) dostaneme EA(x)(u0 (x) − εT ) = C1

(2.110)

kde C1 je libovolná konstanta. Vztah (2.110) snadno upravíme do tvaru u0 (x) =

C1 + εT EA(x)

(2.111)

Další postup závisí na konkrétní podobě funkce A(x), popisující proměnu obsahu průřezu po délce prutu.

A. Prut konstantního průřezu V případě konstantního průřezu je prut namáhán rovnoměrně a velmi podobná úloha už byla vyřešena v Příkladu 2.4 na základě jednoduchých vztahů platných pro rovnoměrný tah nebo tlak. Zde si ukážeme, jak by se ke stejnému výsledku dospělo formálním řešením příslušné okrajové úlohy. Jestliže je normálová tuhost EA konstantní, má podle rovnice (2.111) neznámá funkce u konstantní derivaci. Tato funkce tedy musí být lineární a lze ji zapsat jako C1 u(x) = + εT x + C2 (2.112) EA kde C2 je další libovolná konstanta. Vztahem (2.112) je popsáno obecné řešení původní rovnice (2.107), které obsahuje dvě zatím zcela libovolné konstanty C1 a C2 . Rovnice (2.107) má tedy sama o sobě nekonečně mnoho řešení. Nás však zajímá pouze to partikulární řešení, které splňuje


39

okrajové podmínky (2.108)–(2.109). Je jasné, že lineární funkce, která má mít nulovou hodnotu ve dvou různých bodech, musí být identicky nulová. Proto bychom mohli rovnou napsat výsledné řešení jako u(x) = 0. Formálně se k tomuto výsledku dospěje dosazením obecného řešení (2.112) do okrajových podmínek (2.108)–(2.109), což vede na soustavu dvou lineárních rovnic

C1 + εT EA

C2 = 0

(2.113)

L + C2 = 0

(2.114)

pro neznámé C1 a C2 . Jejím řešením je C2 = 0 a C1 = −EAεT , takže po zpětném dosazení do (2.112) dostaneme očekávaný výsledek u(x) = 0. Výsledek můžeme interpretovat tak, že oboustranně vetknutý prut konstantního průřezu se při rovnoměrné změně teploty nijak nezdeformuje. Vznikne v něm však normálová síla N = EA(u0 − εT ) = −EAεT

(2.115)

která je úměrná změně teploty, ale má opačné znaménko. Při ohřátí by se materiál chtěl roztahovat, ale je tomu zabráněno podporami a v prutu vznikne tlaková normálová síla. Při ochlazení by se naopak materiál chtěl smrštit a je-li tomu zabráněno, vznikne tahová normálová síla.

B. Prut s lineárně proměnným obsahem průřezu Výše uvedené řešení platí pro prut konstantního průřezu. Pokud se průřez po délce prutu mění, zůstává rovnice (2.111) v platnosti, ale další postup je třeba upravit. Uvažujme konkrétně prut obdélníkového průřezu o konstantní výšce h a lineárně proměnné šířce b, která se mění od hodnoty b1 na horním okraji po hodnotu b2 na dolním konci. Proměnu obsahu průřezu lze popsat funkcí x (2.116) A(x) = A1 + (A2 − A1 ) L kde A1 = b1 h a A2 = b2 h. Pro zjednodušení zápisu zavedeme pomocnou veličinu B = (A2 − A1 )/L a přepíšeme (2.116) jako A(x) = A1 + Bx (2.117) To můžeme dosadit do (2.111): u0 (x) =

C1 + εT E(A1 + Bx)

Abychom získali hledanou funkci u, musíme integrovat pravou stranu: Z C1 dx u(x) = + εT x + C2 E A1 + Bx

(2.118)

(2.119)

V prvním členu jsme vytkli konstantu C1 /E před integrál, ale zbývá najít neurčitý integrál z funkce 1/(A1 +Bx). Ten bychom mohli hledat v tabulkách integrálů, ovšem stačí si vzpomenout, že derivace funkce ln x je 1/x. Zkusíme tedy zderivovat ln(A1 + Bx) a dostaneme B/(A1 + Bx). To už je kýžený výsledek, až na násobivou konstantu B, které se snadno zbavíme tím, že jí derivovanou funkci vydělíme. Platí tedy Z 1 dx = ln(A1 + Bx) (2.120) A1 + Bx B a po dosazení do (2.119) získáme obecné řešení rovnice (2.107) ve tvaru u(x) =

C1 ln(A1 + Bx) + εT x + C2 EB

(2.121)

40


Teď už jen zbývá určit konstanty C1 a C2 z okrajových podmínek. Po dosazení (2.121) do (2.108)–(2.109) a uvážení vztahu A1 + BL = A2 (který plyne z definice konstanty B = (A2 − A1 )/L) dostaneme C1 ln A1 + C2 = 0 EB

(2.122)

C1 ln A2 + εT L + C2 = 0 EB

(2.123)

Odečtením první podmínky od druhé se zbavíme neznámé C2 a snadno určíme neznámou C1 = −

EBεT L EBεT L =− ln A2 − ln A1 ln(A2 /A1 )

(2.124)

C1 εT L ln A1 ln A1 = EB ln(A2 /A1 )

(2.125)

Z první podmínky pak dostaneme C2 = −

Dosazení hodnot C1 a C2 do obecného řešení (2.121) vede k partikulárnímu řešení u(x) = −

εT L ln A1 εT L ln(A2 /A1 ) + εT x + ln(A1 + BL) ln(A2 /A1 )

které lze upravit do jednoduššího tvaru ln(1 + Bx/A1 ) ln(A(x)/A1 ) u(x) = εT x − L = εT x − L ln(A2 /A1 ) ln(A2 /A1 )

(2.126)

(2.127)

Je zřejmé, že na rozdíl od prutu konstantního průřezu už posuny nejsou nulové. Odpovídající poměrné protažení bychom mohli získat diferenciací funkce u dané předpisem (2.127), nebo pohodlněji dosazením odvozeného výrazu (2.124) pro integrační konstantu C1 do (2.111): C1 BLεT A2 − A1 0 ε(x) = u (x) = + εT = − + εT = εT 1 − (2.128) EA(x) A(x) ln(A2 /A1 ) A(x) ln(A2 /A1 ) Napětí se pak vypočte podle Hookeova zákona s uvážením vlivu teploty jako σ(x) = E(ε(x) − εT ) = −

E(A2 − A1 )εT A(x) ln(A2 /A1 )

(2.129)

a po přenásobení obsahem průřezu dostaneme normálovou sílu N (x) = A(x)σ(x) = −

E(A2 − A1 )εT ln(A2 /A1 )

(2.130)

Není náhodou, že výsledkem je konstantní funkce. Uvědomte si, že normálová síla odpovídá výrazu v hranaté závorce v rovnici (2.107), který je podle (2.110) roven integrační konstantě C1 . Rozložení posunu, poměrného protažení a napětí po délce prutu je pro konkrétní hodnoty L = 4 m, b1 = 0,2 m, b2 = 0,4 m, h = 0,2 m, E = 20 GPa, αT = 12 × 10−6 K−1 a ∆T = 20 K vykresleno na obr. 2.17. Všimněte si, že velikost napětí od shora klesá. To je způsobeno nárůstem obsahu průřezové plochy. V průřezech o menším obsahu je napětí větší, aby výsledná normálová síla zůstala konstantní.


[kN]

[MPa]

[-]

-8,26·10-5

+ –

-6,69·10-5

– -3,46

–

-277,0

[m]

h

=

0,

2

m

L=4m

x b2 = 0,4 m

u 1,77 m

ε

–

σ

1,06·10-4

N -6,92

b1 = 0,2 m

41

Obrázek 2.17: Funkce σ(x), ε(x), u(x) po délce oboustranně vetknutého prutu proměnného průřezu při zatížení změnou teploty.

42


Pružnost, pevnost, plasticita

Recommend Documents